2018-2019学年上海市闵行区高二(上)期末数学试卷(解析版)
2018-2019学年上海市闵行区高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1. 用数学归纳法证明 1+12+13+…+12n −1＜n （n ∈N *，n ＞1）时，第一步应验证不等式（ ）A. 1+12<2B. 1+12+13<2C. 1+12+13<3D. 1+12+13+14<32. 在三角形ABC 中，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，点P 在直线AB 上，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则CP⃗⃗⃗⃗⃗ 可用a ⃗ 、b ⃗ 表示为（ ） A. CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +2b ⃗B. CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −b ⃗C. CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ⃗ −b ⃗ D. CP⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +2b⃗3 3. 如果实数x 、y 满足3x 2+4y 2=12，那么3x +2y 的最大值是（ ）A. 4√3B. 24√3C. 6√2D. 484. 已知曲线Γ：1x 3+1y 4=1，则下列正确的是（ ）A. 曲线Γ关于y 轴对称B. 曲线Γ与x 轴相交C. x 取值范围是(−∞,0)∪(0,+∞)D. y 无限趋近于零时，x 也无限趋近零二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5. 计算：n →∞lim1−2nn+2=______． 6. 已知向量a ⃗ =(2，−3)，b ⃗ =(m ，6)，且a ⃗ ∥b ⃗ ，则实数m =______．7. 若线性方程组{a 2x +b 2y =c 2a 1x+b 1y=c 1的增广矩阵为(32，则|y x 2−3|=______． 8. 在等差数列{a n }中，若a 1+a 8=9，a 4=3，则a 5=______．9. 若关于x 、y 的二元一次方程组{5x +6y =−1λx−12y=2有无穷多解，则λ=______． 10. 若x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0x −2y ≤0x +2y −2≤0，则z =2x +y 的最大值为______．11. 点M （-1，0）到双曲线x 2−y 29=1的渐近线的距离为______．12. 正方形ABCD 的边长为√3，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 13. 已知椭圆M ：x 2m+y 23=1(m ＞3)，M 与两直线y =kx ，y =-kx （k ≠0）有不同的交点，这四个点与M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则m =______．14. 已知⊙A ：x 2+y 2+2x -15=0，过点B （1，0）的动直线l （与x 轴不重合）交⊙A 于C 、D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点P ，则点P 的轨迹方程为______． 15. 已知等差数列{a n }的公差d ＞0，且a 2是a 1与a 4的等比中项．记b n =a 2n ，若对任意n ∈N *，都有1b 1+1b 2+⋯+1b n＜3，则d 的取值范围是______．16. 若a ∈R ，直线l 1：x +ay -3a =0与l 2：ax -y -4a =0交于点P ，点P 的轨迹C 与x 、y 轴分别相交于A 、B 两点，O 为坐标原点（A 、B 异于原点O ），则满足|PB |-|PA |=|OA |-|OB |的位于第一象限内的点P 坐标为______． 三、解答题（本大题共5小题，共76.0分） 17. 已知双曲线Γ的两个焦点与椭圆x 264+y 228=1的两个焦点相同，且Γ的一条渐近线为x −√3y =0，求Γ的标准方程．18. 已知a ⃗ =(√3，1)，b ⃗ =(0，1)．（1）求a ⃗ 的单位向量a 0⃗⃗⃗⃗ ；（2）若a ⃗ +λb ⃗ 与a ⃗ −λb ⃗ 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．19. 某日，在我某海警基地码头O 处，发现北偏东60°方向的海面上有一艘可疑船只位于A 处，在测定可疑船的行驶方向后，基地指挥部命令海警巡逻艇从O 处即刻出发，以可疑船速度的2倍航速前去拦截，已知O 和A 相距60海里．（1）若可疑船只以40海里/小时的速度朝正北方向逃跑，则我海警巡逻船最少要用多少小时可以截获可疑船只（精确到0.01小时）？（2）若巡逻艇和可疑船在追逃过程中均未改变航向和航速，在点P 处恰好截获可疑船只，在如图所示的平面直角坐标系中，求点P 的轨迹方程．20. 对于数列{a n }、{b n }，设S(n)=a 1b n +a 2b n−1+a 3b n−2+⋯a n b 1，n ∈N ∗．（1）若a 1=2，a 2=4，且S （n ）=3•2n +1-4n -4，求b 1，b 2；（2）若a n =3n ，S(n)=3n+1−3n −3，求数列{b n }的通项公式；（3）若a n =4n ，存在正整数i 、j 、k 、λ、μ（i ＜j ＜k ），使λa j ，10a i ，μa k 成等差数列，求λ，μ的值． 21. 已知椭圆Γ：x 2a2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点B （0，b ），过点B 且与BF 2垂直的直线交x 轴负半轴于点D ，DF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． （1）求证：b =√32a ；（2）若过B 、D 、F 2三点的圆与直线l ：x +y =0相交于E 、F 两点，且|EF|=2√7，求Γ的方程； （3）若a =2，过F 2且不与坐标轴垂直的直线与Γ交于P 、旦两点，点M 是点P 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得M 、Q 、N 三点共线？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：用数学归纳法证明（n∈N+，n＞1）时，第一步应验证不等式为：；故选：B．直接利用数学归纳法写出n=2时左边的表达式即可．在数学归纳法中，第一步是论证n=1时结论是否成立，此时一定要分析不等式左边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误．2.【答案】D【解析】解：∵，且；∴；∴．故选：D．根据即可得出，从而求出，并且，从而可得出．考查向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算．3.【答案】A【解析】解：根据题意，实数x，y满足3x2+4y2=12，即，设x=2cosθ，y=sinθ，则3x+2y=6cosθ+2sinθ=4sin（θ+），又由-4≤4sin（θ+）≤4，则3x+2y的最大值4；故选：A．根据题意，设x=2cosθ，y=sinθ，则有3x+2y=4cosθ+2sinθ，进而利用两角和与差的三角函数，由三角函数的性质分析可得答案．本题考查三角函数的化简求值，关键是用三角函数表示x、y．椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．4.【答案】D【解析】解：当y=-y时，+=1，即为+=1，故曲线Γ关于x轴对称，因为y≠0，故曲线Γ与x轴不相交，由=1-，即x=，则y≠±1且y≠0，故x取值范围是（-∞，-1）∪（-1，0）∪（0，1）∪（1，+∞）当y无限趋近于零时，x也无限趋近零，故选：D．根据曲线的方程，分别判断即可．本题考查了曲线方程的性质，考查了运算能力和转化能力，属于中档题5.【答案】-2【解析】解：===-2．故答案为：-2．直接利用数列极限的运算法则，求解即可．本题考查数列极限的运算法则的应用，是基本知识的考查．6.【答案】-4【解析】解：∵；∴12+3m=0；∴m=-4．故答案为：-4．根据即可得出2•6-（-3）•m=0，解出m即可．考查向量坐标的概念，以及平行向量的坐标关系．7.【答案】-1【解析】解：由题意，可根据增广矩阵的定义，得到：，解得：．∴==1×2-（-3）×（-1）=-1．故答案为：-1．本题可根据增广矩阵的定义将增广矩阵中的数字还原到线性方程组中去解出x、y的值，然后利用二阶行列式的求法即可得出结果．本题主要考查增广矩阵的定义将增广矩阵中的数字还原到线性方程组中去解出x、y的值及二阶行列式的求法．本题属基础题．8.【答案】6【解析】解：在等差数列{a n}中，a1+a8=9，a4=3，∴a1+a8=9=a4+a5，解得a5=6，故答案为：6．直接根据等差数列的性质a1+a8=a4+a5，即可求出．本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.【答案】-10【解析】解：关于x、y的二元一次方程组有无穷多解，则直线λx-12y=2与5x+6y=-1重合，则==，解得λ=-10．故答案为：-10．由题意知直线λx-12y=2与5x+6y=-1重合，列方程求出λ的值．本题考查了两直线的位置关系应用问题，是基础题．10.【答案】52【解析】解：作出约束条件表示的可行域如图所示：由目标函数z=2x+y得y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点B 时，截距最大，即z最大．解方程组得x=1，y=，即B（1，）．∴z的最大值为2×1+=．故答案为：．作出可行域，由目标函数变型得y=-2x+z，根据可行域找出最优解即可．本题考查了简单的线性规划，作出可行域寻找最优解是解题关键，属于中档题．11.【答案】3√1010【解析】解：双曲线的一条渐近线方程为：3x+y=0，点M（-1，0）到双曲线的渐近线的距离是：=．故答案为：．求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题．12.【答案】2√3【解析】解：•=（+）•（+）=（+）•（+）=+=2．故答案为：2．由=+=+，=+=+代入化简求解即可．本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．13.【答案】3+2√3【解析】解：∵四个点与M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，∴y=kx，y=-kx（k≠0）的夹角为60°∴不妨令k＞0，则k=，再令在第一象限的交点为P，由，解得x2=，∴y2=3x2=，∴|OP|2=，∴=m-3，解得m=3+2或m=3-2（舍去），故m=3+2，故答案为：3+2．由题意可得y=kx，y=-kx（k≠0）的夹角为60°，不妨令k＞0，则k=，再令在第一象限的交点为P，求出点P的坐标可得=m-3，解得即可本题考查了椭圆的简单性质和直线和椭圆的位置关系，考查了运算求解能力和转化能力，属于中档题14.【答案】x24+y23=1【解析】解：∵|AD|=|AC|，PB∥AC，故∠PBD=∠ACD=∠ADC，∴|PB|=|PD|，故|PA|+|PB|=|PA|+|PD|=|AD|．又圆A的标准方程为（x+1）2+y2=16，从而|AD|=4，∴|PA|+|PB|=4，由题设得A（-1，0），B（1，0），|AB|=2，由椭圆的定义可得点P的轨迹方程为．故答案为：．由题意画出图形，利用平面几何知识可得|PA|+|PB|=4，再由椭圆定义得点P的轨迹方程．本题考查曲线方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．15.【答案】[13，+∞）【解析】解：等差数列{a n}的公差d＞0，且a2是a1与a4的等比中项，可得a22=a1a4，即（a1+d）2=a1（a1+3d），即为a1=d，（d＞0），可得a n=nd，=2n d，对任意n∈N*，都有，即为（++…+）=•=（1-）＜3恒成立，由（1-）＜，可得3≥，又d＞0，即有d≥．则d的取值范围为[，+∞）．故答案为：[，+∞）．由等比数列中项性质和等差数列的通项公式，可得首项和公差的关系，可得=2n d，由等比数列的求和公式和不等式的性质，解d的不等式可得所求范围．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质、求和公式的运用，考查数列不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查运算能力，属于中档题．16.【答案】(7225，9625)【解析】解：将直线l1的方程变形得x+a（y-3）=0，由，得，所以，直线l1过定点M（0，3），同理可知，直线l2过定点N（4，0），且l1⊥l2，设点P的坐标为（x，y），则MP⊥NP，，，，化简得，易求得点P的轨迹交x轴于点A（4，0），交y轴于点B（0，3），易知，AB为点P的轨迹圆的一条直径，由于|PB|-|PA|=|OA|-|OB|=4-3=1，由于AB是点P轨迹圆的一条直径，则∠APB=90°，由勾股定理可得|PB|2+|PA|2=|AB|2=25，联立得，解得，由于点P在第一象限，则x＞0，y＞0，由两点间的距离公式得|PA|2=（x-4）2+y2=16，联立得，解得．因此，点P的坐标为．故答案为：．分别求出直线l1与直线ll2所过的定点M、N，并由两直线的方程得出两直线垂直，由PM⊥PN，求出点P的轨迹方程，可求出点A、B的坐标，由AB为点P轨迹圆的一条直径得出∠APB为直角，于是得出勾股定理|PA|2+|PB|2=|AB|2=25，结合题干中的条件得出|PA|和|PB|的值，再利用两点间的距离公式以及点P的轨迹方程可求出点P的坐标．本题考查轨迹方程，解决本题的关键在于找出直线所过的定点以及垂直条件，考查计算能力，属于难题．17.【答案】解：双曲线Γ的两个焦点与椭圆x264+y228=1的两个焦点相同，可得c=6，Γ的一条渐近线为x−√3y =0，设双曲线方程：x23−y2=λ，可得：3λ+λ=36，解得λ=9．所以双曲线方程为：x227−y 29=1．【解析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，然后求解双曲线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．18.【答案】解：（1）由单位向量的概念得：a0⃗⃗⃗⃗ =a⃗|a⃗ |=（√32，12）或a0⃗⃗⃗⃗ =-a⃗|a⃗ |=（-√32，−12）故答案为：（√32，12）或（-√32，−12）（2）由已知有：a⃗+λb⃗ =（√3，1+λ），a⃗-λb⃗ =（√3，1-λ），由a⃗+λb⃗ 与a⃗−λb⃗ 的夹角为锐角，则{(a⃗+λb⃗ )⋅(a⃗−λb⃗ )＞0a⃗+λb⃗ 与a⃗−λb⃗ 不共线，即{λ≠0λ2<4，即实数λ的取值范围为：（-2，0）∪（0，2），故答案为：（-2，0）∪（0，2）【解析】（1）由单位向量的概念得：=，运算可得解；（2）由，的夹角为锐角，则两向量数量积大于0且不共线，则由与的夹角为锐角，则，计算可得解．本题考查了两个向量的夹角公式及数量积运算，属易错题．19.【答案】解：（1）设所需时间为t小时，则OP=80t，AP=40t，OA=60，在△OAP中，∠OAP=180°-60°=120°，由余弦定理可得OP2=OA2+AP2-2OA•AP•cos∠OAP，即(80t)2=602+(40t)2−2×60×40t×(−12)，化简得4t2-2t-3=0，由于t＞0，解得t=√13+14≈1.15小时；（2）设点A的坐标为（x0，y0），则x0=60cos30°=30√3，y0=60sin30°=30，所以，点A的坐标为(30√3，30)．由题意知，OP=2AP，设点P的坐标为（x，y），由两点间的距离公式可得√x2+y2=2√(x−30√3)2+(y−30)2，化简得(x−40√3)2+(y−40)2=1600，因此，点P的轨迹方程为(x−40√3)2+(y−40)2=1600．【解析】（1）设所需时间为t小时，于是得出OP=80t，AP=40t，OA=60，并得出∠OAP=120°，在△AOP中，由余弦定理OP 2=OA 2+AP 2-2OA•AP•cos ∠OAP ，可求出t 的值；（2）先求出点A 的坐标，并设点P 的坐标为（x ，y ），结合已知条件得出OP=2AP ，利用两点间的距离公式并化简可得出点P 的轨迹方程．本题考查解三角形与轨迹方程，解决本题的关键在于找出合适的三角形，根据题中条件选择合适的定理求解，另外在求轨迹方程时，将一些几何元素代数化，考查计算能力，属于中等题． 20.【答案】解：（1）令n =1得，s 1=12-8=4=a 1b 1=2b 1∴b 1=2令n =2得，s 2=24-12=12a 1b 2+a 2b 1=2b 2+4×2 ∴b 2=2（2）s n =3n+1−3n −3=3n b 1+3n−1b 2+⋯…+3b n 等式两边同除以3n +1得3n −n−13n=b 13+b 232+……+bn 3n令c n =bn 3n 则c 2+c 2+……+c n =3n −n−13n①c 1+c 2+……+c n -1=3n−1−n 3n−1②①-②的c n =2n−13n，又因为c n =bn 3n∴b n =2n -1；（3）因为λa j ，10a i ，μa k 成等差数列 所以20a i =λa j +μa k∵a n =4n ＞0，∴λ，μ为正整数 ∴λa j ，μa k 为正整数∴20a i ≥λa j +μa k ≥2√λμa j a k 即20×4i ≥2√λμ4(λ+μ) ∴10×22i ≥√λμ2(j+k) ∴√λμ≤10×22i−(j+k)∵i ，j ，k 为正整数且i ＜j ＜k ， ∴2i -（j +k ）≤-3 ∴√λμ≤10×2-3=54， ∴λ=μ=1． 【解析】（1）将n 分别带成1，2可得；（2）将a n =3n 代入，等式两边同除以3n+1，构造数列{}，运用前n 项和与通向的关系可得．（3）利用等差中项的性质及基本不等式，由λμ的范围可得．本题主要考查了数列的通项公式，前n 项和公式，等差中项等知识，计算b n 时用到了构造数列，属于难题21.【答案】（1）证明：设D （x 0，0）（x 0＜0），由F 2（c ，0），B （0，b ），得F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-c ，b ），BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（x 0，-b ），∵F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴−cx 0−b 2=0，得x 0=−b 2c ，故DF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（b 2c−c ，0），又F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2c ，0），故由DF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得b 2c−c =2c ，∴b 2=3c 2=3（a 2-b 2），则4b 2=3a 2， ∴b =√32a ；（2）解：由（1）知，b =√3c ，故a =2c ，此时，点D 的坐标为（-3c ，0）， 又△BDF 2是直角三角形，故其外接圆圆心为F 1（-c ，0），半径为2c ， ∴圆心F 1（-c ，0）到直线x +y =0的距离d =√2=√2．∴|EF |=2√4c 2−c 22=2√7，解得c =√2，b =√6，a =2√2，所求椭圆Γ的方程为x 28+y 26=1；（3）如a =2，则b =√3，椭圆方程为x 24+y 23=1．得F 2（1，0），∵直线l 过F 2且不与坐标轴垂直， 故可设直线l 的方程为：y =k （x -1），k ≠0． 由{y =k(x −1)x 24+y 23=1，得（3+4k 2）x 2-8k 2x +4k 2-12=0，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 则有x 1+x 2=8k 23+4k 2，x 1x 2=4k 2−123+4k 2，由题意，M （x 1，-y 1），故直线QM 的方向向量为a ⃗ =(x 2−x 1，y 2+y 1)， ∴直线QM 的方程为x−x 1x 2−x 1=y+y 1y2+y 1，令y =0，得x =y 1(x 2−x 1)y 2+y 1+x 1=x 1y 2+x 2y 1y 1+y 2=k(x 1−1)x 2+k(x 2−1)x 1k(x 2−1)+k(x 1−1) =2kx 1x 2−k(x 1+x 2)k(x 1+x 2)−2k=2x 1x 2−(x 1+x 2)(x 1+x 2−2)=2⋅4k 2−123+4k 2−8k 23+4k 28k 23+4k 2−2=4．即直线QM 与x 轴交于定点（4，0）．∴存在点N （4，0），使得M 、Q 、N 三点共线． 【解析】（1）设D （x 0，0）（x 0＜0），利用，得b 2=3c 2，结合隐含条件证得结论；（2）求出点D的坐标，利用△BDF2是直角三角形，得到其外接圆圆心为F1（-c，0），半径为2c，然后利用垂径定理求解c，得到a，b，则椭圆方程可求；（3）直线l过F2且不与坐标轴垂直，设直线l的方程为：y=k（x-1），k≠0．与椭圆联立，设P（x1，y1），Q（x2，y2），结合韦达定理，求解直线QM的方向向量，求解直线QM的方程，求解直线QM 与x轴交于定点（4，0）得结论．本题考查直线与椭圆的综合应用，椭圆的方程的求法，三点共线，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．。
2018-2019学年上海市闵行区高二（下）期末数学试卷
2018-2019学年上海市闵行区高二（下）期末数学试卷2018-2019学年上海市闵行区高二（下）期末数学试卷一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分） 1. （ 4分）复数—（ i 是虚数单位）的虚部是1+12. ______________________________________ （ 4分）抛物线y = 2x 2的准线方程为 .3. （ 4分）在复平面上，复数z1= 1+2i 、z2= 3 - 4i 分别对应点A 、B, O 为坐标原点，贝U 也"M4.（4分）若一个圆锥的底面面积为_________ 9n,母线长为5，则它的侧面积为厂Oy — dL — 1 in 6 一k5. （ 4分）参数方程丿（B （R ）所表示的曲线与 x 轴的交点坐标是 ________L y=cas 06. （ 4分）在平面几何中，以下命题都是真命题：① 过一点有且仅有一条直线与已知直线平行；② 过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；③ 平行于同一条直线的两直线平行；④ 垂直于同一条直线的两直线平行；⑤ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形;则在立体几何中，上述命题仍为真命题的是__________ （写出所有符合要求的序号） 7. （ 5分）已知关于 x 的实系数方程 x 2+ax+b = 0有一个模为1的虚根，则a 的取值范围& （5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为正（主）视團侧（左）视廊9. （5分）已知地球的半径约为6371千米，上海的位置约为东经侗视图121 °、北纬31 °,开罗的位置约为东经31 °、北纬31 °,两个城市之间的距离为____________ （结果精确到1千米）.10. （5分）在空间中，已知一个正方体是12条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于贝U sin a=11. （5 分）若复数 z 满足 |z - 2|=|Rez+2|，则 |z - 3 - 2i|+|z - 2| 的最小值 12. （ 5 分）在长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，AB =.二，BC = AA 1= 1,点m 与n 异面 m 与n 相交 m 与n 平行 m 与n 异面、相交、平行均有可能OM 的斜率为k ,则|k|的最小值为（C . 2三、解答题（本大题共 5题，共76分） 17 . （14分）如图，正四棱柱 ABCD - A 1B 1C 1D 1的底面边长 AB = 2，若BD 1与底面ABCD所成的角的正切值为（1）求正四棱柱 ABCD - A 1B 1C 1D 1的体积;a,M 为线段AB 1的中点，点P 为对角线AC i 上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点，则MP+PQ 的最小值二、选择题（本大题共 4题，每题5分, 20分）13. （5分）已知空间三条直线 I 、m 、n .I 与m 异面，且I 与n 异面,则（14. （5 分）若一个直三棱柱的所有棱长都为 1，且其顶点都在一个球面上, 则该球的表面积为（C .11兀15.（ 5 分）定义：复数 z 与i 的乘积zi 为复数z 的旋转复数”设复数 z = x+yi （x ，y€R ）对应的点（x, y ）在曲线 x 2- 2xy - y = 0上，则z 的"旋转复数”对应的点的轨迹方程为（）2 A . y +2xy - x = 0 2 B . y - 2xy+x = 0 2 2C . y +2xy+x = 0D . y - 2xy - x = 016. （ 5分）已知直线I 与抛物线x 2 = 4y 交于 A 、B 两点，若四边形 OAMB 为矩形，记直线（2）求异面直线A1A与B1C所成的角的大小.218. （14分）设z+1为关于x的方程x+px+q= 0 （p, q駅）的虚根，i是虚数单位.（1 ）当z=- 1 + i时，求p、q的值；（2）若q = 1,在复平面上，设复数z所对应的点为M，复数2 -4i所对应的点为N,试求|MN|的取值范围.19. （14分）如图，圆锥的展开侧面图是一个半圆，BC、EF是底面圆0的两条互相垂直的直径，D为母线AC的中点，已知过EF与D 的平面与圆锥侧面的交线是以D为顶点、DO为对称轴的抛物线的一部分.（1 ）证明：圆锥的母线与底面所成的角为——；20. （16分）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵：将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称之为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖臑[bi e ndo].某学校科学小组为了节约材料，拟依托校园内垂直的两面墙和地面搭建一个堑堵形的封闭的实验室ABC - A1B1C1 （图1）, A1ABB1是边长为2的正方形.(1 )若厶ABC是等腰三角形，在图2的网格中(每个小方格都是边长为1的正方形)画出堑堵的三视图；(2)若C1D丄A1B1, D在A1B1上，证明：C1D丄DB，并回答四面体DBB1C1是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论) ；若不是，请说明理由；(3)当阳马A1 - C1CBB1的体积最大时，求点B1到平面A1BC的距离.21. (18分)设点P (X0, y0)是抛物线r：y2= 4x上异于原点O的一点，过点P作斜率为k1、k2的两条直线分别交r于 A (x1, y1)、B (x2, y2)两点(P、A、B三点互不相同)(1)已知点Q (3, 0),求|PQ|的最小值；(2 )若y o= 6，直线AB的斜率是k3,求的值；k l W(3)若y0= 2，当■； = 0时，B点的纵坐标的取值范围.2018-2019学年上海市闵行区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分）【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.z的虚部为-1故答案为：-1.【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程即可.【解答】解：抛物线的方程可变为x2=其准线方程为故答案为【点评】本题考查抛物线的简单性质，解题关键是记准抛物线的标准方程，别误认为 =1，因看错方程形式马虎导致错误.（4分）在复平面上，复数z1= 1+2i、Z2= 3 - 4i分别对应点A、B, O为坐标原点，贝U M【分析】由条件得二应二」J,卞7；,然后计算两向量的数量积即可.【解答】解：由复数Z1= 1+2i、z2= 3- 4i分别对应点A、B, O 为坐标原点，得0A=（l, 2），5B=（3, -4），故答案为：-5.【点评】本题考查了复数与向量的关系和向量的数量积，属基础题. 第5页（共20页）2」2C1-L)1+1-2 4【解答】解：T1. （4分）复数,（i是虚数单位）的虚部是-11+12. （4分）抛物线y= 2x2的准线方程为二_匸3.4. （ 4分）若一个圆锥的底面面积为 9n,母线长为5，则它的侧面积为 15 n【分析】由已知中圆锥的底面面积及母线长，求出圆锥的底面半径，代入侧面积公式，可得答案.【解答】解：一个圆锥的底面面积为 9 n,母线长为5，可得圆锥的底面半径为： 3,周长为6 n,它的侧面积为：兀?5 = 15 n. 故答案为：15 n【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆锥的底面半径和高，是解答的关键.【分析】取y = 0求得0,代入x = 4- sin 2 B 求得x 值，则答案可求. (0R )，取 y = 0，得 cos 0= 0,贝U 0=故答案为：（3, 0）.【点评】本题考查参数方程化普通方程，考查由已知三角函数值求角，是基础题.6. （ 4分）在平面几何中，以下命题都是真命题：① 过一点有且仅有一条直线与已知直线平行；② 过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；③ 平行于同一条直线的两直线平行；④ 垂直于同一条直线的两直线平行；⑤ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；则在立体几何中，上述命题仍为真命题的是①③（写出所有符合要求的序号）【分析】利用平面直线与直线的位置关系以及点与直线的位置关系，判断空间点与直线,直线与直线的位置关系的真假即可.【解答】解：①过一点有且仅有一条直线与已知直线平行；在空间内也成立；（4分）参数方程x-4-si n 6（0段）所表示的曲线与 x 轴的交点坐标是（3, 0）【解答】解：对于* 2x = 4- sin 0= 4 -sin 2 = 3参数方程x=4-si n 2 0严匚g 日（0 R ）所表示的曲线与 x 轴的交点坐标是（3, 0）.②过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；在空间内，与经过这一点直线垂直的直线有无数条，所以不正确；③平行于同一条直线的两直线平行；这是平行公理，正确；④垂直于同一条直线的两直线平行；在空间中，不成立，因为转化两条直线可以是异面直线；所以不正确；⑤两组对边分别相等的四边形是平行四边形；可以是空间四边形，所以不正确. 故答案为：①③.【点评】本题考查平面内直线与直线的位置关系以及空间中直线与直线的位置关系的应用，是基本知识的考查.27. （5分）已知关于x的实系数方程x +ax+b = 0有一个模为1的虚根，则a的取值范围是（-2,2）.【分析】设出复数乙利用已知条件，结合韦达定理，及|z|= 1，求得b，在根据△< 0求出a的范围.【解答】解：设z= m+ni,则方程的另一个根为L = m - ni,方程有一个模为1的虚根， m2+n2= 1,由韦达定理有，丘工劭=异+门2=1,又厶=a2- 4b = a2- 4v 0, ?- 2v a v 2,a的取值范围为（-2, 2）.【点评】本题考查了实系数方程虚根成对定理和复数的运算性质，考查了方程思想和转化思想，属基础题.& （5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_ . ' _ _.正视團侧（左）视團【分析】几何体是一个简单组合体，上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个正方形,第7页（共20页）对角线长是2,侧棱长是2,高是血匚下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是 2,高是2, 组合体的体积包括两部分，写出公式得到结果.【解答】解：由三视图知几何体是一个简单组合体，上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个正方形，对角线长是 2,侧棱长是2,高是：.?=.； F 面是一个圆柱，圆柱的底面直径是 2, 高是2,组合体的体积是【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原直观图，考查圆柱的体积和四棱锥的体积，本题是一个基础题，题目只有四棱锥的高需要求出，运算量比较小. 9. （ 5分）已知地球的半径约为 6371千米，上海的位置约为东经121 °、北纬31 °,开罗的位置约为东经31 °、北纬31 °,两个城市之间的距离为6571 （结果精确到1千米）.【分析】根据题意画出图形，结合图形求出球面上两点间的距离即可. 【解答】解：如图所示，设地球的半径为只，则厶AO ' B 中，/ AO ' B = 121 °- 31 °= 90°,AB = .「AO '=二 R ,/ AOB = 1.0314,「= |o|R = 1.0314X 6371~ 6571 （千米）, 即上海和开罗两个城市之间的距离为6571千米.+ nX 12 X 2 =故答案为:2<3△ AOB 中，cos / AOB OA 2^OB 2-AB22OA-OBA0'= B0'= Rcos30°【点评】本题考查了球面上两点之间的距离计算问题，是基础题.10. （5分）在空间中，已知一个正方体是12条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于贝U sin a= 丄__—3 —【分析】棱A 1A , A 1B 1, A 1D 1与平面AB 1D 1所成的角相等，平面 AB 1D 1就是与正方体的 12条棱的夹角均为 0的平面.则/ A 1AO = 0,即可得出.【解答】解：I 棱A 1A , A 1B 1, A 1D 1与平面AB 1D 1所成的角相等, ?平面AB 1D 1就是与正方体的12条棱的夹角均为 0的平面.则/ A 1AO = 0,【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.11. （5 分）若复数 z 满足 |z - 2|=|Rez+2|，则 |z - 3 - 2i|+|z - 2| 的最小值5a,故答案为：比.【分析】设z= x+yi, x, y€R.由满足|z- 2|= |Rez+2|,可得&直-2)'十丫"= |x+2|，化为: y2= 8x.可得F (2, 0) , Q ( 3, 2),抛物线的准线I: x=- 2 .过点P作PH丄I，垂足为H .可得z-3 - 2i|+|z- 2|= |PF|+|PQ|> |QH|.【解答】解：设z= x+yi, x, y€R.满足z-2|=瓏乙+2|,.?.，」| 「==|x+2|,化为：y2= 8x.可得F (2, 0) , Q (3 , 2),抛物线的准线I: x=- 2.过点P作PH丄l,垂足为H.则|z- 3-2i|+|z- 2|= |PF|+|PQ|> |QH|= 5,当且仅当三点Q , P , H 三点共线时取等号.故答案为：5.H0k F x【点评】本题考查了复数的几何意义、抛物线的定义标准方程及其性质、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.12. （5 分）在长方体ABCD - A1B1C1D1 中，AB = '! , BC=AA1= 1 ,点M 为线段AB1 的中点，点P为对角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点，贝U MP + PQ的最小值为3_ 7—.【分析】画出图形，利用折叠与展开法则同一个平面，转化折线段为直线段距离最小，转化求解MP + PQ的最小值.【解答】解：由题意，要求MP + PQ的最小值，就是P到底面ABCD的距离的最小值与MP的最小值之和，Q是P在底面上的射影距离最小，展开三角形ACC1与三角形AB1C1, 在同一个平面上，如图，MP + PQ的最小，最小值易知/ B1AC1=/ C1AC= 30 ° ,，可知MQ丄AC时,为=亍故答案为二.4【点评】本题考查最小值的求解，考查空间想象能力以及学生的计算能力，难度比较大.、选择题（本大题共4题，每题5分，共20 分）13. （5分）已知空间三条直线I、m、n.若I与m异面，且I与n 异面，则（）A . m与n异面B . m与n相交C. m与n平行D . m与n异面、相交、平行均有可能【分析】可根据题目中的信息作图判断即【解答】解：空间三条直线I、m、n.若I与m异面，且I与n 异面，/ m与n可能异面（如图3）,也可能平行（图1），也可能相交（图2）,故选：D.为（） A . n【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积.【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为1的正三棱柱,CiOEA 1 中, OE =二，°A ：■「汀:I L 1 ?球的表面积为S = "?—-丄", 故选：B.14. （ 5分）若一个直三棱柱的所有棱长都为 1，且其顶点都在一个球面上，则该球的表面积C .11兀设上下底面中心连线 EF 的中点0,则0就是球心，其外接球的半径为 OA 1,设D 为A 1C 1中点，在直角三角形 EDA 1中，EA 1A]D sin60°在直角三角形由勾股定理得想，属于基础题.【点评】本题考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力，是中档题.15. （5分）定义：复数z 与i 的乘积zi 为复数z 的旋转复数”设复数 z = x+yi （x , y€R ）对应的点（x, y ）在曲线x 2- 2xy - y = 0上，则z 的"旋转复数”对应的点的轨迹方程为（）2 2 2 2A . y +2xy - x = 0B . y - 2xy+x = 0C . y +2xy+x = 0D . y - 2xy - x = 0【分析】根据题意求出旋转复数 zi =- y+xi （x , y€R ）对应的点（-y , x ）,再根据复数 z = x+yi （x , y €R ）对应的点（x , y ）在曲线x 2- 2xy - y = 0上求出结论即可.【解答】解：复数z = x+yi （x , y€R ）对应的点（x , y ）在曲线x 2 - 2xy - y = 0 上, ?复数z 的旋转复数zi =- y+xi （x , y€R ）对应的点（-y , x ）, 令 x ，= - y , y '= x ,则，x = y ', y =- x ，即，y ' 2- 2y ，（- x ）-（ - x '）= 0 故，y 2+2xy+x = 0 故选：C .【点评】本题考查复数运算以及点的轨迹方程，难度较易.16. （5分）已知直线I 与抛物线x 2 = 4y 交于A 、B 两点，若四边形 OAMB 为矩形，记直线 OM 的斜率为k ,则|k|的最小值为（）A . 4B . 2 二C . 2D .一】【分析】先设出AB 的方程为y = mx+ n ,与抛物线联立方程组，根据矩形 OABM 的特征求出n 的值，然后建立|k|表达式，求出其最小值.【解答】解：设AB 的方程为y = mx+n ，则?刁得x - 4mx - 4n = 0,设 A (X 1, y 1) , B (x 2, y 2),贝x 1+x 2= 4m , x 1x 2= — 4n , y 1 +y 2 = m (x 1+x 2) +2n ,Hi严y 1y 2=( mx 1+n ) (mx 2+ n )= 伽(疋］+x ?〕+阻 =因为四边形OAMB 为矩形，所以| '■ 11,解之得n = 4或n=0 （舍去），因为OM 过AB 的中点P，则|k|“OP|訂寿|訂塔坦2 2 2 2 -4m n+4m n+n =n .当且仅当m2= 2，即皿=±血时，取得等号；第13页（共20页）故选：B.【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题目.三、解答题（本大题共5题，共76分）17. （14分）如图，正四棱柱ABCD - A1B1C1D1的底面边长AB= 2，若BD1与底面ABCD所成的角的正切值为一】.（1，求正四棱柱ABCD - A1B1C1D1的体积；（2，求异面直线A1A与B1C所成的角的大小.【分析】（1 ）利用直线与平面所成角，求解侧棱的长度，然后求解体积.（2）说明/ CB1B是异面直线A1A与B1C所成的角，由此能求出异面直线A1A与B1C所成的角的大小.【解答】解：（1）：正四棱柱ABCD - A1B1C1D1的底面边长为2,AA1丄平面ABCD , BD1与底面ABCD所成的角的正切值为持打.BD = 2 :？,所以AA1 = 4,正四棱柱ABCD - A1B1C1D1 的体积：2 X 2 X 4= 16.(2)T A1A // B1B ,/ CB1B是异面直线A1A与B1C所成的角,由(1 )知AA1 = 4, ? BC = 2,4tan/ CB1B = -- - 7;异面直线A1A与B1C所成的角的大小为arctan2.【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.218. （14分）设z+1为关于x 的方程x+px+q = 0 （ p , q 駅）的虚根，i 是虚数单位.（1 ）当z =- 1 + i 时，求p 、q 的值；（2）若q = 1,在复平面上，设复数 z 所对应的点为 M ，复数2 -4i 所对应的点为N ,试求|MN|的取值范围.【分析】（1）由条件知方程只+px+q = 0的两根分别为i ,- i ，然后利用根与系数的关系可得p , q 的值；（2 ）根据条件，令 a+1 = cos B , b = sin 0 , 0（［0 , 2n ）,然后由 |MN | =血二灵匚乔忑;6石畀可得|MN |的范围.【解答】解：(1)v z =- 1+i , z+1 = i ,则方程x '+px+q = 0的两根分别为i ，- i .(2)设z = a+bi (a , b€R ),贝U z+l = 3+l+bi = a+1 - bi . 由题意可得：(z+1) . =( a+1) 2+b 2= 1.令 a+1 = cos 0, b = sin 0,, 2 n).复数z 所对应的点为 M ，复数2 - 4i 所对应的点为N , ? |MN=G泸十(“门8 十4)* = V10si 口十G) +2E €[4, 6].【点评】本题考查实系数一元二次方程的根与系数的关系、共轭复数的性质、三角函数求值、复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属中档题. 19. （14分）如图，圆锥的展开侧面图是一个半圆，BC 、EF 是底面圆0的两条互相垂直的由根于系数的关系有直径，D 为母线AC 的中点，已知过 EF 与D 的平面与圆锥侧面的交线是以 D 为顶点、DO 为对称轴的抛物线的一部分.(1 )证明：圆锥的母线与底面所成的角为可(2)若圆锥的侧面积为 8n,求抛物线焦点到准线的距离.解：(2)°.?圆锥的侧面积为 8 n, ? url = 8 n, ? r = 2, BC 、EF 是底面圆O 的两条互相垂直的直径， D 为母线AC 的中点, OD =l = 2r .即可求得圆锥的母线与底面(2(由nr l = 8 n?r = 2在过EF 与D 的平面内，以 D 为原点，直线DO 为x 轴，建立空间直角坐标系，可设抛物线方程为 y 2= 2px ,点F(1, 2)在物线y 2= 2px 上，求得p即可.【解答】证明：(1)设圆锥底面半径为r ，母线为l . 圆锥的展开侧面图是一个半圆,一■一 _，? l = 2r.圆锥的母线与底面所成的角为a.圆锥的母线与底面所成的角为l .可得所成的角为&在过EF与D的平面内，以D为原点，直线DO为x轴，建立空间直角坐标系，可设抛物线方程为y2= 2px,点 F (1, 2)在物线y2= 2px上，? p= 2抛物线焦点到准线的距离为p = 2.【点评】本题考查了圆锥的性质，抛物线的方程及性质，属于中档题.20. (16分)我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵：将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称之为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖臑[bi e ndo].某学校科学小组为了节约材料，拟依托校园内垂直的两面墙和地面搭建一个堑堵形的封闭的实验室ABC - A1B1C1 (图1), A1ABB1是边长为2的正方形.(1 )若厶ABC是等腰三角形，在图2的网格中(每个小方格都是边长为1的正方形)画出堑堵的三视图；(2)若C1D丄A1B1, D在A1B1上，证明：C1D丄DB，并回答四面体DBB1C1是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论) ；若不是，请说明理由；(3)当阳马A1 - C1CBB1的体积最大时，求点B1到平面A1BC的距离.【分析】(1 )△ ABC是等腰三角形，由AB= 2，得AC= BC = . 1,由AA1= 2,点C到直线AB 的距离为1，由此在图2的网格中画出堑堵的三视图.(2)由平面A1B1C1丄平面ABB1A1，且平面A1B1C1 n平面ABB1A1 = A1B1，得C1D丄平面ABB1A1，从而C1D丄DB，四面体DBB1C1是鳖臑，由此能求出结果.(3)当阳马A1 - C1CBB1的体积最大时，AC丄BC,且AC = BC= ?，以C为原点，CA 为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点B1到平面A1BC的距离.【解答】解：(1)解：△ ABC是等腰三角形，由AB = 2,得AC = BC =.f,。
上海中学2018-2019学年第一学期期末高二年级期末考数学试卷2019.01
上海中学2018-2019学年第一学期期末高二年级期末考数学试卷2019.01时间：120分；满分：100分一、填空题（本大题共12题，共36分） 1、抛物线x y =2的准线方程是__________.2、若复数z 满足i x 232-=，其中i 为虚数单位，则=z ________.3、点()0,1p 到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为________.4、双曲线141222=-y x 的两条渐近线的夹角为________. 5、在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆13222=+my m x 的焦距为6，则=m _______. 6、已知复数θθcos sin 3i z +=（i 是虚数单位）且，5=z 则当θ为钝角时，=θtan ________. 7、若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，则实数k 的取值范围是___. 8、设直线,3:,3:21x y l x y l -==点A 和点B 分别在直线1l 和2l 上运动，且2-=⋅OB OA ，其中O 为原点，则AB 的中点M 的轨迹方程为____________.9、已知椭圆()10122<<=+m y mx 上存在不同的两点B A ,关于直线1:+=x y l 对称，则m 的取值范围是________.10、双曲线2:22=-y x C 的右焦点为P F ，为其左支上任意一点，点A 的坐标为)1,1(-，则△APF 周长的最小值为________.11、椭圆134:221=+y x C ，抛物线x y C 4:22=，过抛物线2C 上一点P （异于原点O ）作不平行与x 轴的直线l ，使得直线l 与抛物线只有一个交点，且与椭圆1C 交于B A ,两点，则直线l 在x 轴上的截距的取值范围是_________.12、已知点n n B A ,在双曲线1=xy 上，且点n A 的横坐标为1+n n，点n B 的横坐标为()*1N n nn ∈+，记M 点的坐标为()1,1，()n n n y x P ,是△M B A n n 的外心，则=∞→n n x lim ________.二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分） 1、已知复数z 在复平面上对应的点为()1,2-z ，则（ ）A . i z 21+-=B . 5=z C. i z --=2 D . 2-z 是纯虚数2、下列以t 为参数方程所表示的曲线中，与1=xy 所表示的曲线完全一致的是（ ）A . ⎪⎩⎪⎨⎧==-2121t y t x B . ⎪⎩⎪⎨⎧==t y tx 1 C . ⎩⎨⎧==t y t x sec cos D . ⎩⎨⎧==ty tx cot tan 3、设双曲线()0,012222>>=-b a b y a x ，右焦点()20,=acc F ，，方程02=--c bx ax 的两个实数根分别为21,x x ，则点()21,x x P 与圆422=+y x 的位置关系是（ ）A . 点P 在圆外B . 点P 在圆上C . 点P 在圆内D . 不确定4、已知抛物线x y C 42=：的焦点为F ，对称轴与准线的交点为，T P 为抛物线C 上任意一点，当PTPF 取最小值时，∠=PTF （ ）A .3π B . 4π C . 5π D . 6π三、解答题（本大题共6题，共48分）1、（本题满分6分）若i z z z f 52)(-+=，i z f 36)(-=，试求z .2、（本题满分6分）已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 4cos 6y x （θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='y y x x 4131得到曲线C '. （1）求曲线C '的普通方程；（2）若点A 在曲线C '上，点)3,1(D ，当点A 在曲线C '上运动时，若PD AP 2=，求P 点的轨迹方程.3、（本题满分7分）我边防局接到情报，在两个海标A 、B 所在直线的一侧M 处有走私团伙在进行交易活动，边防局迅速排出快艇前去搜捕. 如图，已知快艇出发位置在码头P 处，线段AB 布满暗礁，已知8=PA 公里，10=PB 公里， 60=∠APB ，且BM AM >.请建立适当的直角坐标系，求使快艇沿航线M A P →→或M B P →→的路程相等的点M 的轨迹方程，且画出轨迹的大致图形.4、（本题满分7分）已知关于x 的二次方程0)1()1(222=+++++i a x i a x i a 有实根，求实数a 的值及相应的实根.5、（本题满分10分）已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）经过点)21,26(P ，22=a c ，动点M 在直线2=x 上，O 为坐标原点. （1）求椭圆的标准方程；（2）设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，证明线段ON 的长为定值，并求出这个值.6、（本题满分12分）如图，点)0,3(-H ，动点P 在y 轴上，动点Q 在x 轴的非负半轴上，动点M满足0=⋅PM HP ，23-=，设动点M 的轨迹为曲线C ，过定点)0,(m D （0>m ）的直线l与曲线C 交于A 、B 两点.（1）求曲线C 的方程；（2）若点E 的坐标为)0,(m -，求证：BED AED ∠=∠；（3）是否存在实数a ，使得以AD 为直径的圆截直线a x l =':所得的弦长为定值？若存在， 求出实数a 的值；若不存在，说明理由.。
2018-2019学年上海市闵行区高二(上)期末数学试卷
2018-2019 学年上海市闵行区高二（上）期末数学试卷副标题一、选择题（本大题共 4 小题，共20.0 分）1.用数学归纳法证明 1+ + +⋯+ < n（n∈N*，n>1）时，第一步应验证不等式（）A. B.C. D.2.在三角形 ABC中，，点 P在直线 AB上，且，则可用表示为（）A. B. C. D.A. B. C. D.3.如果实数 x、y 满足 3x2+4y2=12，那么 3x+2y 的最大值是（）A. B. C. D. 484.已知曲线，则下列正确的是（）A.曲线Γ关于 y 轴对称B.曲线Γ与 x 轴相交C.x 取值范围是（ -∞，0）∪（0，+∞）D.y 无限趋近于零时， x也无限趋近零二、填空题（本大题共12小题，共54.0 分）5.计算： = ___________ ．6.已知向量，且，则实数 m= _________________________ ．7.若线性方程组的增广矩阵为，则 = __________________ ．8.在等差数列 {a n} 中，若 a1+a8=9，a4=3，则 a5= ．9.若关于 x、 y的二元一次方程组有无穷多解，则λ = __ ．_10.若 x，y 满足约束条件，则 z=2x+y 的最大值为_ ．11.点 M（ -1，0）到双曲线的渐近线的距离为 ___ ．12.正方形 ABCD 的边长为，则 = ____________________________ ．13.已知椭圆，M 与两直线 y=kx， y=- kx（ k≠0）有不同的交点，这四个点与 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则 m= ．2214.已知⊙A：x2+y2+2x-15=0，过点 B（1，0）的动直线 l（与 x轴不重合）交⊙A 于 C、 D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 P，则点 P 的轨迹方程为_____________________________________________________ ．15.已知等差数列 { a n} 的公差 d>0，且 a2是 a1 与 a4的等比中项．记，若对任意 n∈N *，都有，则 d 的取值范围是__ ．16.若 a∈R，直线 l1：x+ay-3a=0与l2：ax-y-4a=0交于点 P，点 P的轨迹 C与x、y轴分别相交于 A、B两点，O为坐标原点（A、B异于原点 O），则满足|PB|-|PA|=|OA|-|OB| 的位于第一象限内的点 P 坐标为．三、解答题（本大题共 5 小题，共76.0 分）17.已知双曲线Γ的两个焦点与椭圆的两个焦点相同，且Γ的一条渐近线为，求Γ的标准方程．18.已知．（ 1）求的单位向量；（ 2）若与的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．19.某日，在我某海警基地码头 O 处，发现北偏东 60 °方向的海面上有一艘可疑船只位于 A 处，在测定可疑船的行驶方向后，基地指挥部命令海警巡逻艇从 O 处即刻出发，以可疑船速度的 2倍航速前去拦截，已知 O和 A相距 60 海里．（1）若可疑船只以 40海里 /小时的速度朝正北方向逃跑，则我海警巡逻船最少要用多少小时可以截获可疑船只（精确到 0.01 小时）？（2）若巡逻艇和可疑船在追逃过程中均未改变航向和航速，在点P 处恰好截获可疑船只，在如图所示的平面直角坐标系中，求点 P 的轨迹方程．20.对于数列 { a n}、{ b n} ，设．（1）若 a1=2，a2=4，且 S（n）=3?2n+1-4n-4，求 b1， b2；（2）若，求数列 {b n} 的通项公式；（3）若，存在正整数 i、j、k、λ、μ（ i<j<k），使λa j，10a i，μa k 成等差数列，求λ，μ的值．21.已知椭圆的左、右焦点分别为 F1、 F2，点 B（0， b），过点 B 且与 BF2垂直的直线交 x 轴负半轴于点 D，．（ 1）求证：；（2）若过 B、D、F2三点的圆与直线 l：x+y=0相交于 E、F 两点，且，求Γ的方程；（3）若 a=2，过 F2且不与坐标轴垂直的直线与Γ交于 P、旦两点，点 M是点 P关于 x轴的对称点，在 x轴上是否存在一个定点 N，使得 M、Q、N 三点共线？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】 B【解析】解：用数学归纳法证明（n∈N+，n>1）时，第一步应验+证不等式为：；故选：B．直接利用数学归纳法写出n=2 时左边的表达式即可．在数学归纳法中，第一步是论证n=1时结论是否成立，此时一定要分析不等式左边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误．2.【答案】 D【解析】解：∵ ，且；∴；故选：D．根据即可得出，从而求出，并且，从而可得出．考查向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算．3.【答案】 A【解析】解：根据题意，实数x，y 满足3x2+4y2=12，即，设x=2cosθ，y= sin θ，则3x+2y=6cosθ+2 sin θ=4 sin（θ+ ），又由-4 ≤4 sin（θ+ ）≤4 ，则3x+2y 的最大值4 ；故选：A．根据题意，设x=2cosθ，y= sin θ，则有3x+2y=4cosθ+2 sin θ，进而利用两角和与差的三角函数，由三角函数的性质分析可得答案．本题考查三角函数的化简求值，关键是用三角函数表示x、y．椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．4.【答案】 D【解析】解：当y=-y 时，+ =1，即为+ =1，故曲线Γ关于x 轴对称，因为y≠0，故曲线Γ与x 轴不相交，由=1- ，即x= ，则y≠±且1 y≠0，故x 取值范围是（-∞，-1）∪（-1，0）∪（0，1）∪（1，+∞）当y无限趋近于零时，x 也无限趋近零，故选：D．根据曲线的方程，分别判断即可．本题考查了曲线方程的性质，考查了运算能力和转化能力，属于中档题5.【答案】 -2【解析】=-2．解：故答案为：-2．直接利用数列极限的运算法则，求解即可．本题考查数列极限的运算法则的应用，是基本知识的考查．6.【答案】 -4【解析】解：∵ ；∴12+3m=0；∴m=-4．故答案为：-4．根据即可得出2?6-（-3）?m=0，解出m 即可．考查向量坐标的概念，以及平行向量的坐标关系．7.【答案】 -1【解析】解：由题意，可根据增广矩阵的定义，得到：，=1×2-（-3）×（-1）=-1．故答案为：-1．本题可根据增广矩阵的定义将增广矩阵中的数字还原到线性方程组中去解出x、y 的值，然后利用二阶行列式的求法即可得出结果．本题主要考查增广矩阵的定义将增广矩阵中的数字还原到线性方程组中去解出x、y 的值及二阶行列式的求法．本题属基础题．8.【答案】 6【解析】解：在等差数列｛a n｝中，a1+a8=9，a4=3，∴a1+a8=9=a4+a5，解得a5=6，故答案为：6．直接根据等差数列的性质a1+a8=a4+a5，即可求出．本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.【答案】 -10【解析】解：关于x、y 的二元一次方程组有无穷多解，则直线λx-12y=2与5x+6y=-1 重合，则= = ，解得λ=-10．故答案为：-10．由题意知直线λx-12y=2与5x+6y=-1重合，列方程求出λ的值．本题考查了两直线的位置关系应用问题，是基础题．10.【答案】解析】解：作出约束条件表示的可行域如图所示：由目标函数z=2x+y 得y=-2x+z ，由图象可知当直线y=-2x+z 经过点B 时，截距最大，即z最大．解方程组得x=1，y= ，即B（1，）．∴z 的最大值为2 ×1+ = ．故答案为：．作出可行域，由目标函数变型得y=-2x+z，根据可行域找出最优解即可．本题考查了简单的线性规划，作出可行域寻找最优解是解题关键，属于中档题．11.【答案】解析】解：双曲线的一条渐近线方程为：3x+y=0，点M （-1，0）到双曲线的渐近线的距离是：故答案为：求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题．12.【答案】 2【解析】解：? =（+ ）?（+ ）=（+ ）?（+ ）= + =2 ．故答案为：2 ．由= + = + ，= + = + 代入化简求解即可．本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．13.【答案】 3+2【解析】解：∵四个点与M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，∴y=kx ，y=-kx （k≠0）的夹角为60∴不妨令k>0，则k= ，再令在第一象限的交点为P，=m-3，解得m=3+2 或m=3-2 （舍去），故m=3+2 ，故答案为：3+2 ．由题意可得y=kx ，y=-kx （k≠0）的夹角为60°，不妨令k>0，则k= ，再令在第一象限的交点为P，求出点P的坐标可得=m-3，解得即可本题考查了椭圆的简单性质和直线和椭圆的位置关系，考查了运算求解能力和转化能力，属于中档题14.【答案】【解析】解：∵|AD|=|AC| ，PB∥AC ，故∠PBD=∠ACD=∠ADC ，∴|PB|=|PD|，故|PA|+|PB|=|PA|+|PD|=|AD|．又圆A 的标准方程为（x+1）2+y2=16，从而∴|PA|+|PB|=4，由题设得 A （-1，0），B （1，0），|AB|=2， 由椭圆的定义可得点 P 的轨迹方程 为 故答案 为： ．由题意画出图形，利用平面几何知 识可得|PA|+|PB|=4，再由椭圆定义得点 P的轨迹方程．本题考查曲线方程的求法，考 查直线与椭圆位置关系的 应用，考查计算能力， 属中档 题 ．15.【答案】 ［ ， +∞）【解析】解：等差数列｛a n ｝的公差 d >0，且a 2是a 1与 a 4的等比中项， 可得 a 22=a 1a 4，即（a 1+d ）2=a 1（a 1+3d ），即 为 a 1=d ，（d >0），可得 a n =nd ，=2n d ，* 对任意 n ∈N * ，都有，= （1- ）<3 恒成立，由 （1- ）< ，可得 3≥ ，又d > 0，即有 d ≥ ． 则 d 的取值范围为［ ，+∞）． 故答案 为：［ ，+∞）．由等比数列中 项 性质和等差数列的通 项 公式，可得首项和公差的关系，可得=2nd ，由等比数列的求和公式和不等式的性 质，解d 的不等式可得所求 范围．本题考查 等差数列的通 项公式和等比数列的中 项性质、求和公式的运用，考 查数列不等式恒成立 问题 解法，注意运用转化思想，考查运算能力，属于中 档题．即为【解析】解：将直线l1的方程变形得x+a（y-3）=0，由，得，所以，直线l1过定点M （0，3），同理可知，直线l2过定点N（4，0），且l1⊥l2，设点P的坐标为（x，y），则MP⊥NP，，，，化简得，易求得点P的轨迹交x轴于点A （4，0），交y轴于点B（0，3），易知，AB 为点P的轨迹圆的一条直径，由于|PB|-|PA|=|OA|-|OB|=4-3=1，由于AB 是点P 轨迹圆的一条直径，则∠APB=90°，由勾股定理可得|PB|2+|PA|2=|AB|2=25，联立得，解得，由于点P 在第一象限，则x> 0，y>0，由两点间的距离公式得|PA|2=（x-4 ）2+y2=16，联立得，解得因此，点P的坐标为．故答案为：．分别求出直线l1与直线ll2所过的定点M、N，并由两直线的方程得出两直线垂直，由PM⊥PN，求出点P的轨迹方程，可求出点A、B的坐标，由AB 为点P 轨迹圆的一条直径得出∠APB 为直角，于是得出勾股定理|PA|2+|PB|2=|AB| 2=25，结合题干中的条件得出|PA|和|PB|的值，再利用两点间的距离公式以及点P 的轨迹方程可求出点P 的坐标．本题考查轨迹方程，解决本题的关键在于找出直线所过的定点以及垂直条件，考查计算能力，属于难题．17.【答案】解：双曲线Γ的两个焦点与椭圆的两个焦点相同，可得 c=6，Γ的一条渐近线为，设双曲线方程：，可得： 3λ +λ =，36解得λ =9．所以双曲线方程为：．【解析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，然后求解双曲线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．18.【答案】解：（ 1）由单位向量的概念得：= =（，）或 =- =（ - ）故答案为：（，）或（ - ）（ 2）由已知有：= （）， - = （，1-λ），由与的夹角为锐角，则，即，即实数λ的取值范围为：（ -2，0）∪（0， 2），故答案为：（ -2， 0）∪（ 0，2）【解析】1）由单位向量的概念得：= 运算可得解；2）由，的夹角为锐角，则两向量数量积大于0且不共线，则由与的夹角为锐角，则，计算可得解．本题考查了两个向量的夹角公式及数量积运算，属易错题．19.【答案】解：（ 1）设所需时间为 t 小时，则 OP=80t，AP=40t，OA=60，在△OAP 中，∠OAP=180°-60 °=120°，2 2 2由余弦定理可得 OP2=OA2+AP2-2OA?AP?cos∠OAP，即，化简得 4t2-2t-3=0 ，由于 t> 0，解得小时；（ 2）设点 A 的坐标为（ x0， y0），则，y0=60sin30 =°30，所以，点 A 的坐标为．由题意知， OP=2AP，设点 P 的坐标为（ x，y），由两点间的距离公式可得，化简得，因此，点 P 的轨迹方程为．【解析】（1）设所需时间为t小时，于是得出OP=80t，AP=40t，OA=60，并得出∠OAP=120°，在△AOP 中，由余弦定理OP2=OA2+AP2-2OA?AP?cos∠OAP，可求出t 的值；（2）先求出点A的坐标，并设点P的坐标为（x ，y），结合已知条件得出OP=2AP，利用两点间的距离公式并化简可得出点P 的轨迹方程．本题考查解三角形与轨迹方程，解决本题的关键在于找出合适的三角形，根据题中条件选择合适的定理求解，另外在求轨迹方程时，将一些几何元素代数化，考查计算能力，属于中等题．20.【答案】解：（ 1）令 n=1 得， s1=12-8=4= a1b1=2b1∴b1=2令n=2得，s2=24-12=12a1b2+a2b1=2b2+4×2∴b2=2（ 2）= 等式两边同除以 3n+1得则c2+c2+ ⋯⋯ +c n= ①c1+c2+⋯⋯ +c n-1= ②① -②的 c n= ，又因为∴b n=2n-1；（ 3）因为λa j，10a i，μa k成等差数列所以 20a i=λa j+μa k∵，∴λ，μ为正整数∴λa j，μa k为正整数∴即 20× ∴10×∴∵i，j，k 为正整数且 i<j<k，∴2i-（j+k）≤-3 ∴ ≤ 10 ×-3=2 ，解析】（1）将n分别带成1，2 可得；（2）将a n=3n代入，等式两边同除以3n+1，构造数列{ } ，运用前n 项和与通向的关系可得．（3）利用等差中项的性质及基本不等式，由λμ的范围可得．本题主要考查了数列的通项公式，前n项和公式，等差中项等知识，计算b n 时用到了构造数列，属于难题21.【答案】（1）证明：设 D（x0，0）（ x0<0），由 F2（c，0）， B（0，b），得 =（ -c，b）， =（ x0 ， -b），∵ ⊥ ，∴ ，得，故 =（， 0），又 =（2c， 0），故由，得，∴b2=3c2=3（a2-b2），则 4b2=3a2，∴；（ 2）解：由（ 1）知， b= c，故 a=2c，此时，点 D 的坐标为（ -3c， 0），又△BDF 2是直角三角形，故其外接圆圆心为F1（-c， 0），半径为 2c，∴圆心 F1（-c，0）到直线 x+y=0 的距离 d= ．∴|EF |= ，解得 c= ， b= ，a=2 ，所求椭圆Γ的方程为；（ 3）如 a=2，则，椭圆方程为．得 F2（1，0），∵直线 l过 F2且不与坐标轴垂直，故可设直线 l 的方程为： y=k（x-1）， k≠0．由，得（ 3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0 ，设 P（x1，y1）， Q（x2，y2），则有，，由题意， M（ x1，-y1），故直线 QM 的方向向量为，∴直线 QM 的方程为令 y=0 ，得 x= +x1====即直线 QM 与 x 轴交于定点（ 4，0）．∴存在点 N（4，0），使得 M、Q、N 三点共线．【解析】（1）设D（x0，0）（x0<0），利用，得b2=3c2，结合隐含条件证得结论；（2）求出点D的坐标，利用△BDF2是直角三角形，得到其外接圆圆心为F（-c，0），半径为2c，然后利用垂径定理求解c，得到a，b，则椭圆1方程可求；（3）直线l 过F2且不与坐标轴垂直，设直线l 的方程为：y=k（x-1），k≠0．与椭圆联立，设P（x1，y1），Q（x2，y2），结合韦达定理，求解直线QM 的方向向量，求解直线QM的方程，求解直线QM 与x 轴交于定点（4，0）得结论．本题考查直线与椭圆的综合应用，椭圆的方程的求法，三点共线，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．。
闵行区第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
闵行区第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．已知，则f{f[f （﹣2）]}的值为（ ） A ．0B ．2C ．4D ．82． 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法．．．．．．．．从该地区调查了500位老年人，结果如由2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22500(4027030160)9.96720030070430K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯ 附表：参照附表，则下列结论正确的是（ ）①有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无．关”； ②有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有．关”； ③采用系统抽样方法比采用简单随机抽样方法更好； ④采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好； A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④3． 某程序框图如图所示，该程序运行输出的k 值是（ ）3.841 6.635 10.828k 2() 0.050 0.010 0.001P K k ≥A ．4B ．5C ．6D ．74． 如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．5． 设a=60.5，b=0.56，c=log 0.56，则（ ） A ．c ＜b ＜a B ．c ＜a ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a6． 如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是AA 1，AD 的中点，则CD 1与EF 所成角为（ ）A ．0°B ．45°C ．60°D ．90°7． 若方程C ：x 2+=1（a 是常数）则下列结论正确的是（ ）A ．∀a ∈R +，方程C 表示椭圆B ．∀a ∈R ﹣，方程C 表示双曲线C ．∃a ∈R ﹣，方程C 表示椭圆D ．∃a ∈R ，方程C 表示抛物线 8． 下列四个命题中的真命题是（ ）A ．经过定点()000,P x y 的直线都可以用方程()00y y k x x -=-表示B ．经过任意两个不同点()111,P x y 、()222,P x y 的直线都可以用方程()()()()121121y y x x x x y y --=-- 表示C ．不经过原点的直线都可以用方程1x ya b+=表示 D ．经过定点()0,A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示9． 已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0)2πϕ<<与y 轴的交点为(0,1)，且图像上两对称轴之间的最小距离为2π，则使()()0f x t f x t +--+=成立的t 的最小值为（ ）1111] A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π10．已知AC ⊥BC ，AC=BC ，D 满足=t+（1﹣t ），若∠ACD=60°，则t 的值为（ ）A ．B ．﹣C ．﹣1D ．11．已知f （x ）=4+a x ﹣1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是（ ） A ．（1，5） B ．（1，4） C ．（0，4） D ．（4，0） 12．下列命题中的说法正确的是（ ）A ．命题“若x 2=1，则x=1”的否命题为“若x 2=1，则x ≠1”B ．“x=﹣1”是“x 2+5x ﹣6=0”的必要不充分条件C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2+x+1＜0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2+x+1＞0”D ．命题“在△ABC 中，若A ＞B ，则sinA ＞sinB ”的逆否命题为真命题二、填空题13．已知函数f （x ）=恰有两个零点，则a 的取值范围是 ．14．已知条件p ：{x||x ﹣a|＜3}，条件q ：{x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，且q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是 ．15．已知sin α+cos α=，且＜α＜，则sin α﹣cos α的值为 ．16．已知实数x ，y 满足约束条，则z=的最小值为 ．17．在极坐标系中，直线l 的方程为ρcos θ=5，则点（4，）到直线l 的距离为 ．18．命题“若a ＞0，b ＞0，则ab ＞0”的逆否命题是 （填“真命题”或“假命题”．）三、解答题19．如图，点A是以线段BC为直径的圆O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA是圆O的切线．20．求下列曲线的标准方程：（1）与椭圆+=1有相同的焦点，直线y=x为一条渐近线．求双曲线C的方程．（2）焦点在直线3x﹣4y﹣12=0 的抛物线的标准方程．21．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=a n﹣，数列{b n}中，b1=1，点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上．（1）求数列{a n }，{b n }的通项a n 和b n ； （2）设c n =a n •b n ，求数列{c n }的前n 项和T n ．22．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>），点3(1,)2在椭圆C 上，且椭圆C 的离心率为12．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，A 为椭圆C 的右顶点，直线PA ，QA 分别交直线：4x =于M 、N 两点，求证：FM FN ⊥．23．求下列函数的定义域，并用区间表示其结果．（1）y=+；（2）y=．24．在△ABC 中，cos2A ﹣3cos （B+C ）﹣1=0．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的外接圆半径为1，试求该三角形面积的最大值．闵行区第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】解：∵﹣2＜0∴f（﹣2）=0∴f（f（﹣2））=f（0）∵0=0∴f（0）=2即f（f（﹣2））=f（0）=2∵2＞0∴f（2）=22=4即f{f[（﹣2）]}=f（f（0））=f（2）=4故选C．2．【答案】D【解析】解析：本题考查独立性检验与统计抽样调查方法．，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，②正确；该地区老年由于9.967 6.635人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好，④正确，选D．3．【答案】C【解析】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S k 是否继续循环循环前100 0/第一圈100﹣20 1 是第二圈100﹣20﹣21 2 是…第六圈100﹣20﹣21﹣22﹣23﹣24﹣25＜0 6 是则输出的结果为7．故选C．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．4．【答案】B【解析】【知识点】函数的奇偶性【试题解析】因为奇函数乘以奇函数为偶函数，y=x是奇函数，故是偶函数。
闵行区第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
闵行区第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．设a，b为实数，若复数，则a﹣b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．22．已知f（x）=ax3+bx+1（ab≠0），若f（2016）=k，则f（﹣2016）=（）A．k B．﹣k C．1﹣k D．2﹣k3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（acosB+bcosA）=2csinC，a+b=8，且△ABC的面积的最大值为4，则此时△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．正三角形 C．直角三角形D．钝角三角形4．已知f（x）=x3﹣3x+m，在区间[0，2]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＞4 C．m＞6 D．m＞85．如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为（）A．20 B．25 C．22.5 D．22.756．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，则CD1与EF所成角为（）A．0°B．45°C．60°D．90°7．三个数60.5，0.56，log0.56的大小顺序为（）A．log0.56＜0.56＜60.5B．log0.56＜60.5＜0.56C ．0.56＜60.5＜log 0.56D ．0.56＜log 0.56＜60.58． 在曲线y=x 2上切线倾斜角为的点是（ ）A ．（0，0）B ．（2，4）C ．（，）D ．（，）9． 已知函数f （x ）＝⎩⎨⎧a x －1，x ≤1log a1x ＋1，x ＞1（a ＞0且a ≠1），若f （1）＝1，f （b ）＝－3，则f （5－b ）＝（ ） A ．－14B ．－12C ．－34D ．－5410．过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是原点，若|AF|=3，则△AOF 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．211．设集合A={x|2x ≤4}，集合B={x|y=lg （x ﹣1）}，则A ∩B 等于（ ） A ．（1，2） B ．[1，2] C ．[1，2） D ．（1，2]12．下列各组表示同一函数的是（ ）A ．y=与y=（）2B ．y=lgx 2与y=2lgxC ．y=1+与y=1+D ．y=x 2﹣1（x ∈R ）与y=x 2﹣1（x ∈N ）二、填空题13．集合A={x|﹣1＜x ＜3}，B={x|x ＜1}，则A ∩B= ．14．若复数34sin (cos )i 55z αα=-+-是纯虚数，则tan α的值为 . 【命题意图】本题考查复数的相关概念，同角三角函数间的关系，意在考查基本运算能力． 15．【泰州中学2018届高三10月月考】设函数()()21xf x ex ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得()00f x <，则a 的取值范围是16．甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，现从两个箱子中随机各取一个球，则至少有一 个红球的概率为 ．17．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 1的中点，则△PAC 在该正方体各个面上的射影可能是 ．18．圆心在原点且与直线2x y +=相切的圆的方程为_____ .【命题意图】本题考查点到直线的距离公式，圆的方程，直线与圆的位置关系等基础知识，属送分题.三、解答题19．已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=10． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{}的前n 项和．20．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边之长依次为a ，b ，c ，且cosA=，5（a 2+b 2﹣c 2）=3ab ．（Ⅰ）求cos2C 和角B 的值； （Ⅱ）若a ﹣c=﹣1，求△ABC 的面积．21．在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有10人．（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数；（Ⅱ）若等级A ，B ，C ，D ，E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A ．在至少一科成绩为A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A 的概率．22．【南师附中2017届高三模拟一】已知,a b 是正实数，设函数()()ln ,ln f x x x g x a x b ==-+. （1）设()()()h x f x g x =- ，求 ()h x 的单调区间；（2）若存在0x ，使03,45a b a b x ++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且()()00f x g x ≤成立，求b a 的取值范围.23．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，111,A A AB CB A ABB =⊥． （1）求证：1AB ⊥平面1A BC ；（2）若15,3,60AC BC A AB ==∠=，求三棱锥1C AA B -的体积．24．设M 是焦距为2的椭圆E ： +=1（a ＞b ＞0）上一点，A 、B 是椭圆E 的左、右顶点，直线MA 与MB 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2=﹣．（1）求椭圆E 的方程；（2）已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）上点N （x 0，y 0）处切线方程为+=1，若P是直线x=2上任意一点，从P 向椭圆E 作切线，切点分别为C 、D ，求证直线CD 恒过定点，并求出该定点坐标．闵行区第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】解：，因此．a﹣b=1．故选：C．2．【答案】D【解析】解：∵f（x）=ax3+bx+1（ab≠0），f（2016）=k，∴f（2016）=20163a+2016b+1=k，∴20163a+2016b=k﹣1，∴f（﹣2016）=﹣20163a﹣2016b+1=﹣（k﹣1）+1=2﹣k．故选：D．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．3．【答案】A【解析】解：∵（acosB+bcosA）=2csinC，∴（sinAcosB+sinBcosA）=2sin2C，∴sinC=2sin2C，且sinC＞0，∴sinC=，∵a+b=8，可得：8≥2，解得：ab≤16，（当且仅当a=b=4成立）∵△ABC的面积的最大值S△ABC=absinC≤=4，∴a=b=4，则此时△ABC的形状为等腰三角形．故选：A．4．【答案】C【解析】解：由f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）=0得到x1=1，x2=﹣1（舍去）∵函数的定义域为[0，2]∴函数在（0，1）上f′（x）＜0，（1，2）上f′（x）＞0，∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，则f（x）min=f（1）=m﹣2，f（x）max=f（2）=m+2，f（0）=m由题意知，f（1）=m﹣2＞0 ①；f（1）+f（1）＞f（2），即﹣4+2m＞2+m②由①②得到m＞6为所求．故选C【点评】本题以函数为载体，考查构成三角形的条件，解题的关键是求出函数在区间[0，2]上的最小值与最大值5．【答案】C【解析】解：根据频率分布直方图，得；∵0.02×5+0.04×5=0.3＜0.5，0.3+0.08×5=0.7＞0.5；∴中位数应在20～25内，设中位数为x，则0.3+（x﹣20）×0.08=0.5，解得x=22.5；∴这批产品的中位数是22.5．故选：C．【点评】本题考查了利用频率分布直方图求数据的中位数的应用问题，是基础题目．6．【答案】C【解析】解：连结A1D、BD、A1B，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，∴EF∥A1D，∵A1B∥D1C，∴∠DA1B是CD1与EF所成角，∵A1D=A1B=BD，∴∠DA1B=60°．∴CD1与EF所成角为60°．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．7．【答案】A【解析】解：∵60.5＞60=1， 0＜0.56＜0.50=1， log 0.56＜log 0.51=0． ∴log 0.56＜0.56＜60.5． 故选：A【点评】本题考查了不等关系与不等式，考查了指数函数和对数函数的性质，对于此类大小比较问题，有时借助于0和1为媒介，能起到事半功倍的效果，是基础题．8． 【答案】D【解析】解：y'=2x ，设切点为（a ，a 2）∴y'=2a ，得切线的斜率为2a ，所以2a=tan45°=1，∴a=，在曲线y=x 2上切线倾斜角为的点是（，）．故选D ．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．9． 【答案】【解析】解析：选C.由题意得a －1＝1，∴a ＝2. 若b ≤1，则2b －1＝－3，即2b ＝－2，无解．∴b ＞1，即有log 21b ＋1＝－3，∴1b ＋1＝18，∴b ＝7.∴f （5－b ）＝f （－2）＝2－2－1＝－34，故选C.10．【答案】B【解析】解：抛物线y 2=4x 的准线l ：x=﹣1．∵|AF|=3， ∴点A 到准线l ：x=﹣1的距离为3∴1+x A =3 ∴x A =2，∴y A =±2，∴△AOF 的面积为=．故选：B ．【点评】本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定A 的坐标是解题的关键．11．【答案】D【解析】解：A={x|2x≤4}={x|x ≤2}， 由x ﹣1＞0得x ＞1∴B={x|y=lg （x ﹣1）}={x|x ＞1} ∴A ∩B={x|1＜x ≤2}故选D ．12．【答案】C【解析】解：A ．y=|x|，定义域为R ，y=（）2=x ，定义域为{x|x ≥0}，定义域不同，不能表示同一函数．B ．y=lgx 2，的定义域为{x|x ≠0}，y=2lgx 的定义域为{x|x ＞0}，所以两个函数的定义域不同，所以不能表示同一函数．C ．两个函数的定义域都为{x|x ≠0}，对应法则相同，能表示同一函数．D ．两个函数的定义域不同，不能表示同一函数．故选：C ．【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．二、填空题13．【答案】 {x|﹣1＜x ＜1} ．【解析】解：∵A={x|﹣1＜x ＜3}，B={x|x ＜1}， ∴A ∩B={x|﹣1＜x ＜1}， 故答案为：{x|﹣1＜x ＜1}【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．14．【答案】34-【解析】由题意知3sin 05α-=，且4cos 05α-≠，所以4cos 5α=-，则3tan 4α=-. 15．【答案】【解析】试题分析:设,由题设可知存在唯一的整数0x ，使得在直线的下方.因为,故当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增;故,而当时,,故当且,解之得,应填答案3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 考点：函数的图象和性质及导数知识的综合运用．【易错点晴】本题以函数存在唯一的整数零点0x ，使得()00f x <为背景,设置了一道求函数解析式中的参数的取值范围问题,目的是考查函数的图象和性质及导数在研究函数的单调性最值等有关知识的综合运用.同时也综合考查学生运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先运用等价转化得到数学思想将问题等价转化为存在唯一的整数0x ，使得在直线的下方.然后再借助导数的知识求出函数的最小值,依据题设建立不等式组求出解之得.16．【答案】98【解析】【易错点睛】古典概型的两种破题方法：（1）树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求．另外在确定基本事件时，),(y x 可以看成是有序的，如()1,2与()2,1不同；有时也可以看成是无序的，如)1,2)(2,1(相同．（2）含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，考虑其反面，即对立事件，应用)(1)(A P A P -=求解较好． 17．【答案】 ①④ ．【解析】解：由所给的正方体知，△PAC 在该正方体上下面上的射影是①， △PAC 在该正方体左右面上的射影是④， △PAC 在该正方体前后面上的射影是④ 故答案为：①④18．【答案】222x y +=【解析】由题意，圆的半径等于原点到直线2x y +=的距离，所以r d ===222x y +=. 三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 2=0，a 6+a 8=10．∴，解得，∴a n ﹣1+（n ﹣1）=n ﹣2．（2）=．∴数列{}的前n 项和S n =﹣1+0+++…+，=+0++…++，∴=﹣1++…+﹣=﹣2+﹣=，∴S n =．20．【答案】【解析】解：（I ）由∵cosA=，0＜A ＜π，∴sinA==， ∵5（a 2+b 2﹣c 2）=3ab ，∴cosC==，∵0＜C ＜π，∴sinC==，∴cos2C=2cos2C﹣1=，∴cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣×+×=﹣∵0＜B＜π，∴B=．（II）∵=，∴a==c，∵a﹣c=﹣1，∴a=，c=1，∴S=acsinB=××1×=．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，两角和与差的正弦公式等知识．考查学生对基础知识的综合运用．21．【答案】【解析】解：（Ⅰ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有10÷0.25=40人，所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为：40×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=40×0.075=3人；（Ⅱ）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为：×=2.9；（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，所以还有2人只有一个科目得分为A，设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为：Ω={{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}}，一共有6个基本事件．设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，则P （B ）=．【点评】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布直方图、平均数及古典概型等内容．22．【答案】（1）在0,b e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,b e ⎛⎫∞⎪⎝⎭上单调递增.（2）7b e a ≤<【解析】【试题分析】（1）先对函数()()ln ln ,0,h x x x x b a x =-+∈∞求导得()'ln 1ln h x x b =+-，再解不等式()'0h x >得b x e >求出单调增区间；解不等式()'0h x <得bx e<求出单调减区间；（2）先依据题设345a b a b ++<得7b a <，由（1）知()m in 0h x ≤，然后分345a b b a b e ++≤≤、4b a b e +<、35b a be +>三种情形，分别研究函数()()ln ln ,0,h x x x x b a x =-+∈∞的最小值，然后建立不等式进行分类讨论进行求解出其取值范围7be a≤<： 解：（1）()()()ln ln ,0,,'ln 1ln h x x x x b a x h x x b =-+∈∞=+-，由()'0h x >得b x e >，()'h x ∴在0,b e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在,b e ⎛⎫∞⎪⎝⎭上单调递增. （2）由345a b a b ++<得7ba <，由条件得()min 0h x ≤. ①当345ab b a b e ++≤≤，即345e b e e a e ≤≤--时，()min b b h x h a e e ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，由0b a e -+≤得 3,5b b e e e a a e≥∴≤≤-. ②当4b a b e +<时，()4,e a b h x a ->∴在3,45a b a b ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()min ln ln ln ln 4444a b a b a b a b b h x h b a b ae ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+≥-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭43?3044e b ba b e e b e --+-=>=>，矛盾，∴不成立. 由0ba e-+≤得.③当35b a b e +>，即35b e a e >-时，53e a b e ->，()h x ∴在3,45a b a b ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， ()min 3333ln ln ln ln 5555a b a b a b a b b h x h b a b ae ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+≥-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭52?2230553e b ba b e e b e----=>=>，∴当35b e a e >-时恒成立，综上所述，7b e a ≤<. 23．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）有线面垂直的性质可得1BC AB ⊥，再由菱形的性质可得11AB A B ⊥，进而有线面垂直的判定定理可得结论；（2）先证三角形1A AB 为正三角形，再由于勾股定理求得AB 的值，进而的三角形1A AB 的面积，又知三棱锥的高为3BC =，利用棱锥的体积公式可得结果.考点：1、线面垂直的判定定理；2、勾股定理及棱锥的体积公式. 24．【答案】【解析】（1）解：设A （﹣a ，0），B （a ，0），M （m ，n），则+=1，即n 2=b 2•，由k 1k 2=﹣，即•=﹣，即有=﹣，即为a 2=2b 2，又c 2=a 2﹣b 2=1， 解得a 2=2，b 2=1．即有椭圆E的方程为+y 2=1；（2）证明：设点P （2，t ），切点C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）， 则两切线方程PC ，PD分别为：+y 1y=1，+y 2y=1，由于P 点在切线PC ，PD 上，故P （2，t ）满足+y 1y=1，+y 2y=1，得：x 1+y 1t=1，x 2+y 2t=1，故C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）均满足方程x+ty=1， 即x+ty=1为CD 的直线方程． 令y=0，则x=1， 故CD 过定点（1，0）．【点评】本题主要考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，导数的几何意义等基本知识，考查运算能力和综合解题能力．解题时要注意运算能力的培养．。
2018-2019学年上海市闵行区高二下学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市闵行区高二下学期期末数学试题一、单选题1．已知空间三条直线.l m n 、、若l 与m 异面,且l 与n 异面,则（ ） A ．m 与n 异面. B ．m 与n 相交.C ．m 与n 平行.D ．m 与n 异面、相交、平行均有可能.【答案】D【解析】解：∵空间三条直线l 、m 、n ．若l 与m 异面，且l 与n 异面， ∵m 与n 可能异面（如图3），也可能平行（图1），也可能相交（图2）， 故选D ．2．若一个直三棱柱的所有棱长都为1，且其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）． A ．π B ．7π3C ．11π3D ．5π【答案】B【解析】根据题意画出其立体图形.设此直三棱柱两底面的中心分别为12,O O ,则球心O 为线段12O O 的中点,利用勾股定理求出球O 的半径R ,即可求得该球的表面积． 【详解】 画出其立体图形:直三棱柱的所有棱长都为1,且每个顶点都在球O 的球面上， 设此直三棱柱两底面的中心分别为12,O O ,则球心O 为线段12O O 的中点， 设球O 的半径为R ，在111A B C △中11A O 是其外接圆半径r ,由正弦定理可得:12sin 60r =,32r == ,即11A O = 在11t R AO O中2222211111117323412A O A O O O ⎛⎛⎫=++=+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭==∴球O 的表面积27π7S 44123R ππ==⨯=. 故选:B. 【点睛】本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质.解决本题的关键在于能想象出空间图形,并能准确的判断其外接球的球心就是上下底面中心连线的中点． 3．定义：复数z 与i 的乘积zi 为复数z 的“旋转复数”．设复数(),z x yi x y R =+∈对应的点(),x y 在曲线220x xy y --=上，则z 的“旋转复数”对应的点的轨迹方程为（ ）．A ．220y xy x +-=B ．220y xy x -+=C ．220y xy x ++=D ．220y xy x --=【答案】C【解析】设000z x y i =+ 可得:2000020x x y y --=.因为复数z 与i 的乘积zi 为复数z 的“旋转复数,可得()20000000iz i x y i x i y i y x i =+=+=-+,z 的“旋转复数”对应的点(,)P x y ,由坐标变换,即可得z 的“旋转复数”对应的点的轨迹方程.【详解】复数(),z x yi x y R =+∈对应的点(),x y 在曲线220x xy y --=上设000z x y i =+ 可得:2000020x x y y --=复数z 与i 的乘积zi 为复数z 的“旋转复数∴ ()20000000iz i x y i x i y i y x i =+=+=-+ ┄①设z 的“旋转复数”对应的点(,)P x y可得:00x y y x =-⎧⎨=⎩ 即00y xx y =-⎧⎨=⎩ ┄② 将②代入①得:22()0y y x x --+= 即:220y xy x ++=故选: C. 【点睛】本题考查复数的运算,考查复平面和考查坐标变换,掌握复数与复平面内的点一一对应是解本题的关键.4．已知直线l 与抛物线24x y =交于A 、B 两点，若四边形OAMB 为矩形，记直线OM的斜率为k ，则k 的最小值为（ ）． A ．4 B．C ．2D【答案】B【解析】设直线方程y mx t =+并与抛物线方程联立,根据OA OB ⊥,借助韦达定理化简得4t =.根据AB ,OM 相互平分,由中点坐标公式可得01212x x x y y y =+⎧⎨=+⎩,即可求得00k y x =,根据基本不等式即可求得k 最小值. 【详解】设()00,M x y ,()11,A x y ,()22,B x y 设直线l :y mx t =+将直线l 与24x y =联立方程组,消掉y :24y mx tx y=+⎧⎨=⎩ 得: 2440x mx t --= 由韦达定理可得:124x x m += ┄①,124x x t =- ┄② OA OB ⊥，故0OA OB ⋅=,可得:12120x x y y +=┄③()11,A x y ，()22,B x y ，是24x y =上的点,∴2114x y = 2224x y =, 可得:()2121216x x y y =┄④由③④可得:12160x x +=,结合②可得:4t = AB 和OM 相互平分,由中点坐标公式可得01212x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，结合①②可得:0124m x x x =+=,()22212121202444x x x x x x y +-=+=221632484m m +==+， 故2004824k y m m x m m+===+， 根据对勾函数(对号函数)可知0m >时,2m m+≥当且仅当m =)0m <时,2m m+≤-.(当且仅当m =所以k ≥故选:B. 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,通过联立直线方程与抛物线方程的方程组,应用一元二次方程根与系数的关系,得到“目标函数”的解析式,确定函数的性质进行求解.二、填空题 5．复数21i+（i 是虚数单位）的虚部是______． 【答案】1-【解析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数,化简复数21i+,即可求得虚部. 【详解】2(1)1(1)(1)21i i i i i ==+-+-- ∴ 复数21i+的虚部是:1-. 故答案为:1-. 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算,以及复数的基本概念的应用,其中解答中熟练应用复数的运算法则化简是解答的关键,属于基础题.6．抛物线22y x =的准线方程为________． 【答案】18y =-【解析】先将抛物线化为标准方程，进而可得出准线方程. 【详解】因为抛物线22y x =的标准方程为：212x y =， 因此其准线方程为：18y =-.故答案为：18y =- 【点睛】本题主要考查抛物线的准线，熟记抛物线的标准方程即可，属于基础题型.7．在复平面上，复数112z i =+、234z i =-分别对应点A 、B ，O 为坐标原点，则OA OB ⋅=______．【答案】5-【解析】由复数112z i =+、234z i =-分别对应点A ,B ,可得()1,2A ,()3,4B -即可计算OA OB ⋅. 【详解】复数112z i =+、234z i =-分别对应点A ,B∴()1,2A ,()3,4B -可得:()1,2OA =,()3,4OB =-∴ 385OA OB ⋅=-=-故答案为:5-. 【点睛】本题考查复平面和数量积,主要考查复数的几何意义.掌握复数与复平面内的点一一对应是解本题的关键,属于基础题.8．已知圆锥的底面面积为9π，母线长为5，则它的侧面积为______． 【答案】15π【解析】圆锥是由一个底面和一个侧面围成的图形,沿着圆锥的母线,把圆锥的侧面展开,得到一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长,而扇形的半径等于母线长,圆锥的侧面积等于展开后扇形的面积. 【详解】由圆锥的底面面积为9π,∴ 底面半径为3,可得底面周长为6π扇形的面积=12⨯扇形弧长⨯扇形半径∴ 侧面积为=126π515π⨯=⨯故答案为:15π. 【点睛】解题关键是通过圆的面积求得圆的半径,然后根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长,通过扇形的面积公式得到的答案.9．参数方程()24sin cos x R y θθθ⎧=-∈⎨=⎩所表示的曲线与x 轴的交点坐标是______．【答案】()3,0【解析】根据22sin cos 1θθ+=消参,将()24sin cos x R y θθθ⎧=-∈⎨=⎩化为直角坐标系下曲线方程,即可求x 轴的交点坐标. 【详解】24sincos x y θθ⎧=-⎨=⎩ 可化为222sin 4cos x yθθ⎧=-⎨=⎩ 可得:222sin cos 4x y θθ+=-+ ∴ 23y x =-当0y =时,3x =∴曲线与x 轴的交点坐标是()3,0.故答案为:()3,0. 【点睛】本题考查圆锥曲线的参数方程和普通方程的转化,消去参数方程中的参数,就可把参数方程化为普通方程,消去参数的常用方法有:①代入消元法;②加减消元法;③乘除消元法;④三角恒等式消元法.本题采用了三角恒等式消元法. 10．在平面几何中，以下命题都是真命题：①过一点有且仅有一条直线与已知直线平行； ②过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直； ③平行于同一条直线的两直线平行； ④垂直于同一条直线的两直线平行；⑤两组对边分别相等的四边形是平行四边形．则在立体几何中，上述命题仍为真命题的是______．（写出所有符合要求的序号） 【答案】①③【解析】根据空间点、线、面之间的位置关系,逐一判断,即可得到答案. 【详解】对于①,根据平行公理,可知过一点有且仅有一条直线与已知直线平行,在立体几何中也正确,故①正确.对于②,在平面几何中,过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直.在立体几何中,过直线外一点可以做一个平面和直线垂直,即平面内所有直线和其垂直.故②错误.对于③,根据平行的传递性,平行于同一条直线的两直线平行,在立体几何中也正确,故③正确.对于④,平面几何中,垂直于同一条直线的两直线平行.在立体几何中,垂直于同一条直线的两直线可以是异面直线,故④错误.对于⑤,平面几何中两组对边分别相等的四边形是平行四边形.在立体几何中,两组对边分别相等,可构成空间四边形,故⑤错误. 故答案为:①③. 【点睛】本题考查了命题真假的判定,平面几何和立体几何中线与线位置关系, 掌握点线面关系的性质是解题关键,属于基础题.11．已知关于x 的实系数方程20x ax b ++=有一个模为1的虚根，则a 的取值范围是______．【答案】22a -<<【解析】根据系数方程20x ax b ++=有虚根,则可得240a b ∆=-<.设方程的虚根为:=+x m ni ,则另一个虚根为:x m ni =-,其模为1,可得221+=m n ,即可求得a 的取值范围. 【详解】设方程的虚根为:=+x m ni , 另一个虚根为:x m ni =-由韦达定理可得:x x a x x b +=-⎧⎨⋅=⎩ 故:222m am n b=-⎧⎨+=⎩ 实系数方程20x ax b ++=有一个模为1的虚根∴ 221+=m n 故=1b若方程有虚根,则240a b ∆=-< 可得240a -<∴ 22a -<<故答案为: 22a -<<. 【点睛】本题考查复数代数形式乘除运算,韦达定理的使用,实系数方程有虚数根的条件,共轭复数的性质、共轭复数的模,意在考查基础知识的掌握与综合应用. 12．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_________.【答案】2π【解析】其体积为2111222232V ππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=+13．已知地球的半径约为6371千米，上海的位置约为东经121︒、北纬31︒，开罗的位置约为东经31︒、北纬31︒，两个城市之间的距离为______．（结果精确到1千米） 【答案】8297千米【解析】设上海为点A ,开罗为点B .求两个城市之间的距离,即求两城市在地球上的球面距离.由题意可知上海和开罗都在北纬31︒的位置,即在同一纬度的圆上,计算出此圆的半径,即可求AB .在三角形BOA 由余弦定理可求得BOA ∠,结合扇形弧长公式,即可求得两个城市之间的距离. 【详解】设上海为点A ,开罗为点B ,地球半径为R 根据纬度定义,设北纬31︒所在圆的半径为r ,可得:cos31rR=︒ 上海的位置约为东经121︒,开罗的位置约为东经31︒,∴ 故在北纬31︒所在圆上的圆心角为:1213190︒-︒=︒.∴ 在1Rt BO A 中得AB =BOA △中,根据余弦定理可得:22222222||22cos 1cos 31sin 312| 0.262|56||2OA OB AB R r BOA OA OB R+--∠===-=≈⋅⋅ 0.26526 1.3023arccos BOA ∠=≈根据扇形弧长公式可得:劣弧= 1.302363718297AB R θ≈=⨯ 故答案为:8297千米. 【点睛】本题由经度,纬度求球面上两点距离,根据题意画出空间图形,理解经度和纬度的定义是解本题关键,考查空间想象能力,属于基础题.14．在空间中，已知一个正方体是12条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于α，则sin α=______．【解析】画出几何图形,可知面11A BC 与12条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于α,在1Rt EBB 可求得sin α.【详解】画出几何图形,可知面11A BC 与12条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于α正方体1111ABCD A B C D -∴ 1B D ⊥面11A BC ,∴ 1BB 与面11A BC 所成的角为1B BE ∠不妨设正方体棱长为1,故12EB =在1Rt EBB 中由勾股定理可得:EB =∴11si n EB B BE EB ∠===∴sin α=故答案为【点睛】本题考查了线面角求法,根据体积画出几何图形,掌握正方体结构特征是解本题的关键.属于基础题.15．若复数z 满足2Re 2z z -=+，则32i 2z z --+-的最小值______． 【答案】5【解析】设复数z x yi =+,由2Re 2z z -=+可得222(2)(2)x y x -+=+,即28y x =.将32i 2z z --+-转化为()3,2A 和()2,0到抛物线动点P 距离和,根据抛物线性质即可求得32i 2z z --+-最小值. 【详解】设复数z x yi =+ 2Re 2z z -=+∴ |2||2|x yi x +-=+ 即|2||2|x yi x -+=+∴ 222(2)(2)x y x -+=+整理得:28y x = 是以(2,0)F 焦点为的抛物线.32i 2z z --+-化简为:()32i 2z z -++-转化为()3,2A 和()2,0到抛物线动点P 距离和.如图.由过A 作AB 垂线,交抛物线准线于点B .交抛物线于点1P根据抛物线定义可知,11PF PB = , 根据点到直线,垂线段最短,可得:5AB =∴ 11||||5PA PF PA PF AB +≥+== ∴ 32i 2z z --+-的最小值为:5.故答案为:5.【点睛】本题考查与复数相关的点的轨迹问题,解本题的关键在于确定出复数对应的点的轨迹,利用数形结合思想求解,考查分析问题的和解决问题的能力.16．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =，11BC AA ==，点M 为线段1AB 的中点，点P 为对角线1AC 上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点，则MP PQ +的最小值为______．【答案】34【解析】画出图形,利用折叠与展开法则使MP 和PQ 在同一个平面,转化折线段为直线段距离最小,即可求得MP PQ +的最小值．【详解】当MP PQ +的最小值,即P 到底面ABCD 的距离的最小值与MP 的最小值之和.Q 为底面ABCD 上的动点,当Q 是P 在底面上的射影,即是PQ 最小值.展开三角形1ACC 与三角形11AB C 在同一个平面上,如图:长方体1111ABCD A B C D -中，AB =，11BC AA ==长方体1111ABCD A B C D -体对角线长为:12AC == 在1Rt AC B ∆中:111sin 2C AB ∠= 故1130C AB ∠=∴ 111ACC AB C ≅ 故130CAC ∠=∴ 160CAB ︒∠=过点M 作MQ AC ⊥,MQ 即为MP PQ +最小值.在Rt AQM ∆,3604MQ ︒= 故答案为:34. 【点睛】 解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些条件发生了变化,哪些条件没有发生变化.这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据.三、解答题17．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长2AB =，若1BD 与底面ABCD 所．（1）求正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积；（2）求异面直线1A A 与1B C 所成的角的大小．【答案】（1）16（2）1arctan 2【解析】（1）1D BD ∠是1BD 与底面ABCD 所成的角,所以11tan DD D BD BD∠==可得1D D ,在用柱体体积公式即可求得答案; （2）因为正四棱柱1111ABCD A B C D -,可得11A A B B ,所以1BB C ∠是异面直线1A A 与1B C 所成的角.【详解】（1）如图,连接BD正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长2AB =∴BD =1DD ⊥面ABCD∴ 1D BD ∠是1BD 与底面ABCD 所成的角在1Rt D BD 中, 11tan DD D BD BD ∠===14D D ∴=∴ 111,42216ABCD A B C D V Sh -==⨯⨯=∴正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为:16.（2） 正四棱柱1111ABCD A B C D -∴ 11A A B B1BB C ∴∠是异面直线1A A 与1B C 所成的角∴在1Rt B BC 中,1121tan 42BC CB B B B ∠=== ∴ 异面直线1A A 与1B C 所成的角为:1arctan2. 【点睛】 本题考查了正四棱柱体积和空间异面直线夹角.在求解异面直线所成角的求解,通过平移找到所成角是解这类问题的关键.18．设1z +为关于x 的方程()20,x px q p q R ++=∈的虚根，i 虚数单位． （1）当1z i =-+时，求p 、q 的值；（2）若1q =，在复平面上，设复数z 所对应的点为M ，复数24i -所对应的点为N ，试求MN 的取值范围．【答案】（1）0p =,1q =（2）[]4,6【解析】（1）1z i =-+,则1z i +=,则可确定方程()20,x px q p q R ++=∈两根为,i i -,由韦达定理即可求得,p q ;（2）可确定1z +,1z +为方程的两根,设z a bi =+,由韦达定理可得()()111z z +⋅+=,即()()()221111z z a b +⋅+=++=,1cos a θ=-+,sin b θ=,用两点间距离公式可表示出MN ,用三角函数的知识求得其范围.【详解】（1）当1z i =-+,则1z i +=∴方程20x px q ++=的两根分别为:,i i -()()i i p i i q⎧+-=-⎪∴⎨⋅-=⎪⎩,即0p =,1q = （2）当1q =时，方程为210x qx ++=1z ∴+,1z +为方程的两根设(,)z a bi a b R =+∈，则11z a bi +=++，11z a bi +=+-∴ ()()()221111z z a b +⋅+=++=设1cos a θ=-+，sin b θ=，[)0,2θ∈π 故()1cos ,sin M θθ-+复数24i -所对应的点为N ,可得()2,4N -根据两点间距离公式:MN ∴=== 其中3tan 4ϕ=，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()[]sin 1,1θϕ+∈- []4,6MN ∴∈即MN 的取值范围为:[]4,6.【点睛】本题考查复数的定义,几何意义的应用,关键是能够通过方程的一个虚根确定方程两根,利用韦达定理建立等量关系.19．如图，圆锥的展开侧面图是一个半圆，BC 、EF 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，D 为母线AC 的中点，已知过EF 与D 的平面与圆锥侧面的交线是以D 为顶点、DO 为对称轴的抛物线的一部分．（1）证明：圆锥的母线与底面所成的角为π3； （2）若圆锥的侧面积为8π，求抛物线焦点到准线的距离．【答案】（1）答案见解析（2）12【解析】（1）设底面圆O 的半径为r ,圆锥的母线l ,因为圆锥的侧面展开图扇形弧长与圆锥的底面圆O 的周长相等,列出底面半径r 和l 关系式,即可证明:圆锥的母线与底面所成的角为π3. （2）因为圆锥的侧面积为8π,即可求得其母线长4l =.由⑴可知2r l =,可得2r =.在平面DEF 建立坐标系,以D 原点,DO 为x 轴正方向,设抛物线方程22y px =,代入(1,1)E -即可求得p ,进而抛物线焦点到准线的距离.【详解】（1）设底面圆O 的半径为r ,圆锥的母线l圆锥的侧面展开图扇形弧长与圆锥的底面圆O 的周长相等∴ r l 2π=π 可得2r l =由题意可知:AO ⊥底面圆ORt AOB 中 1cos 2r AOB l ∠== 故:π=3AOB ∠ ∴ 圆锥的母线与底面所成的角为π3 （2） 圆锥的侧面积为8π∴ 2182l ππ= 可得216l =,故:4l = 2r l = 可得2r =Rt AOC V 中, D 为AC 的中点,可得1DE =在平面DEF 建立坐标系,以D 原点,DO 为x 轴正方向.如图:设抛物线方程22y px = (1,1)E - 代入22y px =可得12p = 根据抛物线性质可知, 抛物线焦点到准线的距离为12p =. ∴ 抛物线焦点到准线的距离12． 【点睛】 本题考查了线面夹角和抛物线相关知识.利用解析几何思想,通过建立坐标系,写出抛物线方程,研究曲线方程来求解相关的量,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题. 20．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵；将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称之为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖臑[biē nào]．某学校科学小组为了节约材料，拟依托校园内垂直的两面墙和地面搭建一个堑堵形的封闭的实验室111ABC A B C -，11A ABB 是边长为2的正方形．（1）若ABC △是等腰三角形，在图2的网格中（每个小方格都是边长为1的正方形）画出堑堵的三视图；（2）若111C D A B ⊥，D 在11A B 上，证明：1C D DB ⊥，并回答四面体11DBB C 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（3）当阳马111A C CBB -的体积最大时，求点1B 到平面1A BC 的距离．【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析（3 【解析】（1）根据其几何体特征,即可画出其三视图.（2）证明11C D BB ⊥,结合111C D A B ⊥,即可得到1C D ⊥面11AA BB ,进而可证明1C D DB ⊥.（3）阳马111A C CBB -的体积为:1111123||||||||3||A C CBB AC BC BB AC V BC -⋅=⋅=,根据均值不等式可得:22||||||||22AC BC AC BC +⋅≤= (||||AC BC ==),即可求得||||AC BC ==以点1A 为顶点,以1Rt CBB 底面求三棱锥11-B A BC 体积, 在以点1B 为顶点,以1Rt ACB 底面求三棱锥11-B A BC 体积.利用等体积法即可求得点1B 到平面1A BC 的距离.【详解】（1）画出堑堵的三视图:（2）如图,连接BD 和1C B .由题意可知:1BB ⊥面111A B C ,1BB 在平面111A B C∴ 11C D BB ⊥ 又111C D A B ⊥1C D ∴⊥面11AA BB 故: 1C D DB ⊥,可得1C DB 为直角三角形.由题意可知11C B B ,1DB B ,11C DB 都是直角三角形.∴ 四面体11DBB C 四个面都是直角三角形,故四面体11DBB C 是鳖臑.（3）在Rt ACB 中,222||4AB AC BC +==根据均值不等式可得:22||||||||22AC BC AC BC +⋅≤= (||||AC BC ==取得等号)由题意可知,AC ⊥面11CC BB∴阳马111A C CBB -的体积为:1111||||||||||124333A C CBB AC BC BB AC BC V -⋅⋅≤==(||||AC BC ==)以1A 为顶点,以1Rt CBB 底面求三棱锥11-B A BC 体积:∴ 111-11112232323A B B C BC B AC V B ⋅⋅⋅⋅=⋅==112A CB S ∆==设1B 到面1A CB 距离为h 以1B 为顶点,以1Rt ACB 底面求三棱锥11-B A BC 体积: ∴ 111-1233A BC A CB B h V S ∆⋅⋅==1233h ∴= 解得:h == 【点睛】本题考查了三视图画法,棱柱与点到面的距离,考查用基本不等式求最值.解题关键是表示出阳马111A C CBB -的体积,通过不等式取最值时成立条件,求出底边||AC 长. 21．设点()00,P x y 是抛物线2:4y x Γ=上异于原点O 的一点，过点P 作斜率为1k 、2k 的两条直线分别交Γ于()11,A x y 、()22,B x y 两点（P 、A 、B 三点互不相同）． （1）已知点()3,0Q ，求PQ 的最小值；（2）若06y =，直线AB 的斜率是3k ，求123111k k k +-的值； （3）若02y =，当0PA AB ⋅=时，B 点的纵坐标的取值范围．【答案】（1）2）3（3）26y <-或210y >【解析】（1）因为()00,P x y ,设0y t =,则20=4x t ,由两点间距离公式可求得:PQ =,即可得出PQ 的最小值; （2）因为06y =,所以()9,6P ,设PA 的直线方程PA l :16(9)y k x -=-,将PA l 与2:4y x Γ=联立方程组,消掉x ,通过韦达定理,将点A 坐标用1k 表示同理可得到B 坐标.即可求得直线AB 的斜率是3k ,进而求得答案;（3）因为02y =,故(1,2)P .()11,A x y 、()22,B x y 两点抛物线上,可得211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,即可求得向量PA 和AB .由0PA AB ⋅=,可得到关于1y 和2y 方程,将方程可以看作关于1y 的一元二次方程, 因为1y R ∈且12y ≠,21y y ≠,故此方程有实根,240b ac ∆=->,即可求得B 点的纵坐标的取值范围.【详解】（1） ()00,P x y 在2:4y x Γ=,设0y t =,则20=4x t 由两点间距离公式可求得:PQ =令2t m =,()0m ≥∴PQ ====≥(当=4m 即=2t ±取等号) ∴PQ 的最小值（2）06y =,200:4y x Γ=,故()9,6P则PA 的直线方程PA l : 16(9)y k x -=- 将PA l 与2:4y x Γ=联立方程组,消掉x则:126(9)4y k x y x -=-⎧⎨=⎩ ,得:21694y y k ⎛⎫-=-⎪⎝⎭化简为:211424360k y y k -+-=.由韦达定理可得:111114624366y k k y k ⎧+=⎪⎪⎨-⋅⎪⋅=⎪⎩ 解得:11146k y k -= 2114y x =,可得:()21121464k x k -=,故()2112114646,4k k A k k --⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭同理可得:()2222224646,4k k B k k --⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭AB 直线的斜率是()()()()212121212132222212121222221214646464644646464644k k k k y y k k k k k x x k k k k k k k k -------==-------=()()()()()()()2212212112122222121212122146464444412444646k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ⋅--⋅--=⋅=+-----()121212121411433k k k k k k k k ==+-+-故:3121113k k k =+- 即1231113k k k +-= 123111k k k ∴+-的值为3.（3）02y =,200:4y x Γ=,故(1,2)P()11,A x y ,()22,B x y 在()11,A x y 、()22,B x y 两点抛物线上∴ 211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴ 1121,24y PA y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ,222121,44y y AB y y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭0PA AB ⋅=,故 2221211211,2,0444y y y y y y ⎛⎫⎛⎫--⋅--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 整理可得:()()22212112112044y y y y y y ⎛⎫⎛⎫--⋅+-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()21212112142044yy y y y y y y --+⋅+--=∴ P 、A 、B 三点互不相同,故:12y ≠,21y y ≠可得:()()12121016y y y +++= 即:21212122160y yy y y ++++=∴ ()2121222160y y y y ++++= 此方程可以看作关于1y 的一元二次方程,1y R ∈且12y ≠,21y y ≠,故此方程有两个不相等的实根:()222(2)42160=y y +-+∴>∆ 即2222448640y y y ++--> ∴ 2224600y y --> 故:()()221060y y -+>解得: 26y <-或210y >∴B 点的纵坐标的取值范围: 26y <-或210y >.【点睛】在求圆锥曲线与直线交点问题时,通常用直线和圆锥曲线联立方程组,通过韦达定理建立起直线的斜率与交点横坐标的关系式.将直线与抛物线恒有交点问题,转化成求解一元二次方程有实根问题,是解本题的关键.。
2019-2020学年上海市闵行区2018级高二上学期期末考试数学试卷及解析
2019-2020学年上海市闵行区2018级高二上学期期末考试数学试卷★祝考试顺利★(解析版)一、填空题1.椭圆221259x y +=的短轴长为__________. 【答案】6【解析】利用椭圆的标准方程,直接求解,即可得答案． 【详解】∵椭圆的方程为：221259x y += ∴短轴长26b =．故答案为：6．2.已知向量(1,2)a =,(,4)b x =-,若//a b ,则x =________【答案】2-【解析】根据向量共线,得到1(4)20⨯--=x ,求解,即可得出结果.【详解】因为向量(1,2)a =,(,4)b x =-,若//a b ,则1(4)20⨯--=x ,解得：2x =-.故答案为2-3.若直线l 过点3(2,)A -且平行于向量(6,5)d =,则直线l 的点方向式方程是___________. 【答案】2365x y -+= 【解析】利用直线l 的点方向式方程即可得出．【详解】由已知可得：直线l 的点方向式方程是2365x y -+=． 故答案为：2365x y -+=． 4.已知平面向量,a b 的夹角为6π,||1,||2a b ==,则a b ⋅=_________.【解析】直接代入向量的数量积公式求解,即可得答案． 【详解】因为平面向量a ,b 的夹角为6π,||1a =,||2b =, ∴||||cos 126a b a b π=⨯⨯=⨯=．5.若线性方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为213143-⎛⎫ ⎪⎝⎭,则x y +=_______. 【答案】2【解析】 线性方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为213143-⎛⎫ ⎪⎝⎭,即方程组2343x y x y -=⎧⎨+=⎩,即可得出x y +． 【详解】线性方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为213143-⎛⎫ ⎪⎝⎭, 即方程组2343x y x y -=⎧⎨+=⎩,两个方程相加可得：336x y +=,则2x y +=． 故答案为：2．6.若直线l 的倾斜角的范围为,43ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭,则l 的斜率的取值范围是__________. 【答案】【解析】利用直线斜率与倾斜角的关系、三角函数的单调性即可得出．。
闵行区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
考点：球的表面积和体积． 2． 【答案】C 【解析】解：sin（﹣510°）=sin（﹣150°）=﹣sin150°=﹣sin30°=﹣ ， 故选：C． 3． 【答案】A 【解析】解：点集{（x，y）|（|x|﹣1）2+y2=4}表示的图形是一条封闭的曲线，关于 x，y 轴对称，如图所示． 由图可得面积 S= 故选：A． = + = +2 ．
13 21 B．3 C．4 D． 10 10
【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解 能力、数形结合的思想． 16．已知数列 1，a1，a2，9 是等差数列，数列 1，b1，b2，b3，9 是等比数列，则
x ì ï e ,x³ 0 2 17．已知 f ( x) = í ，则不等式 f (2 - x ) > f ( x) 的解集为________． ï î 1, x < 0
的值为 ．
【命题意图】本题考查分段函数、一元二次不等式等基础知识，意在考查分类讨论思想和基本运算能力． 18．【南通中学 2018 届高三 10 月月考】已知函数 f x x 2 x ，若曲线 f x 在点 1, f 1 处的切线经
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过圆 C : x 2 y a 2 的圆心，则实数 a 的值为__________．
座号_____
姓名__________
分数__________
3． 点集{（x，y）|（|x|﹣1）2+y2=4}表示的图形是一条封闭的曲线，这条封闭曲线所围成的区域面积是（ ） A． 4． 已知双曲线 A． B． ﹣ C． =1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=1 相切，则双曲线的离心率为（ D． ） B． C． D．
精品解析：上海市闵行区2018-2019学年高二上学期期末质量检测数学试题(解析版)
闵行区2018-2019学年第一学期期末质量检测高二数学试卷一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1～6题每题4分,第7～12题每题5分)1.计算:12lim2n nn →∞-=+_______.【答案】2- 【解析】 【分析】直接利用极限公式得到答案. 【详解】12lim22n nn →∞-=-+故答案为：2-【点睛】本题考查了极限的计算，属于简单题.2.已知向量()()236a b m =-=，，，，且a b ‖则实数m =______. 【答案】4- 【解析】 【分析】直接利用向量平行公式得到答案.【详解】()()236a b m =-=，，，，a b ‖则32612,4m m -=⨯==- 故答案为：4-【点睛】本题考查了向量的平行，属于基础题型.3.若线性方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为202312⎛⎫⎪⎝⎭，则32x y -=______. 【答案】1- 【解析】【分析】先通过增广矩阵计算得到11x y =⎧⎨=-⎩，代入行列式计算得到答案.【详解】线性方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为23⎛ ⎝ 01 22⎫⎪⎭，即2232x x y =⎧⎨+=⎩解得：11x y =⎧⎨=-⎩代入行列式得到：31312(1)(3)1212x y--==⨯--⨯-=--故答案为：1-【点睛】本题考查了增广矩阵和行列式，意在考查学生的计算能力. 4.在等差数列{}n a 中,若18493a a a +==，，则5a =_____. 【答案】6 【解析】 【分析】利用等差数列的性质有1845a a a a +=+，代入数据计算得到答案. 【详解】18459a a a a +==+43a =，故56a =故答案为：6【点睛】本题考查了数列的性质，属于基础题型. 5.若关于x y 、的二元一次方程组122561x y x y λ-=⎧⎨+=-⎩有无穷多解,则λ=_______.【答案】10- 【解析】 【分析】将二元一次方程有无穷多解转化两直线重合，计算得到答案.【详解】二元一次方程组122561x y x y λ-=⎧⎨+=-⎩有无穷多解,方程对应的直线重合即122x y λ-=和561x y +=-重合 解得：10λ=- 故答案为：10-【点睛】本题考查了二元一次方程解的个数问题，转化为直线重合是解题的关键.6.若x y ，满足约束条件10{20,220,x y x y x y -+≥-≤+-≤，，则2z x y =+的最大值为____________． 【答案】52【解析】试题分析：作出可行域，如下图：由图像可知，目标函数2z x y =+，在点处，取得最大值，此时最大值为．考点：简单的线性规划．【方法点睛】一般地，在解决简单线性规划问题时，如果目标函数z Ax By =+，首先，作直线A y x B=-，并将其在可行区域内进行平移；当0B >时，直线Ay x B =-在可行域内平移时截距越高，目标函数值越大，截距越低，目标函数值越小；当0B <时，直线Ay x B=-在可行域内平移时截距越低，目标函数值越大，截距越高，目标函数值越小．7.点()1,0M -到双曲线2219y x -=的渐近线的距离为______.【答案】31010【解析】 【分析】计算2219y x -=的一条渐近线方程为：3y x =，再利用点到直线的距离公式得到答案.【详解】2219y x -=的一条渐近线方程为：3y x = 即30x y -=根据对称性得到距离相等利用点到直线的距离公式得到：33101010d -==故答案为：31010【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，点到直线的距离，意在考查学生的综合应用能力. 8.正方形ABCD 的边长为333BC BE DC DF ==，，，则AE AF ⋅=________. 【答案】23 【解析】 【分析】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立直角坐标系，得到坐标(0,0),(3,1),(1,3)A E F ，代入计算得到答案.【详解】如图所示以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立直角坐标系. 33BC BE DC DF ==，， 则(0,0),(3,1),(1,3)A E F(3,1)(1,3)23AE AF ⋅=⋅=故答案为：23【点睛】本题考查了向量的计算，建立直角坐标系可以简化运算，是解题的关键.9.已知椭圆()22:133x y M m m +=>，M 与两直线()0y kx y kx k ==-≠，有4个不同的交点,这四个点与M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则m =_______. 【答案】233+ 【解析】 【分析】画出图像，根据条件得到13(,)22A c c ，代入椭圆方程，计算得到答案. 【详解】如图所示：易知：260,AOB OF c ∠=︒= 则13(,)22A c c 将13(,)22A c c 代入椭圆得到： 22144c c m +=，又23c m =- 即31344m m m -+=- 解得：233m =+和233m =-+（舍去） 故答案为：233+【点睛】本题考查了椭圆方程，利用关系得到13(,)22A c c 是解题的关键，意在考查学生的计算能力. 10.已知22:2150A x y x ++-=，过点()10B ,的动直线l (与x 轴不重合)交A 于,C D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点P ,则点P 的轨迹方程为__________.【答案】221(0)43x y y +=≠【解析】 【分析】根据平行关系得到PB PD =，42PA PB +=>，确定是椭圆，再利用数据计算得到答案. 【详解】如图所示：22:2150A x y x ++-=即22(1)16x y ++=AC AD ACD ADC =∴∠=∠AC BP PBD ACD ADC PB PD ∴∠=∠=∠∴=‖ 42PA PB PA PD AD +=+==>故P 的轨迹方程为椭圆：2,1a c ==椭圆方程为：221(0)43x y y +=≠故答案为：221(0)43x y y +=≠【点睛】本题考查了轨迹方程，确定42PA PB +=>是解题的关键，其中没有考虑0y ≠是容易犯的错误. 11.已知等差数列{}n a 的公差0d >，且2a 是1a 与4a 的等比中项,记2n n b a =，若对任意*n N ∈，都有121113nb b b ++⋯+<，则d 的取值范围是_________. 【答案】13d ≥ 【解析】 【分析】根据等比中项得到1a d =，即n a nd =，2n nb d =代入计算得到1211111(1)2n n b b b d ++⋯+=-，得到答案. 【详解】2a 是1a 与4a 的等比中项得到：2214a a a =⋅即2111()(3)a d a a d +=+ 化简得到：1a d =或0d =（舍去）n a nd =，22n n n b a d ==12121111112111()22(1)32n n n b b b d d ++⋯+=++⋯+=-<恒成立 即13d ≥故答案为：13d ≥【点睛】本题考查了等差数列，等比数列，不等式恒成立问题，综合性强，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.12.若a R ∈，直线1:30l x ay a +-=与2:40l ax y a --=交于点P ,点P 的轨迹C 与,x y 轴分别相交于A B 、两点,O 为坐标原点(A B 、异于原点O ),则满足PB PA OA OB -=-的位于第一象限内的P 点坐标为_________. 【答案】(4,3)P 【解析】 【分析】联立方程得到轨迹方程22325(2)()24x y -+-=，计算(4,0),(0,3)A B ，判断(4,3)P 满足条件，再排出其他情况得到答案. 【详解】如图所示：3040x ay a ax y a +-=⎧⎨--=⎩ 消去a 得到(4)(3)x x y y -=- 即22325(2)()24x y -+-=表示圆心为3(2,)2，半径为52的圆根据对称性得到：(4,0),(0,3)A B1PB PA OA OB -=-=，根据图像知：(4,3)P 满足条件当P 向B 方向移动时：1PB PA -< 当P 向A 方向移动时：1PB PA -> 故不存在其他的P 点满足条件 故答案为：(4,3)P【点睛】本题考查了圆的轨迹方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分,每题有且只有一个正确答案)13.用数学归纳法证明“()*111112321n n n N n +++⋯+<∈>-，”时,第一步需要验证的不等式是（ ） A. 123< B. 1122+<C. 111223++<D. 11112234+++<【答案】C 【解析】 【分析】第一步验证2n =是的情况，即111223++<，得到答案. 【详解】()*111112321n n n N n +++⋯+<∈>-， 第一步验证2n =时的情况，即111223++<故选：C【点睛】本题考查了数学归纳法，属于简单题型.14.在三角形ABC 中,,CA a CB b ==，点P 在直线AB 上,且2AP PB =，则CP 可用,a b 表示为（ ） A. 2CP a b =+ B. CP a b =-C. 12CP a b =- D. 1233CP a b =+ 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量三角形法则得到：1212++3333CP CA CB a b ==得到答案. 【详解】利用向量三角形法则得到：221212++()++333333CP CA AP CA AB CA CB CA CA CB a b =+==-==故选：D【点睛】本题考查了向量的表示，也可以利用平行四边形法则得到答案. 15.如果实数x y 、满足223412x y +=，那么32x y +的最大值是（ ） A. 43 B. 243C. 62D. 48【答案】A 【解析】 【分析】利用参数方程得到2cos 3cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩代入式子得到3243sin()3x y πα+=+解得最大值.【详解】223412x y +=得到22143x y +=，利用参数方程得到2cos 3cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩326cos 23sin 43sin()3x y πααα+=+=+当6πα=即332x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩时，有最大值43 故选：A【点睛】本题考查了最大值问题，利用参数方程可以简化运算，是解题的关键. 16.已知曲线3411:1x y Γ+=，则下列正确的是（ ） A. 曲线Γ关于y 轴对称B. 曲线Γ与x 轴相交C. x 取值范围是()()00-∞∞，，+ D. y 无限趋近于零时，x 也无限趋近零【答案】D【解析】【分析】3411:1x y Γ+=关于x 轴对称，不关于y 轴对称，A 错误；取0y =无意义，B 错误；x 需满足{}01x x x ≠≠且，C 错误；判断y 无限趋近于零时，x 也无限趋近零，D 正确. 【详解】取3411:1x y Γ+=上任意一点(,)x y ，则(,)x y -也在曲线上，(,)x y -不是一定在曲线上 故关于x 轴对称，不关于y 轴对称，A 错误3411:1x yΓ+=，取0y =无意义，故曲线Γ不与x 轴相交，B 错误 3411:1x yΓ+=，0x ≠且1x ≠，故C 错误 3411:1x y Γ+=，当0y +→时，41y →+∞，故31,0x x-→-∞→ 当0y -→时，41y →-∞，故31,0x x+→+∞→ 综上所述：y 无限趋近于零时，x 也无限趋近零，D 正确故选：D【点睛】本题考查了曲线的对称，与坐标轴的交点，x 范围，极限情况，意在考查学生的综合应用能力.三、解答题(本大题共有5题,满分76分.解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤)17.已知双曲线Γ的两个焦点与椭圆2216428x y +=的两个焦点相同,且Γ的一条渐近线为30x y -=，求Γ的标准方程. 【答案】221279x y -= 【解析】【分析】设双曲线方程为：223x y λ-=，计算椭圆焦点，代入双曲线计算得到答案. 【详解】Γ的一条渐近线为30x y -=，设双曲线方程为：223x y λ-= 椭圆2216428x y +=的两个焦点为(6,0),(6,0)- 故221(0)3x y λλλ-=>，3369λλλ+=∴= 双曲线方程为：221279x y -= 【点睛】本题考查了双曲线，椭圆，设双曲线方程为223x y λ-=可以简化运算，是解题的关键. 18.已知()()3101.a b ==，，， (1)求a 的单位向量0a u u r (2)若a λb +与a b λ-的夹角为锐角,求实数λ的取值范围。
闵行区高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
闵行区高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 若将函数y=tan （ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan （ωx+）的图象重合，则ω的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．2． 已知角α的终边经过点(sin15,cos15)-，则2cos α的值为（ ）A ．12+B ．12 C. 34 D ．0 3． 在抛物线y 2=2px （p ＞0）上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为（ ） A ．x=1 B ．x=C ．x=﹣1D ．x=﹣4． 下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数为（ ） A ．y=sinxB ．y=1g2xC ．y=lnxD ．y=﹣x 3【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断． 【专题】函数的性质及应用．【分析】根据正弦函数的单调性，对数的运算，一次函数的单调性，对数函数的图象及单调性的定义即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．5． 若定义在R 上的函数f （x ）满足f （0）=﹣1，其导函数f ′（x ）满足f ′（x ）＞k ＞1，则下列结论中一定错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．6． 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A 1CA.直线B.圆C.双曲线D.抛物线【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识，意在考查空间想象能力. 7． 平面α与平面β平行的条件可以是（ ）A ．α内有无穷多条直线与β平行B ．直线a ∥α，a ∥βC ．直线a ⊂α，直线b ⊂β，且a ∥β，b ∥αD ．α内的任何直线都与β平行8． 设函数()()21x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数，使得()0f t <，则的取值范围是（ ）A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭1111] 9． 设复数1i z =-（i 是虚数单位），则复数22z z+=（ ）A.1i -B.1i +C. 2i +D. 2i -【命题意图】本题考查复数的有关概念，复数的四则运算等基础知识，意在考查学生的基本运算能力．10．设等比数列{a n }的公比q=2，前n 项和为S n ，则=（ ）A ．2B ．4C ．D ．11．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（ ）A ．1B ．C ．D ．12．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应截面面积 为1S 、2S 、3S ，则（ ）A ．123S S S <<B ．123S S S >>C ．213S S S <<D ．213S S S >> 13．设l ，m ，n 表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ∥l ，m ⊥α，则l ⊥α； ②若m ∥l ，m ∥α，则l ∥α；③若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，则l ∥m ∥n ； ④若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，n ∥β，则l ∥m ． 其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．414．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）A．众数 B．平均数C．中位数D．标准差15．如右图，在长方体中，=11，=7，=12，一质点从顶点A射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将次到第次反射点之间的线段记为，，将线段竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）ABCD二、填空题16．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为__________17．下列说法中，正确的是．（填序号）①若集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1；②在同一平面直角坐标系中，y=2x与y=2﹣x的图象关于y轴对称；③y=（）﹣x是增函数；④定义在R上的奇函数f（x）有f（x）•f（﹣x）≤0．18．在极坐标系中，O是极点，设点A，B的极坐标分别是（2，），（3，），则O点到直线AB 的距离是．19．圆柱形玻璃杯高8cm，杯口周长为12cm，内壁距杯口2cm的点A处有一点蜜糖．A点正对面的外壁（不是A点的外壁）距杯底2cm的点B处有一小虫．若小虫沿杯壁爬向蜜糖饱食一顿，最少要爬多少cm．（不计杯壁厚度与小虫的尺寸）三、解答题20．已知{a n}为等比数列，a1=1，a6=243．S n为等差数列{b n}的前n项和，b1=3，S5=35．（1）求{a n}和{B n}的通项公式；（2）设T n=a1b1+a2b2+…+a n b n，求T n．21．在平面直角坐标系xOy中，经过点且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．22．已知数列{a n}满足a1=，a n+1=a n+（n∈N*）．证明：对一切n∈N*，有（Ⅰ）＜；（Ⅱ）0＜a n ＜1．23．（本小题满分12分）已知12,F F 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，(1,2P 是椭圆上1122|,||PF F F PF 成等差数列．（1）求椭圆C 的标准方程；、（2）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A B 、两点，试问x 轴上是否存在定点Q ，使得716QA QB ⋅=-恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．24．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]（Ⅰ）求图中x 的值，并估计该班期中考试数学成绩的众数；（Ⅱ）从成绩不低于90分的学生和成绩低于50分的学生中随机选取2人，求这2人成绩均不低于90分的概率．25．（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D －中，侧棱1A A ^底面ABCD ，//AB DC ， AB AD ^，1AD CD ＝＝，12AA AB ＝＝，E 为棱1AA 的中点.（Ⅰ）证明：11B C ^面1CEC ；（II ）设点M 在线段1C E 上，且直线AM 与平面11ADD A所成角的正弦值为6，求线段AM 的长.111闵行区高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】解：y=tan（ωx+），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x﹣）+]=tan（ωx+）∴﹣ω+kπ=∴ω=k+（k∈Z），又∵ω＞0∴ωmin=．故选D．2．【答案】B【解析】考点：1、同角三角函数基本关系的运用；2、两角和的正弦函数；3、任意角的三角函数的定义.3．【答案】C【解析】解：由题意可得抛物线y2=2px（p＞0）开口向右，焦点坐标（，0），准线方程x=﹣，由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为4的点到准线的距离等于5，即4﹣（﹣）=5，解之可得p=2故抛物线的准线方程为x=﹣1．故选：C．【点评】本题考查抛物线的定义，关键是由抛物线的方程得出其焦点和准线，属基础题．4．【答案】B【解析】解：根据y=sinx图象知该函数在（0，+∞）不具有单调性；y=lg2x=xlg2，所以该函数是奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，所以选项B正确；根据y=lnx的图象，该函数非奇非偶；根据单调性定义知y=﹣x3在（0，+∞）上单调递减．故选B．【点评】考查正弦函数的单调性，对数的运算，以及一次函数的单调性，对数函数的图象，奇偶函数图象的对称性，函数单调性的定义．5．【答案】C【解析】解；∵f′（x）=f′（x）＞k＞1，∴＞k＞1，即＞k＞1，当x=时，f（）+1＞×k=，即f（）﹣1=故f（）＞，所以f（）＜，一定出错，故选：C．6．【答案】D.第Ⅱ卷（共110分）7．【答案】D【解析】解：当α内有无穷多条直线与β平行时，a 与β可能平行，也可能相交，故不选A ．当直线a ∥α，a ∥β时，a 与β可能平行，也可能相交，故不选 B ．当直线a ⊂α，直线b ⊂β，且a ∥β 时，直线a 和直线 b 可能平行，也可能是异面直线，故不选 C ．当α内的任何直线都与β 平行时，由两个平面平行的定义可得，这两个平面平行， 故选 D ．【点评】本题考查两个平面平行的判定和性质得应用，注意考虑特殊情况．8． 【答案】D 【解析】考点：函数导数与不等式．1 【思路点晴】本题主要考查导数的运用，涉及划归与转化的数学思想方法.首先令()0f x =将函数变为两个函数()()()21,xg x e x h x ax a =-=-，将题意中的“存在唯一整数，使得()g t 在直线()h x 的下方”，转化为存在唯一的整数，使得()g t 在直线()h x ax a =-的下方.利用导数可求得函数的极值，由此可求得m 的取值范围.9． 【答案】A 【解析】10．【答案】C【解析】解：由于q=2，∴∴；故选：C．11．【答案】C【解析】解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为．因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为．因此可知：A，B，D皆有可能，而＜1，故C不可能．故选C．【点评】正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为是解题的关键．12．【答案】A【解析】考点：棱锥的结构特征．13．【答案】B【解析】解：∵①若m∥l，m⊥α，则由直线与平面垂直的判定定理，得l⊥α，故①正确；②若m∥l，m∥α，则l∥α或l⊂α，故②错误；③如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ABB1A1∩平面ABCD=AB，平面ABB1A1∩平面BCC1B1=BB1，平面ABCD∩平面BCC1B1=BC，由AB、BC、BB1两两相交，得：若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n不成立，故③是假命题；④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，n∥β，则由α∩γ=n知，n⊂α且n⊂γ，由n⊂α及n∥β，α∩β=m，得n∥m，同理n∥l，故m∥l，故命题④正确．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．14．【答案】D【解析】解：A样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．B样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90众数分别为88，90，不相等，A错．平均数86，88不相等，B错．中位数分别为86，88，不相等，C错A样本方差S2=[（82﹣86）2+2×（84﹣86）2+3×（86﹣86）2+4×（88﹣86）2]=4，标准差S=2，B样本方差S2=[（84﹣88）2+2×（86﹣88）2+3×（88﹣88）2+4×（90﹣88）2]=4，标准差S=2，D正确故选D．【点评】本题考查众数、平均数、中位标准差的定义，属于基础题．15．【答案】C【解析】根据题意有：A的坐标为：（0，0，0），B的坐标为（11，0，0），C的坐标为（11，7，0），D的坐标为（0，7，0）；A1的坐标为：（0，0，12），B1的坐标为（11，0，12），C1的坐标为（11，7，12），D1的坐标为（0，7，12）；E的坐标为（4，3，12）（1）l1长度计算所以：l1=|AE|==13。