第二章重难点(近世代数)
《高等数学》.
近世代数课程教学大纲一、课程说明1、课程性质近世代数课程是数学系本科专业的一门专业必修课，是一门现代数学课，是数学专业较抽象的一门课程。
本课程主要讲现代代数学的研究对象、研究方法。
它的内容包括三个基本的代数结构：群、环、域。
它不仅是一门重要的专业基础课, 也是学习代数数论、代数几何、代数拓扑等基础数学课程及计算代数、编码等应用数学课程所必需的一门基础课。
它的基本概念、理论和方法不仅在数学中占有及其重要的地位，而且在其它学科中也有广泛的应用，如理论物理、结构化学、计算机等学科。
其研究的方法和观点，对其他学科有很大的影响。
通过本课程的学习，使学生较好地掌握近世代数的基本内容、理论和方法，加深学生对数学的基本思想和方法的理解，增强学生的抽象思维、逻辑推理能力，培养学生能利用代数学的理论知识对实际问题构建代数模型，培养学生分析问题、解决问题的能力。
2、教学目的和要求群、环、域是本课程的基本内容，要求学生熟练掌握群、环、域的基本理论和方法。
由于教学时数所限，本课程的理论推证较少，因此必须通过做练习题来加深对概念的理解和掌握，熟悉各个定理的运用，从而达到消化、掌握所学知识的目的。
对于本科学生，要独立完成大部分课后习题，它是学好本课程的重要方法。
并要阅读一定量的课外参考书，扩大视野。
还要注重培养抽象思维和推理的能力。
3、先修课程和后继课程集合论初步与高等代数是学习本课程的准备知识。
本课程学习以后可以继续研读：群论、环论、模论、李群、李代数等。
4、教学时数分配5、使用教材《近世代数基础》，张禾瑞，高等教育出版社，1978年修订本。
6、教学方法与手段本课程以讲授为主，由于该课程较抽象，在教学中要注重多举例子、多讲习题、多加思考；要注重对教材内容中各个知识点的理解，对教学内容、教学方法与教学手段的改革，认真总结教学经验，不断提高自身的教学水平和理论知识；要突出教材内容所体现的数学思想、方法，加强学生应用数学的能力；要注重对学生证明技巧、证明思路的训练；要增加以学生为主体的启发式、讨论式教学方法；要让学生多加练习、多加思考，提出问题。
近世代数ch2(1-6节)习题参考答案
近世代数ch2(1-6节)习题参考答案第二章前6节习题解答 P35§11．全体整数集合对于普通减法来说是不是一个群？解 ∵减法不满足结合律，∴全体整数对于减法不构成群。
2．举出一个有两个元的群例子。
解 }11{-，对于普通乘法构成一个群。
]}1[]0{[，对于运算][][][j i j i +=+构成群。
]}2[]1{[，对于运算][]][[ij j i =构成群。
它们都是两个元的群。
3. 设G 是一个非空集合，”“ 是一个运算。
若①”“ 运算封闭；②结合律成立；③G 中存在右单位元Re ：Ga ∈∀，有aaeR=；④G a ∈∀，GaR∈∃-1，有RR e aa=-1。
则G 是一个群。
证(仿照群第二定义的证明) 先证RR Re a a aa ==--11。
∵Ga R ∈-1，∴G a ∈∃'，使RRe a a=-'1，∴R R R R R R R R R R Re a a a e a a aa a a a a a e a a a a======--------''')()')(()(11111111，RRe a a=⇒-1。
∴RR R e a a aa==--11。
再证aaea e RR==，即Re 是单位元。
Ga ∈∀，已证RR Re a a aa==--11，∴aa e a ae a a a a aaa e R R R R R=⇒====--)()(11。
∴aaea e RR==。
即Re 就是单位元e 。
再由ea a aaR R ==--11得到1-Ra 就是1-a 。
这说明：G 中有单位元，G a ∈∀都有逆元1-a 。
∴G 是一个群。
P38 §21.若群G 的每一个元都适合方程ex =2，那么G 是可交换的。
证∵12，-=⇒=∈∀x x e x G x 。
∴。
b b aa Gb a 11,,--==⇒∈∀∴baba b aab ===---111)(。
近世代数2-5
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例 例3. 令 M = {( x, y ) | x, y ∈ R} a ∈ R ， τ a : ( x, y ) → ( x + a,0) ，则 G = {τ a | a ∈ R} 做成 M 的一个 非一一变换群. 非一一变换群 τ 0 , τ a 1 = τ a ） （单位元 例4. 令 M = Z n ∈ Z ，规定 τ n : x → x + n
∵τ = τ
2
关于变换乘法做成群. ，从而 G关于变换乘法做成群.
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定义1 定义 是一个非空集合， 设 M 是一个非空集合，则 的若干变换关于变换的乘法做成的群， 由 M 的若干变换关于变换的乘法做成的群， 的一个变换群 变换群； 称为 M 的一个变换群； 由 M 的若干一一变换关于变换的乘法做成 的群， 一一变换群； 的一个一一变换群 的群，称为 M 的一个一一变换群； 由 M 的若干非一一变换关于变换的乘法做 成的群， 非一一变换群. 的一个非一一变换群 成的群，称为 M 的一个非一一变换群.
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一、集合的变换和变换乘法
1 变换： 是一个非空集合， 变换：设 M 是一个非空集合，若 τ 是 M 到 M 上的映射 τ : M → M . 就称 的一个变换. 是 M 的一个变换.
τ
2
变换集合：由 M 的全体变换做成的集合 变换集合： 记为 T (M ) ，由 M 的全体一一变换做成 的集合记为 S (M ) .
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定理1 定理 为非空集合， 设 M 为非空集合，S (M ) 关于变换的乘法 的一个变换群. 构成 M 的一个变换群. 证明：乘法封闭性、结合律都满足， 证明：乘法封闭性、结合律都满足，单位元 为恒等变换，每个一一映射都有个与之对应的 为恒等变换， 互逆的一一映射. 互逆的一一映射.
《近世代数》课件
近世代数的重要性
近世代数是数学领域中的基础学科之 一，是学习其它数学分支的重要基础 。
它对于理解数学的抽象本质和掌握数 学的基本思想方法具有重要意义，有 助于培养学生的逻辑思维和抽象思维 能力。
课程大纲简介
本课程将介绍近世代数的基本概念和性质，包括集合、群、环、域等代数系统的 定义、性质和关系。
1.1 答案
对。因为$a^2$的定义是两个整数相乘，结果仍为整数。
第1章习题及解答
1.2 答案：（略）
1.3 答案：群的基本性质包括封闭性、结合律和存在单位元。
第2章习题及解答
2.1 判断题：若$a$是整数，则$a^3$也是整数。 2.2 选择题：下列哪个是环？
第2章习题及解答
要点一
2.3 简答题
编码理论中的应用
线性码
线性码是一类重要的纠错码，其生成矩阵和校验矩阵都是线性方程组的解。这 些矩阵的构造和性质都与代数理论紧密相关。
高斯-若尔当消元法
在编码理论中，经常使用高斯-若尔当消元法来求解线性方程组，这种方法在代 数中也有广泛的应用。
物理学中的应用
量子力学中的态空间
在量子力学中，态空间是一个复的向量空间，其基底对应于可观测物理量。这与代数学中的向量空间 概念非常相似。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个多项式，那么E在F上形成一个 子域。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个不可约多项式，那么E在F上形 成一个有限子域。
有限域
有限域的性质
有限域中的元素个数一定是某个素数的幂。
理想与商环
理想的定义与性质
介绍理想的定义，包括左理想、右理想、双边理想等 ，并讨论理想的封闭性、运算性质等。
近世代数习题第二章资料讲解
近世代数习题第二章第二章 群论近世代数习题第二章 第一组 1-13题；第二组 14-26题；第三组 27-39题；第四组 40-52题，最后提交时间为11月25日1、设G 是整数集，则G 对运算4++=b a b a ο是否构成群？2、设G 是正整数集，则G 对运算b a b a =ο是否构成群？3、证明：正整数对于普通乘法构成幺半群.4、证明：正整数对于普通加法构成半群，不含有左右单位元.5、G 是整数集，则G 对运算1=b a ο是否构成群？6、设b a ,是群G 中任意两元素. 证明：在G 中存在唯一元素x ，使得b axba =.7、设u 是群G 中任意取定的元素，证明：G 对新运算aub b a =ο也作成群.8、证：在正有理数乘群中，除1外，其余元素阶数都是无限.9、证：在非零有理数乘群中，1的阶是1，-1的是2，其余元素阶数都是无限.10、设群G 中元素a 阶数是n ，则m n e a m |⇔=.11、设群G 中元素a 阶数是n ，则 ),(||n m n a m =.，其中k 为任意整数. 设（m,n ）=d,m=dk,n=dl,(k,l)=1. 则(a^m)^l=a^(ml)=a^(kdl)=(a^(n))^k=e. 设（a^m ）^s=e,，即a^(ms)=e,所以n|ms,则l|ks,又因为(l,k)=1，所以l|s,即a^m 的阶数为l.12、证明：在一个有限群中，阶数大于2的元素个数一定是偶数.13、设G 为群，且n G 2||=，则G 中阶数等于2的一定是奇数.14、证明：如果群G 中每个元素都满足e x =2，则G 是交换群.对每个x ，从x^2=e 可得x=x^(-1)，对于G 中任一元x ，y ，由于（xy ）^2=e ，所以xy=（xy ）^(-1)=y^(-1)*x(-1)=yx.或者 :(ab)(ba)=a(bb)a=aea=aa=e ，故(ab)的逆为ba ，又(ab)(ab)=e ，这是因为ab 看成G 中元素，元素的平方等于e. 由逆元的唯一性，知道ab=ba15、证明：n 阶群中元素阶数都不大于n .16、证明：p 阶群中有1-p 个p 阶元素，p 为素数.17、设群G 中元素a 阶数是n ，则)(|t s n a a t s -⇔=.18、群G 的任意子群交仍是子群.19、设G 为群，G b a ∈,，证明：a a bab bab k k =⇔=--11)(.20、证明：交换群中所有有限阶元素构成子群.21、证明：任何群都不能是两个真子群的并.证明：任何群都不能是两个真子群的并. 可以用反证法，设G=HUK ，H 、K 均为真子群，存在a,b\in G, a\not\in H,b\not\in K ,从而a\in K, b\in H. ab\in G, 则ab\in H 或ab\in K. 若ab\in H 得出矛盾，ab\in K ，也可得出矛盾.22、设G 为群，H a a G a G H n m ∈∈≤,,,，证明：若1),(=n m ，则H a ∈.23、证明：整数加群是无限循环群.24、证明：n 次单位根群为n 阶循环群.25、证明：循环群的子群仍是循环群.26、设>=<a G 为6阶循环群，给出它的所有生成元及所有子群.27、求模18的剩余类加群(Z 18,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元.28、设群G 是24阶群，G 中元素a 的阶是6，则元素a 2的阶为？28、解： 在群G 中，对于ㄧa ㄧ=n ，a^r ∈G ，有ㄧa^r ㄧ=n/（n ，r ），所以由 ㄧa ㄧ=6 可得：ㄧa^2ㄧ=6/(6,2)=3.29、设H 1和H 2分别是群（G ，ο，e ）的子群，并且| H 1 |＝m ，| H 2 | ＝n ，m 、n 有限，（m ，n ）＝1，试证：H 1∩H 2＝｛e ｝.30、设群中元素a 的阶数为无限，证明：t s a a t s ±=>⇔>=<<.31、设群中元素a 的阶数为n ，证明：),(),(n t n s a a t s =>⇔>=<<.32、设G 是交换群，e 是G 的单位元，n 是正整数，},,|{e a G a a H n =∈=问：H 是否是G 的子群？为什么？32解：H 是G 的子群. 下证：① 由e ∈H ，故H 为非空子集；②对于任意a ，b ∈H ，a^n=e ，b^n=e ，故[b^(-1)]^n=e ，因为G 是交换群，所以有：(a^n)* ﹛[b^(-1)]^n ﹜=aa ···a*[b^(-1)] [b^(-1)]···[b^(-1)]= ﹛a[b^(-1)] ﹜^n=e ，从而a[b^(-1)] ∈H ，故 H 是G 的子群. 证毕.(注：刚才a 和[b^(-1)]展开均为n 个相乘)33、设群G 中两元素满足1|)||,(|,==b a ba ab ，证明：>>=<<ab b a ,.34、证明：⎭⎬⎫⎩⎨⎧ΛΛ,!1,,21,1n 是有理数加群的一个生成系. 35、设b a ,是群G 的两个元，,ba ab =a 的阶是m ，b 的阶是n ，n m ,有限且)(),(,1),(b K a H n m ===，求K H I36、设S 3是3次对称群，a=（123）∈S 3．(1) 写出H ＝< a>的所有元素．(2) 计算H 的所有左陪集和所有右陪集．(3) 判断H 是否是S3的不变子群，并说明理由．37、在5次对称群S 5中，求（12）（145），（4521）－1以及（354）的阶数.37、解： （12）（145）的阶数为[2,3]=6 ； （4521）－1的阶数为4 ； （354）的阶数为3.38、设G 是一交换群，n 是一正整数，H 是G 中所有阶数是n 的因数的元素的集合. 试问：H 是否是G 的子群？为什么？39、设1||>M ，证明：M 的全体变换作成一个没有单位元的半群.40、设1||>M ，证明：M 的全体非双射变换关于变换的乘法不作成群.41、证明：不相连的循环相乘可以交换.42、将3S 所有元素用循环表示.43、将4S 所有元素用循环乘积表示.(1)(12), (13),(14),(23),(24),(34)(123),(124),(134),(132),(142),(143),(234),(243)(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432),(12)(34),(13)(24),(14)(23)44、3S 中不能同)123(交换的所有元素.45、写出5S 中阶数等于2的所有元素.46、置换δ与其逆1-δ具有相同的奇偶性.置换\delta=\delta_1\delta_2\cdots\delta_s,\delta_i 为对换，又因为（\delta_1\delta_2\cdots\delta_s ）（\delta_s\delta_(s-1)\cdots\delta_1）=(1),从而得到\delta^{-1},进而得证结果.47、求下列置换的阶数)48)(3172(；)26)(5172(；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛641523123456. 48、设H ＝｛（1），（123），（132）｝是对称群S3的子群，写出H 的所有左陪集和所有右陪集，问H 是否是S3的不变子群？为什么？49、给出4S 的所有子群.50、证明：无限循环群的非e 子群指数均有限.H\not={e},H=(a^s)为G 的子群，其中s 为H 中所含元素的指数最小正整数. 证明G=a^0HUaHU\cdotsUa^{s-1}H,且a^iH 与a^jH 煤油交集，i\not=j.51、设G 是整数集，规定3-+=b a b a ο，证明：G 关于此运算构成群，并求出单位元.52、证明：指数是2的子群必是正规子群.53、证明：素数阶群是循环单群.54、设>=<a N 是群G 的一个正规子群，若N H ≤，则H 也是G 的正规子群.55、证明：若群G 的n 阶子群有且仅有一个，则此子群必为G 的正规子群.56、四次对称群4S 关于Klein 四元群4K 的商群44/K S 与3S 同构.57、证明：群中子群的共轭关系是一个等价关系.58、证明：n S 的所有对换构成一个共轭类.59、写出3S 的所有Sylow p -子群.60、证明：15阶群都是循环群.61、证明：200阶群不是单群.62、证明：196阶群必有一个阶数大于1的Sylow 子群，此子群为正规子群.28、解： 在群G 中，对于ㄧa ㄧ=n ，a^r ∈G ，有ㄧa^r ㄧ=n/（n ，r ），所以由 ㄧa ㄧ=6 可得：ㄧa^2ㄧ=6/(6,2)=3.32解：H 是G 的子群. 下证：① 由e ∈H ，故H 为非空子集；②对于任意a ，b ∈H ，a^n=e ，b^n=e ，故[b^(-1)]^n=e ，因为G 是交换群，所以有：(a^n)* ﹛[b^(-1)]^n ﹜=aa ···a*[b^(-1)] [b^(-1)]···[b^(-1)]=﹛a[b^(-1)] ﹜^n=e ，从而a[b^(-1)] ∈H ，故 H 是G 的子群. 证毕.(注：刚才a 和[b^(-1)]展开均为n 个相乘)37、解： （12）（145）的阶数为6 ； （4521）－1的阶数为4 ；（354）的阶数为3.。
(完整版)近世代数讲义(电子教案)(1)
《近世代数》课程教案第一章基本概念教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。
集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算的特点；理解代数运算的结合律;掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射，单射，一一映射及逆映射的定义。
理解满射,单射，一一映射及逆映射的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模n的剩余类。
教学重点:映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义;代数运算的应用，对代数运算的理解;代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果;等价关系,模n的剩余类。
教学难点：元素与集合的关系（属于）,集合与集合的关系(包含）；映射定义，应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别;结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与⊕的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义;同态映射在比较两个集合时的结果；模n的剩余类.教学措施：网络远程。
教学时数:8学时.教学过程：§1 集合定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合(简称集)。
集合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。
定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为∅，且∅是任一集合的子集。
（1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。
（2）集合表示：习惯上用大写拉丁字母A ，B ,C …表示集合，习惯上用小写拉丁字母a ，b ，c …表示集合中的元素. 若a 是集合A 中的元素，则记为A a A a ∉∈否则记为,. 表示集合通常有三种方法： 1、枚举法（列举法）：例:A =｛1，2，3，4｝，B =｛1,2，3,…，100｝. 2、描述法：{})(,)(x p x p x A =—元素x 具有的性质。
群论的分类是有关近世代数的群的课件是有关近世代数的群的课件是有关近世代数的群的课件是有关近世代数的群
定理 4 G 是一个半群，则 G 作成群的充分必要条件是： (1)G 有右单位元素 e : ∀a ∈ G, a e = a ； (2)对 G 中每个元素 a，在 G 中都有一个右逆元 a−1 : a a−1 = e 。 定理 5 G 是一个半群，则 G 作成群的充分必要条件是：∀a,b ∈ G, ax = b, ya = b 在 G 中都有解。 结论 设 (G, ) 是一个么半群，令 H = {g g ∈ G且g可逆} ，证明 (H , ) 是一个群. 注 从上述讨论中自然知道：若 e 是群 G 的单位元 ⇒ e−1 = e, ∀a ∈ G ⇒ (a−1)−1 = a ，若 a,b 可逆 ⇒ ab 也可逆且 (ab)−1 = b−1a−1 . 4.有限半群作成群的条件 推论 有限半群 G 作成群的充分必要条件是：在 G 中两个消去律成立。 命题 有限半群 (G, ) 作成群 ⇔ 乘法满足消去律
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南阳师院《近世代数》教案
批注
(1)任一个群 G 中都在唯一的单位元 e ，特别的，如果 G 是加法群时，G 中的单
位元换叫做“零元” (2)群 G 中任一个元素 a，都在 G 中有唯一的逆元 a−1 .如果 G 是加法群时，a 的逆 元改叫做“负元”，并记为“ −a ”.
作业 习题 2.1：1－2;4;6 （3 例题）
批注
Ⅰ群的定义 1.定义 G 是一个非空集合， 是它的一个代数运算，如果满足:
(1)结合律 ∀a,b, c, (a b) c = a (b c) ； (2)G 中有左单位元素 e : ∀a ∈ G, e a = a ； (3)对 G 中每个元素 a，在 G 中都有一个左逆元 a−1 : a−1 a = e 。 则称 G 对于代数运算 作成一个群，记为 (G, ) 。 如果还满足 (4) ∀a,b ∈ G, a b = b a 则称 G 对于代数运算 作成一个交换群(Abel 群)，否则称为非交换群(非 Abel 群)。 2.例子 (1) (Z , +), (Q, +), (R, +), (C, +), (nZ, +) 均为群，更一般的， (F, +)(F 为数域)。(Abel 群) 左单位元素 0，每个元素 a 的左逆元素-a. 但是 (N, +) 不是群，非零元的左逆元素 不存在。 (2) (Q* ,×), (R*,×), (C*,×) 均为群，更一般的， (F * ,×)(F 为数域)。(Abel 群) 左单位元素 1，每个元素 a 的左逆元素 a−1 。 (3) F 为数域，F 上的 n 级方阵集合 M n (F ) 关于矩阵加法作成交换群：
《近世代数》教学大纲
《近世代数》课程教学大纲第一部分大纲说明一、课程概况适用专业：数学与应用数学课程名称：近世代数课程编码：0741123090教学时数：72二、总则1.本课程的目的和要求：近世代数不仅在数学中占有及其重要的地位，而且在学科中也有广泛的应用，如理论物理、计算机学科等。
其研究的方法和观点，对其他学科产生了越来越大的影响。
群、环、域、模是本课程的基本内容，要求学生熟练掌握群、环、域的基本理论和方法，并对模的概念有所理解。
2.本课程的主要内容：本课程讲授代数中典型的代数系统：群、环、域。
要求学生能了解群的各种定义，循环群，n阶对称群，变换群，陪集，不变子群的定义及其性质，了解环、域、理想、唯一分解环的定义。
能够计算群的元素阶，环中可逆元，零因子、素元，掌握Lagrange定理，群、环同态和同构基本定理，掌握判别唯一分解环的方法。
3.教学重点与难点：重点：群、正规子群、环、理想、同态基本原理.难点：商群、商环。
4.本课程的知识范围及与相关课程的关系集合论初步与高等代数（线性代数）是学习本课程的准备知识。
本课程学习以后可以继续研读：群论、环论、模论、李群、李代数、计算机科学等。
三、课程说明1. 课程代码：（中文）近世代数（英文）Abstract Algebra2. 课程类别：专业必修课3.学分:4学分4. 学时：72学时5.适用专业：数学与应用数学6. 适用对象：本科7.首选教材：《近世代数基础》，张禾瑞，人民教育出版社，1978年修订本。
二选教材：《近世代数》，吴品三，高等教育出版社，1978年修订本。
8. 考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。
严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量则取消考试资格。
综合成绩根据平时成绩和期末考试成绩评定，平时成绩占20%，期末考试成绩占80%。
四、教学安排《近世代数》课程的讲授为一个学期，共72学时，内容包括第1章到第4章的内容。
学时分配五、教学环节该课程是理论性较强的学科，由于教学时数所限，本课程的理论推证较少，因此必须通过做练习题来加深对概念的理解和掌握，熟悉各种公式的运用，从而达到消化、掌握所学知识的目的。
近世代数讲义之第2章 群x
� a = a −1 + a − 2 ， a −1 = 4 − a .
至此，根据群的定义知道， Z 关于运算 � 确构成一个群. 另外，根据群的性质，我们易知群有如下等价的定义. 定义 1.1' 若代数体系 {G； �} 满足以下条件，那么称 G 关于运算“ � ”是群： （1）运算“ � ”满足结合律： a � (b � c) = ( a � b) � c ， ∀a, b, c ∈ G ； （2） G 有单位元素 e ： e � a
( a � b ) � c = ( a + b − 2) � c = a + b − 2 + c − 2 = a + (b + c − 2 ) − 2 = a + (b � c ) − 2 = a � (b � c )
（3）找单位元 e .若 a = e � a = e + a − 2 ，则 e = 2 . （4）对 ∀a ∈ Z ，找逆元 a . 2 = e = a
−1 −1
- 23 -
第二章 群
证明 (1) ⇒ ( 2) ⇒ (3) 是显然的，现在证明 (3) ⇒ (1) . 因为 H 是 G 的非空子集，所以对于 a ∈ H ，由（3）有 e = aa ∈ H ，即 H 有单位元.又对于任 意 a ∈ H ，有 a
−1 −1
= ea −1 ∈ H ，即 H 中的任意元素有逆元，所以 H 是 G 的子群.
第二章 群
第二章 群
本章我们讨论具有一个运算的代数体系——群的结构和性质.
第 1 节 群的概念和性质
定义 1.1 若代数体系 {G； �} 满足以下条件，那么称 G 关于运算“ � ”是群： （1）对于 G 中任意元素 a, b, c ，有 a � (b � c) = (a � b) � c ； （2）在 G 中存在元素 e ，对任意 a ∈ G ，有 e � a = a ； （3）对 G 中任意元素 a ，存在 b ∈ G ，使得 b � a = e . 一般地，称群 G 是乘法群，并简记 a � b 为 ab .特别地，若群 G 的运算“ � ”还满足交换律（ ，则称 G 是加群或交换群（Abel 群） ，并用 a + b 表示 a � b . ab = ba , ∀a, b ∈ G ） 定义 1.2 我们称群 G 所含元素的个数为群 G 的阶数，记为 G .如果 G < ∞ ，则称 G 是有限群， 否则称 G 是无限群. 例 1.1 有理数集合关于数的通常加法运算构成 Abel 群.整数集合关于数的加法运算是 Abel 群， 常称 {Z； +} 为整数加群. Z n 关于加法运算是 Abel 群，常称 {Z n； +} 为剩余类加群（参看第一章第 4 节中有关运算的规定）. {Q ； +} 是无限群. {Z n； +} 是有限群，阶数为 n . +} 和 {Z； 注意， Q ， Z 和 Z n 关于乘法运算都不是群，因为 Q ， Z 中的数 0 及 Z n 中的元素 0 不满足群的 定义条件（3）. 例 1.2 证明： {Z p
近世代数
§2.2 子环
• 定理2 设R是一个环,S是R的非空子集, 则S为R的
证明
证明
例3
§2.2 子环
由S关于R的减法封闭, 从而(S,+)是(R,+)的子环. 进一 步由定理条件知, 满足定理1的两个条件, 所以 为 的子环. 于是, 充分性得证, 而必要性是显然的.
近世代数
第二章 群、环、域
基本概念
在普通代数里，我们计算的对象是数， 计算的方法是加、减、乘、除，数学渐渐 进步，我们发现，可以对于若干不是数的 事物，用类似普通计算的方法来加以计算。 这种例子我们在高等代数里已经看到很多， 例如对于向量、矩阵、线性变换等就可 以进行运算。近世代数（或抽象代数）的 主要内容就是研究所谓代数系统，即带有 运算的集合。
定理8
设R是有单位元的交换环, 则R的每个极大理想都是素理想. • 证明 设I为R的极大理想. 设ab~I,a~]I. 令N=(a)+I,则N为R的理想,且 I(a),但I=!(a)+I. 因为I为R的极大理想, 所以N=R. 从而1R~I, 故存在 t~R,c~I,使得1R=at+c,所以,b=b*1R=abt+bc~I.这就证明了I为R的素 理想.
例7
试求Z的所有理想为dZ,d~Z且d>=0
§2.3 理想
定义3
设R为环,I1,I2为R的理想. 集合 I1+I2={a1+a2|a1~I1,a2~I2},I1#I2={a|a~I1,a~I2}分别称为理想 I1,I2的和与交. 定理3 环R的两个理想I1与I2的和I1+I2与交I1#I2都是R的理想. 类似地, 可以定义环R的任意有限多个理想的和与任意多个理想的交的 概念, 并且可以证明: 定理4 环R的任意有限多个理想的和还是理想.环R的任意多个理想的交 还是理想.
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第二章 群 论
2.1-2.3
教学重点：掌握群的定义和群的判定方法;会利用定义判定群；熟练掌握单位元、逆元、群中元素的阶的定义并会求之；熟练掌握和运用单位元、逆元、元素阶的有关性质和定理;熟练掌握和运用群乘法所满足的结合律和消去律，熟练掌握群中元素的整数次幂（加群时为整数倍）的定义和性质；熟练掌握交换群的判定；会利用运算表判定有限群的性质；
教学难点：群的定义及有关性质
2.4
教学重点：理解群同态思想；掌握群同态映射及群同态的定义并会判定之；掌握群同态映射的性质。
2.6
教学重点：掌握置换，置换群，n 次对称群，循环置换的定义，会求置换的阶；清楚置换乘法的先后顺序，会做置换乘法；会将一个置换写成不相连的循环置换的乘积；会将一个置换写成对换的乘积；会判断一个置换的奇偶性。
教学难点：置换乘积
2.7
教学重点：熟练掌握循环群的定义，即G=(a)的定义；熟练掌握有限阶和无限阶循环群的结构；会求循环群的生成元; 熟练掌握循环群的阶与其生成元的阶之间的关系，熟练掌握循环群的结构性质：例如循环群的子群仍然是循环群，n 阶循环群一共有()T n （()T n 表示n 的所以正约数的个数）个子群，循环群是交换群；熟练掌握一些具体的循环群，例如整数加群Z ，模m 剩余类加群m Z ，n 次单位根群n U 以及由n 次对称群n S 中某个置换生成的循环群，由数域P 上的n 次一般线性群()n GL P 中的某一可逆矩阵生成的循环群。
教学难点： G=（a ）的构造问题
2.8
教学重点：掌握子群的定义；掌握子群的判定方法，会证明一个群的非空子集作成子群；利用子群定义证明有关的问题;掌握构造一个群的子群的方法，即由群中一个或多个元生成子群的方法；会求一个群的子群。
教学难点：构造子群
2.9
教学重点：掌握子群的左（右）陪集的定义，会利用左（右）陪集的定义求左（右）陪集;掌握拉格朗日定理及推论并能灵活应用。
教学难点：理解左（右）陪集的思想，陪集定义
2.10
教学重点：理解不变子群的定义，基本特点；掌握不变子群的四个等价条件，熟练掌握不变子群的常用判定方法;掌握商群的定义，会根据给定的群的不变子群
写出商群；掌握商群的性质；掌握群G的阶G、不变子群N的阶N、商群G N 的阶G N三者之间的关系；
教学难点：不变子群的判定方法; G N、G、N三者之间的关系的关系；2.11
教学重点：掌握同态映射的核的定义，会求同态映射的核；掌握同态基本定理的内容；掌握在群G与群G'同态的条件下，G和G’的子群、不变子群间的关系; 教学难点：掌握同态映射的核的定义及同态基本定理；。