数理逻辑的发展及未来趋向
三到六岁儿童的数理逻辑能力如何发展
三到六岁儿童的数理逻辑能力如何发展对于三到六岁的儿童来说，数理逻辑能力的发展是他们认知世界、探索未知的重要基石。
这一阶段的发展不仅为未来的学业打下基础，更对他们的思维方式、解决问题的能力产生深远影响。
首先，我们要明白什么是数理逻辑能力。
简单来说，它包括对数字的理解与运用、形状和空间的认知、排序和分类的能力、逻辑推理以及简单的数学运算等方面。
在三到四岁这个阶段，孩子们开始对数量有初步的概念。
他们能通过数数来认识物体的数量，但可能还不太能理解数与量的对应关系。
比如，当你问他们“三个苹果和五个苹果哪个多”时，他们可能还无法准确回答。
此时，可以通过日常生活中的游戏来帮助他们建立这种概念。
比如，和孩子一起玩分糖果的游戏，让他们把一定数量的糖果分给家人，在这个过程中，孩子会逐渐明白数量的多少。
形状和空间的认知也是这一阶段发展的重点。
孩子们会开始认识圆形、方形、三角形等基本形状，并能区分上下、前后、左右等空间方位。
家长可以在与孩子的交流中，有意识地使用这些词汇，比如“把玩具放在桌子上面”“宝宝站在妈妈前面”等，帮助他们加深理解。
排序和分类能力在这个时期也开始萌芽。
孩子们能够根据物体的颜色、大小等特征进行简单的分类。
例如，把红色的积木放在一起，蓝色的积木放在一起。
家长可以提供一些不同颜色、大小、形状的玩具或物品，让孩子自己尝试分类，培养他们的观察和思考能力。
进入四岁到五岁，孩子们对数字的理解会更深入。
他们能够理解数的顺序和大小，知道 5 比 3 大，并且能够进行简单的 10 以内的加减法运算。
当然，这不是通过死记硬背，而是在实际的情境中体会和学习。
比如，一家人一起吃水果，数一数有几个苹果，吃了几个，还剩下几个，通过这样的方式让孩子在轻松愉快的氛围中学习数学。
这个阶段的孩子对形状和空间的认知也会更丰富。
他们能理解不同形状的组合和变换，比如两个三角形可以拼成一个正方形。
同时，他们能更准确地描述物体的位置和方向，理解远近、高低等概念。
数的发展与未来了解数学的发展趋势和未来应用领域
数的发展与未来了解数学的发展趋势和未来应用领域数的发展与未来数学是一门古老而神秘的学科，通过数学的研究可以揭示世界的规律，解决生活中复杂的问题。
随着科技的进步和社会的发展，数学也在不断地发展与演变。
本文将探讨数的发展趋势以及未来的应用领域。
一、数学的发展趋势1. 抽象与推理能力的提升数学的核心是抽象和推理。
随着数学研究的深入，数学家们不断发展出新的数学理论和工具，使我们能更好地理解世界的现象和问题。
近年来，随着计算机科学的快速发展，数学与计算机科学的交叉融合，推动了数学在抽象和推理能力方面的进一步提升。
2. 数据科学的崛起数据科学是近年来兴起的一门学科，它涉及到统计学、机器学习、人工智能等多个领域。
数据科学的发展促进了数学与实际应用的结合。
数学在数据科学中发挥着重要的作用，通过数学模型和算法，可以从大量的数据中提取有用的信息和知识，帮助人们做出更准确的决策。
3. 数学与自然科学的融合数学与自然科学一直是相互交融的，数学方法和理论在物理学、化学、生物学等自然科学中得到广泛应用。
例如，微积分在物理学中的应用使得人们能够更好地理解和描述自然界中的变化和规律。
随着科学的进步，数学与自然科学的融合将更加紧密，推动科学的发展。
二、数学的未来应用领域1. 量子计算量子计算是近年来备受关注的领域，它利用量子力学的原理来进行计算。
与传统计算机相比，量子计算机具有更强大的运算能力和解决复杂问题的能力。
数学在量子计算领域发挥着重要作用，例如在量子算法的设计和分析中，数学方法的应用将促进量子计算的发展。
2. 人工智能人工智能是当前科技领域的热点之一，它涉及到模式识别、机器学习、深度学习等多个领域。
数学在人工智能中扮演着重要的角色，例如在神经网络算法中，数学的优化方法可以提高算法的效率和准确性。
随着人工智能技术的不断发展，数学将继续在这一领域发挥重要作用。
3. 金融与经济领域随着全球金融市场的不断发展，金融与经济领域对数学的需求也越来越大。
对数理逻辑部分目前在国内外应用的认识及今后的发展趋势
对数理逻辑部分目前在国内外应用的认识及今后的发展趋势数理逻辑是研究形式化语言和推理的一门学科。
它包括了命题逻辑、谓词逻辑、模型论、证明论等多个分支。
数理逻辑在计算机科学、哲学、数学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍数理逻辑部分目前在国内外应用的认识及今后的发展趋势。
一、国内外数理逻辑应用的认识1.国内随着计算机技术的飞速发展，数理逻辑在国内得到了越来越广泛的应用。
其中，计算机科学和人工智能是最主要的领域之一。
（1）计算机科学在计算机科学中，数理逻辑主要被用于设计和验证程序。
特别是在软件工程领域，形式化方法已经成为了大型软件系统开发中不可或缺的一部分。
（2）人工智能在人工智能领域，数理逻辑则被广泛应用于知识表示和推理。
例如，基于语义网络和谓词演算等方法进行知识表示和推理，在自然语言处理、专家系统等方面都有广泛应用。
2.国外（1）计算机科学在国外，数理逻辑在计算机科学中的应用也非常广泛。
其中，形式化方法被广泛应用于软件工程、硬件验证等领域。
另外，在人工智能领域，数理逻辑也被广泛应用于知识表示和推理。
（2）哲学在哲学领域，数理逻辑主要被用于逻辑分析和形式化证明。
例如，在伦理学、认知科学等方面都有广泛应用。
二、数理逻辑未来的发展趋势1. 自动化推理技术的进一步发展自动化推理技术是指利用计算机进行自动推理的方法。
随着计算机性能的不断提高和算法的不断优化，自动化推理技术将会得到更加广泛的应用。
2. 计算机科学中形式化方法的普及形式化方法是指利用严格的数学语言来描述和证明程序正确性的方法。
随着软件规模越来越大，程序正确性变得越来越重要，形式化方法将会得到更加广泛的应用。
3. 数字信任技术的发展数字信任技术是指利用密码学和数论等方法来保证信息安全和数据完整性的技术。
随着互联网的快速发展，数字信任技术将会得到更加广泛的应用。
4. 人工智能领域的深入研究人工智能领域是数理逻辑应用最为广泛的领域之一。
未来，随着深度学习、自然语言处理等技术的不断发展，人工智能将会得到更加广泛和深入的应用。
数理逻辑的大发展
数理逻辑的大发展第一篇：数理逻辑的大发展数理逻辑的大发展1930年以后，数学逻辑开始成为一个专门学科，得到了蓬勃发展。
哥德尔的两个定理证明之后，希尔伯特的有限主义纲领行不通，证明论出现新的情况，主要有两方面：通过放宽有限主义的限制来证明算术无矛盾性以及把证明形式化、标准化，这些主要是在三十年代完成。
同时哥德尔引进递归函数，发展成递归论的新分支，开始研究判定问题。
而哥德尔本人转向公理集合论的研究，从此出现公理集合论的黄金时代。
五十年代模型论应运而生，它与数学有着密切联系，并逐步产生积极的作用。
1、证明论证明论又称元数学，它研究数学的最基本活动—证明的合理性问题。
研究这类数学基础的问题原来一直是哲学家的事，后来才成为数学家的事。
这个转变发生在1893年弗雷格发表《算术基础规则》之时，后来希尔伯特和他的许多合作者使这种思想发展成一门学科—元数学，目的是用数学方法来研究整个数学理论。
要使数学理论成为一个合适的研究对象，就必须使之形式化。
自从希尔伯特和阿克曼所著《理论逻辑纲要》第一版在1928年出版以来，在实践中用得最多的是具有等式的一阶谓词演算(以及高阶谓词演算)。
许多理论可以用一阶理论来表述，它比较简单方便，具有多种形式。
从基础的观点来看，有两个理论最为重要，因而研究也最多。
这两个理论就是形式化的皮亚诺算术理论与形式化的集合论。
因为大多数观代数学理论都可以在这两个理论范围内发展，所以这两个理论的合理性如果得到证实，也就是向数学的可靠性迈进了一大步。
“希尔伯特计划”无非就是要找到一个有限的证明步骤来证明算术的无矛盾性。
这里“有限”的意义是由法国年轻数学家厄布朗明确提出的，他认为下列条件必须满足：必须只讨论确定的有限数目的对象及函数；这些对象及函数要能确定它们的真值产生协调一致的计算结果；一个对象如不指出如何构造它就不能肯定其存在；必须永远不考虑一个无穷集体中所有对象的集合；一个定理对于一组对象都成立的意思是，对于每个特殊的对象，可以重复所讲的普遍论证，而这普遍论证只能看成是结果特殊论证的原型。
对数理逻辑部分目前在国内外应用的认识及今后的发展趋势
对数理逻辑部分目前在国内外应用的认识及今后的发展趋势一、引言数理逻辑是一门研究符号与推理的学科，它在数学、哲学、计算机科学等领域具有广泛的应用。
本文将从国内外的角度出发，对数理逻辑在不同领域的应用进行认识和分析，并展望未来的发展趋势。
二、数理逻辑在计算机科学中的应用2.1 逻辑推理•数理逻辑为计算机科学提供了一种形式化的推理方法，能够确保推理过程的正确性和可靠性。
•逻辑编程语言如Prolog等基于数理逻辑的形式化推理，被广泛应用于人工智能、自然语言处理等领域。
2.2 程序验证•数理逻辑提供了形式化的方法来验证程序的正确性，如模型检测、定理证明等。
•在软件工程中，数理逻辑被用于验证关键系统的正确性，提高软件的可靠性和安全性。
2.3 数据库系统•数理逻辑在数据库系统中被用于查询语言的设计和优化，如关系数据库的关系代数和关系演算。
•数理逻辑还可以用于数据库的一致性和完整性约束的表示和检查。
三、数理逻辑在哲学中的应用3.1 知识表示与推理•数理逻辑提供了一种形式化的方法来表示和推理知识，为哲学研究提供了工具。
•基于数理逻辑的知识表示方法如描述逻辑和模态逻辑，被应用于语义网、人工智能等领域。
3.2 语义和形式语言•数理逻辑研究语义和形式语言的基本结构和关系，对语言学和哲学的研究有重要意义。
•逻辑语义学和形式语言理论为语义分析和语言理解提供了理论基础。
3.3 哲学逻辑•数理逻辑在哲学逻辑中扮演着重要的角色，帮助理清思维的逻辑结构和推理规则。
•数理逻辑为哲学问题的形式化表示和分析提供了方法和工具。
四、数理逻辑在数学中的应用4.1 公理化方法•数理逻辑为数学提供了公理化方法，将数学理论建立在严格的逻辑基础上。
•公理化方法使得数学系统更加严密和可靠，避免了悖论和矛盾。
4.2 集合论与模型论•数理逻辑的集合论和模型论研究为数学提供了强有力的工具和语言。
•集合论和模型论在数学的各个领域中有广泛的应用，如代数、拓扑、数论等。
数理逻辑的发展历史和应用
数理逻辑的发展历史和应用数理逻辑是一门研究推理、证明和计算的学科，它通过规定符号和公理系统来描述和分析自然和人工推理过程的规则。
数理逻辑的发展历史可以追溯到古希腊的亚里士多德逻辑，但其现代形式的基础是在19世纪末和20世纪初奠定的。
以下将对数理逻辑的发展历史和应用进行探讨。
1.古希腊的亚里士多德逻辑：亚里士多德逻辑是对自然推理进行形式化的第一个尝试。
他提出了命题逻辑中的“陈述”和“推理”的概念，并发展了一套符号系统来描述和分析逻辑关系。
2. 19世纪的布尔代数和形式逻辑：19世纪逻辑学家乔治·布尔开创了布尔代数，将逻辑符号化为真假值（0和1）。
同时，数学家戈特洛布·弗雷格和乔治·康托尔等人发展了形式逻辑，将逻辑推理的证明过程形式化。
3. 20世纪初的数学逻辑：20世纪初，一些数学家开始将逻辑作为数学的一部分来研究，奠定了数学逻辑的基础。
在这个过程中，罗素和怀特海等人提出了一套符号系统，称为“类型理论”，以解决数学中的自我指涉问题。
4. 20世纪中叶的模型论：模型论是数理逻辑的一个重要分支，它研究了语言和结构之间的关系。
模型论的发展使得可以对逻辑语句进行语义解释，从而使得逻辑符号有了更具体的意义。
5. 20世纪后期的计算逻辑：计算逻辑是一门研究计算过程和计算机科学中的逻辑的学科。
在20世纪后期，随着计算机的发展和应用，计算逻辑得到了快速发展。
一些计算机科学家和数学家提出了一些逻辑系统，如命题逻辑、一阶谓词逻辑、模态逻辑等，用于描述和分析计算过程。
除了数理逻辑的发展历史，数理逻辑在许多领域中都有重要的应用。
1.计算机科学：数理逻辑为计算机科学的算法和程序设计提供了基础。
通过使用逻辑语言和逻辑推理，可以对计算过程进行形式化描述和分析，并证明算法的正确性。
2.。
数理逻辑与形式逻辑的发展历程与趋势
数理逻辑与形式逻辑的发展历程与趋势数理逻辑和形式逻辑是现代逻辑学的两个重要分支，它们在逻辑学的发展历程中起到了重要的作用。
本文将从数理逻辑和形式逻辑的起源、发展历程以及未来的趋势等方面进行探讨。
数理逻辑作为一门研究形式推理的学科，其起源可以追溯到古希腊时期的亚里士多德逻辑。
亚里士多德逻辑是一种基于语义的逻辑体系，主要研究命题和谓词的逻辑关系。
然而，随着数学的发展，人们开始对形式推理进行形式化的研究。
19世纪末，数学家弗雷格提出了一种基于数学符号的形式逻辑系统，这标志着数理逻辑的诞生。
随后，罗素和怀特海等数学家对数理逻辑进行了深入研究，发展了一阶谓词逻辑和二阶谓词逻辑等形式系统。
这些形式系统为数理逻辑的进一步发展奠定了基础。
形式逻辑作为一门研究逻辑形式的学科，其起源可以追溯到古希腊时期的柏拉图和亚里士多德。
柏拉图提出了一种基于思维形式的理念论，而亚里士多德则提出了一套基于分类的逻辑系统。
然而，形式逻辑的发展在古希腊时期并不是主流，直到19世纪末，德国哲学家康德提出了一种基于判断形式的形式逻辑，形式逻辑才开始引起人们的重视。
随后，德国哲学家赫尔德等人对形式逻辑进行了深入研究，发展了命题逻辑和谓词逻辑等形式系统。
这些形式系统为形式逻辑的进一步发展奠定了基础。
数理逻辑和形式逻辑在20世纪逻辑学的发展中发挥了重要作用。
20世纪初，数理逻辑和形式逻辑开始逐渐融合，形成了现代逻辑学的主要分支。
数理逻辑通过形式化的方法研究逻辑问题，使逻辑学成为一门精确的科学。
形式逻辑通过研究逻辑形式和推理规则，为逻辑学提供了更加严密的基础。
数理逻辑和形式逻辑的融合使得逻辑学在数学、计算机科学和哲学等领域发挥了重要作用。
未来，数理逻辑和形式逻辑的发展趋势将更加多样化和综合化。
随着人工智能和大数据技术的发展，逻辑推理在人工智能领域的应用将变得越来越广泛。
数理逻辑和形式逻辑将与人工智能技术相结合，推动逻辑学在人工智能领域的发展。
另外，随着计算机科学的发展，形式逻辑的自动化推理技术将得到进一步提升，为逻辑学研究提供更多的工具和方法。
逻辑学发展现状及未来趋势分析
逻辑学发展现状及未来趋势分析逻辑学是一门研究思维规律和推理方法的学科，它在古代哲学发展中扮演着重要的角色。
本文将探讨逻辑学的发展现状以及未来的趋势。
首先，我们来分析逻辑学的发展现状。
逻辑学最早可以追溯到古希腊时期，由亚里士多德进行了系统整理和定义。
然而，随着时间的推移，逻辑学的研究逐渐分化为不同的学派和分支。
例如，形式逻辑、经验逻辑、模态逻辑等，每个学派都关注不同的问题和方法。
在现代，逻辑学得到了广泛的应用和发展。
逻辑学不仅在哲学领域有重要地位，同时也在数学、计算机科学、语言学、法律等领域发挥着重要的作用。
例如，形式逻辑为计算机科学的发展提供了基础，模态逻辑为法律的推理和规则制定提供了指导。
然而，尽管逻辑学在人类知识体系中的地位得到了广泛认可，但它也面临着一些挑战。
首先，逻辑学的应用范围仍然有限。
尽管逻辑学有助于推理和辨证，但在处理复杂和模糊的现实问题时存在局限性。
逻辑学无法完全捕捉到人类思维的多样性和灵活性。
其次，由于逻辑学的基础和核心概念是在古代形成的，它与现代科学和技术的发展存在一定脱节。
逻辑学需要与其他学科进行密切的交叉合作，以应对现代世界的复杂性和变化。
例如，逻辑学与计算机科学的结合可以为人工智能和机器学习提供更强大的支持。
接下来，让我们展望逻辑学的未来趋势。
随着科技的飞速发展，特别是人工智能的兴起，逻辑学将发挥更加重要的作用。
人工智能的核心是模拟人类智能，而逻辑学正是研究和理解人类思维和推理的学科之一。
逻辑学将为人工智能提供基础理论和方法，促进其在各个领域的应用。
另外，逻辑学的研究也将更加关注非经典逻辑。
非经典逻辑是传统形式逻辑之外的一种逻辑体系，它能够处理更加复杂的现实问题。
例如，模糊逻辑可以处理模糊和不确定的信息，而多值逻辑可以处理多种取值情况。
非经典逻辑的发展将有助于逻辑学在现实世界中的应用更加广泛。
此外，逻辑学作为一门跨学科的学科，也将加强与其他学科的合作。
逻辑学与计算机科学、心理学、神经科学等学科的交叉研究将为逻辑学的发展提供新的思路和方法。
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安庆师范学院学报 ( 社会科学版 )
2010 年
义。作为前一阶段研究主题的进一步深化 , 相应 地, 数理逻辑的研究重心逐渐由构造演算的形式 化系统转换到研究形式系统本身, 将形式系统作 为数理逻辑研究的客体 , 回答形式系统的一致性 和完备性问题。这种研究属于对形式系统的元逻 辑、 元数学层面探讨。 在元逻辑方面 , 数理逻辑学家们先对命题演 算系统的一致性问题做了肯定性回答, 1921 年波 斯特证明了命题演算的完全性。而哥德尔的 逻 辑谓词演算公理的完备性 一文的发表标志谓词 演算完全性证明的完成。1928 年希尔伯特和阿 克曼在 理论逻辑基础 一书中将狭谓词演算从逻 辑演算中分离出来并证明了其一致性。总之 , 在 对形式系统的元逻辑追问中, 逻辑系统的一致性 和完备性在古典演算 部分得到证明。在此基础 上, 逻辑学家用古典演算的元逻辑方法来处理非 古典逻辑 , 在逻辑演算方向上取得很大进展。主 要有两条进路: 一是增加逻辑常项或赋予古典逻 辑的常项以不同解释 , 同时减少或增加一些基本 公理 , 在构造逻辑、 多值逻辑等非古典的纯逻辑理 论上获得突破。二是建立各种不同的应用逻辑体 系, 如认知逻辑、 道义逻辑、 算法逻辑等等, 主要做 法是在古典逻辑以外增加一些非逻辑的常项和公 理 。这两条进路不断丰富着数理逻辑的演算系 统。 在元数学方面 , 对形式化数学公理系统的元 数学追问深化了关于 数学基础问题 的研究。 19 世纪中叶以后, 随着数学基础研究不断获得新成 果, 关于什么是数学的出发点、 数学证明的性质、 如何认识无穷等问题的争论愈演愈烈 , 甚至导致 古典数学能否成立的争论。为了从根本上回答这 些问题, 消除人们对数学理论的怀疑, 希尔伯特提 出了著名的 希尔伯特纲领 , 将数学公理系统形 式化并力图证明形式化后的数学系统是一致的和 完备的。他从形式主义的数学观点出发 , 提出了 证明论思想, 认为可以用有穷方法去证明具有无 穷对象域的古典数学 的形式系统而 不会导致矛 盾 。然而 , 哥德尔在 PM 及有关系统中的形式 不可判定命题 一文中提出了两个著名的不完全 定理并给出严格证明: ( 一 ) 一个包括初等数论的 形式系统 P , 如果是一致的, 那么就是不完全的; ( 二) 如果这样的系统是一致的, 那么其一致性在 本系统中不可证明。这就宣布了希尔伯特方案的 破产[ 7] 。但证明论并未因此终结 , 在得知不完全
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2010 年 11 月 第 29 卷第 11 期
安庆师范学院学报 ( 社会科学版)
Journal of Anqing Teachers College(Social Science Edition)
Nov. 2010 Vol. 29 No. 11
数院 , 重庆 400038)
摘
要: 近代数学理念的复兴和数学工具的应用推动了自然科学的巨大发展 , 为 数理逻辑的产生 提供了思想契机。
数理逻辑源于莱布尼茨提出的思维可计算构想 , 其展开和深化是建立了 命题演算 和谓词演 算等公理 系统和对 形式系统 的元层次研究。数理逻辑未来发展将扬弃纯形式发展阶段 , 达到形式与内容在更高层面的统一。 关键词: 传统逻辑 ; 数理逻辑 ; 发展逻辑 ; 未来趋向 中图分类号 : B813 文献标识码 : A 文章编号 : 1003- 4730( 2010) 11- 0048- 04
传统的形式逻辑自亚里士多德创建以来, 作 为思维的工具被人们应用了两千余年。随着人类 活动广度上的扩大和深度上的增加, 亚氏逻辑的 缺陷逐渐显露出来, 如不包括关系推理 , 不区别单 称命题和全称命题等 , 更重要的是它没有获得完 全的公理化和形式化 , 不能使人类对逻辑工具的 客观有效性要求得到完全满足, 难以使人类思维 获得高度的明确化和清晰化。 近代科学的发展为新逻辑理论的建立和发展 提供了启示和契机。从文艺复兴到 17 世纪后期, 近代自然科学在物理学尤其是力学方面取得巨大 进步 , 其中最重要思想动力是数学精神的复兴和 数学方法的应用。哥白尼因信奉数学的 简单 、 和谐 理念, 才以 日心说 代替 地心说 [ 1] 27 ; 伽 利略坚信 自然这部书是一本由上帝用数学语言 写成的书
[ 4] 612- 613
是反映有效推理的语法形式, 也就是说 , 如果一个 推理经过翻译、 赋值、 计算而断定其为重言式 , 就 可以宣布这个推理形式是正确有效的。在这个认 识基础上 , 就能够构造一个命题演算系统, 该系统 具有如下特征 : 从语义层面上看, 它要涵盖命题逻 辑的一切有效推理形式; 从语法层面上看, 它要将 一切重言式包含在系统之内。 经由弗雷格、 皮亚诺、 罗素以及后人的努力, 现在我们已经得到一个经过严格证明的形式化的 命题演算系统 , 它主要有四个要点和两个部分构 成。四个要点是: 基本符号、 语言生成规则、 公理、 变形规则 ; 两个部分是 : 由基本语言生成其他语 言, 由基本定理生成其他定理。对于这个系统, 需 要把握三点: 其一 , 它是严格证明的 。该系统要求推理所 遵循的规则必须是已给出且十分明确的 , 没有不 按已给定规则而进行的推演。它还要求除了已给 定的公理和已证明的定理外, 在证明过程中不得 不自觉地附加其他隐含前提。 其二 , 它是一个由命题逻辑重言式组成的公 理系统。该系统是从一些作为初始命题的重言式 出发 , 应用明确的推演规则, 推导出一系列重言式 的演绎体系。 其三 , 它是进一步形式化的形式系统。虽然 命题逻辑使用表意的人工符号, 但在形式化过程 中, 逻辑词项的含义被消解或搁置 , 人们看到只是 不同形状的符号按照一定的规则而进行的排列和 变形。系统中的可证公式需要经过解释才能成为 逻辑定理。 命题演算是将逻辑演算的基本单位规定为原 子命题变元, 这一策略扩大了逻辑学的应用范围, 但会导致逻辑分析不深入 , 有的命题不能被准确 刻画。为了解决这一问题 , 弗雷格在命题演算的 基础上又引入数学中的函数概念, 提出了命题函 项理论, 将真值函项命题中的主、 谓词分开 , 同时 还创造了约束变项 , 引进量词的概念。在他及后 来逻辑学家的努力下 , 建立了另一个成熟的公理 系统 狭谓词演算系统。该系统应用命题函项 理论和两个量词( 、 ) , 将命题逻辑和三段论逻 辑统一在一个更大的系统中[ 4] 613 。 三、 逻辑深化: 对形式系统的元层次研究 在构造逻 辑演算系统并 将其形式化 的过程 中, 人们逐渐掌握了公理化、 形式化等强大逻辑工 具, 认识到形式系统对于数理逻辑理论的重要意
* 收稿日期 : 2010- 05- 24
作者简介 : 王力钢 , 男 , 河北黄骅人 , 重庆沙区高滩岩第三军医大学人文社科学院讲师 , 硕士 , 浙 江大学语言与认 知研究中心访问 学 者。
第 11 期
王力钢 : 数理逻辑的发展及未来趋向
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内容间存在制约关系 , 若修改语法规则就改变了 语义内容。这样, 适当修改语法规则就可以对代 数系统进行重新解释 , 就能使它在逻辑领域内获 得意义。在这个思想的指导下, 布尔构造了一个 抽象代数系统 布尔代数 , 并对它做了新的逻 辑解释。于是他在逻辑史上最先提出了一个逻辑 演算 , 实现了莱布尼茨的一部分设想[ 4] 598- 603 。 数理逻辑的首要目标是将日常思维变成具有 演算性质的科学, 在这个过程中需要跨越由思维 非数量转变为数量化的障碍。布尔虽然成功地将 三段论这个不属于量化范畴的日常思维系统改写 成具备可计算性质的数学系统, 部分地完成了这 个任务, 但由于此系统仅适用于主谓结构的日常 思维 , 在应用上有较大的局限性。因此在他之后, 逻辑学家面临的是如何在更大范围内将非数学对 象转化为数学对象的问题。 在这方面取得重大突破的是弗雷格的真值函 项理论。他通过抽象日常用语中的联结词 , 创造 了五个重要的逻辑算子 、 、 、 、 , 分别标示日常思维中的 并且 、 或者 、 如 果 则 、并非 、 等于 五个联结词。通过它 们, 日常思维可以被符号化并达到可计算的目的。 虽然真值函项理论是建立在外延理论之上 , 只能 解决那些能够归结为真假情况的问题 , 只能在外 延方面刻画日常思维中的重要概念, 但在沟通数 量和非数量领域, 使日常思维获得可计算性性质 方面起着至关重要作用 。 二、 逻辑展开: 形式系统的构造 通过莱布尼茨、 布尔、 弗雷格三人的努力, 逻 辑学在近代突破了原有的局限性, 终于获得了符 号化和可计算性质 , 数理逻辑初步建立。按照其 发展逻辑的展开线索 , 对形式化公理系统的构造 成为数理逻辑研究的中心课题。在这个发展阶段 上, 逻辑学家建立了很多公理系统, 其中最基础、 最重要的是命题演算和谓词演算。 弗雷格在引入特制人工符号语言的基础上, 突破词项逻辑的传统 , 以原子命题为基本单元通 过逻辑算子联结命题变元构造复合命题 , 得到一 系列真值函项。在古典二值逻辑的讨论范围内, 通过命题符号的赋值计算 , 可以将这些无穷尽的 真值函项分为三类: 可满足式 它的取值可真 可假 , 是可以满足的 ; 永假式 不管命题变元如 何取值, 函项的取值永远为假 ; 重言式 它的取 值永远为真。经过分析 , 逻辑学家认识到重言式
[ 2] 105
一、 发展起点: 思维可计算构想的提出与实现 数理逻辑产生的思想渊源是莱布尼茨提出的 思维可计算构想。其后 , 布尔和弗雷格为实现这 一伟大构想, 模仿数学对传统逻辑进行符号改写, 建立的布尔代数系统和真值函项理论成为数理逻 辑发展的真实逻辑起点。 莱布尼茨是试图以数学方法处理逻辑问题的 第一人。他看到在数学中有代数式、 方程式和方 程变形, 而逻辑学中有概念、 判断和推理, 两者在 结构上有相似性。因此 , 似乎可以参照数学符号 建立一套人工符号 语言 先 设计出表 意的字 母, 通过字母运算构成复杂概念的符号 , 最后用字 母、 等式排列作为句子符号。这样 , 通过它们就有 可能进行 思维的演算 , 可以对传统的形式逻辑 进行可计算性的量化。 他预言, 如果新的语言是 完善的, 那么对于解决任何方面的争端怀有善良 愿望的人们将把他们的笔拿在手中, 并且说进行 演算吧 [ 3] 423 。虽然莱布尼茨未能最终创立他所 期望的符号语言, 但他提出的符号化方案具有划 时代 的意义, 并因此被尊为 现代逻辑的创始人。 紧随莱布尼茨之后的布尔尝试以人工语言改写亚 里士多德的三段论逻辑并获得成功, 建立了布尔 代数系统。莱布尼茨只从语法方面看到代数符号 和自然语言之间的类似 , 布尔却更为高明地从语 法和语义两方面看问题 , 他认为语法规则与语义