高级数理逻辑第11讲全解
数理11详解-概述说明以及解释
数理11详解-概述说明以及解释1.引言1.1 概述数理11是指数学和物理两个学科的结合，通过运用数学的方法和原理来解决物理问题。
它涵盖了许多数学和物理的基本概念和应用，是理解和掌握数学和物理的重要基础。
在数理11中，学生将学习到一些基本的数学概念，如代数、几何、函数、微积分等。
这些数学概念在物理学中有广泛的应用，可以帮助我们分析和解释自然界中的各种现象和规律。
同时，数理11也会介绍一些物理学的基本概念，如力、能量、运动、电磁学等，通过数学的方法来描述和解决物理问题。
通过学习数理11，学生不仅可以理解数学和物理的基本原理，还可以培养一种科学思维和解决问题的能力。
数理11所学到的数学和物理的知识与技能也是许多其他高级学科和职业所必需的基础。
本篇文章将介绍数理11的概念、应用和挑战，旨在帮助读者更好地理解和应用数理11的知识。
在接下来的章节中，我们将分别对数理11的概念、应用和挑战进行详细的讨论，并对数理11的重要性和未来发展进行总结和展望。
希望通过本篇文章的阅读，读者能够加深对数理11的了解，并在实际学习和应用中更好地运用数理11的知识和方法。
数理11不仅是学习数学和物理的基础，也是培养科学素养和解决实际问题的重要途径。
1.2 文章结构文章结构的部分内容可以包括以下内容：本文将从三个方面对数理11进行详解，分别是数理11的概念、数理11的应用和数理11的挑战。
下面将对这三个方面进行具体介绍。
首先，在第二部分"2.正文"中，将详细阐述数理11的概念。
我们将探讨数理11的定义、发展历程以及其在数理领域的重要性。
通过对数理11的深入理解，读者将能够清晰地把握数理11的基本概念和相关知识。
接下来，在正文的第二个部分，即2.2 数理11的应用，我们将介绍数理11在实际应用中的重要性。
我们将通过实例和案例的分析，展示数理11在各个领域的应用情况，包括但不限于自然科学、工程技术和社会经济等。
通过这一部分的阐述，读者将能够深刻认识到数理11在现代社会中的广泛应用和重要性。
高级数理逻辑
设R为A上的一个等价关系，则 A/R={[a]R|a∈A}称为A关于R的商集。 等价类的性质
∪[a]R=A [a]R=[b]R iff aRb [a]R≠Ф
A/R是A的一个划分。
映射
复合关系
设R是由A到B的一个二元关系，S是由B到C的一个二元关 系，则
R◦S={<x,z>|存在y ∈B，使得<x,y>∈R且<y,z>∈S}称为R 与S的复合关系
逆关系
设R是由A到B的一个二元关系，则 R-1= {<y,x>|<x,y>∈R} 称为R的逆关系。
关系的性质
设R是A上的一个二元关系 自反
✓ 所有中学生打网球。 ✓ 王君不打网球。 ➢ 王君不是中学生。
可推导性关系的内因
表象：前提、结论的真值
语义范畴
内因：前提、结论的逻辑形式
语法范畴
两个例子的逻辑形式相同
✓ S中的所有元有R性质。 ✓ a没有R性质。 ➢ a不是S中的元。
数理逻辑的研究内容
形式语言
无二义性、精确的、普遍适用的符号语言 自然语言存在二义性、不精确 语义：涉及符号、表达式的具体涵义 语法：仅涉及表达式的形式结构
ZF公理体系
外延公理
S=T iff (x)(x S x T)为真
子集公理
S T iff (x)(x S x T)为真
空集存在公理幂集P(A) = {a | a为A的子集}
集合的运算
对于集S，T 并
SUT {x | x S x T}
交
SI T {x | x S x T}
数理逻辑PPT课件
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4
数理逻辑
正如著名的计算机软件大师 戴克斯特拉 (E.W.Dijkstra)曾经说过：我 现在年纪大了，搞了这么多年软件，错误 不知犯了多少，现在觉悟了。我想，假如 我早在数理逻辑上好好下点功夫的话，我 就不会犯这么多错误。不少东西逻辑学家 早就说过了，可是我不知道。要是我能年 轻20岁的话，我就会回去学逻辑。
P∧Q的真值为真，当且 T T T
仅当P和Q的真值均为真。
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命题逻辑
• 或者“∨”（析取）
表示“或者”，“或者”有二义性，看下面 两个例子：
例1. 灯泡或者线路有故障。 例2. 第一节课上数学或者上英语。
例1中的或者是可兼取的或。即或者“∨”
例2中的或者是不可兼取的或，也称之为异或、 排斥或。即“ ”.
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命题逻辑
P：灯泡有故障。 Q：线路有故障。 例1中的复合命题可 表示为：P∨Q，读 成P或者Q，P∨Q的 真值为F，当且仅当 P与Q均为F。
P Q P∨Q FF F FT T TF T
TT T
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命题逻辑
P：第一节上数学。
Q：第一节上英语。
P Q P Q
例2中的复合命题
可写成P Q，读 成P异或Q。
P Q的真值为F，
FF F FT T TF T
TT F
当且仅当P与Q的真值相同。
.
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命题逻辑
• 蕴含(条件)“”
表示“如果… 则 …”，“当...则...”,“若... 那么...”，“假如...那么...”
例如： P表示：缺少水分。
Q表示：植物会死亡。
PQ：如果缺少水分，植物就会死亡。
PQ：也称之为蕴含式，读成“如果P则
全版数理逻辑 .ppt
例如
{1，2} {1，2，3}， {1，2} {1，2}， {1，2}和{3，4，5}不相交， {1，2}和{2，3，4}相交。
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9．2．2 特殊集合
空集和全集是两个特殊集合．它们的概念相 简单，但在集合论中的地位却很重要．下面 介绍这两个集合．
AB<=>(x)(xA→xB)．
当A不是B的子集合时，即AB不成立时，记作A B(子集合可简称为子 集)。
▪ 注意区分和．例如
{a} {{a},b} 但 {a} {{a}，b}，
{a，b}{a，b，{a}} 但 {a，b}{a，b，{a}}．
AB表示A是B的一个元素，AB表示A的每个元素都是B的元素．此外， 是集合论的原始符号，这是一个基本概念；但是是由定义出来的概 念．
▪ 这个定义也可以写成
A=B<=>(x)(xA←→xB)，
A≠B<=>(x)﹁(xA←→xB)．
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14
▪ 这个定义就是集合论中的外延公理，也叫外延原 理．它实质上是说“一个集合是由它的元素完全决 定的”．因此，可以用不同的表示方法(外延的或内 涵的)，用不同的性质、条件和内涵表示同一个集 合．例如
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9．3．2 广义并和广义交
▪ 广义并和广义交是一元运算，是对一个集合 的集合A进行的运算．它们分别求A中所有元 素的并和交，A中可以有任意多个元素，它们 就可以求任意个元素的并和交．A中若有无限 多个元素，它们就可以求无限多个元素的井 和交．广义并和广义交是并集和交集的推 广．
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《高级数理逻辑》课件
介绍基于高级数理逻辑研究的智 能推理算法，让计算机更高效地 进行推理和判断。
多值逻辑及其应用
多值逻辑概述
介绍多值逻辑的概念、基本原理以及与二值逻 辑的区别。
多值逻辑在人工智能中的应用
深入研究多值逻辑在自然语言处理、机器学习 和智能系统中的应用，以提高其智能水平。
多值逻辑在计算机科学中的应用
探索多值逻辑在计算机编程、信息理论和密码 学等方面的应用。
模型检验方法
介绍基于多值逻辑的模型检验方法及其应用， 以确保系统或软件的正确性。
模态逻辑理论及扩展
1
经典模态逻辑
2
探讨经典模态逻辑的语法、语义、推理
规则及其应用。
3
非经典模态逻辑
4
介绍非经典模态逻辑，如增长逻辑、其 他模态逻辑和拓扑逻辑等，并探讨其应
用。
模态逻辑概述
介绍模态逻辑的基本概念、语言和语义。
二阶逻辑理论及应用
1 二阶逻辑概述
介绍二阶逻辑中的语法、 语义和推理规则。
Hale Waihona Puke 2 二阶逻辑的应用探讨二阶逻辑在模型论、 计算机科学和数学中的应 用。
3 高维逻辑
介绍高维逻辑的概念、语 言和语义，以及它在数学、 物理学和哲学中的应用。
可计算论概述及相关定理
可计算性理论
介绍可计算性理论和计算模型， 如图灵机、λ演算和递归函数等。
动态模态逻辑
研究模态逻辑中时间、知识和行动等概 念的语义和推理规则。
一阶逻辑及其扩展
概述
介绍一阶逻辑中的语法、语义和 推理规则。
一阶逻辑扩展
研究一阶逻辑的拓展，如高阶逻 辑、无限值逻辑和时态逻辑等， 并探讨其应用。
程序语言理论
介绍一阶逻辑在程序语言理论中 的应用，包括程序设计、程序分 析和验证等。
高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题课件北师大版选修11
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
反思感悟判断一个命题的真假通常有以下两种方法:
(1)分清该命题的条件与结论,直接根据我们已学过的定义、定理、公理、
法则、公式、事实等判断其真假,也可通过反例判断其真假.将命题改写成
“若p,则q”的形式后,判断此命题真假的方法如下:
①若由“p”经过逻辑推理得出“q”,则可确定“若p,则q”为真;而确定“若p,则
(1)“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题;
(2)“对顶角相等”的逆命题;
(3)“直角三角形的两个锐角互为余角”的逆否命题;
(4)若a≥0或b≥0,则a+b≥0.
分析可以先根据要求写出每个命题,再判断真假.也可以不写出命
题,而利用四种命题之间的等价关系进行判断.
第二十页，共30页。
探究
(tànjiū)一
三
思维辨析
变式训练1判断下列语句是否为命题,若是,则判断其真假;若不是,则说
明理由.
(1)若a,b,c,d∈R,a=c且b=d,则a+b=c+d.
(2)对立事件一定是互斥事件.
(3)函数y=cos x的最小正周期是π吗?
(4)在等比数列{an}中,若公比q>1,则数列{an}是递增数列.
(5)求证:若x∈R,则x2-x+1>0.
二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
(3)(方法一)“直角三角形的两个锐角互为余角”的逆否命题是“若一个三角
形的两个锐角不互为余角,则这个三角形不是直角三角形”,是真命题.
(方法二)因为命题“直角三角形的两个锐角互为余角”是真命题,而原命
高级数理逻辑
1.2 数理逻辑的发展过程
第五阶段：公理集合论促进了数理逻辑形式 系统的产生 英国唯心主义哲学家、逻辑学家、数 学家罗素在集合论的研究过程中，于1903 年提出了著名的罗素悖论（数学史上的第 三次危机）。罗素悖论动摇了集合论的基 础，促使人们去研究数学中的矛盾性。从 而提出了公理集合论。公理集合论的产生 和发展，促进了形式系统的产生。
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1.1 基本概念
语义 涉及符号和符号表达式的涵义。 语法 涉及符号表达式的形式结构，不考虑 任何对语言的解释。
两者既有区别又有联系。
---------------------------------------------------------11
1.2 数理逻辑的发展过程
逻辑学→数理逻辑→形式逻辑→计算逻辑 第一阶段：逻辑学思想的提出 亚里士多德提出建立探索人类推理、 思维原则的学科，从而有了逻辑的概念。
14
1.2 数理逻辑的发展过程
第四阶段：发展为独立的学科 十九世纪末二十世纪初，数理逻辑有 了比较大的发展，1884年，德国数学家弗 雷格出版了《数论的基础》和《符号论》， 在书中引入量词的符号，使得数理逻辑的 符号系统更加完备。对建立这门学科做出 贡献的，还有美国人皮尔斯，他也在著作 中引入了逻辑符号。从而使现代数理逻辑 最基本的理论基础逐步形成，成为一门独 立的学科。
---------------------------------------------------------16
1.2 数理逻辑的发展过程
第六阶段：形式推理自动化的产生 1965年Robinson提出了归结原理 （Principle of Resolution），归结原理提 出了基于形式描述的，利用计算机的推理 方法。从而使机器定理证明和计算机辅助 软件工程得到长足的发展。
高中数学模块综合复习课1常用逻辑用语课件北师大版选修11
> 0,
> 0,
从而 1- ≥ -2, 或 1- > -2, 解得 0<a≤3.故所求正实数 a 的取
1 + ≤ 10,
1 + < 10
值范围是(0,3].
答案:(0,3]
第十七页，共34页。
专题(zhuāntí)
归纳
专题三
专题
(zhuānt
í)一
高考(ɡāo kǎo)
体验
全称命题与特称命题
解(1)特称命题,否定:∀α∈R,sin2α+cos2α=1,真命题.
(2)全称命题,否定:∃直线l,l没有斜率,真命题.
(3)特称命题,否定:∀x∈R,
1
≠2,真命题.
2
-+1
第十八页，共34页。
专题(zhuāntí)
归纳
高考(ɡāo kǎo)
体验
专题
(zhuāntí)
一
专题二
专题三
专题四
+
2
1 =1,因为
1
1
m>n>0,所以 0< < ,因此
椭圆焦点在y轴上,反之亦成立.所以“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点
在y轴上的椭圆”的充要条件.∴为假命题.
④∵p∨q为假命题,∴p与q均为假命题.∴ p, q为真命题,一定有
( p)∧( q)为真命题,故为真命题.
专题二
专题三
专题四
【例3】 判断下列命题是全称命题还是特称命题,用符号写出其否定
并判断命题的否定的真假性.
(1)有一个实数α,sin2α+cos2α≠1;
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总复习本章对高级数理逻辑所讲述的内容总结，并对已经学习的内容进行回顾。
在对所讲述的内容回顾之前，首先对整个数理逻辑学科的组成进行回顾，从而使大家有更深刻的认识。
数理逻辑学科学科发展从数理逻辑学中衍生出来的学科有很多，如：递归论、可计算理论、模型论、机器证明、知识工程、布尔代数等。
这些理论都是以数理逻辑学为基础的。
针对数理逻辑本身，由于这些学科的需求产生了很多不同种类的逻辑系统。
数理逻辑的不同种类，基本上都是从经典的逻辑系统中扩展而来的。
这种扩展通常有语法扩展和语义扩展。
●语法扩展：在经典逻辑系统中，扩充一些符号，从而衍生出新的逻辑系统。
如模态逻辑，二阶谓词逻辑等。
●语义扩展：对逻辑系统中语义的范围等进行扩展，如模糊逻辑等。
数理逻辑通常划分成以下不同种类的逻辑系统：1、经典逻辑：传统的命题逻辑、一阶谓词逻辑等。
认为世界是黑白的，对于一个命题非真既假。
2、模态逻辑：认为世界上任何事情的真假是与时间有着密切的关系的。
3、多值逻辑：认为世界上的对与错是没有绝对的，命题的真假是可以是多个甚至连续值的。
4、非单调逻辑：讨论如何将人类的常识加入到逻辑系统中去。
经典逻辑是单调逻辑，既事实越多，已有的结论不会消失；而单调逻辑中，可能随着事实的增加原有的结论被否定。
体系构成在高级数理逻辑（计算逻辑）中，每一种逻辑都自成体系。
逻辑的体系过程主要包括以下几个方面：1、形式系统：用符号的方式来描述一个逻辑系统的构成。
类似于形式语言系统。
2、语义系统：针对形式进行解释的一套体系，这套体系确定了符号的含义的解释方法和规则。
3、元理论：对形式系统组成、语义系统特性和形式与语义之间关系进行研究。
从而保证了数理逻辑的初衷（利用数学演算的方法来研究人类思维过程）。
4、自动化推理：在形式系统的基础上，研究利用计算机自动进行推理的理论和方法。
以及自动推理的效率提高方法和自动推理完备性研究。
形式系统形式系统构成形式系统由{∑, TERM, FORMULA, AXIOM, RULE}等5个部分构成，其中 称为符号表，TERM 为项集；FORUMULA 为公式集；AIXIOM 为公理集；RULE 为推理规则集。
：1、 符号表∑为非空集合，其元素称为符号。
2、 设∑*为∑上全体字的组合构成的集合。
项集TERM 为∑*的子集，其元素称为项；项集TERM 有子集V ARIABLE 称为变量集合，其元素称为变量。
3、 设∑*为∑上全体字的组合构成的集合。
公式结FORMULA 为∑*的子集，其元素称为公式；公式集有子集ATOM ，其元素称为原子公式。
4、 公理集AXIOM 是公式集FROMULA 的子集，其元素称为公理。
5、 推理规则集RULE 是公式集FORMULA 上的n 元关系集合，即RULE=)}2(|{n FORMULA r n n n r ⊆∧≥∧∃是正整数，其元素称为形式系统的推理规则。
其中公式集和项集之间没有交叉，即TERM ∩FORMULA =φ，公式和项统称为表达式。
由定义可知，符号表∑、项集TERM 、公式集FORMULA 是形式系统的语言部分。
而公理集AXIOM 、推理规则集RULE 为推理部分。
形式系统的重要问题1、 符号表 为非空、可数集合（有穷、无穷都可以）。
2、 项集TERM 、公式集FORMULA 、公理集AXIOM 和推理规则集RULE 是递归集合，即必须存在一个算法能够判定给定符号串是否属于集合。
3、 形式系统中的项是用来描述研究的对象，或者称为客观世界的。
而公式是用来描述这些研究对象的性质的。
这个语言被称为对象语言。
定义公式和项产生方法的规则称为词法。
4、 用来描述形式系统中各个部分性质的语言称为元语言。
用于研究形式系统的元语言又被称为元数学。
形式推导1、 基本概念演绎结果与定理：设A 为FSPC 上一公式，集合Γ为FSPC 上一公式集合。
称A 为Γ的演绎结果，记为Γ├A ，如果存在一个公式序列：)(,,,,321A A A A A L =使得i A 或者为形式系统FSPC 的公理，或者为公式集合Γ中的元素，或者或者为),,,,(,,,,13211321i j j j j A A A A n j j j j n <-- 由推理规则r 得到；则称A 为FSPC 的演绎结果。
当Φ=Γ时，称A 为定理FSPC 上的定理。
称)(,,,,321A A A A A L = 为A 的证明序列。
逻辑等价：公式A 和B 分别为两个公式，如果A,B 满足B ├A ，且A ├B 同时成立，则称公式A 和B 为逻辑等价公式，记为A ├│B 。
即A,B 互为演绎结果。
例如：A ⌝⌝├|A ，B A ∧├|A B ∧，B A ∨├|A B ∨。
对偶：设A 为FSPC 上由联结词⌝, ∨, ∧和原子公式构成的公式。
在A 中交换∨和∧，以及原子公式和他的否定公式，得到公式'A ，则称'A 为A 的对偶。
2、 推理基础（1）公理代入原理：设A(P)为含有变元P 的公理（定理同样适用），如果将公式A 中的变元P 替换为命题变元B ，则A(B)仍为公理（定理）；C →((B →C)→C)（2）等价替换原理：设命题公式A 含有子公式C （C 为命题公式），如果C ├│D ，那么将A 中子公式C 提换为命题公式D （不一定全部），所得公式B 满足A ├│B 。
（3）对偶原理：设A 为FSPC 上的公式，'A 为其对偶，则A ├│'A ⌝。
（4）演绎定理：设∑为任一公式集合, A,B 为任意公式,那么：∑ ，A ├B 当且仅当∑├B A →∑ ，A ╞B 当且仅当∑╞B A →（5）(变量)改名原理如果公式A 中至少一个量词的指导变元和相应的约束变元都改名为另一个相同变元后得到公式A ’，则A ’为A 的改名式；如果A ’是A 的改名式，且A ’改用的变元在A 中无任何出现，那A ├│A ’3、 其他推理方法根据形式系统的性质，给出一些专用推理规则。
语义系统语义系统定义形式语义：设FS是已经存在的形式系统，FS的语义有语义结构和赋值两个部分组成：a)语义结构：当FS的项集TERM不为空时，由非空集合U和规则组I所组成二元组（U，I），称为形式系统FS的语义结构。
其中U和I的性质如下：i.U为非空集合，称为论域或者个体域；ii.规则组I，称为解释，根据规则组的规定对项集TERM中的成员指称到U 中的个体；规定对原子公式如何指称到U中的个体性质（U的子集）、关U的子集）。
系（nb)指派：若形式系统FS中的变量集合Variables非空，那么下列映射称为指派：s：varibles－>U。
对于给定的语义结构，可以将指派扩展到项集TERM上：s：TERM－>U；s＝S(t) 当t 为变元S指派t中变元由解释确定当t为非变元c)赋值：是指一组给公式赋值的规则，据此规则可对每一结构U和指派S确定一由原子公式到值域的映射v：atomic－>value。
根据这个赋值规则，可以将赋值映射进行扩展：v为v：Formula－>value。
元理论语法构成（1）独立性：如果形式系统中每一个公理都是独立的，即把任一公里A从形式系统中删除后，所得形式系统FSˊ不满足├FS′A（即A不是FSˊ的定理），则称形式系统为独立的；●独立形式系统是简洁的；（2）一致性：形式系统FS称为一致性，或相容的（consistent）如果不存在FS的公⌝同时成立；式A，使得├A，├A●所有形式系统都应该是一致的；（3）完全性：形式系统为完全的，如果对形式系统中任意公式A，或者├A成立，或者⌝成立；├A●完全性的形式系统，一切都是可知的；因此，几乎没有价值；（4）可判定性：形式系统FS称为可判定的，如果存在一个算法，对FS对的任一公式A，可确定├A是否成立，否则称FS是不可判定的；如果上述算法对定理能作出判断，而对于非定理未必终止（作判断），称FS为半可判定的；● FS 为可判定的，当且仅当定理集合为递归集； （5）公式集合一致性：称形式系统的公式集合Γ为一致的，如果形式系统是一致的，且不存在公式A 使 Γ ├A ， ├A ⌝ 同时成立。
语义系统基本上没有。
语法语义关系研究语法语义关系，首先关心的问题是在语法上的形式演算，在语义的逻辑推论上是否成立。
这个问题被称作合理性（Soundness ）。
其次，是对于语义上的逻辑推理，在形式演算上是否成立。
这个问题是完备性（Completeness ）。
这两个问题是语法语义关系的核心。
1) 合理性（soundness ）：称形式系统FS 是合理的，FS 的任意公式A 有：├FS A ，则╞M A ，M 为所有结构；2) 完备性（Completeness ）：称形式系统FS 是完备的，如果对FS 的任意公式A有：若╞M A ，则├FS A ，这里M 为FS 所讨论的一类结构；3) 紧致性：称形式系FS 是紧致的，如果对FS 的任意公式集∑有：如果公式集∑的所有穷子集是可满足的，那么公式集∑也是可满足的；归结原理归结方法二元归结：设1C 和2C 分别含有文字1L 和2L 的子句，并且1L 和2L ⌝有最一般合一θ，那么下列推理规则称为归结原理：)()(,221121θθθθL C L C C C -∨-归结过程公式集 前束范式 skolem 标准形 子句集 合一 归结✓ 合一与代换：子句集合一后与原子句集之间的逻辑关系；合一是代换（t 1/x 1……t n /x n ）将子句集中的变量x i 代换为项t i;✓ 归结合理与完备：在合一后的子句集上归结是一种推理，那么推理能否保证合理性与完备性；提高效率的策略：删除策略；支持集策略；线性策略；在归结过程中，注意：代换过程如果出现)(),(b P a P ⌝的情况就很可能是代换出现的问题；元定理在归结原理中，我们给定的形式系统是：● 形式系统是子句集，其上的推理方法不在是分离规则，而是归结；● 语义系统是Herbrand 结构。
在这样的推理环境中，我们还是要考虑形式推理（子句集上的归结）与形式语义之间的关系。
这些关系中，我们重点考虑的是合理性和完备性。
1、合理性：合理性的表现有两个定理，前面已经叙述过，下面重复一下：✓ 设子句集c 为子句c 1和c 2的归结结果，则c 为c 1和c 2的逻辑结果；✓ 设子句c 为子句集S 的归结结果，即存在一个归结序列，得到c ，则c 为S 的逻辑结果；2、完备性：✓ 若子句集S 为不可满足的，那么必定存在一个否证，即存一个导出空子句口的归结序列。
模态逻辑正规系统模态逻辑是研究各种不同的正规系统，这些正规系统中，最简单的是NSK 系统。
下面我们给出NSK 系统的构成。
1、 NSK 系统语言部分● 符号表：{,,......,,21⌝→p p □,◇,(,) }；其中i p 为原子命题，⌝→,为联接词，□,◇为模态词，(,)技术符号。