高级数理逻辑
高级数理逻辑04
4一阶谓词逻辑4.1 一阶谓词逻辑的基本概念4.1.1命题逻辑的局限性命题逻辑中的原子命题是最小的研究单元，不再进行深入研究。
因此，命题逻辑对现实世界的描述能力是有限的。
1、例如：所有自然数都大于它的素数 A ∀x(A(x)→y∃(P(x,y) ∧Q(y)))A(2100)→y∃(P(2100,y) ∧Q(y))∀x(A(x)→y∃(P(y,x) ∧Q(y)))2100是自然数B A(2100)2100有大于它的素数C y∃(P(y, 2100) ∧Q(y))对于这个现实中的例子，用命题逻辑无法描述。
因为，用命题逻辑来描述，第一个句子是一个原子命题、二三句同样是原子命题。
而这些原子命题之间无法建立关联关系。
因此，每一个前题都是单一的命题，没有联结词。
所以用命题逻辑描述它不能进行推理。
然而上述推理是正确的，是现实中存在的现象。
2、再例如：所有实数的平方是非负的A-是实数B3-的平方是非负的C34.1.2一阶谓词逻辑1、概述一阶谓词逻辑解决了上述问题，能够对原子命题进行分割和更细致的研究工作。
●个体域：任何一门科学都有其研究对象，这些对象的集合称为个体域。
个体域即论域包含所描述问题域中的常元和变元。
P(x)●函词：个体上可以进行运算，能够产生新的个体。
这些运算被称为函数，在一阶谓词里被称为的函词（函数）。
F(x,y)=x*y●谓词：我们在研究个体的时候，主要研究个体的性质。
这些有关个体性质的描述称为谓词。
Q(y), P(x,y) ::x<y●量词：关于个体性质，不一定是对全体的个体的都成立。
有的对一个范围内成立，有离散的几个个体成立，有的对全部都成立。
为了描述这种范围特征，一阶谓词引入了量词。
2、谓词和函词●谓词定义：谓词表示个体性质和关系的语言成分。
它附带放置对象的空位，只有空位被填充对象，谓词才有意义。
没有被填充对象的谓词，称为谓词命名式；相反为谓词填式。
谓词后面的空位个数为谓词的元数。
谓词是一个体域上的n元关系。
数理逻辑中的二阶逻辑与高阶逻辑
数理逻辑中的二阶逻辑与高阶逻辑二阶逻辑和高阶逻辑是数理逻辑中的重要概念。
它们在逻辑学和计算机科学中有广泛应用，并对推理和形式证明的研究产生了深远影响。
本文将介绍二阶逻辑和高阶逻辑的基本概念、特点以及在实际应用中的一些重要作用。
一、二阶逻辑的基本概念和特点二阶逻辑是指在逻辑系统中引入了量化二阶变量和二阶量词的逻辑体系。
相对于一阶逻辑，二阶逻辑具有更强的表达能力和描述能力。
在二阶逻辑中，可以量化一阶谓词变量，即可以描述关于一阶谓词的性质和关系。
这为解决一些复杂问题提供了便利。
二阶逻辑的特点包括以下几个方面：1.二阶量词：二阶逻辑中引入了二阶量词，它可以量化一阶谓词变量，从而表达更复杂的命题和关系。
2.表达能力：相对于一阶逻辑，二阶逻辑具有更强的表达能力，可以描述更复杂的关系和性质。
3.形式化语义：二阶逻辑的形式化语义研究更加复杂，需要引入更多的概念和方法，如拟态逻辑、模型论等。
二、高阶逻辑的基本概念和特点高阶逻辑是指在逻辑系统中引入了更高阶的量词和变量的逻辑体系。
相对于二阶逻辑，高阶逻辑具有更强的表达能力和描述能力。
在高阶逻辑中，可以量化谓词变量的谓词变量，即可以描述关于谓词的性质和关系。
高阶逻辑的特点包括以下几个方面：1.高阶量词：高阶逻辑中引入了高阶量词，它可以量化谓词变量，从而表达更复杂的命题和关系。
2.表达能力：相对于二阶逻辑，高阶逻辑具有更强的表达能力，可以描述更复杂的关系和性质。
3.形式化语义：高阶逻辑的形式化语义更加复杂，需要引入更多的概念和方法，如模型论、类型论等。
三、二阶逻辑与高阶逻辑在实际应用中的作用二阶逻辑和高阶逻辑在逻辑学和计算机科学中有着广泛应用。
它们对于推理、形式化验证和智能系统的研究产生了重要影响。
1.推理和证明：二阶逻辑和高阶逻辑可以用于形式化推理和证明的过程。
通过引入量化变量和量词，可以更准确地描述和推理关于谓词的性质和关系，从而提高推理和证明的精确性和效率。
2.形式化验证：在计算机科学中，二阶逻辑和高阶逻辑在形式化验证中发挥着重要作用。
数理逻辑中的一阶逻辑与高阶逻辑的推理规则
数理逻辑中的一阶逻辑与高阶逻辑的推理规则数理逻辑是研究形式系统的一门学科，其中包括一阶逻辑和高阶逻辑两种推理规则。
本文将分别介绍一阶逻辑和高阶逻辑的定义、基本概念以及推理规则。
一、一阶逻辑一阶逻辑是形式逻辑中的一种基本逻辑形式，也被称为一阶谓词逻辑或一阶一周理论。
它的推理规则包括以下几个方面：1. 命题逻辑命题逻辑是一阶逻辑的基础，它研究命题之间的逻辑关系以及对命题进行推理的规则。
命题逻辑中的推理规则主要涉及命题的合取、析取、否定等逻辑操作。
2. 量化一阶逻辑引入了变量和量词的概念，通过引入全称量词和存在量词，可以对一阶逻辑中的命题进行更加精确的描述。
量化的推理规则包括全称推广、全称规约、存在引入和存在消解等。
3. 假言推理假言推理是一阶逻辑中常见的一种推理形式，它通过条件语句的前提和结论之间的逻辑关系进行推理。
常用的假言推理规则有蕴涵引入、蕴涵消解、假言推广和假言规约等。
4. 等价推理等价推理是一阶逻辑中常用的一种推理形式，它通过等价命题之间的逻辑关系进行推理。
等价推理的规则包括等价引入、等价消解、双重否定引入和双重否定消解等。
二、高阶逻辑高阶逻辑是一种在一阶逻辑的基础上进行扩展的逻辑形式，它涉及到更高级别的量词和谓词的运用。
高阶逻辑中的推理规则包括以下几个方面：1. 高阶量词高阶逻辑引入了更高级别的量词，如二阶量词、三阶量词等，通过这些量词可以对更复杂的命题进行描述和推理。
高阶量词的推理规则包括量词引入和量词消解等。
2. 谓词高阶逻辑中的谓词可以是一阶逻辑中的命题或者函数，通过对谓词的运用可以进行更加精确的推理。
谓词的推理规则包括谓词引入、谓词消解等。
3. 广义命题高阶逻辑中的广义命题是指一个命题包含了其他命题作为子命题，通过对广义命题的推理可以对复杂的逻辑关系进行推理。
广义命题的推理规则包括广义命题引入和广义命题消解等。
总结：数理逻辑中的一阶逻辑和高阶逻辑是逻辑推理的重要分支，它们通过不同的推理规则对不同级别的命题进行推理和描述。
高级数理逻辑第11讲全解
总复习本章对高级数理逻辑所讲述的内容总结，并对已经学习的内容进行回顾。
在对所讲述的内容回顾之前，首先对整个数理逻辑学科的组成进行回顾，从而使大家有更深刻的认识。
数理逻辑学科学科发展从数理逻辑学中衍生出来的学科有很多，如：递归论、可计算理论、模型论、机器证明、知识工程、布尔代数等。
这些理论都是以数理逻辑学为基础的。
针对数理逻辑本身，由于这些学科的需求产生了很多不同种类的逻辑系统。
数理逻辑的不同种类，基本上都是从经典的逻辑系统中扩展而来的。
这种扩展通常有语法扩展和语义扩展。
●语法扩展：在经典逻辑系统中，扩充一些符号，从而衍生出新的逻辑系统。
如模态逻辑，二阶谓词逻辑等。
●语义扩展：对逻辑系统中语义的范围等进行扩展，如模糊逻辑等。
数理逻辑通常划分成以下不同种类的逻辑系统：1、经典逻辑：传统的命题逻辑、一阶谓词逻辑等。
认为世界是黑白的，对于一个命题非真既假。
2、模态逻辑：认为世界上任何事情的真假是与时间有着密切的关系的。
3、多值逻辑：认为世界上的对与错是没有绝对的，命题的真假是可以是多个甚至连续值的。
4、非单调逻辑：讨论如何将人类的常识加入到逻辑系统中去。
经典逻辑是单调逻辑，既事实越多，已有的结论不会消失；而单调逻辑中，可能随着事实的增加原有的结论被否定。
体系构成在高级数理逻辑（计算逻辑）中，每一种逻辑都自成体系。
逻辑的体系过程主要包括以下几个方面：1、形式系统：用符号的方式来描述一个逻辑系统的构成。
类似于形式语言系统。
2、语义系统：针对形式进行解释的一套体系，这套体系确定了符号的含义的解释方法和规则。
3、元理论：对形式系统组成、语义系统特性和形式与语义之间关系进行研究。
从而保证了数理逻辑的初衷（利用数学演算的方法来研究人类思维过程）。
4、自动化推理：在形式系统的基础上，研究利用计算机自动进行推理的理论和方法。
以及自动推理的效率提高方法和自动推理完备性研究。
形式系统形式系统构成形式系统由{∑, TERM, FORMULA, AXIOM, RULE}等5个部分构成，其中 称为符号表，TERM 为项集；FORUMULA 为公式集；AIXIOM 为公理集；RULE 为推理规则集。
高级数理逻辑第2讲
3命题逻辑形式系统（FSPC）3.1 命题逻辑与命题演算Leibniz提出逻辑推理变成符号演算不久，英国数学家BOOL提出了布尔代数。
布尔代数把逻辑命题与逻辑推理归结为代数计算。
把命题看作是计算对象；把联结词看作算子；讨论计算的性质。
1、命题（Propositions）：可以判断真假的陈述句。
不涉及任何联结词的命题称为原子命题。
2、联结词：⌝, →, ↔, ∨, ∧为联结词，用于联结一个或者多个命题。
~A=1-A→如果A成立则B成立，<->如果A成立则B成立，并且如果B成立则A成立；A→BA∨B，或者A成立或者B成立；A∧B，A成立并且B成立。
3、真值表：命题的真假称为命题的真值，用0表示假；用1表示真。
A←→BT(~A)=1-T(A) A=1, ~A=0, 1-ATrue(⌝A)＝1- True(A)，如果True(A)＝0，True(⌝A)=1：True(A)=1, True(⌝A)＝0T(A→B)=1 或者A不成立，或者B成立；A=1, B=1, A→B =1A=0, B=1, A→B=1A=0, B=0, A→B=1A=1,B=0 A→B=0或者A=0, 或者B＝1 ~AvB=A→BA<=B;;;;A<=BA=0,B=1A=0时，B=?,1;A=1,B=1,1;A=1,B=0,0;A=0,B=0,T(A→B)=1;A=0,B=1,T(A→B)=1;A=1,B=0,T(A→B)=1;A=1,B=1,T(A→B)=1;A=0;T(A→B)=1B=1;T(A→B)=1A→B是或者A=0,或者B=1；=～AvBA<=BA∨B=MAX(A,B) A=1, B=0, 1;A=1,B=1, 1, A=0,B=1;1, A=0,B=0, 0A∧B=MIN(A,B) =~(~A v ~B) DEMORGAN~A ∨BTrue(A->B)：True（A）《＝True（B）A ＝0,1；如果True(A)=1,则 True （B ）=1,True(A->B)=1:或者True(A)=0或者True(B)=1：或者A 不成立，或者B 成立=⌝A ∨B ；如果True(A)=0,则 True （B ）=0，1；True(A)=<True （B ）；True(A) =True(B)，True(A<->B)=1； True(A ∨B);A=1,B=0,1,A=1,B=1, 1;A=0,B=0,0,A=0,B=1,1. True(A ∧B),A=1,B=0,0,A=1,B=1,1;1=0,B=0,0; A=0,B=1,0True(A ∨B)=max(True(A), True(B)); True(A ∧B)= min(True(A), True(B)); 4、 命题变元：以真值为值域的变量称为命题变元。
高级数理逻辑第4讲分析
4一阶谓词逻辑4.1 一阶谓词逻辑的基本概念4.1.1命题逻辑的局限性命题逻辑中的原子命题是最小的研究单元，不再进行深入研究。
因此，命题逻辑对现实世界的描述能力是有限的。
1、例如：所有自然数都大于它的素数 A ∀x(A(x)→y∃(P(x,y) ∧Q(y)))A(2100)→y∃(P(2100,y) ∧Q(y))∀x(A(x)→y∃(P(y,x) ∧Q(y)))2100是自然数B A(2100)2100有大于它的素数C y∃(P(y, 2100) ∧Q(y))对于这个现实中的例子，用命题逻辑无法描述。
因为，用命题逻辑来描述，第一个句子是一个原子命题、二三句同样是原子命题。
而这些原子命题之间无法建立关联关系。
因此，每一个前题都是单一的命题，没有联结词。
所以用命题逻辑描述它不能进行推理。
然而上述推理是正确的，是现实中存在的现象。
2、再例如：所有实数的平方是非负的A-是实数B3-的平方是非负的C34.1.2一阶谓词逻辑1、概述一阶谓词逻辑解决了上述问题，能够对原子命题进行分割和更细致的研究工作。
●个体域：任何一门科学都有其研究对象，这些对象的集合称为个体域。
个体域即论域包含所描述问题域中的常元和变元。
P(x)●函词：个体上可以进行运算，能够产生新的个体。
这些运算被称为函数，在一阶谓词里被称为的函词（函数）。
F(x,y)=x*y●谓词：我们在研究个体的时候，主要研究个体的性质。
这些有关个体性质的描述称为谓词。
Q(y), P(x,y) ::x<y●量词：关于个体性质，不一定是对全体的个体的都成立。
有的对一个范围内成立，有离散的几个个体成立，有的对全部都成立。
为了描述这种范围特征，一阶谓词引入了量词。
2、谓词和函词●谓词定义：谓词表示个体性质和关系的语言成分。
它附带放置对象的空位，只有空位被填充对象，谓词才有意义。
没有被填充对象的谓词，称为谓词命名式；相反为谓词填式。
谓词后面的空位个数为谓词的元数。
谓词是一个体域上的n元关系。
《高级数理逻辑》课件
介绍基于高级数理逻辑研究的智 能推理算法，让计算机更高效地 进行推理和判断。
多值逻辑及其应用
多值逻辑概述
介绍多值逻辑的概念、基本原理以及与二值逻 辑的区别。
多值逻辑在人工智能中的应用
深入研究多值逻辑在自然语言处理、机器学习 和智能系统中的应用，以提高其智能水平。
多值逻辑在计算机科学中的应用
探索多值逻辑在计算机编程、信息理论和密码 学等方面的应用。
模型检验方法
介绍基于多值逻辑的模型检验方法及其应用， 以确保系统或软件的正确性。
模态逻辑理论及扩展
1
经典模态逻辑
2
探讨经典模态逻辑的语法、语义、推理
规则及其应用。
3
非经典模态逻辑
4
介绍非经典模态逻辑，如增长逻辑、其 他模态逻辑和拓扑逻辑等，并探讨其应
用。
模态逻辑概述
介绍模态逻辑的基本概念、语言和语义。
二阶逻辑理论及应用
1 二阶逻辑概述
介绍二阶逻辑中的语法、 语义和推理规则。
Hale Waihona Puke 2 二阶逻辑的应用探讨二阶逻辑在模型论、 计算机科学和数学中的应 用。
3 高维逻辑
介绍高维逻辑的概念、语 言和语义，以及它在数学、 物理学和哲学中的应用。
可计算论概述及相关定理
可计算性理论
介绍可计算性理论和计算模型， 如图灵机、λ演算和递归函数等。
动态模态逻辑
研究模态逻辑中时间、知识和行动等概 念的语义和推理规则。
一阶逻辑及其扩展
概述
介绍一阶逻辑中的语法、语义和 推理规则。
一阶逻辑扩展
研究一阶逻辑的拓展，如高阶逻 辑、无限值逻辑和时态逻辑等， 并探讨其应用。
程序语言理论
介绍一阶逻辑在程序语言理论中 的应用，包括程序设计、程序分 析和验证等。
高级数理逻辑第5讲全解
4.5 一阶谓词语义系统 4.5.1 什么是形式系统语义抽象公理系统或者形式系统，具有较高的抽象性。
因此，已经脱离了任何一个具体的系统，但是我们可以对形式系统作出各种解释。
通过这种解释将形式系统对应到各种具体的系统中取。
例如可以将一阶谓词逻辑系统，解释到平面几何系统中。
怎样将形式系统解释成具体系统呢？我们先看下面的例子：如果我们要知道)),1((x f xP ∀的具体的真值=1，我们至少要知道以下事情： 1、 x 在什么范围之内，x 范围是实数。
2、 f 是什么？ (X+1)3、 P 是什么？P 代表的是大于＝04、 a=？a=15、 x=?，x ＝5，－4例如，我们可以作出以下解释： 1、解释1：● x 在实数中取值 ● P 表示等于0●),(a x f 表示x-a● a=5因此，公式解释为05==-x 。
令x=5, 则1))),(((=x a f P v s(x) ->5s(f(a,x) ->I(f)(I(a),s(x)) 令x=6，则0))),(((=x a f P u 2、解释2：● x 在实数中取值 ● P 表示大于等于0●),(a x f 表示2)(a x -因此，公式解释为0)(2>=-a x 。
这个公式不必对a 和x 作出具体解释，就可以确定公式的真值。
即对于任何实数x ，和赋值映射v ，1)))(((2=-a x P v 。
由上面的例子可以看出，要对形式系统作出解释，我们要了解以下问题：✓x取值于哪里？即规定讨论问题的领域。
✓给出谓词的含义和谓词的真值✓给出函数的解释✓给出变量和常量的值✓根据连接词的赋值规则，赋值这就是我们要研究的语义系统－指称语义的主要内容。
现代逻辑语义学理论的创始人是美籍波兰逻辑学家、哲学家A. Tarski，其奠基性文章是他在1933年发表的《形式语言中的真实概念》。
后来被称为模型论—标准语义学理论。
进一步的发展由维特根斯坦最早提出设想，卡尔纳普最早把它展开为系统。
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设R为A上的一个等价关系，则 A/R={[a]R|a∈A}称为A关于R的商集。 等价类的性质
∪[a]R=A [a]R=[b]R iff aRb [a]R≠Ф
A/R是A的一个划分。
映射
复合关系
设R是由A到B的一个二元关系，S是由B到C的一个二元关 系，则
R◦S={<x,z>|存在y ∈B，使得<x,y>∈R且<y,z>∈S}称为R 与S的复合关系
逆关系
设R是由A到B的一个二元关系，则 R-1= {<y,x>|<x,y>∈R} 称为R的逆关系。
关系的性质
设R是A上的一个二元关系 自反
✓ 所有中学生打网球。 ✓ 王君不打网球。 ➢ 王君不是中学生。
可推导性关系的内因
表象：前提、结论的真值
语义范畴
内因：前提、结论的逻辑形式
语法范畴
两个例子的逻辑形式相同
✓ S中的所有元有R性质。 ✓ a没有R性质。 ➢ a不是S中的元。
数理逻辑的研究内容
形式语言
无二义性、精确的、普遍适用的符号语言 自然语言存在二义性、不精确 语义：涉及符号、表达式的具体涵义 语法：仅涉及表达式的形式结构
ZF公理体系
外延公理
S=T iff (x)(x S x T)为真
子集公理
S T iff (x)(x S x T)为真
空集存在公理幂集P(A) = {a | a为A的子集}
集合的运算
对于集S，T 并
SUT {x | x S x T}
交
SI T {x | x S x T}
从集S到集T的全域关系
ST
空关系
集S上的恒等关系
IS ={ x, x | x S}
关系的表示
关系矩阵 关系图
R ST
R SS=S2
关系的运算
定义域（前域）、值域、域
设R是由A到B的一个二元关系，则 dom(R) = {x|存在y∈B，使得<x,y>∈R}称为R的定义域； ran(R) = {y|存在x ∈A，使得<x,y>∈R}称为R的值域； FLD(R) = dom(R) ∪ran(R)称为R的域。
概述
数理逻辑的含义
用数学的方法研究逻辑问题
逻辑的核心内容
推理理论：本书仅仅研究演绎（有效）推理
演绎推理
前提与结论存在可推导性关系 由前提的真，可得结论的真
前提 结论
前提 结论为永真式
怎样的前提和结论存在可推导性关系？
例子
✓ 所有3的倍数的数字之和是3的倍数。 ✓ 1010的数字之和不是3的倍数。 ➢ 1010不是3的倍数。
单射、满射、双射
设f为从A到B的一个单射，当且仅当对于任何x,y，若 f(x)=f(y)，则x=y。
扩展(n>2)
有序n元组
<a1, a2, …, an>=<< a1, a2, …, an-1 >, an >
n阶笛卡尔积
S1 S2 ...Sn { x1, x2,..., xn | x1 S1 x2 S2 ... xn Sn}
关系
R是从集S到集T的一个二元关系 iff R是集S上的一个二元关系 iff 几个特殊关系
集合&元素 序偶&笛卡尔积 关系
✓ 映射 ✓ 等价关系 ✓ 相容关系 ✓ 序关系
集合&元素
若干事物组成的整体被称为集合，集合中的 每个事物被称为元素。
aA
元素a属于集合A，记a 为A iff (a A) 在确定性数学中， 集合的表示方法
枚举法 谓词法 归纳法
元素的一些说明
无序性
差&补
S-T {x | x S x T}
_
S E S {x | x S}
E为全
集
对S称T差 (S T) U(T S)
序偶&笛卡尔积
序偶
集合{a, {a, b}}称为元素a与b构成的序偶，简记为<a, b>。 <a, b> = <x, y> iff a=x且b=y
笛卡尔积
ST { x, y | x S y T}
课程的主要内容
经典逻辑
命题逻辑 谓词（一阶）逻辑
非经典逻辑
构造型逻辑 模态逻辑
集合论
19世纪下半叶，Cantor提出朴素集合论 1903年，Russel提出集合论悖论，产生数学
的第三次危机 1908年，Zermelo提出公理化集合论(ZF体系)
集合论
集合论是数学的基石 基本概念
映射
设f是由集A到集B的一个二元关系。若满足 (1)对于任何x,y,z，若<x,y>∈f且<x,z>∈f，则y=z； (2)dom(f)=A。 则称f为从A到B的一个映射，记为f:A→B。若<x,y>∈f，
则称y为x的像，x为y的原像，记为y=f(x)。
运算
若f是由An到B的一个映射，则称f为A上的一个n元运算。
R在A上自反，iff 对于任何x ∈A，xRx。
对称
R在A上对称，iff 对于任何x ,y∈A，若xRy，则yRx。
传递
R在A上传递，iff 对于任何x ,y,z∈A，若xRy且yRz，则xRz。
反自反 反对称
等价关系
等价关系
若R在A上自反、对称、传递，则称R为A上的一个等价关系。 等价类
推理方法（演算）
历史
公元前3世纪，Aristotle创立了逻 辑学。
数理逻辑是数学的基础问题。 17世纪，Leibniz提出建立形式语
言、推理方法的思想，以解决数 学证明等问题的一致性问题。 1847年，Bool发表了《逻辑的数 学分析》，建立了布尔代数，初 步创建了符号系统。 1887年，Frege出版了《数论基 础》，成功的实现了Leibniz的思 想。
{a, b} = {b, a}
可区分
{a, b} = {a, a, b}
或具体或抽象
{1, 2, &, *, 天津大学, CMU}
或有联系或无联系 特别的，集合的元素可以是一个集合
{{1, 2}, 1, 2}
集合悖论
Russel（理发师）悖论 某城市中有一位理发师，他的招牌是这样写 的：“本人将为本城所有不给自己刮脸的人 刮脸，且只给这些人刮脸。” 这位理发师能不能给他自己刮脸呢？ 如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己 刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他 给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的 人”，他就不该给自己刮脸。