(完整版)案例三数列在购房问题中的应用
数列在贷款问题中的应用
住房贷款问题
a1 a2
等额本息还款与等额本金还款虽仅有一字之差，
却是截然不同的两种还款方式。 等额本息还款即借款人每月按相等的金额偿还 贷款本息，其中每月贷款利息按月初剩余贷款 涉及到an与Sn之间的转化 本金计算并逐月结清。 了，很难求解！可否通过 设每个月偿还金额为 x 元，如何求解 x 呢？ 另外的模型先求解 x呢？ 240个月中，一共又产生了多少的利息呢？ 如何构建数列模型？ 设第n个月产生的利息为an可以得到什么？
1 bn bn 4.5% x ,1 n 239 12
1 b1 864836 1 4.5% x 12
b240 0
求解数学模型
bn1
1 bn 1 4.5% x ,1 n 239 12
数据观察
建立数学模型 借贷金额：864,836（元） 借款利率：4.5% 借款年限：20年
住房贷款问题
每月偿还金额分为两个部分： 本金（864,836元）平均分配到每个月的部分：
此时已经偿还了3903.48*(n – 1)元的本金，产 生利息的本金金额为3903.48*(24 – (n – 1)) 1 an 3903.48 3903.48 240 n 1 4.5% 12
a240 240 x 864836
建立数学模型
住房贷款问题
等额本息还款
借贷金额：864,836（元） 借款利率：4.5% 借款年限：20年
我们也可以这样考虑：第
n 个月还款后还剩余 bn元未偿还；那么第 n + 1 个月还款后剩余债 务bn + 1与 bn 之间有什么关系呢？
高中数学新人教版A版精品教案《购房中的数学----数列在房贷中的应用》
购房中的数学——数列在房贷中的应用一、教材内容和内容解析本节课选自人民教育出版社出版的《普通高中课程标准实验教科书数学必修5A版》第二章《数列》的“探究与发现购房中的数学”，教材将其安排在等差数列与等比数列之后，符合建构主义理论思想，新旧知识的双向互动作用表现为了同化和顺应。
该内容与数学息息相关，体现出数列与生活联系紧密，数学来自于生活，并服务于生活。
本问题的解决需要掌握数列的概念、数列求和公式等基础知识和数据处理的运算能力，合理地建立数学模型。
数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，其过程可用下框图体现：二、学情分析学生在学习本节内容之前已经学习了数列的基本知识，如求数列通项、数列求和等；学生已具²的商品房，每平方米的售价为7500元。
（二）买二手房：一套面积为12021的二手房，售价为82万元，要求首付30万元以上。
刘先生要买房还需要贷款，他去咨询了一家银行有关购房贷款事宜，银行的工作人员向他提供了以下信息：申请住房商业贷款，贷款期限为2021较合适，购房的首期付款不得低于实际购房总额的30%，贷款额应该不高于实际购房总额的70%，还款方式可采用等额本金或等额本息还款。
等额本金还款：在还款期内把贷款数总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息。
贷款人需要将本金平均分摊到每期内，同时付清上一交易日（还款日）至本次还款日之间产生的利息。
等额本息还款：借款人每月按相等的金额偿还贷款本息，其中每月贷款利息按月初剩余贷款本金计算并逐月结清。
两种还款方式的区别如图，等额本息每月还款数一样，等额本金还款额逐月减少。
分期付款中约定： ⑴利息以复利计算；⑵每次还款间隔相同，还款数目相同；⑶商品价值与每期还款额，从购买之初到贷款全部付清，随着时间的增加而增值。
两者本利和相等。
问题：你能根据所学知识，为刘先生出谋划策吗？ 【设计意图】将生活中的案例以材料的形式推送到学生期（12m年，1期为1个月），每月还款一次，设月利率为r 。
拓展资料数列在生活中的应用
数列在生活中的应用
在实际生活和经济活动中，很多问题都与数列紧密相关。
如分期付款、个人投资理财和人口问题、资源问题等都可运用所学数列知识进行分析，从而予以解决。
与此同时,数列在艺术创作上也有突出的作用! 数学家华罗庚曾经说过：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学。
这是对数学与生活关系的出色描述。
第一, 我重点分析等差数列、等比数列在实际生活和经济活动中的应用。
（一）按揭货款中的数列问题
随着中央推行踊跃的财政政策，购买房地产按揭货款（公积金贷款）制度的推出，极大地刺激了人们的消费欲望，扩大了内需，有效地拉动了经济增加。
众所周知，按揭货款（公积金贷款）中都实行按月等额还本付息。
那个等额数是如何得来的，另外假设干月后，还应归还银行多少本金，这些人们往往很难做到心中有数。
下面就来寻求这一问题的解决方法。
假设贷款数额a0元,贷款月利率为p,还款方式每一个月等额还本付息a元.设第n月还款后的本金为an,那么有:
a1=a0(1+p)-a,
a2=a1(1+p)-a,
a3=a2(1+p)-a,
......
an+1=an(1+p)-a,.........................(*)
将（*）变形，得（an+1-a/p）/（an-a/p）=1+p.
由此可见，{an-a/p}是一个以a1-a/p为首项，1+p为公比的等比数列。
日常生活中一切有关按揭货款的问题，都可依照此式计算。
（二）有关数列的其他经济应用问题。
人教A版高中数学必修五优秀教案备课资料求数列前n项和知识的运用
备课资料
购房中的数学
一位居民决定重新购买住房，他列出了他的家庭经济状况和可供选择的方案如下：家庭经济状况：家庭每月总收入3 000元，也就是年收入3.6万元.现存款6万元，但是必须留2万元～3万元以备急用
预选方案：1.购买商品房：一套面积为80 cm2的住宅，每平方米售价1 500元
2.买二手房：一套面积为110 cm2左右的二手房，售价为14.2万元，要求首付4万元.
购房还需要贷款，这位居民选择了一家银行申请购房贷款，该银行的贷款评估员根据表
格中的信息，向他提供了下列信息和建议：
申请商业贷款，贷款期限为15年比较合适，年利率为5.04%.购房的首期付款应不低于实际购房总额的20%，贷款额应不高于实际购房总额的80%.还款方式为等额本金还款，如果按季还款，每季还款额可以分成本金和部分利息部分，其计算公式分别为本金部分＝贷款本金÷贷款期季数
利息部分＝(贷款本金-已归还贷款本金累计额)×季利率
请你帮这位居民算一笔经济帐，根据以上的贷款方式，你认为预选方案1与2到底哪一个是他的最佳选择？说明你的理由。
案例三数列在购房问题中的应用
《数列的应用举例》一、知识与技术1、使学生掌握等差数列与等比数列在购物付款方式中的应用；2、培育学生收集、选择、办理信息的能力，发展学生独立研究和解决问题的能力，提升学生的应意图识；二、教课要点难点要点：抓住分期付款问题的实质剖析问题；难点：成立数学模型，理解分期付款的合理性。
三、过程与方法经过创建情境、讲解法、议论法、直观演示法、练习法提升学生发现问题、剖析问题、解决问题的能力。
四、感情态度与价值观经过学生之间，师生之间的沟通与配合培育学生的合作意识和团队精神，经过独立运用数学知识解决实质问题，使学生领会学习数学知识的重要性，加强他们对数学学习的兴趣和对数学的感情。
五、实验与教具多媒体六、教课过程创建情境题型一、等差数列模型（单利问题）例 1、某家庭预购买一套 40 万元的商品房，要求购房当日首付 40%（即 16 万元），欠款24 万元需贷款，贷款限期 10 年（ 120 个月），每个月还欠款 2000 元，并每个月加付欠款利息，月利率为 0.4%，购买后下一月当日开始付款，此后每个月付款一次，问购买这套商品房实质总价多少元？解：按等额本金还款方式，设每个月还欠款加所欠款产生的利息为数列a n ，则：第一月还欠款以及所欠款产生的利息为：a1 2000 240000 0.4% ，第二月还欠款以及所欠款产生的利息为：a2 2000 (240000 2000) 0.4% ，第三月还欠款以及所欠款产生的利息为：a3 2000 (240000 2000 2) 0.4% ，以此类推：第 n 月还欠款以及所欠款产生的利息为：a n2000 [ 240000 2000 (n 1)] 0.4%∴各月还欠款以及所欠款产生的利息成等差数列∴ 10 年还清欠款总数为：120(2960 2008)S120 298080 （元）2购买这套商品房实质总价为：S 298080 160000 458080（元）答：该家庭购买这套商品房实质总价为458080 元。
数列在购房贷款中的应用
数列在购房贷款中的应用作者：黄映丽来源：《新教育时代·学生版》2018年第46期摘要：数学，来源于生活，服务于生活。
数列只是有着广泛的应用，比如银行中的利息计算、购房贷款中的问题，都会用到数学中的数列知识。
“分期付款”是数列的重要应用，“等比数列应用举例”（高中的数学必修五数列）中有一个实例研究分期付款中的有关计算，建立数列模型，从而解决实际问题。
关键词：数列购房贷款应用一、问题的背景数学家华罗庚曾说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日月之繁，无处不用数学。
”这是对生活与数学关系的精彩描述。
当今，随着人们生活水平的提高，大家的消费观念也发生了转变，分期付款、贷款购物已深入我们的生活中，不再生疏，分期付款方式在今天的商业活动中应用日趋广泛，可以贷款买房，贷款买车，贷款创业；助学贷款，旅游贷款，甚至还可以贷款买手机、电视、电脑等小物件。
可见，贷款已经是一种相当普遍的生活方式了。
那么对于贷款的利息、还贷期限、还款金额等又是如何计算的？课本例题：某人2004年初银行申请个人住房商业贷款20万元购买住房，月利率为3.375‰，按复利计算利，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷，如果10年还清，那么每个月应还贷多少钱？二、问题的提出从课本这道例题出发，让学生自己去银行了解目前买房商业贷款还贷利率是多少？还贷方式最常用的方式有几种？哪种还贷方法比较省钱？三、探究、解决方案学生从银行了解到在生活中应用较多的分期付款还贷的模式基本有两种：一种是等额本息还款，即按月等额归还贷款本息的方法。
一种是等额本金还款，即将本金分别摊派到每个月内，同时，付清上一个交易日至本次还款日之间的利息。
1.个人住房“等额本息”还款法该类分期付款问题规定：（1）一般按每（月）一期等额付款，即等额本息还款，合同签订后，不得更改；（2）每期利息按复利计算，即上期利息要记入下期本金。
注意：分期付款中，贷款与每期付款额在贷款付清前，均会随着时间的推移不断增值，时间愈长，利息愈多，增值愈大。
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 探究与发现 购房中的数学》优质课教案_3
数列在生活中的应用---分期付款教学设计一、选课背景2017年数学高考课标中提出了“数学文化”这一概念。
而数学作为一种文化现象，早已是人们的常识了。
古希腊和文艺复兴时期的许多文化名人，往往本身就是数学家，如柏拉图、达芬奇、爱因斯坦、希尔伯特、罗素等。
从20世纪初期以来，数学教学的形式化现象越来越严重，学生往往只会做死题，死做题，忽略了数学源于生活，服务于生活的本质。
随着社会的发展，信息化的推进，信用制度的完善和人们生活的需要，分期付款购物已成为一种必然的趋势，作为新一代的高中学生，借助所学知识，掌握分期付款原理，合理安排收支也是其步入社会的一项能力，所以选择这堂课，不但可以作学生刚学完数列知识的习题拓展课，还可以让学生体会到数学学科在实际应用中的价值。
二、学情分析函数应用举例部分又学习过复利（平均增长率）计算，所以知识储备已足。
但由于经济不独立，真正接触过分期付款的同学不多，大多数同学只是听说过这种说法，但实际的操作是一无所知的。
因为这堂课需要大运算，科学计算器必需准备好，但之前了解了下，其实很多同学是不会用的，特别是高指数的运算，所以有必要在课前培训一下。
三、教学目标1.通过生活实例，体会分期付款本质，即本金加利息2.通过本课学习，使学生能推导等额本金与等额本息两种不同还款方式的计算公式，并会将实际生活问题中的数据代入计算，通过结果能初步得出结论。
3.渗透理论与实际相结合的思想，强化数学来源于生活并服务于生活的思想，提高学生的数学文化修养。
四、教学手段采用多媒体辅助，科学计算器和导学案五、教学过程1、引入部分：通过图片展示，首先让学生了解分期付款已经在各个领域走入了我们的生活，为后续学习相关知识的必然性打下基础。
2、通过小明买手机的问题，引出等额本金与等额本息两种不同的还款方式，点出本节课的学习内容。
3、以还6期为例，先引导学生计算等额本息还款法，抓住其特点，即每期还款额相同，再强调分期本身的特点，即本金+利息。
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 探究与发现 购房中的数学》示范课课件_3
购买后1个月第1次付款，
3期
再过1个月第2次付款，再 过1个月第3次付款。
2016 6048
48
6期
购买后1个月第1次付款， 再过1个月第2次付款，……
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购买后6个月第6次付款。
购买后1个月第1次付款， 12期 过1个月第2次付款，…… 购
513
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156
买后12个月第12次付款。
a (1+p) 5 - x (1+p) 4 - x (1+p) 3 – x (1+p) 2 - x (1+p) – x
则第六次还款后剩余金额为
a (1+p) 6 - x (1+p) 5 - x (1+p) 4 - x (1+p) 3 – x (1+p) 2 - x (1+p)
–x 0
可解得
x
ap(1 p)6 (1 p)6 1
x
ap(1 p)n (1 p)n 1
3、等额本息总还款公式 ap(1 p)n n (1 p)n 1
分期付款在现实生活中广
泛存在。它满足了人们的购物 欲望，使高消费成为可能，同 时也给资金周转提供了便利。 因此，掌握好分期付款对于我 们处理好现实问题有极大帮助。
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备注
月利率0.4%，每月利息按复利计算
分期 付款总额
付款总额
方案 （等额本息） （等额本金）
与一次性 付款差额
3期
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6048
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6期
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12期 备注
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《数列的应用举例》
一、知识与技能
1、使学生掌握等差数列与等比数列在购物付款方式中的应用；
2、培养学生搜集、选择、处理信息的能力，发展学生独立探究和解决问题的能力，提高学生的应用意识；
二、教学重点难点
重点：抓住分期付款问题的本质分析问题；
难点：建立数学模型，理解分期付款的合理性。
三、过程与方法
通过创设情境、讲授法、讨论法、直观演示法、练习法提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。
四、情感态度与价值观
通过学生之间，师生之间的交流与配合培养学生的合作意识和团队精神，通过独立运用数学知识解决实际问题，使学生体会学习数学知识的重要性，增强他们对数学学习的兴趣和对数学的情感。
五、实验与教具
多媒体
六、教学过程
创设情境
题型一、等差数列模型（单利问题）
例1、某家庭预购置一套40万元的商品房，要求购房当天首付40% （即16万元），欠款24万元需贷款，贷款期限10年（120个月），每月还欠款2000元，并每月加付欠款利息，月利率为0.4%，购买后下一月当天开始付款，以后每月付款一次，问购买这套商品房实际总价多少元？
解：按等额本金还款方式，设每月还欠款加所欠款产生的利息为数列a n，贝U：
第一月还欠款以及所欠款产生的利息为：a12000 240000 0.4%，
第二月还欠款以及所欠款产生的利息为：a22000 (240000 2000) 0.4%，
第三月还欠款以及所欠款产生的利息为：a32000 (240000 2000 2) 0.4%，
以此类推：
第n月还欠款以及所欠款产生的利息为：a n2000 [240000 2000 (n 1)] 0.4%
•••各月还欠款以及所欠款产生的利息成等差数列
•••10 年还清欠款总额为：S120 120（2960 2008）
298080 （元）2
购买这套商品房实际总价为：S 298080 160000 458080 （元）
答：该家庭购买这套商品房实际总价为458080元。
题后感悟：等额本金还款法，等差数列问题
题型二、等比数列模型（复利问题）
例2、某家庭预购置一套40万元的商品房，要求购房当天首付16万元，欠款24万元需贷款，贷款期限10年（120个月），按分期付款的方式偿还欠款，每月等额还款，月利率为
0.4%，购买后下一月当天开始付款，以后每月付款一次，按复利计算该家庭每月实际应付款
多少元？购买这套商品房实际总价为多少元？
解：设每月应付款X 元，则第1月付款与到最后一次付款产生的利息之和为 x(1 0.4%)119 , 第2月付款与到最后一次付款产生的利息之和为 x(1 0.4%)118，第3月付款与到最后一次付 款产生的利息之和为x(1 0.4%)117 ,……，第119月付款与到最后一次付款产生的利息之和 为x(1 0.4%)，最后一次付款(无利息)为x 元。
4 1 nnd.
各月付款连同利息之和为x(1.004119 1.004118 1.004117……1.004 1) x__.—
1 1.004
而按复利计算，贷款金额及产生的利息和为 240000(1 0.4%)120
购买这套商品房实际总价为：
S 252217 120 160000 462660.4 (元)
答：该家庭购买这套商品房每月实际应付款 2522.17元，购买这套商品房实际总价为 462660.4 元。
题后感悟：等额本息还款法，
课堂小结
1、 等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格的升降、细胞繁殖、贷款利率、增 长率等方面的问题，解决方法是建立模型，应用数列知识解决问题。
2、 将实际问题转化为数列问题时应注意：①分清是等差数列还是等比数列；②分清是求 a n 还是求S n ，特别要准确确定项数n
1.004120 1.004
240000 1.004120，即 x 2522.17 （元）。