2.数理逻辑12
形式逻辑和数理逻辑
形式逻辑和数理逻辑形式逻辑和数理逻辑是两个重要的逻辑学分支，它们分别研究的是逻辑推理的形式和基于数学语言的逻辑推理。
本文将分别介绍形式逻辑和数理逻辑的基本概念、原理及应用。
形式逻辑是逻辑学的一个重要分支，主要研究逻辑推理的形式和结构。
它关注的是逻辑推理的规则和方法，而不涉及具体内容。
形式逻辑的基本概念包括命题、命题连接词和命题推理。
命题是陈述性语句，可以是真或假；命题连接词用于连接命题，包括与、或、非等；命题推理是根据逻辑规则进行的推理过程，通过推理可以得出新的命题。
形式逻辑的原理可以归纳为三大法则：排中律、非矛盾律和排中律。
排中律指的是一个命题要么为真，要么为假；非矛盾律指的是一个命题和其否定命题不能同时为真；排中律指的是一个命题和其否定命题必定其中之一为真。
形式逻辑的应用广泛，可以用于描述和分析各种逻辑问题，如证明、推理和辩论等。
数理逻辑是基于数学语言的逻辑学分支，它将逻辑推理转化为符号和公式的形式，通过数学方法来研究逻辑问题。
数理逻辑的基本概念包括命题逻辑、谓词逻辑和集合论。
命题逻辑研究的是命题和命题之间的关系；谓词逻辑研究的是谓词和变量之间的关系；集合论研究的是集合和元素之间的关系。
数理逻辑的原理主要包括命题和谓词的形式化、公理系统和推理规则。
命题和谓词的形式化是将自然语言中的命题和谓词转化为符号和公式；公理系统是一组基本命题或公理，用于构建逻辑系统；推理规则是根据公理和已有命题推导出新命题的规则。
数理逻辑广泛应用于数学、计算机科学、人工智能等领域，在证明、推理和计算机程序设计等方面发挥着重要作用。
形式逻辑和数理逻辑在逻辑推理领域起着重要作用。
形式逻辑研究逻辑推理的形式和结构，强调逻辑规则和方法的运用；数理逻辑将逻辑推理转化为符号和公式的形式，通过数学方法来研究逻辑问题。
两者相辅相成，共同推动了逻辑学的发展和应用。
这两个分支的研究成果不仅在学术界有着重要地位，也在实际生活和各个领域中发挥着重要作用。
逻辑学经典书籍
逻辑学经典书籍摘要：1.逻辑学简介2.逻辑学经典书籍的分类3.代表性逻辑学经典书籍介绍3.1《形式逻辑》3.2《逻辑学导论》3.3《逻辑思维》3.4《数理逻辑》3.5《论证逻辑》4.阅读逻辑学经典书籍的意义正文：逻辑学是一门研究推理规律和思维规律的学科，它旨在帮助人们提高思维品质、培养良好的推理能力。
逻辑学经典书籍是学习和研究逻辑学的基石，它们为我们提供了丰富的理论知识、方法和实例。
下面，我们将对一些具有代表性的逻辑学经典书籍进行简要介绍。
1.逻辑学简介逻辑学可以分为形式逻辑、数理逻辑、论证逻辑等多个分支。
形式逻辑主要研究推理的形式，探讨概念、判断和推理的基本规律；数理逻辑则运用符号和数学方法研究逻辑结构；论证逻辑关注论证的构建、分析和评估。
2.逻辑学经典书籍的分类逻辑学经典书籍可以分为以下几类：形式逻辑、逻辑学导论、逻辑思维、数理逻辑和论证逻辑。
这些书籍在内容、深度和广度上各有侧重，适合不同层次的读者。
3.代表性逻辑学经典书籍介绍3.1《形式逻辑》《形式逻辑》是关于推理形式和规律的研究，是逻辑学的基础理论。
本书通过阐述概念、判断和推理的基本概念，以及推理的基本规律，为读者打下扎实的逻辑学基础。
3.2《逻辑学导论》《逻辑学导论》是一本引导读者进入逻辑学领域的入门书籍，它简要介绍了逻辑学的基本概念、历史发展和主要分支。
本书适合初学者入门学习，帮助读者了解逻辑学的基本内容和研究方向。
3.3《逻辑思维》《逻辑思维》旨在培养读者的逻辑思维能力，通过丰富的实例分析、练习和测试，使读者掌握逻辑思维的基本方法和技巧。
本书适合希望提高逻辑思维能力的读者。
3.4《数理逻辑》《数理逻辑》是一本关于符号逻辑和数学逻辑的书籍，它运用符号和数学方法研究逻辑结构和推理规律。
本书适合对数理逻辑有兴趣的读者深入学习。
3.5《论证逻辑》《论证逻辑》主要研究论证的构建、分析和评估，它通过阐述论证的基本概念、结构和评估方法，帮助读者学会分析、评估和构建有效的论证。
面向计算机科学的数理逻辑答案
A|=|A’矛盾，同理可证¬A’|=¬A,所以式子得证。 （ⅱ）先证 A∧B|=A’∧B’ v v 假 设 存 在 一 组 赋 值 使 得 (A ∧ B) =1,(A’ ∧ B) =0’, 可 得 AV=1,BV=1,(A’)V=0 或(B’)V=0 或二者都为零， 这与 A|=|A’， B|=|B’矛盾， 即式子成立，同理可证， A’∧B’ |=A∧B。 （ⅲ）先证 A∨B|=A’∨B’ 假 设 存 在 一 组 赋 值 使 得 (A ∨ B)V=1,(A’ ∨ B’)V=0, 可 得 (A’)V=0,(B’)V=0,(A)v=1 或(B)v=1 或二者都为 1，这与 A|=|A’， B|=|B’ 矛盾，即式子得证，同理可证 A’∨B’|= A∨B。 （ⅳ）先证 A→B|=A’→B’ 假 设 存 在 一 组 赋 值 使 得 （ A → B ） V=1,(A’ → B’)V=0 ， 可 得 v v V V v (A’) =1,(B’) =0, 由 A|=|A’， B|=|B’可得，A =1,B =0,即(A→B) =0,这 与（A→B）V=1 矛盾，即式子得证。同理可证，A’→B’|=A →B (ⅴ)先证 A↔B|=A’ ↔B’ 假 设 存 在 一 组 赋 值 使 得 (A↔B)V=1,(A’↔B’)V=0, 可 得 AV=1,BV=1 或 V (A’)v=1,(B’)v=0 或(A’)v=0,(B’)v=1, 这与 A|=|A’，B|=|B’ A =0,BV=0， 矛盾，所以式子成立。同理可证 A’↔B’|=A↔B。 习题 2.5.3（未布置） (1) 假设存在一组赋值， 使得¬(A∧B) V=1， 而(¬A∨¬B) V=0,可得¬A V =0， ¬B V=0 V V V 即 A =1，B =1，代入¬(A∧B) =0，与假设矛盾，则¬(A∧B)|= ¬A∨¬B。 再假设存在一组赋值，使得(¬A∨¬B) V=1。¬(A∧B) V=0，则(A∧B) V=1， V V V 得 A =0，B =0。代入(¬A∨¬B) =1，矛盾，则¬A∨¬B|=¬(A∧B)。 所以¬(A∧B)|=| ¬A∨¬B。 (2) 假设存在一组赋值，使得¬(A∨B) V =1，(¬A∧¬B) V =0，得到¬A V =0， V V V V V V V ¬B =0，或者¬A =1，¬B =0，或者¬A =0，¬B =1，即 A =1，B =1，或者 A V =0，B V =1，或者 A V =1，B V =0，代入¬(A∨B) V =0，矛 盾，则¬(A∨B) |=¬A∧¬B。 再假设 (¬A∧¬B) V =1，¬(A∨B) V =0，得到 A V=1，BV=1。 ，代入(¬A∧¬B) V =0。矛盾，即¬A∧¬B |= ¬(A∨B)。 因此¬(A∧B)|=| ¬A∨¬B。 2.5.4 (3)构造真假赋值 A V =1，BV=0， C V=0，则((A→C) ∧(B→C)) V=0,(A∧B→C) V =1,命题得证。 (4)构造真假赋值 A V =1，BV=0， C V=0,则(A∨B→C) V =0, ((A→C) ∨(B→C)) V =1 定理 2.6.4 （i）A->B,A|-A->B (∈) A->B,A|-A (∈) A->B,A|-B (-> -) (ii)A,B|-A (∈)
小学生智力题经典题目及答案
小学生智力题经典题目及答案小学一年级问题：如果1=5，2=15，3=45，4=55，则5=小学三年级问题：这辆公共汽车，有A和B两个汽车站。
问：公共汽车现在是要驶往A车站，还是驶往B车站为什么请问这辆汽车是停在了几号车位为什么小学六年级问题：琳达，31岁，单身，一位直率又聪明的女士，主修哲学。
在学生时代，她就对歧视问题和社会公正问题较为关心，还参加了反战游行。
请根据以上的描述，你觉得琳达最可能是哪个职业A，琳达是银行出纳。
B，琳达是银行出纳，还积极参加女权运动。
有没有想到答案好的，我还是来公布一下正确答案~1：5=12：根据汽车门在背面，得出汽车驶向A地3：87号屏幕倒过来就知道了4：琳达最可能是A银行出纳。
选项A完全覆盖了选项B。
根据相似性法则：人们会依据相似性的程度来代替可能性因为我们首先可以感觉到，琳达很像是积极参与女权运动的，所以会比较倾向于选B，而忽略了B是A的一部分这种事实。
不要因为上面几道智力题的对错而对自己的能力产生怀疑，这是是几道逻辑及观察力方面的测试题，也许逻辑方面不是你的强项，这几道题目的分数并不能你的智力水平。
同理的，当我们的孩子在某些科目上没有取得好成绩，我们也不应对他们过分的批评，甚至怀疑孩子的智商。
美国著名心理学家加德纳认为过去对智力的定义过于狭窄，未能正确反映一个人的真实能力，仅用智力测验及考试成绩就对孩子的智力下了结论太过于片面。
于是他提出了智力的多元理论：认为人类的智能至少可以分成八个范畴(后来增加至九个)，八种智能并不是绝对孤立、毫不相干的，而是以不同方式、不同程度有机地组合在一起。
正是这八种智能在每个人身上以不同方式、不同程度组合，使得每一个人的智能各具特点。
1.语言智力：指有效地利用口头或书面语言的能力。
这种智力在主持人、记者等职业中有着突出的表现。
2.数理逻辑智力：从事与数字有关工作的人特别需要这种有效运用数字和推理的智能。
这种智力在程序员、大学教授等职业中有着突出表现。
数理逻辑中的二阶逻辑与高阶逻辑
数理逻辑中的二阶逻辑与高阶逻辑二阶逻辑和高阶逻辑是数理逻辑中的重要概念。
它们在逻辑学和计算机科学中有广泛应用，并对推理和形式证明的研究产生了深远影响。
本文将介绍二阶逻辑和高阶逻辑的基本概念、特点以及在实际应用中的一些重要作用。
一、二阶逻辑的基本概念和特点二阶逻辑是指在逻辑系统中引入了量化二阶变量和二阶量词的逻辑体系。
相对于一阶逻辑，二阶逻辑具有更强的表达能力和描述能力。
在二阶逻辑中，可以量化一阶谓词变量，即可以描述关于一阶谓词的性质和关系。
这为解决一些复杂问题提供了便利。
二阶逻辑的特点包括以下几个方面：1.二阶量词：二阶逻辑中引入了二阶量词，它可以量化一阶谓词变量，从而表达更复杂的命题和关系。
2.表达能力：相对于一阶逻辑，二阶逻辑具有更强的表达能力，可以描述更复杂的关系和性质。
3.形式化语义：二阶逻辑的形式化语义研究更加复杂，需要引入更多的概念和方法，如拟态逻辑、模型论等。
二、高阶逻辑的基本概念和特点高阶逻辑是指在逻辑系统中引入了更高阶的量词和变量的逻辑体系。
相对于二阶逻辑，高阶逻辑具有更强的表达能力和描述能力。
在高阶逻辑中，可以量化谓词变量的谓词变量，即可以描述关于谓词的性质和关系。
高阶逻辑的特点包括以下几个方面：1.高阶量词：高阶逻辑中引入了高阶量词，它可以量化谓词变量，从而表达更复杂的命题和关系。
2.表达能力：相对于二阶逻辑，高阶逻辑具有更强的表达能力，可以描述更复杂的关系和性质。
3.形式化语义：高阶逻辑的形式化语义更加复杂，需要引入更多的概念和方法，如模型论、类型论等。
三、二阶逻辑与高阶逻辑在实际应用中的作用二阶逻辑和高阶逻辑在逻辑学和计算机科学中有着广泛应用。
它们对于推理、形式化验证和智能系统的研究产生了重要影响。
1.推理和证明：二阶逻辑和高阶逻辑可以用于形式化推理和证明的过程。
通过引入量化变量和量词，可以更准确地描述和推理关于谓词的性质和关系，从而提高推理和证明的精确性和效率。
2.形式化验证：在计算机科学中，二阶逻辑和高阶逻辑在形式化验证中发挥着重要作用。
数理逻辑基础
数理逻辑基础数理逻辑基础是一门涉及数学、逻辑和计算机科学的十分深奥的学科。
它主要研究的是思维、语言及其表示的形式，并以此作为计算机操作的基础。
数理逻辑的内容包括数学逻辑学、模型论、形式语言学等等。
它是计算机科学和编程语言，以及依据编程语言运行的程序之间的桥梁。
数理逻辑基础以数学逻辑为核心，针对抽象数学理论开发工具以及方法，旨在探索概念的含义及它们之间的关系。
数学逻辑中的理论概念多源自经典数学理论、抽象数学理论，如集合理论、函数理论等等。
这些概念的研究，以及它们的关系和应用，是数理逻辑的主要内容。
数理逻辑也包括模型论，这一研究领域涉及抽象数学对象及其特征、属性和行为，以及它们之间的关系。
模型论可以帮助我们理解一个专业知识领域之外的知识，从而更有效地解决相关问题。
模型论可以让我们更容易理解一个知识体系中的概念和它们之间的关系，这有助于我们更加清晰的看到整个知识体系的结构，从而更好的建立更加有效的解决问题的方法。
此外，数理逻辑也涉及形式语言学，这是一门复杂的学科，研究的主要内容是符号的表示形式、推理、证明等等。
形式语言学的研究是从另一种角度来分析数学符号语言，从而研究和分析由此产生的语言形式及其表述方式。
形式语言学也包括对符号语言使用的方法和技术的分析，以便于我们在复杂知识环境中更加准确的推理和证明。
数理逻辑的研究有助于我们分析一个问题，找出其中的逻辑性以及与其他概念之间的关系，最终以更恰当的形式表达出来。
此外，它也有助于我们建立更加有效率的处理知识的方式，从而更容易理解相关问题并作出准确的决策。
总之，数理逻辑基础是计算机科学及程序设计语言这一领域极其重要的一门学科，为计算机技术领域的发展打下了重要的基础。
【高职高考】【代数】第二章集合和简易逻
第二章 集合和简易逻辑【学习内容】 1.集合及其运算 2.数理逻辑用语【学习要求】1.理解集合、元素及其关系，理解空集的概念.2.掌握集合的表示法及子集、真子集、相等之间的关系.3.理解交集、并集和补集等运算4.了解充要条件的含义§2.1 集合一、集合的基本概念1.集合及其有关基本概念集合：把一些确定的对象看成一个整体就形成了一个集合.一般用大写字母,,A B C L 表示. 2.元素：集合里的各个对象叫做集合的元素，一般用小写字母,,a b c L 表示. 3.元素与集合的关系: 对于一个给定的集合，它和它的元素之间的关系是整体和个体的关系，即集合包含它的每一个元素;它的每一个元素都包含在集合中.于是把a 是集合A 的元素，记作a A ∈，读作“a 属于A ”；把a 不是集合A 的元素，记作a A ∉，读作“a 不属于A ”. 4.有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集 空集：不含任何元素的集合叫做空集.记作∅ 5.常见的几种数集自然数集：全体自然数的集合叫做自然数集，通常记作N整数集：全体整数的集合叫做整数集，通常记作Z （全体正整数的集合通常记作*N 或N +） 有理数集：全体有理数的集合叫做有理数集，通常记作Q 实数集：全体实数的集合叫做实数集.通常记作R区间的概念设a b 、是两个实数，并且a b <，那么：用不等式a x b <<表示的实数x 的集合叫做开区间，表示为(,)a b ； 用不等式a x b ≤≤表示的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[,]a b ；用不等式a x b ≤<，a x b <≤表示的实数x 的集合都叫做半开半闭区间，分别表示为[,),(,]a b a b .特别地，全体实数的集合R 表示为(,)-∞+∞，“+∞”读作正无穷大，“-∞”读作负无穷大不等式x a >可表示为(,)a +∞，不等式x a ≥可表示为[,)a +∞ 不等式x b <可表示为(,)b -∞，不等式x b ≤可表示为(,]b -∞不等式的解集和函数的定义域、值域等，也可以用区间表示.二、集合的表示法1）列举法把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法，如{1,2,3,4,5}注意：用列举法表示集合时，列出的元素要求不遗漏、不增加、不重复，但与元素的列出顺序无关. 2）描述法把集合中的元素的共同属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法，如{|2}x x > 一般先在大括号内左端写出元素的一般形式（常用字母x 、y 等表示），然后画一条竖线，在竖线右边列出集合的元素的公共属性注意：用描述法表示集合时，有时可省去竖线及元素的一般形式.如“所有三角形”组成的集合可写成{三角形}3）图示法有时也可以用圆圈或方框表示集合（如图）三、集合与集合的关系1.子集对于两个集合A 与B ,如果集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，那么集合B 叫做集合A 的子集，记作B A ⊆或A B ⊇，读作B 包含于A ,或A 包含B . 子集的性质：1） 任何一个集合A 是它本身的子集：A A ⊆,因为集合A 的任何一个元素都是属于集合A本身；2） 空集是任何一个集合A 的子集：A ∅⊆；3） 对于集合A B C 、、如果,A B B C ⊆⊆,则A C ⊆ 2.真子集如果集合B 是集合A 的子集，并且A 中至少有一个元素不属于B ，那么集合B 叫做集合A的真子集，记作B ≠⊂A 或A ≠⊂B 真子集的性质：1）空集是任何一个非空集合A 的真子集，即∅≠⊂A2）对于集合A B C 、、如果A ≠⊂B ,B ≠⊂C ,则A ≠⊂C常见的几种数集的关系：N ≠⊂Z ,Z ≠⊂Q ,Q ≠⊂R3.集合相等对于两个集合A 与B ,如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么就说集合A 与集合B 相等，记作A B =,事实上，当A 与B 所含元素完全相同时，集合A 与B 相等. 例如若2{1,1},{|10}A B x x =-=-=，则A B =例1用适当的符号（,,,,∈∉=⊆⊇≠⊂，≠⊃）填空（1）{1}_______{1,2,3}; （2）1_______{1,2,3}; （3）0_______∅; （4）0_______{0}; （5）{1,2,3}_______{2,1,3}; （6）{,}a b _______{};a解析：,∈∉是用来表示元素与集合之间的关系的，,,=⊆⊇≠⊂，≠⊃是用来表示集合与集合之间的关系的.（1）{1}与{1,2,3};都是集合，集合{1}的元素1属于集合{1,2,3}，但集合{1,2,3}里的元素2,3不属于集合{1}，集合{1}是集合{1,2,3}的真子集，应填≠⊂.（2）1是元素，{1,2,3}是集合，且1是集合{1,2,3}里的元素.所以应填∈ （3）0是元素，∅是集合，且∅不含任何元素，所以0不属于∅.应填∉A（4）元素0是集合{0}的元素，所以0属于集合{0}.应填∈（5）集合{1,2,3}与集合{2,1,3}的元素相同，所以集合{1,2,3}与集合{2,1,3}相等，应填= （6）集合{}a 是集合{,}a b 的真子集，应填≠⊃.四、集合的运算1. 交集由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A B ,读作A 交B ，即{|}A B x x A x B =∈∈且 交集的性质 1）A A A = 2) A ∅=∅ 3) A B B A =2. 并集由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A B ,读作A 并B ，即{|}A B x x A x B =∈∈或 并集的性质 1）A A A = 2) A A ∅=3) A B B A =3. 全集与补集全集在研究某些集合与集合之间的关系时，如果这些集合都是某一给定集合的子集，则这个给定的集合叫做全集，用符号U 表示.这就是说，全集含有所要研究的各个集合的全部元素. 全集是相对于所讨论的问题而言的，一个集合在一定条件下是全集，在另一条件下就可能不是全集 补集如果已知集合A 是全集U 的一个子集，由U 中不属于A 的元素构成的集合，叫做集合A 在全集U 中的补集，记作：U A ð,读作A 在U 中的补集，简读作A 的补集.即 {|}U A x x U x A=∈∉且ðA B A B I A BA B U AU A ð例2设{}{},,,,,,M a b c d N a b c M N M N ==求 解析：{}{},,,,,MN a b c d MN a b c ==例3设{}{}1,0,1,21,2,3,M N MN MN =-=求解析：{}{}1,0,1,2,31,2MN MN =-=例4设集合{}{}3,1,M x x N x x =≥-=≤ 则MN =（ ）A.RB. (,3][1,)-∞-+∞C. []3,1- D. ∅ 解析：{|31}MN x x =-≤≤，即[]3,1-选 C例5设集合{1,2,3,4}A =，{|13}B x x =-<<，则A B =（ ）A. {0,1,2}B. {1,2}C. {1,2,3}D. {1,0,1,2}- 解析：集合A 与集合B 的公共有两个元素1,2,所以AB ={1,2}选B历年试题（2012年试题）设集合{135}{125},M N ==，，，，，则M N =（ ） A. {135}，， B. {125}，， C. {1,235}，， D. {15}，解析：{1,235}M N =，， 选C（2011年试题）设集合{|||2}{3,1},M x x N ===-，则M N =（ ）A.∅B.{3,2,1}--C. {3,1,2}-D.{3,2,1,2}--解析：由||2x =知2x =±，因此，{}{|||2}2,2M x x ===- 所以，{3,2,1,2}M N =-- 选D（2010年试题）设集合{1,1}{1,3},M N =-=-，则M N =（ ）A.{1,1}-B.{1,3}-C.{1}-D.{1,1,3}-（2009年试题）设集合{2,3,4},{2,4,5},M N MN ===则（ ）A.{2,3,4,5}B.{2,4}C.{3}D.{5} 解析：{2,3,4,5}M N =选A（2008年试题）设集合{}{}1,1,2,3,3,A B x x =-=<则AB =（ ）A.(1,1)-B.{1,1}-C. {1,1,2}-D. {1,1,2,3}-解析：{1,1,2}A B =-选C专项练习一、选择题1.设集合{}{}1,2,3,1,3,5,M N == 则MN =（ ）A.∅B.{}1,3C.{}5D.{}1,2,3,5 2.设集合{}{}0,1,2,3,4,5,0,2,4,6,M N == 则MN =（ ）A.{}0,1,2,3,4,5,6B.{}1,3,5C.{}0,2,4D.∅3.设集合{}{}2,4,6,1,2,3,A B == 则A B =（ ）A.{}4B.{}1,2,3,4,6C.{}2,4,6,D.{}1,2,3 4.下面给出的表示法中正确的是（ ）A.{}00⊆B.0∈∅C.{}00∈D.{}0=∅ 5.已知集合{}{1,2,3,4},4,3,2M N ==,那么集合M 与集合N 满足的关系是（ ） A.M N N = B. M N M =C. MN N = D. ()MN N M =6.全集{1,2,3,4},{1,3}U A ==，则U C A =（ ）A.{1,2}B.{1,3}C.{2,4}D.{2,3} 7.集合{|1}A x x =≥，集合{|1}B x x =≤，则AB =（ ）A.1B.{1}C.∅D.R 8.集合{|14},{|05}A x x B x x =-≤≤=≤≤，则AB =（ ）A.{|15}x x -≤≤B.{|10}x x -≤≤C.{|04}x x ≤≤D.{|45}x x ≤≤9.设{|||1,},{1,}M x x x Z N x x Z =<∈=<∈，则M N =（ ）A ．{1} B.{0} C.∅ D.{1,0} 10.由全体偶数所组成的集合是（ ）A.{|2,}m m k k N =∈B. {|2,}m m k k Z =∈C. {|2,4,6,}m m =±±± D. {|2,}m m k k Z =+∈11.由坐标平面内不在坐标轴上的点所组成的集合是（ ） A.{}(,)|0x y xy ≠ B. {}(,)|0x y x ≠ C. {}(,)|0x y y ≠ D. {}(,)|0x y xy = 12.已知集合{1,2,3,,},{3,5,6,}A a b B c ==，且{3,5,},AB a A B =={1,2,3,4,,6},b 则,,a b c 分别为（ ）A.4,5,4B.4,4,5C.5,5,4D.5,4,5 二、填空题13.设集合{|4},{|5}A x x B x x =≥=<，则A B =14.全集{,,,,,},{,,},{,,}U U a b c d e f C A a b c B d e f ===，则U AC B = ，U A B ð= .15.已知集合{1,2,3,4,5},{1,3,5},{0,1,2,3,4,5,6}A A B A B ===I U 则集合B = 16.A A =U A A I = A ∅I = A ∅U = 17.设{|0},{|0}M x x N x x =≥=<,则M N =I M N =U 18.设集合{,,,},{,,,}M a b c d N c b e f ==则()M N M =I U()M N N =U I三、解答题19.设{|2},{|3}A x x B x x =>-=≥求,A B A B I U20.2{4,21,},{5,1,9},{9}A a a B a a A B =--=--=I ,求a 的值21.已知{|15},{|0}A x x B x x a =-<<=->，若A B =∅I ，求a22.已知集合{,},{,,}A a b A B a b c ==U 求符合条件的集合B 的个数§2.2 简易逻辑一个数学命题都有条件和结论两部分.如果把条件和结论分别用A B 、表示，那么命题可以写成“如果A 成立，那么B 成立”，或简写为“若A 则B ”充分条件如果A 成立，那么B 成立，即A B ⇒,这时我们说条件A 是B 成立的充分条件.必要条件如果B 成立，那么A 成立，即B A ⇒,这时我们说条件A 是B 成立的必要条件.充分必要条件如果A 既是B 成立的充分条件，又是B 成立的必要条件，即A B ⇒,又B A ⇒,这时我们说条件A 是B 成立的充分必要条件，简称充要条件.判定充分条件，必要条件，充分必要条件的方法是： 若A B ⇒,但B /⇒A 就称A 是B 的充分条件，称B 是A 的必要条件. 若A B ⇔就称A 是B 的充分必要条件，或称B 是A 的充分必要条件.例1设命题甲：1x =;命题乙：20x x -=则A.甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件B.甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件C.甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件D.甲是乙的充分必要条件解析：由1x =⇒20x x -=，即由1x =一定能推出20x x -=，但20x x -=/⇒1x =，即由20x x -=得1x =或1x =-，不能由20x x -=一定推出1x =，所以1x =是20x x -=的充分条件，或20x x -=是1x =的必要条件. 应选B例2设命题甲：1k =命题乙：直线y kx =与直线1y x =+平行则 A.甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件 B.甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件 C.甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 D.甲是乙的充分必要条件解析:由1k =得直线y kx =的斜率为1，直线1y x =+的斜率也是1，但两直线截距不同，所以两直线平行，即甲⇒乙由直线y kx =与直线1y x =+平行，得1k =，即乙⇒甲，所以甲⇔乙 应选D例3设甲：1x =，乙：2320x x -+= 则A.甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件B.甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件C.甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件D.甲是乙的充分必要条件解析:由1x =⇒2320x x -+=，但2320x x -+=/⇒1x = 即甲⇒乙，但乙/⇒甲，所以甲是乙的充分条件，乙是甲的必要条件选B.甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件 例4设甲：2x π=，乙：sin 1x =则A.甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件B.甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件C.甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件D. 甲是乙的充分必要条件 解析：甲⇒乙，但乙/⇒甲选A.甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条 例5设,a b 为实数，则22a b >的充分必要条件().A. ||||a b >B. a b >C. a b <D. a b >- 解析：22a b >⇔||||a b >，所以选A例6若,x y 为实数.设甲：220x y +=;乙：0x =且0y =则A.甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件B.甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件C.甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件D.甲是乙的充分必要条件解析：由220x y +=可得到0x =且0y =，由0x =且0y =可得220x y += 选D 甲是乙的充分必要条件历年试题（2012年试题）“21x =”是“1x =”的（ ）A.充分必要条件B.充分非必要条件C.非充分非必要条件D.必要非充分条件解析：由1x =一定可得21x =，但21x =则1x =或1x =-， 21x =/⇒1x =所以，“21x =”是“1x =”的必要非充分条件 选D（2011年试题）“7x =”是“7x ≤”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分，也非必要条件 解析：由7x =⇒7x ≤，但7x ≤/⇒7x = 所以“7x =”是“7x ≤”的充分非必要条件 选A（2010年试题）“2a >且2b >”是“4a b +>”的（ ）A. 必要非充分条件B. 充分非必要条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件 解析：2a >且2b >⇒4a b +>但4a b +>/⇒2a >且2b >，所以“2a >且2b >”是“4a b +>”的充分非必要条件 选B（2009年试题）设,,a b c 均为实数，则“a b >” “a c b c +>+”的 （ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分也非必要条件 解析：a b >⇒a c b c +>+，同时，a c b c +>+⇒a b >所以，a b >是a c b c +>+的充分必要条件 选C（2008年试题）,x R ∈“3x <”是“3x <”的 （ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 即不必要也不充分条件D. 必要不充分条件 解析:3x < ⇒3x <,但3x </⇒3x <， 所以，3x <是3x <必要不充分条件 选D专项练习一、选择题1.对于任意的a 、b 、,c a b ac bc >>是的（ ）A.充分条件B.必要条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件2.a b >是22a b >的（ ）A.充分条件B.必要条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件 3.x y =是||||x y =的（ ）A.充分条件B.必要条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件 4.240x -=是20x -=的（ ）A.充分条件B.必要条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件 5.22(1)0x y +-=是(1)0x y -=的（ ）A.充分条件B.必要条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件 6. 设甲：x 是2的倍数，乙：x 是4的倍数，则甲是乙的（ ）A.充分条件B.必要条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件 7.3x =是3x ≤的（ ）A.充分条件B.必要条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件8.1x <是||1x <的（ ）A.充分条件B.必要条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件 9.设甲：0b =，乙：y kx b =+的图象过原点，则甲是乙的（ ）A.充分条件B.必要条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件 10. 在ABC V 中，sin sin A B <是A B <的（ ）A.充分条件B.必要条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件二、填空题(填充分条件、必要条件、充分必要条件) 11.m 是有理数是m 是实数的___________12.一元二次方程根的判别式为零，是这个一元二次方程有两个相等的实根的___________ 13.,A B 全不为零是0Ax By C ++=为直线方程的___________ 14.甲：x 是6的倍数，乙：x 是2的倍数；则甲是乙的___________ 15. 甲：2x >，乙：||2x >；则乙是甲的___________。
数理逻辑复习题
数理逻辑复习题⼀、选择题1、永真式的否定是（2）(1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满⾜式 (4) (1)--(3)均有可能2、设P ：2×2=5，Q ：雪是⿊的，R ：2×4=8，S ：太阳从东⽅升起，则下列真命题为(1) (1)R Q P ∧→ (2)S P R ∧→ (3)R Q S ∧→ (4) )()(S Q R P ∧∨∧。
3、设P ：我听课，Q ：我看⼩说，则命题R “我不能⼀边听课，⼀边看⼩说”的符号化为⑵⑴ P Q →⑵Q P ?→(3) Q P →? ⑷ P Q ?→?()P Q ?∧提⽰：()R P Q P Q ??∧?→?4、下列表达式错误的有⑷⑴()P P Q P ∨∧? ⑵()P P Q P ∧∨?⑶()P P Q P Q ∨?∧?∨⑷()P P Q P Q ∧?∨?∨ 5、下列表达式正确的有⑷⑴ P P Q ?∧⑵ P Q P ?∨⑶ ()Q P Q →⑷Q Q P →?)( 6、下列联接词运算不可交换的是(3)⑴∧⑵∨ (3)→⑷ ? 6、设D ：全总个体域，F （x ）：x 是花，M(x) ：x 是⼈，H(x,y)：x 喜欢y ，则命题“有的⼈喜欢所有的花”的逻辑符号化为⑷⑴(()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→⑵(()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→(3) (()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→⑷(()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→7、设L(x)：x 是演员，J(x)：x 是⽼师，A(x , y)：x 钦佩y ，命题“所有演员都钦佩某些⽼师”的逻辑符号化为⑵⑴)),()((y x A x L x →? ⑵))),()(()((y x A y J y x L x ∧?→? (3) )),()()((y x A y J x L y x ∧∧?? ⑷)),()()((y x A y J x L y x →∧??8、谓词公式)())()((x Q y yR x P x →?∨?中的 x 是⑶⑴⾃由变元⑵约束变元⑶既是⾃由变元⼜是约束变元⑷既不是⾃由变元⼜不是约束变元 9、下列表达式错误的有⑴⑴(()())()()x A x B x xA x xB x ?∨??∨? ⑵(()())()()x A x B x xA x xB x ?∧??∧? (3) (()())()()x A x B x xA x xB x ?∧??∧? ⑷(()())()()xA xB x xA x xB x ?∨??∨? 10、下列推导错在⑶①)(y x y x >?? P②)(y z y >? US ①③)(z C z >ES ②④)(x x x >? UG ③⑴②⑵③⑶④⑷⽆ 11、下列推理步骤错在⑶①(,)x yF x y ?? P②),(y z yF ? US ①③),(c z F ES ②④),(c x xF ?UG ③⑤),(y x xF y ?? EG ④⑴①→②⑵②→③⑶③→④⑷④→⑤12、设个体域为{a,b}，则(),x yR x y ??去掉量词后，可表⽰为⑷⑴()()()(),,,,R a a R a b R b a R b b ∧∧∧⑵()()()(),,,,R a a R a b R b a R b b ∨∨∨(3) ()()()()()()b b R a b R b a R a a R ,,,,∨∧∨⑷()()()()()()b b R a b R b a R a a R ,,,,∨∧∨提⽰：原式()()()()()()()() ,,,,,,yR a y yR b y R a a R a b R b a R b b ??∧??∨∧∨⼆、填充题1、⼀个命题含有n 个原⼦命题，则对其所有可能赋值有2n 种。
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该蕴含式的主析取范式中含精有品课4件个极小项，因而是重言式。10
为了更好地判断推理的正确性，引入构造 证明的方法。
在数理逻辑中，证明是一个描述推理过程 的命题公式序列，其中的每个命题公式或者是已 知的前提，或者是由某些前提应用推理规则得到 的结论。其中有些规则建立在推理定律（重言蕴 涵式）的基础之上。
记I=<A(I),E(I),AX(I),R(I)>, 其中<A(I),E(I)>是 I 的 形式语言系统, <AX(I),R(I)> 是 I 的形式演算系统.
自然推理系统: 无公理, 即AX(I)=
公理推理系统 推出的结论是系统中的重言式, 称作定理
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自然推理系统P
定义3.3 自然推理系统 P 定义如下:
第三章 命题逻辑的推理理论
主要内容: 推理的形式结构 推理的正确与错误 判断推理正确的方法 推理定律
自然推理系统P
形式系统的定义与分类
自然推理系统P 在P中构造证明:直接证明法、附加前提证明法、归谬法
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1
推理理论 数理逻辑的主要任务是借助于数 学的方法来研究推理的逻辑。
推理是从前题推出结论的思维过
((p→﹁q)∧p)→﹁q
((﹁p∨﹁q)∧p)→﹁q
﹁((﹁p ∨﹁q)∧p)∨﹁q
﹁(﹁p ∨﹁q)∨﹁p∨﹁q
﹁(﹁p∨﹁q)∨(﹁p∨﹁
q)
1
该蕴含式是重言精式品课，件 所以推理正确。
9
（3）主析取范式法
((p→﹁q)∧p)→﹁q ((﹁p∨﹁q)∧p)→﹁q ﹁((﹁p∨﹁q)∧p)∨﹁q ﹁(﹁p∨﹁q)∨﹁p∨﹁q (p∧q)∨(﹁p∧(q∨﹁q))∨(﹁q∧(p∨﹁p)) (p∧q)∨(﹁p∧q)∨(﹁p∧﹁q))∨(﹁q∧p)
用等值演算法
(pq)pq ((pq)p)q pqq 1
由定理3.1可知推理正确
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推理实例
(2) 推理的形式结构:(pq)qp
用主析取范式法
(pq)qp (pq)qp ((pq)q)p qp (pq)(pq) (pq)(pq) m0m2m3 结果不含m1, 故01是成假赋值，所以推理不正
重要的9条推理定律：附加、化简、假言推 理、拒取式、析取三段论、假言三段论、等价三 段论、构造性二难、 破坏性二难。
除此之外，每个等精品值课件式均产生两条推理定 11 律。
推理定律——重言蕴涵式
1. A (AB)
附加律
2. (AB) A
化简律
3. (AB)A B
假言推理
4. (AB)B A
A
B
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∴AB
16
在自然推理系统P中构造证明
设前提A1, A2,, Ak,结论B及公式序列C1, C2,, Cl. 如果
每
一个Ci(1il)是某个Aj, 或者可由序列中前面的公式应用
推理
确
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例2
判断下列推理是否正确：如果天气凉快，小王
就不去游泳，天气凉快，所以小王没去游泳。
解这类推理问题，应先将命题符号化，然后写 出前提、结论和推理的形式结构，最后进行判断。
设p：天气凉快；q：小王去游泳。
前提：p→﹁q, p。结论：﹁q。
推理的形式结构： ((p→﹁q )∧p)→﹁q 。
(5) 附加规则
AB A
∴B (6) 化简规则
A ∴AB
(7) 拒取式规则
AB ∴A
AB B ∴A
(8) 假言三段论规则
(9) 析取三段论规则
AB
AB
BC
B
∴AC
∴A
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推理规则
(10) 构造性二难推理规则 AB
CD
AC ∴BD
(11) 破坏性二难推理规则
AB
CD
BD
∴AC
(12) 合取引入规则
下面分别用三种方法来判断该蕴含式是否为重言式。
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（1）真值表法
((p→﹁q)∧p)→﹁q (*)的真值表
p q ﹁q p→﹁q
(p→﹁q)∧p (*)
00 1
1
0
1
01 0
1
0
1
10 1
1
1
1
11 0
0
0
1
真值表的最后一列全为1，因而（*）是重言式，
所以推理正确。
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（2）等值演算法
程，前提是已知的命题公式，结论是从前
题出发应用推理规则推出的命题公式。
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3.1 推理的形式结构
定义3.1 设A1, A2, …, Ak, B为命题公式. 若对于每组赋
值，
A1A2… Ak 为假，或当A1A2…Ak为真时，B也为真， 则称由前提A1, A2, …, Ak推出结论B的推理是有效的或正确 的, 并称B是有效结论. 定理3.1 由命题公式A1, A2, …, Ak 推B的推理正确当且仅
当
A1A2…AkB为重言式
注意: 推理正确不能保证结论一定正确
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推理的形式结构
推理的形式结构
1. {A1, A2, …, Ak} B 若推理正确, 记为{A1,A2,,An} B
2. A1A2…AkB 若推理正确, 记为A1 A2 … Ak B
3. 前提： A1, A2, … , Ak 结论： B
判断推理是否正确的方法:
真值表法
等值演算法
主析取范式法
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推理实例
例1 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是1号，则明天是5号. 今天是1号. 所以, 明天
是5号. (2) 若今天是1号，则明天是5号. 明天是5号. 所以, 今天
解 是设1号p.：今天是1号，q：明天是5号. (1) 推理的形式结构: (pq)pq
拒取式
5. (AB)B A
析取三段论
6. (AB)(BC) (AC)
假言三段论
7. (AB)(BC) (AC)
等价三段论
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8. (AB)(CD)(AC) (BD)
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构造
3.2 自然推理系统P
定义3.2 一个形式系统 I 由下面四个部分组成： (1) 非空的字母表，记作 A(I). (2) A(I) 中符号构造的合式公式集，记作 E(I). (3) E(I) 中一些特殊的公式组成的公理集，记作 AX(I). (4) 推理规则集，记作 R(I).
1. 字母表
(1) 命题变项符号：p, q, r, …, pi, qi, ri, …
(2) 联结词符号：, , , , (3) 括号与逗号：(, ), ， 2. 合式公式（同前） 3. 推理规则 (1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则
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推理规则
(4) 假言推理规则