分形地形模拟研究_彭仪普

Fractal Brownian Motion and Study on Terrain Simulation
PENG Yi pu1 , LIU Wen -xi2
( 1. Civil Architect ural Engineering College, Central South University, Changsha 410075, China; 2. Southwest Jiaotong Universit y, Chengdu 610031, China)
摘
要: 为了重建逼真的具有多分辨率层次的三维地形 , 详细分析了分形理论和分形布朗
运动的原理 , 指出其数学模型与真实地貌特征基本吻合 , 对分形布朗运动特征参数 (H , ) 的物理意义进行了剖析并提出了完整的估算方法, 最后给出了实现分形地貌的算法思 路. 以此为基础 , 作者在微机上用 Visual C+ + 6. 0 和 OPENGL 三维图形库结合编程, 对分 形断面和分形地貌的模拟生成进行了可视化实验研究 . 结果证实了该方法的有效性和实 用性 . 关键词: 分形理论; 分形布朗运动; 地形模拟; 随机中点位移法 中图分类号 : TP391; TB24 文献标识码: A
Abstract: To reconstruct three - dimensional terrain with multi resolution levels, the paper analyses princi ple of fractal theory and fractal Brownion motion( fBm) in detail, points out that its mathematical character ist ics correspond with real terrain, analyses the physical meaning of fBm s two parameters( H and ) and introduces the method to estimate them, then gives the algorithm idea for implement ing it. On the base of above all, the authors studty and experiment on fractal terrain visualization model via c+ + 6. 0 and openGL on personal computer. The corroborating experimental results are stated. Keywords: fractal theory; fractal brownian mot ion; terrain model; random midpoint displacement 20 世纪 70 年代 , 美籍法国数学家 Mandelbrot 为研究自然界中复杂、 极不规则的几何现象 创立了分形几何学
H 0
| f (X +
X) - f( X) = E(| y | ) X H 1 2 2 2 X + lg C ( 2) 成线性关系 , 故可采用最小二乘法, 最小二
y e2
2 2
y
dy =
2 2
. 两边取对数得
lg E( | f ( x + x ) - f ( x ) | ) = H lg 由此可知 : lg E( | f ( x + x ) - f ( x ) | ) 与 lg X 乘直线回归的函数为 :
[ 1]
, 分形理论得到了广泛关注和蓬勃发展. 分形 ( fractal) 的两个重要特征是
自相似性和分数维, 而用分形的方法来研究地表面起伏、 模拟地貌是分形几何近年最为流行的 [ 2- 4] 应用领域之一 . 分形布朗运动( FBM) 是随机分形生成逼真景物的数学模型 , 它能有效地表 达自然界中许多非线性现象, 也是迄今为止能够描述真实地形的最好的随机过程. 本文深入研 究了分 形理论 和分形 布朗运 动的构 造, 认为用 分形理 论对 数字地 面模型
[5 - 7]
2
地貌模拟方法
实现 FBM 的方法有泊松阶跃法 ( Possion faulting) 、 傅立叶滤波法( Fourier f ilt ering) 、 随机中
点位移法 ( random midpoint displacement) 、 逐次随机增加法 ( successive random additions) 等, 本 文研究了随机中点法的模拟实现过程. 2. 1 抽取区域地形的特征参数 首先 , 须抽取区域地形的特征参数值( H 、 ) . 由( 1) 式可得 : E 而 E(| y | ) = 2 令 C= 则 E(| f (x + x) - f (x) | ) = C X
的随机变量 . 由式( 1) 可得 ( 6) ( 7)
1/ 2) - f ( 0) ) = 1) - f ( 0) ) =
2 1
综合式( 4) , ( 5) 和( 6) 有 1 = 1 + 4 22H 即 ( 1 - 2( 2H- 2) 22H 从式 ( 5) , 可计算 f ( 1/ 2) ; 同理, 可以 f ( =
2 1
x ) - f ( x ) 的均值为零, 方差为 , 从分 ( 4)
X |
2H
设 f ( 0) = 0, f (+ I ) 和 f (- I ) 为一个具有方差 1) / 2 + d 1 1 2H 2 式中 d 1 是均值为零 , 方差为 Varf ( ( Varf ( (
的随机值, 则 ( 5)
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分形布朗运动
布朗运动是 1827 年由植物学家 Robert Brown 观察到的 , 是许多颗粒通过不断地连续地碰
临近的微粒而产生的无规则的不稳定的随机运动现象 , 而分形布朗运动是布朗运动的推广. 如 果我们定义一个随机过程 f( x) 为分形布朗运动 , 则满足如下概率分布函数: P f (X + X) - f (X ) < y = F(y) X H
收稿日期 : 2000- 09- 14 作者简介 : 彭仪普 ( 1970- ) , 男 , 湖南长沙人 , 中南大学讲师 , 博士生 .
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长沙 铁 道 学 院 学 报
2001 年
( DTM) 的几何格网 ( 规则格网或不规则格网 TIN) 进行统计内插, 将为生成逼真的、 具有地表纹 理特征的、 多分辨率多细节层次的地形研究开辟一条崭新的途径 .
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} / / 如递归次数为零 , 则显示三维曲面, 跳出递归循环; else { P1= ( 1- 2 P2= 2- H;
2 H - 2 1/ 2
)
;
xmid= ( x 1+ x 2 ) / 2; ymid= ( y 1+ y2 ) / 2; f1= ( z1 + z2 ) / 2+ P1 * P2 * * randGauss( ) ; / / 对线段 A, B 的中点的高程进行分形扰动 f2= ( z1 + z4 ) / 2+ P1 * P2 * * randGauss( ) ; / / 对线段 A, D 的中点的高程进行分形扰动 f3= ( z2 + z3 ) / 2+ P1 * P2 * * randGauss( ) ; / / 对线段 B, C 的中点的高程进行分形扰动 f4= ( z3 + z4 ) / 2+ P1 * P2 * * randGauss( ) ; / / 对线段 C, D 的中点的高程进行分形扰动 f5= ( z1 + z2 + z3 + z4) / 4+ P1* P2 * * randGauss( ) ; / / 对线段 A, B, C, D 的中点的高程进行分形 扰动 fbm- 2D( x 1 , y1 , xmid, ymid, z1, f1, f5, f2, P2* , H, n- 1) ; fbm- 2D( x 1 , ymid, xmid, f1, z1, f3, f5, P2* , H, n- 1) ; fbm- 2D( xmid, ymid, x2 , y 2, f5, f3, z2, f4, P2* , H, n- 1) ; fbm- 2D( xmid, y1 , x2 , ymid, f2, f5, f4, z3, P2* , H, n- 1) ; } 否则 , 对区域各中点的高程进行分形扰动 , 然后 , 递归次数减 1, 再将区域一分为四 , 分别 对各子区域进行分形曲面生成 ; } 2. 4 例证 据上文 , 在 PC 机上 Window95 环境下采用 Visual C+ +
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( 1) ); X 为采样间隔; f ( x ) 为
式中 : F ( y ) 为累积概率分布函数 , 服从标准正态分布 N( 0, 线) N = 1, 对二维地形图象 N = 2.
采样值; H 为频谱指数 , 而分形维数 D = N + 1 - H , N 为拓朴维数, 对一维曲线 ( 海岸线、 等高 可证明, FBM 所表达的数学模型 与真实地形的许多数学特征相吻合 ( 如分数维、 统计 自相似、 增量平稳等 ) , 而 FBM 数学模型的特征可由参数 H ( 或 D) 、 ( 标准差 ) 表示 . 对模拟地 形而言 , H 是自然地形复杂情况的一种抽象和概括, 当 H 越大时, 分形布朗运动变化趋于平 缓, 而当 H 变小时, 变化趋于精细; 而 反应着区域地形总的形状起伏特征 . 我们只要抽取某个 区域的特征参数 H 和 , 即可用 FBM 模拟生成该区域的多分辨率多细节层次的地形 .
X
max
e =