专题1.2三角形的内角-2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典(解析版)【人教版】
2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题1.2三角形的内角（人教版）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•天心区期末）△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【分析】设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，再根据三角形内角和定理求出x的值，进而可得出结论．【解析】∵在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∴设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x．∵∠A+∠B+∠C＝180°，即x+2x+3x＝180°，解得x＝30°，∴∠C＝3x＝90°，∴△ABC是直角三角形．故选：A．2．（2020春•江阴市期中）将一副三角板如图放置，作CF∥AB，则∠EFC的度数是（）A．90°B．100°C．105°D．110°【分析】根据等腰直角三角形求出∠BAC，根据平行线求出∠ACF，根据三角形内角和定理求出即可．【解析】∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，∵CF∥AB，∴∠ACF＝∠BAC＝45°，∵∠E＝30°，故选：C．3．（2020春•赣榆区期中）下列条件能说明△ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝∠B＝2∠C B．∠A＝∠B+∠CC．∠A：∠B：∠C＝2：3：4D．∠A＝40°，∠B＝55°【分析】利用三角形内角和定理结合已知条件求出三角形的内角即可判断．【解析】A、∵∠A＝∠B＝2∠C，∴∠A＝∠B＝72°，∠C＝36°，∴△ABC不是直角三角形，本选项不符合题意．B、∵∠A＝∠B+∠C，∴∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形，本选项符合题意．C、∵∠A：∠B：∠C＝2：3：4，∴∠C=49×180°＝80°，∴△ABC是锐角三角形，本选项不符合题意．D、∵∠A＝40°，∠B＝55°，∴∠C＝85°，∴△ABC是锐角三角形，本选项不符合题意，故选：B．4．（2019秋•宜兴市期中）如图，△ABC中，∠A＝75°，∠B＝65°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．60°【分析】根据题意，已知∠A＝65°，∠B＝75°，可结合三角形内角和定理和折叠变换的性质求解．【解析】∵∠A＝75°，∠B＝65°，∴∠C＝180°﹣（65°+75°）＝40°，∴∠2＝360°﹣（∠A+∠B+∠1+∠CED+∠CDE）＝360°﹣300°＝60°．故选：D．5．（2019春•姑苏区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝75°，∠ABD＝∠BCD，则∠BDC的度数是（）A．115°B．110°C．105°D．100°【分析】根据三角形内角和定理得到∠ABD+∠DBC＝75°，根据三角形内角和定理计算，得到答案．【解析】∵∠ABC＝75°，∴∠ABD+∠DBC＝75°，∵∠ABD＝∠BCD，∴∠BCD+∠DBC＝75°，∴∠BDC＝180°﹣（∠BCD+∠DBC）＝105°，故选：C．6．（2019春•常州期中）下列条件：①∠A﹣∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝2：3：5；③∠A=12∠B=13∠C；④∠A＝∠B＝2∠C；⑤∠A＝∠B=12∠C，其中能确定△ABC为直角三角形的条件有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据三角形内角和定理、直角三角形的定义解答．【解析】①∵∠A﹣∠B＝∠C，∴∠A＝∠B+∠C，∴∠A＝90°，即△ABC为直角三角形；②设∠A、∠B、∠C分别为2x、3x、5x，由三角形内角和定理得，2x +3x +5x ＝180°， 解得，x ＝18°，∠C ＝5x ＝90°，即△ABC 为直角三角形； ③∠A =12∠B =13∠C ， 则∠C ＝3∠A ，∠B ＝2∠A ，由三角形内角和定理得，∠A +2∠A +3∠A ＝180°， 解得，∠A ＝30°，∴∠C ＝3∠A ＝90°，即△ABC 为直角三角形； ④∠A ＝∠B ＝2∠C ，由三角形内角和定理得，2∠C +2∠C +∠C ＝180°，解得，∠C ＝36°，∠A ＝∠B ＝2∠C ＝72°，即△ABC 不是直角三角形； ⑤∠A ＝∠B =12∠C ，由三角形内角和定理得，12∠C +12∠C +∠C ＝180°，解得，∠C ＝90°，即△ABC 是直角三角形； 故选：C ．7．（2019春•兴化市期中）在△ABC 中，∠C ＝40°，∠B ＝4∠A ，则∠A 为（ ）度． A ．30B ．28C ．26D ．40【分析】根据三角形内角和定理构建方程即可解决问题． 【解析】∵∠A +∠B +∠C ＝180°， ∴5∠A +40°＝180°， ∴∠A ＝28°， 故选：B ．8．（2019春•垦利区期中）如图，三角形纸片ABC 中，∠A ＝65°，∠B ＝75°，将∠C 沿DE 对折，使点C 落在△ABC 外的点C ′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）A．80°B．90°C．100°D．110°【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，根据折叠的性质求出∠C′，根据三角形的外角的性质计算，得到答案．【解析】∵∠A＝65°，∠B＝75°，∴∠C＝180°﹣65°﹣75°＝40°，由折叠的性质可知，∠C′＝∠C＝40°，∴∠3＝∠1+∠C′＝60°，∴∠2＝∠C+∠3＝100°，故选：C．9．（2019春•南京期中）如图，在△ABC中，∠A＝α，∠B＝∠C，点D，E，F分别在BC，AB，AC上，且∠EDF＝∠B，若∠2＝2∠1，则∠EDB的度数为（）A．120°﹣a B．60°+13a C．90°−12a D．45°+23a【分析】根据∠EDB＝180°﹣∠B﹣∠1，求出∠B，∠1（用α表示）即可解决问题．【解析】∵∠EDC＝∠EDF+∠FDC＝∠B+∠1，∠EDF＝∠B，∴∠FDC＝∠1，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠B＝∠C，∠A＝α，∴∠B＝90°−12α，∵2∠1+∠1+∠C＝180°，∴∠1=13（90°+12α），∴∠EDB＝180°﹣∠B﹣∠1＝180°﹣（90°−12α）−13（90°+12α）＝60°+13α，故选：B．10．（2019春•泰兴市校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝40°，高BE、CF交于点O，则∠BOC为（）A．40°B．110°C．130°D．140°【分析】根据∠BOC＝∠CEO+∠ECO，求出∠CEO，∠ECO即可．【解析】∵△ABC中，高BE、CF交于点O，∴∠AEB＝∠ADFC＝90°，∵∠A＝40°，∴∠ACF＝50°，∴∠BOC＝∠CEO+∠ECO＝90°＝50°＝140°，故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2019春•京口区校级月考）如图，点D在三角形ABC的边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A＝80°，∠B＝20°，则∠ACE的大小是50度．【分析】由∠A＝80°，∠B＝20°，根据三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和得到∠ACD ＝∠B+∠A，然后利用角平分线的定义计算即可．【解析】∵∠ACD＝∠B+∠A，而∠A＝80°，∠B＝20°，∴∠ACD＝80°+20°＝100°．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝50°，故答案为：50．12．（2019春•广陵区校级月考）一个三角形三个内角度数的比是2：5：4，那么这个三角形是锐角三角形．【分析】根据三角形内角和定理可分别求得每个角的度数，从而根据最大角的度数确定其形状．【解析】依题意，设三角形的三个内角分别为：2x，5x，4x，∴2x+5x+4x＝180°，∴5x≈81.82°．∴这个三角形是锐角三角形．故答案为：锐角．13．（2019春•崇川区校级月考）若△ABC为钝角三角形，且∠A＝50°，则∠B的取值范围为130°＞∠B＞90°或0°＜∠B＜40°．【分析】根据钝角三角形的定义即可判断．【解析】当130°＞∠B＞90°时，△ABC是钝角三角形，当∠C＞90°时，△ABC是钝角三角形，此时0°＜∠B＜40°，故答案为130°＞∠B＞90°或0°＜∠B＜40°．14．（2019春•江宁区校级月考）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，点A落在四边形BCDE的外部，用∠1和∠2表示出∠A，则关系式是2∠A＝∠1﹣∠2．【分析】此题求的是∠A、∠1、∠2之间的数量关系，首先画出折叠前的三角形，设为△BCF，可根据三角形的外角性质，首先表示出∠DEF的度数，进而根据三角形内角和定理，得到所求的结论．【解析】如右图，设翻折前A点的对应点为F；根据折叠的性质知：∠3＝∠4，∠F＝∠A；由三角形的外角性质知：∠DEF＝∠5+∠3＝∠A+∠2+∠3；△DEF中，∠DEF＝180°﹣∠4﹣∠F；故180°﹣∠4﹣∠F＝∠A+∠2+∠3，即：180°﹣∠4﹣∠A＝∠A+∠2+∠3，180°﹣∠4﹣∠3＝2∠A+∠2，即∠1＝2∠A+∠2，2∠A＝∠1﹣∠2，故答案为：2∠A＝∠1﹣∠2．15．（2019春•长春月考）当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“梦想三角形”，如果一个“梦想三角形”有一个角为120°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为20°或15°．【分析】分两种情况，根据三角形内角和定理计算即可．【解析】①120°÷3＝40°，180°﹣120°﹣40°＝20°，则这个“梦想三角形”的最小内角的度数为20°；②设这个“梦想三角形”的其它两个内角的度数分别为3x、x，则3x+x+120°＝180°，解得，x＝15°，则这个“梦想三角形”的最小内角的度数15°，故答案为：20°或15°．16．（2018秋•新抚区校级月考）在△ABC中，若2（∠A+∠C）＝3∠B，则∠B的度数为72°．【分析】根据三角形内角和定理，得出∠A+∠C＝180°﹣∠B，再根据2（∠A+∠C）＝3∠B，得出关于∠B的方程，求得∠B即可．【解析】∵在△ABC中，∠A+∠C＝180°﹣∠B，且2（∠A+∠C）＝3∠B，∴2（180°﹣∠B）＝3∠B，∴360°＝5∠B，∴∠B＝72°．故答案为：72°17．如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC，垂足为D．若∠ABC＝66°，∠C＝34°，则∠DAE＝16°．【分析】先求出∠BAC的度数，再求出∠BAD的度数和∠CAE的度数，再求出∠DAE的度数．【解析】∵∠BAC＝180°﹣66°﹣34°＝80°，又∵AE是△ABC的角平分线，∴∠CAE＝40°，∵∠ABC＝66°，AD是BC边上的高．∴∠BAD＝90°﹣66°＝24°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝∠CAE﹣∠BAD＝40°﹣24°＝16°．故答案为：16．18．（2020春•如皋市期末）在△ABC中，将∠B、∠C按如图所示方式折叠，点B、C均落于边BC上一点G处，线段MN、EF为折痕．若∠A＝82°，则∠MGE＝82°．【分析】由折叠的性质可知：∠B＝∠MGB，∠C＝∠EGC，根据三角形的内角和为180°，可求出∠B+∠C的度数，进而得到∠MGB+∠EGC的度数，问题得解．【解析】∵线段MN、EF为折痕，∴∠B＝∠MGB，∠C＝∠EGC，∵∠A＝82°，∴∠B+∠C＝180°﹣82°＝98°，∴∠MGB+∠EGC＝∠B+∠C＝98°，∴∠MGE＝180°﹣98＝82°，故答案为：82．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019春•崇川区校级月考）如图，已知，在△ABC中，∠C＝∠ABC，BE⊥AC，∠DBE＝60°，求∠C的度数．【分析】由直角三角形的性质得出∠A＝30°，再由三角形内角和定理即可得出答案．【解析】∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∵∠DBE＝60°，∴∠A＝90°﹣60°＝30°，∴∠C＝∠ABC=12（180°﹣30°）＝75°．20．（2019春•东台市校级月考）如图，在△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝30°，∠C＝50°．（1）求∠DAE的度数；（2）试写出∠DAE与∠C、∠B之间的数量关系（不必说明理由）．【分析】（1）由AD是BC边上的高可得出∠ADE＝90°，在△ABC中利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，由角平分线的定义可求出∠BAE的度数，再根据三角形外角的性质可求出∠AED的度数，在△ADE中利用三角形内角和定理可求出∠DAE的度数；（2）∠DAE=12（∠C﹣∠B），理由同（1）．【解析】（1）∵AD是BC边上的高，∴∠ADE＝90°．∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°．∵AE是∠BAC平分线，∴∠BAE=12∠BAC＝50°，∴∠AED＝∠B+∠BAE＝30°+50°＝80°．∵∠ADE+∠AED+∠DAE＝180°，∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣90°﹣80°＝10°．（2）∠DAE=12（∠C﹣∠B），理由如下：∵AD是BC边上的高，∴∠ADE＝90°．∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C．∵AE是∠BAC平分线，∴∠BAE=12∠BAC＝90°−12（∠B+∠C），∴∠AED＝∠B+∠BAE＝90°+12（∠B﹣∠C）．∵∠ADE+∠AED+∠DAE＝180°，∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣90°﹣[90°+12（∠B﹣∠C）]=12（∠C﹣∠B）．21．（2018秋•江都区月考）如图：有一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其沿CD折叠，使点A落在边CB上的点A′处，求∠A′DB的度数．【分析】先根据直角三角形两锐角互余求得∠B＝40°，由翻折的性质可知∠DA′C＝50°，最后根据三角形外角的性质可知∠A′DB＝10°．【解析】由折叠可得，∠CA'D＝∠A＝50°，∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠B＝40°，∵∠B+∠A'DB＝∠CA'D，∴∠A'DB＝50°﹣40°＝10°．22．（2020春•常熟市期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，∠ADB＝∠BAC，BE平分∠ABC，过点E 作EF∥AD，交BC于点F．（1）求证：∠BAD＝∠C；（2）若∠C＝20°，∠BAC＝110°，求∠BEF的度数．【分析】（1）利用三角形内角和定理证明即可．（2）想办法求出∠BHD，再利用平行线的性质求解即可．【解答】（1）证明：∵∠ABC+∠BAC+∠C＝180°，∠ABC+∠BDA+∠BAD＝180°，∠BDA＝∠BAC，∴∠BAD＝∠C．（2）解：∵∠C＝20°，∠BAC＝110°，∴∠ABC＝180°﹣20°﹣110°＝50°，∵BE平分∠ABC，∴∠EBF=12∠ABC＝25°，∵∠BDA＝∠BAC＝110°，∴∠BHD＝180°﹣∠HBD﹣∠BDA＝180°﹣25°﹣110°＝45°，∵AD∥EF，∴∠BEF＝∠BHD＝45°．23．（2020春•赣榆区期中）如图1，AD、BC交于点O，得到的数学基本图形我们称之为‘8’字形ABCD．（1）试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于E，尝试用（1）中的数学基本图形和结论，猜想∠E与∠A、∠C之间的数量关系并说明理由．【分析】（1）利用三角形内角和定理证明即可．（2）利用（1）中结论，设∠ABE＝∠EBC＝x，∠ADE＝∠EDC＝y，可得∠A+x＝∠E+y，∠C+y＝∠E+x，两式相加可得结论．【解答】（1）证明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，又∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）解：结论：2∠E＝∠A+∠C．理由：∵∠ABC和∠ADC的平分线相交于E，∴可以假设∠ABE＝∠EBC＝x，∠ADE＝∠EDC＝y，∵∠A+x＝∠E+y，∠C+y＝∠E+x，∴∠A+∠C＝∠E+∠E，∴2∠E＝∠A+∠C，24．（2020春•相城区期中）已知（如图1）在△ABC中，∠B＞∠C，AD平分∠BAC，点E在AD的延长线上，过点E作EF⊥BC于点F，设∠B＝α，∠C＝β．（1）当α＝80°，β＝30°时，求∠E的度数；（2）试问∠E与∠B，∠C之间存在着怎样的数量关系，试用α、β表示∠E，并说明理由；（3）若∠EFB与∠BAE平分线交于点P（如图2），当点E在AD延长线上运动时，∠P是否发生变化，若不变，请用α、β表示∠P；若变化，请说明理由．【分析】（1）根据三角形的内角和和角平分线的定义即可得到即可；（2）根据三角形的内角和和角平分线的定义即可得到即可；（3）根据三角形的内角和和角平分线的定义即可得到即可．【解析】（1）∵∠B＝80°，∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣80°﹣30°＝70°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC＝35°，∴∠EDF＝∠ADB＝180°﹣35°﹣80°＝65°，∵EF⊥BC，∴∠EFD＝90°，∴∠E＝90°﹣65°＝25°；（2）∵∠EDF＝∠C+∠CAD，∠CAD=12∠BAC=12（180°﹣α﹣β），∴∠EDF＝∠C+90°−12α−12β＝90°−12（α﹣β），∵∠EFD＝90°，∴∠DEF=12（α﹣β）；（3）设AP与BC交于G，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC=12（180°﹣α﹣β），∵AP平分∠BAE，∴∠BAP=12∠BAD=14（180°﹣α﹣β），∴∠PGF＝∠AGB＝180°﹣∠B﹣∠BAP＝180°﹣α−14（180°﹣α﹣β）＝135°−34α+14β，∵PF平分∠EFB，∴∠PFB＝45°，∴∠P＝180°﹣∠PFB﹣∠PGF＝180°﹣45°﹣（135°−34α+14β）=34α−14β，故∠P不会发生变化．。
人教版八年级数学上册练习题 三角形的内角 同步练习及答案1
义务教育基础课程初中教学资料三角形的内角一、选择题:(每小题3分,共21分)1.如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,则它是( )A.锐角三角形B.钝角三角形;C.直角三角形D.钝角或直角三角形2.下列说法正确的是( )A.三角形的内角中最多有一个锐角;B.三角形的内角中最多有两个锐角C.三角形的内角中最多有一个直角;D.三角形的内角都大于60°3.已知三角形的一个内角是另一个内角的23,是第三个内角的45,则这个三角形各内角的度数分别为( )A.60°,90°,75°B.48°,72°,60°C.48°,32°,38°D.40°,50°,90°4.已知△ABC中,∠A=2(∠B+∠C),则∠A的度数为( )A.100°B.120°C.140°D.160°5.已知三角形两个内角的差等于第三个内角,则它是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形6.设α,β,γ是某三角形的三个内角,则α+β,β+γ,α+γ中 ( )A.有两个锐角、一个钝角B.有两个钝角、一个锐角C.至少有两个钝角D.三个都可能是锐角7.在△ABC中,∠A=12∠B=13∠C,则此三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形二、填空题:(每小题3分,共15分)1.三角形中,若最大内角等于最小内角的2倍,最大内角又比另一个内角大20°,则此三角形的最小内角的度数是________.2.在△ABC中,若∠A+∠B=∠C,则此三角形为_______三角形;若∠A+∠B<∠C,则此三角形是_____三角形.3.已知等腰三角形的两个内角的度数之比为1: 2, 则这个等腰三角形的顶角为_______.4.在△ABC中,∠B,∠C的平分线交于点O,若∠BOC=132°,则∠A=_______度.5.如图所示,已知∠1=20°,∠2=25,∠A=35°,则∠BDC的度数为________.三、基础训练:(每小题15分,共30分)1.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC于D,AE平分∠BAC(∠C>∠B),试说明∠EAD=12(∠C-∠B).21DAD CB A2.在△ABC 中,已知∠B-∠A=5°,∠C-∠B=20°,求三角形各内角的度数.四、提高训练:(共15分)如图所示,已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠C=32°,∠D=28°,求∠P 的度数.43P21DCBA五、探索发现:(共15分)如图所示,将△ABC 沿EF 折叠,使点C 落到点C ′处,试探求∠1,∠2与∠C 的关系.21C 'FEC BA六、中考题与竞赛题:(共4分)如图所示,在△ABC 中,∠B=∠C,FD ⊥BC,DE ⊥AB, ∠AFD=158°, 则∠EDF=________度.答案:一、1.A 2.C 3.B 4.B 5.C 6.C 7.B二、1.40° 2.直角 钝角 3.36°或90° 4.84 5.80° 三、1.解:∵AD ⊥BC,∴∠BDA=90°, ∴∠BAD=90°-∠B, 又∵AE 平分∠BAC,∴∠BAE=12∠BAC=12(180°-∠B-∠C),FEA∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=90°-∠B-12(180°-∠B-∠C)=90°-∠B-90°+12∠B+12∠C=12∠C-12∠B=12(∠C-∠B).2.∠A=50°,∠B=55°,∠C=75.四、∠P=30°五、解:∵∠1=180°-2∠CEF,∠2=180°-2∠CFE,∴∠1+∠2=360°-2(∠CEF+ ∠CFE)=360°-2(180°-∠C)=360°-360°+2∠C=2∠C.六、68.。
部编数学八年级上册专题三角形的内角和与外角(解析版)2023年重难点专题提优训练(人教版)含答案
专题02 三角形的内角和与外角考点一 三角形内角和定理的证明考点二 与平行线有关的三角的内角和问题考点三 与角平分线有关的三角的内角和问题考点四 三角形折叠中的角度问题考点五 三角形内角和定理的应用 考点六 三角形外角的定义和性质考点一 三角形内角和定理的证明例题：（2021·广西·靖西市教学研究室八年级期末）（1）如图①，直线DE 经过点A ，DE ∥BC ．若∠B ＝45°，∠C ＝58°，那么∠DAB ＝ ；∠EAC ＝ ；∠BAC ＝ ．(在空格上填写度数）（2）求证：在△ABC 中，∠A +∠B +∠C ＝180°．【答案】（1）45°；58°；77°（2）见解析【解析】【分析】（1）通过平行线的性质，两直线平行，内错角相等，可分别求出：45DAB Ð=°，58EAC Ð=°．由图可知：180DAB BAC EAC Ð+Ð+Ð=°，可求出：77BAC Ð=°．（2）过点A 作//DE BC ，通过平行线的性质，可得：B DAB Ð=Ð，C EACÐ=Ð所以180BAC B C BAC DAB EAC Ð+Ð+Ð=Ð+Ð+Ð=°．【详解】（1）解：Q //DE BC ，45B Ð=°，58C Ð=°\45B DAB Ð=Ð=°，=58C EAC Ð=аQ 180BAC DAB EAC Ð+Ð+Ð=°\18077BAC DAB EAC Ð=°-Ð-Ð=°，故答案是：45°，58°，77°；（2）证明：过点A 作//DE BCQ //DE BC\B DAB Ð=Ð，C EACÐ=ÐQ 180BAC DAB EAC Ð+Ð+Ð=°\180BAC B C BAC DAB EAC Ð+Ð+Ð=Ð+Ð+Ð=°【点睛】本题主要考查知识点为，平行线的性质．即：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键．【变式训练】1．（2022·全国·八年级专题练习）在小学，我们曾经通过动手操作，利用拼图的方法研究了三角形三个内角的数量关系．如图，把三角形ABC 分成三部分，然后以某一顶点（如点B ）为集中点，把三个角拼在一起，观察发现恰好构成了平角，从而得到了“三角形三个内角的和是180°”的结论．但是，通过本学期的学习我们知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性．小聪认真研究了拼图的操作方法，形成了证明命题“三角形三个内角的和是180°”的思路：①画出命题对应的几何图形；②写出已知，求证；③受拼接方法的启发画出辅助线；④写出证明过程．请你参考小聪解决问题的思路，写出证明该命题的完整过程．【答案】见解析【解析】【分析】根据要求画出△ABC，写出已知，求证．构造平行线，利用平行线的性质解决问题即可．【详解】解：已知：△ABC．求证：∠A+∠B+∠C=180°．证明：如图，延长CB到F，过点B作BE∥AC．∵BE∥AC，∴∠1=∠4，∠5=∠3，∵∠2+∠4+∠5=180°，∴∠1+∠2+∠3=180°，即∠A+∠ABC+∠C=180°．【点睛】本题考查三角形内角和定理的证明，平行线的性质，平角的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．2．（2022·北京·中考真题）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，已知：如图，ABC D ,求证：180.A B C Ð+Ð+Ð=o 方法一证明：如图，过点A 作.DE BC ∥方法二证明：如图，过点C 作.CD AB ∥【答案】答案见解析【解析】【分析】选择方法一，过点A 作//DE BC ，依据平行线的性质，即可得到B BAD Ð=Ð，C EAC Ð=Ð，再根据平角的定义，即可得到三角形的内角和为180°．【详解】证明：过点A 作//DE BC ，则B BAD Ð=Ð，C EAC Ð=Ð．( 两直线平行，内错角相等）Q 点D ，A ，E 在同一条直线上，180DAB BAC C \Ð+Ð+Ð=°．（平角的定义）180B BAC C \Ð+Ð+Ð=°．即三角形的内角和为180°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．考点二 与平行线有关的三角的内角和问题例题：（2022·山东泰安·一模）如图，AB ∥CD ，EF 分别与AB ，CD 交于点B ，F ．若30E Ð=°，130EFC Ð=°，则A Ð=______．【答案】20°【解析】【分析】通过两直线平行，同位角相等，求出∠ABE 的度数，再利用三角形内角和定理求解．【详解】解：//AB CD Q ，130ABE EFC ÐÐ\==°，在△ABE 中，30E Ð=°，1801803013020A E ABE Ð\=°-Ð-Ð=°-°-°=°，20A Ð\=°．故答案为：20°．【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，灵活运用平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键．【变式训练】1．（2022·江西南昌·模拟预测）如图，直线AB ，CD 被直线BC ，EG 所截．若AB //CD ，176Ð=°，236Ð=°，则3Ð的度数为（ ）A ．30°B ．36°C ．40°D ．45°【答案】C【分析】由两直线平行，同旁内角互补求出∠CGE的度数，再由三角形的内角和定理求得∠3的度数．【详解】Ð=°，解：∵AB//CD，176∴∠CGE＝180°－∠1＝104°，∵∠2＋∠3＋∠CGE＝180°，236Ð=°，∴∠3＝180°－∠2－∠CGE＝40°．故选：C【点睛】此题考查了平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键．∥，直线c与直线a，b分别相交于点A、点B，2．（2022·全国·八年级课时练习）如图所示，直线a bAM⊥b，垂足为点M，若∠1＝56°，则∠2＝______．【答案】34°##34度【解析】【分析】先根据平行线的性质得出∠ABM的度数，再由三角形内角和定理求出∠2的度数即可．【详解】∥，∠1＝56°，：解：∵直线a b∴∠ABM＝∠1＝56°，∵AM⊥b，垂足为点M，∴∠AMB＝90°，∴∠2＝180°−∠AMB−∠ABM＝180°−56°−90°＝34°，故答案为：34°．本题考查三角形中求角度问题，涉及到平行线的性质、三角形内角和定理，在求角度问题中，熟练运用三角形内角和是180°是解决问题的关键．考点三与角平分线有关的三角的内角和问题例题：（2022·江苏·南京市第十三中学七年级期中）在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，若∠P=125°，则∠A=_____°【答案】70【解析】【分析】依据BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，可得∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB，再根据三角形内角和定理，即可求得∠ABC+∠ACB=110°，即可求得∠A的度数．【详解】解：Q BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，\∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB，=180=180125=55PBC PCB PÐ+а-а-°°Q，\∠PBC+∠PCB=12∠ABC+12∠ACB=55°，\∠ABC+∠ACB=110°，()=180=180110=70ABC ACBAÐ\а-°-°+а，故答案为：70．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，能正确运用定理进行推理是解此题的关键．【变式训练】1.（2022·福建省福州屏东中学七年级期末）如图，在ABC V 中，AD 是高，AE 是角平分线．(1)若32B =°∠，60C Ð=°，求DAE Ð的度数；(2)若18C B Ð-Ð=°，求DAE Ð的度数．【答案】(1)14°(2)9°【解析】【分析】先求∠DAC =30°，再求∠BAC =180°-32°-60°=88°，根据角的平分线计算∠EAC =1442BAC Ð=°，求得∠DAE =14°．(2)根据∠DAE =12BAC DAC Ð-Ð=1(180)(90)2B C C -Ð-Ð--Ðo o =11909022B C C -Ð-Ð-+Ðo o =12()C B Ð-Ð，代入计算即可．(1)∵AD 是高，AE 是角平分线，32B =°∠，60C Ð=°，∴∠DAC =30°，∠BAC =180°-32°-60°=88°，∴∠EAC =1442BAC Ð=°，∴∠DAE =∠EAC -∠DAC =44°-30°=14°．(2)∵∠DAE =12BAC DAC Ð-Ð=1(180)(90)2B C C -Ð-Ð--Ðo o =11909022B C C -Ð-Ð-+Ðo o =12()C B Ð-Ð，18C B Ð-Ð=°，∴∠DAE =9°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形性质，角的平分线意义，熟练掌握三角形内角和定理，直角三角形性质是解题的关键．2．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校七年级期中）如图，ABC V 中，AD BC ^于点D ，E 为AC 上任意一点，连接BE 交AD 于点F ．(1)若4070ABD AFE Ð=°Ð=°，，求证：BE 平分ABC Ð．(2)如图2，在（1）的条件下，若AFE AEF Ð=Ð，请直接写出图中所有直角三角形．【答案】(1)证明见解析；(2)△ABC 、△ABE 、△ABD 、△ACD 、△BDF 都是直角三角形．【解析】【分析】（1）AD ⊥BC ，得∠ADB =90°，进而得∠DBF =20°，又由∠ABD =40°即可得∠DBF =12ABD Ð，即可证明结论成立；（2）由AD ⊥BC 得△ABD 、△ACD 、△BDF 是直角三角形，另由∠ABE +∠AEF =20°+ 70°=90°，可得∠BAE =90°得△ABE 、△ABC 是直角三角形．(1)解： ∵AD ⊥BC ，∴∠ADB =90°，∴在Rt △BDF 中，∠DBF +∠BFD =90°，∴∠BFD +∠AFE =70°，∴∠DBF =20°，∵∠ABD =40°，∴∠DBF =12ABD Ð，∴BE 平分∠ABC ；(2)解：∵AD ⊥BC ，∴△ABD 、△ACD 、△BDF 是直角三角形，∵∠ABE =∠CBE =20°，∴∠AEF =∠AFE =70°，∴∠ABE +∠AEF =20°+ 70°=90°，∴.在△ABE 中，∠BAE =90°，∴△ABC 、△ABE 是直角三角形，综上所述△ABC 、△ABE 、△ABD 、△ACD 、△BDF 都是直角三角形．【点睛】本题主要考查了直角三角形及角平分线与垂直，熟练掌握直角三角形的概念是解题的关键．考点四 三角形折叠中的角度问题例题：（2022·河南·南阳市第三中学七年级阶段练习）如图，在三角形纸片ABC 中，65A Ð=°，75B Ð=°，将纸片的一角折叠，使点C 落在ABC V 外的点C ¢处．若225Ð=°，则1Ð的度数为（ ）A ．115°B ．100°C ．105°D ．95°【答案】C【解析】【分析】在△ABC 中利用三角形内角和定理可求出∠C 的度数，由折叠的性质，可知：∠CDE ＝∠C ′DE ，∠CED ＝∠C ′ED ，结合∠2的度数可求出∠CED 的度数，在△CDE 中利用三角形内角和定理可求出∠CDE 的度数，再由∠1＝180°﹣∠CDE ﹣∠C ′DE 即可求出结论．【详解】解：在△ABC 中，∠A ＝65°，∠B ＝75°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝40°．由折叠，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，∴∠CED＝18022°+Ð＝102.5°，∴∠CDE＝180°﹣∠CED﹣∠C＝37.5°，∴∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE＝180°﹣2∠CDE＝105°．故选：C．【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及折叠的性质，利用三角形内角和定理及折叠的性质求出∠CDE的度数是解题的关键．【变式训练】1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，将点A与点B分别沿MN和EF 折叠，使点A、B与点C重合，则∠NCF的度数为（）.A．22°B．21°C．20°D．19°【答案】C【解析】【分析】根据三角形的内角和定理可得∠ACB＝100°，再由折叠的性质可得∠ACN＝∠A＝30°，∠FCE＝∠B＝50°，即可求解．【详解】解：∵∠A＝30°，∠B＝50°，∴∠ACB＝100°，∵将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，∴∠ACN＝∠A＝30°，∠FCE＝∠B＝50°，∴∠NCF＝20°，故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的折叠的性质、三角形内角和定理、熟练掌握图形的折叠的性质、三角形内角和定理是解题的关键．2．（2022·江苏·南京市第十三中学七年级期中）如图 1，△ABC 中，D 是 AC 边上的点，先将 ABD 沿看 BD 翻折，使点 A 落在点A ＇处，且 A ′D ∥BC ，A ′B 交 AC 于点 E （如图 2），又将△BCE 沿着 A ′B 翻折，使点 C 落在点 C ′处，若点C ′恰好落在 BD 上（如图 3），且∠C ′EB =75°，则∠C = ___°【答案】80°##80度【解析】【分析】先由平行线性质得：A ¢Ð=∠CBE ，再由折叠可得：∠A =∠A ¢，∠ABD =∠DBE =∠CBE ，BC E ¢Ð=∠C ，则∠A =∠ABD =∠DBE =∠CBE ，由三角形内角和定理知180BC E C EB DBE ¢¢Ð+Ð+Ð=°，而75C EB ¢Ð=°，可求得105C DBE Ð+Ð=°，然后由∠A +∠C +∠ACB =180°，则∠C +4∠DBE =180°，即可求出∠C 度数．【详解】解：∵A ′D ∥BC ，∴A ¢Ð=∠CBE ，由折叠可得：∠A =∠A ¢，∠ABD =∠DBE =∠CBE ，BC E ¢Ð=∠C ，∴∠A =∠ABD =∠DBE =∠CBE ，∵180BC E C EB DBE ¢¢Ð+Ð+Ð=°，75C EB ¢Ð=°，∴105BC E DBE ¢Ð+Ð=°，∴105C DBE Ð+Ð=°，∵∠A +∠C +∠ACB =180°，∴∠C +4∠DBE =180°，∴∠C =80°，故答案为：80°．【点睛】本题考查平行线的性质，折叠性质，三角形内角和定理，求出105C DBE Ð+Ð=°和∠C +4∠DBE =180°是解题的关键．考点五 三角形内角和定理的应用例题：（2022·河南南阳·二模）小明把一副三角板按如图所示方式摆放，直角边CD 与直角边AB 相交于点F ，斜边∥DE BC ，∠B ＝30°，∠E ＝45°，则∠CFB 的度数是（ ）A ．95°B ．115°C ．105°D ．125°【答案】C【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质可得45D Ð=°，再由平行线的性质得出45BCF Ð=°，再由三角形的内角和定理进行求解即可．【详解】CDE D Q 是直角三角形，∠E ＝45°，45D \Ð=°，Q ∥DE BC ，45BCF D \Ð=Ð=°，180,30B BCF BFC B Ð+Ð+Ð=°Ð=°Q ，105CFB \Ð=°，故选：C ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，平行线的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．【变式训练】1．（2022·福建省福州第十六中学七年级期中）如图，直线MN PQ ∥，点A 在直线MN 与PQ 之间，点B 在直线MN 上，连接AB ．ABM Ð的平分线BC 交PQ 于点C ，连接AC ，过点A 作AD PQ ^交PQ 于点D ，作AF AB ^交PQ 于点F ，AE 平分DAF Ð交PQ 于点E ，若45CAE Ð=°，52ACB DAE Ð=Ð，则ACD Ð的度数是（ ）A ．18°B ．27°C ．30°D ．45°【答案】B【解析】【分析】设DAE a Ð=，则EAF a Ð=，52ACB a Ð=，先求得180BCE CEA Ð+Ð=°，即可得到AE BC ∥，进而得出ACB CAE Ð=Ð，即可得到18DAE Ð=°，再依据Rt ACD △内角和即可得到∠ACD 的度数．【详解】设DAE a Ð=，则EAF a Ð=，52ACB a Ð=，∵,AD PQ AF AB ^^，∴90BAF ADE Ð=Ð=°，∴90BAE BAF EAF a Ð=Ð+Ð=°+，90CEA ADE DAE a Ð=Ð+Ð=°+，∴BAE CEA Ð=Ð，∵MN PQ ∥，BC 平分∠ABM ，∴BCE CBM CBA Ð=Ð=Ð，又∵360ABC BCE CEA BAE Ð+Ð+Ð+Ð=°，∴180BCE CEA Ð+Ð=°，∴AE BC ∥，∴ACB CAE Ð=Ð，即5452a =°，∴18a =°，∴18DAE Ð=°，∴在Rt ACD △中，9090)451827(ACD CAD Ð=°-Ð=°-°+°=°，故答案为：B ．【点睛】此题考查平行线的性质，三角形内角和定理，解题关键在于得出ACB CAE Ð=Ð．2．（江西省吉安市六校联谊联考2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题）如图，在ABC V 中，点D 在边BC 上，点G 在边AB 上，点E 、F 在边AC 上，70AGF ABC Ð=Ð=°，12180Ð+Ð=°(1)试判断BF 与DE 的位置关系，并说明理由；(2)若DE AC ^，30Ð=°CDE ，求A Ð的度数．【答案】(1)BF ∥DE ，理由见解析(2)50°【解析】【分析】（1）先证FG CB ∥，得出∠1=∠3，进而得出23180Ð+Ð=°，最后证得DE BF P ；（2）由DE AC ^，可知∠DEC =90°，进而∠C =60°，根据三角形内角和定理最后求得∠A 的度数．(1)解：BF DE P ，理由如下：∵70AGF ABC Ð=Ð=°，∴FG CB ∥，∴13Ð=Ð，又12180Ð+Ð=°，∴23180Ð+Ð=°，∴DE BF P ．(2)解：∵DE AC ^，∴90CED Ð=°，30CDE Ð=°Q ，60C \Ð=°，∴180180706050A ABC C Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，熟练地掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键．考点六 三角形外角的定义和性质例题：（2022·四川·成都七中七年级期中）如图，已知7AOB Ð=°，一条光线从点A 出发后射向OB 边．若光线与OB 边垂直，则光线沿原路返回到点A ，此时90783A Ð=°-°=°．当83A Ð<°时，光线射到OB 边上的点1A 后，经OB 反射到线段AO 上的点2A ，易知12ÐÐ=．若12A A AO ^，光线又会沿21A A A ®®原路返回到点A ，此时A Ð=______ °．若光线从A 点出发后，经若干次反射能沿原路返回到点A ，则锐角A Ð的最小值=______ °．【答案】 76 6【解析】【分析】根据入射角等于反射角得出1290783ÐÐ==°-°=°，再由1Ð是1AAO V 的外角即可得A Ð度数；如图，当MN OA ^时，光线沿原路返回，分别根据入射角等于反射角和外角性质求出5Ð、9Ð的度数，从而得出与A Ð具有相同位置的角的度数变化规律，即可解决问题．【详解】解：12A A AO ^Q ，7AOB Ð=°，1290783ÐÐ\==°-°=°，176A AOB ÐÐÐ\=-=°，如图：当MN OA ^时，光线沿原路返回，4390783ÐÐ\==°-°=°，654837769027AOB ÐÐÐÐ\==-=°-°=°=°-´°，8767679037AOB ÐÐÐÐ\==-=°-°=°-´°，98697629047AOB ÐÐÐ\=-=°-°=°=°-´°，由以上规律可知，9027A n Ð=°-×°，当6n =时，A Ð取得最小值，最小度数为6°，故答案为：76，6．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质和三角形的外角性质及入射角等于反射角，根据三角形的外角性质及入射角等于反射角得出与A Ð具有相同位置的角的度数变化规律是解题的关键．【变式训练】1．（2021·广西·靖西市教学研究室八年级期末）如图，∠BCD ＝145°，则∠A +∠B +∠D 的度数为_____．【答案】145°【解析】【分析】连接AC 并延长，延长线上一点为E ．由三角形外角的性质可得：DCE D DAC Ð=Ð+Ð，BCE E BAC Ð=Ð+Ð．所以可得：145DAB B D DAC BAC B D DCE BCE BCD Ð+Ð+Ð=Ð+Ð+Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°【详解】解：连接AC 并延长，延长线上一点为EQ DCE Ð是ACD △的外角\DCE D DACÐ=Ð+Ð同理可得：BCE B BACÐ=Ð+Ð\145DAB B D DAC BAC B D DCE BCE BCD Ð+Ð+Ð=Ð+Ð+Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°故答案为145°．【点睛】本题主要考查知识点为，三角形中外角的性质．即：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和．本题需根据已知和所求作出辅助线．掌握外角的性质是解决本题的关键．2．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处七年级期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．(1)如图1，AB ∥CD ，点P 在AB 、CD 内部，∠B ＝55°，∠D ＝40°，则∠BPD ＝ °；(2)如图2，AB ∥CD ，点P 在AB 、CD 外部（CD 的下方），则∠BPD 、∠B 、∠D 之间的数量关系为 ；(3)如图3，直接写出∠BPD 、∠B 、∠D 、∠BQD 之间的数量关系为 ；(4)如图4，计算∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是 °．【答案】(1)95(2)∠BPD+∠D=∠B(3)∠BQD+∠QBP+∠PDQ=∠BPD(4)360【解析】【分析】（1）延长BP交CD于点E，根据平行线的性质、三角形外角的性质即可求解；（2）根据AB∥CD，得∠B=∠BOD，再由三角形外角的性质即可求证；（3）连接BD，由∠BQD+∠QBP+∠DBP+∠BDP+∠PDQ=180°，∠DBP+∠BDP+∠BPD=180°即可求解；（4）连接AD，由∠B+∠F=∠EHF，∠GAD+∠ADG=∠EGH，∠EHF+∠EGH+∠E=180°，∠CAD+∠ADC+∠C=180°，即可求解；(1)解：延长BP交CD于点E，∵AB∥CD，∠B＝55°，∴∠B=∠BED=55°，∵∠D＝40°，∴∠BPD＝∠D+∠BED＝95°．故答案为：95．(2)∵AB∥CD，∴∠B=∠BOD，∵∠BPD+∠D=∠BOD，∴∠BPD+∠D=∠B．故答案为：∠BPD+∠D=∠B．(3)连接BD，∵∠BQD+∠QBP+∠DBP+∠BDP+∠PDQ=180°，∠DBP+∠BDP+∠BPD=180°，∴∠BQD+∠QBP+∠PDQ-∠BPD=0，∴∠BQD+∠QBP+∠PDQ=∠BPD．故答案为：∠BQD+∠QBP+∠PDQ=∠BPD．(4)如图，连接AD，∵∠B+∠F=∠EHF，∠GAD+∠ADG=∠EGH，∠EHF+∠EGH+∠E=180°，∴∠B+∠F+∠GAD+∠ADG+∠E=180°，∵∠CAD+∠ADC+∠C=180°，∴∠B+∠F+∠GAD+∠ADG+∠CAD+∠ADC+∠C+∠E=360°．故答案为：360．【点睛】本题主要考查平行线的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质，掌握相关知识并结合题意正确做出辅助线是解题的关键．一、选择题1．（2022·辽宁·沈阳市第七中学七年级阶段练习）在△ABC 中，2A B C Ð=Ð=Ð，则△ABC 的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．形状无法确定【答案】A【解析】【分析】利用∠A ，∠B ，∠C 的关系和三角形内角和定理，求出具体的度数，即可求解．【详解】解：∵∠A =∠B =2∠C ，∠A +∠B +∠C =180°，∴2∠C +2∠C +∠C =180°，∴∠C =36°，∴∠A =∠B =2∠C =72°，∴△ABC 为锐角三角形，故选：A ．【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是利用∠A ，∠B ，∠C 的关系求出具体度数．2．（2022·福建·漳州实验中学七年级阶段练习）如图，BC ⊥AE 于点C ，CD ∥AB ，∠DCB =40°，则∠A 的度数是（ ）A ．70°B ．60°C ．50°D ．40°【答案】C【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余可得90A B Ð+Ð=°，再根据两直线平行，内错角相等可得B Ð的度数，进而求A Ð即可．【详解】BC AE ^Q ，90ACB \Ð=°，90A B \Ð+Ð=°，,40CD AB DCB Ð=°∥Q ，40B DCB \Ð=Ð=°，9050A B \Ð=°-Ð=°，故选：C ．【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余及平行线的性质，熟练掌握知识点且灵活运用是解题关键．3．（2022·全国·八年级）如图，已知AE 平分∠BAC ，BE ⊥AE 于E ，ED ∥AC ，∠BAE ＝34°，那么∠BED ＝（ ）A ．134°B ．124°C ．114°D ．104°【答案】B【解析】【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质计算即可；【详解】∵AE 平分∠BAC∴∠BAE =∠CAE =34°∵ED ∥AC∴∠CAE +∠DEA =180°∴∠DEA =180°-34°=146°∵∠AED +∠AEB +∠BED =360°∴∠BED =360°-146°-90°=124°．故选：B ．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和平行线的性质，结合周角的定理计算是解题的关键．4．（2022·全国·八年级课时练习）如图，将ABC D 沿着平行于BC 的直线DE 折叠，点A 落在点A ¢处，若44B Ð=°，则A DB ¢Ð的度数是（ ）A ．108°B ．104°C ．96°D ．92°【答案】D【解析】【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠ADE ＝∠B ，再根据翻折变换的性质可得∠A ′DE ＝∠ADE ，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．【详解】解：∵∥DE BC ，∴∠ADE ＝∠B ＝44°，∵△ABC 沿着平行于BC 的直线折叠，点A 落到点A ′，∴∠A ′DE ＝∠ADE ＝44°，∴∠A ′DB ＝180°﹣44°﹣44°＝92°．故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．5．（2022·山西实验中学七年级期中）两束与地面平行的光线AB ，CD 经镜面a ，b 反射之后交于点G ，镜面a ，b 与地面的夹角分别为∠1，∠2，已知∠1=25°，∠2=40°（由光的反射性质可知入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角），则两条反射光线的夹角（∠DGH ）的度数为（ ）A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】C【解析】【分析】根据平行线的性质及光的反射性质、三角形内角和求解即可．【详解】解：如图，∵AB∥CD∥地面，∠1=25°，∠2=40°，∴∠ABP=∠1=25°，∠CDO=∠2=40°，∵入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，∴∠FBM=∠ABP=25°，∠EDN=∠CDO=40°，∴∠ABF=180°-25°-25°=130°，∠CDE=180°-40°-40°=100°，∵AB∥CD，∴∠CHB+∠ABF=180°，∴∠CHB=50°，∴∠FHD=∠CHB=50°，∴∠DGH=180°-∠FHD-∠CDE=180°-50°-100°=30°；故选：C ．【点睛】此题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．二、填空题6．（2022·山东济南·七年级期末）如图，已知∠ABE ＝130°，∠C ＝70°，则∠A=________；【答案】60°##60度【解析】【分析】直接利用三角形外角性质求解即可．【详解】解：1307060A ABE C Ð=Ð-Ð=°-°=°，故答案为：60°．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，解题关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．7．（2021·上海市民办华育中学七年级期末）如图，DBC Ð与ECB Ð是ABC D 的两个外角，BF 平分DBC Ð交ECB Ð的平分线于点F .若60F Ð=°，则A Ð=________．【答案】60°##60度【解析】【分析】先求出∠DBC+∠BCE，再利用邻补角的性质和三角形内角和定理求解即可．【详解】∵∠F=60°，∴∠CBF+∠BCF=120°，∵BF平分∠DBC交∠ECB的平分线于点F，∴∠DBC+∠BCE=2（∠FBC+∠BCF）=240°，∴∠ABC+∠ACB=（180°-∠DBC）+（180°-∠BCE）=120°，∴∠A=180°-120°=60°，故答案为：60°．【点睛】本题考查了角平分线定义、邻补角互补和三角形内角和是180°，解题关键是牢记性质和定义．8．（2022·江苏泰州·二模）已知直线a∥b，把一块含30°角的直角三角板按如图所示的方式放置，若∠1＝23°，则∠2＝_________°．【答案】127【解析】【分析】先根据对顶角和三角板的角度结合三角形外角的性质求出∠BCD的度数，再根据平行线的性质即可求出∠2的度数．【详解】解：由题意得，∠CAB=∠1=23°，∠ABC=30°，∴∠BCD=∠BAC+∠ABC=53°，∥，∵a b∴∠2=180°-∠BCD=127°，故答案为：127．【点睛】本题主要考查了对顶角，三角形外角的性质，平行线的性质，三角板中角度的计算，准确求出∠BCD的度数是解题的关键．9．（2022·重庆南开中学七年级期中）折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家藤田文章和羽鸟公士郎甚至为折纸建立了一套完整的“折纸几何学公理”．如图所示，南南在课余时间拿出一张长方形纸片ABCD （∠A=∠B=∠C=90°），他先将纸片沿EF折叠，再将折叠后的纸片沿GH折叠，使得GD′与A′B′重合，展开纸片后测量发现∠BFE=60°，则∠DGH=_________°．【答案】15【解析】【分析】根据平行线的性质求得∠FED=60°，∠AEF=120°，再利用折叠的性质以及余角的性质求得∠A′GE=30°，再利用折叠的性质即可求解．【详解】解：∵AD∥BC，∠BFE=60°，∴∠FED=60°，∠AEF=180°-60°=120°，由折叠的性质得：∠A′EF=∠AEF=120°，∠A′=∠A=90°，∴∠A′EG=∠A′EF-∠FED=60°，∴∠A′GE=90°-∠A′EG=30°，∴∠DGD′=∠A′GE=30°，由折叠的性质得：∠DGH =∠HG D ′=12∠DGD ′=15°，故答案为：15．【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．10．（2022·全国·八年级课时练习）如图，将一张三角形纸片ABC 的一角(∠A )折叠，使得点A 落在四边形BCDE 的外部点A ¢的位置，且点A ¢与点C 在直线AB 的异侧，折痕为DE ．已知90C Ð=°，60B Ð=°，若A DE ¢V 的一边与BC 平行，且ADE m Ð=°，则m =______．【答案】45或30【解析】【分析】分类讨论①当//A D BC ¢时、②当//A E BC ¢时和③当//DE BC 时，根据平行线的性质，折叠的性质结合题意即可求解．【详解】解：分类讨论，①如图，当//A D BC ¢时，∵//A D BC ¢，∴90A DA C ¢Ð=Ð=°．∴由翻折可知1452A DE ADE A DA ¢¢Ð=Ð=Ð=°，∴m =45；②如图，当//A E BC ¢时，∵//A E BC ¢，∴60A EF B ¢Ð=Ð=°．∵9030A B Ð=°-Ð=°，∴由折叠可知30A ¢Ð=°，∴90A FE DFE ¢Ð=Ð=°，∴9060A DA A ¢Ð=°-Ð=°，∴1302A DE A DA ¢¢Ð=Ð=°，∴m =30；③当//DE BC 时，点A ¢与点C 在直线AB 的同侧，不符合题意．综上可知m 的值为45或30．故答案为：45或30．【点睛】本题主要考查平行线的性质，折叠的性质．利用分类讨论的思想是解题关键．三、解答题11．（2022·湖北武汉·模拟预测）如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，130BCD Ð=°，BE 平分ABC Ð交AD 于点E ，交CD 的延长线于点F ．(1)求ABE Ð的大小；(2)若48ADC Ð=°，求DEF Ð的大小．【答案】(1)25°(2)23°【解析】【分析】（1）先由平行线的性质求出∠ABC=180°-∠BCD=180°-130°=50°，再根据解平分线的定义求解即可；∠BAD=180°-∠ADC=180°-48°=132°，再根据三角形内角和定理求出（2）先由平行线的性质求出∠AEB=180°-∠BAD-∠ABE=23°，最后由对顶角性质得解．(1)解：∵AB CD∥，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴∠ABC=180°-∠BCD=180°-130°=50°，∵BE平分ABCÐ∴∠ABE=12∠ABC=1502´°=25°；(2)解：∵AB CD∥，∴∠BAD+∠ADC=180°，∴∠BAD=180°-∠ADC=180°-48°=132°，∵∠BAD+∠ABE+∠AEB=180°，又由（1）知：∠ABE=25°，∴∠AEB=180°-∠BAD-∠ABE=180°-132°-25°=23°，∴∠DEF=∠AEB=23°．【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线定义，三角形内角和定理，对顶角性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．12．（2022·江苏·如皋市实验初中七年级期末）如图，已知∠1＝∠BDE，∠2＋∠3＝180°(1)证明：AD∥EF．(2)若DA 平分∠BDE ，FE ⊥AF 于点F ，∠1＝40°，求∠BAC 的度数．【答案】(1)见解析(2)70°【解析】【分析】（1）根据平行线的判定得出AC ∥DE ，根据平行线的性质得出∠2=∠ADE ，求出∠3+∠ADE =180°，根据平行线的判定得出即可；（2）求出∠BDE 的度数，求出∠2的度数，根据平行线的性质求出∠DAB =∠F =90°，再求出答案即可．(1)证明：∵∠1=∠BDE ，∴AC ∥DE ，∴∠2=∠ADE ，∵∠2+∠3=180°，∴∠3+∠ADE =180°，∴AD ∥EF ；(2)解∶ ∵∠1=∠BDE ，∠1=40°，∴∠BDE =40°，∵DA 平分∠BDE ，∴∠ADE =12∠BDE =20°，∴∠2=∠ADE =20°，∵FE ⊥AF ，∴∠F =90°，由（1）得，AD ∥EF ，∴∠BAD =∠F =90°，∴∠BAC =∠BAD -∠2=90°-20°=70°．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，三角形的内角和定理，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．13．（2022·四川·成都七中七年级期中）如图，在ABC V 中，AD 平分BAC Ð，点E 在BC 上，点G 在CA 的延长线上，EG 交AB 于点F ，且AFG G ÐÐ=．(1)GE 与AD 平行吗？为什么？(2)如果B BFE x ÐÐ==，请用含x 的代数式表示ACB Ð的度数．【答案】(1)平行，理由见解析(2)1803x°-【解析】【分析】（1）1（）首先根据角平分线的性质可得2BAC DAC ÐÐ=，再根据三角形外角的性质可得BAC G AFG ÐÐÐ=+，因为AFG G ÐÐ=，可知2BAC G ÐÐ=，从而得到DAC G ÐÐ=，即可判定//AD GE ；（2）根据1（）中结论//AD GE 可知BAD BFE x ÐÐ==，所以22BAC BAD x ÐÐ==，再根据三角形内角和定理可求C Ð．(1)解：GE 与AD 平行，理由如下：AD Q 平分BAC Ð，2BAC DAC ÐÐ\=，BAC G AFG ÐÐÐ=+Q ，AFG G ÐÐ=，2BAC G ÐÐ\=，DAC G ÐÐ\=，//AD GE \．(2)解：//AD GE Q ．BAD BFE x ÐÐ\==，22BAC BAD x ÐÐ\==，180********C B BAC x x x ÐÐÐ\=°--=°--=°-．【点睛】本题考查平行线的判定与性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答的关键．14．（2022·辽宁·阜新实验中学七年级期中）综合与探究：如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合）．BC，BD别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．(1)求∠ABN、∠CBD的度数；(2)当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．(3)当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，直接写出∠ABC的度数．【答案】(1)∠ABN=120°，∠CBD=60°(2)∠APB＝2∠ADB．不随点P运动变化，见解析；(3)30°【解析】【分析】（1）利用平行线的性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义解决问题即可．（2）∠APB与∠ADB之间数量关系是：∠APB=2∠ADB．不随点P运动变化．（3）通过条件证明∠ABC=∠DBN可得结论．(1)解：∵AM∥BN，∴∠ABN+∠A=180°，∵∠A=60°，∴∠ABN=120°，∴∠ABP+∠PBN=120°，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP=2∠CBP、∠PBN=2∠PBD，（角平分线的定义），∴2∠CBP+2∠DBP=120°，∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=60°．(2)解：∠APB与∠ADB之间数量关系是：∠APB=2∠ADB．不随点P运动变化．理由是：∵AM∥BN，∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN（两直线平行内错角相等），∵BD平分∠PBN（已知），∴∠PBN=2∠DBN（角平分线的定义），∴∠APB=∠PBN=2∠DBN=2∠ADB（等量代换），即∠APB=2∠ADB．(3)解：结论：∠ABC=30°．理由：∵AM∥BN，∴∠ACB=∠CBN，当∠ACB=∠ABD时，则有∠CBN=∠ABD，∴∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN，∴∠ABC=∠DBN，由（1）可知∠ABN=120°，∠CBD=60°，∴∠ABC+∠DBN=60°，∴∠ABC=30°．【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15．（2022·湖南娄底·七年级期末）(1)（问题）如图1，若AB∥CD，∠AEP=40°，∠PFD=130°，求∠EPF的度数；(2)（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；(3)（问题拓展）如图3所示，在⑵的条件下，已知∠EPF=α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．【答案】(1)∠EPF=90°(2)∠PFC=∠PEA+∠EPF，理由见解析(3)1α2【解析】【分析】(1) 过P点作PH//CD，根据平行线的性质和判定即可得到答案；(2) 过点P作PH//AB，则PH//CD，根据平行线的性质得出∠PEA=∠HPE，进而得到∠FPH =∠PFC，然后得出∠PEA，∠PFC，∠EPF三个角之间的关系；(3) 令AB与PF交于点O，连接EF，在△EFG中，利用三角形内角和定理进行计算，由(2)可知，∠PFC=∠PEA+∠P，得到∠PEA=∠PFC- a，即可得出答案．(1)解：过P点作PH//CD可得：∠1+∠PFD=180°∵∠PFD=130°∴∠1 =50°又∵AB//CD∴PH//AB可得：∠2=∠AEP=40°故：∠EPF=∠1+∠2=90°(2)∠PFC=∠PEA+∠EPF理由：如图2，过点P作PH//AB可得：∠1=∠PEA∵AB//CD∴PH//CD可知：∠PFC=∠HPF由于∠HPF=∠1+∠EPF∴∠PFC=∠1+∠EPF即：∠PFC=∠PEA+∠EPF(3)令AB与PF的交点为O，连接EF，如图3在△GFE中，∠G=180°-（∠GFE+∠GEF）∵∠GEF=1∠PEA+∠OEF2∠GFE =12∠PFC +∠OFE∴ ∠GEF +∠GFE =12∠PEA 12+∠PFC +∠OEF +∠OFE由⑵可知 ∠PFC =∠PEA +∠EPF∴ ∠PEA =∠PFC -α又∵ AB //CD可得：∠EOF =∠PFC∴在△ OEF 中有：∠OFE +∠OEF =180°-∠FOE =180°-∠PFC则 ∠GEF +∠GFE =12（∠PFC -α）+12∠PFC +180°-∠PFC=180°- 12α∴∠G =180°-（∠GEF +∠GFE ）=180°-（180°-12α）=12α【点睛】本题考查了平行线的性质，以及三角形的内角和定理，以及角的和差倍分，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行同旁内角互补；三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°；16．（2022·河北·承德市民族中学七年级期末）（1）已知ABC V 中，B C Ð>Ð，AD BC ^于D ，AE 平分BAC Ð，70B Ð=°，40C Ð=°，求DAE Ð的度数．（2）在图2中，B x Ð=，C y Ð=，其他条件不变，若把“AD BC ^于D 改为F 是AE 上一点，FD BC ^于D ”，试用x 、y 表示DFE Ð=________；（3）在图3中，若把（2）中的“点F 在AE 上”改为“点F 是AE 延长线上一点”，其余条件不变，试用x 、y 表示DFE Ð=________；（4）在图4中，分别作出BAE Ð和EDF Ð的角平分线，交于点P ，如图4．试用x 、y 表示P Ð=________．【答案】（1）15°；（2）1122x y -；（3）1122x y -；（4）3144x y -【解析】【分析】（1）先利用垂直定义求出∠ADB ，再利用三角形内角和定理求出∠BAC ，利用角平分线定义求出∠BAE 后即可完成求解；（2）先利用角平分线的定义和三角形外角的性质表示出∠AEB ，再利用直角三角形两个锐角互余即可求解；（3）先利用角平分线的定义和三角形外角的性质表示出∠AEB ，接着利用对顶角相等表示∠DEF ，再利用直角三角形两个锐角互余即可求解；（4）分别表示出∠BDP 和∠PME ，再利用三角形内角和定理即可求解．【详解】（1）∵AD BC ^于D ，∴∠ADB =∠ADC =90°，∵70B Ð=°，40C Ð=°，∴∠BAD =20°，∠BAC =180°-70°-40°=70°，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE =35°，∴352015DAE BAE BAD Ð=Ð-Ð=-=°°°，∴DAE Ð的度数为15°；（2）∵B x Ð=，C y Ð=，∴∠BAC =180°-x -y ，∵AE 平分∠BAC ，∴()1118022EAC BAC x y ==°--∠，∴()11802AEB EAC C x y =+=°-+∠∠∠，。
2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典 专题2
专题2.4估算姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020•碑林区校级一模）在√2，−52，0，﹣2.1中最小的实数（ ） A ．√2B ．﹣2.1C ．−52D ．0【分析】先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再得出答案即可． 【解析】∵−52＜−2.1＜0＜√2， ∴最小的实数是−52， 故选：C ．2．（2020•大庆）在﹣1，0，π，√3这四个数中，最大的数是（ ） A ．﹣1B ．0C ．πD ．√3【分析】实数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【解析】根据实数比较大小的方法，可得 ﹣1＜0＜√3＜π，∴在这四个数中，最大的数是π． 故选：C ．3．（2020春•越秀区期末）下列判断正确的是（ ） A ．√3＜2B ．√93＜2C ．π＝3.14D ．13＞0.3.【分析】估算无理数，进行比较即可得出答案．【解析】∵√1＜√3＜√4，∴1＜√3＜2，因此选项A 符合题意， ∵23＝8＜9，∴√93＞2，因此选项B 不符合题意；∵π是一个无限不循环小数，即π＝3.1415926……，因此选项C 不符合题意；13=0.3333……，0.3⋅=0.333……，因此选项D 不符合题意；4．（2020春•相城区期末）下列整数中，与1+√10最接近的是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】先确定√10的范围和√10最接近的整数，再确定与1+√10最接近的整数． 【解析】因为3.12＝9.61，3.22＝10.24， 所以3.1＜√10＜3.2． 所以√10接近整数3． 所以1+√10最接近4． 故选：B ．5．（2020•渝中区校级三模）在实数52、−√3、0、√2中，最大的实数是（ ）A ．−√3B ．0C ．52D ．√2【分析】根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数，比较即可． 【解析】∵−√3＜0＜√2＜52， ∴四个实数中，最大的实数是52．故选：C ．6．（2020•临沂）设a =√7+2．则（ ） A ．2＜a ＜3B ．3＜a ＜4C ．4＜a ＜5D ．5＜a ＜6【分析】直接得出2＜√7＜3，进而得出√7+2的取值范围． 【解析】∵2＜√7＜3， ∴4＜√7+2＜5， ∴4＜a ＜5． 故选：C ．7．（2020春•包河区期末）下列对√23的大小估计，正确的是（ ） A ．在7～8之间B ．在6～7之间C ．在4～5之间D ．在5～6之间【分析】直接利用√16＜√23＜√25，进而得出答案． 【解析】∵√16＜√23＜√25， ∴4＜√23＜5， ∴√23在4～5之间．8．（2020春•海安市期末）观察下表中的数据信息：a1515.115.215.315.415.515.615.715.815.916 a2225228.01231.04234.09237.16240.25243.36246.49249.64252.81256根据表中的信息判断，下列“判断”中错误的是（）A．√2.2801=1.51B．√23409−√23104=1C．只有3个正整数a满足15.4＜√a＜15.5D．√2.51−1.58＜0【分析】根据表格中的信息可知a2和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各选项即可．【解析】A．根据表格中的信息知：√2.2801=1.51，故本选项不合题意；B．根据表格中的信息知：√23409−√23104=153﹣152＝1，故本选项不合题意；C．根据表格中的信息知：15.42＝237.16＜a＜15.52＝240.36，∴正整数a＝238或239或240，∴只有3个正整数a满足15.4＜√a＜15.5，故本选项不合题意；D．根据表格中的信息知：√2.51−1.58≈1.59﹣1.58＝0.01＞0，故本选项符合题意．故选：D．9．（2020•福州模拟）若a＜√28−√7＜a+1，其中a为整数，则a的值是（）A．1B．2C．3D．4【分析】先把√28−√7化简，再估算√7的范围即可．【解析】√28−√7=2√7−√7=√7，∵22＜7＜32，∴2＜√7＜3，∵a＜√28−√7＜a+1，其中a为整数，∴a＝2．故选：B．10．（2020•海安市模拟）已知5≤√a≤7，4≤√b≤6，则√a+b的整数部分可以是（）A．9B．10C．11D．12【分析】根据估算无理数的大小的方法即可得√a+b的整数部分．【解析】∵5≤√a ≤7，4≤√b ≤6， ∴25≤a ≤49，16≤b ≤36， ∴41≤a +b ≤85，则√a +b 的整数部分可以是6，7，8，9． 故选：A ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（2020春•中山市期末）比较2和√3大小：2 ＞ √3（填“＞”、“＜“或“＝”）． 【分析】先估算√3，再比较大小，即可解答． 【解析】∵1＜3＜4， ∴√1＜√3＜√4， ∴1＜√3＜2， ∴2＞√3， 故答案为：＞．12．（2020•碑林区校级四模）在实数32，﹣2，√5，√83，0中，最大的一个数是 √5 ．【分析】先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再得出答案即可． 【解析】∵√83=2， ∴﹣2＜0＜32＜√83＜√5， ∴最大的一个数是√5， 故答案为：√5．13．（2020•雁塔区校级四模）﹣2，−√5，﹣π，﹣1，其中最小的数是 ﹣π ． 【分析】先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再得出答案即可． 【解析】∵﹣π＜−√5＜−2＜﹣1， ∴最小的数是﹣π， 故答案为：﹣π．14．（2020•雁塔区校级模拟）最接近−√3的整数是 ﹣2 ．【分析】根据被开方数3的范围，利用算术平方根性质确定出√3的范围，进而确定出−√3的范围，判断即可．【解析】∵2.25＜3＜4，∴1.5＜√3＜2，即﹣2＜−√3＜−1.5，∴最接近−√3的整数是﹣2．故答案为：﹣2．15．（2020•雁塔区校级模拟）设n为正整数，且n＜√41＜n+1，则n的值为6．【分析】根据被开方数41的范围，利用算术平方根定义确定出√41的范围，进而确定出n的值即可．【解析】∵36＜41＜49，∴6＜√41＜7，则n的值为6．故答案为：6．16．（2020•南通）若m＜2√7＜m+1，且m为整数，则m＝5．【分析】估计2√7的大小范围，进而确定m的值．【解析】2√7=√28，∵√25＜√28＜√36，∴5＜2√7＜6，又∵m＜2√7＜m+1，∴m＝5，故答案为：5．17．（2020•怀柔区模拟）已知：a，b是两个连续的整数，且a＜−√10＜b，则a﹣b＝﹣1．【分析】先求出−4＜−√10＜−3，得出a＝﹣4，b＝﹣3，代入求值即可．【解析】∵−√16＜−√10＜−√9，∴−4＜−√10＜−3，∵a＜−√10＜b，且a，b是两个连续的整数，∴a＝﹣4，b＝﹣3，∴a﹣b＝﹣4﹣（﹣3）＝﹣1，故答案为：﹣1．18．（2020春•沙坪坝区校级月考）√7的小数部分为a，则a（a+4）＝3．【分析】先根据√7的范围求出a的值，代入后进行计算即可．【解答】解；∵2＜√7＜3，∴a=√7−2，∴a（a+4）＝（√7−2）（√7−2+2）＝（√7−2）（√7+2）＝7﹣4＝3，故答案为：3．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019秋•桥西区校级期中）比较√914与312的大小，并写出你的判断过程．【分析】将√914与312分别进行变形，变为同分母的分数，再进行比较，将整数写出算术平方根的形式进行比较．【解析】∵√914=√374=√372，312=72=√492，又∵√37＜√49，∴√914＜312．20．比较下列各组数的大小．（1）6，√37，√603；（2）−√22和1−√5．【分析】（1）先把6化成√36和估算出√603的大小，再比较出各数的大小，即可得出答案；（2）先估算出−√22和1−√5的大小，再进行比较即可．【解析】（1）∵6=√36，√603≈3.9，∴√603＜6＜√37；（2）∵−√22≈−0.7，1−√5≈−1.2，∴−√22＞1−√5．21．（2020春•杭州期中）设实数√7的整数部分为a，小数部分为b．（1）计算：|b−12 |；（2）求（2a+b）（2a﹣b）的值．【分析】（1）首先确定a、b的值，然后再利用绝对值的性质计算即可；（2）利用平方差计算，然后再代入a 、b 的值计算即可． 【解析】∵2＜√7＜3， ∴a ＝2，b =√7−2，（1）|b −12|＝|√7−2−12|＝|√7−212|＝|√7−52|，∵（√7）2＝7，（52）2=254，∴√7＞52， ∴|b −12|=√7−52；（2）（2a +b ）（2a ﹣b ）， ＝4a 2﹣b 2，＝4×4﹣（√7−2）2， ＝16﹣（7+4﹣4√7） ＝16﹣11+4√7， ＝5+4√7．22．（2020春•海淀区校级期中）根据如表回答下列问题x 23.1 23.223.323.423.523.623.723.823.9x 2533.61538.24 542.89 547.56 552.25 556.96 561.69 566.44 571.21（1）566.44的平方根是 ±23.8 ； （2）−√561≈ ﹣23.7 ；（保留一位小数） （3）满足23.6＜√n ＜23.7的整数n 有 5 个．【分析】（1）直接利用平方根的定义结合表格中数据得出答案； （2）结合表格中数据再利用算术平方根的定义得出答案； （3）结合表格中数据即可得出答案．【解析】（1）由表中数据可得：566.44的平方根是：±23.8； 故答案为：±23.8； （2）∵23.72＝561.69， ∴√561≈23.7，∴−√561≈−23.7， 故答案为：﹣23.7；（3）∵23.62＝556.96，23.72＝561.69， ∴满足23.6＜√n ＜23.7的整数n 有5个， 故答案为：5．23．（2020春•铁东区期中）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：{a −b ＞0，则a ＞ba −b =0，则a =b a −b ＜0，则a ＜b．例如：比较√19−2与2的大小： ∵√19−2﹣2=√19−4，又∵√16＜√19＜√25，则4＜√19＜5， ∴√19−2﹣2=√19−4＞0， ∴√19−2＞2．请根据上述方法解答以下问题：比较2−√23与﹣3的大小． 【分析】根据已知作差法判断两式大小即可． 【解析】2−√23−（﹣3）＝2−√23+3＝5−√23， ∵√16＜√23＜√25， ∴4＜√23＜5， ∴5−√23＞0， ∴2−√23＞−3．24．（2020春•明水县校级期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此√2的小数部分我们不可能全部写出来，而1＜√2＜2于是可用√2−1来表示√2的小数部分．请解答下列问题：（1）√29的整数部分是 5 ，小数部分是 √29−5 ；（2）如果√10的小数部分为a ，√15的整数部分为b ，求a +b −√10的值． 【分析】（1）直接利用二次根式的性质得出√29的取值范围进而得出答案； （2）直接利用二次根式的性质得出√10，√15的取值范围进而得出答案． 【解析】（1）∵√25＜√29＜√36， ∴5＜√29＜6，∴√29的整数部分是5，小数部分是：√29−5；故答案为：5；√29−5；（2）∵√9＜√10＜√16，∴3＜√10＜4，∵√10的小数部分为a，∴a=√10−3，∵√9＜√15＜√16，∴3＜√15＜4，∵√15的整数部分为b，∴b＝3，∴a+b−√10=√10−3+3−√10=0．。
2020年八年级数学上册 与三角形有关的角 培优卷(含答案)
22.△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边BC于点D.
18.如图，将△ABC 三个角分别沿 DE、HG、EF 翻折，三个顶点均落在点 O 处，则∠1＋∠2 的度 数为 °．
三、解答题 19.已知在△ABC 中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，CD 是∠ACB 平分线，求∠A 和∠CDB 的度数.
20.如图,∠ABC=38°,∠ACB=100°,AD平分∠BAC,AE是BC边上的高,求∠DAE度数.
研究（3）：若折成图 3 的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的关系，并说明理由.
参考答案 1.B 2.B. 3.C. 4.A. 5.D 6.D 7.C 8.C 9.C 10.D 11.答案为：B. 12.B 13.答案为：20． 14.答案为：25° 15.答案为：6，与它不相邻的两个内角，3600 16.答案为：130 17.答案为：10°． 18.答案为：180°． 19.解：∵在△ABC 中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，∠A+∠ACB+∠B=180°，
C.一定是直角三角形
D.一定是钝角三角形
5.如图所示，∠CGE=α，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F 等于( ).
A.360°-∠A B.270°-∠α
C.180°＋∠α D.2∠α
6.如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A= 50°，将其折叠，使点 A 落在边 CB 上 A′处，折痕为
人教版八年级数学上册-三角形有关的角训练卷(尖子生)
人教版八年级数学上册-三角形有关的角测验卷（尖子生）一．选择题（共9小题）1．如图，已知△ABC中，BD、CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，如果设∠BAC＝n°（0＜n＜180），那么∠BOE的度数是（）A．90°﹣n°B．90°+n°C．45°+n°D．180°﹣n°2．如图，∠BDC＝110°，∠C＝38°，∠A＝35°，∠B的度数是（）A．43°B．33°C．37°D．47°3．如图，已知直线a∥b，直角三角形ABC中，∠C＝90°，若∠B＝58°，那么∠1﹣∠2＝（）A．28°B．30°C．32°D．58°4．如图，在△ABC中，点D在边AB上，BE∥AC，连接ED．若∠A＝56°，∠E＝48°，则∠ADE的大小为（）A．94°B．98°C．102°D．104°5．将一副三角板按如图所示的方式摆放，则∠1＝（）A．45°B．60°C．65°D．75°6．如图，已知EF∥GH，Rt△ABC的两个顶点A，B分别在直线GH，EF上，∠C＝90°，AC交EF于点D，若BD平分∠ABC，∠BAH＝32°．则∠BAC的度数为（）A．32°B．26°C．34°D．28°7．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）A．105°B．75°C．65°D．55°8．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（）A．90°B．100°C．110°D．120°9．当三角形中一个内角β是另外一个内角α的时，我们称此三角形为“友好三角形”．如果一个“友好三角形”中有一个内角为54°，那么这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为（）A．108°或27°B．108°或54°C．27°或54°或108°D．54°或84°或108°二．填空题（共10小题）10．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE平分∠CAD，交BC于点E．过点E 作EF∥AC，分别交AB、AD于点F、G．则下列结论：①∠BAC＝90°；②∠AEF＝∠BEF；③∠BAE＝∠BEA；④∠B＝2∠AEF；⑤∠CAD＝2∠AEC﹣180°．其中正确的有．11．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，BD、CE相交于点O，则∠BOC 的度数是．12．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ABC＝70°，AF平分∠CAB，交BC于点D．过点C作CE⊥AF于点E，则∠ECD的度数为．第10题图第11题图第12题图13．将一副三角板如图放置，其中∠C＝30°，∠D＝45°，点E在BC边上，M，N分别为AB，DF上的点，G为三角板外一点，连接GM，GN，若∠G＝50°，则∠GMB+∠BED+∠DNG＝．14．如图，直线AB⊥OC于点O，∠AOP＝40°，三角形EOF其中一个顶点与点O重合，∠EOF＝100°，OE平分∠AOP，现将三角形EOF以每秒6°的速度绕点O逆时针旋转至三角形E′OF′，同时直线PQ 也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转至P′Q′，设运动时间为m秒（0≤m≤20），当直线P′Q′平分∠E′OF′时，则∠COP′＝．15．如图，将△ABC沿着DE对折，点A落到A'处，若∠BDA′+∠CEA′＝70°，则∠A＝°．16．如图，∠B＝36°，∠E＝48°，∠BAE的平分线与∠BDE的平分线交于点F，则∠F＝°．第14题图第15题图第16题图17．如图所示，△ABC中∠C＝80°，AC边上有一点D，使得∠A＝∠ABD，将△ABC沿BD翻折得△A′BD，此时A′D∥BC，则∠ABC＝度．18．如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD与外角∠EAC的平分线AF所在的直线交于点D，若∠B＝60°，∠D＝度．19．如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2020BC和∠A2020CD的平分线交于点A2021，则∠A2021＝．三．解答题（共5小题）20．在△ABC中，∠ABC＝2∠A，∠ACB﹣∠ABC＝∠A，CE⊥AB，垂足为E，BD是∠ABC的平分线，且交CE于点F．（1）求∠A，∠ABC，∠ACB；（2）求∠BFC．21．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P．（1）若∠ABC+∠ACB＝130°，求∠BPC的度数．（2）当∠A为多少度时，∠BPC＝3∠A？22．如图，D是△ABC的AC边上一点，∠A＝∠ABD，∠BDC＝150°，∠ABC＝85°．求：（1）∠A的度数；（2）∠C的度数．解（1）∵∠BDC是△ABD的外角，∠BDC＝150°（已知），∴∠BDC＝+（）．又∵∠A＝∠ABD（已知），∴∠A＝度．（等量代换）．（2）∵∠A+∠ABC+∠C＝度（），∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠A（等式性质）．又∵∠ABC＝85°，∴∠C＝度．23．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，点E在BD上，点F在CA的延长线上，EF∥AD，求∠F的度数．24．如图，把△ABC沿EF折叠，使点A落在点D处，（1）若DE∥AC，试判断∠1与∠2的数量关系，并说明理由；（2）若∠B+∠C＝130°，求∠1+∠2的度数．25.已知直线AB∥CD．（1）如图1，写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系，并说明理由；（2）如图2，直线MN分别交AB，CD于点F，G，∠AFG与∠CGF的平分线交于点H，则∠FHG的度数为多少？（3）如图3，在（2）的条件下，∠AFH与∠CGH的平分线交于点I，则∠FIG的度数为．【参考答案】一、选择题。
专题1.3三角形的外角-2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典(原卷版)【人教版】
2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题1.3三角形的外角姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•江阴市期中）AD是∠CAE的平分线，∠B＝35°，∠DAE＝60°，则∠ACD＝（）A．25°B．60°C．85°D．95°2．（2020春•黑河期中）以下判断正确的是（）A．三角形的一个外角等于两个内角的和B．三角形的外角大于任何一个内角C．一个三角形中，至少有一个角大于或等于60°D．三角形的外角是内角的邻补角3．（2019秋•琼山区校级期末）如图，已知∠ACD＝130°，∠B＝20°，则∠A的度数是（）A．110°B．30°C．150°D．90°4．（2019秋•都江堰市期末）如图，△ABC中，点D在BC延长线上，则下列结论一定成立的是（）A．∠1＝∠A+∠B B．∠1＝∠2+∠A C．∠1＝∠2+∠B D．∠2＝∠A+∠B5．（2019春•玄武区期中）如图，在△ABC中，∠A＝78°，∠ACD是△ABC的一个外角，∠EBC=13∠ABC，∠ECD=13∠ACD，则∠E为（）A．22°B．26°C．28°D．30°6．（2019秋•织金县期末）如图，∠1，∠2，∠3，∠4恒满足关系式是（）A．∠1+∠2＝∠3+∠4B．∠1+∠2＝∠4﹣∠3C．∠1+∠4＝∠2+∠3D．∠1+∠4＝∠2﹣∠37．（2020春•雅安期末）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，延长线段BA至点E，则∠EAC的度数为（）A．105°B．75°C．70°D．60°8．（2019春•镇江期末）在△ABC，∠A，∠C与∠B的外角度数如图所示，则x的值是（）A．80B．70C．65D．609．（2019春•溧水区期末）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线．如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝（）A．20°B．30°C．40°D．50°10．（2019春•徐州期中）如图，∠ABC＝∠ACB，AD，BD，CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③DB平分∠ADC；④∠ADC＝90°﹣∠ABD；⑤∠BDC=12∠BAC．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020春•芝罘区期中）一副含有30°和45°的直角三角尺叠放如图，则图中∠α的度数是．12．（2019秋•阳东区期中）如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D为AB的延长线上一点，且∠CBD＝120°，则∠C＝．13．（2019秋•覃塘区期中）如图，若∠A＝30°，∠B＝35°，∠C＝50°，则∠ADB的度数是．14．（2020春•赣榆区期中）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，点D在边BC上，若△ACD是直角三角形，则∠BAD的度数为．15．（2019秋•虹口区校级月考）如图所示，∠ACD是△BC的外角，∠A＝45°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．∠E＝．16．（2020春•东台市期中）如图，∠1、∠2是△ABC的外角，已知∠1+∠2＝260°，求∠A的度数是．17．（2019春•鲤城区校级期中）（1）如图①，△ABC中，∠CBO=13∠ABC，∠BCO=13∠ACB，∠A＝60°，则∠BOC＝．（2）如图②，BO，CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠BCE的等分线，它们交于点O．∠CBO=1 n∠DBC，∠BCO=1n∠BCE．∠A＝β，则∠BOC＝．（用含β的代数式表示）18．（2019秋•大观区校级期中）如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2，正确的是．（把所有正确的结论的序号写在横线上）三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020春•鼓楼区期末）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”．如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD 是△ABC的三个外角．求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°．证法1：∵∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．∴．∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝2（∠1+∠2+∠3），∵．∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．20．（2020春•浦东新区期末）已知：如图，△ABC的两个外角的平分线交于点P，如果∠A＝40°，求∠BPC的度数．21．（2019秋•碑林区校级期末）如图，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E，∠ABC＝∠ACE．（1）求证：AB∥CE；（2）猜想：若∠A＝50°，求∠E的度数．22．（2019秋•洛阳期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．（1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度数；（2）请你写出∠BAC、∠B、∠E三个角之间存在的等量关系，并写出证明过程．23．（2019秋•潜山市期末）如图，∠A＝37°，∠B＝28°，∠ADB＝148°，求∠C的度数．24．（2019秋•普宁市期末）某校八年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC 与∠A的数量关系，并证明．。
人教版八年级数学上册 三角形认识 单元培优卷(含答案)
八年级数学上册三角形认识单元培优卷一、选择题：1、如图所示的△ABC中,线段BE是△ABC边AC上的高的是( ).2、为估计池塘两岸A，B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA=16m，PB=12m，那么AB 间的距离不可能是（）A.15mB.17mC.20mD.28m3、已知一个多边形的内角和是720º，则这个多边形是（）A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形4、若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（）A.10B.9C.8D.65、将一副直角三角尺如图放置，已知AE∥BC，则∠AFD的度数是( )A.45°B.50°C.60°D.75°6、如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数等于( )A.50°B.30°C.20°D.15°7、三条线段a,b,c长度均为整数且a=3,b=5.则以a,b,c为边的三角形共有( )A.4个B.5个C.6个D.7个8、现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根可以组成不同三角形的个数 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个9、如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=( )A.118°B.119°C.120°D.121°10、如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2=（）A. 90°B. 135°C. 270°D. 315°11、一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠1= 50°，则∠2+∠3 =（）A.190°B.130°C.100°D.80°12、如图，∠MON=90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C.当A，B移动后，∠BAO=45°时，则∠C的度数是( )A.30°B.45°C.55°D.60°二、填空题:13、如图，自行车的三角形支架，这是利用三角形具有性.14、已知三角形的边长分别为4、a、8，则a的取值范围是；如果这个三角形中有两条边相等，那么它的周长为.15、如果一个多边形的每一个外角都是30°，则这个多边形对角线的条数是，它的内角和是，它的外角和是 .16、如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .17、把边长相等的正五边形ABGHI和正六边形ABCDEF的AB边重合，按照如图的方式叠合在一起，连接EB，交HI于点J，则∠BJI的大小为__________.18、如图，已知∠A＝α，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线相交于点A1，得∠A1；若∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2……∠A2015BC的平分线与∠A2015CD的平分线相交于点A2018，得∠A2018，则∠A2018=____.(用含α的式子表示)三、解答题:19、如图，已知△ABC的周长为21cm，AB=6cm，BC边上中线AD=5cm，△ABD周长为15cm，求AC长.20、在各个内角都相等的多边形中，一个外角比一个内角少120°，求这个多边形的一个内角的度数和它的边数.21、如图, AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线.（1）∠ABE=15°，∠BAD=36°，求∠BED的度数；（2）作出△BED中DE边上的高，垂足为H；（3）若△ABC面积为20,过点C作CF//AD交BA的延长线于点F，求△BCF的面积。
八年级上数学培优试题及答案(供参考)
第十一章三角形11.1与三角形有关的线段专题一三角形个数的确定1．如图，图中三角形的个数为（）A．2 B．18 C．19 D．202．如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依此类推，则第6个图中共有三角形__________个．3．阅读材料，并填表：在△ABC中，有一点P1，当P1、A、B、C没有任何三点在同一直线上时，可构成三个不重叠的小三角形（如图）．当△ABC内的点的个数增加时，若其他条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样？完成下表：△ABC内点的个数 1 2 3 (1007)构成不重叠的小三角形的个数 3 5 …专题二根据三角形的三边不等关系确定未知字母的范围4．三角形的三边分别为3，1－2a，8，则a的取值范围是（）A．－6＜a＜－3 B．－5＜a＜－2 C．2＜a＜5 D．a＜－5或a＞－25. 在△ABC中，三边长分别为正整数a、b、c，且c≥b≥a＞0，如果b=4，则这样的三角形共有______个．6．若三角形的三边长分别是2、x、8，且x是不等式22x+＞123x--的正整数解，试求第三边x的长．状元笔记【知识要点】1．三角形的三边关系三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边．2．三角形三条重要线段(1)高：从三角形的顶点向对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高．(2)中线：连接三角形的顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线．(3)角平分线：三角形内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．3．三角形的稳定性三角形具有稳定性．【温馨提示】1．以“是否有边相等”，可以将三角形分为两类：三边都不相等的三角形和等腰三角形．而不是分为三类：三边都不相等的三角形、等腰三角形、等边三角形，等边三角形是等腰三角形的一种．2．三角形的高、中线、角平分线都是线段，而不是直线或射线．【方法技巧】1．根据三角形的三边关系判定三条线段能否组成三角形时，要看两条较短边之和是否大于最长边．2．三角形的中线将三角形分成两个同底等高的三角形，这两个三角形面积相等．参考答案:1．D 解析：线段AB上有5个点，线段AB与点C组成5×（5－1）÷2=10个三角形；同样，线段DE上也有5个点，线段DE与点C组成5×（5－1）÷2=10个三角形，图中三角形的个数为20个．故选D．2．21 解析：根据前边的具体数据，再结合图形，不难发现：后边的总比前边多4，若把第一个图形中三角形的个数看作是1=4－3，则第n个图形中，三角形的个数是4n－3．所以当n=6时，原式=21．3．解：填表如下：△ABC内点的个数 1 2 3 (1007)构成不重叠的小三角形的个数 3 5 7 (2015)解析：当△ABC内有1个点时，构成不重叠的三角形的个数是3=1×2＋1；当△ABC内有2个点时，构成不重叠的三角形的个数是5=2×2＋1；参考上面数据可知，三角形的个数与点的个数之间的关系是：三角形内有n个点时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是2n+1，故当有3个点时，三角形的个数是3×2＋1=7；当有1007个点时，三角形的个数是1007×2＋1=2015．4．B 解析：根据题意，得8－3＜1－2a＜8＋3，即5＜1－2a＜11，解得－5＜a＜－2．故选B．5．10 解析：∵在△ABC中，三边长分别为正整数a、b、c，且c≥b≥a＞0，∴c＜a+b．∵b=4，∴a=1，2，3，4．a=1时，c=4；a=2时，c=4或5；a=3时，c=4，5，6；a=4时，c=4，5，6，7．∴这样的三角形共有1+2+3+4=10个．6．解：原不等式可化为3（x+2）＞－2（1－2x），解得x＜8．∵x是它的正整数解，∴x可取1，2，3，5，6，7．再根据三角形三边关系，得6＜x＜10，∴x=7．11.2与三角形有关的角专题一利用三角形的内角和求角度1．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∠A=50°，则∠D=（）A．15°B．20°C．25°D．30°2．如图，已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D. 若AP平分∠BAC 且交BD于P，求∠BPA的度数．3．已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：__________；（2）在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P的度数；（写出解答过程）（3）如果图2中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间的数量关系．（直接写出结论即可）专题二利用三角形外角的性质解决问题4．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°5．如图，△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，若∠A=40°，∠B=72°．（1）求∠DCE的度数；（2）试写出∠DCE与∠A、∠B的之间的关系式．（不必证明）6．如图：（1）求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C；（2）如果点D与点A分别在线段BC的两侧，猜想∠BDC、∠A、∠ABD、∠ACD这4个角之间有怎样的关系，并证明你的结论．状元笔记【知识要点】1．三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°．2．直角三角形的性质及判定性质：直角三角形的两个锐角互余．判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．3．三角形的外角及性质外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．【温馨提示】1．三角形的外角是一边与另一边的延长线组成的角，而不是两边延长线组成的角．2．三角形的外角的性质中的内角一定是与外角不相邻的内角．【方法技巧】1．在直角三角形中已知一个锐角求另一个锐角时，可直接使用“直角三角形的两个锐角互余”．2．由三角形的外角的性质可得出：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角．参考答案:1．C 解析：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，∴∠1=12∠ACE，∠2=12∠ABC．又∵∠D=∠1－∠2，∠A=∠ACE－∠ABC，∴∠D=12∠A=25°．故选C．2．解：（法1）因为∠C=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°，所以12(∠BAC＋∠ABC)=45°.因为BD平分∠ABC，AP平分∠BAC ，∠BAP=12∠BAC，∠ABP=12∠ABC ，即∠BAP＋∠ABP=45°，所以∠APB=180°－45°=135°.（法2）因为∠C=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°，所以12(∠BAC＋∠ABC)=45°，因为BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，∠DBC=12∠ABC，∠PAC=12∠BAC ，所以∠DBC＋∠PAD=45°.所以∠APB=∠PDA＋∠PAD =∠DBC＋∠C＋∠PAD=∠DBC＋∠PAD＋∠C =45°＋90°=135°.3．解：（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）由（1）得，∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，∴∠1－∠3=∠P－∠D，∠2－∠4=∠B－∠P，又∵AP、CP分别平分∠DAB和∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠P－∠D=∠B－∠P，即2∠P=∠B+∠D，∴∠P=（40°+30°）÷2=35°．（3）2∠P=∠B+∠D．4．B 解析：延长DC，与AB交于点E．根据三角形的外角等于不相邻的两内角和，可得∠ACD=50°+∠AEC=50°+∠ABD+10°，整理得∠ACD－∠ABD=60°．设AC与BP相交于点O，则∠AOB=∠POC，∴∠P+12∠ACD=∠A+12∠ABD，即∠P=50°－12（∠ACD－∠ABD）=20°．故选B．5．解：（1）∵∠A=40°，∠B=72°，∴∠ACB=68°．∵CD平分∠ACB，∴∠DCB=12∠ACB=34°．∵CE是AB边上的高，∴∠ECB=90°－∠B=90°－72°=18°．∴∠DCE=34°－18°=16°．（2）∠DCE=12（∠B－∠A）．6．（1）证明：延长BD交AC于点E，∵∠BEC是△ABE的外角，∴∠BEC=∠A+∠B．∵∠BDC是△CED的外角，∴∠BDC=∠C+∠DEC=∠C+∠A+∠B．（2）猜想：∠BDC+∠ACD+∠A+∠ABD=360°．证明：∠BDC+∠ACD+∠A+∠ABD=∠3+∠2+∠6+∠5+∠4+∠1=（∠3+∠2+∠1）+（∠6+∠5+∠4）=180°+180°=360°．11.3多边形及其内角和专题一根据正多边形的内角或外角求值1．若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是（）A．12 B．11 C．10 D．92．一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于________°．3．已知一个多边形的每一个内角都相等，且每个内角都等于与它相邻的外角的9倍，求这个多边形的边数．专题二求多个角的和4．如图为某公司的产品标志图案，图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（）A．360°B．540°C．630°D．720°5．如图，∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=_________°．6．如图，求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．状元笔记【知识要点】1．多边形及相关概念多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．2．多边形的内角和与外角和内角和：n边形的内角和等于(n－2)·180°．外角和：多边形的外角和等于360°．【温馨提示】1．从n边形的一个顶点出发，可以做(n－3)条对角线，它们将n边形分为(n－2)个三角形．对角线的条数与分成的三角形的个数不要弄错．2．多边形的外角和等于360°，而不是180°．【方法技巧】1．连接多边形的对角线，将多边形转化为多个三角形，将多边形问题转化为三角形问题来解决．2．多边形的内角和随边数的变化而变化，但外角和不变，都等于360°，可利用多边形的外角和不变求多边形的边数等．参考答案:1．A 解析：∵每个内角为150°，∴每个外角等于30°．∵多边形的外角和是360°，360°÷30°=12，∴这个正多边形的边数为12．故选A．2．1440 解析：∵多边形的边数为360°÷36°=10，多边形的内角为180°－36°=144°，∴多边形的内角和等于144°×10=1440°．3．解：设多边形的边数为n，根据题意，得(n－2)·180°=9×360°，解得n=20．所以这个多边形的边数为20．4．B 解析：∵∠1=∠C+∠D，∠2=∠E+∠F，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠A+∠B+∠1+∠2+∠G=540°．故选B．5．360°解析：在四边形BEFG中，∵∠EBG=∠C+∠D，∠BGF=∠A+∠ABC，∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=∠EBG+∠BGF+∠E+∠F=360°．6．解：∵∠POA是△OEF的外角，∴∠POA=∠E+∠F．同理：∠BPO=∠D+∠C．∵∠A+∠B+∠BPO+∠POA=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．第十二章全等三角形12.1全等三角形12.2三角形全等的判定专题一三角形全等的判定1．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB 的平分线DF交BC于点F．求证：△A BE≌△CDF．2．如图，在△AB C中，D是BC边上的点（不与B，C重合），F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE. 请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF (不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明．（1）你添加的条件是：__________；（2）证明：3．如图，△ABC中，点D在BC上，点E在AB上，BD=BE，要使△ADB≌△CEB，还需添加一个条件．（1）给出下列四个条件：①AD=CE；②AE=CD；③∠BAC=∠BCA；④∠ADB=∠CEB；请你从中选出一个能使△ADB≌△CEB的条件，并给出证明；（2）在（1）中所给出的条件中，能使△ADB≌△CEB的还有哪些？直接在题后横线上写出满足题意的条件序号．__________________．专题二全等三角形的判定与性质4．如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（）A．6B．4 C．23D．55．【2013·襄阳】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，将△ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，点D落在点E处，AE的延长线交CB的延长线于点M，EB的延长线交AD的延长线于点N.求证：AM＝AN.NME D B CA6．如图，△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上一点，以CD 为边作等边三角形CDE ，使点E 、A 在直线DC 的同侧，连接AE ．求证：AE ∥BC ．专题三 全等三角形在实际生活中的应用7．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC 与∠DFE 的度数和是（ ）A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°8．有一座小山，现要在小山A 、B 的两端开一条隧道，施工队要知道A 、B 两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达A 和B 的点C ，连接AC 并延长到D ，使CD=CA ，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长，就是A、B两端的距离，你能说说其中的道理吗？9．已知如图，要测量水池的宽AB，可过点A作直线AC⊥AB，再由点C观测，在BA延长线上找一点B′，使∠ACB′=∠ACB，这时只要量出AB′的长，就知道AB的长，对吗？为什么？状元笔记【知识要点】1．全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．2．全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．3．三角形全等的判定方法(1)三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)．(2)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)．(3)两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”)．(4)两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)．4．直角三角形全等的判定方法斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL ”)． 【温馨提示】1．两个三角形全等的条件中必须有一条边分别相等，只有角分别相等不能证明两个三角形全等．2．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 3．“HL ”定理指的是斜边和一条直角边分别相等，而不是斜边和直角分别相等． 【方法技巧】1．应用全等三角形性质解决问题的前提是准确地确定全等三角形的对应边和对应角，其规律主要有以下几点：（1）以对应顶点为顶点的角是对应角； （2）对应顶点所对应的边是对应边； （3）公共边（角）是对应边（角）； （4）对顶角是对应角；（5）最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）．全等三角形的对应边和对应角可以依据字母的对应位置来确定，如若△ABC ≌△DEF ， 说明A 与D ，B 与E ，C 与F 是对应点，则∠ABC 与∠DEF 是对应角，边AC 与边DF 是对应边．2．判定两个三角形全等的解题思路：SAS SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩找夹角——已知两边找另一边——边为角的对边——找任一角——找夹角的另一边——已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角——找边的对角——找夹边——已知两角找任一边——参考答案:1．证明：平行四边形ABCD 中，AB=CD ，∠A=∠C ，AB ∥CD ， ∴∠ABD=∠CDB ．∵∠AB E=21∠ABD ，∠CDF=21∠CDB ，∴∠ABE=∠CDF ．在△ABE 与△CDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠CDF ABE CDAB C A ∴△ABE ≌△CDF ． 2．解：（1）DC BD =(或点D 是线段BC 的中点)，ED FD =，BE CF =中任选一个即可﹒（2）以DC BD =为例进行证明： ∵CF ∥BE ，∴∠FCD ﹦∠EBD ．又∵DC BD =，∠FDC =∠EDB ， ∴△BDE ≌△CDF ． 3．解：（1）添加条件②，③，④中任一个即可，以添加②为例说明． 证明：∵AE=CD ，BE=BD ， ∴AB=CB ．又∠ABD=∠CBE ，BE=BD ， ∴△ADB ≌△CEB ． （2）③④．4．B 解析：∵∠ABC =45°，AD ⊥BC ，∴AD =BD ，∠ADC =∠BDH ， ∠AHE =∠BHD =∠C ．∴△ADC ≌△BDH ．∴BH =AC =4．故选B ． 5．证明：如图所示，7654321NME D B CA∵△AEB 由△ADC 旋转而得， ∴△AEB ≌△ADC .∴∠3＝∠1，∠6＝∠C ．∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠2＝∠1，∠7＝∠C .∴∠3＝∠2，∠6＝∠7．∵∠4＝∠5，∴∠ABM ＝∠ABN ． 又∵AB ＝AB ，∴△AMB ≌△ANB ．∴AM ＝AN ．6．证明：∵△ABC 和△EDC 是等边三角形， ∴∠BCA ＝∠DCE ＝60°． ∴∠BCA －∠ACD ＝∠DCE －∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE ． 在△DBC 和△EAC 中，BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，DC ＝EC ， ∴△DBC ≌△EAC （SAS ）． ∴∠DBC ＝∠EAC ． 又∵∠DBC ＝∠ACB ＝60°， ∴∠ACB ＝∠EAC ．∴AE ∥BC ．7．B 解析：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，又∵BC=EF ，AC=DF ，∴Rt △ABC ≌Rt △DEF ．∴∠ABC=∠DEF ，∵∠DEF+∠DFE=90°，∴∠ABC+∠DFE=90°． 故选B ．8．解：在△ABC 和△CED 中，AC=CD ，∠ACB=∠ECD ，EC=BC ，∴△ABC ≌△CED ．∴AB=ED ．即量出DE 的长，就是A 、B 两端的距离． 9．解：对．理由：∵AC ⊥AB,∴∠CAB=∠CAB′=90°. 在△ABC 和△AB′C 中，ACB ACB AC AC CAB CAB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠′，，∠∠′， ∴△ABC ≌△AB′C （ASA ）．∴AB′=AB ．第十三章 轴对称13.1轴对称 13.2画轴对称图形专题一 轴对称图形1．下列图案是轴对称图形的是（ ）2．众所周知，几何图形中有许多轴对称图形，写出一个你最喜欢的轴对称图形是：______________________．（答案不唯一）3．如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用两种方法分别在下图方格内涂黑两个小正方形，使它们成为轴对称图形．专题二 轴对称的性质4．如图，△ABC 和△ADE 关于直线l 对称，下列结论：①△ABC ≌△ADE ；②l 垂直平分DB ；③∠C=∠E ；④BC 与DE 的延长线的交点一定落在直线l 上．其中错误的有（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个5．如图，∠A=90°，E为BC上一点，A点和E点关于BD对称，B点、C点关于DE对称，求∠AB C和∠C的度数．6．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线m对称．（1）结合图形指出对称点．（2）连接A、A′，直线m与线段AA′有什么关系？（3）延长线段AC与A′C′，它们的交点与直线m有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律，请叙述出来与同伴交流．专题三灵活运用线段垂直平分线的性质和判定解决问题7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（）A．3 B．2 C．3D．18．如图，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC与E，则△ADE的周长等于________．9．如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，那么线段AB、BD、DE之间有什么数量关系？并加以证明．专题四利用关于坐标轴对称点的坐标的特点求字母的取值范围10．已知点P（－2，3）关于y轴的对称点为Q（a，b），则a+b的值是（）A．1 B．－1 C．5 D．－511．已知P1点关于x轴的对称点P2（3－2a，2a－5）是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），则P1点的坐标是__________．状元笔记【知识要点】1．轴对称图形与轴对称轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．这条直线是它的对称轴．轴对称：把一个平面图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫做对称轴．2．轴对称的性质如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．3．线段的垂直平分线的性质和判定性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．4．关于x轴、y轴对称的点的坐标的特点点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(－x，y)；【温馨提示】1．轴对称图形是针对一个图形而言，是指一个具有对称的性质的图形；轴对称是针对两个图形而言，它描述的是两个图形的一种位置关系．2．在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个图形的对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两个图形的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相同．参考答案:1．D 解析：∵将D图形上下或左右折叠，图形都能重合，∴D图形是轴对称图形，故选D．2．圆、正三角形、菱形、长方形、正方形、线段等3．如图所示：4．A 解析：根据轴对称的定义可得，如果△ABC和△ADE关于直线l对称，则△ABC≌△ADE，即①正确；因为如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对应线段、对应角相等，故l垂直平分DB，∠C=∠E，即②，③正确；因为成轴对称的两个图形对应线段或延长线如果相交，那么，交点一定在对称轴上，故BC与DE的延长线的交点一定落在直线l上，即④正确．综上所述，①②③④都是正确的，故选A．5．解：根据题意A点和E点关于BD对称，有∠ABD=∠EBD，即∠ABC=2∠ABD=2∠EBD．B 点、C 点关于DE 对称，有∠DBE=∠BCD ，∠ABC=2∠BCD ． 且已知∠A=90°，故∠ABC+∠BCD=90°． 故∠ABC=60°，∠C=30°．6．解：（1）对称点有A 和A'，B 和B'，C 和C'． （2）连接A 、A′，直线m 是线段AA′的垂直平分线．（3）延长线段AC 与A′C′，它们的交点在直线m 上，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线m 上，即若两线段关于直线m 对称，且不平行，则它们的交点或它们的延长线的交点在对称轴上．7．B 解析：在Rt △FDB 中，∵∠F ＝30°，∴∠B ＝60°． 在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°， ∴∠A ＝30°．在Rt △AED 中，∵∠A ＝30°， DE ＝1，∴AE ＝2．连接EB. ∵DE 是AB 的垂直平分线，∴EB ＝AE ＝2. ∴∠EBD ＝∠A ＝30°．∵∠ABC ＝60°，∴∠EBC ＝30°．∵∠F ＝30°，∴EF ＝EB ＝2．故选B ．ABFCED8．8 解析：∵DF 是AB 的垂直平分线，∴DB=DA ．∵EG 是AC 的垂直平分线，∴EC=EA ． ∵BC=8，∴△ADE 的周长=DA+EA+DE=DB+DE+EC=BC=8． 9．解：AB+BD=DE ．证明：∵AD ⊥BC ，BD=DC ，∴AB=AC ． ∵点C 在AE 的垂直平分线上， ∴AC=CE ． ∴AB=CE ．∴AB+BD=CE+DC=DE ．10．C 解析：关于y 轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，∴a=2，b=3．∴a+b=5． 解得1.5＜a ＜2.5，又因为a 必须为整数，∴a=2．∴点P 2（－1，－1）． ∴P 1点的坐标是（－1，1）．第十四章 整式的乘法与因式分解14.1整式的乘法专题一 幂的性质1．下列运算中，正确的是（ ）A ．3a 2－a 2＝2B ．(a 2)3＝a 9C ．a 3•a 6＝a 9D ．(2a 2)2＝2a 4 2．下列计算正确的是（ ）A ．3x ·622x x = B ．4x ·82x x =C ．632)(x x -=- D ．523)(x x =3．下列计算正确的是（ ）A ．2a 2＋a 2＝3a 4B ．a 6÷a 2＝a 3C ．a 6·a 2＝a 12D ．( －a 6)2＝a 12 专题二 幂的性质的逆用4．若2a =3，2b =4，则23a+2b 等于（ ） A ．7 B ．12 C ．432 D ．1085．若2ｍ=5，2ｎ=3，求23ｍ+2ｎ的值．6．计算：(1)(－0.125)2014×(－2)2014×(－4)2015； (2)(－19)2015×811007．专题三 整式的乘法7．下列运算中正确的是（ ）A ．2325a a a +=B ．22(2)()2a b a b a ab b +-=--C ．23622a a a ⋅=D ．222(2)4a b a b +=+8．若（3x 2－2x +1）（x +b ）中不含x 2项，求b 的值，并求（3x 2－2x +1）（x +b ）的值．9．先阅读，再填空解题： （x +5）（x +6）=x 2+11x +30； （x －5）（x －6）=x 2－11x +30； （x －5）（x +6）=x 2+x －30； （x +5）（x －6）=x 2－x －30．（1）观察积中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？答：________． （2）根据以上的规律，用公式表示出来：________．（3）根据规律，直接写出下列各式的结果：（a +99）（a －100）=________；（y －80）（y －81）=________．专题四 整式的除法10．计算：（3x 3y －18x 2y 2+x 2y ）÷（－6x 2y ）=________．11．计算：236274319132）（）（ab b a b a -÷-．12．计算：（a －b ）3÷（b －a ）2+（－a －b ）5÷（a +b ）4．状元笔记【知识要点】 1．幂的性质(1)同底数幂的乘法：n m n m aa a +=⋅ (m ，n 都是正整数)，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．(2)幂的乘方：()m n mn a a=(m ，n 都是正整数)，即幂的乘方，底数不变，指数相乘． (3)积的乘方：()n n nab a b =(n 都是正整数)，即积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．2．整式的乘法(1)单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．(2)单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘单项式的每一项，再把所得的积相加．(3)多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．3．整式的除法(1)同底数幂相除：m n m n a a a-÷=(m ，n 都是正整数，并且m ＞n )，即同底数幂相除，底数不变，指数相减． (2)0a =1(a ≠0)，即任何不等于0的数的0次幂都等于1．(3)单项式除以单项式：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．(4)多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．【温馨提示】1．同底数幂乘法法则与合并同类项法则相混淆．同底数幂相乘，应是“底数不变，指数相加”；而合并同类项法则是“系数相加，字母及字母的指数不变”． 2．同底数幂相乘与幂的乘方相混淆．同底数幂相乘，应是“底数不变，指数相加”；幂的乘方，应是“底数不变，指数相乘”．3．运用同底数幂的乘法(除法)法则时，必须化成同底数的幂后才能运用上述法则进行计算．4．在单项式(多项式)除以单项式中，系数都包括前面的符号，多项式各项之间的“加、减”符号也可以看成系数的符号来参与运算．【方法技巧】1．在幂的性质中，公式中的字母可以表示任意有理数，也可以表示单项式或多项式．2．单项式与多项式相乘，多项式与多项式相乘时，要按照一定的顺序进行，否则容易造成漏项或增项的错误．3．单项式与多项式相乘，多项式除以单项式中，结果的项数与多项式的项数相同，不要漏项．参考答案:1．C 解析：A 中，3a 2与－a 2是同类项，可以合并，3a 2―a 2＝2a 2，故A 错误；B 中，(a 2)3＝a 2×3=a 6，故B 错误；C 中，a 3•a 6＝a 3+6＝a 9，故C 正确；D 中，(2a 2)2＝22（a 2）2＝4a 4，故D 错误．故选C ．2．C 解析：3x ·2235x x x +==，选项A 错误；4x ·2246x x x +==，选项B 错误；23236()x x x ⨯-=-=-，选项C 正确；32236()x x x ⨯==，选项D 错误. 故选C ．3．D 解析：A 中，22223a a a +=，故A 错误；B 中，624a a a ÷=，故B 错误；C 中，628a a a ⋅=，故C 错误. 故选D ．4．C 解析：23a+2b =23a ×22b =（2a ）3×（2b ）2=33×42=432．故选C ．3ｍ+2ｎ=23ｍ·22ｎ=（2ｍ）3·（2ｎ）2 3·32=1125.6．解：(1)原式=(0.125×2×4)2014×(－4)=12014×(－4)=－4．(2)原式=(－19)2015×92014=(19×9)2014×(－19)=－19．7．B 解析：A 中，由合并同类项的法则可得3a+2a=5a ，故A 错误；B 中，由多项式与多项式相乘的法则可得22(2)()22a b a b a ab ab b +-=-+-=222a ab b --，故B 正确；C 中，由单项式与单项式相乘的法则可得232322a a a +⋅==52a ，故C 错误；D 中，由多项式与多项式相乘的法则可得222(2)44a b a ab b +=++，故D 错误. 综上所述，选B ．8．解：原式=3x 3+（3b －2）x 2+（－2b+1）x+b ，∵不含x 2项，∴3b －2=0，得b=23． ∴（3x 2－2x+1）（x+23） =3x 3－2x 2+x+2x 2－43x+23=3x 3－13x+23． 9．解：（1）观察积中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项的关系是：一次项系数是两因式中的常数项的和，常数项是两因式中的常数项的积；（2）根据以上的规律，用公式表示出来：（a+b ）（a+c ）=a 2+（b+c ）a+bc ；（3）根据（2）中得出的公式得：（a+99）（a －100）=a 2－a －9900；（y －80）（y －81）=y 2－161y+6480．10．－12x+3y －16解析：（3x 3y －18x 2y 2+x 2y ）÷（－6x 2y ）=（3x 3y ）÷（－6x 2y ）－18x 2y 2÷（－6x 2y ）+x 2y÷（－6x 2y ）=－12x+3y －16．11．解：原式。
与三角形有关的角大题专练(重难点培优40题)-八年级数学上册尖子生培优必刷题(原卷版)【人教版】
【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题11.6与三角形有关的角大题专练（重难点培优40题）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________一．解答题（共40小题）1．（2022秋•灵宝市期末）如图，在△ABC中，∠B＝25°，∠BAC＝31°，过点A作BC边上的高，交BC 的延长线于点D，CE平分∠ACD，交AD于点E．求：（1）∠ACD的度数；（2）∠AEC的度数．2．（2021秋•双台子区期末）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足为F，交BC于点E，若∠BAE＝33°，∠B＝37°，求∠EAC的度数．3．（2021秋•天山区校级期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O．（1）若∠ABC＝60°，∠C＝70°，求∠DAE的度数．（2）若∠C＝70°，求∠BOE的度数．（3）若∠ABC＝α，∠C＝β（α＜β），则∠DAE＝．（用含α、β的式子表示）4．（2021秋•驻马店期末）（1）如图（a），BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，试确定∠A与∠D的数量关系．（2）如图（b），BE平分∠ABC，CE平分∠ACM，试确定∠A与∠E的数量关系．（3）如图（c），BF平分∠CBP，CF平分∠BCQ，试确定∠A与∠F的数量关系．5．（2023春•大荔县期末）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD为对顶角，则△AOB与△COD为“对顶三角形”，根据三角形三个内角和是180°，“对顶三角形”有如下性质：∠A+∠B＝∠C+∠D．性质理解：（1）如图1，在“对顶三角形”△AOB与△COD中，则∠AOB＝85°，则∠C+∠D＝°．性质应用：（2）如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C＝60°，∠ADE比∠BED大8°，求∠BED的度数．拓展提高：（3）如图3，BE、CD是△ABC的角平分线，且∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P，设∠A＝α，请尝试求出∠P的度数（用含α的式了表示∠P）．6．（2022秋•凤翔县期末）综合与探究：【情境引入】（1）如图1，BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，说明∠D＝90°+12∠A的理由．【深入探究】（2）①如图2，BD ，CD 分别是△ABC 的两个外角∠EBC ，∠FCB 的平分线，∠D 与∠A 之间的等量关系是 ；②如图3，BD ，CD 分别是△ABC 的一个内角∠ABC 和一个外角∠ACE 的平分线，BD ，CD 交于点D ，探究∠D 与∠A 之间的等量关系，并说明理由．7．（2023春•德清县期末）如图，已知在同一平面内有线段AB 和直线CD ，且AB ∥CD ，点E 是直线CD 上的一个动点，连结AE ，BE ，过点B 作BF ⊥CD ，垂足为F ．（1）如图1，若AE ⊥BE ，请说明∠BAE +∠BEF ＝90°的理由；（2）如图2，作∠BAE 的角平分线与∠EBF 的角平分线交于点P ，设∠APB ＝α，∠AEB ＝β，请求出α和β之间的数关系；（3）如图3，当点E 运动到点F 的右边时，在（2）的条件下，α和β之间的数量关系是否会发生改变？请说明理由．8．（2023春•丹江口市期末）如图，△ABC 中，∠ACE ＞∠B ，AD 是角平分线，AE ⊥AD 交BC 的延长线于点E ．（1）若∠B ＝40°，∠ACB ＝100°，求∠E 的度数；（2）①试求∠E ，∠B ，∠ACB 之间的数量关系；②若∠E ＝∠B ，求∠ACB ∠B 的值．9．（2023春•定兴县期末）综合与实践课上，同学们以“一个含30°角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线a，b且a∥b，三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠BAC＝30°．操作发现：（1）如图1，若∠1＝42°，求∠2的度数；（2）小聪同学把图1中的直线a向上平移得到如图2，请你探究图2中的∠1与∠2的数量关系，并说明理由．（3）小颖同学将图2中的直线b向上平移得到图3，若∠2＝4∠1，求∠1的度数．10．（2023春•莆田月考）（1）已知：三角形ABC，求证：∠A+∠B+∠ACB＝180；小明同学经过认真思弯，他过点C作CE∥AB，利用添加辅助线的方法成功解决了这个问题，你能说出小明是怎么解决这个问题的吗？写出论证过程．（2）利用以上结论或方法，解决如下问题：已知：六边形ABCDEF，满足∠A+∠B+∠C＝∠D+∠E+∠F，求证：AF∥CD．11．（2023春•江都区期末）如图，在△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC．（1）若∠B＝64°，∠C＝42°，则∠DAE＝°；（2）∠B、∠C与∠DAE有何数量关系？证明你的结论；（3）点G是线段CE上任一点（不与C、E重合），作GH⊥CE，交AE的延长线于点H，点F在BA的延长线上．若∠F AC＝α，∠GHE＝β，求∠B、∠C（用含α、β代数式表示）．12．（2023春•榕城区期末）定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B的度数是；（2）若△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．①如图，若AD是∠BAC的平分线，请判断△ABD是否为“准互余三角形”？并说明理由．②点E是边BC上一点，△ABE是“准互余三角形”，若∠ABC＝24°，则∠EAC的度数是．13．（2023春•曹县期末）如图，∠AOB＝90°，点C、D分别在射线OA、OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F．（1）在图1中，当∠CDO＝50°时，求∠F的度数；（2）如图2，当C、D两点分别在射线OA、OB上移动时（不与点O重合），其他条件不变，∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，试求出∠F的度数．14．（2023春•无为市期末）如图，直线m∥n，Rt△ABC中∠ACB＝90°，Rt△ABC的边AC、AB与直线m 相交于D、E两点，边BC、AB与直线n交于F、G两点．（1）将Rt△ABC如图1位置摆放，如果∠ADE＝46°，则∠CFG＝；（2）将Rt△ABC如图2位置摆放，H为AC上一点，∠HFG+∠CFG＝180°，请写出∠HFG与∠ADE 之间的数量关系，并说明理由；（3）将Rt△ABC如图3位置摆放，若∠EDC＝140°，延长AC交直线n于点K，点P是射线EG上一动点，探究∠PDK，∠DPK与∠PKG的数量关系，请直接写出结论（题中的所有角都大于0°小于180°）．15．（2023春•枣庄期末）在三角形三个内角中，如果满足其中一个内角α是另一个内角β的2倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中内角α称为“主特征角”，内角β称为“次特征角”．（1）已知在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，判断△ABC是否为“特征三角形”，并说明理由；（2）在△DEF中，∠D＝96°，若△DEF是“特征三角形”，且∠E是“次特征角”，求∠E的度数．16．（2022秋•潍坊期末）通过学习第5章《几何证明初步》知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路．例如：在证明“三角形的内角和是180°”的结论时，如图2，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知、求证，并进行了证明，如下：已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角．求证：∠A+∠B+∠C＝180°．证明：延长BC，过点C作CM∥BA．∴∠A＝∠1，∠B＝∠2．∵∠1+∠2+∠ACB＝180°，∴∠A+∠B+∠ACB＝180°．（1）小明的证明过程依据有哪些？（写两条即可）（2）请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程．17．（2023春•镇平县期末）小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于D．猜想∠B、∠C、∠EAD之间的数量关系．（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠B、∠C的值求∠EAD值，得到下面几组对应值：∠B（单位：度）1030302020∠C（单位：度）7070606080∠EAD（单位：度）30a152030上表中a＝，于是得到∠B、∠C、∠EAD之间的数量关系为；（2）小明继续探究，如图2，在线段AE上任取一点P，过点P作PD⊥BC于点D，请尝试写出∠B、∠C、∠EPD之间的数量关系，并说明理由．（3）小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，如图3，过EA的延长线上一点F作FD⊥BC交CB的延长线于点D，当∠ABC＝85°，∠C＝23°时，∠F度数为°．18．（2023春•太平区期末）如图1，已知等腰△ABC中，∠A＝∠C＝30°，动点D在AB的平行线l上，联结AD．（1）如图2，若∠B＝∠ADC，说明AD∥BC的理由；（2）如图3，当∠CDA＝∠DAB时，△ACD是什么三角形？为什么？（3）过点A作l的垂线，垂足为H，若∠ADH＝60°，求∠DAC的度数．19．（2023春•青秀区校级期末）我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的3倍，则这样的三角形称之为“美好三角形”．如：三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“美好三角形”．如图，∠AOB＝40°，点C在边OA上，过点C作EC⊥OA交OB于点E，以C为端点作射线CD，交线段OE于点F（点F不与O，E重合）．【概念理解】（1）∠CEO的度数为，△OCE（填“是”或“不是”）“美好三角形”．【应用拓展】（2）若∠CFE＝75°，试说明：△OCF是“美好三角形”．20．（2023春•栾城区校级期末）在△ABC中，点D在线段AC上，DE∥BC交AB于点E，点F在线段AB 上（点F不与点A，E，B重合），连接DF，过点F作FG⊥FD交射线CB于点G．（1）如图1，点F在线段BE上．①直接写出∠EDF与∠BGF的数量关系；②求证：∠ABC+∠BFG﹣∠EDF＝90°；（2）当点F在线段AE上时，请在备用图中补全图形，并直接写出∠EDF与∠BGF的数量关系．21．（2023春•邗江区期中）综合与探究：爱思考的小明在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如图1，如果∠A＝80°，那么∠BPC＝°（2）如图2，作△ABC的外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC的数量关系．（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，若∠Q＝4∠E，求∠A的度数．22．（2023春•洪洞县期末）在△ABC中，AD⊥BC于点D．特例研究：（1）如图1，若∠BAC的平分线AE能交BC于点E，∠B＝35°，∠EAD＝5°，求∠C的度数；操作发现：如图2，点M，N分别在线段AB，AC，将△ABC折叠，点B落在点F处，点C落在点G处，折痕分别为DM和DN，点G，F都在射线DA上；（2）若∠B+∠C＝60°，试猜想∠AMF与∠ANG之间的数量关系，并说明理由；（3）将△DFM绕点D逆时针旋转，旋转角记为α（0°＜α＜360°）．记旋转中的△DMF为△DM1F1，在旋转过程中，点M，F的对应点分别为M1，F1，直线M1F1，与直线BC交于点Q，与直线AB交于点P．若∠B＝35°，∠PQB＝90°，请直接写出旋转角α的度数．23．（2023春•东方校级期末）在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如图1，如果∠A＝70°，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BPC的度数；（2）如图1，如果∠A＝α，用含α的代数式表示∠BPC；（3）探索：如图2，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试写出∠Q、∠A之间的数量关系；（4）拓展：如图3，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数．24．（2023春•商水县期末）【基本模型】（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACD，试说明∠P=12∠A．【变式应用】（2）如图2，∠MON＝90°，A，B分别是射线ON，OM上的两个动点，∠ABO与∠BAN的平分线的交点为P，则点A，B的运动的过程中，∠P的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．【拓展应用】（3）如图3，∠MON＝90°，作∠MON的平分线OD，A是射线OD上的一定点，B是直线OM上的任意一点（不与点O重合），连接AB，设∠ABO的平分线与∠BAO的邻补角的平分线的交点为P，请直接写出∠P的度数．25．（2023春•金华期末）数学兴趣小组围绕“三角形的内角和是180°”，进行了一系列探究，过程如下：【论证】如图1，延长BA至D，过点A作AE∥BC，就可以说明∠BAC+∠B+∠C＝180°成立，即：三角形的内角和为180°，请完成上述说理过程．【应用】如图2，在△ABC中，∠BAC的平分线与∠ACB的角平分线交于点P，过点A作AE∥BC，M 在射线AE上，且∠ACM＝∠AMC，MC的延长线与AP的延长线交于点D．①求∠DCP的度数；②设∠B＝α，请用α的代数式表示∠D．【拓展】如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，过点A作EF∥BC，直线MN与EF相交于A点右侧的点P，∠APN＝75°．△ABC绕点A以每秒12°的速度顺时针方向旋转，同时MN绕点P 以每秒5°的速度顺时针方向旋转，与EF重合时MN再绕着点P以原速度逆时针方向旋转，当△ABC 旋转一周时，运动全部停止，设运动时间为t秒，在旋转过程中，是否某一时刻，使得MN与△ABC的一边平行？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．26．（2023春•云浮期末）如图1，在直角三角形ABC中，∠CAB＝90°，∠C＝30°，现将△ABC绕点A 顺时针旋转α角度得到△ADE．（1）若α＝28°时，则∠DAC＝°；若0°＜α＜90°时，α与∠CAE的关系是；（2）∠DAC与∠BAE有怎样的关系？请说明理由；（3）在旋转过程中，若0°＜α＜180°时，△ADE与△ABC这两个三角形是否存在一组边互相平行？若存在，请求出α的所有可能取值．27．（2023春•荣成市期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角∠1＝∠2．（1）如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1＝50°，则∠2＝，∠3＝；（2）图2中，当被b反射出的光线n与光线m平行时，不论∠1如何变化，∠2与∠1总具有一定的数量关系，请猜想∠2和∠1的数量关系，并说明理由；（3）图2中，请你探究：当任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，求两平面镜a、b的夹角∠3的度数；（4）如图3，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m垂直，求出此时∠O的度数？（友情提示：三角形内角和等于180°）28．（2023春•乐山期末）（1）如图1，△ABC中，延长AB到M，BP平分∠MBC，延长AC到N，CP平分∠NCB，PB交PC于点P，若∠ABC＝α，∠ACB＝β，∠BPC＝θ，求证：α=α+β2；（2）如图2，△ABC中，E是AB边上一点，F是AC边上一点，延长AB到M，PB平分∠MBC，PF平分∠EFC，BP交PF于点P，若∠AEF＝α，∠ACB＝β，∠BPF＝θ，求证：θ=α+β2；（3）如图3，△ABC中，E是AB边上一点，F是AC边上一点，延长EF到G，PB平分∠ABC，PF平分∠AFG，BP交PF于点P，若∠AEF＝α，∠ACB＝β，∠BPF＝θ，探究并直接写出α，β，θ之间的等量关系．29．（2022秋•太平区校级期末）【基本模型】：如图1，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN 的平分线交于点O，请你写出∠BOC与∠A的数量关系，并说明理由．【变式应用】：如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE 分别是∠ADC和∠BCD的角平分线．（1）若∠POM＝80°，在点A、B运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．（2）若AP∥DE，BM∥CE，直接写出∠POM度数．30．（2023春•盐都区期中）【教材呈现】苏科版义务教育数学教科书七下第42页第20题，是一道研究双内角平分线的夹角和双外角平分线夹角的数学问题，原题如下．在△ABC中，∠A＝n°．（1）设∠B、∠C的平分线交于点O，求∠BOC的度数；（2）设△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线交于点O′，求∠BO′C的度数；（3）∠BOC与∠BO′C有怎样的数量关系？【问题解决】聪聪对上面的问题进行了研究，得出以下答案：如图1，在△ABC中，∠A＝n°．（1）∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC的度数为；（2）△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线交于点O′，则∠BO′C的度数为；（3）∠BOC与∠BO'C的数量关系是．（4）【问题深入】：如图2，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，将△ABC沿MN折叠使得点A与点O重合，请直接写出∠1+∠2与∠BOC的一个等量关系式；（5）如图3，过△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线的交点O′，作直线PQ交AD于点P，交AE 于点Q．当∠APQ＝∠AQP时，∠CO′Q与∠ABC有怎样的数量关系？请直接写出结果．31．（2023春•郯城县期中）已知AB∥CD，直线MN交AB、CD交于点M、N．（1）如图1所示，点E在线段MN上，设∠MBE＝15°，∠MND＝70°，则∠MEB＝．（2）如图2所示，点E在线段MN上，∠1＝∠2，DF平分∠EDC，交BE的延长线于点F，试找出∠AEN、∠1、∠3之间的数量关系，并证明；（提示：不能使用“三角形内角和是180°”）．（3）如图3所示，点B、C、D在同一条直线上，∠ABC与∠ACD的角平分线交于点P，请直接写出∠A与∠P的数量关系：．32．（2023春•桂林期末）实验与探究小芳同学在用数学图形软件探究平行线的性质时，进行如下实验与探究：在直线CD上取一定点N，作一任意三角形MNP，过点M作直线AB∥CD，并标记∠BMP为∠1，∠DNP为∠2，请用平行线的相关知识解决下列问题．（1）如图1，小芳发现，当点P落在直线AB与CD之间时，总有∠1+∠2＝∠P的结论，请你帮小芳说明理由；（2）将三角形MNP绕点N旋转，当点P落在直线AB与CD之外时（如图2），小芳发现∠1，∠2，∠P之间依然满足某种数量关系，请你写出这个数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点P落在直线AB与CD之间时，小芳用数学软件作出∠AMP与∠CNP的角平分线MQ 和NQ，交点为点Q，发现∠P与∠MQN之间也满足某种数量关系，请你写出这个数量关系，并说明理由．33．（2023春•增城区期末）如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．（1）直线AB与直线CD是否平行，说明你的理由；（2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H 作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．①当点G在点F的右侧时，若β＝60°，求α的度数；②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．34．（2023春•信都区期末）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是线段AC上的动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交射线BD于点F，∠CEF的平分线所在直线与射线BD交于点G．（1）如图，点E在线段AD上运动．①若∠ABC＝40°，∠C＝60°，则∠A的度数是；∠EFB的度数是，②探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由；（2）若点E在线段DC上运动时，请直接写出∠BGE与∠A之间的数量关系．35．（2023春•海沧区期中）如图1，在△ABC中，点D是AC延长线上一点，过点D作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG与BG交于点G，直线DG与直线BC交于点F．（1）证明：∠A+∠ABC＝∠ACF；（2）在图1中，若∠G＝30°，求∠A的度数；（3）如图2，连接FE，若2∠DFE＝∠ABC+2∠G，求证：FE∥AD．36．（2023•诸暨市模拟）在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，点E是射线AB上的动点（不与点D 重合），过点E作EF∥BC交直线CD于点F，∠BEF的角平分线所在的直线与射线CD交于点G．（1）如图1，点E在线段AD上运动．①若∠B＝60°，∠ACB＝40°，则∠EGC＝°；②若∠A＝90°，求∠EGC的度数；（2）若点E在射线DB上运动时，探究∠EGC与∠A之间的数量关系．37．（2023春•邗江区期末）如图，已知MN∥GH，点C在MN上，点A、B在GH上．在△ABC中，∠ACB ＝90°，∠BAC＝45°，点E、F在直线BC上，在△DEF中，∠EDF＝90°，∠DFE＝30°．（1）图中∠BCN的度数是°；（2）将△DEF沿直线BC平移，当点D在MN上时，求∠CDE的度数；（3）将△DEF沿直线BC平移，当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等时，请直接写出∠CDE 的度数．38．（2023春•遂宁期末）如图，直线PQ∥MN，两个三角形如图①放置，其中∠ABC＝∠CDE＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC＝60°，∠DCE＝∠DEC＝45°，点E在直线PQ上，点B，C均在直线MN上，且CE平分∠ACN．（1）求∠DEQ的度数；（2）如图②，若将△ABC绕B点以每秒3°的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G）．设旋转时间为t秒，当t＝10时，边BG与CD有何位置关系？请说明理由．39．（2023春•漳州期末）将一把直角尺放置在钝角△ABC（∠BAC＞90°）上，使得点B、C分别在该直角尺的两条直角边DE、DF上，且直角顶点D与点A在BC边的同侧．（1）如图，点A在直角尺内部．①若∠A＝120°，∠ABD＝10°，求∠ACD的度数；②若∠A＝α，∠ABD＝β，求∠ACD的度数（用含α、β的式子表示）．（2）改变直角尺的位置，使点A在直角尺外部，其它条件不变，探索∠ABD、∠ACD、∠A三者之间的数量关系，并说明理由．40．（2023春•邗江区校级期末）如图1，△ABC的外角平分线BF、CF交于点F．（1）若∠A＝50°，则∠F的度数为．（2）过点F作直线MN，交射线AB，AC于点M、N，并将直线MN绕点F转动．①如图2，当直线MN与线段BC没有交点时，若设∠MFB＝α，∠NFC＝β，试探索∠A与α，β之间满足的数量关系，并说明理由；②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中∠A与α，β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出三者之间满足的数量关系．。
专题2.1全等三角形-2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典(解析版)【人教版】
2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题2.1全等三角形姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•松北区期末）如图，△ABC≌△A'B'C，∠BCB'＝30°，则∠ACA'的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．15°【分析】根据全等三角形的性质可得∠ACB＝∠A′CB′，再根据等式的性质可得∠ACA′＝∠BCB′＝30°．【解析】∵△ABC≌△A′B′C，∴∠ACB＝∠A′CB′，∴∠ACB﹣∠A′CB＝∠A′CB′﹣∠A′CB，∴∠ACA′＝∠BCB′＝30°，故选：A．2．（2020•淄博）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．【解析】∵△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，故选：B．3．（2019秋•开州区期末）下列说法不正确的是（）A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同B．面积相等的两个图形是全等图形C．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关D．全等三角形的对应边相等，对应角相等【分析】直接利用全等图形的性质进而分析得出答案．【解析】A、如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同，正确，不合题意；B、面积相等的两个图形是全等图形，错误，符合题意；C、图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关，正确，不合题意；D、全等三角形的对应边相等，对应角相等，正确，不合题意；故选：B．4．（2019秋•常州期末）下列说法正确的是（）A．两个等边三角形一定全等B．形状相同的两个三角形全等C．面积相等的两个三角形全等D．全等三角形的面积一定相等【分析】根据全等图形的性质对各选项进行逐一分析即可．【解析】A、两个边长不相等的等边三角形不全等，故本选项错误；B、形状相同，边长不对应相等的两个三角形不全等，故本选项错误；C、面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；D、全等三角形的面积一定相等，故本选项正确．故选：D．5．（2020春•万州区期末）如图，△ABC≌△DEC，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD的长为（）A．12B．7C．2D．14【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．【解析】如图，△ABC≌△DEC，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，∴BC＝EC＝5，CD＝AC＝7，∴BD＝BC+CD＝12．故选：A．6．（2019秋•琼山区校级期末）如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论：其中正确的是（）①AC＝AF，②∠F AB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠F AC，A．①②B．①③④C．①②③④D．①③【分析】根据全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等可得AC＝AF，EF＝CB，∠EAF＝∠BAC，再利用等式的性质可得∠EAB＝∠F AC．【解析】∵△ABC≌△AEF，∴AC＝AF，EF＝CB，∠EAF＝∠BAC，∴∠EAF﹣∠BAF＝∠BAC﹣∠BAF，∴∠EAB＝∠F AC，正确的是①③④，故选：B．7．（2019秋•浏阳市期末）若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（）A．30B．27C．35D．40【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应边相等进而得出答案．【解析】∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF＝30，故选：A．8．（2019秋•黑河期末）如图所示，点B、E、C、F在一条直线上，△ABC≌△DEF，则下列结论正确的是（）A．AB∥DE，但AC不平行于DF B．BE＝EC＝CFC．AC∥DF，但AB不平行于DE D．AB∥DE，AC∥DF【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角相等，再利用平行线的判定定理得出答案．【解析】∵△ABC≌△DEF，∴∠B＝∠DEF，∠F＝∠ACB，∴AB∥DE，AC∥DF，无法得出BE＝EC＝CF故选项D正确．故选：D．9．（2019秋•秦淮区期末）如图，若△ABC≌△DEF，四个点B、E、C、F在同一直线上，BC＝7，EC＝5，则CF的长是（）A．2B．3C．5D．7【分析】根据全等三角形的对应边相等得到EF＝BC＝7，计算即可．【解析】∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，又BC＝7，∴EF＝7，∵EC＝5，∵CF＝EF﹣EC＝7﹣5＝2．故选：A．10．（2019秋•仁怀市期末）如图，△ABC≌△DEF，DF和AC，EF和BC为对应边，若∠A＝123°，∠F ＝39°，则∠DEF等于（）A．18°B．20°C．39°D．123°【分析】根据全等三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解答】解；∵△ABC≌△DEF，∠A＝123°，∴∠D＝∠A＝123°，∵∠F＝39°，∴∠DEF＝180°﹣123°﹣39°＝18°，故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020春•郓城县期末）任意一个三角形被一条中线分成两个三角形，则这两个三角形：①形状相同；②面积相等；③全等．上述说法中，正确的是②．【分析】根据三角形的中线性质可得答案．【解析】根据三角形的中线平分三角形的面积可得②正确，故答案为：②．12．（2020•朝阳区三模）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝45°．【分析】直接利用网格得出对应角∠1＝∠3，进而得出答案．【解析】如图所示：由题意可得：∠1＝∠3，则∠1+∠2＝∠2+∠3＝45°．故答案为：45°．13．（2020•顺德区模拟）如图，在正方形网格中，∠1+∠2+∠3＝135°．【分析】根据图形可得AB＝AD，BC＝DE，∠B＝∠D，∠2＝45°，然后判定△ABC≌△ADE，进而可得∠4＝∠3，由∠1+∠4＝90°可得∠3+∠1＝90°，进而可得答案．【解析】∵在△ABC和△ADE中{AB=AD ∠B=∠D CB=DE，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠4＝∠3，∵∠1+∠4＝90°，∴∠3+∠1＝90°，∵∠2＝45°，∴∠1+∠2+∠3＝135°，故答案为：135°．14．（2019秋•高淳区期末）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO，下列结论：①∠AOD＝90°；②CB＝CD；③DA＝DC．其中正确结论的序号是①②．【分析】直接利用全等三角形的性质结合线段垂直平分线的性质得出答案．【解析】∵△ABO≌△ADO，∴∠AOB＝∠AOD=12×180°＝90°，BO＝DO，∴AC垂直平分BD，∴BC＝DC，无法得出AD＝DC，故正确的有①②．故答案为：①②．15．（2019秋•谢家集区期末）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为90°．【分析】直接利用全等图形的性质得出∠1＝∠DEC，进而得出答案．【解析】如图所示：由题意可得：△ACB≌△ECD，则∠1＝∠DEC，∵∠2+∠DEC＝90°，∴∠1+∠2＝90°．故答案为：90°．16．（2019秋•越城区期末）下列图形中全等图形是⑤和⑦（填标号）．【分析】要认真观察图形，从①开始找寻，看后面的谁与之全等，然后是②，看后面的哪一个与它全等，如此找寻，可得答案．【解析】由全等形的概念可知：共有1对图形全等，即⑤和⑦能够重合．故答案为：⑤和⑦．17．（2020春•郑州期末）如图△ABC≌△EFD，请写出一组图中平行的线段AB∥FE，答案不唯一．【分析】根据全等三角形的性质和平行线的判定解答即可．【解析】∵△ABC≌△EFD，∴∠B＝∠F，∠ACB＝∠EDF，∴AB∥EF，AC∥DE，故答案为：AB∥FE，答案不唯一．18．（2020春•雅安期末）如图，在△ABC中，D、E分别是AC，AB上的点，若△ADE≌△BDE≌△BDC，则∠DBC的度数为30°．【分析】根据全等三角形的性质得出∠A＝∠DBE＝∠CBD，∠C＝∠AED＝∠BED，根据邻补角互补求出∠AED＝∠BED＝90°＝∠C，再根据三角形内角和定理求出即可．【解析】∵△ADE≌△BDE≌△BDC，∴∠A＝∠DBE＝∠CBD，∠C＝∠AED＝∠BED，∵∠AED+∠BED＝180°，∴∠AED＝∠BED＝90°＝∠C，∵∠C+∠A+∠CBA＝180°，∴3∠A＝90°，∴∠A＝30°，∴∠DBC＝∠A＝30°，故答案为：30°．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019秋•孝义市校级月考）如图所示，请你在图中画两条直线，把这个“+”图案分成四个全等的图形（要求至少要画出两种方法）．【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形画线即可．【解析】如图所示：．20．（2019秋•裕安区期末）如图，△ACF≌△ADE，AD＝12，AE＝5，求DF的长．【分析】直接利用全等三角形的性质得出AC＝AD，进而得出答案．【解析】∵△ACF≌△ADE，AD＝12，AE＝5，∴AC＝AD＝12，AE＝AF＝5，∴DF＝12﹣5＝7．21．（2019秋•临泉县期末）如图，△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P，已知∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，求∠CDE的度数．【分析】根据全等三角形的性质得到∠ABC＝∠DBE，计算即可．【解析】∵∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，∴∠ABD+∠CBE＝132°，∵△ABC≌△DBE，∴∠ABC＝∠DBE，∠C＝∠E，∴∠ABD＝∠CBE＝132°÷2＝66°，∵∠CPD＝∠BPE，∴∠CDE＝∠CBE＝66°．22．（2019秋•内乡县期末）如图，已知△ABF≌△CDE．（1）若∠B＝30°，∠DCF＝40°，求∠EFC的度数；（2）若BD＝10，EF＝2，求BF的长．【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等，三角形的外角的性质计算；（2）根据全等三角形的对应边相等计算．【解析】（1）∵△ABF≌△CDE，∴∠D＝∠B＝30°，∴∠EFC＝∠DCF+∠D＝70°；（2）∵△ABF≌△CDE，∴BF＝DE，∴BF﹣EF＝DE﹣EF，即BE＝DF，∵BD＝10，EF＝2，∴BE＝（10﹣2）÷2＝4，∴BF＝BE+EF＝6．23．（2019秋•桥西区校级月考）如图所示，已知△ABC≌△FED，AF＝8，BE＝2．（1）求证：AC∥DF．（2）求AB的长．【分析】（1）根据全等三角形的性质和平行线的判定解答即可；（2）根据全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵△ABC≌△FED，∴∠A＝∠F．∴AC∥DF．（2）∵△ABC≌△FED，∴AB＝EF．∴AB﹣EB＝EF﹣EB．∴AE＝BF．∵AF＝8，BE＝2∴AE+BF＝8﹣2＝6∴AE＝3∴AB＝AE+BE＝3+2＝524．（2019春•长春期末）如图，△ACF≌△DBE，其中点A、B、C、D在一条直线上（1）若BE⊥AD，∠F＝62°，求∠A的大小；（2）若AD＝9cm，BC＝5cm，求AB的长．【分析】（1）根据全等三角形的性质得到∠FCA＝∠EBD＝90°，根据直角三角形的性质计算即可；（2）根据全等三角形的性质得到CA＝BD，结合图形得到AB＝CD，计算即可．【解析】（1）∵BE⊥AD，∴∠EBD＝90°，∵△ACF≌△DBE，∴∠FCA＝∠EBD＝90°，∴∠A＝90°﹣∠F＝28°；（2）∵△ACF≌△DBE，∴CA＝BD，∴CA﹣CB＝BD﹣BC，即AB＝CD，∵AD＝9cm，BC＝5cm，∴AB+CD＝9﹣5＝4cm，∴AB＝2cm．。