数理逻辑1.1-2
离散数学1-1,1-2
(疑4)问你句今：年提暑出假问题去的旅句行子吗，句？末（用疑问问号。句） (感5)叹克句里：特带岛有人浓说厚感：情“的克句里子特，岛句末人用是感说叹谎号话。者”。
（悖论）
悖：相反。悖论：自相矛盾的陈述。
h）我们要努力学习。
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离散数学
解：
Hale Waihona Puke a），c），e）是原子命 题，f）是复合命题。
a）离散数学是计算机科学系的一门必修课。 是命题， 真值为T。
b）小李有空吗？ 疑问句，不是命题。 c）明天我去看电影。 是命题，真值要根据具体情况 确定。
d）请勿随地吐痰！ 祈使句，不是命题。 e）不存在最大质数。 是命题，真值为T。 f）如果我掌握了英语、法语，那么学习其他欧洲语 言就容易的多。 是命题，真值为T。 g）x=3 不是命题，x=3的真假由x确定，当x取3时句 子为真，当x取其他值时句子为假。 h）我们要努力学习。 祈使句，不是命题。
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离散数学
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与“和”有相同意义的汉字还有“与”、“以及”、 “并且”、“而且”等。
例：P：今天下雨。
Q：明天下雨。
上述命题的合取为
P∧Q：今天下雨而且明天下雨。
P∧Q：今天与明天都下雨。 P∧Q：这两天都下雨。 显然只有当“今天下雨”与“明天下雨”都是真时， “这两天都下雨”才是真的。
祈使句、疑问句、感叹句 等都不能作为命题，悖论
无真值，也不能作为命题。
语句（7）—（11）都不是 命题。
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3、分类
精品文档-离散数学(方世昌)-第1章
第1章 数理逻辑
例 1.1 - 1 下述都是命题: (1) 今天下雪; (2) 3+3=6; (3) 2 是偶数而 3 是奇数; (4) 陈涉起义那天，杭州下雨; (5) 较大的偶数都可表为两个质数之和。
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第1章 数理逻辑
以上命题中，(1)的真值取决于今天的天气; (2)和(3)是真; (4)已无法查明它的真值，但它是或真或假的， 故将它归属于 命题; (5)目前尚未确定其真假，但它是有真值的，应归属于 命题。
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第1章 数理逻辑
从以上分析，我们得出他必须既非说谎也不是讲真话。 这 样，断言“我正在说谎”事实上不能指定它的真假，所以不是命 题。 这种断言叫悖论。
若一个命题已不能分解成更简单的命题，则这个命题叫原子 命题或本原命题。 例1.1 - 1中(1)、(2)、(4)、(5)都是本原命 题，但(3)不是，因为它可写成“2 是偶数”和“3 是奇数”两 个命题。
译为P∧Q，但“林芬和林芳是姐妹”就不能翻释成两个命题的合
取，它是一个原子命题。
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第1章 数理逻辑
1.1.3 命题变元和命题公式 通常，如果P代表真值未指定的任意命题，我们就称P为命题
变元; 如果P代表一个真值已指定的命题，我们就称P为命题常元。 但由于在命题演算中并不关心具体命题的涵义，只关心其真假值， 因此，我们可以形式地定义它们。
以“真”、“假”为其变域的变元，称为命题变元; T和F称 为命题常元。
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第1章 数理逻辑
习惯上把含有命题变元的断言称为命题公式。 但这样描述 过于表面，它没能指出命题公式的结构。 因为不是由命题变元、 联结词和一些括号组成的字符串都能成为命题公式，因此在计算 机科学中常用以下定义。
单个命题变元和命题常元叫原子公式。 由以下形成规则生 成的公式叫命题公式(简称公式):
数理逻辑讲义
数理逻辑的一般介绍我们在中学时代就能进行一些证明了, 但并非所有的人都能回答到底什么是证明. 大概来说, 所谓的证明就是把认为某一断言是正确的理由明确地表述出来. 在这一过程中, 我们通常都需要把一些人们已接受的命题作为讨论的基础. 在此基础上, 如果我们能够把该断言推导出来, 该断言就是被认为是被证明了, 因而也就会被人们接受. 于是, 一个很自然的问题就是: 推导究竟为何物? 这个问题就属于逻辑的范畴.逻辑研究推理, 而数理逻辑则研究数学中所用的推理. 由于这种推理在计算机科学中有许多有广泛的应用, 数理逻辑也就成为计算机科学的重要基础之一.很明显, 我们不能够证明一切命题. 如上所述, 当我们证明某一断言(结论) 的时候需要一些其它的命题(前提)作为推理的基础. 我们还可以要求对这些前提进行证明. 如果一直这样要求下去, 或迟或早, 我们会遇这样的情况: 我们进行了“循环” 证明, 即把要证明的命题作为前提来使用, 或者我们无法再作任何证明, 因为没有更为明显的命题可以用来作为前提了.这样,我们就必须不用证明而接受某些命题,我们把这类命题称为“公理”; 其它由这些公理而证明的命题则被称为“定理”.所谓的命题, 直观上是关于某些概念之间的关系. 因而, 我们要求公理是那些根据概念可以明显地接受的命题. 由概念,公理和定理所组成的全体就是公理系统.以上对公理系统的描述要求我们知道公理系统的确切含义. 然而, 从推理的角度来说, 我们并不需要如此. 让我们来看下面的例子:(1).每个学生都是人,(2).王平是学生, (3).王平是人.我们可以由(1) 和(2)推导出(3), 也就是说,如果(1) 和(2)是正确的, 我们就可以断定(3)是正确的. 在这个推理过程中我们并不需要知道“王平”, “学生”, “人” 的含义如何, 把它们换成任何其它的名词, 这一推理都成立. 使(3) 成为(1) 和(2) 的逻辑推论是依据这样的事实: 如果(1)和(2)为真, 则(3)为真. 换句话说, 我们从命题的形式上就可以判断某一推理是否在逻辑上成立, 而无需考虑它的实际含义. 所以我们在研究逻辑的时候往往只需要进行形式的考察就行了, 不必考虑其含义.当我们对某一类研究对象指定了一个公理系统时, 这个公理系统所表示的含义就确定了. 但是在很多情况下, 我们会发现这个公理系统也适合于其它的一些对象. 于是当代数学建立了许多公理系统框架(如各种代数结构). 在这种公理系统框架中, 真正重要的并不是各种公理系统所表达的特定含义的不同, 而是它们的系统构造方面的区别. 这就告诉我们, 在对公理系统进行研究时, 仅对公理系统的形式进行考察是有实际意义的, 在某些情况下这种形式上的考察可以使我们的研究更具有一般性.基于如上认识以及其它的一些考虑(如从计算机科学的角度进行研究等), 我们将对公理系统的语法部分和语义部分进行分别研究. 公理系统的语义部分研究公理系统的含义, 它属于"模型论" 的研究范围, 我们将在今后作一些初步的介绍. 现在,我们对公理系统的语法部分进行粗略的描述.公理系统的语法部分称为形式系统. 它由语言, 公理和推理规则这样三个部分组成.任何推理必须在一定的语言环境中进行, 所以形式系统首先需要有它的语言. 自然语言(如英语, 中文等)具有很丰富的表达能力, 但通常会产生二义性. 例如"是" 在自然语言中可以表示“恒等” (如: 我们的英语老师是张卫国.), “属于” (如: 王小平是学生.), “包含” (如: 学生是人.) 等不同的含义. 同时, 我们还希望公理系统的语言结构能尽可能地反映它的语义并能有效地进行推理. 因而, 我们通常在形式系统中使用人工设计的形式语言.1设A 是一个任给的集合. 我们把A 称为字母表, 把A 中的元素称为符号. 我们把有穷的符号序列称为A的表达式. 一个以A 为其字母表的语言是A 的表达式集合的一个子集, 我们把这个子集中的元素称为公式. 因为我们希望这个语言能够表达我们所研究的对象, 我们要求公式能反映某些事实. 虽然理论上以A 为其字母表的语言可以是A 的表达式集合的任何子集, 我们将只讨论那些能将公式和其它表达式有效地区分开的语言. 我们将用L(F)表示公理系统F 的语言.形式系统的第二个部分是它的公理. 我们对公理的唯一要求是它们必须是该公理系统语言中的公式.最后, 为了进行推理我们需要推理规则. 每个推理规则确保某个公式(结论) 可由其它一些公式(前提) 推导出来.给定公理系统F, 我们可以把F 中的定理定义如下:1). F 的公理是F 的定理;2). 如果F 的某一推理规则的前提都是定理, 则该推理规则的结论也是定理;3). 只有1)和2)所述的是定理.这种定义方式和自然数的定义方式相类似, 称为广义递归定义. 它和通常的定义方式在形式上有所区别. 为了说明它的合理性, 我们对F的定理进行进一步的描述. 设S0 是F 的公理集. 根据1), S0 中的元素是定理. 设S1 是公式集, 它的元素都是F 的某一推理规则的结论, 而该推理规则的前提都是S0 中的元素. 根据2), S1 中元素是定理. 设S2 是公式集,它的元素都是F 的某一推理规则的结论, 而该推理规则的前提都是S0 或S1 中的元素. 根据2), S2 中元素是定理. 如此下去, 我们得到S2 ,S3 ,.... 最后, 设S N 是公式集, 它的元素都是F 的某一推理规则的结论, 而该推理规则的前提都是S0 或S1 ,...S N中的元素. 根据2), S N 中元素是定理并且我们得到了F中的所有定理. 我们将经常使用这种定义方式. 为了书写方便, 在今后的广义递归定义中我们将不再把类似3)的条款列出.如此定义的F 中定理为我们提供了一种证明方法. 当要证明F 中的定理都具有某一性质P 时, 我们可以采用下述步骤:1). 证明F 的公理都具有性质P;2). 证明如果F 的每个推理规则的所有前提具有性质P, 则它的结论具有性质P.这种证明方法称为施归纳于F的定理. 一般说来, 如果集合C 是由广义递归定义的, 我们可用类似的方法证明C中的元素都具有性质P. 这种证明方法称为施归纳于C中的元素. 2)中的前提称为归纳假设.现在我们就可以定义什么是证明了. 所谓F 中的一个证明是一个有穷的F 的公式序列, 该序列中的每一个公式要么是公理, 要么F 的某个推理规则以该序列中前面的公式所为前提而推导出的结论. 如果A 是证明P 的最后的公式, 则称P 是A 的证明.定理公式A 是F 的定理当且仅当A 在F 中有证明.证明首先根据定理的定义可以看出任何证明中的任何公式都是定理, 所以如果A 有证明, 则A 是定理. 我们施归纳于F 的定理来证明其逆亦真. 如果A 是公理, 则A 本身就是A 的证明. 如果A 是由F 的某一推理规则以B1 ,...,B n 为前提推导而得的结论, 由归纳假设, B1 ,...,B n 都有证明. 我们把这些证明按顺序列出来即可得到A 的一个证明. 证完今后, 我们将用 F .... 表示"....是F 的定理".一阶理论2今后, 我们将主要讨论一类特殊的公理系统. 这类公理系统称为一阶理论. 一阶理论是一种逻辑推理系统, 它具有很强的表达能力和推理能力, 并且在数学, 计算机科学及许多其它的科学领域中有广泛的应用. 事实上, 目前使用的大多数计算机语言和数学理论都是一阶理论.如前所述, 一阶理论的第一个部分是它的语言. 我们把一阶理论的语言称为一阶语言. 如同其它的形式语言一样, 一阶语言应包括一个符号表和一些能使我们把公式和其它表达式区分开的语法规则.首先, 我们定义一阶语言的符号表, 它由三类功能不同的符号组成. 它们是:a) 变元x,y,z,...;b) n元函数符号f,g,..., 及n元谓词符号p,q,...;c) 联结词符号和量词符号⌝,∨和∃.为了今后的方便, 我们假定一阶语言的变元是按一定顺序排列的, 并且我们把这种排列顺序称为字母顺序. 我们称0 元函数符号是常元符号. 注意: 一个任给的一阶理论并没有要求必须有函数符号: 一个一阶理论可能没有函数符号, 可能有有穷多个函数符号, 也可能有无穷多的函数符号. 我们要求任何一阶理论必须包括一个二元谓词符号, 并用"=" 来表示它. 和函数符号一样, 一个给定的一阶语言可能有有穷或无穷多个(甚至没有) 其它的谓词符号. 函数符号和除=外的谓词符号称为非逻辑符号, 而其它的符号称为逻辑符号.在定义公式之前, 我们必须先定义"项":(1.1) 定义在一阶语言中, 项是由下述广义递归方式定义的:a) 变元是项;b) 如果u1 ,...,u n 是项, f是n元函数符号, 则fu1 ...u n 是项.然后, 我们定义公式如下:(1.2) 定义在一阶语言中, 公式是由下述广义递归方式定义的:a) 如果u1 ,...,u n 是项, p是n元谓词符号, 则pu1 ...u n 是(原子) 公式,b) 如果u,v 是公式, x 是变元, 则⌝u, ∨uv 和∃xu是公式.如前所述, 相应于公式的定义, 我们有一种广义归纳的证明方法. 我们将把这种证明方法称为施归纳于长度. 有时我们还用施归纳于高度的证明方法, 而所谓的高度是公式中含有⌝,∨,和∃的数量.如果一个表达式b包括另一个表达式a, 则称第二个表达式a在第一个表达式b中出现, 即如果u,v,w 是表达式, 则v在uvw 中出现. 这里, 我们不仅要求a的符号都包括在b中, 而且要求这些符号的排列顺序和a一样并且中间不插有任何其它的符号. 我们把b包括a的次数称为a在b中出现的次数.接下来, 我们要讨论关于一阶语言的一些性质. 这种讨论不仅可以使我们加深对一阶语言的认识, 同时还能帮助我们理解其它的形式系统. 首先要考虑的是唯一可读性问题, 也就是说, 我们将要证明一阶语言中的任何公式不可能有不同的形式. 这一性质说明一阶语言在结构上是不会产生二义性的. 为了简化书写, 我们把公式和项统称为合式表达式. 于是, 根据定义可以知道所有的合式表达式都具有uv1 ...v n 的形式, 其中u 是n 元(函数或谓词) 符号, v1 ,...,v n 是合式表达式.我们说两个表达式u和v是可比较的, 如果存在一个表达式w (w 可以是空表达式) 使u=vw. 显然, 如果uv和u'v'是可比较的, 则u 和u'是可比较的; 如果uv和uv' 是可比较的, 则v 和v'是可比较的.3(1.3) 引理如果u1 ,...,u n ,u'1 ,...,u'n 是合式表达式(u1 和u'1 都不是空表达式), 而且u1 ...u n 和u'1 ...u'n 是可比较的,则对于一切i=1,...,n, u i =u'i .证明施归纳于u1 ...u n 的长度k.如果k=1, 则u1 ...u n 只有一个符号. 所以, n=1. 于是u1 ...u n =u1 且u'1 ...u'n =u'1 . 由于u1 和u'1 都是合式表达式, 它们只可能是变元或常元符号. 由于它们是可比较的, 所以u1 =u'1 .假定当k〈m时引理成立, 并设k=m.由于u1 是合式表达式, 我们可以把它写成vv1 ...v s , 其中v 是s 元符号, v1 ,...,v s 是合式表达式. 由上, u'1 和u1 是可比较的, v 也是u'1 的第一个符号. 于是, 由于u'1 是合式表达式, 它具有vv'1 ...v's 的形式. 由上所述的性质, v1 ...v s 和v'1 ...v's 是可比较的. 由于|v1 ...v s |<|u1 |≤|u1 ...u n |, 根据归纳假设, 对于一切j=1,...,s, v j =v'j , 所以, u1 =u'1 . 由此而得, u2 ...u n 和u'2 ...u'n 是可比较的, 且|u2 ...u n |<|u1 ...u n |, 所以, 由归纳假设, 对于一切i=2,...,n, u i =u'i .于是, 引理得证#(1.4) 唯一可读性定理每一个合式表达只能以唯一的方式写成uv1 ...v n 的形式, 其中, u 是n 元符号, v1 ,...,v n 是合式表达式.证明设w,w'是同一个合式表达式书写形式, 我们必须证明它们的结构是相同的. 首先, 它们必须都有相同的第一个符号,这样, u和n就唯一确定了, 从而, w=uv1...v n 且w'=uv'1...v'n, 其中v i ,v'j 是合式表达式(i,j=1,...,n). 我们还需证明对一切i=1,...,n, v i=v'i. 因为w 和w'是同一个表达式, 因而是可比较的. 于是, 根据引理(1.3), 对于一切i=1,...,n, v i=v'i #下面的定理说明如果一个合式表达式不可能由两个(或更多) 合式表达式的某些部分组成.(1.5) 引理合式表达式u中的任何符号w都是u中某一合式表达式的第一个符号.证明施归纳于u的长度k. 如果k=1, 则u是变元或常元符号. 于是任何在u中出现的符号就是u本身, 从而引理成立.假定当k<m时引理成立, 并设k=m.设u 是vv1 ...v n , 其中v是n元符号, v1 ,...,v n 是合式表达式. 如果w是v, 则它是u的第一个符号. 否则, 存在i=1,...,n, 使w 在v i 中出现. 由于|v i |<|u|, 根据归纳假设, w 是v i 中的某一合式表达式的第一个符号, 当然也是u中的某一合式表达式的第一个符号. 证完. #(1.6) 出现定理设u是n元符号, v1 ,...,v n 是合式表达式. 如果一个合式表达式v在uv1 ...v n 出现, 而且v不是整个uv1 ...v n , 则v在某一v i 出现.证明如果v的第一个符号就是定理中的u, 则v=uv'1 ...v'n , 其中v'1 ,...,v'n 是合式表达式, 且由定理条件, u和v是可比较的. 于是根据引理(1.3), 对于一切i=1,...,n, v i =v'i , 即v=uv1 ...v n . 矛盾.现假定v的第一个符号在某一v i 中出现. 根据引理(1.5), 该符号是某一合式表达式v'的第一个符号. 显然, v和v'是可比较的, 因而由引理(1.3), v=v', 即v在v i 中出现.4#为了方便起见, 我们今后将用大写字母A,B,...表示公式, 用f,g,...表示函数符号, 用p,q,...表示谓词符号, 用x,y,...表示变元, 用a,b,...表示常元符号.现在我们定义两类性质不同的变元, 即自由变元和约束变元.(1.7) 定义a) 如果x 在原子公式中出现, 则x是自由变元;b) 如果x是A 和B 中的自由变元, 且y 不是x, 则x 是⌝A, ∨AB和∃yA中的自由变元.a') x 是∃xA中的约束变元;b') 如果x是A 或B 中的约束变元, 则x 是⌝A, ∨AB和∃yA中的约束变元.注意: x可以在A 中既是自由变元又是约束变元.我们将用u[x/a]表示在表达式u 中将所有的自由变元x换成项a而得的表达式. 设A 是公式, 在很多情况下, A[x/a]关于a 所表示的含义与A 关于x所表示的含义是一样的, 但并非总是如此. 例如, 若A 是∃y=x2y, 而a 是y+1, 则A 是说x 是偶数, 但A[x/a]却不是说y+1是偶数. 这表明并非所有的代入都会保持原有的含义. 于是我们有下述定义:(1.8) 定义 a 被称为是在A 中可代入x的, 如果i) 如果A是原子公式，则a 是在A中可代入x 的；ii) 如果a 在B中可代入x 且对于a 中的任何变元y, ∃yB不含有自由变元x，则a 是在∃yB中可代入x 的；iii) 如果a 在A, B中可代入x, 则a 在⌝A和A∨B中是可代入x 的.今后, 当使用A[x/a] 时, 我们总是假定a是在A 中可代入x的. 类似地, 我们将用u[x1/ a1 ,...,x n/ a n ]表示在表达式u 中将所有的自由变元x1 ,...,x n 分别换成项a1 ,...,a n 而得的表达式, 同时还假定它们都是可代入的.在我们的一阶语言定义中项和公式的写法对于证明和理论分析比较方便, 但和通常的阅读方式不一致. 为了克服这一弱点, 我们引进一些定义符号:(A∨B) 定义为∨AB; (A→B) 定义为(⌝A∨B); (A&B) 定义为⌝(A→⌝B);(A↔B) 定义为((A→B)&(B→A)); ∀xA 定义为⌝∃x⌝A.注意: 定义符号只是为了方便而引进的记号, 它们不是语言中的符号. 当我们计算公式的长度时, 必须把它们换成原来的符号. 同样, 当用施归纳于长度或高度进行证明时也不能把它们作为符号来处理. 今后, 我们将在展示公式时用定义符号, 而在证明时用定义(1.1) 和(1.2).我们称:⌝A 为 A 的否定; A∨B 为 A 和B 的析取(A 或者B); A&B 为 A 和B 的合取(A并且B);A→B 为 A 蕴含B; A↔B 为A等价于B; ∃xA 为关于x的存在量词(存在x 使得A);∀xA 为关于x的全称量词(对一切x 使得A).作业:1) 施归纳于长度证明如果u是公式(项), x 是变元, a是项, 则u[x/a]是公式(项).2) 证明如果uv和vv'是合式表达式, 则v和v'中必有一个是空表达式.一阶理论的逻辑公理和规则形式系统的公理和规则可以分为两类: 逻辑公理和逻辑规则, 非逻辑公理和非逻辑规则. 逻辑公理和逻辑规则指的是那些所有形式系统都有的公理, 而非逻辑公理和非逻辑规则仅在5某些特定的形式系统中才有. 但是, 当形式系统足够丰富时,我们并不需要非逻辑规则. 假定在一个形式系统F 中有一条非逻辑规则使我们可以由B1 ,...,B n 推导出A, 只要F 有足够多的逻辑规则, 我们只需要在F 中加进一条公理B1 →...→B n →A (这里, B1 →...→B n →A表示B1 →(...→(B n →A)...).)就不再需要那条非逻辑规则了. 因此, 我们今后假定我们的形式系统中没有非逻辑规则. 今后我们将把逻辑规则简称为规则. 由于我们仅对形式系统进行一般讨论, 我们的兴趣主要是那些逻辑公理和规则.下面是逻辑公理:1) 命题公理: ⌝A∨A;2) 代入公理: A[x/a]→∃xA;3) 恒等公理: x=x;4) 等式公理: x1 =y1 →...→x n =y n →fx1 ...x n =fy1 ...y n ;或x1 =y1 →...→x n =y n →px1 ...x n →py1 ...y n .注意: 以上并不是仅有四条公理, 而是四类公理. 如命题公理并非一条公理, 而是对于任何公式A 我们有一条命题公理. 所以, 以上的公理实际上是公理模式.以下是规则:1) 扩展规则: 如果A, 则B∨A;2) 收缩规则: 如果A∨A, 则A;3) 结合规则: 如果A∨(B∨C), 则(A∨B)∨C;4) 切割规则: 如果A∨B且⌝A∨C, 则B∨C;5) ∃-引入规则: 如果A→B且x 不是B 中的自由变元, 则∃xA→B.如同上面的公理, 这些规则也不是五条规则, 而是五个规则模式.现在, 我们定义一阶理论如下:(1.9) 定义一个一阶理论T (简称理论T)是具有如下特征的形式系统:1) T 的语言L(T)是一阶语言;2) T 的公理是以上列出的四组公理和一些其它的非逻辑公理;3) T 的规则是以上列出的五组规则.由于一阶理论的逻辑符号, 逻辑公理和规则已经确定, 一阶理论之间的区别在于它们的非逻辑符号和非逻辑公理. 因此, 当我们希望讨论某一具体的一阶理论时只需要把它的非逻辑符号和非逻辑公理指明就行了.例.1) 数论NN 的非逻辑符号为: 常元0, 一元函数符号S, 二元函数符号+和*, 和二元谓词符号<. N 的非逻辑公理为:N1 Sx≠0; N2 Sx=Sy→x=y; N3 x+0=x; N4 x+Sy=S(x+y); N5 x*0=0;N6 x*Sy=(x*y)+x; N7 ⌝(x<0); N8 x<Sy↔x<y∨x=y; N9 x<y∨x=y∨y<x.2) 群GG 只有一个非逻辑符号, 即二元函数符号*. G 的非逻辑公理为:G1 (x*y)*z=x*(y*z); G2 ∃x(∀y(x*y=y)&∀y∃z(z*y=x)).根据我们在第一节所述, 一阶理论T 的定理可以定义为:1) 每一条命题公理, 代入公理, 恒等公理, 等式公理和非逻辑公理是定理;2) 如果A 是定理, 则A∨B是定理;3) 如果A∨A是定理, 则A 是定理;64) 如果A∨(B∨C) 是定理, 则(A∨B)∨C 是定理;5) 如果A∨B和⌝A∨C是定理, 则B∨C是定理;6) 如果A→B是定理且x 不是B 中的自由变元, 则∃xA→B是定理.与此对应, 我们可以用如下广义归纳法证明一阶理论T 中的定理都具有某一性质P:1) 每一条命题公理, 代入公理, 恒等公理, 等式公理和非逻辑公理具有性质P;2) 如果A 具有性质P, 则A∨B具有性质P;3) 如果A∨A具有性质P, 则A 具有性质P;4) 如果A∨(B∨C) 具有性质P, 则(A∨B)∨C 具有性质P;5) 如果A∨B和⌝A∨C具有性质P, 则B∨C具有性质P;6) 如果A→B具有性质P且x 不是B 中的自由变元, 则∃xA→B具有性质P.下面我们证明一阶理论的逻辑公理是相互独立的.(1.10) 定理一阶理论的逻辑公理和规则是互相独立的.证明当我们希望证明某一命题A 是独立于某个命题集Γ和规则集Δ时, 我们需要找到一个性质P 使A 不具有性质P, 而Γ中的每一命题具有性质P 且Δ中的每一规则保持性质P (即如果该规则的前提具有性质P, 则其结论具有性质P); 当我们希望证明某一规则R 是独立于Γ和Δ时, 我们需要找到一个性质P 使R 不保持性质P, 而Γ中的每一命题具有性质P 且Δ中的每一规则保持性质P. 这样就可以断言: 在由Γ为其公理集, Δ为其规则集的形式系统中, 每一定理都具有性质P. 由于A不具有性质P (或R 不保持性质P), 所以, A (或R)是不可能由Γ和Δ来证明的. 这样, A(或R)就独立于Γ和Δ了. 我们将根据这个思想来证明本定理.1) 对于命题公理. 定义f 如下:f(A)=T 若 A 是原子公式; f(⌝A)=F; f(A∨B)=f(B); f(∃xA)=T.可以证明: f(⌝⌝(x=x)∨⌝(x=x))=F, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=T.2) 对于代入公理. 定义f 如下:f(A)=1 若A 是原子公式; f(⌝A)=1 如果f(A)=0, f(⌝A)=0 若f(A)=1;f(A∨B)=max{f(A),f(B)}; f(∃xA)=0.可以证明: f((x=x)→∃x(x=x))=0, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=1.3) 对于恒等公理. 定义f 如下:f(A)=0 若A是原子公式; f(⌝A)=1 如果f(A)=0, f(⌝A)=0 若f(A)=1; f(A∨B)=max{f(A)},f(B); f(∃xA)=f(A).可以证明: f((x=x))=0, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=1.4) 对于等式公理. 首先在L(T)中加进常元e1 ,e2 和e3 而得L'. 然后定义f 如下:f(e i =e j )=1 iff i≤j; f(⌝A)=1 如果f(A)=0, f(⌝A)=0 若f(A)=1; f(A∨B)=max{f(A),f(B)}; f(∃xA)=T iff 存在i 使f(A[x/e i ])=T .可以证明: f((x=y→x=z→x=x→y=z))=0, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A[x/e i ])=1, 其中, x是A 中的自由变元.5) 对于扩展规则. 定义f 如下:f(A)=1 若 A 是原子公式; f(⌝A)=1 如果f(A)=0, 否则, f(A)=0; f(A∨B)=1 如果f(A)=f(⌝B), 否则f(A∨B)=0; f(∃xA)=f(A).可以证明: f((x=x∨(⌝(x=x)∨x=x)))=0, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=1.6) 对于收缩规则. 定义f 如下:7f(A)=T 若 A 是原子公式; f(⌝A)=f(∃xA)=F; f(A∨B)=T.可以证明: f(⌝⌝(x=x))=F, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=T.7) 对于结合规则. 定义f 如下:f(A)=0 若 A 是原子公式; f(⌝A)=1-f(A); f(A∨B)=f(A)*f(B)*(1-f(A)-f(B)); f(∃xA)=f(A).可以证明: f(⌝(⌝(x=x)∨⌝(x=x)))>0, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=0.8) 对于切割规则. 定义f 如下:f(A)=1 若 A 是原子公式; f(⌝A)=1 如果f(A)=0或A是原子公式, 否则f(⌝A)=0; f(A∨B)=max{f(A),f(B)}; f(∃xA)=f(A).可以证明: f(⌝⌝(x=x)))=0, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=1.9) 对于E-引入规则. 定义f 如下:f(A)=1 若A是原子公式; f(⌝A)=1 如果f(A)=0, f(⌝A)=0 若f(A)=1; f(A∨B)=max{f(A),f(B)}; f(∃xA)=T.可以证明: f(∃y⌝(x=x)→⌝(x=x))=0, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=1.结构和模型现在我们讨论一阶理论的语义部分. 为此我们先引进一些集论的记号: 集合或类是把一些我们想要研究的对象汇集在一起, 从而我们可以把它看作是一个整体. 如果A 和B 是集合, 一个由A 到B 的映射 F (记作F: A→B)是一个A 和B 之间的对应, 在这个对应中A 中的每一个元素a 都对应着一个唯一的B中元素 b (称为F在a 上的值, 记作F(b) ). 我们把n个A 中元素按一定顺序排列而得的序列称为A 的一个n 元组, 并用(a1,...,a n )表示由A 中元素a1,...,a n 按此顺序排列的n 元组. 把由A 的所有n 元组成的集合记为A n, 然后把由A n 到B的映射称为由A 到B 的n元函数. 我们把A n 的子集称为A 上的n 元谓词. 如果P是A 上的n 元谓词, 则P(a1 ,...,a n )表示(a1 ,...,a n )∈P.真值函数根据我们对公式和项的定义, 我们可以先用函数符号和谓词符号以及变元构造一些简单的公式, 然后用联结词得到比较复杂的公式, 如"A 并且B" 等等. 我们用符号"&" 表示"并且", 即若A 和B 是公式, "A&B" 表示"A 和B同时成立".于是一个很自然的问题是怎样知道A&B 的真假? 这里, A&B 的一个很重要的特征是: 只需要知道A 和B 的真假就能确定A&B 的真假, 而不必知道A 和B 的具体含义. 为了表示这一特征, 我们引进真值. 真值是两个不同的字母T 和F, 而且当公式A 为真时, 我们用T 表示其真值; 当公式A 为假时, 我们用F 表示其真值. 于是, A&B 的真值就由A 和B 的真值确定了.有了真值的概念, 我们就可以定义真值函数了. 所谓的真值函数是由真值集T,F 到真值集T,F 的函数. 由此, 我们可以把以上的讨论叙述为: 存在二元真值函数H& 使得: 若a 和b 分别是A 和B 的真值, 则H& (a,b) 是A&B 的真值. 我们定义H& 为:H& (T,T)=T, H& (T,F)=H& (F,T)=H& (F,F)=F.我们用"∨" 表示"或者", 并定义H∨如下:8H∨(F,F)=F, H∨(T,F)=H∨(F,T)=H∨(T,T)=T.于是当a 和b 分别是A 和B 的真值时, H∨(a,b)就是A∨B的真值.我们用"→" 表示"如果...则...", 并定义H→如下:H→(T,F)=F, H→(F,F)=H→(F,T)=H→(T,T)=T.于是当a 和b 分别是A 和B 的真值时, H→(a,b)就是A→B的真值.我们用"↔" 表示"当且仅当", 并定义H↔如下:H↔(F,T)=H↔(T,F)=F, H↔(F,F)=H↔(T,T)=T.于是当a 和b 分别是A 和B 的真值时, H↔(a,b)就是A↔B的真值.我们用"⌝" 表示"非", 并定义H⌝如下:H⌝(F)=T, H⌝(T)=F.于是当a 是A 的真值时, H⌝(a)就是⌝A的真值.容易证明, &,→, 和↔可由⌝和∨定义. 事实上所有的真值函数都可以由⌝和∨定义.作业1. 证明: 任何真值函数f(a1 ,...,a n )都可以由H⌝和H∨定义.2. 设H d , H s 是真值函数, 其定义为:H d (a,b)=T 当且仅当a=b=F; H s (a,b)=F 当且仅当a=b=T.证明: 任何真值函数f(a1 ,...,a n )都可以由H d (或H s )定义.结构现在我们讨论一阶语言的语义部分(称为它的结构). 所谓一个语言的语义, 当然是表示该语言中所指称的对象范围和每一个词和句子所表达的含义. 一阶语言的语义也是如此. 如前定义, 一阶语言中的符号有函数符号和谓词符号, 这些都应在它的语义中有具体的含义. 把这些组合起来, 我们就可以得到如下定义:(1.11) 定义称三元组M=〈|M|,F,P〉是一个结构，如果:1) |M|是一个非空集合，它称为是L 的论域, |M| 中的元素称为是M 的个体;2) F是|M|上的函数集合;3) P是|M|上的谓词集合.定义设L是一阶语言，M是一个结构。
1.1数理逻辑
定义 设无向图G=<V,E>, vi,vjV, ek,elE, 若(vi,vj) E, 则称vi,vj是彼此相邻的; 若 ek,el 至少有一个公共端点 , 则称 ek,el是相邻的. 对有向图有类似定义 . 设 ek=vi,vj 是有向图的一条边 , vi,vj 是 ek 端点 ,
又称vi是ek的始点, vj是ek的终点, vi邻接到vj, vj邻接于vi.
2m d (v ) d (v) d (v)
由于2m,
vV2
d (v)均为偶数，所以 d (v) 也为偶数,
vV1
vV
vV1
vV2
但因为
V1中顶点度数都为奇数，所以|V1|必为偶数.
14
定理 设有向图D=<V,E>,V={v1,v2,…,vn}, E m ,则.
例2 判断下述每一对图是否同构: (1)
度数列不同 不同构
28
a b c a d
e
v1 v2 v5
v4
v3 b
a b
29
c 彼德森图
d
c d
30
e
f
e,f不同构
31
如右图度数序列:5,3,3,3 出度序列:4,0,2,1 入度序列:1,3,1,2
16
握手定理的应用
例1 (3,3,3,4), (2,3,4,6,8)能成为图的度数序列吗? 解 不可能. 它们都有奇数个奇数. 例2 已知图G有10条边, 4个3度顶点, 其余顶点的度 数均小于等于2, 问G至少有多少个顶点? 解 设G有n个顶点. 由握手定理, 43+2(n-4)210 解得 n 8
i 1
证 G中每条边（包括环）均有两个端点，所以在计算G 中各顶点度数之和时，每条边均提供2度，m条边共提 供2m度. 有向图的每条边提供一个入度和一个出度, 故所有顶点 入度之和等于出度之和等于边数.
数理逻辑
§1.1.4.命题翻译
解： 1. 李明是计算机系的学生，他住在312室或313室。 首先用字母表示简单命题。 P:李明是计算机系的学生。 Q:李明住在312室。 R：李明住在313室。 该命题符号化为：P ∧ (Q ⊕ R) 2. 张三和李四是朋友. 该命题符号化为：P
§1.1.2.命题联结词
命题联结词在使用中的优先级
运算时联结词的优先次序由高到低为: ¬,∧,∨,→, ↔。 先括号内运算, 后括号外运算。 运算符合运算符的优先顺序。 联结词按从左到右的次序进行运算。 例 • ¬P∨(Q∨R)可省去括号, ∨运算是可结合的。 • ( ¬P∨Q)∨R 可省去括号。 • P→(Ｑ→Ｒ)中的括号不能省去，因为→不满足结合律。
§1.1.2.命题联结词
例1 P: 我拿起一本书 Q: 我一口气读完了这本书 P→Q: 如果我拿起一本书，则我一口气读完了这本书。
通常称为形式蕴含 即前提和结果有某种形式和内容上 形式蕴含, 形式蕴含 的联系。 例2 P: 月亮出来了 Q: 3×3=9 P → Q: 如果月亮出来了, 则3×3=9。 通常称为实质蕴含 实质蕴含,即前提和结果可以有联系，也可以没 实质蕴含 有联系，只要满足条件命题的定义。
定义 由真值表给出，如左图。
即：当且仅当Ｐ和Ｑ的真值均为Ｔ， 则（ＰΛＱ）的真值为“Ｔ”。否 则，其真值为Ｆ。 注意：Ｐ和Ｑ是互为独立的，地位 注意 是平等的，Ｐ和Ｑ的位置可以交换 而不会影响ＰΛＱ的结果。
P F/0 F/0 T/1 T/1
Q PΛ Q QΛP F/0 F/0 F/0 T/1 F/0 F/0 F/0 F/0 F/0 T/1 T/1 T/1
第一篇 数理逻辑
逻辑学：研究推理的科学。 逻辑学分为二类：
辩证逻辑：是研究事物发展的客观规律。 形式逻辑：对思维的形式结构和规律进行研究。
数理逻辑1.1
第一章命题逻辑的基本概念1.1命题*数理逻辑是研究推理的数学分支, 推理由一系列陈述句组成. 例如: 因为3>2, 所以3≠2. 3>2和3≠2是两个可以判断真或假的陈述句, 称为命题.命题: 可以判断真假的陈述句称为命题.例1.1:1. 中国的首都是北京.2. 英国的首都是北京.3. 5―3=2.4. 如果你是人, 你就要呼吸.5. 广东省的人口比黑龙江省多.6. 起步走!7. 你好吗?8. 这幅画真美呀!9. x ≤y.1, 2, 3, 4, 5是命题, 6, 7, 8, 9不是命题.命题的真值: 作为命题陈述句所表达的判断结果称为命题的真值.真值只有两个取值: 真(T)或假(F). 我们用1表示真, 用0表示假.真命题: 真值为真的命题称为真命题.假命题: 真值为假的命题称为假命题.例子: 上例中1, 3, 4, 5为真命题, 2为假命题.命题“因为3>2, 所以3≠2”中3>2和3≠2不能分解成更简单的命题了.简单命题(原子命题): 不能分解成更简单的命题的命题称为简单命题(原子命题).复合命题: 由简单命题通过联结词联结而成的命题称为复合命题.例1.2:1. 因为3>2, 所以3≠2.2. 如果你是人, 你就要呼吸.3. 2是素数当且仅当3也是素数.4. 吴颖既用功又聪明.*悖论: 由真能推出假, 由假又能推出真, 从而既不能为真又不能为假的陈述句称为悖论.例1.3:1. 我这句话是假话.1.2 联结词*命题逻辑有5个联结词:如果……, 则…………并且…………或……并非…………当且仅当……设p和q为两个命题:(1) p∧q 表示p并且q(2) p∨q 表示p或q(3) ┐p 表示并非p(4) p→q 表示如果p, 则q .(5) p q 表示p当且仅当q联结词的真值表:(1表示T, 0表示F)p q p∧q p q p∨q 0 0 0 0 0 00 1 0 0 1 11 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 p ┐p0 110p q p→q p q p q 0 0 1 0 0 10 1 1 0 1 01 0 0 1 0 01 1 1 1 1 1*解释真值表*下面举例说明如何将复合命题用命题公式表示. 例1.4:(1) 吴颖既用功又聪明.(2) 吴颖不但用功而且聪明.(3) 吴颖虽然聪明但不用功.(4) 张辉与王丽都是三好学生.(5) 张辉与王丽是同学.解: 设p: 吴颖用功.q: 吴颖聪明.r: 张辉是三好学生.s: 王丽是三好学生.(1) p∧q; (2) p∧q; (3) q∧┐p; (4) r∧s; (5) 设t: 张辉与王丽是同学. t是简单命题.例1.5:(1) 张晓静爱唱歌或爱听音乐.(2) 张晓静只能挑选202或203房间.(3) 张晓静是江西人或安徽人.解: (1) 设p: 张晓静爱唱歌; q: 张晓静爱听音乐.公式为: p∨q .(2) 设p: 张晓静挑选202房间.q: 张晓静挑选203房间.公式为: (p∧┐q)∨(q∧┐p)(3) 设p: 张晓静是江西人. q: 张晓静是安徽人.公式为: (p∧┐q)∨(q∧┐p).例1.6:(1) 只要a能被4整除, 则a一定能被2整除.(2) 除非a能被2整除, 则a才能被4整除.(3) 除非a能被2整除, 否则a不能被4整除.(4) 只有a能被2整除, a才能被4整除.(5) 只有a能被4整除, a才能被2整除.解: 设p: a能被4整除; q: a能被2整除.(1)至(4), 公式均为: p→q , 为一真命题.(5) 公式为: q→p, 为一假命题. a=8时为真, a=6时为假.例1.7:(1) 3是无理数当且仅当加拿大为于亚洲.(2) 2+3 = 5的充要条件是3是无理数.(3) 若两圆O1, O2的面积相等, 则它们的半径相等; 反之亦然.解: (1) 设p: 3是无理数; 真值为1.q: 加拿大为于亚洲; 真值为0.公式为: p↔q , 真值为0.(2) 设p: 2+3 = 5 ; 真值为1.q: 3是无理数; 真值为1.公式为: p↔q , 真值为1.(3) 设p: 两圆O1, O2的面积相等;q: 两圆O1, O2的半径相等;公式为: p↔q ; 因为p→q和q→p真值都为1,故p↔q真值也为1.1.3 命题公式及其赋值命题常项(命题常元): 即真值确定的简单命题.命题变项命题变元):取值(真)或(假)的变元. *可以用命题变项表示真值可以变化的陈述句. 命题变项不是命题. 命题变项与命题常项的关系如同初等数学中变量与常量的关系.合式公式:定义1.1:(1) 单个和命题项是合式公式,并称为原子命题公式;(2) 若A是则(┐A)是合式公式;(3) 若A, B是合式公式, 则(A∧B), (A∨B),(A→B),(A B)是合式公式.(4)有限次地应用(1)―(3)形成的符号串是合式公式.合式公式也称为命题公式或命题形式, 简称为公式.子公式: 设A为合式公式, B为A中的一部分, 若B也是合式公式, 则B称为A的子公式.例1.8:((p→q)∧(q↔r)), ((p∧q)∧(┐r)), (p∧(q∨(┐r)))都是合式公式.而 pq→r, p→(r→q 不是合式公式.((p→q)∧(q↔r)), ((p∧q)∧(┐r))中(p→q), (┐r)是子公式.*1.归纳定义(递归定义)2.(┐A),(A∧B)等公式单独出现时, 外层的括号可以省去.写成┐A, A∧B 等.规定┐的优先级高于其它算符.例如: (p→q)∧(q↔r), (p∧q)∧┐r, p∧(q∨┐r)定义1.2: 设p1, p2, …, p n是出现在公式A中的全部命题变项, 给p1, p2, …, p n各指定一个真值, 称为对A的一个赋值或解释. 若指定的一组值使A为1, 则称这组值为A的成真赋值, 若使A为0, 则称这组值为A的成假赋值.*n个变元各有0和1两个不同的值, 共有2n组不同赋值.定义1.3: 将命题公式A在所有赋值下取值情况列成表, 称为A的真值表.*列真值表时, 对p1, p2, …, p n的每一组赋值列一行, 对A的每个子公式列出它在该组赋值下的真值.例1.9: (1) (┐p∧q)→┐r的真值表.p q r ┐p ┐r ┐p∧q (┐p∧q)→┐r0 0 0 1 1 0 10 0 1 1 0 0 10 1 0 1 1 1 10 1 1 1 0 1 01 0 0 0 1 0 11 0 1 0 0 0 11 1 0 0 1 0 11 1 1 0 0 0 1(2) (p∧┐p)↔(q∧┐q)的真值表p q ┐p ┐q p∧┐p q∧┐q (p∧┐p)↔(q∧┐q) 0 0 1 1 0 0 10 1 1 0 0 0 11 0 0 1 0 0 11 1 0 0 0 0 1(3) ┐(p→q)∧q∧r的真值表p q r p→q ┐(p→q) ┐(p→q)∧r ┐(p→q)∧q∧r 0 0 0 1 0 0 00 0 1 1 0 0 00 1 0 1 0 0 00 1 1 1 0 0 01 0 0 0 1 0 01 0 1 0 1 0 01 1 0 1 0 0 01 1 1 1 0 0 0定义1.4: 设A为任一公式.(1) 若A在它的各种赋值下取值均为真, 则称A是重言式或永真式.(2) 若A在它的各种赋值下取值均为假, 则称A是矛盾式或永假式.(3) 若A不是矛盾式, 则称A是可满足式.*上例中, (1)和(2)是可满足式, (2)式是重言式, (3)式是矛盾式. 例1.10: 重言式的例子: p∧(p→q)→qp q p→q p∧(p→q) p∧(p→q)→q0 0 1 0 10 1 1 0 11 0 0 0 11 1 1 1 1*n 个命题变项可以有无穷多种形式各异的公式.这些公式是否有无穷多种不同的真值表呢? 答案是否定的. n 个命题变项共有2n 个不同的赋值, 而任何公式, 在每一种赋值下只能取两个值:0或1. 于是n 个命题变项的公式的真值表只有n2222⨯⨯⨯=n 22 种不同的情况.故只有n22个不同的真值表, 因而必有无穷多个公式具有相同的真值表.例1.11: 下列各公式均含两个命题变项p 与q, 它们中哪些具有相同的真值表?(1) p →q; (2) p ↔q; (3) ┐(p ∧┐q); (4) (p →q)∧(q →p);(5) ┐q ∨p .p q p →q p ↔q ┐(p ∧┐q) (p →q)∧(q →p) ┐q ∨p 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1作业:1. 下列句子中,哪些是命题?在是命题的句子中, 哪些是简单命题?哪些是真命题?哪些命题的真值现在还不知道?(1) 中国有四大发明.(2) 5是无理数.(3) 3是素数或4是素数.(4) 2x + 3 < 5 (其中x是任意实数).(5) 你去图书馆吗?(6) 刘红与魏新是同学.(7) 这朵玫瑰花多美丽呀!(8) 不许吸烟!(9) 圆的面积等于其半径的平方乘 .(10) 只有6是偶数, 3才能是2的倍数.(11) 8是偶数的充分必要条件是8能被3整除(12) 2025年北京下大雪.2. 将下列命题符号化, 并指出其真值.(1) 只要2<1, 就有3<2.(2) 如果2<1, 则3≥2.(3) 只有2<1, 才有3≥2.(4) 除非2<1, 才有3≥2.(5) 除非2<1, 否则3<2.(6) 2<1仅当3<2.3. 写出下列公式的真值表, 哪些公式是可满足式?或重言式?或矛盾式?(1) p→(p∨q∨r)(2) ┐(q→r)∧r(3) ((p→q)∧(q→r))→(p→r)(4) (p→q)↔(r↔s)4. 设p: 2+3 = 5, q: 大熊猫产在中国, r: 2是有理数. 求下列复合命题的真值:(1) (p↔q)→r(2) (r→(p∧q))↔┐p(3) ┐r→(┐p∨┐q∨r)(4) (p∧q∧┐r)↔((┐p∨┐q)→r)。
高级数理逻辑第1讲
1学科介绍1.1 数理逻辑介绍1.1.1什么是数理逻辑？逻辑是探索、阐述和确立有效推理原则的学科，最早由古希腊学者亚里士多德创建的。
用数学的方法研究关于推理、证明等问题的学科就叫做数理逻辑。
也叫做符号逻辑。
数理逻辑的内容：1、命题逻辑系统2、一阶谓词逻辑系统命题演算是研究关于命题如何通过一些逻辑连接词构成更复杂的命题以及逻辑推理的方法。
命题是指具有具体意义的又能判断它是真还是假的句子。
如果我们把命题看作运算的对象，如同代数中的数字、字母或代数式，而把逻辑连接词看作运算符号，就象代数中的“加、减、乘、除”那样，那么由简单命题组成复和命题的过程，就可以当作逻辑运算的过程，也就是命题的演算。
AA->B=~AvB:BA→(B→A)这样的逻辑运算也同代数运算一样具有一定的性质，满足一定的运算规律。
例如满足交换律、结合律、分配律，同时也满足逻辑上的同一律、吸收律、双否定律、狄摩根定律、三段论定律等等。
利用这些定律，我们可以进行逻辑推理，可以简化复和命题，可以推证两个复合命题是不是等价，也就是它们的真值表是不是完全相同等等。
命题演算的一个具体模型就是逻辑代数。
逻辑代数也叫做开关代数，它的基本运算是逻辑加、逻辑乘和逻辑费，也就是命题演算中的“或”、“与”、“非”，运算对象只有两个数0和1，相当于命题演算中的“真”和“假”。
逻辑代数的运算特点如同电路分析中的开和关、高电位和低电位、导电和截至等现象完全一样，都只有两种不同的状态，因此，它在电路分析中得到广泛的应用。
利用电子元件可以组成相当于逻辑加、逻辑成和逻辑非的门电路，就是逻辑元件。
还能把简单的逻辑元件组成各种逻辑网络，这样任何复杂的逻辑关系都可以有逻辑元件经过适当的组合来实现，从而使电子元件具有逻辑判断的功能。
因此，在自动控制方面有重要的应用。
谓词演算也叫做命题涵项演算。
在谓词演算里，把命题的内部结构分析成具有主词和谓词的逻辑形式，由命题涵项、逻辑连接词和量词构成命题，然后研究这样的命题之间的逻辑推理关系。
数理逻辑1.1 (2)
1.1.3 命题符号化
运用上述五个真值联结词将日常语言中的命题转化成数理逻辑中的形式 命题的过程为命题符号化。命题符号化是运用数理逻辑解决实际问题的基 本出发点。 例1 小张既聪明又勤奋，所以他的学习成绩一直很好。 解 P ：小张聪明。 Q ：小张勤奋。 R ：小张的学习成绩一直很好。 符号化的结果为： (P∧Q) → R 例2 小王总是在图书馆看书，除非他病了或图书馆不开门。 解 P：小王病了。 Q：图书馆开门。 R：小王在图书馆看书。 符号化的结果为：R (P Q)
第1章 命 题 演 算 (Propositional calculus)
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 命题与真值联结词 命题公式与真假性 命题公式间的逻辑等价关系 命题公式间的逻辑蕴涵关系 命题演算的形式推理
1.1
命题与真值联结词
1.1.1 命题 1.1.2 真值联结词 1.1.3 命题符号化
• P为“黑板是黑的”，则P 是“黑板不是黑的” 。
2.
合取联结词
• 设P, Q是两个命题，P与Q的合取是一个新的命题，记为P∧Q。 • 符号∧称为合取联结词，简称合取词；称P∧Q为P与Q的合取式，称P, Q为该合取式的合取项。 • 它们的真假值关系由表2确定。
P
T T F F
Q
T F T F
P∧Q
1.
否定联结词
• 设P是一个命题，P的否定是一个新的命题，记为P。 • 符号 称为否定联结词，简称否定词。称P为P的否定式。 • 它们的真假值关系由表1确定。
P T F P F T
表1 否定词之真值表
• P为“今天天气好”，则P 是“今天天气不好” 。 • P为“上海是一个大城市”，则P 是“上海不是一个大城市” 。
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联结词与复合命题( 联结词与复合命题(续)
3.析取式与析取联结词“∨” 析取式与析取联结词“ 析取式与析取联结词 为二命题， 称作p与 定义 设 p,q为二命题，复合命题“p或q”称作 与q 为二命题 复合命题“ 或 称作 析取式，记作p∨ ， 称作析取联结词 析取联结词， 的析取式，记作 ∨q，∨称作析取联结词，并规 为假当且仅当p与 同时为假 同时为假. 定p∨q为假当且仅当 与q同时为假 ∨ 为假当且仅当 例 将下列命题符号化 (1) 2或4是素数 是素数. 或 是素数 (2) 2或3是素数 是素数. 或 是素数 (3) 4或6是素数 是素数. 或 是素数 (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王晓红生于 王晓红生于1975年或 年或1976年. 年或 年
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是素数, 是素数, 是素数 是素数, 是素数 是素数, 解 令 p:2是素数 q:3是素数 r:4是素数 s:6是素数, 是素数 是素数 均为相容或. 则 (1), (2), (3) 均为相容或. 分别符号化为: 分别符号化为: p∨r , p∨q, r∨s, ∨ ∨ ∨ 它们的真值分别为 1, 1, 0. 而 (4), (5) 为排斥或 为排斥或. 小元元拿一个苹果， 小元元拿一个梨 小元元拿一个梨， 令 t :小元元拿一个苹果，u:小元元拿一个梨， 小元元拿一个苹果 则 (4) 符号化为 (t∧¬u) ∨(¬t∧u). ∧ ¬∧ 王晓红生于1975年,w:王晓红生于 令v :王晓红生于 王晓红生于 年 :王晓红生于1976年, 年 则 (5) 既可符号化为 (v∧¬w)∨(¬v∧w), 又可 ∧ ∨¬ ∧ 符号化为 v∨w , 为什么 ∨ 为什么?
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例 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6. (2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数 是偶数. (3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲. 美国位于非洲. (5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0 连续. 连续 它们的真值分别为 1，0，1，0，0. ， ， ， ，
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命题的分类
简单命题(原子命题) 简单命题(原子命题)： 简单陈述句构成的命题 复合命题： 复合命题： 由简单命题与联结词按一定规则复合 而成的命题
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简单命题符号化
用小写英文字母 p, q, r, … ,pi,qi,ri (i≥1）表示 ≥ ） 简单命题 用“1”表示真，用“0”表示假 表示真， 表示真 表示假 例如， 例如，令 p： 2 是有理数，则 p 的真值为 0 ： 是有理数， q：2 + 5 = 7，则 q 的真值为 1 ： ，
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联结词与复合命题(续) 联结词与复合命题(
以上给出了5个联结词： 以上给出了 个联结词：¬, ∧, ∨, →, ↔，组成 个联结词 一个联结词集合{¬ 一个联结词集合 ¬, ∧, ∨, →, ↔}， ， 联结词的优先顺序为：¬, ∧, ∨, →, ↔; 如果出 联结词的优先顺序为： 现的联结词同级，又无括号时， 现的联结词同级，又无括号时，则按从左到右 的顺序运算; 若遇有括号时， 的顺序运算 若遇有括号时，应该先进行括号 中的运算. 中的运算 注意: 括号全为园括号. 注意: 本书中使用的 括号全为园括号
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合式公式的层次
定义 (1) 若公式 是单个的命题变项 则称 为0层公式 若公式A是单个的命题变项 则称A为 层公式 是单个的命题变项, 层公式. (2) 称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一： 层公式是指下面情况之一： 是 层公式是指下面情况之一 (a) A=¬B, B是n层公式； 层公式； ¬ 是 层公式 (b) A=B∧C, 其中 分别为i层和 层公式， ∧ 其中B,C分别为 层和 层公式，且 分别为 层和j层公式 n=max(i, j)； ； (c) A=B∨C, 其中 的层次及n同 ； ∨ 其中B,C的层次及 同(b)； 的层次及 (d) A=B→C, 其中 的层次及n同 ； → 其中B,C的层次及 同(b)； 的层次及 (e) A=B↔C, 其中 的层次及n同 ↔ 其中B,C的层次及 同(b). 的层次及
p→q → p→q → p→q → q→p → q→p → p→q → q→p → q→p →
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注意： → →¬q 注意： p→q 与 ¬p→¬ 等值（真值相同） →¬ 等值（真值相同）
联结词与复合命题( 联结词与复合命题(续)
5.等价式与等价联结词“↔” 等价式与等价联结词“ 等价式与等价联结词 定义 设p，q为二命题，复合命题 “p当且仅当 称 ， 为二命题， 当且仅当q”称 为二命题 当且仅当 等价联结词. 作p与q的等价式，记作 ↔q，↔称作等价联结词 与 的等价式，记作p↔ ， 称作等价联结词 规为真当且仅当p与 同时为真或同时为假 同时为真或同时为假. 并p↔q规为真当且仅当 与q同时为真或同时为假 ↔ 规为真当且仅当 说明: 说明 (1) p↔q 的逻辑关系 与q互为充分必要条件 ↔ 的逻辑关系:p与 互为充分必要条件 (2) p↔q为真当且仅当 与q同真或同假 为真当且仅当p与 同真或同假 ↔ 为真当且仅当
离散数学
1
主要内容
数理逻辑 集合论 代数结构 图论 组合分析初步 形式语言和自动机初步
2
教材与教学参考书
教材： 教材：
耿素云、屈婉玲、张立昂，离散数学（ 耿素云、屈婉玲、张立昂，离散数学（第三 ），清华大学出版社 清华大学出版社, 版），清华大学出版社, 2004.
教学参考书： 教学参考书：
屈婉玲、耿素云、张立昂，离散数学题解（ 屈婉玲、耿素云、张立昂，离散数学题解（修 订版），清华大学出版社， ），清华大学出版社 订版），清华大学出版社，2004.
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联结词与复合命题
1.否定式与否定联结词“¬” 否定式与否定联结词“ 否定式与否定联结词
为命题， 的否定” 定义 设p为命题，复合命题 “非p”（或 “p的否定”） 为命题 （ 的否定 称 否定联结词， 为p的否定式，记作¬p，符号¬称作否定联结词，并规 的否定式，记作¬ ，符号¬称作否定联结词 为真当且仅当p为假 定¬p 为真当且仅当 为假
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将下列命题符号化. 例 将下列命题符号化 (1) 王晓既用功又聪明 王晓既用功又聪明. (2) 王晓不仅聪明，而且用功 王晓不仅聪明，而且用功. (3) 王晓虽然聪明，但不用功 王晓虽然聪明，但不用功. (4) 张辉与王丽都是三好生 张辉与王丽都是三好生. (5) 张辉与王丽是同学 张辉与王丽是同学. 解 令 p：王晓用功，q：王晓聪明，则 ：王晓用功， ：王晓聪明， (1) p∧q ∧ (2) p∧q ∧ (3) p∧¬q. ∧
2.合取式与合取联结词“∧” 合取式与合取联结词“ 合取式与合取联结词
定义 设p,q为二命题,复合命题“p并且 (或“p与q”)称 , 为二命题,复合命题“ 并且q”( 与 ) 为二命题 并且 合取联结词， 为p与q的合取式，记作 ∧q，∧称作合取联结词，并规 与 的合取式，记作p∧ ， 称作合取联结词 为真当且仅当p与 同时为真 定 p∧q为真当且仅当 与q同时为真 ∧ 为真当且仅当 注意： 注意：描述合取式的灵活性与多样性 分清简单命题与复合命题
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合式公式的层次 (续) 续
例如 公式 p ¬p ¬p→q → ¬(p→q)↔r → ↔ ((¬p∧q) →r)↔(¬r∨s) ¬ ∧ ↔¬∨ 0层 层 1层 层 2层 层 3层 层 4层 层
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联结词与复合命题( 联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“→” 蕴涵式与蕴涵联结词“ 蕴涵式与蕴涵联结词 为二命题， 如果p,则 定义 设 p,q为二命题，复合命题 “如果 则q” 称 为二命题 作 p与q的 蕴涵式 ， 记作 →q，并称 是蕴涵式的 与 的 蕴涵式， 记作p→ ， 并称p是蕴涵式的 前件， 为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词 为蕴涵式的后件 蕴涵联结词， 前件，q为蕴涵式的后件 →称作蕴涵联结词，并 规定， → 为假当且仅当 为假. 规定，p→q为假当且仅当 p 为真 q 为假
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1.2 命题公式及分类
命题变项与合式公式 公式的赋值 真值表 命题的分类 重言式 矛盾式 可满足式
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命题变项与合式公式
命题常项： 命题常项：简单命题 命题变项： 命题变项：真值不确定的陈述句 命题公式, 定义 合式公式 (命题公式 公式 递归定义如下： 命题公式 公式) 递归定义如下： (1) 单个命题常项或变项 p,q,r,…,pi ,qi ,ri ,…,0,1 , 是合式公式 (2) 若A是合式公式，则 (¬A)也是合式公式 是合式公式， 是合式公式 ¬ 也是合式公式 (3) 若A, B是合式公式，则(A∧B), (A∨B), (A→B), 是合式公式， 是合式公式 ∧ ∨ → (A↔B)也是合式公式 ↔ 也是合式公式 (4) 只有有限次地应用 只有有限次地应用(1)~(3)形成的符号串才是 形成的符号串才是 合式公式 说明: 元语言与对象语言, 说明 元语言与对象语言 外层括号可以省去
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天冷， 小王穿羽绒服， 例 设 p:天冷，q:小王穿羽绒服， 将下列命题符号化 (1) 只要天冷，小王就穿羽绒服 只要天冷，小王就穿羽绒服. (2) 因为天冷，所以小王穿羽绒服 因为天冷，所以小王穿羽绒服. (3) 若小王不穿羽绒服，则天不冷 若小王不穿羽绒服，则天不冷. (4) 只有天冷，小王才穿羽绒服 只有天冷，小王才穿羽绒服. (5) 除非天冷，小王才穿羽绒服 除非天冷，小王才穿羽绒服. (6) 除非小王穿羽绒服，否则天不冷 除非小王穿羽绒服，否则天不冷. (7) 如果天不冷，则小王不穿羽绒服 如果天不冷，则小王不穿羽绒服. (8) 小王穿羽绒服仅当天冷的时候 小王穿羽绒服仅逻辑 章 第2章 一阶逻辑 章