理论力学小论文

2013理论力学小论文
重心及其求法
201X 级车辆工程2班 XXX 指导老师：张伟
摘要：
在工程中，物体重心的位置具有重要意义。

汽车、轮船、飞机的重心位置，对其行驶或飞行的稳定性有直接的影响;高速运转部件的重心如果不在轴线上，将引起机械的剧烈震动，因此必须了解重心的概念和重心位置的求法。

一、 重心的概念
在地球表面附近的物体，它的每一部分都受到地球引力的作用，这些引力汇交于地球的中心，形成一个空间汇交力系，但由于我们所研究的物体其尺寸与地球的直径相比要小得多，因此可以近似地将物体上这部分力系看作是空间平行力系，这个平行力系的合力的大小即为物体的重量，合力的作用点即为物体的重心。

规则而密度均匀物体的重心就是它的几何中心。

不规则物体的重心，不一定在物体上，其求法也是多样的。

二、 物体重心坐标公式
2.1平行力系的中心
平行力系合力作用点的位置仅与各平行力系的大小和作用位置有关，而与各平行力的方向无关。

2.2 重心坐标的一般公式
将物体分成许多微小部分n 份,各微小部分所受到的地球引力（重力）以
G n G G F F F ∆⋅⋅⋅∆∆21表示,各微小部分作用点坐标为)()()(222111n n n z y x z y x z y x ⋅⋅⋅
2
1r F r F + i i
C
i F r r F
=
∑∑
则物体的重量为
∑∑∆=
∆=
=Gi
n
n
Gi G F F F 1
重心的坐标用（xC ，yC ，zC ）表示，根据空间力系的合力矩定理，对x 轴取矩，则
i G i n G n G G G x y F y F y F y F F M ⨯∆=⨯∆+⋅⋅⋅+⨯∆+⨯∆=∆∑∑2211)(
c
G c G G x y F y F F M ⨯=⨯∆=∑)(
因
i G i c c y F y F ⨯∆=⨯∑
则
∑∑∑∆⨯∆=
⨯∆=
Gi
i
Gi
G
i
Gi
c F
y
F F y F
y
同理
∑∑∑∆⨯∆=
⨯∆=
Gi
i Gi G
i
Gi
c F x F F x F x
∑∑∑∆⨯∆=
⨯∆=
Gi
i
Gi G
i
Gi
c F
z F F z F
z
物体连同坐标轴转90度，而使坐标面oxz 成为水平面，由重心的概念知，此物体重心的位置不变，再对x 轴应用合力矩定理求Zc 。

体积为V 。

假想把物体分割成许多微小体积ΔVi ，每个微小体积所受的重力为ΔFGi=γΔVi ，其作用点坐标为（xi ，yi ，zi ）。

整个物体所受的重力为FG=∑△FGi 。

应用合力矩定理可以推导出物体重心的近似公式
2.3、均质物体重心（形心）坐标公式
对于均质物体（常把同一材料制成的物体称为均质物体），其容重γ为常量（物体每单位体积的重量），各微小部分的体积为n V V V ∆⋅⋅⋅∆∆21，整个物体的体积为V
则有
γγγ
n Gn C G V F V F V F ∆=∆⋅⋅⋅∆=∆∆=∆211
γV F F Gi G =∆=∑
得
∑∑∑∑∆∆=
∆⋅∆=
V
x V V x V x i
i i i
i c
γ
γ
∑∑∑∑∆∆=
∆⋅∆=
V
y V V y V y i
i i i
i
c γ
γ
∑∑∑∑∆∆=
∆⋅∆=
V
z V V z V z i
i i
i i
c
γγ
由上可知：①均质物体重心完全决定于物体的几何形状，而与物体的重量无关。

②由物体的几何形状及尺寸所决定的物体的几何中心，称为形心，上式也是物体形心的坐标公式。

③对于均质物体来说，形心与重心重合。

2.4 均质薄壳重心（形心）坐标公式
由于薄壳的厚度远小于其它两个方向尺寸，可忽略厚度不计，则
t
A V t A V t A V n n ∆=∆⋅⋅⋅∆=∆∆=∆211
t A V i
i
∑∑∆=∆
故形心公式为:
∑∑∑∑∑∑∆∆=
∆⋅∆=
∆∆=
i
i i i i
i i i c A x A t
A x t A V
x V x
∑∑∑∑∑∑∆⋅∆=
∆⋅∆=
∆∆=
i
i i
i i
i
i c
A
y A t A y t A V y V y
三、 物体重心与形心的位置求法
3.1积分法
若将平面图形分割成无穷多个微分面积dA ，在极限情况下，上式写成：
法在图形上找到对称因素来确定物体的形心。

如任意三角形ΔA B D （图1a ）没有对称性，但可将任意三角形分割成无数平行于A B 边的直线，每一条直线的重心在其长度中点上（对称点），将这些中点联起来形成一条重心迹线D E ；用同方法，再将任意三角形分割成无数平行于A D 边的直线，
得重心迹线B F（图1b），按对称律，任意三角形ΔA B D的重心必在D E与B F的交点O 上（图1a）。

3.2.3图解法求均质组合物体的形心
对于较复杂的组合形体，可将其分割成几个简单的形体，这些简单形体的形心一般已知或易求，由于组合图形的形心是各部分图形的形心连线的交点，因此可用图解法求组合图形的形心，该法简便实用。

3.3应用举例
3.3.1梯形形心的确定（图2）
1）将梯形按图b 的方式分割成两三角形组成（图a 红线示）；
2）作图b 两三角形的对角线，分别得形心点A、B，将点A、B 相联，得连线A B（图a 红线）；
3）将梯形按图c 的方式分割成两三角形，用以上相同作图法得连
线C D （图a 绿线）；
4）线段A B 与线段C D 的交点O 即为梯形的形心（图d 示）。

3.3.2 角钢形截面形心的确定（图3）
1）将图a 按图b 的方式分割成两块矩形，作两矩形的对角线，确
2）定形心点A 和B，得联线A B；2）再将图a 按图c 的方式分割成两块矩形，用以上相同作图法得联线C D ；
3）线段A B和C D的交点即为角钢的形心O ，过形心O 的x ，y称为角钢的形心轴（图a）。

3.3.3 T 形截面的形心的确定（图4）
1）将“T”形按图a 的方式将其分割成角钢形1）与矩形2）组成（如图红线）；2）将1）部分按图b 的方式分成两矩形，作两矩形的对角线，确定形心点A、B，得联
线A B；
3）将1）部分按图c 的方式分成两块矩形，用以上相同作图法得联线C D ；
4）线段A B 和C D 的交点即为角钢的形心E （图d）；
5）作矩形2）的对角线得形心点F，将点E 和F 相联，得联线EF（图d）；
6）“T”形左右对称，故有一铅直对称轴y，铅直对称轴y 与FE联线相交点O ，即为“T”形的形心。

通过形心O 的x，y 称为“T”形的形心轴（图f）。

四、总结
每个物体都是由许多构件组成，研究每个构件的重心，对我们了解构件的运动方式及其之间的相互联系有十分重要的意义。

通过一系列行之有效的求解物体重心的方法，有助于我们精确、高效地寻找物体重心。

同时我们也可以看到，对于求解物体重心有多种方法。

几何解析法虽然能帮助我们精确找到物体重心，但是其数学运算繁杂。

相比而言，图解法求物体重心直观易求，简便实用。

在实际需要中，我们可以根据需要选择相应的方法。

参考文献
[1]韩美娥,周炳文.工程力第一版[M].重庆:重庆大学出版,2007.
[2]哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学第四版[M]. 北京:哈尔滨工业大学出版社,1982.
[3]胡仰馨.理论力学第一版[M].北京:高等教育出版社,1989。