数理逻辑的推理及形式证明
总结逻辑推理与证明方法
总结逻辑推理与证明方法逻辑推理与证明方法是数理逻辑学中的重要内容，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将对逻辑推理与证明方法进行总结和归纳。
一、逻辑推理的基本要素逻辑推理是通过推断从前提得出结论的过程。
在逻辑推理中，有以下几个基本要素：1. 命题：逻辑推理的基本单位是命题。
命题可以是真命题或假命题，也可以是复合命题或简单命题。
2. 推理规则：逻辑推理过程中需要遵循一定的推理规则，以确保推理的准确性。
常见的推理规则有假言推理、析取推理、合取推理等。
3. 前提与结论：逻辑推理中离不开前提和结论。
前提是推理的出发点，结论是推理的目标。
二、逻辑证明方法逻辑证明是通过推理与推导来验证一个命题的真实性。
以下是几种常见的逻辑证明方法：1. 直接证明法：直接证明法是一种通过从前提出发逐步推导得出结论的方法。
通过使用已知的推理规则，将前提转化为结论。
2. 反证法：反证法是一种证明命题的方法，通过假设命题的否定形式，推导出一个矛盾的结论，从而证明原命题为真。
3. 数学归纳法：数学归纳法适用于证明一类具有递推性质的命题。
通过证明初始情况下命题成立，并证明当命题在某一情况下成立时，它在下一情况下也成立，从而证明命题对于所有情况均成立。
4. 构造证明法：构造证明法是通过构造一个满足条件的例子或模型来证明命题的真实性。
三、逻辑推理与证明方法的应用逻辑推理与证明方法在许多领域中都有广泛的应用。
以下是几个常见的应用领域：1. 数学证明：在数学中，逻辑推理与证明方法被广泛用于证明各种定理和数学命题的真实性。
2. 哲学思辨：逻辑推理与证明方法对于哲学思辨中的逻辑问题和辩证分析有重要作用。
3. 计算机科学：逻辑推理与证明方法在计算机科学中起着关键作用，如形式化验证和证明算法的正确性。
4. 法学与辩论：在法学和辩论中，逻辑推理与证明方法帮助解决各种法律问题和辩论中的争议。
总结：逻辑推理与证明方法是数理逻辑学中的核心内容，它在数学、哲学、计算机科学、法学等多个领域中都有广泛的应用。
2.数理逻辑12
该蕴含式的主析取范式中含精有品课4件个极小项，因而是重言式。10
为了更好地判断推理的正确性，引入构造 证明的方法。
在数理逻辑中，证明是一个描述推理过程 的命题公式序列，其中的每个命题公式或者是已 知的前提，或者是由某些前提应用推理规则得到 的结论。其中有些规则建立在推理定律（重言蕴 涵式）的基础之上。
记I=<A(I),E(I),AX(I),R(I)>, 其中<A(I),E(I)>是 I 的 形式语言系统, <AX(I),R(I)> 是 I 的形式演算系统.
自然推理系统: 无公理, 即AX(I)=
公理推理系统 推出的结论是系统中的重言式, 称作定理
精品课件
13
自然推理系统P
定义3.3 自然推理系统 P 定义如下:
第三章 命题逻辑的推理理论
主要内容: 推理的形式结构 推理的正确与错误 判断推理正确的方法 推理定律
自然推理系统P
形式系统的定义与分类
自然推理系统P 在P中构造证明:直接证明法、附加前提证明法、归谬法
精品课件
1
推理理论 数理逻辑的主要任务是借助于数 学的方法来研究推理的逻辑。
推理是从前题推出结论的思维过
((p→﹁q)∧p)→﹁q
((﹁p∨﹁q)∧p)→﹁q
﹁((﹁p ∨﹁q)∧p)∨﹁q
﹁(﹁p ∨﹁q)∨﹁p∨﹁q
﹁(﹁p∨﹁q)∨(﹁p∨﹁
q)
1
该蕴含式是重言精式品课，件 所以推理正确。
9
（3）主析取范式法
((p→﹁q)∧p)→﹁q ((﹁p∨﹁q)∧p)→﹁q ﹁((﹁p∨﹁q)∧p)∨﹁q ﹁(﹁p∨﹁q)∨﹁p∨﹁q (p∧q)∨(﹁p∧(q∨﹁q))∨(﹁q∧(p∨﹁p)) (p∧q)∨(﹁p∧q)∨(﹁p∧﹁q))∨(﹁q∧p)
数理逻辑 第三章 数学推理 数学归纳法
这样就证明了从P(n)得出P(n+1) 在第二个等式中我们使用了归纳假设P(n) 因为P(1)为真，而且对所有正整数n来说
P(n)→P(n+1)为真，所以，由数学归纳法原 理就证明了对所有正整数n来说P(n)为真
四、数学归纳法的例子
例：用数学归纳法证明：对所有正整数n 来说不等式n<2n
来说P(k)为真，要完成归纳步骤就必须证明 在这个假定下P(n+1)为真
五、数学归纳法的第二原理
例：证明：若n是大于1的整数，则n可以 写成素数之积
解：分两种情况考虑：当n+1是素数时和当 n+1是合数时。若n+1是素数，则P(n+1)为 真；若n+1是合数，则可以将其表示成两个 整数a和b之积，其中a、b满足 2≤a≤b≤n+1
3.2 数学归纳法 Mathematical Induction
一、引言
前n个正奇数之和的公式是什么？ 对n=1,2,3,4,5来说，前n个正奇数之和为：
1=1，1+3=4，1+3+5=9， 1+3+5+7=16，1+3+5+7+9=25
猜测前n个正奇数之和是n2 假如这个猜测是正确的，我们就需要一
三、数学归纳法
用数学归纳法证明定理时
首先证明P(1)为真，然后知道P(2)为真，因 为P(1)蕴含P(2)
P(3)为真，因为P(2)蕴含P(3) 以这样的方式继续下去，就可以看出对任
意正整数k来说P(k)为真
数学归纳法的形象解释
三、数学归纳法
为什么数学归纳法是有效的？
数理逻辑的基本原理与推理方法
数理逻辑的基本原理与推理方法数理逻辑是一门研究命题、谓词、推理和证明的学科。
它利用符号和数学方法来描述、分析和判断一系列命题之间的关系。
在数理逻辑中，有一些基本的原理和推理方法，可以帮助我们理解和解决问题。
本文将探讨数理逻辑的基本原理和推理方法，以便读者能够更好地理解和运用数理逻辑。
数理逻辑的基本原理包括命题逻辑和谓词逻辑。
命题逻辑是最基本的逻辑系统，研究命题之间的逻辑关系。
一个命题是能够判断真假的陈述句。
在命题逻辑中，我们用符号来表示命题，如P、Q和R。
符号“∧”表示命题的合取（与）、符号“∨”表示命题的析取（或）、符号“→”表示条件（蕴含）以及符号“¬”表示否定。
这些符号可以帮助我们构建命题之间的复合命题，并进行逻辑推理。
在命题逻辑中，有一些基本的推理方法可以帮助我们根据已知命题推导出新的命题。
其中包括析取三段论、假言三段论、摩尔根定律等。
析取三段论是指如果一个命题是两个已知命题的析取，那么这个命题也成立。
例如，如果P成立，Q成立，那么(P∨Q)也成立。
假言三段论是指如果一个命题是一个已知命题的条件，另一个命题是条件成立时所得出的结论，那么这个结论也成立。
例如，如果P成立会导致Q成立，而P成立，那么Q也成立。
摩尔根定律是指命题的否定可以通过互换逻辑运算符，并对子命题进行否定得到。
例如，¬(P∧Q)等价于¬P∨¬Q。
谓词逻辑是一种更为复杂的逻辑系统，用于描述命题中涉及对象的属性和关系。
在谓词逻辑中，我们引入了量词∀和∃，分别表示“对于所有”和“存在”的含义。
谓词逻辑允许我们对命题中的对象进行全称量化和存在量化，并进行逻辑推理。
谓词逻辑的基本原理和推理方法类似于命题逻辑，但涉及到更多的概念和符号。
推理是数理逻辑的核心，它旨在根据已知命题推导出新的命题。
推理方法有很多种，例如直接证明、间接证明和归谬法。
直接证明是一种常见的推理方法，它通过列举命题的前提和规则，逐步推导出结论。
数理逻辑的推理及形式证明
数理逻辑的推理及形式证明数理逻辑是一种研究命题、谓词、量词等逻辑结构以及它们之间关系和推理规则的数学分支。
它在数学、计算机科学、哲学、语言学等领域中有广泛的应用。
在数理逻辑中，形式证明是一种推理方法，它通过一系列严格的推理规则以及一定的符号规则来证明数学命题的真实性。
接下来，我将详细介绍数理逻辑的推理过程和形式证明的基本原理。
在数理逻辑中，推理是指从一些前提出发，通过应用推理规则得出结论的过程。
推理过程可以分为直接推理和间接推理两种类型。
直接推理是基于一些已知事实和推理规则，通过逻辑关系直接得出结论的方法。
例如，对于命题A蕴含B，如果我们知道A为真，那么根据蕴含的定义，我们可以直接得出B为真的结论。
间接推理是通过反证法或假设推理来得出结论的方法。
反证法是指假设一些命题为假，然后通过推理规则逐步推导，最终导致矛盾的出现。
这时我们可以得出原先假设的命题是真的结论。
假设推理是指我们假设一些命题为真，然后根据这个假设推出其他的结论，如果这些结论与我们的预期相符，那么我们就可以认为原先的命题是真的。
形式证明是数理逻辑中一种严格而形式化的推理过程。
它基于一定的符号规则和推理规则，通过一系列逻辑推理来证明一个命题的真实性。
形式证明的过程可以用一系列推理步骤来表示，每个步骤都遵循推理规则。
在形式证明中，我们使用符号代表命题，通过逐步应用推理规则来推导出要证明的结论。
形式证明的过程中使用的推理规则包括假设引入、假设消除、蕴含引入、蕴含消除、析取引入、析取消除、合取引入、合取消除、否定引入和否定消除等。
这些规则定义了如何从已知命题出发，逐步推导出要证明的目标命题。
形式证明的理论基础是逻辑公理和推理规则的正确性。
逻辑公理是数理逻辑中不需要证明的基本命题，它们被认为是正确的。
推理规则是一些逻辑操作的规则，它们描述了如何根据已知命题推导出新的命题。
形式证明的正确性依赖于逻辑公理和推理规则的正确性，以及证明过程中每一步的合法性。
数学中的数理逻辑与证明方法
数学中的数理逻辑与证明方法数学是一门既抽象又具体的学科，它通过逻辑思维和证明方法来研究各种数学问题。
数理逻辑和证明方法是数学领域中不可或缺的重要工具，它们为数学的发展和应用提供了基础。
一、数理逻辑在数学中的作用数理逻辑是研究命题、推理和证明的一门学科，它通过形式化的符号和规则来分析和推断逻辑结构。
在数学中，数理逻辑被广泛运用于证明的建立和推理的推导。
在数学证明中，数理逻辑起到了举足轻重的作用。
数学证明是指通过逻辑推理和推导，从已知条件出发，得出结论的过程。
数理逻辑通过形式化的方法，将数学问题转化为符号的推理过程，使证明过程更加精确和严密。
数理逻辑主要包括命题逻辑、谓词逻辑和命题演算等，它们提供了一种形式化的描述和推导数学结构的方法。
通过数理逻辑的运用，数学家们可以准确地推导出数学定理的正确性，并使用数理逻辑的规则来分析和验证数学中的各种推理和证明。
二、数学中的证明方法在数学中，证明是验证一个命题或定理的真实性的过程。
数学的证明方法多种多样，可以是直接证明、间接证明、归纳法、反证法等等。
1. 直接证明直接证明是最常见的证明方法之一，它通过一系列逻辑推理和推导，从已知条件出发，逐步得出结论。
直接证明的基本思路是根据已知条件，通过逻辑推理得出结论的真实性。
例如，欧几里得几何学中的“两点确定一条直线”定理就是一个直接证明的例子。
通过欧几里得的公理和定义，可以逐步推导出结论的正确性。
2. 间接证明间接证明是通过反证法来证明一个命题的真实性。
它的基本思路是假设命题为假，然后推导出与已知矛盾的结论，从而得出命题的真实性。
例如，费马大定理就是一个著名的间接证明的例子。
费马大定理指出对于大于2的整数n，不存在满足a^n + b^n = c^n的正整数解。
通过反证法，假设存在这样的解，然后推导出与已知定理相矛盾的结论，从而证明费马大定理的正确性。
3. 归纳法归纳法是一种证明数学命题的方法，它适用于一系列命题的证明。
推理的形式结构
2024/3/18
2
说明：
1)前提A1, A2, … , Ak无次序，
2）推理的形式结构: A1A2…AkB
或
前提： A1, A2, … , Ak
结论： B
3）若推理正确，则记作：A1A2…AkB
2024/3/18
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4) (1) A1A2…Ak为0,B为0;
(2)结论引入规则（Ｔ规则）: 在推导过程中, 前面已推导出的有效结论（“中间
结果”）都可作为后续推导的前提引入。
(3)置换规则（等值式）:在证明的任何步骤,命题公式中的子公式都可以用等值的
公式置换。得到公式序列中的又一个公式。(P21-P22)
(4)假言推理规则(或分离规则):若证明的公式序列中已出现过A→B和A,则由假言
构造性二难推理
9. (A → B) ∧ (C → D) ∧ ( B ∨ D) (A ∨ C)
破坏性二难推理
2024/3/18
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说明 ：
1)把具体的命题公式代入某条推理定律后就得到这条推理定律的一个代入
实例。且都是重言式。例如 ppq（代入1附加律AA B）,
pq (pq) r （代入1）,p p
用构造证明时, 采用——前提: A1, A2, … , Ak, 结论: B.
2024/3/18
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例1 判断下面推理是否正确
(1) 若今天是1号，则明天是5号。今天是1号，所以明天是5号。
设 p：今天是1号，q：明天是5号。推理的形式结构为: (pq)pq
证明：（用等值演算法）
(pq)pq
• 解:
① ∨
②→
P
T,①置换(蕴含等价式)
③ ∨
数学逻辑推理
数学逻辑推理数学逻辑推理是数学中最为基础和重要的思维方式之一。
它以严密的推理和逻辑演绎为基础，通过分析问题的条件和关系，来解决各种数学难题。
本文将介绍数学逻辑推理的基本概念、方法和应用。
一、数学逻辑推理的基本概念数学逻辑推理是利用符号和演绎法进行推理的一种数学思维方式。
它涉及到命题、命题连接词、命题合成形式以及推理规则等基本概念。
1.1 命题命题是陈述性的句子或公式，它要么是真（true），要么是假（false）。
例如：“2+2=4”是一个真命题，“1+1=3”是一个假命题。
1.2 命题连接词命题连接词是用来组合两个或多个命题的词语，常见的命题连接词有“且”、“或”、“非”等。
例如：“p 且q”表示p命题和q命题同时为真；“p 或q”表示p命题和q命题中至少有一个为真。
1.3 命题合成形式根据命题连接词的组合方式，可以得到不同的命题合成形式，包括合取、析取、否定、蕴涵和等价等形式。
例如：“p 且q”的合取形式表示p和q同时为真；“非p”表示p的否定形式，即p为假；“p 蕴涵q”表示当p为真时，q也为真。
1.4 推理规则推理规则是数学逻辑推理的基本原则和方法。
其中包括假言推理、消解、假设、拒取等。
推理规则可以根据具体的推理问题来灵活运用，以达到解决问题的目的。
二、数学逻辑推理的方法数学逻辑推理具有严密性和形式化的特点，因此，它需要按照一定的方法进行推理。
以下介绍几种常用的数学逻辑推理方法。
2.1 直接证明法直接证明法是数学逻辑推理中最常用的方法之一。
它通过逐步推导和应用推理规则，以证明目标命题的真实性。
例如，要证明“若p，则q”的命题，可以通过逐步推导来证明。
2.2 反证法反证法是一种常见的证明方法，它通过假设目标命题的否定形式，推导出矛盾结果，从而证明目标命题的真实性。
例如，要证明“p 蕴涵q”的命题，可以先假设“p 且非q”为真，然后推导出矛盾结果。
2.3 数学归纳法数学归纳法是一种常用的数学逻辑推理方法，特别适用于证明关于整数的命题。
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第一讲引言一、课程内容·数理逻辑：是计算机科学的基础，应熟练掌握将现实生活中的条件化成逻辑公式，并能做适当的推理，这对程序设计等课程是极有用处的。
·集合论：数学的基础，对于学习程序设计、数据结构、编译原理等几乎所有计算机专业课程和数学课程都很有用处。
熟练掌握有关集合、函数、关系等基本概念。
·代数结构：对于抽象数据类型、形式语义的研究很有用处。
培养数学思维，将以前学过的知识系统化、形式化和抽象化。
熟练掌握有关代数系统的基本概念，以及群、环、域等代数结构的基本知识。
·图论：对于解决许多实际问题很有用处，对于学习数据结构、编译原理课程也很有帮助。
要求掌握有关图、树的基本概念，以及如何将图论用于实际问题的解决，并培养其使用数学工具建立模型的思维方式。
·讲课时间为两个学期，第一学期讲授数理逻辑与集合论，第二学期讲授代数结构和图论。
考试内容限于书中的内容和难度，但讲课内容不限于书中的内容和难度。
二、数理逻辑发展史1. 目的·了解有关的背景，加深对计算机学科的全面了解，特别是理论方面的了解，而不限于将计算机看成是一门技术或工程性的学科。
·通过重要的历史事件，了解计算机科学中的一些基本思维方式和一些基本问题。
2. 数理逻辑的发展前期·前史时期——古典形式逻辑时期：亚里斯多德的直言三段论理论·初创时期——逻辑代数时期（17世纪末）·资本主义生产力大发展，自然科学取得了长足的进步，数学在认识自然、发展技术方面起到了相当重要的作用。
·人们希望使用数学的方法来研究思维，把思维过程转换为数学的计算。
·莱布尼兹(Leibniz, 1646~1716)完善三段论，提出了建立数理逻辑或者说理性演算的思想：·提出将推理的正确性化归于计算，这种演算能使人们的推理不依赖于对推理过程中的命题的含义内容的思考，将推理的规则变为演算的规则。
·使用一种符号语言来代替自然语言对演算进行描述，将符号的形式和其含义分开。
使得演算从很大程度上取决与符号的组合规律，而与其含义无关。
·布尔(G. Boole, 1815~1864)代数：将有关数学运算的研究的代数系统推广到逻辑领域，布尔代数既是一种代数系统，也是一种逻辑演算。
3. 数理逻辑的奠基时期·弗雷格(G. Frege, 1848~1925)：《概念语言——一种按算术的公式语言构成的纯思维公式语言》(1879)的出版标志着数理逻辑的基础部分——命题演算和谓词演算的正式建立。
·皮亚诺(Giuseppe Peano, 1858~1932)：《用一种新的方法陈述的算术原理》(1889)提出了自然数算术的一个公理系统。
·罗素(Bertrand Russell, 1872~1970)：《数学原理》(与怀特黑合著，1910, 1912, 1913)从命题演算和谓词演算开始，然后通过一元和二元命题函项定义了类和关系的概念，建立了抽象的类演算和关系演算。
由此出发，在类型论的基础上用连续定义和证明的方式引出了数学（主要是算术）中的主要概念和定理。
·逻辑演算的发展：甘岑(G. Gentzen)的自然推理系统(Natural Deduction System)，逻辑演算的元理论：公理的独立性、一致性、完全性等。
·各种各样的非经典逻辑的发展：路易斯(Lewis, 1883~1964)的模态逻辑，实质蕴涵怪论和严格蕴涵、相干逻辑等，卢卡西维茨的多值逻辑等。
4. 集合论的发展·看待无穷集合的两种观点：实无穷与潜无穷·康托尔(G. Cantor, 1845~1918)：以实无穷的思想为指导，建立了朴素集合论·外延原则（集合由它的元素决定）和概括原则（每一性质产生一集合）。
·可数集和不可数集，确定无穷集合的本质在于集合本身能与其子集一一对应。
能与正整数集合对应的集合是可数的，否则是不可数的。
证明了有理数集是可数的，使用对角线法证明了实数集合是不可数的。
·超穷基数和超穷序数·朴素集合论的悖论：罗素悖论·公理集合论的建立：ZFC系统6. 第三次数学危机与逻辑主义、直觉主义与形式主义·集合论的悖论使得人们觉得数学产生了第三次危机，提出了数学的基础到底是什么这样的问题。
·罗素等的逻辑主义：数学的基础是逻辑，倡导一切数学可从逻辑符号推出，《数学原理》一书是他们这一思想的体现。
为解决悖论产生了逻辑类型论。
·布劳维尔(Brouwer, 1881~1966)的直觉主义：数学是心灵的构造，只承认可构造的数学，强调构造的能行性，与计算机科学有重要的联系。
坚持潜无穷，强调排中律不能用于无穷集合。
海丁(Heyting)的直觉主义逻辑。
·希尔伯特(D. Hilbert)的形式主义：公理化方法与形式化方法，元数学和证明论，提倡将逻辑演算和数学证明本身形式化，把用普通的语言传达的内容上的数学科学变为用数学符号和逻辑符号按一定法则排列的一堆公式。
为了消除悖论，要数学建立在公理化基础上，将各门数学形式化，构成形式系统，并证明其一致性，这是希尔伯特的数学纲领。
7. 数理逻辑的发展初期·哥德尔(Godel, 1906~1978)不完全性定理：一个足够强大的形式系统，如果是一致的则不是完全的，即有的判断在其中是不可证的，既不能断定其为假，也不能证明其为真。
·各种计算模型：哥德尔的递归函数理论，邱吉尔的 演算，图灵机模型·这些计算模型是计算机科学的理论基础，是计算机的理论模型。
三、预备知识1. 集合的基本概念·集合(set)：集合是数学中最基本的概念之一，不能以更简单的概念来定义(define)，只能给出它的描述(description)。
一些对象的整体就称为一个集合，这个整体的每个对象称为该集合的一个元素(member或element)。
·用大写字母A, B, C等表示集合，用小写字母a, b, c等表示集合的元素·a∈A表示：a是集合A的元素，或说a属于集合A·a∉A表示：a不是集合A的元素，或说a不属于集合A·集合中的元素是无序的，不重复的。
通常使用两种方法来给出一个集合：·列元素法：列出某集合的所有元素，如：·A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}表示所有小于10的自然数所构成的集合·B = {a, b, …, z} 表示所有小写英文字母所构成的集合·性质概括法：使用某个性质来概括集合中的元素，如：·A = { n | n 是小于10的自然数}·C = { n | n 是质数} 表示所有质数所构成的集合·集合由它的元素所决定，换句话说，两个集合A和B相等，记为A = B，如果A和B具有相同的元素，即a属于集合A当且仅当a属于集合B。
·子集(subset)：说集合A是集合B的子集，记为A⊆B，如果a属于集合A则a也属于集合B。
因此A=B当且仅当A⊆B且B⊆A。
说集合A是集合B的真子集(proper subset)，如果A⊆B且A不等于B(A ≠ B)。
·空集(empty set)：约定存在一个没有任何元素的集合，称为空集，记为φ，有时也用{}来表示。
按子集的定义，空集是任何集合的子集(为什么？)。
·幂集(power set)：集合A的幂集，记为P(A)，是A的所有子集所构成的集合，即：·P(A) = { B | B ⊆ A }·例如，A = {0, 1}，则P(A) = { {}, {0}, {1}, {0, 1} }·显然，对任意集合A，有φ∈ P(A)和A∈P(A)·补集(complement set)：集合A的补集，记为A，是那些不属于集合A的元素所构成的集合，即A ={x| x∉A}。
通常来说，是在存在一个全集U的情况下讨论集合的补集。
全集U是所讨论的问题域中所有元素所构成的集合。
·集合的并(union)：集合A和B的并A⋃B定义为：A⋃B = {x | x∈A或者x∈B}，集合的并可推广到多个集合，设A1, A2, …, A n都是集合，它们的并定义为：A1⋃A2…⋃A n = {x | 存在某个i，使得x∈A i}·集合的交(intersection)：集合A和B的并A⋂B定义为：A⋂B = {x | x∈A而且x∈B}，集合的交也可推广到多个集合，设A1, A2, …, A n都是集合，它们的交定义为：A1⋃A2…⋃A n = {x | 对所有的i，都有x∈A i}·集合的差(difference)：集合A和B的差A-B定义为：A-B = {x | x∈A而且x∉B}。
2. 关系和函数的基本概念·有序对(ordered pair)：设A和B是两个集合，a∈A, b∈B是两个元素，a和b的有序对，记为<a, b>，定义为集合{{a}, {a, b}}。
·设<a1, b1>和<a2, b2>是两个有序对，可以证明<a1, b1> = <a2, b2>当且仅当a1 = a2且b1 = b2。
(如何证？)·有序对可推广到n个元素，设A1, A2, …, A n是集合，a1∈A1, a2∈A2, …, a n∈A n是元素，定义有序n元组(ordered n-tuple)<a1, a2, …, a n>为<<a1, a2, …, a n-1>, a n>，注意这是一个归纳(inductive)定义，将有序n元组的定义归结为有序n-1元组的定义。
·显然有<a1, a2, …, a n> = <b1, b2, …, b n>当且仅当a1 = b1且a2 = b2且…且a n = b n。
·集合的笛卡尔积(cartesian product)：两个集合A和B的笛卡尔积A⨯B定义为：A⨯B = {<a, b> | a∈A且b∈B}·例如，设A = {a, b, c}，B = {1, 2}，则：A⨯B = {<a, 1>, <a, 2>, <b, 1>, <b, 2>, <c, 1>, <c, 2>}·笛卡尔积可推广到多个集合的情况，集合A1, A2, …, A n的笛卡尔积定义为：A1⨯A2⨯…⨯A n = {<a1, a2, …, a n> | a1∈A1且a2∈A2且…且a n∈A n}·集合之间的关系(relation)：定义n个集合A1, A2, …, A n之间的一个n元关系R为集合A1, A2, …, A n的笛卡尔积A1⨯A2⨯…⨯A n的一个子集。