数理逻辑-归结法原理
归结原理
置换(substitution)
定义: 置换是一个形如{t1/v1,…, tn/vn}的有 限集，其中每个vi是变量，ti是不同于vi的项 （常量、变量或函数）(vi≠ti)。当i≠j时， vi≠vj。
无元素组成的置换称为空置换，记为ε；
例子：
{a/x, w/y, f(s)/z}, {g(x)/x}是置换; {x/x}, {y/f(x)}不是置换;
S={P∨Q，~P∨Q，P∨~Q，~P∨~Q} P∨Q ~P∨Q P∨~Q ~P∨~Q Q (1,2) ~Q (3,4) nil (5,6)
定义: 推演
给定一个子句集合S，从S到子句C的一个推演是 一个有限的子句序列C1 ,…, Ck，使得每个Ci 或是 S中的一个子句，或是C1到Ci-1中的某些子句的一 个归结式，而Ck=C。如果C=nil，则这个推演 （推导）称为S的一个证明，或反演。
推演树(deduction tree)
S={P∨Q，~P∨Q，P∨~Q，~P∨~Q}
P∨Q ~P∨Q P∨~Q ~P∨~Q
Q
~Q
nil
归结定理完备性
如果S不相容，则一定存在一个S的反演。
三. 置换与合一
例：
C1：P(x) ∨ Q(x) C2：~P(f(x)) ∨ R(x)
没有互补对; 例：
C1：P(y) ∨ Q(y) {y/x} C1：P(f(x)) ∨ Q(f(x)) {f(x)/y} C：R(x) ∨ Q(f(x))
子句集S是不可满足的，当且仅当存在一个 有限不可满足的S的基础实例集合S’。 Gilmore的方法(1960) Davis-Putnam: 提高效率
困难:
生成基础实例集合是指数复杂性的.
例子
例子
离散数学 第3章 基于归结原理的推理证明
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3.2.2原子集
定义 3.2.2 下列集合称为子句集 S 的原子集： A＝｛所有形如 P(t1, t2,…,tn)的元素｝ 其中，P(t1, t2,…,tn)是出现在 S 中的任一谓词符号，而 t1，t2，…，tn 则是 S 的 H 域上的 任意元素。 定义 3.2.3 将没有变元出现的原子、文字、子句和子句集分别称作基原子、基文字、基 子句和基子句集。 定义 3.2.4 当子句集 S 中的某个子句 C 中的所有变元符号均以其 H 域中的元素替换时， 所得到的基子句称作 C 的一个基例。 例 3.2.2 对于子句集 S＝{P(a),P(x)∨P(f(x))},它的 H 域为{a,f(a),f(f(a)),…}。 对于子句 P(a)，因为其中不含有变元，所以它已是基子句，而且 aH，所以它也是基例。
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3.3.1.2 置换的合成
置换的合成是将两个置换合成为一个置换。 定义 3.3.3 假设 ={t1/x1,t2/x2,…,tn/xn}, ={u1/y1,u2/y2,…,um/ym}是两个置换， 则它们的合成是一个新置换， 其作用于公式 E 时， 相当于先 后 λ 对 E 的作用。 它的定义如下： 先作置换{t1· /x1,t2· /x2,…,tn· /xn,u1/y1,u2/y2,…,um/ym}。 若 yi{ x1,…,xn}时，先从上述集合中删除 ui/yi。 若 ti· =xi 时，再从上述集合中删除 ti· /xi 。 删除以后剩下元素所构成的集合称作 与 的乘积，记作 · 。
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3.2.3 H域上的解释
定义 3.2.5 如果子句集 S 的原子集为 A，则对 A 中各元素的真假值的一个具体设定都是 S 的一个 H 解释。 可以证明，在给定域 D 上的任一个解释 I，总能在 H 域上构造一个解释 I*与之对应，使得如果 D 域上 的解释能满足子句集 S，则在 H 域的解释 I*也能满足 S（即若 S|I=T，就有 S|I*=T） 。 定理 3.2.1 设 I 是子句集 S 在域 D 上的一个解释，则存在对应于 I 的 H 域解释 I*，使得若有 S|I=T，就 必有 S|I*=T。 定理 3.2.2 子句集 S 不可满足的充要条件是 S 对 H 域上的一切解释都为假。 证明 充分性：若 S 在一般域 D 上是不可满足的，必然在 H 域上是不可满足的，从而对 H 域上的一 切解释都为假。 必要性：若 S 在任一 H 解释 I*下均为假，必然会使 S 在 D 域上的每一个解释为假。否则，如果存在一 个解释 I0 使 S 为真，那么依据定理 3.2.1 可知，一定可以在 H 域找到相对应的一个解释 I*0 使 S 为真。这与 S 在所有 H 解释下均为假矛盾。
海涅归结原理
海涅归结原理海涅定理是德国数学家海涅（Heine）给出的，应用海涅定理人们可把函数极限问题转化（归结）成数列问题，因而人们又称它为归结原则。
海涅原理搭建起了数列极限和函数极限之间的桥梁，求函数极限问题可以转化成为求数列极限的问题，求数列极限的问题也可以转化成为求函数极限的问题。
同样也可以利用此定理及间接的判断敛散性。
定义：若函数f(x)在Uo(x0)有定义 , limx→x0f(x)=A∈R⟺∀xn∈Uo(x0) limn→∞xn=x0, limn→∞f(xn)=A 注：是子数列(注：xn是子数列)应用一：证明函数极限不存在时可以用海涅定理1∘: 若存在子数列xn∈U∘(x0),limn→∞xn=x0 使{f(xn)} 发散，则limx→x0f(x) 不存在。
2∘: (双子数列方法)若存在xn,yn∈U∘(x0),limn→∞xn=x0,limn→∞yn=x0 ,且满足limn→∞f(xn)=A,limn→∞f(yn)=B ，若A≠B ,则limx →x0f(x) 不存在,反之则存在。
3∘: 若limx→x0f(x) 存在，xn∈U∘(x0), 且xn≠x0 , limn→∞xn=x0，limn→∞f(xn)=A ⟹limx→x0f(x)=A例：求证limx→∞sinx 不存在。
证明：方法一：任取子数列：时xn=π2+nπ(n→∞时,xn→∞)f(xn)=1,−1,1,−1,1,−1,1,−1⋯⋯由于limn→∞f(xn) 不存在，所以limx→∞sinx .方法二：任取两个收敛的子数列，但是可证出极限值不相等——发散令yn=nπ,limn→∞yn=0,xn=2nπ+π2,limn→∞xn=1 ,两个子数列均是收敛的，但是收敛的极限值不同，所以函数f(x)=sinx 是发散的.例：若f(x) 为R 上以t 为周期的周期函数，limx→∞f(x)=A ,求f(x) . 在证明过后应当作结论记住(在证明过后应当作结论记住)注解：利用周期函数的性质找出趋向于∞的子数列.解：xn=x,x+t,x+2t⋯⋯x+ntf(x)=f(x+t)=f(x+2t)=⋯⋯=f(x+nt) , 则当x→∞时，[xn+nt]⟶+∞，∀x0 , limn→∞f(x0+nt)=f(x0) ,所以limn→∞f(x)=f(x0)又∵x0 的任意性∴f(x0)=f(x)=A例：设f(x) 在(0,+∞) 上有定义，∀x∈R+, 有f(x)=f(3x) , limn→0+f(x)=A求f(x)解：∵f(x)=f(x3)=f(x32)=f(x33)=⋯⋯=f(x3n)limn→+∞x3n=0+ ⇒∀x0 , limn→∞f(x03n)=f(x0) ⇒limx→0+f(x)=f(x0)因为x0 的任意性，所以f(x0)=f(x)=A例：设f(x) 在(0,+∞) 上有定义，∀x∈R+, 有f(x)=f(x3) , limx→∞f(x)=A∈R求f(x)解：f(x)=f(3x)=f(32x)=⋯⋯=f(3nx) ，limn→∞3nx→∞∀固定x0 ,有limn→∞f(3nx0)=f(x0) limn→∞f(x)=f(x0)又由于x0 的任意性，推广得到f(x0)=f(x)所以：f(x)=A总结：先依据周期性找到合适的递推公式，先固定任意的x0 ,根据海涅定理得到limx→∞f(x)=f(x0) ,最后根据x0 的任意性推广到所有的x .。
归结推理方法（三）
归结推理⽅法（三）归结推理⽅法（三）引⼊新课：数理逻辑为知识的推理奠定了基础；基于⼀阶谓词逻辑的推理⽅法，是⼀种机械化的可在计算机上加以实现的推理⽅法。
⼀、命题逻辑命题逻辑和谓词逻辑是两种逻辑；对知识的形式化表⽰，特别是定理的⾃动证明发挥了重要作⽤。
谓词逻辑是在命题逻辑的基础上发展起来的。
命题逻辑可看作是谓词逻辑的⼀种特殊形式。
（⼀）命题定义1能够分辨真假的语句称作命题定义2⼀个语句如果不能再进⼀步分解成更简单的语句，并且⼜是⼀个命题，则称此命题为原⼦命题。
说明：（1）原⼦命题是命题中最基本的单位，⽤P,Q,R,…..⼤写拉丁字母表⽰。
⽽命题的真与假分别⽤“T”与“F”表⽰。
命题代表⼈们进⾏思维时的⼀种判断，或者是真。
或者是假，只有这两种情况。
若命题的意义为真，则记为T。
若命题的意义为假，则记为F。
（2）⼀般情况下，只有陈述句才可能是命题，因为只有陈述句才能分辨真假。
如“太阳从西边升起”、“雪是⽩⾊的”等等都是陈述句，⽽其他的⼀些句⼦如疑问句、祈使句、感叹句等均不能分辨其真假。
象这样的没有真假意义的句⼦就不是命题。
（3）并不是所有的陈述句都是命题；例如，“这个句⼦是假的”。
显然⽆法判断该语句的真假，这个语句不是命题。
（4）在有些情况下，要判断⼀个陈述句的真假，是需要⼀定条件的，即该陈述句在⼀种条件下，其逻辑值为真，但在另⼀种条件下，其逻辑值为假。
⽐如，“1+1=10”。
（5）⽤⼤写字母表⽰的命题既可以是⼀个特定的命题，也可以是⼀个抽象命题。
前者称为命题常量，后者称为命题变量。
对于命题变量，只有把确定的命题代⼊后，它才可能有明确的逻辑值（T或F）。
（⼆）命题公式连接词：在⽇常⽣活中，可以通过连接词将⼀些简单的陈述句组成较为复杂的语句，称为复合句。
较复杂的定义。
～：称为“⾮”或“否定”。
其作⽤是否定位于它后⾯的命题。
当命题P为真时，～P为假；当P 为假时，～P为真。
∨：称为“析取”。
它表⽰被它连接的两个命题具有“或”关系。
数理逻辑归结法原理
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机械式方法
▪ 若证明Q1,…,Qn|=R，只要证明Q1…QnR 不可满足。
▪ 机械式证明：
公式Q1…QnR的合取范式； 合取范式的所有简单析取范式，即Ω；
证明Ω不可满足
▪ 则有Q1,…,Qn|=R。
▪ 开创性的工作是赫伯特·西蒙（H. A. Simon）和艾伦· 纽威尔（A. Newel）的 Logic Theorist。
▪ 机械定理证明的主要突破是1965年由鲁宾逊（ J.A.Robinson）做出的，他建立了所谓归结原理，使机械 定理证明达到了应用阶段。
▪ 归结法推理规则简单, 而且在逻辑上是完备的, 因而成为 逻辑式程序设计语言Prolog的计算计模算型机。学院
▪ 因为(PQR)((PR)(QR)计)的算合机取学范院式 (PQR) PQR
▪ 所以子句集合 Ω={P,Q, R ,PQR }
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▪ Q1=PQR Q1Ω
▪ Q2=P
Q2Ω
▪ Q3=QR
Q3= (Q1-P) (Q2-P)
可满足，进而有Ω0可满足。 ▪ 证毕
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▪ 例题：P(QR)├ (PQ) (PR) 分配律 ▪ (P(QR)) ((PQ) (PR)) ▪ (P(QR)) ((PQ) (PR)) ▪ (PQ) (PR))( P (PR)) (Q (PR)) ▪ (PQ) (PR)P ( P R) (Q P)( QR)
▪ 对一阶逻辑公式，其解释的个数通常是任意多个，丘奇 （A.Church）和图灵（A.M.Turing）在1936年证明了不存 在判定公式是否有效的通用程序。计算机学院
归结原理是什么
归结原理是什么归结原理是指将复杂的问题归结为简单的基本原理或规律，通过对基本原理的理解和运用，来解决复杂问题的方法和思维方式。
归结原理是科学研究和工程实践中的一种基本思维方式，也是认识和解决问题的重要方法之一。
首先，归结原理是科学研究的基本方法之一。
在科学研究中，我们常常面对复杂的问题和现象，需要通过归结原理的方法来理清思路、找出规律。
例如，物理学家通过归结原理，将复杂的自然现象归结为几条基本的物理定律，从而揭示了世界的运行规律。
生物学家通过归结原理，将复杂的生物现象归结为细胞生物学的基本原理，从而揭示了生命的奥秘。
化学家通过归结原理，将复杂的化学反应归结为原子分子的运动规律，从而揭示了物质的组成和性质。
归结原理在科学研究中具有重要的作用，它帮助科学家理清思路、找出规律，从而推动了科学的发展。
其次，归结原理是工程实践的重要方法之一。
在工程实践中，我们常常面对复杂的工程问题和技术挑战，需要通过归结原理的方法来分析问题、解决困难。
例如，工程师通过归结原理，将复杂的工程问题归结为几个基本的工程原理，从而找出解决方案。
建筑工程师通过归结原理，将复杂的建筑结构归结为几个基本的受力原理，从而设计出安全稳固的建筑。
电子工程师通过归结原理，将复杂的电路问题归结为几个基本的电子原理，从而设计出高效稳定的电子产品。
归结原理在工程实践中具有重要的作用，它帮助工程师分析问题、解决困难，从而推动了工程技术的发展。
总之，归结原理是一种重要的思维方式和方法。
在科学研究和工程实践中，我们需要通过归结原理的方法，将复杂的问题归结为简单的基本原理或规律，从而理清思路、找出规律、解决问题。
归结原理是科学研究和工程实践中不可或缺的重要方法，它推动了科学的发展，促进了工程技术的进步。
因此，我们应该重视归结原理的学习和运用，不断提高归结原理的思维能力和解决问题的能力，为推动科学技术的发展做出更大的贡献。
归结推理方法(三)
（三）谓词公式的永真性和可满足性 1、谓词公式的解释 命题 公式直 接通 过真值 指派 给出解 释； 谓词 式 须 虑个 公 必 考 体常 量和 数 个体 函 在 域中 的取 值， 后 能 然 才 针 对常 和 数的 量 函 具体 取值 为谓 分 指派 词 别 真值 由于存在多种组合 。
情况， 所以一个谓词公式的解释可能有多个。 对于每一个解释， 谓 。 词公式都可求出一个真值（T 或 F） 定义：设D 为谓词公式P 的个体域，若对P 中的个体常量、函数和谓 P P 定义： D
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（二）命题公式 连接词： 连接词 ： 在 常 活 ， 以 过 接 将 些 单 陈 句 日 生 中 可 通 连 词 一 简 的 述 组 成 为 杂 语 ， 为 合 。 命 逻 中 也 以 过 较 复 的 句 称 复 句 在 题 辑 ， 可 通 以 连 词 将 些 子 题 接 来 构 一 下 接 ， 一 原 命 连 起 ， 成 个复 命 合 题以 表 比 复 的 义 示 较 杂 定 。 ～ 称 “ ” “ 定。 作 是 定 于 后 的 题 ： 为 非 或 否 ”其 用 否 位 它 面 命 。 当 题P 为 时 ～P 为 ； 命 真 ， 假 当P 为 时 ～P 为 。 假 ， 真 ∨ 称 “ 取。 表 被 连 的 个 题 有 或 关 。 ： 为 析 ”它 示 它 接 两 命 具 “ ” 系 ∧ 称 “ 取。 表 被 连 的 个 题 有 与 关 。 ： 为 合 ”它 示 它 接 两 命 具 “ ” 系 → 称 “ 件 或 蕴 ” P→ ： 为 条 ” “ 含 。 Q表 “ 蕴 示 P 含Q” 即 如 ， “ 则Q”其 ↔ 为 件 前 ， 为 件 后 。 ， 中P 称 条 的 件 Q称 条 的 件 ↔ 果P， ： 为 双 件。 称 “ 条 ” P Q表 “ 当 仅 示 P 且 当Q” 。
数学数学归纳法
数学数学归纳法高中数学数学归结法定义最复杂和罕见的数学归结法是证明当n等于恣意一个自然数时某命题成立。
证明分下面两步：1.证明当n= 1时命题成立。
2.假定n=m时命题成立，那么可以推导出在n=m+1时命题也成立。
(m代表恣意自然数)这种方法的原理在于：首先证明在某个终点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的进程有效。
当这两点都曾经证明，那么恣意值都可以经过重复运用这个方法推导出来。
把这个方法想成多米诺效应也许更容易了解一些。
例如：你有一列很长的直立着的多米诺骨牌，假设你可以：1)证明第一张骨牌会倒。
2)证明只需恣意一张骨牌倒了，那么与其相邻的下一张骨牌也会倒。
那么便可以下结论：一切的骨牌都会倒下。
高中数学数学归结法及其证明方法(一)第一数学归结法普通地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤(1)证明当n取第一个值时命题成立，关于普通数列取值为1，但也有特殊状况，(2)假定当n=k(k?e;[n的第一个值]，k为自然数)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
(二)第二数学归结法关于某个与自然数有关的命题，(1)验证n=n0时P(n)成立，(2)假定no<n<k时P(n)成立，并在此基础上，推出P(k+1)成立。
综合(1)(2)对一切自然数n(>n0)，命题P(n)都成立，(三)螺旋式数学归结法P(n)，Q(n)为两个与自然数有关的命题，假设(1)P(n0)成立，(2)假定P(k)(k>n0)成立，能推出Q(k)成立，假定Q(k)成立，能推出P(k+1)成立，综合(1)(2)，关于一切自然数n(>n0)，P(n)，Q(n)都成立，(四)倒推数学归结法(又名反向数学归结法)(1)关于无量多个自然数命题P(n)成立，(2)假定P(k+1)成立，并在此基础上推出P(k)成立，综合(1)(2)，对一切自然数n(>n0)，命题P(n)都成立，总而言之：归结法是由一系列有限的特殊事例得出普通结论的推理方法。
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(PQ) (PR)P ( P R) (Q P)( QR)
因为(P(QR)) ((PQ) (PR))的合取范式 计算机学院 (PQ) (PR)P ( P R) (Q P)( QR) 所以子句集合 Ω={ P,PQ, PQ, PR ,PR , QR}。
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机械式方法
若证明Q1,…,Qn|=R，只要证明Q1…QnR 不可满足。 机械式证明：
• 公式Q1…QnR的合取范式； • 合取范式的所有简单析取范式，即Ω； • 证明Ω不可满足
则有Q1,…,Qn|=R。
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机械式地证明Ω不可满足是关键问题
Q1=q
Q2=q Q3=□
Q1Ω
Q2Ω
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因此，Q1, Q2,Q3是反驳.
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(3).根据命题逻辑紧致性定理，若子句集合Ω 不可满足，则有有穷子句集合Ω0，Ω0Ω，使 得Ω0是不可满足的。
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若有穷子句集合Ω0是不可满足的，则Ω0中的子句必 出现相反文字。 假设有穷子句集合Ω0是不可满足的，且Ω0中的子句 不出现相反文字，那么，对于Ω0中子句的每个文字 qk，有赋值函数σ使得σ(qk)=1，因此，σ(Ω0)=1，Ω0是 可满足的，这样与Ω0是不可满足的相矛盾。
(2).若Ω|=Qi，Ω|=Qj并且Qk是Qi, Qj的归结子句，则 Qi, Qj|=Qk。因此，Ω|=Qk。
(3).因为Qn=□，所以有Qn-1和Qk是相反文字，不妨设 是q和q。 计算机学院 因此，Ω|=q，Ω|=q。Ω|=qq，Ω不可满足。
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又证：设子句集合Ω是不可满足的。 (1).不妨设子句集合Ω不含永真式。因为从Ω中去掉永真 式不改变Ω的不可满足性。 (2).若Ω含有相反文字，不妨设是q，则
归结法原理
马殿富 北航计算机学院 dfma@ 2012-4
主要内容
机械证明简介
命题逻辑归结法
谓词逻辑归结法
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自动推理早期的工作主要集中在机器定理证明。 机械定理证明的中心问题是寻找判定公式是否是有效的 通用程序。 对命题逻辑公式，由于解释的个数是有限的，总可以建 立一个通用判定程序，使得在有限时间内判定出一个公 式是有效的或是无效的。 对一阶逻辑公式，其解释的个数通常是任意多个，丘奇 （A.Church）和图灵（A.M.Turing）在1936年证明了不存 计算机学院 在判定公式是否有效的通用程序。
计பைடு நூலகம்机学院
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Q1= PQ Q2=PQ Q3=□
Q1Ω Q2Ω Q3= (Q1-P-Q) (Q2-P-Q) 分配律
P(QR)├ (PQ) (PR)
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例题：PQR├(PR) (QR) 证明： (PQR) ((PR) (QR)) (( PQ) R) (PRQR)
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例题：P(QR)├ (PQ) (PR) (P(QR)) ((PQ) (PR)) (P(QR)) ((PQ) (PR))
分配律
(PQ) (PR))( P (PR)) (Q (PR))
• 如果一阶逻辑公式是有效的，则存在通用程序可以验证它 是有效的 • 对于无效的公式这种通用程序一般不能终止。 计算机学院
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1930年希尔伯特（Herbrand）为定理证明建立了一种重 要方法，他的方法奠定了机械定理证明的基础。 开创性的工作是赫伯特〃西蒙（H. A. Simon）和艾伦〃 纽威尔（A. Newel）的 Logic Theorist。 机械定理证明的主要突破是1965年由鲁宾逊（ J.A.Robinson）做出的，他建立了所谓归结原理，使机械 定理证明达到了应用阶段。 归结法推理规则简单, 而且在逻辑上是完备的, 因而成为 计算机学院 逻辑式程序设计语言Prolog的计算模型。
计算机学院 10 计算机学院
10
定理：如果子句Q是Q1, Q2的归结子句，则Q1, Q2|=Q 证明： 设Q1=pq1…qn，Q2=pr1…rm。
赋值函数σ(Q1)=1，即σ(pq1…qn)=1， σ(p) σ(q1…qn)=1.
赋值函数σ(Q2)=1，即σ(pr1…rm)=1， 计算机学院 σ(p) σ(r1…rm)=1. 有σ(q1…qn r1…rm)=1，即σ(Q)=1。 证毕
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反驳
定义：设Ω是子句集合，如果子句序列 Q1,…,Qn满足如下条件，则称子句序列 Q1,…,Qn为子句集合Ω的一个反驳。 (1).对于每个1≤k<n，QkΩ
• Qk是Qi和Qj的归结子句，i<k，j<k。
(2). Qn是□。
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例题：(QR)Q├Q 证明：
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主要内容
机械证明简介
命题逻辑归结法
谓词逻辑归结法
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基本原理
Q1,…,Qn|=R，当且仅当Q1…QnR不可满足
证明Q1,…,Qn|=R
• (1). Q1…QnR化为合取范式； • (2). 构建Ω子句集合，Ω为Q1…QnR合取范式 的所有简单析取范式组成集合； • (3).若Ω不可满足，则Q1,…,Qn|=R。
皮尔斯律
因为((QR)Q)Q的合取范式Q(RQ)Q，所以 子句集合Ω={Q, RQ, Q}
Q1 = Q
Q2= Q Q3=□
Q1Ω
Q2Ω Q3= (Q1-Q) (Q2-Q)
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定理：子句集合Ω是不可满足的当且仅当存在Ω的反 驳。 证明：设为Q1,…,Qn是反驳。 (1).若QkΩ，Ω|=Qk.
σ'(qPi)=1，其中，qPiΩq
σ'(qQj)=1，其中，qQiΩq σ'(Rk)=1，其中，RkΩC 若Ω1是可满足的，则有σ'，使得σ'(Ω0)=1，这样就产生了 矛盾，所以，Ω1是不可满足的。
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因此，Ω1有n-1个命题变元并且Ω1是不可满足的。 对于所有的n进行处理获得Ωn，必有反驳，否则必有Ωn 可满足，进而有Ω0可满足。 证毕
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子句与空子句
定义：原子公式及其否定称为文字(literals)； 文字的简单析取范式称为子句，不包含文字 的子句称为空子句，记为□。 例如
• p、q、r和s都是文字 • 简单析取式pqrs是子句
–字p、q、r和s
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• 因为pqrs不是简单析取范式，所以 pqrs不是子句。
Ω1 =ΩCΩR
Ω1有n-1个命题变元。 若有rΩ1并且rΩ1，则存在反驳。
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若Ωq Ωq ΩC 不可满足，则Ω1 =ΩCΩR不可满足。 若Ω1是可满足的，则有赋值函数σ，使得σ(Ω1)=1。 如果σ(Pi)=1，i=1,...,m1，那么有σ'(q)=0，而其他命题变元 r有σ'(r)=σ(r)。 σ'(qPi)=1，其中，qPiΩq σ'(qQj)=1，其中，qQjΩq σ'(Rk)=1，其中，RkΩC
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设Ω0有n种相反文字，有相反文字q和q ，Ω0中的子句分为三类， • 一类是有文字q的子句， • 另一类是有文字q的子句， • 再一类是没有文字q和q的子句
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Ωq ={ qPk| qPkΩ}，Ωq ={qQk| qQkΩ}， ΩC=Ω-Ωq-Ωq |Ωq |=m1，|Ωq |=m2，|ΩC|=m3。 ΩR={ Pi Qj| qPiΩq, qQjΩq}
(PQR) PQR
因为(PQR)((PR)(QR))的合取范式 计算机学院 (PQR) PQR 所以子句集合 Ω={P,Q, R ,PQR }
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Q1=PQR Q2=P Q3=QR Q4=Q
Q1Ω Q3= (Q1-P) (Q2-P) Q4Ω
Q2Ω
Q5=R
Q6=R Q7=□ 证毕
Q5= (Q3-Q) (Q4-Q)
Q6Ω Q7= (Q5-R) (Q6-R) 计算机学院
因此PQR├(PR) (QR)
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定义：设Q是简单析取范式，q是Q的文字，在Q中 去掉文字q，记为Q-q。 例如，Q是子句pqrs，Q - q是简单析取范式 p rs。
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归结子句
定义：设Q1,Q2是子句，q1和q2是相反文字，并且在子句 Q1和Q2中出现，称子句(Q1-q1)(Q2-q2)为Q1和Q2的归结 子句。 例如，Q1是子句pqr，Q2是子句pqws，q和q 是相反文字，子句prws是Q1和Q2的归结子句。 例如，Q1是子句q，Q2是子句q，q和q是相反文字， 子句□是Q1和Q2的归结子句。 例如，Q1是子句pqr，Q2是子句pws，在子句Q1 和Q2中没有相反文字出现，子句Q1Q2，即 pqrws不是Q1和Q2的归结子句。
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因此，若Ω1是可满足的，则有σ'，使得σ'(Ω0)=1，这样就 产生了矛盾，所以，Ω1是不可满足的。