数理逻辑
数学的数理逻辑
数学的数理逻辑数理逻辑是数学中研究符号表达式或语言的规则和性质的学科，也称数理基础。
可以说，数理逻辑是数学的根基，没有它，就没有现代数学的发展和成就。
数理逻辑的研究对象是符号逻辑和模型论。
符号逻辑是研究逻辑符号语言的学科，模型论是研究有限和无限结构的学科。
数理逻辑在数学、计算机科学和哲学中都有广泛的应用。
数理逻辑的发展历程可以追溯到二十世纪初。
在此之前，人们常常用自然语言表示数学思想，难以表达精确的概念和推理。
数理逻辑的出现，使得人们能够用形式化的语言来描述数学结构，实现了严格的证明和推断。
同时，数理逻辑也为计算机科学的发展提供了基础。
数理逻辑中最为基本的概念是命题和命题连接词。
命题是不能被真假二选一的陈述句，例如“1+1=2”、“地球是圆的”等等，而“明天会下雨”、“他很高”则不是命题。
命题连接词是将两个或多个命题结合在一起的词，例如“否定”、“合取”、“析取”等等。
其中，“否定”将原命题的真假取反，如“不是所有人都喜欢运动”；“合取”表示两个或多个命题同时成立，如“他喜欢打篮球且他喜欢游泳”；“析取”表示其中一个或多个命题成立，如“他喜欢打篮球或者他喜欢游泳”。
通过对命题和命题连接词的定义，我们可以将复杂的数学问题化简为简单的命题，进而实现推理、证明和计算。
另外，数理逻辑中也有基于公理系统和推理规则的证明方法。
在这种方法中，我们首先确认一组公理或者基本公理，在此基础上应用逻辑规则，逐步推导得出所需要的结论。
这种证明方法具有形式化精确、严谨可靠的特点。
假设我们需要证明一个命题P是真的，但是我们并不知道P是否真，于是我们构造一个新命题，假设它是假的，这个假设我们记作非P。
然后我们再次构造一个新的命题Q，它与非P等价，即非Q与P等价。
对于命题Q，我们可以再次构造一个新命题，也就是非Q，它与P等价。
如果我们能够证明非Q是假的，也就是证明了Q是真的，这意味着非P不成立，所以P必须是真的。
数理逻辑有着广泛而深刻的应用。
数理逻辑
1
0
然语言中的“非”、“不”等，
真值表如右图。
1.1 命题与联结词
合取词“∧”
合取词（Conjunction） P Q P ∧Q 是二元联结词。相当于自然 0 0 0 语言中的“与” 、“并且” 、 0 1 0
“而且” 、“也”等，真值表 1 0 0
如右图。
11 1
1.1 命题与联结词
析取词“∨” 析取词（Disjunction）
是二元联结词。相当于自然 语言中的“或”、“要么… 要么…”等，真值表如右图。
PQ 00 01 10 11
P∨Q 0 1 1 1
1.1 命题与联结词
蕴含词“”
蕴含词（Implication） P Q
是二元联结词。相当于自然 0 0
语言中的“若…则…”、“如果 0 1
…就…”、“只有…才…”， 1 0
数理逻辑的发展前期
(3)莱布尼兹(Leibniz, 1646~1716)完善三 段论，提出了建立数理逻辑或者说理性演 算的思想： 提出将推理的正确性化归于计算，这种演 算能使人们的推理不依赖于对推理过程中 的命题的含义内容的思考，将推理的规则 变为演算的规则。 使用一种符号语言来代替自然语言对演算 进行描述，将符号的形式和其含义分开。 使得演算从很大程度上取决与符号 的组合 规律，而与其含义无关。
第1章 命题逻辑
命题逻辑研究的是以原子命题为基本 单位的推理演算，其特征在于，研究和考 查逻辑形式时，我们把一个命题只分析到 其中所含的原子命题成分为止。通过这样 的分析可以显示出一些重要的逻辑形式， 这种形式和有关的逻辑规律就属于命题逻 辑。
第1章 命题逻辑
内容提要：
1. 命题逻辑的基本概念、命题联结词 2. 命题公式、自然语言的形式化 3. 命题公式的等值和蕴含 4. 范式 5. 联结词的完备集 6. 推理理论 7. 命题逻辑在计算机科学中的应用
数理逻辑教程
数理逻辑教程什么是数理逻辑？数理逻辑是一门研究逻辑思考和推理的学科，它在多个领域得到了广泛的应用，例如数学、哲学、科学和计算机科学。
它使用有关逻辑系统的基本概念和方法，帮助人们更有效地进行思考和沟通。
数理逻辑也是哲学家和非西方思想家们在持续不断地发展中研究的一项重要领域，其研究可以追溯到古老的印度、希腊和中国。
数理逻辑的基本内容包括：集合论、布尔逻辑、论证理论、递归理论、模型理论和相关的应用。
集合论是数理逻辑中最基本的知识，它涉及研究逻辑思维应该如何处理围绕一组对象的概念。
布尔逻辑是一种使用具体逻辑公式来描述逻辑命题的方法，它可以帮助人们更好地理解信息和进行推理。
论证理论涉及研究逻辑证明的不同方法，并使用它们来构建逻辑证明并思考不同的概念。
递归理论涉及使用递归函数来表示数学变量的概念，并分析和推导它们之间的关系。
模型理论涉及使用逻辑模型来描述现实世界的状况，以便更好地理解它。
另外，数理逻辑还可用于抽象思维，例如，它可以帮助人们在思考过程中形成更为清晰的思维原则和规则，从而更好地构建有条理的和符合逻辑的思考框架。
推理也是一个重要的组成部分，数理逻辑可以帮助人们更好地理解他们的推理，以及如何把他们的思考过程转换成有用的判断和决定。
借助数理逻辑，人们可以更好地探索不同类型和规模的问题，从而获得更多经验和理解。
随着社会日益发展，数理逻辑已经在数学、工程和计算机科学等技术领域得到了广泛应用。
它在软件工程中可以帮助我们更好地把握流程设计和软件行为，也可以更好地帮助我们理解机器如何处理信息。
数理逻辑应用于智能计算机，帮助计算机理解并处理信息和推理。
此外，数理逻辑在认知科学和人工智能领域也发挥了重要作用，使得计算机能够更好地理解有效的知识和推理技巧，以及在求解实际问题中的应用。
学习数理逻辑的最佳方式是熟悉各种逻辑概念和方法，并将其应用到实际问题中。
人们可以通过学习书籍和文章，或上网查找相关信息，从而掌握数理逻辑相关的概念和信息。
数理逻辑(Mathematical Logic)
数理逻辑（MathematicalLogic）数理逻辑(Mathematical logic)是用数学方法研究诸如推理的有效性、证明的真实性、数学的真理性和计算的可行性等这类现象中的逻辑问题的一门学问。
其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。
数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。
数理逻辑的研究范围是逻辑中可被数学模式化的部分。
以前称为符号逻辑（相对于哲学逻辑），又称元数学，后者的使用现已局限于证明论的某些方面。
历史背景“数理逻辑”的名称由皮亚诺首先给出，又称为符号逻辑。
数理逻辑在本质上依然是亚里士多德的逻辑学，但从记号学的观点来讲，它是用抽象代数来记述的。
某些哲学倾向浓厚的数学家对用符号或代数方法来处理形式逻辑作过一些尝试，比如说莱布尼兹和朗伯（Johann Heinrich Lambert）；但他们的工作鲜为人知，后继无人。
直到19世纪中叶，乔治·布尔和其后的奥古斯都·德·摩根才提出了一种处理逻辑问题的系统性的数学方法（当然不是定量性的）。
亚里士多德以来的传统逻辑得到改革和完成，由此也得到了研究数学基本概念的合适工具。
虽然这并不意味着1900年至1925年间的有关数学基础的争论已有了定论，但这“新”逻辑在很大程度上澄清了有关数学的哲学问题。
在整个20世纪里，逻辑中的大量工作已经集中于逻辑系统的形式化以及在研究逻辑系统的完全性和协调性的问题上。
本身这种逻辑系统的形式化的研究就是采用数学逻辑的方法.传统的逻辑研究（参见逻辑论题列表）较偏重于“论证的形式”，而当代数理逻辑的态度也许可以被总结为对于内容的组合研究。
它同时包括“语法”（例如，从一形式语言把一个文字串传送给一编译器程序，从而转写为机器指令）和“语义”（在模型论中构造特定模型或全部模型的集合）。
数理逻辑的重要著作有戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）的《概念文字》（Begriffsschrift）、伯特兰·罗素的《数学原理》（Principia Mathematica）等。
数学的数理逻辑
数学的数理逻辑数学是人类智慧的结晶，是一门令人又爱又恨的学科。
它的美妙之处不仅在于数学公式、定理的推导，更体现在数理逻辑的严密性和精确性上。
数理逻辑是数学的基石，通过逻辑推理和符号运算，帮助我们理解、表达并解决各种数学问题。
本文将深入探讨数学的数理逻辑及其应用。
一、数理逻辑的基础数理逻辑是研究命题、谓词和推理规则的学科，它通过严谨的符号化方法，纯粹地探讨命题之间的逻辑关系。
数理逻辑的基础是命题逻辑和谓词逻辑。
1. 命题逻辑命题逻辑是研究命题和推理规则的数理逻辑分支。
命题是陈述性句子，要么是真，要么是假。
通过逻辑操作符（如非、与、或、蕴含等），可以对命题进行组合，并推导出新的结论。
命题逻辑是数理逻辑的起点，为其他相关逻辑学科提供了坚实的理论基础。
2. 谓词逻辑谓词逻辑是研究谓词、量词和推理规则的数理逻辑分支。
谓词是陈述性函数，它包含变量和常量，并且可以是真或假的。
通过量词和逻辑操作符，可以对谓词进行组合，从而进行推理。
谓词逻辑拓展了命题逻辑的范畴，并能够更加准确地描述数学问题。
二、数理逻辑的应用数理逻辑在数学的各个领域中都有广泛的应用，从数论到代数、几何，甚至物理、计算机科学等。
1. 数论中的应用在数论中，数理逻辑帮助我们证明数学中的重要定理和猜想。
例如，费马大定理的证明就运用了数理逻辑的方法。
通过命题逻辑和谓词逻辑，可以推导出各种数论命题的真假，并最终得到定理的证明。
2. 代数和几何中的应用在代数和几何中，数理逻辑可以帮助我们构建严密的证明体系，推导各种重要结果。
对于代数方程式和几何问题，数理逻辑提供了切实可行的逻辑推理方法，使我们能够正确地解决问题。
3. 物理和计算机科学中的应用在物理学和计算机科学中，数理逻辑起到了重要的作用。
通过建立逻辑模型，可以对物理现象进行描述和解释。
在计算机科学中，数理逻辑是计算机程序设计和算法研究的基础，它帮助我们确保程序的正确性和有效性。
三、数理逻辑的重要性数理逻辑对于培养人们的逻辑思维能力和分析问题的能力起到了重要的作用。
数理逻辑
数理逻辑又称符号逻辑、理论逻辑。
它是数学的一个分支，是用数学方法研究逻辑或形式逻辑的学科。
其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。
数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。
虽然名称中有逻辑两字，但并不属于单纯逻辑学范畴。
所谓数学方法就是指数学采用的一般方法，包括使用符号和公式，已有的数学成果和方法，特别是使用形式的公理方法。
用数学的方法研究逻辑的系统思想一般追溯到莱布尼茨，他认为经典的传统逻辑必须改造和发展，是之更为精确和便于演算。
后人基本是沿着莱布尼茨的思想进行工作的。
简而言之，数理逻辑就是精确化、数学化的形式逻辑。
它是现代计算机技术的基础。
新的时代将是数学大发展的时代，而数理逻辑在其中将会起到很关键的作用。
逻辑是探索、阐述和确立有效推理原则的学科，最早由古希腊学者亚里士多德创建的。
用数学的方法研究关于推理、证明等问题的学科就叫做数理逻辑。
也叫做符号逻辑。
数理逻辑的产生利用计算的方法来代替人们思维中的逻辑推理过程，这种想法早在十七世纪就有人提出过。
莱布尼茨就曾经设想过能不能创造一种“通用的科学语言”，可以把推理过程象数学一样利用公式来进行计算，从而得出正确的结论。
由于当时的社会条件，他的想法并没有实现。
但是它的思想却是现代数理逻辑部分内容的萌芽，从这个意义上讲，莱布尼茨可以说是数理逻辑的先驱。
1847年，英国数学家布尔发表了《逻辑的数学分析》，建立了“布尔代数”，并创造一套符号系统，利用符号来表示逻辑中的各种概念。
布尔建立了一系列的运算法则，利用代数的方法研究逻辑问题，初步奠定了数理逻辑的基础。
十九世纪末二十世纪初，数理逻辑有了比较大的发展，1884年，德国数学家弗雷格出版了《数论的基础》一书，在书中引入量词的符号，使得数理逻辑的符号系统更加完备。
对建立这门学科做出贡献的，还有美国人皮尔斯，他也在著作中引入了逻辑符号。
从而使现代数理逻辑最基本的理论基础逐步形成，成为一门独立的学科。
(完整版)数理逻辑知识点总结
(完整版)数理逻辑知识点总结什么是数理逻辑？数理逻辑是一门研究命题、命题之间关系以及推理规律的学科。
它运用数学的方法来研究逻辑的基本概念和原理，用符号表示和描述逻辑概念，以及通过推理规则对命题进行推导。
命题与逻辑连接词1. 命题是陈述性语句，例如，“今天是晴天”。
在逻辑中，常用字母p、q、r等表示命题。
2. 逻辑连接词是用来构建复合命题的词语，例如，“与”、“或”、“非”等。
常用的逻辑连接词有：- “与”（合取）：表示两个命题同时为真；- “或”（析取）：表示两个命题中至少有一个为真；- “非”（否定）：表示对命题的否定。
命题逻辑的推理规则1. 合取分配律（并）：(p ∧ q) ∧ r = p ∧ (q ∧ r)2. 析取分配律（或）：(p ∨ q) ∨ r = p ∨ (q ∨ r)3. 合取律（并）：p ∧ p = p4. 析取律（或）：p ∨ p = p5. 否定律：¬(¬p) = p6. De Morgan定律：- ¬(p ∧ q) = ¬p ∨ ¬q- ¬(p ∨ q) = ¬p ∧ ¬q命题的等价性1. 蕴含：p → q 表示当p为真时，q也为真；2. 等价：p ↔ q 表示当p与q同时为真或同时为假时成立。
命题逻辑的证明方法1. 直接证明法：直接证明命题的真假；2. 反证法：假设命题为假，推导出矛盾，得出命题为真；3. 归谬法：假设命题为真，推导出矛盾，得出命题为假；4. 数学归纳法：通过证明基础情形和推导情形的真假来证明命题。
数理逻辑的应用数理逻辑在计算机科学、数学推理、形式语言学和人工智能等领域有广泛的应用。
它能够帮助我们分析问题、进行推理以及验证和证明复杂的命题。
在算法设计、数据库查询优化、自然语言处理等方面发挥着重要作用。
以上是关于数理逻辑的基本知识点总结，希望能对您有所帮助。
数理逻辑
§1.1.4.命题翻译
解： 1. 李明是计算机系的学生，他住在312室或313室。 首先用字母表示简单命题。 P:李明是计算机系的学生。 Q:李明住在312室。 R：李明住在313室。 该命题符号化为：P ∧ (Q ⊕ R) 2. 张三和李四是朋友. 该命题符号化为：P
§1.1.2.命题联结词
命题联结词在使用中的优先级
运算时联结词的优先次序由高到低为: ¬,∧,∨,→, ↔。 先括号内运算, 后括号外运算。 运算符合运算符的优先顺序。 联结词按从左到右的次序进行运算。 例 • ¬P∨(Q∨R)可省去括号, ∨运算是可结合的。 • ( ¬P∨Q)∨R 可省去括号。 • P→(Ｑ→Ｒ)中的括号不能省去，因为→不满足结合律。
§1.1.2.命题联结词
例1 P: 我拿起一本书 Q: 我一口气读完了这本书 P→Q: 如果我拿起一本书，则我一口气读完了这本书。
通常称为形式蕴含 即前提和结果有某种形式和内容上 形式蕴含, 形式蕴含 的联系。 例2 P: 月亮出来了 Q: 3×3=9 P → Q: 如果月亮出来了, 则3×3=9。 通常称为实质蕴含 实质蕴含,即前提和结果可以有联系，也可以没 实质蕴含 有联系，只要满足条件命题的定义。
定义 由真值表给出，如左图。
即：当且仅当Ｐ和Ｑ的真值均为Ｔ， 则（ＰΛＱ）的真值为“Ｔ”。否 则，其真值为Ｆ。 注意：Ｐ和Ｑ是互为独立的，地位 注意 是平等的，Ｐ和Ｑ的位置可以交换 而不会影响ＰΛＱ的结果。
P F/0 F/0 T/1 T/1
Q PΛ Q QΛP F/0 F/0 F/0 T/1 F/0 F/0 F/0 F/0 F/0 T/1 T/1 T/1
第一篇 数理逻辑
逻辑学：研究推理的科学。 逻辑学分为二类：
辩证逻辑：是研究事物发展的客观规律。 形式逻辑：对思维的形式结构和规律进行研究。
最新关于数理逻辑的解析
一、数理逻辑的起源与发展 二、数理逻辑的基本概念与原理 三、数理逻辑在数学中的应用 四、数理逻辑在其他领域的应用
一、数理逻辑的起源与发展
1. 古希腊的哲学思维
02
01
1. 古希腊哲学思维强调 理性和逻辑，追求真理和 智慧。
2. 古希腊哲学家如苏格拉 底、柏拉图和亚里士多德对 后世哲学产生了深远影响。
。
。
3. 模型论与数学结构
3. 模型论的方法和结果在数学的各个领域都有广泛的应用，
3
如代数、拓扑学、几何学等。
2 1
2. 在模型论中，我们通过建立数学结构的模型来理解和研究 这些结构的性质和特征。
1. 模型论是数理逻辑的一个重要分支，它研究数学结构的抽 象性质和结构之间的关系。
四、数理逻辑在其他领域的应用
03
3. 古希腊哲学思维注重人 类存在的意义和价值，探讨 伦理道德等问题。
2. 中世纪的逻辑学研究
01
1. 在中世纪，逻辑学的研究 主要集中在对亚里士多德的 演绎推理法的解读和推广。
02
2. 中世纪的逻辑学家们开 始尝试将逻辑学应用于法律 、神学等实际问题的解决中 。
03
3. 中世纪的逻辑学研究为后 来的哲学和科学发展提供了 重要的理论基础。
3. 近代数理逻辑的兴起
1. 近代数理逻辑的兴起标志着人类对逻辑思维的深入研究和探索，为现代 科学的发展提供了重要的理论基础。
01
2. 近代数理逻辑的兴起与笛卡尔、莱布尼茨等哲学家的贡献密不可分， 他们开创了符号逻辑的研究方法，推动了逻辑学的发展。
02
3. 近代数理逻辑的兴起使得逻辑学从传统的哲学领域独立出来，成为一门 独立的学科，为数学、计算机科学等领域的研究提供了重要的工具和方法 。
数理逻辑
9.1 命题
定义9.1命题：凡能分辨真、假的语句称命题。 定义 命题：凡能分辨真、假的语句称命题。 命题 定义9.2 原子命题：一命题凡不能分解为更简单的 原子命题： 定义 命题称原子命题或简称原子。 命题称原子命题或简称原子。 定义9.3命题常量 具有确定真值的命题，它可用T 命题常量： 定义 命题常量：具有确定真值的命题，它可用 表示， 或F表示，称命题常量或命题常元。 表示 称命题常量或命题常元。 定义9.4命题变量 命题变量： 为其变域的命题， 定义 命题变量：以 T，F为其变域的命题，并可 ， 为其变域的命题 用命题标识符表示之。称命题变量或称命题变元。 用命题标识符表示之。称命题变量或称命题变元。
第9章 命题逻辑 章
（3）自然语言中的联结词的衡量标准不完全是其真 值表； 值表 ； 但命题逻辑中的联结词的衡量标准则是真值 因此， 联结词的唯一衡量标准是其真值表， 表 。 因此 ， 联结词的唯一衡量标准是其真值表 ， 而 不是由自然语言的一些日常语义确定。 不是由自然语言的一些日常语义确定。
9.3 命题公式
2
第9章 命题逻辑 章
9.2命题联结词
定义9.5复合命题 ： 定义 复合命题： 由原子命题通过联结词所构成 复合命题 的命题称复合命题。 的命题称复合命题。 (1)否定 否定 否定联结词是一元联结词， 否定联结词是一元联结词，它的作用对象仅为一个 命题。 命题 。 否定联结词作用于一个命题后使该命题出现 相反的语义。 如有命题： 今天下雨， 相反的语义 。 如有命题 ： 今天下雨 ， 而加上否定联 结词后即成为：今天不下雨。 结词后即成为：今天不下雨。 在命题逻辑中将此联结词予以符号化， 在命题逻辑中将此联结词予以符号化，并建立符号 体系如下： 体系如下：
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课堂练习：将下列命题符号化
(1)每个母亲都爱自己的孩子； (2) 所有的人都呼吸； (3) 有某些实数是有理数.
2.2 谓词公式
谓词公式只是一个符号串，没有什么意义，但 我们给这个符号串一个解释，使它具有真值， 就变成一个命题. 所谓解释就是使公式中的每 一个变项都有个体域中的元素相对应. 学习这一部分内容要侧重于能将谓词逻辑公式 表达式中，消除量词写成与之等值的公式，然 后将解释中的数值代入，求出真值，并着重理 解在谓词和量词的作用下变元的自由性、约束 性和更名规则、代入规则等.
一般地，前束范式不是唯一地。
2.4 前束范式
谓词公式->前束范式
例子：P51 课堂练习：练习2.4（B）3
2.5 谓词逻辑地推理理论
谓词演算的推理是命题演算推理的推广 和扩充
命题演算中的一些规则，如基本等值公式， 重言蕴含式以及P，T，CP规则在谓词演算 中仍然使用.
2.5 谓词逻辑地推理理论
数理逻辑－谓词逻辑
教学要求
理解谓词、量词、变元、个体域等概念 掌握用谓词、量词、联结词构造谓词逻辑公 式的方法 掌握谓词公式在给定解释下求真值的方法 会将谓词逻辑化为前束公式 会将谓词逻辑作为工具，将命题符号化，并 能用推理规则进行逻辑证明。
2.1 谓词逻辑基本概念
个体词与谓词
在谓词演算推理中，某些前提和结论可能受到 量词的限制，为了使用这些推理，引入消去和 添加量词的规则，以便使谓词演算公式的推理 过程可类似于命题演算的推理进行
US规则(全称量词消去规则) UG规则(全称量词附加规则) ES规则(存在量词消去规则) EG规则(存在量词附加规则)等
2.5 谓词逻辑地推理理论
2.2 谓词公式
字母表的意义
个体常项：a,b,c,…a0,a1,a2,… 个体变项：x,y,z,…x0,x1,x2 ,… 函数符号：f,g,h,…f0,f1,f2 ,… 谓词符号：P,Q,R,…S0 ,S1,S2,… 量词符号：， 逻辑符号： ，，，，， 括号与逗号：(,)
例子：x(F(x)G(x))，x(F(x)G(x))， xy(F(x)F(y)L(x,y)H(x,y))等都是谓词公式.
2.2 谓词公式
变元与辖域
在谓词公式xA和xA中，x是指导变元，A 是相应量词的辖域. 在x和x的辖域A中，x的所有出现都是约 束出现，即x是约束变元，不是约束出现的 变元，就是自由变元. 也就是说，量词后面 的式子是辖域. 量词只对辖域内的同一变元 有效.
代入规则：
经过换名或代入后，公式的意义不应该改变
2.2 谓词公式
课堂练习
对P44 例1中公式用换名或代入规则 xA(x)A(a1)A(a2)A(an) xA(x) A(a1)A(a2)A(an)
重要公式
2.3 谓词的等值演算
解释(赋值)：
谓词公式的个体域D是非空集合
课堂练习
本章小结
本章重点：谓词与量词，公式与解释，前束范式，
谓词逻辑推理证明
主要概念：谓词 个体词 量词 变元前束范式 推理规
则
主要方法：推理规则（US规则 UG规则 ES规则 EG规则） 主要公式： (1)命题公式的推广；(2) 量词否定式的
等值式；(3) 量词辖域扩张和收缩的等值式；(4) 量词 与联结词，，的等值式；(5) 量词与联结词的重 言蕴含式；(6) 两个量词公式间的等值式与重言蕴含式
2.4 前束范式
每个谓词公式F都可以变换成与它等值的前束 范式. 其步骤如下：
① 消去联结词，，； ② 将联结词移至原子谓词公式之前； ③ 利用换名或代入规则使所有约束变元的符号均不 同，并且自由变元与约束变元的符号也不同； ④将x,x移至整个公式最左边； ⑤ 将公式化为前束范式。
在谓词逻辑中，原子命题分解成个体词和谓词 定义：个体词是可以独立存在的客体，它可以是具
体事物或抽象的概念 ；个体域是个体（客体）的取 值范围；谓词是用来刻划个体词的性质或事物之间 的关系的词
大写字母表示谓词，小写字母表示个体（客体） 注意：单独的个体词和谓词不能构成命题，将个体
词和谓词分开不是命题.
数理逻辑－谓词逻辑
教师：孙继荣 电话：87768609 Email:sunjr0@
数理逻辑－谓词逻辑
学习内容
谓词逻辑基本概念
谓词，个体词，命题函数 量词，自由变元和约束变元 谓词的合式公式，谓词的解释 自然语句的形式化
谓词逻辑的等值和推理演算
谓词逻辑的等值式 范式，基本推理公式 推理演算。
2.3 谓词的等值演算
谓词演算的等值式和重言蕴含式
(1)命题公式的推广； (2) 量词否定式的等值式； (3) 量词辖域扩张和收缩的等值式； (4) 量词与联结词，，的等值式； (5) 量词与联结词的重言蕴含式； (6) 两个量词公式间的等值式与重言蕴含式。
2.4 前束范式
求在解释I下各公式的真值.
(1) x( F(x)G(x,a)) (2) xy L(x,y)
2.3 谓词的等值演算
谓词公式分类
在任何解释下，谓词公式A取真值1，公式A 为逻辑有效式(永真式)； 在任何解释下谓词公式A取真值0，公式A为 永假式； 至少有一个解释是公式A取真值1，公式A称 为可满足式。
2.1 谓词逻辑基本概念
个体词与谓词
谓词也称为命题函数或简单命题函数 相关概念：零元谓词，n元谓词，全总个体域，复合命题
函数
命题是谓词的特殊情况
2.1 谓词逻辑基本概念
全称量词与存在量词
量词是在命题中表示数量的词 量词有两类：
全称量词，表示“所有的”，“任何的”，或 “每一个”； 存在量词，表示“存在某个”或“至少有一 个”.
2.2 谓词公式
变元与辖域
自由变元有时会在量词辖域中出现，但是它 不受相应量词指导变元的约束。 当谓词公式中没有自由变元时，它就是一个 命题。 出现n个自由变元就是n元谓词。 变元可以既是约束出现又是自由出现。 例子：P44
2.2 谓词公式
换名规则：
对约束变元进行换名 就是把公式中量词的指导变元及其该量词辖域中的 约束变元换成该公式中没有出现的个体变元，公式 的其余部分不变. 对自由变元进行代入 就是把公式中的某一自由变元，用该公式中没有出 现的个体变元符号替代，且要把该公式中所有的该 自由变元都换成新引入的该符号.
(1) 每一个常项指定D中一个元素； (2) 每一个n元函数指定Dn到D的一个函数； (3) 每一个n元谓词指定Dn到{0,1}的一个谓词.
解释就是对各个变项指定特殊的常项去代替， 有四部分组成：
(1) (2) (3) (4)
非空个体域D； D中有一部分特定元素，用来解释个体常项； D上一些特定函数，用来解释出现的函数变项； D上一些特定谓词，用来解释谓词变项。
2.3 谓词的等值演算
例子：P46
课堂练习：
给定解释I： ① D＝{2,3}; ② D中特定元素a=2； ③ 函数为 ④ 谓词F(x)为F(2)=0,F(3)=1 G(x,y)为G(2,2)=G(2,3)=G(3,2)=0,G(3,3)=1 L(x,y)为L(2,2)=L(3,3)=1,L(2,3)=L(3,2)=0
2.2 谓词公式
相关概念：
字母表 项：递归定义 P43 原子公式
2.2 谓词公式
合式公式
递归定义：P43
命题常数0，1，一个命题和命题变元以及一个命题 函数P(x1,x2,…,xn)，统称原子公式 由原子公式、联结词和量词可构成谓词公式(严格定 义见教材). 命题的符号化结果都是谓词公式。
命题符号化必须指明个体域
2.1 谓词逻辑基本概念
全称量词与存在量词
对于一个谓词，如果其中每个变量都有一个量词作 用之下，则它就不再是命题函数，而是一个命题了。 在谓词逻辑，使用量词应注意以下几点：
在不同个体域中，命题符号化的形式可能不同，命题的真 值也可能会改变。 在考虑命题符号化时，如果对个体域未作说明，一律使用 全个体域。 多个量词出现时，不能随意颠倒它们的顺序，否则可能会 改变命题的涵义。
前束范式 :
若一个谓词公式F等值地转化成 Q1x1Q2x2 …QkxkB,那么就是F的前束范式， 其中Qi只能是量词或，而x1,x2,…,xk是个 体变元，B是不含量词的谓词公式. 量词均在全式的开头，其作用域延伸到整个 公式的末尾
2.4 前束范式
前束范式的重要性质
性质1：P49 性质2：P50 证明忽略