2003概率论试题
2003年数学高考全国卷最后一题
2003年数学高考全国卷最后一题一、2003年数学高考全国卷最后一题的背景和重要性2003年数学高考全国卷最后一题，作为当年高考的压轴题，吸引了无数考生和教师的关注。
这不仅是因为它占据了试卷的最后一题位置，分值较高，更是因为它涉及到了数学中的热门领域——概率论与数理统计，从而在一定程度上体现了我国高考对数学知识全面性的要求。
二、题目的具体内容和解题思路该题目内容如下：某学校开展篮球比赛，共有四个队参加。
比赛采用淘汰制，每场比赛淘汰一支队伍。
比赛结束后，四个队中获胜次数最多的队为冠军。
已知每队比赛一场后，获胜的概率均为0.5。
问：该队获得冠军的概率是多少？解题思路如下：1.确定事件：队获得冠军可以分为三种情况，分别是获胜2场、3场和4场。
2.计算每种情况的概率：根据组合公式，计算出每种情况下的概率。
3.求和：将三种情况的概率相加，得到队获得冠军的总概率。
三、解题过程中的技巧和方法1.利用概率乘法公式：在计算每种情况的概率时，要正确运用概率乘法公式，将每场比赛的概率相乘。
2.利用组合公式：在计算获胜场数时，要善于利用组合公式，将场比赛和获胜场数进行有效联系。
3.化简计算：在计算过程中，要学会化简运算，减少计算量。
四、题目背后的数学原理和实际应用本题考查了概率论与数理统计的知识，涉及到了概率、组合等概念。
这些知识在实际生活中有广泛的应用，如彩票、投资、统计分析等。
通过解答此类题目，可以培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力。
五、对高中数学学习的启示和影响1.掌握基本概念和公式：解答此类题目需要熟练掌握概率论与数理统计的基本概念和公式，为解题奠定基础。
2.培养逻辑思维能力：解答此类题目需要具备严密的逻辑思维，从而更好地分析和解决问题。
3.拓宽数学视野：通过接触不同类型的题目，尤其是高考压轴题，可以拓宽数学视野，提高数学素养。
4.注重知识整合：本题将概率论与数理统计与其他数学知识相结合，体现了知识整合的重要性。
历年《概率统计》试卷选择填空题-答案(7套)
02 (2 0) 2 1 1, DX i ，由中心极限定理 2 12 3
11 1 1 10000 ) ，故 P{Y 1} ( ) (0) 0.5 X i 近似服从 N (1, 30000 10000 i 1 1 30000
．
5．已知 T1 , T2 , T3 和 aT1 2aT2 2T3 均为非零参数 的无偏估计量，则 a 【解】由已知： E (Ti ) , i 1, 2,3,
1
1!
e
2
2!
，则 e 2 或 0 （舍）
P( X k )
20 2 21 2 2k 2 e , k 0,1, 2,..., 则 P{ X 2} P{ X 0} P{ X 1} e e 3e 2 k! 0! 1!
2
论正确的是（ （A）
） ． （ B）
1 n ( X i X )2 ~ 2 (n 1) n 1 i 1 1
1 n ( X i X )2 ~ 2 (n 1) n i 1 1
（C）
2
( X i X )2 ~ 2 (n 1)
i 1 2
n
（D）
2
E (aT1 2aT2 2T3 )
即有
a 2a 2 a 1 .
1
数学学院
苏灿荣
禹春福
2013.12
二、选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1． A ， B 为随机事件，且 AB ．则下列说法正确的是（ （A） A ， B 不能同时发生 （C） A 发生则 B 必发生 ） ．
4．已知 X 1 , X 2 ,... X 50 为来自总体 X N(2, 4) 的样本，记 X 分布为（ ） ．
概率论与数理统计练习册(理工类) - 第5,6章答案
答；收入至少400元的概率几乎为0.
(2)设出售1.2元的蛋糕数量为Y，则Y ~ B(300, 0.2), E(Y ) = 60, D(Y ) = 48.
P{Y
60}
=
Y P{
− 60
0}
=
(0)
=
0.5
48
答：售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率0.5.
28
一、选择题：
概率论与数理统计练习题
x} = (x)
n→
n
n
Xi −n
(C) lim P{ i=1
x} = (x)
n→
n
n
Xi −
(D) lim P{ i=1
x} = (x)
n→
n
二、填空题：
224
1．对于随机变量 X，仅知其 E( X ) = 3，D( X ) = 1 ，则可知 P{| X − 3 | 3} 225
一、选择题：
概率论与数理统计练习题
系
专业
班 姓名
学号
第五章 大数定律与中心极限定理
1．设 n 是 n 次重复试验中事件 A 出现的次数，p 是事件 A 在每次试验中出现的概率，则对任意
的
0
均有
lim
P
n
−
p
n→ n
[A ]
(A) = 0
(B) = 1
(C) 0
(D) 不存在
系
专业
班 姓名
学号
第六章 数理统计的基本知识
§6.1 总体、样本与统计量、§6.2 抽样分布
1．设 X1, X 2 , X 3 是取自总 X 体的样本，a 是一个未知参数，下述哪个样本函数是统计量[ B ]
概率统计03级04年下
12.6）1．填空题（前5题每空4分，第6题每空1分，共29分）（1）袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是（2）设5,1=-=DY EX，则=+2)1(X E （3）设Y X 与相互独立，且2,1==DY DX ，则=+-)32(Y XD =（4）设,8.0)(,5.0)(,7.0)(===B A P B P A P ，则=)(AB P（5）设)4,1(~U X（均匀分布），则=DX（6）下表列出了随机变量X ,Y 的联合分布律及两个边缘分布律中的部分数值，试将表中其余数值填入表中的空白处。
2．选择题（每小题3分，共15分）（1）下列函数中，可作为随机变量分布函数的是（ ）（A ）⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=1,111,1)(2x x x x F（B ）⎩⎨⎧-≥-<=1,11,e )(x x x F x（C ）⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1,11,11)(2x x x x F（D ）⎪⎩⎪⎨⎧-≤+->=1,111,1)(2x x x x F（2）设Y X ,为随机变量，已知6.0}0{}0{=≤=≤Y P X P ，8.0}0,0{=≤≤Y XP ，则=≤}0),{min(Y X P （ ）（A ）0.4 （B ）0.8（C ）0.6 （D ）0.2（3） 在以n X U/0σμ-=为检验统计量检验均值μ的检验法中，若检验假设为0100:,:μμμμ≠=H H对应于显著性水平α的上侧分位数为αu ，标准差0σ已知，则拒绝域应为（ ）（A ）αu U ≥||（B ）αu U ≥（C ）2/||αu U≥（D ）2/αu U≥（4）把7本书任意放在书架上，指定的3本书放在一起的概率为（ ）（A ）283 （B ）71 （C ）81（D ）421（5）设 n X X X ,,,21 是来自正态总体 ),(~2σμN X 的一个样本 ，样本均值为∑==ni iXnX11，样本方差为∑=--=ni iX Xn S122)(11，则服从自由度为1-n 的2χ分布的随机变量是（ ）（A ）21∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ni i X σμ （B ）nS X /μ-（C ）22)1(σSn - （D ）22)1(σ-n S3．（15分）对某一目标进行重复独立地射击，设每次命中的概率均为)1a，<a0(<X表示首次命中时所进行的射击次数，（1）写出X的分布律；（2）求至少需要2次才能命中的概率p（3）求EX4．（15分）设商场出售的某元件是由甲、乙、丙三个厂生产的，其数量比为5:3:2，各厂生产的该元件在规定时间内能正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，今从该商场购买了这样一个元件。
北京师范大学历年概率论考研试卷
一．有10个相同的罐子，其中有3个罐子中各装有1个黑球和1个红球，有6个罐子各装有2个黑球和2个红球，有1个罐子各装有1个黑球和9个红球。
任取出一个罐子，再从该罐子中任意取出一球，结果发现取出的是红球，试问：a ） 此球是从装有10各球的罐子中取出的概率是多少？b ） 此球最有可能是从装有几个球的罐子中取出？ 二．考虑函数110()3x ex F x x -⎧->⎪=⎨⎪≤⎩a ） 试证明()F x 为分布函数；b ） 试问()F x 是否可以表示为连续型分布函数和离散型分布函数的线性组合？说明理由。
三．某工厂生产的一批产品共有N 件，其中有M 件次品。
从这批产品中任意不放回抽取n 件产品，用ξ表示抽出残品中的次品件数，试求ξ的数学期望和方差。
四．设12,,,n ξξξ 为来自两点分布总体ξ的简单样本，而ξ的密度矩阵为011pp ⎛⎫⎪-⎝⎭，其中01p <<。
1） 参数p 的矩估计量是否为无偏估计量，为什么？2） 试由似然函数导出p 的极大似然估计量，该估计量是否为无偏估计量？五．设12,,,n x x x 是来自2(,)N a σ的简单样本，12,,,m y y y 为来自于2(,4)N a σ的简单样本，其样本均值分别记为x 和y 。
1）常数c 和d 应该满足什么条件才能使得 acx d y =+为参数a 的无偏估计？ 2）试确定常数c 和d ，使得估计量 a的方差达到最小。
3） 试推导出检验01:0:0H a H a =↔≠的显著水平α的拒绝域。
一、设ξ，η为相互独立随机变量，ξ服从12p =的贝努里分布，η服从标准正态分布，试求：1）ξ＋η，2）ξη的分布函数。
如果得到的分布函数是连续型的，求其密度函数；如果得到的分布不是连续型的，讨论它是否可以写成一个连续型的分布函数与一个离散型分布函数的线性组合。
二、从装有红、白、黑求各一的带子中任意有放回的取球，直至三种颜色的球都取出过为止，用ξ表示停止时取球的次数，设k 问任意正整数，试求：1）()P k ξ>； 2）()P k ξ=； 3）ξ的数学期望。
2002-2003学年第一学期概率统计(A)期末考试试卷答案
2002-2003学年第一学期概率论与数理统计（A ）期末考试试卷答案一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中 1．掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为6，则其中有一颗为1点的概率为________． 解：两颗骰子的点数之和为6共有5种可能情况：()()()()()1,5,2,4,3,3,4,2,5,1，而其中有一颗为1点有两种可能：()()1,5,5,1，因此所求概率（条件概率）为52． 应填：52． 2．设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()()⎩⎨⎧<<<<--=其它042,206,y x y x k y x f 则=k ________． 解：由()1,=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ，得()()()⎰⎰⎰⎰⎰---=--==+∞∞-+∞∞-422024220626,1dy y x k dx y x k dy dxdy y x f()()[]k dy y y k 84624222=---=⎰所以，81=k ． 应填：813．设总体()2,~σμNX ，()1021,,,X X X 是从X 中抽取的一个样本，样本量为10，则()1021,,,X X X 的联合概率密度函数()=1021,,,x x x g _________________________．解：由于总体()2,~σμNX ，所以总体X 的概率密度函数为()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=222exp 21σμσπx x f ()+∞<<∞-x ， 并且()1021,,,X X X 是从中抽取的一个样本，即()1021,,,X X X 是简单随机样本，所以样本中的n 个分量n X X X ,,,21 是独立同分布的随机变量，而且其分布与总体分布相同．因此样本()1021,,,X X X 的联合概率密度函数()()()()10211021,,,x f x f x f x x x g =()()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--⎭⎬⎫⎩⎨⎧--⋅⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=22102222212exp 212exp 212exp 21σμσπσμσπσμσπx x x ()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=∑=10122210221exp 21i i x μσπσ ()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=∑=101225221exp 21i i x μσπσ 应填：()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--∑=101225221exp 21i i x μσπσ． 4．设总体X其中10<<θ是未知参数，()n X X X ,,,21 是从中抽取的一个样本，则参数θ的矩估计量=θˆ__________________．解：()()()()θθθθθθθθθθ232134413122122222-=+-+-+=-⨯+-⨯+⨯=X E所以，()()X E -=321θ．将()X E 替换成样本均值X ，得参数θ的矩估计量为 ()X -=321ˆθ． 应填：()X -321．5．显著性检验是指____________________________________． 解：显著性检验是指只控制犯第Ⅰ类错误的概率，而不考虑犯第Ⅱ类错误的概率的检验． 应填：只控制犯第Ⅰ类错误的概率，而不考虑犯第Ⅱ类错误的概率的检验．二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1．设随机变量()2,1~-N X ，()2,1~N Y ，而且X 与Y 不相关，令Y aX U +=，bY X V +=，且U 与V 也不相关，则有()A .0==b a ； ()B .0≠=b a ； ()C .0=+b a ； ()D .0=ab ．【 】解：()()bY X Y aX V U ++=,cov ,cov()()()()()()()()Y bD Y X ab X aD Y Y b Y X ab X X a +++=+++=,cov 1,cov ,cov 1,cov再由于随机变量()2,1~-N X ，()2,1~N Y ，而且X 与Y 不相关，所以()2=X D ，()2=Y D ，()0,cov =Y X ． 因此，()()b a V U +=2,cov ．这表明：随机变量U 与V 不相关，当且仅当()()02,cov =+=b a V U ，当且仅当0=+b a ． 应选：()C ．2．对两台仪器进行独立测试，已知第一台仪器发生故障的概率为1p ，第二台仪器发生故障的概率为2p ．令X 表示测试中发生故障的仪器数，则()=X E()A .21p p +； ()B .()()122111p p p p -+-； ()C .()211p p -+； ()D .21p p ．【 】解：由于X 表示测试中发生故障的仪器数，所以X 的取值为2,1,0，并且X 的分布律为所以()()()()()21211221212111110p p p p p p p p p p X E +=⨯+-+-⨯+--⨯=． 应选：()A ．3．若Y X ,ρ表示二维随机变量()Y X ,的相关系数，则“1,=Y X ρ”是“存在常数a 、b 使得{}1=+=bX a Y P ”的()A .必要条件，但非充分条件； ()B .充分条件，但非必要条件； ()C .充分必要条件； ()D .既非充分条件，也非必要条件．【 】解：由相关系数的性质，可知“1,=Y X ρ”是“存在常数a 、b 使得{}1=+=bX a Y P 的充分必要条件． 应选：()C ．4．根据辛钦大数定律，样本均值X 是总体期望()μ=X E 的()A .矩估计量； ()B .最大似然估计量； ()C .无偏估计量； ()D .相合估计量．【 】解：辛钦大数定律指出：设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且()μ=n X E 存在，则对任意给定的0>ε，有01lim 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-∑=∞→εμn i i n X n P ， 即{}0lim =≥-∞→εμX P n这表明，样本均值X 是总体期望()μ=X E 的相合估计量． 应选：()D ．5．设总体X 服从参数10=λ的泊松（Poisson ）分布，现从该总体中随机选出容量为20一个样本，则该样本的样本均值的方差为()A . 1； ()B . 5.0； ()C . 5； ()D . 50．【 】解：由于总体服从参数10=λ的泊松（Poisson ）分布，所以()10==λX D ．又从该总体中随机选出容量为20一个样本，则若令X 是其样本均值，则()()5.02010===n X D X D ． 应选：()B ．三．（本题满分10分）某学生接连参加同一课程的两次考试．第一次考试及格的概率为p ，如果他第一次及格，则第二次及格的概率也为p ，如果他第一次不及格，则第二次及格的概率为2p． ⑴ 求他第一次与第二次考试都及格的概率． ⑵ 求他第二次考试及格的概率．⑶ 若在这两次考试中至少有一次及格，他便可以取得某种证书，求该学生取得这种证书的概率． ⑷ 若已知第二次考试他及格了，求他第一次考试及格的概率． 解：设{}该学生第一次考试及格=A ，{}该学生第二次考试及格=B ． 则由题设，()p A P =，()p A B P =，()2p B A P =． ⑴ ()()()2p A B P A P AB P ==．⑵ ()()()()()()()21212p p p p p A B P A P A B P A P B P +=-+=+=． ⑶ ()()()()()()23212p p p p p p AB P B P A P B A P -=-++=-+=⋃． ⑷ ()()()()p pp p p B P AB P B A P +=+==12212．四．（本题满分10分）设顾客在某银行等待服务的时间X （单位：分钟）是服从5=θ的指数分布．某顾客在窗口等待服务，若等待时间超过10分钟，他便离开．⑴ 求某次该顾客因等待时间超过10分钟而离开的概率．⑵ 若在某月中，该顾客来到该银行7次，但有3次顾客的等待时间都超过10分钟，该顾客是否有理由推断该银行的服务十分繁忙． 解：由于随机变量X 服从5=θ的指数分布，所以X 的概率密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00515x x ex f x． ⑴ {}{}135335283.05110102105105==-==≥=-+∞-∞+-⎰e e dx e X P P x x分钟顾客等待时间超过 ⑵ 设Y 表示该顾客在一个月内等待时间超过10分钟的次数，则()2,7~-e b Y ．所以，()()()048494457.013423237=-==--e eC Y P ．这表明，()3=Y 是一个小概率事件，由于小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的，现在发生了．因此该顾客有理由推断该银行的服务十分繁忙． 五．（本题满分10分）一射手进行射击，击中目标的概率为p ()10<<p ，射击直至击中2次目标时为止．令X 表示首次击中目标所需要的射击次数，Y 表示总共所需要的射击次数． ⑴ 求二维随机变量()Y X ,的联合分布律．⑵ 求随机变量Y 的边缘分布律．⑶ 求在n Y =时，X 的条件分布律．并解释此分布律的意义． 解：⑴ 随机变量Y 的取值为 ,4,3,2；而随机变量X 的取值为1,,2,1-n ，并且(){}次第次，第二次命中目标在第一次命中目标在第n m P n Y m X P ===, 2211p q p q p q n m n m ----=⋅=， （其中p q -=1） ()1,,2,1;,4,3,2-==n m n ．⑵ ()()()221122111,p q n p q n Y m X P n Y P n n m n n m --=--=-======∑∑，() ,4,3,2=n ． 即随机变量Y 的边缘分布律为()()221p q n n Y P n --== () ,4,3,2=n ．⑶ 由于()()()()111,2222-=-=======--n p q n p q n Y P n Y m X P n Y m X P n n 因此在n Y =时，X 的条件分布律为 ()11-===n n Y m X P ()1,,2,1-=n m 这表明，在n Y =的条件下，X 的条件分布是一个“均匀”分布．它等可能地取值1,,2,1-n ．六．（本题满分10分）一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1元、2.1元、5.1元各个值的概率分别为3.0、2.0、5.0．某天该食品店出售了300只蛋糕．试用中心极限定理计算，这天的收入至少为395元的概率． （附表：标准正态分布()x Φ的数值表：解：设k X 表示该食品店出售的第k 只蛋糕的价格()300,,2,1 =k ，则k X 的分布律为所以，()29.15.05.12.02.13.01=⨯+⨯+⨯=k X E ，()713.15.05.12.02.13.012222=⨯+⨯+⨯=k X E ， 所以，()()()[]0489.029.1713.1222=-=-=k k k X E X E X D ．因此，30021,,,X X X 是独立同分布的随机变量，故()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-<--=⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑∑∑∑======3001300130013001300130013951395k k k k k k k k k k k k X D X E X D X E X P X P ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯-<⨯⨯--=∑=0489.030029.130********.030029.130013001k k X P ()0183.09817.0109.2109.20489.030029.130013001=-=Φ-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⨯⨯--=∑=k k X P ．七．（本题满分10分） 设总体X 的密度函数为()()⎩⎨⎧≤>=+-cx cx x c x f 01θθθ． 其中0>c 是已知常数，而1>θ是未知参数．()m X X X ,,,21 是从该总体中抽取的一个样本，试求参数θ的最大似然估计量． 解：似然函数为()()()()()121111+-=+-====∏∏θθθθθθθn n n ni i n i i x x x c x c x f L所以，()()∑=+-+=ni ixc n n L 1ln 1ln ln ln θθθθ．所以，()∑=-+=ni i x c n nL d d 1ln ln ln θθθ．令：()0ln =θθL d d ，即0ln ln 1=-+∑=n i i x c n nθ， 得到似然函数的唯一驻点cxnni iln ln 1-=∑=θ．所以参数θ的最大似然估计量为cXnni iln ln ˆ1-=∑=θ．八．（本题满分10分） 设总体()21,~σμNX ，总体()22,~σμN Y ，()m X X X ,,,21 是从总体X 中抽取的一个样本，()n Y Y Y ,,,21 是从总体Y 中抽取的一个样本．并且随机变量n m Y Y Y X X X ,,,,,,,2121相互独立．记21S 是样本()m X X X ,,,21 的样本方差，22S 是样本()n Y Y Y ,,,21 的样本方差．再设()()21122212-+-+-=n m S n S m S W证明：2W S 是2σ的无偏估计．解：由于总体()21,~σμNX ，()m X X X ,,,21 是从总体X 中抽取的一个样本，所以()()1~12221--m S m χσ．又由于总体()22,~σμNY ，()n Y Y Y ,,,21 是从总体Y 中抽取的一个样本，所以()()1~12222--n S n χσ．所以，()()()()()222122212211111σσσσσ-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=-m S m E S m E Sm E ， ()()()()()222222222221111σσσσσ-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=-n S n E S n E S n E ． 所以， ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-=21122212n m S n S m E S E W()[]()[]22211121S n E S m E n m -+--+=()()[]2221121σσσ=-+--+=n m n m 所以，()()21122212-+-+-=n m S n S m SW是2σ的无偏估计．九．（本题满分10分）检验某批矿砂中的含镍量，随机抽取7份样品，测得含镍量百分比分别为：67.2 33.3 69.3 01.3 98.3 15.3 69.3假设这批矿砂中的含镍量的百分比服从正态分布，试在05.0=α下检验这批矿砂中的含镍量的百分比为25.3．（附表：t 分布的分位点表：()9432.1605.0=t ()4469.26025.0=t ()8946.1705.0=t ()3646.27025.0=t解：设X 表示这批矿砂中的含镍量的百分比，则()2,~σμNX ．25.3:0=μH ()25.3:1≠μH由于总体方差未知，故用检验统计量n SX T 25.3-=当0H 成立时，()1~25.3--=n t n SX T ．由于显著性水平05.0=α，7=n ，所以()4469.26025.0=t ．因此检验的拒绝域为()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-=4469.225.3:,,,7211n sx x x x W由样本观测值，得36.3=x ，455668007.0=s 所以，4469.2638694486.0745*******.025.336.325.3<=-=-n sx 所以，不拒绝0H ，可以认为这批矿砂中的含镍量的百分比为25.3．。
2002-2003学年第一学期概率统计（A）重修课考试试卷答案
2002-2003学年第⼀学期概率统计（A）重修课考试试卷答案2002-2003学年第⼀学期概率论与数理统计（A ）重修课考试试卷答案⼀．填空题（本题满分15分，共有5道⼩题，每道⼩题3分）请将合适的答案填在每题的空中1．某⼈连续三次购买体育彩票，设1A ，2A ，3A 分别表⽰其第⼀、⼆、三次所买的彩票中奖的事件，⼜设{}不⽌⼀次中奖=B ，若⽤1A 、2A 、3A 表⽰B ，则有=B ________________________________．2．⼀射⼿对同⼀⽬标进⾏4次，规定若击中0次得-10分，击中1次得10分，击中2次得50分，击中3次得80分，击中4次得100分，假定该射⼿每发的命中率为0.6，令X 表⽰所得的分数，则=EX _________．3．已知随机变量X 服从参数为2的泊松（Poisson ）分布，且随机变量22-=X Z ，则()=Z E ____________．4．设连续型随机变量X 的密度函数为()1221-+-=x xe xf π()+∞<<∞-x ，则()=X D ___________．5．设总体()24.0~，µNX ，()1621x x x ，，，是从中抽取的⼀个样本的样本观测值，算得12.10=x ，则µ的置信度为0.95的置信区间为___________．（已知：96.1025.0=z ，645.105.0=z ）答案：1． 323121A A A A A A ??； 2． 168.59； 3． 2； 4．21； 5． ()316.10924.9，；⼆、选择题（本题共5⼩题，每⼩题3分，满分15分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）B A P A P ≤ ； ()C . ()()B A P A P > ； ()D . ()()B A P A P ≥ ．【】2．设X 与Y 为两个随机变量，且{}7300=≥≥Y X P ，， {}{}7400=≥=≥Y P X P ，则(){}=≥0max Y X P ， ()A75； ()B 4916； ()C 73； ()D 4940．【】3．设随机变量X 与Y 独⽴同分布，记Y X U -=，Y X V +=，则U 与V 之间必有 ()A 独⽴； ()B 相关系数为零； ()C 不独⽴；()D 相关系数不为零．【】4．设X 与Y 是两个相互独⽴的随机变量，则下列说法中，正确的是()A 当已知X 与Y 的分布时，对于随机变量Y X +，可使⽤Chebyshev （切⽐雪夫）不等式进⾏概率估计；()B 当已知X 与Y 的数学期望与⽅差都存在时，可使⽤Chebyshev （切⽐雪夫）不等式估计随机变量Y X +落在任意区间()b a ，内的概率；()C 当已知X 与Y 的数学期望与⽅差都存在时，可使⽤Chebyshev （切⽐雪夫）不等式估计随机变量Y X +落在对称区间()a a ，- ()0>a 内的概率；；()D 当已知X 与Y 的数学期望与⽅差都存在时，可使⽤Chebyshev （切⽐雪夫）不等式估计随机变量Y X +落在区间()()()()()a Y E X E a Y E X E ++-+， ()0>a 内的概率；．【】5．设总体()20~σ，N X ，()n X X X ，，， 21是从该总体中抽取的⼀个简单随机样本，则_____________是2σ的⽆偏估计量．()A ∑=-=n i i X n 12211?σ； ()B ∑=+=n i i X n 12211?σ； ()C ∑==n i i X n 1221?σ； ()D ()∑=+=ni i X n n 12答案： 1．()B ； 2．()A ； 3．()B ； 4．()D ； 5．()C ．三．（本题满分10分）将5个颜⾊分别为⿊、红、黄、蓝、⽩的球分别放⼊5个颜⾊也分别为⿊、红、黄、蓝、⽩的盒⼦中，每⼀个盒⼦中只放⼀个球．求球与盒⼦的颜⾊都不⼀致的概率．解：设{}致球与盒⼦的颜⾊都不⼀=B ，并设 {}⿊球放⼊⿊盒=1A ，{}红球放⼊红盒=2A ，{}黄球放⼊黄盒=3A ，{}蓝球放⼊蓝盒=4A ，{}⽩球放⼊⽩盒=5A ．则 5151====i ii iA AB ，所以()-=?=== 51511i i i i A P A P B P ()()()()()54321511A A A A A P A A A A P A A A P A A P A P lk j i lkjikiji jii i-+-+-=∑∑∑∑<<<<<<=⽽()!5!4=i A P ()54321，，，，=i ， ()!5!3=j i A A P ()j i <， ()!5!2=k j i A A A P ()k j i <<， ()!5!1=l k j i A A A A P ()l k j i <<<， ()!5154321=A A A A A P ．所以，()!51!5!1!5!2!5!3!5!4151-+-+-=∑∑∑∑<<<<<<=l k j i k j i j i i B P 3011!51!5!1!5!2!5!3!5!451453525=-?+?-?+?-=C C C ．四．（本题满分10分）某⼯⼚宣称⾃⼰的产品的次品率为20%，检查⼈员从该⼚的产品中随机地抽取10件，发现有3件次品，可否据此判断该⼚谎报了次品率？解：设X ：抽取10件产品中的次品数，则()2.010~，B X所以，()2013.08.02.0373310=??==C X P因此随机事件“{}3=X ”并⾮是⼩概率事件，故不能据此判断该⼚谎报了次品率．()<<=其它022ππx xx f X ，⽽X Y sin =，试求随机变量Y 的密度函数()y f Y ．解：由随机变量X 在区间()π，0上取值，可知随机变量X Y sin =在区间()10，上取值．设随机变量Y 的分布函数为()y F Y ，则有(){}{}y X P y Y P y F Y ≤=≤=s i n ①. 如果0≤y ，则有()0=y F Y ；②. 如果10<(){}{}y X P y Y P y F Y ≤=≤=s i n{}{}ππ≤≤-+≤≤=X y P y X P a r c s i n a r c s i n0 ??-+=ππππy y x d x x d x a r c s i n2a r c s i n222③. 如果1≥y ，则有()1=y F Y即 ()≥<<+≤=??-111022a r c s i n2a r c s i n2y y x d x x d x y y F y y Y ππππ所以，<<-?-?+-??='=其它01011arcsin 211arcsin 22222y y y y y y F y f Y Y πππ即 ()??<<-=其它01011222y y y f Y π六．（本题满分10分）设⼆维随机变量()Y X ，服从矩形(){}1020,≤≤≤≤=y x y x D ，：上的均匀分布．记：>≤=Y X Y X U 10>≤=Y X YX V 2120 试求X 与Y 的相关系数ρ，并判断U 与V 是否相互独⽴？解：由题意可得{}41=≤Y X P ， {}212=>Y X P ， {}412=<所以，{}{}{}41200=≤=≤≤===Y X P Y X Y X P V U P ，，， {}{}()0210=?=>≤===P Y X Y X P V U P ，，，{}{}{}41201=≤<=≤>===Y X Y P Y X Y X P V U P ，，，{}214141111=--===V U P ，， ()V U ，的联合分布律及各⾃的边缘分布律为所以，43=EU ，163=DU ，21=EV ，41=DV ．⼜()21=UV E ，所以，()()()()81214321cov=?-=-=EV EU UV E V U ，()314116381cov ===DVDU V U ，ρ由于0≠ρ，所以U 与V 相关，从⽽U 与V 不独⽴．七．（本题满分10分）某运输公司有500辆汽车参加保险，在⼀年内每辆汽车出事故的概率为0.006，每辆参加保险的汽车每年交保险费800元，若⼀辆车出事故保险公司最多赔偿50000元．试利⽤中⼼极限定理计算，保险公司⼀年赚钱不⼩于200000元的概率．（附：标准正态分布分布函数()x Φ表：解：设{}某辆汽车出事故=A ，则()006.0=A P ．设X ：运输公司⼀年内出事故的车数．则()006.0500~，B X ．保险公司⼀年内共收保费400000500800=?，若按每辆汽车保险公司赔偿50000元计算，则保险公司⼀年赚钱不⼩于200000元，则在这⼀年中出事故的车辆数不能超过4辆．因此所求概率为 ()-≤???-=≤994.0006.0500006.05004994.0006.0500006.05004X P X P≤?-=58.0994.0006.0500006.0500X P ()7190.058.0=Φ≈⼋．（本题满分10分）设总体X 服从对数正态分布，其密度函数为()()()?--=--22121222ln exp 2σµπσσµx x x f ，； ()0>x 其中+∞<<∞-µ与0>σ都是未知参数，()n X X ，， 1是从该总体中抽取的⼀个样本．试求µ与2σ的最⼤似然估计．解：似然函数为． ()()()∏=----=ni i ix x L 122121222ln exp 2σµπσσµ， ()()()??--=∑=--212121222ln exp 2σµπσn i i n nx x x x ()n i x i ，，， 10=>)()()()21221222ln ln 2ln 2ln σµπσσµ∑=----=ni i n x x xx n L ，所以，()()()()-+?-=??-=??∑∑==4122222122ln 12ln 2ln ln σµσσµσσµσµµn i i ni i x n L x L ，，由此得⽅程组 ()() =-+?-=-∑∑==02ln 1202ln 412 221σµσσµni i ni i x n x 解此⽅程组，得∑==n i i x n 1ln 1µ，∑∑==??-=n i ni i i x n x n 1212ln 1ln 1σ因此，µ与2σ的最⼤似然估计为∑==n i i X n 1ln 1?µ-=n i n i i i X n X n 1212ln 1ln 1?σ．九．（本题满分10分）设总体()2~σµ，NX ，其中µ是已知参数，02>σ是未知参数．()n X X X ，，， 21是从该总体中抽取的⼀个样本，⑴. 求未知参数2σ的极⼤似然估计量2σ；⑵. 判断2σ是否为未知参数2σ的⽆偏估计．解：⑴. 当02>σ为未知，⽽+∞<<∞-µ为已知参数时，似然函数为()()()?--=∑=-ni i n x L 12222221exp 2µσπσσ()02>σ因⽽ ()()()∑=---=ni ixn L 122212ln 2ln µσπσσ()02>σ所以，由似然⽅程()()()01212ln 412222=?-+-=??∑=σµσσσn i i x nL ，解得()∑=-=n i i x n 1221µσ，因此，2σ的极⼤似然估计量为()∑=-=ni i X n 1221?µσ．⑵. 因为()2~σµ，N X i ()n i ，，， 21=，所以()10~，N X i σµ- ()n i ，，， 21=，所以()1~22χσµ??-i X ()n i ，，， 21=，所以12=??-σµi X E ()n i ，，， 21=，因此，()()??-=∑=n i i X n E E 1221?µσ∑∑∑===??-=???? ??-=?-=ni i n i i ni i X E n X E n X nE 122122122σµσσµσσµσ 22σσ=?=n n所以，()∑=-=ni i X n 1221?µσ是未知参数2σ的⽆偏估计．。
概率论期末试卷(05年1月)
《概率论与数理统计》期末试卷（2学分用，考试时间120分钟，2003级，2005年1月）注：标准正态分布的分布函数值φ（1.04）=0.8508，φ（1.29）=0.9015，φ（1.65）=0.9505，φ（1.96）=0.9750，φ（2.06）=0.9803一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设事件A 和B 的概率为P （A ）=21，P （B ）=32，则P （AB ）可能为 （ ） A.0 B.1 C. 53 D. 612.从1、2、3、4、5这五个数字中等可能、有放回地接连抽取两个数字，则这两个数字不相同的概率为 （ ） A.21 B. 252 C. 254D.以上都不对3.投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数，则点数之和为6的概率为 （ ） A. 185 B. 31 C. 21D.以上都不对4.某一随机变量的分布函数为F （x ）=xxe be a ++3，则F （0）的值为 （ ）A.0.1B.0.5C.0.25D.以上都不对5.一口袋中有3个红球和2个白球，某人从中随机摸出一球，摸得红球得5分，摸得白球得2分，则他所得分数的数学期望为 （ ） A.2.5 B.3.5 C.3.8 D.以上都不对二、填空题（每小题3分，共15分）1.设A 、B 是相互独立的随机事件，P （A ）=0.5，P （B ）=0.7，则P （A ∪B ）= 。
2.设随机变量ζ～B （n,p ），E （ζ）=3，D （ζ）=1.2，则n= 。
3.随机变量ζ的期望为E （ζ）=5，标准差为σ（ζ）=2，则E （ζ2）= 。
4.甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击，若甲未射中再由乙射击。
设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为 。
5.设连续型随机变量ζ的概率分布密度为f(x)=222++x x a，a 为常数，则P(ζ≥0)=。
三、（本题10分）将4个球随机地放在5个盒子里，求下列事件的概率：（1）4个球全在一个盒子里； （2）恰有一个盒子有两个球四、（本题10分）设随机变量ζ的分布密度为f(x)={30,130,0≤≤+><x xAx x 当或当（1）求常数A; （2）求P(ζ<1); (3)求ζ的数学期望五、（本题10分）设二维随机变量（ζ，η）的联合分布是（1）ζ与ηη)六、（本题10分）有10盒种子，其中1盒发芽率为90% ，其它9盒为20% 。
2003年概率统计试卷1
上 海 交 通 大 学概率论与数理统计试卷 2003-06姓名: 班级: 学号: 得分: 一 是非题（共7分，每题1分）1．设A ,B ,C 为随机事件，则A 与C B A ⋃⋃是互不相容的 （ ） 2．)(x F 是正态随机变量的分布函数，则)(1)(x F x F -≠- （ ） 3．若随机变量X 与Y 独立，它们取1与1-的概率均为5.0，则Y X =（ ） 4．等边三角形域上二维均匀分布的边缘分布仍是均匀分布 （ ） 5. 样本均值的平方2X 不是总体期望平方2μ的无偏估计 （ ） 6．在给定的置信度α-1下，被估参数的置信区间不一定惟一 （ ） 7．在参数的假设检验中，拒绝域的形式是根据备择假设1H 而确定的 （ ） 二、选择题（15分，每题3分）（1）设A B ⊂，则下面正确的等式是 。
（ａ）)(1)(A P AB P -=； （ｂ）)()()(A P B P A B P -=-； （ｃ）)()|(B P A B P =； （ｄ）)()|(A P B A P =（2）离散型随机变量X 的概率分布为k A k X P λ==)(( ,2,1=k )的充要条件是 。
（ａ）1)1(-+=A λ且0>A ； （ｂ）λ-=1A 且10<<λ； （ｃ）11-=-λA 且1<λ； （ｄ）0>A 且10<<λ. （3） 设10个电子管的寿命i X (10~1=i )独立同分布，且A X D i =)((10~1=i )，则10个电子管的平均寿命Y 的方差=)(Y D .（ａ）A ； （ｂ）A 1.0； （ｃ）A 2.0； （ｄ）A 10.（4）设),,,(21n X X X 为总体)1,0(~N X 的一个样本，X 为样本均值，2S为样本方差，则有 。
（ａ）)1,0(~N X ； （ｂ）)1,0(~N X n ；（ｃ）)1(~/-n t S X ； （ｄ）)1,1(~/)1(2221--∑=n F X X n ni i（5）设),,,(21n X X X 为总体),(2σμN (μ已知)的一个样本，X 为样本均值，则在总体方差2σ的下列估计量中，为无偏估计量的是 b 。
概率论与数理统计-历年考试题与答案
概率论与数理统计-历年考试题与答案2002~2003学年第⼀学期《概率统计》期末考试试题参考数据： 8413.0)1(=φ 9772.0)2(=φ 6.10)6(210.0=χ 6.12)6(205.0=χ 0.12)7(210.0=χ 02.2)5(05.0=t 57.2)5(025.0=t 45.2)6(025.0=t⼀、填空（每空2分，共20分）：1．随机变量2~(,)X N µσ，则其概率密度函数=)(x f ___________。
=<-)|(|σµX P _______________. 2．随机事件A 、B ⾄少有⼀个发⽣的概率为1P ，⽽2)(P A P =若A 、B 独⽴则P(B)= ＿＿＿, 若A 、B 互斥，则P(B)= ＿＿＿；3．随机变量X 、Y ，已知,2==EY EX ,6=EXY 1.0,==DY DX ，则=+)(Y X D _______； 4． )(~λP X 且已知),2()1(===X P X P 则=λ＿＿＿， =>)1(X P ＿＿＿；5． ),,(~p n B Y n 由中⼼极限定理可知=≤≤∞→)0(lim x Yp nn _______________；6. 总体),,(~2σµN X ,1∑=i x n X 22)(11∑--=X x n S i则22)(1∑-X x i σ服从＿＿＿分布，22)(S X n µ-服从＿＿＿分布。
⼆、10⽀电⼦管中有3⽀⼆级品。
今分别以两种⽅式（1）返回抽取；（2）不返回抽取，从中任取2⽀，求取得⼆级品数X 的概率分布。
（1）返回抽取（2）不返回抽取三、随机变量X 的概率密度函数为四、⼆维随机变量),(Y X 的联合分布概率密度为≤≤≤≤=其它 0 xy 2,0x 0 163),(2xy y x f ，求X 、Y 的边缘概率密度)(x f X 、)(y f Y 及概率)1(五、总体X 的概率密度为<≥=-0 0 0 x )(2x xe x f x θθ，今取得样本,,,,21n x x x 求未知参数θ的极⼤似然估计。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
8、 设 随 机 变 量 X ,Y 服 从 N (0,1) ， 令 U = ξ +η,V = ξ /η ， 则
(1)求 (U ,V ) 联 合 密 度 函 数 ；
(2)求 U ,V 各 自 的 密 度 函 数 ；
(3)试 问 U ,V 是 否 独 立 ？ 为 什 么 ？
9、 若 某 种 商 品 每 周 的 需 求 量 X ∼ U[10,30] ， 而 经 销 商 店 进 货 数 量 为 区 间 [10,30] 中 的
教研室或系负责人： 第1页共2页
主管院长：
年 月日
《 概率论基础 》课程试题（A）卷
二 、 计 算 题 ( 40' = 10'+15'× 2 ) 7、设某种元件的寿命 T 的概率密度为
f
(t)
=
⎧⎪ ⎨
a t2
,t
>
100(h)
⎪⎩0,t ≤ 100(h)
(1)试确定常数 a (2)若 某 台 设 备 中 有 3 个 这 种 元 件 ， 问 在 开 始 使 用 的 150h 中 ， 这 3 个 元 件 中 至 少 有 1 个损坏的概率是多少？
题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分
—
— —
得分
— —
签名
班
— —
一、填空题( 6× 4' )
— — —
1、若随机事件 A, B,C 相互独立，且 P( A) = 0.2, P(BC) = 0.5 ，求 P( A∪ B∪C) =
—
姓
封 2、若二维随机向量 (ξ ,η) ∼ N (2, −1, 4,9; 0.5) ，则ξ +η 服从
西南大学课程考核命题单
专—
业
— —
西南大学 数学与财经 学院
—
— —
《 概率论基础 》课程试题（A）卷
—
—
— —
2005～ 2006 学 年 第 2 学 期
期末考试
—
—
考试时间 120 分钟 考试方式 闭卷 学生类别 普通本科 人数 351
—
年 级
— 密 —
适用专业或科类
数学教育专业
年级 2003 级
—
—
p(x) = Ae−2x + Be−x , x > 0
—
— —
且 EX = 3/ 4 ， 则 A =
,B =
—
— —
6、 若 随 机 变 量 ξ ,η 独 立 ， 且 特 征 函 数 均 为 特 征 函 数 为 f (t) = e− t ， 则
—
— —
3ξ − 2η 的 特 征 函 数 为
命题教师：
—
名—
— — —
∑ 3、若独立随机变量列
{ξi
}n i =1
有
ξi
∼
P(λi ), λi
>
0 ，则
P
⎧ ⎨
⎩
n i =1
ξi
<
2⎫⎬ ⎭
=
—
— —
4、若 X ,Y 独立地服从[0,1] 区间上的均匀分布，则关− 2Xt + Y > 0
学 号
—
线 恒成立的概率为
—
— —
5、若连续型随机变量 X 的密度函数为
某一整数，商店每销售一单位商品可获利 500 元；若供大于求则削价处理，每处 理 1 单位商品亏损 100 元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每一单位商 品仅获利 300 元. (1)为使商店所获利润不少于 9280 元，试确定最少进货量； (2)商 店 所 获 利 润 的 期 望 值 最 大 能 到 多 少 ？ 此 时 的 进 货 量 是 多 少 ？ 三 、 证 明 题 ( 3×12 ' ) 10、用特征函数法证明，泊松分布当 λ 趋于无穷大时，渐近正态分布. 11、证明：对任意 x > 0，有不等式
∫ x
1+ x2
e−x2 /2
≤
+∞ e−t2 / 2dt ≤ 1 e− x2 / 2
x
x
12、 证 明 ： ξn ⎯P⎯→ c ⇔ ξn ⎯d⎯→ c
第 2 页（共 2 页）