2014数理逻辑1.2
数理逻辑1.1-2
联结词与复合命题( 联结词与复合命题(续)
3.析取式与析取联结词“∨” 析取式与析取联结词“ 析取式与析取联结词 为二命题， 称作p与 定义 设 p,q为二命题，复合命题“p或q”称作 与q 为二命题 复合命题“ 或 称作 析取式，记作p∨ ， 称作析取联结词 析取联结词， 的析取式，记作 ∨q，∨称作析取联结词，并规 为假当且仅当p与 同时为假 同时为假. 定p∨q为假当且仅当 与q同时为假 ∨ 为假当且仅当 例 将下列命题符号化 (1) 2或4是素数 是素数. 或 是素数 (2) 2或3是素数 是素数. 或 是素数 (3) 4或6是素数 是素数. 或 是素数 (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王晓红生于 王晓红生于1975年或 年或1976年. 年或 年
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是素数, 是素数, 是素数 是素数, 是素数 是素数, 解 令 p:2是素数 q:3是素数 r:4是素数 s:6是素数, 是素数 是素数 均为相容或. 则 (1), (2), (3) 均为相容或. 分别符号化为: 分别符号化为: p∨r , p∨q, r∨s, ∨ ∨ ∨ 它们的真值分别为 1, 1, 0. 而 (4), (5) 为排斥或 为排斥或. 小元元拿一个苹果， 小元元拿一个梨 小元元拿一个梨， 令 t :小元元拿一个苹果，u:小元元拿一个梨， 小元元拿一个苹果 则 (4) 符号化为 (t∧¬u) ∨(¬t∧u). ∧ ¬∧ 王晓红生于1975年,w:王晓红生于 令v :王晓红生于 王晓红生于 年 :王晓红生于1976年, 年 则 (5) 既可符号化为 (v∧¬w)∨(¬v∧w), 又可 ∧ ∨¬ ∧ 符号化为 v∨w , 为什么 ∨ 为什么?
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例 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6. (2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数 是偶数. (3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲. 美国位于非洲. (5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0 连续. 连续 它们的真值分别为 1，0，1，0，0. ， ， ， ，
数理逻辑
Ch2. 形式命题演算
2.2 完备性定理 (The Adequacy Theorem for L)
– Proposition 2.14 可靠性定理(The Soundness Theorem):L的定理都是重言式 – 证明思路: L的三条公理可靠 推演规则(三段论)可靠 由归纳法可知,L的所有定理可靠
Ch2. 形式命题演算
– Remark: 演绎定理的逆定理是平凡的: – 若有Г┣A B则一定有Г∪{A}┣A B – 同时显然有Г∪{A}┣A – 使用一次MP就可以得到Г∪{A}┣B
Ch2. 形式命题演算
– Corollary 2.10 {(A B), (B C)}┣(A C)
(HS, (1) (2) (3) (4) (5) Hypothetical Syllogism,假言三段论) (A B) assumption (B C) assumption A assumption B (1),(3)MP C (2),(4)MP
Ch2. 形式命题演算
– Lemma:设∑是命题变元或其否定形式的集合, 对于任何一个真值赋值v,令其对应的∑为: 若v(pi) = T则令pi∈∑, 否则~pi∈∑ – v(A)=T则∑┣A, v(A)=F则∑┣(~A) – 证明: 施归纳法于A的结构 归纳奠基 若A为命题变元pi,则显然正确 归纳奠基: 归纳证明 根据A的构成方法分两种情况: 归纳证明:
Ch2. 形式命题演算
问题起源:当命题形式的连接词过多时,我 们的直觉并不一定很准确,希望建立一个简 单的系统来对应直觉.这也符合我们计算机 的思维. "如果A不正确蕴涵 正确那么 一定正确" 不正确蕴涵A正确那么 一定正确" 如果 不正确蕴涵 正确那么A一定正确
数理逻辑第一章命题逻辑
解： (1) p ：怕困难， q ：战胜困难，
该命题符号化为： q → ┐ p (2) p ：天下雨， q ：我有时间，r ：我进城。
该命题符号化为： ┐ p ∧ q →r
(3) p ：小王在图书馆看书， q ：小王病了， r ：图 书馆开门。 该命题符号化为： ┐（ q ∨ ┐ r ） → p
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(1) 雪是白的。 (2) 2是奇数。 (3) x＋y＞5。
(4) 你是谁？ (5) 北京是中国的首都。
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(6) 二十一世纪时有人住在月球上。
真值集合: {0,1} ，0和1为真值。 假命题的真值为0，真命题的真值为1。 简单命题（原子命题）： 简单陈述句表达的命题。 一般用小写英文字母p,q,r,s,t等表示简单命题。 例1.2 考察下面的命题： (1) 8不是奇数。 (2) 2和3都是偶数。 (3) 2或3是偶数。 联结词：真值函数，即自变量是真值，函数值也是 真值的函数。
复合命题：由命题和联结词构成，其中的命题称为 该复合命题的支命题。 复合命题的真值由支命题的真值和联结词共同决定。
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真值表：把真值函数在自变量所有可能取值下的函数 值列成的表，称为真值表。
一元真值函数只有一个自变量，其真值表有两行。 共有四个真值不同的一元真值函数，它们的真值表如 下。 表1.1 一元真值函数的真值表 p 0 1 F1(p) F2(p) F3(p) F4(p) 0 0 0 1 1 0 1 1
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∨（析取）：复合命题“p或 者q”称为p与q的析取式，记 为 p ∨ q。 ∨相当于汉语中的“或者” （相容或 ）。 p∨q＝0当且仅当p＝q＝0。
p 0 0
q 0 1
p∨q
0 1
1
1
0
数理逻辑讲义
数理逻辑的一般介绍我们在中学时代就能进行一些证明了, 但并非所有的人都能回答到底什么是证明. 大概来说, 所谓的证明就是把认为某一断言是正确的理由明确地表述出来. 在这一过程中, 我们通常都需要把一些人们已接受的命题作为讨论的基础. 在此基础上, 如果我们能够把该断言推导出来, 该断言就是被认为是被证明了, 因而也就会被人们接受. 于是, 一个很自然的问题就是: 推导究竟为何物? 这个问题就属于逻辑的范畴.逻辑研究推理, 而数理逻辑则研究数学中所用的推理. 由于这种推理在计算机科学中有许多有广泛的应用, 数理逻辑也就成为计算机科学的重要基础之一.很明显, 我们不能够证明一切命题. 如上所述, 当我们证明某一断言(结论) 的时候需要一些其它的命题(前提)作为推理的基础. 我们还可以要求对这些前提进行证明. 如果一直这样要求下去, 或迟或早, 我们会遇这样的情况: 我们进行了“循环” 证明, 即把要证明的命题作为前提来使用, 或者我们无法再作任何证明, 因为没有更为明显的命题可以用来作为前提了.这样,我们就必须不用证明而接受某些命题,我们把这类命题称为“公理”; 其它由这些公理而证明的命题则被称为“定理”.所谓的命题, 直观上是关于某些概念之间的关系. 因而, 我们要求公理是那些根据概念可以明显地接受的命题. 由概念,公理和定理所组成的全体就是公理系统.以上对公理系统的描述要求我们知道公理系统的确切含义. 然而, 从推理的角度来说, 我们并不需要如此. 让我们来看下面的例子:(1).每个学生都是人,(2).王平是学生, (3).王平是人.我们可以由(1) 和(2)推导出(3), 也就是说,如果(1) 和(2)是正确的, 我们就可以断定(3)是正确的. 在这个推理过程中我们并不需要知道“王平”, “学生”, “人” 的含义如何, 把它们换成任何其它的名词, 这一推理都成立. 使(3) 成为(1) 和(2) 的逻辑推论是依据这样的事实: 如果(1)和(2)为真, 则(3)为真. 换句话说, 我们从命题的形式上就可以判断某一推理是否在逻辑上成立, 而无需考虑它的实际含义. 所以我们在研究逻辑的时候往往只需要进行形式的考察就行了, 不必考虑其含义.当我们对某一类研究对象指定了一个公理系统时, 这个公理系统所表示的含义就确定了. 但是在很多情况下, 我们会发现这个公理系统也适合于其它的一些对象. 于是当代数学建立了许多公理系统框架(如各种代数结构). 在这种公理系统框架中, 真正重要的并不是各种公理系统所表达的特定含义的不同, 而是它们的系统构造方面的区别. 这就告诉我们, 在对公理系统进行研究时, 仅对公理系统的形式进行考察是有实际意义的, 在某些情况下这种形式上的考察可以使我们的研究更具有一般性.基于如上认识以及其它的一些考虑(如从计算机科学的角度进行研究等), 我们将对公理系统的语法部分和语义部分进行分别研究. 公理系统的语义部分研究公理系统的含义, 它属于"模型论" 的研究范围, 我们将在今后作一些初步的介绍. 现在,我们对公理系统的语法部分进行粗略的描述.公理系统的语法部分称为形式系统. 它由语言, 公理和推理规则这样三个部分组成.任何推理必须在一定的语言环境中进行, 所以形式系统首先需要有它的语言. 自然语言(如英语, 中文等)具有很丰富的表达能力, 但通常会产生二义性. 例如"是" 在自然语言中可以表示“恒等” (如: 我们的英语老师是张卫国.), “属于” (如: 王小平是学生.), “包含” (如: 学生是人.) 等不同的含义. 同时, 我们还希望公理系统的语言结构能尽可能地反映它的语义并能有效地进行推理. 因而, 我们通常在形式系统中使用人工设计的形式语言.1设A 是一个任给的集合. 我们把A 称为字母表, 把A 中的元素称为符号. 我们把有穷的符号序列称为A的表达式. 一个以A 为其字母表的语言是A 的表达式集合的一个子集, 我们把这个子集中的元素称为公式. 因为我们希望这个语言能够表达我们所研究的对象, 我们要求公式能反映某些事实. 虽然理论上以A 为其字母表的语言可以是A 的表达式集合的任何子集, 我们将只讨论那些能将公式和其它表达式有效地区分开的语言. 我们将用L(F)表示公理系统F 的语言.形式系统的第二个部分是它的公理. 我们对公理的唯一要求是它们必须是该公理系统语言中的公式.最后, 为了进行推理我们需要推理规则. 每个推理规则确保某个公式(结论) 可由其它一些公式(前提) 推导出来.给定公理系统F, 我们可以把F 中的定理定义如下:1). F 的公理是F 的定理;2). 如果F 的某一推理规则的前提都是定理, 则该推理规则的结论也是定理;3). 只有1)和2)所述的是定理.这种定义方式和自然数的定义方式相类似, 称为广义递归定义. 它和通常的定义方式在形式上有所区别. 为了说明它的合理性, 我们对F的定理进行进一步的描述. 设S0 是F 的公理集. 根据1), S0 中的元素是定理. 设S1 是公式集, 它的元素都是F 的某一推理规则的结论, 而该推理规则的前提都是S0 中的元素. 根据2), S1 中元素是定理. 设S2 是公式集,它的元素都是F 的某一推理规则的结论, 而该推理规则的前提都是S0 或S1 中的元素. 根据2), S2 中元素是定理. 如此下去, 我们得到S2 ,S3 ,.... 最后, 设S N 是公式集, 它的元素都是F 的某一推理规则的结论, 而该推理规则的前提都是S0 或S1 ,...S N中的元素. 根据2), S N 中元素是定理并且我们得到了F中的所有定理. 我们将经常使用这种定义方式. 为了书写方便, 在今后的广义递归定义中我们将不再把类似3)的条款列出.如此定义的F 中定理为我们提供了一种证明方法. 当要证明F 中的定理都具有某一性质P 时, 我们可以采用下述步骤:1). 证明F 的公理都具有性质P;2). 证明如果F 的每个推理规则的所有前提具有性质P, 则它的结论具有性质P.这种证明方法称为施归纳于F的定理. 一般说来, 如果集合C 是由广义递归定义的, 我们可用类似的方法证明C中的元素都具有性质P. 这种证明方法称为施归纳于C中的元素. 2)中的前提称为归纳假设.现在我们就可以定义什么是证明了. 所谓F 中的一个证明是一个有穷的F 的公式序列, 该序列中的每一个公式要么是公理, 要么F 的某个推理规则以该序列中前面的公式所为前提而推导出的结论. 如果A 是证明P 的最后的公式, 则称P 是A 的证明.定理公式A 是F 的定理当且仅当A 在F 中有证明.证明首先根据定理的定义可以看出任何证明中的任何公式都是定理, 所以如果A 有证明, 则A 是定理. 我们施归纳于F 的定理来证明其逆亦真. 如果A 是公理, 则A 本身就是A 的证明. 如果A 是由F 的某一推理规则以B1 ,...,B n 为前提推导而得的结论, 由归纳假设, B1 ,...,B n 都有证明. 我们把这些证明按顺序列出来即可得到A 的一个证明. 证完今后, 我们将用 F .... 表示"....是F 的定理".一阶理论2今后, 我们将主要讨论一类特殊的公理系统. 这类公理系统称为一阶理论. 一阶理论是一种逻辑推理系统, 它具有很强的表达能力和推理能力, 并且在数学, 计算机科学及许多其它的科学领域中有广泛的应用. 事实上, 目前使用的大多数计算机语言和数学理论都是一阶理论.如前所述, 一阶理论的第一个部分是它的语言. 我们把一阶理论的语言称为一阶语言. 如同其它的形式语言一样, 一阶语言应包括一个符号表和一些能使我们把公式和其它表达式区分开的语法规则.首先, 我们定义一阶语言的符号表, 它由三类功能不同的符号组成. 它们是:a) 变元x,y,z,...;b) n元函数符号f,g,..., 及n元谓词符号p,q,...;c) 联结词符号和量词符号⌝,∨和∃.为了今后的方便, 我们假定一阶语言的变元是按一定顺序排列的, 并且我们把这种排列顺序称为字母顺序. 我们称0 元函数符号是常元符号. 注意: 一个任给的一阶理论并没有要求必须有函数符号: 一个一阶理论可能没有函数符号, 可能有有穷多个函数符号, 也可能有无穷多的函数符号. 我们要求任何一阶理论必须包括一个二元谓词符号, 并用"=" 来表示它. 和函数符号一样, 一个给定的一阶语言可能有有穷或无穷多个(甚至没有) 其它的谓词符号. 函数符号和除=外的谓词符号称为非逻辑符号, 而其它的符号称为逻辑符号.在定义公式之前, 我们必须先定义"项":(1.1) 定义在一阶语言中, 项是由下述广义递归方式定义的:a) 变元是项;b) 如果u1 ,...,u n 是项, f是n元函数符号, 则fu1 ...u n 是项.然后, 我们定义公式如下:(1.2) 定义在一阶语言中, 公式是由下述广义递归方式定义的:a) 如果u1 ,...,u n 是项, p是n元谓词符号, 则pu1 ...u n 是(原子) 公式,b) 如果u,v 是公式, x 是变元, 则⌝u, ∨uv 和∃xu是公式.如前所述, 相应于公式的定义, 我们有一种广义归纳的证明方法. 我们将把这种证明方法称为施归纳于长度. 有时我们还用施归纳于高度的证明方法, 而所谓的高度是公式中含有⌝,∨,和∃的数量.如果一个表达式b包括另一个表达式a, 则称第二个表达式a在第一个表达式b中出现, 即如果u,v,w 是表达式, 则v在uvw 中出现. 这里, 我们不仅要求a的符号都包括在b中, 而且要求这些符号的排列顺序和a一样并且中间不插有任何其它的符号. 我们把b包括a的次数称为a在b中出现的次数.接下来, 我们要讨论关于一阶语言的一些性质. 这种讨论不仅可以使我们加深对一阶语言的认识, 同时还能帮助我们理解其它的形式系统. 首先要考虑的是唯一可读性问题, 也就是说, 我们将要证明一阶语言中的任何公式不可能有不同的形式. 这一性质说明一阶语言在结构上是不会产生二义性的. 为了简化书写, 我们把公式和项统称为合式表达式. 于是, 根据定义可以知道所有的合式表达式都具有uv1 ...v n 的形式, 其中u 是n 元(函数或谓词) 符号, v1 ,...,v n 是合式表达式.我们说两个表达式u和v是可比较的, 如果存在一个表达式w (w 可以是空表达式) 使u=vw. 显然, 如果uv和u'v'是可比较的, 则u 和u'是可比较的; 如果uv和uv' 是可比较的, 则v 和v'是可比较的.3(1.3) 引理如果u1 ,...,u n ,u'1 ,...,u'n 是合式表达式(u1 和u'1 都不是空表达式), 而且u1 ...u n 和u'1 ...u'n 是可比较的,则对于一切i=1,...,n, u i =u'i .证明施归纳于u1 ...u n 的长度k.如果k=1, 则u1 ...u n 只有一个符号. 所以, n=1. 于是u1 ...u n =u1 且u'1 ...u'n =u'1 . 由于u1 和u'1 都是合式表达式, 它们只可能是变元或常元符号. 由于它们是可比较的, 所以u1 =u'1 .假定当k〈m时引理成立, 并设k=m.由于u1 是合式表达式, 我们可以把它写成vv1 ...v s , 其中v 是s 元符号, v1 ,...,v s 是合式表达式. 由上, u'1 和u1 是可比较的, v 也是u'1 的第一个符号. 于是, 由于u'1 是合式表达式, 它具有vv'1 ...v's 的形式. 由上所述的性质, v1 ...v s 和v'1 ...v's 是可比较的. 由于|v1 ...v s |<|u1 |≤|u1 ...u n |, 根据归纳假设, 对于一切j=1,...,s, v j =v'j , 所以, u1 =u'1 . 由此而得, u2 ...u n 和u'2 ...u'n 是可比较的, 且|u2 ...u n |<|u1 ...u n |, 所以, 由归纳假设, 对于一切i=2,...,n, u i =u'i .于是, 引理得证#(1.4) 唯一可读性定理每一个合式表达只能以唯一的方式写成uv1 ...v n 的形式, 其中, u 是n 元符号, v1 ,...,v n 是合式表达式.证明设w,w'是同一个合式表达式书写形式, 我们必须证明它们的结构是相同的. 首先, 它们必须都有相同的第一个符号,这样, u和n就唯一确定了, 从而, w=uv1...v n 且w'=uv'1...v'n, 其中v i ,v'j 是合式表达式(i,j=1,...,n). 我们还需证明对一切i=1,...,n, v i=v'i. 因为w 和w'是同一个表达式, 因而是可比较的. 于是, 根据引理(1.3), 对于一切i=1,...,n, v i=v'i #下面的定理说明如果一个合式表达式不可能由两个(或更多) 合式表达式的某些部分组成.(1.5) 引理合式表达式u中的任何符号w都是u中某一合式表达式的第一个符号.证明施归纳于u的长度k. 如果k=1, 则u是变元或常元符号. 于是任何在u中出现的符号就是u本身, 从而引理成立.假定当k<m时引理成立, 并设k=m.设u 是vv1 ...v n , 其中v是n元符号, v1 ,...,v n 是合式表达式. 如果w是v, 则它是u的第一个符号. 否则, 存在i=1,...,n, 使w 在v i 中出现. 由于|v i |<|u|, 根据归纳假设, w 是v i 中的某一合式表达式的第一个符号, 当然也是u中的某一合式表达式的第一个符号. 证完. #(1.6) 出现定理设u是n元符号, v1 ,...,v n 是合式表达式. 如果一个合式表达式v在uv1 ...v n 出现, 而且v不是整个uv1 ...v n , 则v在某一v i 出现.证明如果v的第一个符号就是定理中的u, 则v=uv'1 ...v'n , 其中v'1 ,...,v'n 是合式表达式, 且由定理条件, u和v是可比较的. 于是根据引理(1.3), 对于一切i=1,...,n, v i =v'i , 即v=uv1 ...v n . 矛盾.现假定v的第一个符号在某一v i 中出现. 根据引理(1.5), 该符号是某一合式表达式v'的第一个符号. 显然, v和v'是可比较的, 因而由引理(1.3), v=v', 即v在v i 中出现.4#为了方便起见, 我们今后将用大写字母A,B,...表示公式, 用f,g,...表示函数符号, 用p,q,...表示谓词符号, 用x,y,...表示变元, 用a,b,...表示常元符号.现在我们定义两类性质不同的变元, 即自由变元和约束变元.(1.7) 定义a) 如果x 在原子公式中出现, 则x是自由变元;b) 如果x是A 和B 中的自由变元, 且y 不是x, 则x 是⌝A, ∨AB和∃yA中的自由变元.a') x 是∃xA中的约束变元;b') 如果x是A 或B 中的约束变元, 则x 是⌝A, ∨AB和∃yA中的约束变元.注意: x可以在A 中既是自由变元又是约束变元.我们将用u[x/a]表示在表达式u 中将所有的自由变元x换成项a而得的表达式. 设A 是公式, 在很多情况下, A[x/a]关于a 所表示的含义与A 关于x所表示的含义是一样的, 但并非总是如此. 例如, 若A 是∃y=x2y, 而a 是y+1, 则A 是说x 是偶数, 但A[x/a]却不是说y+1是偶数. 这表明并非所有的代入都会保持原有的含义. 于是我们有下述定义:(1.8) 定义 a 被称为是在A 中可代入x的, 如果i) 如果A是原子公式，则a 是在A中可代入x 的；ii) 如果a 在B中可代入x 且对于a 中的任何变元y, ∃yB不含有自由变元x，则a 是在∃yB中可代入x 的；iii) 如果a 在A, B中可代入x, 则a 在⌝A和A∨B中是可代入x 的.今后, 当使用A[x/a] 时, 我们总是假定a是在A 中可代入x的. 类似地, 我们将用u[x1/ a1 ,...,x n/ a n ]表示在表达式u 中将所有的自由变元x1 ,...,x n 分别换成项a1 ,...,a n 而得的表达式, 同时还假定它们都是可代入的.在我们的一阶语言定义中项和公式的写法对于证明和理论分析比较方便, 但和通常的阅读方式不一致. 为了克服这一弱点, 我们引进一些定义符号:(A∨B) 定义为∨AB; (A→B) 定义为(⌝A∨B); (A&B) 定义为⌝(A→⌝B);(A↔B) 定义为((A→B)&(B→A)); ∀xA 定义为⌝∃x⌝A.注意: 定义符号只是为了方便而引进的记号, 它们不是语言中的符号. 当我们计算公式的长度时, 必须把它们换成原来的符号. 同样, 当用施归纳于长度或高度进行证明时也不能把它们作为符号来处理. 今后, 我们将在展示公式时用定义符号, 而在证明时用定义(1.1) 和(1.2).我们称:⌝A 为 A 的否定; A∨B 为 A 和B 的析取(A 或者B); A&B 为 A 和B 的合取(A并且B);A→B 为 A 蕴含B; A↔B 为A等价于B; ∃xA 为关于x的存在量词(存在x 使得A);∀xA 为关于x的全称量词(对一切x 使得A).作业:1) 施归纳于长度证明如果u是公式(项), x 是变元, a是项, 则u[x/a]是公式(项).2) 证明如果uv和vv'是合式表达式, 则v和v'中必有一个是空表达式.一阶理论的逻辑公理和规则形式系统的公理和规则可以分为两类: 逻辑公理和逻辑规则, 非逻辑公理和非逻辑规则. 逻辑公理和逻辑规则指的是那些所有形式系统都有的公理, 而非逻辑公理和非逻辑规则仅在5某些特定的形式系统中才有. 但是, 当形式系统足够丰富时,我们并不需要非逻辑规则. 假定在一个形式系统F 中有一条非逻辑规则使我们可以由B1 ,...,B n 推导出A, 只要F 有足够多的逻辑规则, 我们只需要在F 中加进一条公理B1 →...→B n →A (这里, B1 →...→B n →A表示B1 →(...→(B n →A)...).)就不再需要那条非逻辑规则了. 因此, 我们今后假定我们的形式系统中没有非逻辑规则. 今后我们将把逻辑规则简称为规则. 由于我们仅对形式系统进行一般讨论, 我们的兴趣主要是那些逻辑公理和规则.下面是逻辑公理:1) 命题公理: ⌝A∨A;2) 代入公理: A[x/a]→∃xA;3) 恒等公理: x=x;4) 等式公理: x1 =y1 →...→x n =y n →fx1 ...x n =fy1 ...y n ;或x1 =y1 →...→x n =y n →px1 ...x n →py1 ...y n .注意: 以上并不是仅有四条公理, 而是四类公理. 如命题公理并非一条公理, 而是对于任何公式A 我们有一条命题公理. 所以, 以上的公理实际上是公理模式.以下是规则:1) 扩展规则: 如果A, 则B∨A;2) 收缩规则: 如果A∨A, 则A;3) 结合规则: 如果A∨(B∨C), 则(A∨B)∨C;4) 切割规则: 如果A∨B且⌝A∨C, 则B∨C;5) ∃-引入规则: 如果A→B且x 不是B 中的自由变元, 则∃xA→B.如同上面的公理, 这些规则也不是五条规则, 而是五个规则模式.现在, 我们定义一阶理论如下:(1.9) 定义一个一阶理论T (简称理论T)是具有如下特征的形式系统:1) T 的语言L(T)是一阶语言;2) T 的公理是以上列出的四组公理和一些其它的非逻辑公理;3) T 的规则是以上列出的五组规则.由于一阶理论的逻辑符号, 逻辑公理和规则已经确定, 一阶理论之间的区别在于它们的非逻辑符号和非逻辑公理. 因此, 当我们希望讨论某一具体的一阶理论时只需要把它的非逻辑符号和非逻辑公理指明就行了.例.1) 数论NN 的非逻辑符号为: 常元0, 一元函数符号S, 二元函数符号+和*, 和二元谓词符号<. N 的非逻辑公理为:N1 Sx≠0; N2 Sx=Sy→x=y; N3 x+0=x; N4 x+Sy=S(x+y); N5 x*0=0;N6 x*Sy=(x*y)+x; N7 ⌝(x<0); N8 x<Sy↔x<y∨x=y; N9 x<y∨x=y∨y<x.2) 群GG 只有一个非逻辑符号, 即二元函数符号*. G 的非逻辑公理为:G1 (x*y)*z=x*(y*z); G2 ∃x(∀y(x*y=y)&∀y∃z(z*y=x)).根据我们在第一节所述, 一阶理论T 的定理可以定义为:1) 每一条命题公理, 代入公理, 恒等公理, 等式公理和非逻辑公理是定理;2) 如果A 是定理, 则A∨B是定理;3) 如果A∨A是定理, 则A 是定理;64) 如果A∨(B∨C) 是定理, 则(A∨B)∨C 是定理;5) 如果A∨B和⌝A∨C是定理, 则B∨C是定理;6) 如果A→B是定理且x 不是B 中的自由变元, 则∃xA→B是定理.与此对应, 我们可以用如下广义归纳法证明一阶理论T 中的定理都具有某一性质P:1) 每一条命题公理, 代入公理, 恒等公理, 等式公理和非逻辑公理具有性质P;2) 如果A 具有性质P, 则A∨B具有性质P;3) 如果A∨A具有性质P, 则A 具有性质P;4) 如果A∨(B∨C) 具有性质P, 则(A∨B)∨C 具有性质P;5) 如果A∨B和⌝A∨C具有性质P, 则B∨C具有性质P;6) 如果A→B具有性质P且x 不是B 中的自由变元, 则∃xA→B具有性质P.下面我们证明一阶理论的逻辑公理是相互独立的.(1.10) 定理一阶理论的逻辑公理和规则是互相独立的.证明当我们希望证明某一命题A 是独立于某个命题集Γ和规则集Δ时, 我们需要找到一个性质P 使A 不具有性质P, 而Γ中的每一命题具有性质P 且Δ中的每一规则保持性质P (即如果该规则的前提具有性质P, 则其结论具有性质P); 当我们希望证明某一规则R 是独立于Γ和Δ时, 我们需要找到一个性质P 使R 不保持性质P, 而Γ中的每一命题具有性质P 且Δ中的每一规则保持性质P. 这样就可以断言: 在由Γ为其公理集, Δ为其规则集的形式系统中, 每一定理都具有性质P. 由于A不具有性质P (或R 不保持性质P), 所以, A (或R)是不可能由Γ和Δ来证明的. 这样, A(或R)就独立于Γ和Δ了. 我们将根据这个思想来证明本定理.1) 对于命题公理. 定义f 如下:f(A)=T 若 A 是原子公式; f(⌝A)=F; f(A∨B)=f(B); f(∃xA)=T.可以证明: f(⌝⌝(x=x)∨⌝(x=x))=F, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=T.2) 对于代入公理. 定义f 如下:f(A)=1 若A 是原子公式; f(⌝A)=1 如果f(A)=0, f(⌝A)=0 若f(A)=1;f(A∨B)=max{f(A),f(B)}; f(∃xA)=0.可以证明: f((x=x)→∃x(x=x))=0, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=1.3) 对于恒等公理. 定义f 如下:f(A)=0 若A是原子公式; f(⌝A)=1 如果f(A)=0, f(⌝A)=0 若f(A)=1; f(A∨B)=max{f(A)},f(B); f(∃xA)=f(A).可以证明: f((x=x))=0, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=1.4) 对于等式公理. 首先在L(T)中加进常元e1 ,e2 和e3 而得L'. 然后定义f 如下:f(e i =e j )=1 iff i≤j; f(⌝A)=1 如果f(A)=0, f(⌝A)=0 若f(A)=1; f(A∨B)=max{f(A),f(B)}; f(∃xA)=T iff 存在i 使f(A[x/e i ])=T .可以证明: f((x=y→x=z→x=x→y=z))=0, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A[x/e i ])=1, 其中, x是A 中的自由变元.5) 对于扩展规则. 定义f 如下:f(A)=1 若 A 是原子公式; f(⌝A)=1 如果f(A)=0, 否则, f(A)=0; f(A∨B)=1 如果f(A)=f(⌝B), 否则f(A∨B)=0; f(∃xA)=f(A).可以证明: f((x=x∨(⌝(x=x)∨x=x)))=0, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=1.6) 对于收缩规则. 定义f 如下:7f(A)=T 若 A 是原子公式; f(⌝A)=f(∃xA)=F; f(A∨B)=T.可以证明: f(⌝⌝(x=x))=F, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=T.7) 对于结合规则. 定义f 如下:f(A)=0 若 A 是原子公式; f(⌝A)=1-f(A); f(A∨B)=f(A)*f(B)*(1-f(A)-f(B)); f(∃xA)=f(A).可以证明: f(⌝(⌝(x=x)∨⌝(x=x)))>0, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=0.8) 对于切割规则. 定义f 如下:f(A)=1 若 A 是原子公式; f(⌝A)=1 如果f(A)=0或A是原子公式, 否则f(⌝A)=0; f(A∨B)=max{f(A),f(B)}; f(∃xA)=f(A).可以证明: f(⌝⌝(x=x)))=0, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=1.9) 对于E-引入规则. 定义f 如下:f(A)=1 若A是原子公式; f(⌝A)=1 如果f(A)=0, f(⌝A)=0 若f(A)=1; f(A∨B)=max{f(A),f(B)}; f(∃xA)=T.可以证明: f(∃y⌝(x=x)→⌝(x=x))=0, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=1.结构和模型现在我们讨论一阶理论的语义部分. 为此我们先引进一些集论的记号: 集合或类是把一些我们想要研究的对象汇集在一起, 从而我们可以把它看作是一个整体. 如果A 和B 是集合, 一个由A 到B 的映射 F (记作F: A→B)是一个A 和B 之间的对应, 在这个对应中A 中的每一个元素a 都对应着一个唯一的B中元素 b (称为F在a 上的值, 记作F(b) ). 我们把n个A 中元素按一定顺序排列而得的序列称为A 的一个n 元组, 并用(a1,...,a n )表示由A 中元素a1,...,a n 按此顺序排列的n 元组. 把由A 的所有n 元组成的集合记为A n, 然后把由A n 到B的映射称为由A 到B 的n元函数. 我们把A n 的子集称为A 上的n 元谓词. 如果P是A 上的n 元谓词, 则P(a1 ,...,a n )表示(a1 ,...,a n )∈P.真值函数根据我们对公式和项的定义, 我们可以先用函数符号和谓词符号以及变元构造一些简单的公式, 然后用联结词得到比较复杂的公式, 如"A 并且B" 等等. 我们用符号"&" 表示"并且", 即若A 和B 是公式, "A&B" 表示"A 和B同时成立".于是一个很自然的问题是怎样知道A&B 的真假? 这里, A&B 的一个很重要的特征是: 只需要知道A 和B 的真假就能确定A&B 的真假, 而不必知道A 和B 的具体含义. 为了表示这一特征, 我们引进真值. 真值是两个不同的字母T 和F, 而且当公式A 为真时, 我们用T 表示其真值; 当公式A 为假时, 我们用F 表示其真值. 于是, A&B 的真值就由A 和B 的真值确定了.有了真值的概念, 我们就可以定义真值函数了. 所谓的真值函数是由真值集T,F 到真值集T,F 的函数. 由此, 我们可以把以上的讨论叙述为: 存在二元真值函数H& 使得: 若a 和b 分别是A 和B 的真值, 则H& (a,b) 是A&B 的真值. 我们定义H& 为:H& (T,T)=T, H& (T,F)=H& (F,T)=H& (F,F)=F.我们用"∨" 表示"或者", 并定义H∨如下:8H∨(F,F)=F, H∨(T,F)=H∨(F,T)=H∨(T,T)=T.于是当a 和b 分别是A 和B 的真值时, H∨(a,b)就是A∨B的真值.我们用"→" 表示"如果...则...", 并定义H→如下:H→(T,F)=F, H→(F,F)=H→(F,T)=H→(T,T)=T.于是当a 和b 分别是A 和B 的真值时, H→(a,b)就是A→B的真值.我们用"↔" 表示"当且仅当", 并定义H↔如下:H↔(F,T)=H↔(T,F)=F, H↔(F,F)=H↔(T,T)=T.于是当a 和b 分别是A 和B 的真值时, H↔(a,b)就是A↔B的真值.我们用"⌝" 表示"非", 并定义H⌝如下:H⌝(F)=T, H⌝(T)=F.于是当a 是A 的真值时, H⌝(a)就是⌝A的真值.容易证明, &,→, 和↔可由⌝和∨定义. 事实上所有的真值函数都可以由⌝和∨定义.作业1. 证明: 任何真值函数f(a1 ,...,a n )都可以由H⌝和H∨定义.2. 设H d , H s 是真值函数, 其定义为:H d (a,b)=T 当且仅当a=b=F; H s (a,b)=F 当且仅当a=b=T.证明: 任何真值函数f(a1 ,...,a n )都可以由H d (或H s )定义.结构现在我们讨论一阶语言的语义部分(称为它的结构). 所谓一个语言的语义, 当然是表示该语言中所指称的对象范围和每一个词和句子所表达的含义. 一阶语言的语义也是如此. 如前定义, 一阶语言中的符号有函数符号和谓词符号, 这些都应在它的语义中有具体的含义. 把这些组合起来, 我们就可以得到如下定义:(1.11) 定义称三元组M=〈|M|,F,P〉是一个结构，如果:1) |M|是一个非空集合，它称为是L 的论域, |M| 中的元素称为是M 的个体;2) F是|M|上的函数集合;3) P是|M|上的谓词集合.定义设L是一阶语言，M是一个结构。
【创优导学案】2014届高考数学总复习 第一章 集合与简易逻辑 1-2课后巩固提升(含解析)新人教A版
【创优导学案】2014届高考数学总复习 第一章 集合与简易逻辑 1-2课后巩固提升（含解析）新人教A 版(对应学生用书P 377 解析为教师用书独有)(时间：45分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的否命题是( ) A ．若x ，y 都是偶数，则x ＋y 不是偶数B ．若x ，y 都不是偶数，则x ＋y 不是偶数C ．若x ，y 都不是偶数，则x ＋y 是偶数D ．若x ，y 不都是偶数，则x ＋y 不是偶数解析 D “都是”的否定是“不都是”，故选D.2．已知p ：x ≤1，q ：1x ＜1，则p 是綈q 成立的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 B 綈q ：0≤x ≤1，故选B.3．有下列四个命题：①“若b ＝3，则b 2＝9”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③若c ≤1，则x 2＋2x ＋c ＝0有实根；④“若A ∪B ＝A ，则A ⊆B ”的逆否命题．其中真命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析 A 在③中，当c ≤1时，4－4c ≥0，方程有实根，命题为真．其余全为假．4．已知α，β为不重合的两个平面，直线m ⊂α，那么“m ⊥β”是“α⊥β”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 A 由m ⊥β，m ⊂α⇒α⊥β；反过来，α⊥β，m ⊂α⇒/ m ⊥β，所以“m ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件．5．设原命题：若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )A ．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题解析A 可以考虑原命题的逆否命题，即a，b都小于1，则a＋b＜2，显然为真．原命题的逆命题，即a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2，为假，如a＝1.2，b＝0.2，则a ＋b＜2.6．(2013·银川模拟)若a，b∈R，使|a|＋|b|＞1成立的一个充分不必要条件是( ) A．|a＋b|≥1 B．a≥1C．|a|≥0.5，且b≥0.5 D．b＜－1解析 D 当a＝1，b＝0时，都满足选项A，B, 但是不能得出|a|＋|b|＞1；当a＝0.5，b＝0.5时，满足选项C，但是不能得出|a|＋|b|＞1，故选D.二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)7．有三个命题：(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；(2)“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；(3)“若x≤－3，则x2＋x－6>0”的否命题．其中真命题的个数为________．解析(1)真，(2)原命题假，所以逆否命题也假，(3)易判断原命题的逆命题假，则原命题的否命题也假．【答案】18．“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的________条件．解析由于a>b且c>d可以推出a＋c>b＋d，而a＋c>b＋d不能得到a>b且c>d，所以“a ＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的必要不充分条件．【答案】必要不充分9．(2013·安庆模拟)若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则a的最大值为________．解析∵x2>1，∴x<－1或x>1.由已知x<a⇒x2>1，∴a≤－1，故最大值是－1.【答案】－1三、解答题(本大题共3小题，共40分)10．(12分)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．解析 (1)逆命题：若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0，真命题． 用反证法证明：假设a ＋b <0，则a <－b ，b <－a .∵f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，则f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )，∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，这与题设相矛盾，∴逆命题为真．(2)逆否命题：若f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，则a ＋b <0，真命题．∵原命题等价于它的逆否命题，∴证明原命题为真命题即可．∵a ＋b ≥0，∴a ≥－b ，b ≥－a .又∵f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )，∴f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．∴逆否命题为真．11．(12分)已知不等式|x －m |＜1成立的充分不必要条件是13＜x ＜12，求m 的取值范围． 解析 由题意知：13＜x ＜12是不等式|x －m |＜1成立的充分不必要条件． 所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 13＜x ＜12是{x ||x －m |＜1}的真子集． 而{x ||x －m |＜1}＝{x |－1＋m ＜x ＜1＋m }，所以有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ≤13，1＋m ≥12，解得－12≤m ≤43. 所以m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43. 12．(16分)若ab ≠0，试证a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0成立的充要条件是a ＋b ＝1. 解析 必要性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0， ∴(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝0， 即(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0， 又ab ≠0，∴a 2－ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b 2＋3b 24≠0， 因此a ＋b －1＝0，即a ＋b ＝1.充分性：∵a ＋b ＝1，即a ＋b －1＝0，∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0，即a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.。
第一二章数理逻辑课件
二、真值表truth table
1、命题公式的赋值（解释）：设命题公式A(p1,p2…pn), 其中p1,p2…pn为A中的命题变元，给p1,p2…pn各指派一 个真值，称对A的一次赋值（解释）。如果指定的某 组赋值使A的真值为1，则称这组值为A的成真赋值， 否则称这组值为A的成假赋值。
2、定义：在命题公式A(p1,p2…pn)中，对于分量（命题变 元）指派真值的各种可能组合，就确定了这个命题公 式的各种真值情况，将其汇列成表，就是命题公式的 真值表；命题公式中变元真值指派组合数目决定于变 元分量的个数，一般说，n个命题变元组成的命题公式 共有2n种真值组合情况。
p
┐p
0
1
1
0
2、合取 （∧）
定义：两命题P、Q的合取 是一复合命题，记为。当 且仅当P、Q同时为T时， 为T，其他情况为F 。P∧Q
真值表如表1.2所示。 与自然语言的关系：相当于与、 并且、和等，常表示递进、并列 、转折这样的关系，但新的复合 命题不一定有意义，这是数理逻 辑命题与自然语言的区别。
组成的合取式。 2、析取范式求法(P31) 1）将命题公式中联结词转换成┐ ∧ ∨。 2）利用德摩根律把┐直接移入到每个命题变元之前。 3）利用分配律或结合律将公式转换成析取范式，并进行化简 。
例1 (┐P ∧ R) ∨ ┐(P →Q) (P ∧ ┐R) ∨ ┐(┐P ∨ Q) (P ∧ ┐R) ∨ (P ∧ ┐Q)
是对陈述句中的关联词的符号化处 理。
1、否定( ┐)
定义：设P为一命题，P的否定 是一个新的命题，记为；若P为 T，则为F，若P为F，则为T。与 自然语言的关系：相当于不、否 、非等； ┐P真值表如表1.1所示 。
注意：否定的意义仅是修改命题 的内容，没有构成复合命题，它 是一元运算。
数理逻辑1.1 (2)
1.1.3 命题符号化
运用上述五个真值联结词将日常语言中的命题转化成数理逻辑中的形式 命题的过程为命题符号化。命题符号化是运用数理逻辑解决实际问题的基 本出发点。 例1 小张既聪明又勤奋，所以他的学习成绩一直很好。 解 P ：小张聪明。 Q ：小张勤奋。 R ：小张的学习成绩一直很好。 符号化的结果为： (P∧Q) → R 例2 小王总是在图书馆看书，除非他病了或图书馆不开门。 解 P：小王病了。 Q：图书馆开门。 R：小王在图书馆看书。 符号化的结果为：R (P Q)
第1章 命 题 演 算 (Propositional calculus)
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 命题与真值联结词 命题公式与真假性 命题公式间的逻辑等价关系 命题公式间的逻辑蕴涵关系 命题演算的形式推理
1.1
命题与真值联结词
1.1.1 命题 1.1.2 真值联结词 1.1.3 命题符号化
• P为“黑板是黑的”，则P 是“黑板不是黑的” 。
2.
合取联结词
• 设P, Q是两个命题，P与Q的合取是一个新的命题，记为P∧Q。 • 符号∧称为合取联结词，简称合取词；称P∧Q为P与Q的合取式，称P, Q为该合取式的合取项。 • 它们的真假值关系由表2确定。
P
T T F F
Q
T F T F
P∧Q
1.
否定联结词
• 设P是一个命题，P的否定是一个新的命题，记为P。 • 符号 称为否定联结词，简称否定词。称P为P的否定式。 • 它们的真假值关系由表1确定。
P T F P F T
表1 否定词之真值表
• P为“今天天气好”，则P 是“今天天气不好” 。 • P为“上海是一个大城市”，则P 是“上海不是一个大城市” 。
大连海事大学2013-2014学年第一学期硕士研究生《数理逻辑》试题及参考答案
备注：1、试卷背面为演草区（不准用自带草纸） 装 订 线课程编号: 20312019 考核方式：（开卷） 考核时间：2013年12月24日8:00-9:35 主考教师允许携带的用品:教科书、参考书、课件大连海事大学2013--2014学年第一学期硕士研究生《数理逻辑》试卷及参考答案一．（本题10分）判断下述说法是否正确，正确的在【 】中填写T ，不正确的在【 】中填写F ，不必说明理由。
1. 【T 】如果命题公式A B ∨是恒假的，则A 是恒假的并且B 是恒假的。
2. 【F 】{},,⌝∧∨是逻辑连接符的极小全功能集。
3. 【T 】如果m 和m '都是关于命题变量1n p ,,p 的极小项，则m m '=当且仅当m m m '∧⇔。
4. 【T 】任意命题公式都存在唯一的与之等值的主合取范式。
5. 【F 】在一阶逻辑中，()(),,x P x y xP x z ∀⌝⇔⌝∃。
6. 【T 】项()f a,b 对公式(),yP x y ∀中的自由变量x 是自由的。
7. 【F 】在一阶逻辑中，()()()()()xP x xQ x x P x Q x ∃∧∃⇔∃∧。
8. 【F 】任意一阶公式都与其所对应的子句集等值。
9. 【T 】形式系统L 的扩张L *如果不是相容的，那么L *必然是完全的。
10.【T 】设A 是形式系统K 的公式，A '是A 所对应的封闭公式。
则KA A '→。
二. (10分) 设A ,B ,C 是命题公式。
试回答下述问题并证明你的结论。
⑴ 如果A C B C →⇔→,是否一定有A B ⇔？(4分) ⑵ 如果A C B C ↔⇔↔,是否一定有A B ⇔？（6分）解 ⑴ 如果A C B C →⇔→，不一定有A B ⇔，事实上，只要C 是重言式，则一定有A C A C →⇔⌝→，但这时A A ⇔⌝/。
⑵ 如果A C B C ↔⇔↔，一定有A B ⇔。
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第一章 数理逻辑
定理 1.2 – 2 若A B, 且A , B为命题变元P1, P2,….., Pn及联结
词∧ , ∨ , 构成的公式, 则A* B*。
证 AB意味着
A(P1, P2, …, Pn) B(P1, P2, …, Pn) 所以
A(P1, P2, … , Pn) B( P1, P2, … , Pn)
第一章 数理逻辑
（3）若A不是永真式，也不是永假式，则 称A为偶然式. （4）若A至少存在一组赋值是成真赋值, 则称A为可满足式.
第一章 数理逻辑
真值表：
(a)若真值表最后一列全为1，则为重言式； (b)若真值表最后一列全为0，则为矛盾式； (c)若真值表最后一列至少有一个1，则为可满 足式； (d)若真值表最后一列至少有一个0，则非永真； （e）既有0也有1，则为偶然式
第一章 数理逻辑
2.替换规则
结论：恒等式和蕴含式表中的字符P、Q、R 等不仅代表命题变元，而且可以代表命题 公式，T和F不仅代表真命题和假命题，而 且可以代表重言式和永假式。
第一章 数理逻辑
证明公式等值的另一个方法是利用已知的等值式通过代换得 到新的等值式。
例2 (a) 证明P∧ Q∨Q P∨Q
第一章 数理逻辑
1.2 重 言 式
• • • • 恒等式 永真蕴含式 二式的性质 对偶原理
第一章 数理逻辑
1.2.1 基本概念 设A(P1，P2，…Pn)为任一命题公式， （1）若A在其各种赋值下的取值均为真， 则称A是重言式或永真式。 （2）若A在其各种赋值下的取值均为假， 则称A是矛盾式或永假式。
第一章 数理逻辑
常见的逻 辑 恒 等 式
第一章 数理逻辑 表 1.2 - 1 逻 辑 恒 等 式
第一章 数理逻辑
1.2.3 永真蕴含式
• 如果A→B是一永真式, 那么称为永真蕴 含式, 记为A B, 读做“A永真蕴含B”。
第一章 数理逻辑
表 1.2 – 2 永真蕴含式
第一章 数理逻辑
永真蕴含式也可用真值表、恒等代换证 明，但也可用以下办法证明: (1) 假定前件是真, 若能推出后件是真, 则 此蕴含式是真。肯定前件法 (2) 假定后件是假, 若能推出前件是假, 则 此蕴含式是真。 否定后件法
第一章 数理逻辑 例 4 若(P∧Q)∨( 得 (P∨Q)∧( P∨( P∧(
P∨Q))
P∧Q))
P∨Q, 则由对偶原理 P∧Q
定理 1.2 -3 如果A B, 且A , B为命题变元P1, P2, … , Pn及联结 词∧ , ∨ , 构成的公式, 则B* A*。
证 A
B意味着
A(P1, P2 , … ,Pn)→B(P1, P2, …. , Pn)永真, B(P1, P2, … , Pn)→ A (P1, P2, … , Pn)永真。
(c) 试将语句“情况并非如此: 如果他不来, 那么我也不去。”
(
P∧Q Q∧ P
E5
化简后的语句是“我去了, 而他不来”。
第一章 数理逻辑 (d) 找出P→(P Q)∨R的仅含∧ 解 P→(P Q)∨R
P→(P→Q)∧(Q→P)∨R
E15和替换规则
E14和替换规则 P∨( P∨Q)∧( Q∨P)∨R P∨Q)∧( P ∨ Q∨P)∨R E9和替换规则 ( P∨ Q)∨R E2 , E20和替换规则 ( P∨Q)∧(T ∨
2. 若AB , A C, 则A B∧C。 ;
证 A是真时, B和C都真, 所以B∧C也真。因此A→B∧C永真, 则A B∧C。
第一章 数理逻辑
1.2.5 代入规则和替换规则 1. 代入规则 一重言式中某个命题变元出现的每一处 均代入以同一公式后, 所得的仍是重言式。 注：对非重言式通常不作代入运算, 特别 是偶然式
Q∧(P→Q)是假。
第一章 数理逻辑
1.2.4 恒等式和永真蕴含式的两个性质
1. 若AB , B C 则A B , B C则A C; 若A C。 这一性质也可叙述为 : 逻辑恒等和永真蕴含都是传递的。前 者留给读者自证, 现证明后者。 证 A→B永真; B→C永真, 所以 (A→B)∧(B→C)永真。 由公式I6得A→C永真, 既A C。
第一章 数理逻辑
1.2.2 恒等式
定义
如果A B是重言式, 则A与B对任何指派都有相同 的真值。 记为A B, 叫做逻辑恒等式, 读做“A恒 等于B”。 注：是逻辑联结词, A和B有逻辑等 价这个关系的符号, 它的作用相当于代数中的“=”。 判断两个公式恒等的方法 1：真值表法（只需要说明A和B的真值表相同即可） 2：利用已知的恒等式通过代换得到新的恒等式
证 P∧ Q∨Q Q∨P∧ Q (Q∨P)∧(Q∨ (Q∨P)∧T
Q∨P
E4 Q) E9 E20和替换规则 E19
P∨Q
E4
第一章 数理逻辑
等值公式用法
• 证明恒等式、永真蕴含式 • 命题化简
第一章 数理逻辑 (b) 证明(P→Q)→(Q∨R) P∨Q∨R 证 (P→Q)→(Q∨R)
对A *采取同样手续, 又得A, 所以A也是A*的对偶。因此, 对
偶是相互的。 例3 (a) P∨(Q∧R) P∧(Q∨R)互为对偶。
(b) P∨F 和P∧T互为对偶。
第一章 数理逻辑
定理 1.2 - 1 设A和A*是对偶式。P 1, P2,…, Pn是出现于A和A * 中的所有命题变元, 于是 ┐A(P1, P2, …, Pn) A *( ┐P1, ┐P2, … , ┐Pn)
由定理 1.2 -1 得
B*( P1, P2 , … , Pn)→A*( P1, P2 , … , Pn) Pi代Pi, 1≤i≤n, 得 证毕。
因为上式是永真式, 可以使用代入规则,
B*
A*。
由定理 1.2 -1 得 A*( P1, P2, … , Pn) B* ( P1, P2, … , Pn)
因为上式是永真式, 可以使用代入规则, 以 Pi代Pi, 1≤i≤n, 得
A*(P1, P2, …, Pn) B*( P1, P2, …, 所以, A* B*。证毕。 Pn) 本定理常称为对偶原理。
( P∨Q)∧T ∨R P∨Q∨R (P∧
所以, (P∧ Q∧ Q∧ R) R)是所求表达式。
E16和替换规则
E19和替换规则
E1, E11
第一章 数理逻辑
1.2.6 对偶原理
定义1.2 - 1 设有公式A, 其中仅有联结词∧ , ∨ , 偶公式。 。在A中 将∧ , ∨ , T , F分别换以∨ , ∧ , F , T得公式A *, 则A*称为A的对
第一章 数理逻辑
例1
Q , P→Q是真。所以, Q是
Q∧(P→Q)是真,
假, P是假。 方法 2:
(i) 若Q为真,
P是真。 故 Q∧(P→Q) P P是假, 则P是真。以下分情况讨论。
Q是假, Q∧(P→Q)是假。
(ii) 若Q是假, 则P→Q是假,
故 Q∧(P→Q) P。
(
(
P∨Q)→(Q∨R) P∨Q)∨(Q∨R)
E14和替换规则 E14 E10、E1和替换规则 E6 例 2(a)和替换规则
P∧ Q∨(Q∨R) (P∧
Q∨Q)∨R)
P∨Q∨R
第一章 数理逻辑 化简。 解 设P: 他来, Q: 我去, 简化此公式 ( P→ Q) P∨ P∧ Q) Q E14和替换规则 E10 E1 和替换规则 ( P→ Q)。