2.数理逻辑
逻辑学经典书籍
逻辑学经典书籍摘要：1.逻辑学简介2.逻辑学经典书籍的分类3.代表性逻辑学经典书籍介绍3.1《形式逻辑》3.2《逻辑学导论》3.3《逻辑思维》3.4《数理逻辑》3.5《论证逻辑》4.阅读逻辑学经典书籍的意义正文：逻辑学是一门研究推理规律和思维规律的学科，它旨在帮助人们提高思维品质、培养良好的推理能力。
逻辑学经典书籍是学习和研究逻辑学的基石，它们为我们提供了丰富的理论知识、方法和实例。
下面，我们将对一些具有代表性的逻辑学经典书籍进行简要介绍。
1.逻辑学简介逻辑学可以分为形式逻辑、数理逻辑、论证逻辑等多个分支。
形式逻辑主要研究推理的形式，探讨概念、判断和推理的基本规律；数理逻辑则运用符号和数学方法研究逻辑结构；论证逻辑关注论证的构建、分析和评估。
2.逻辑学经典书籍的分类逻辑学经典书籍可以分为以下几类：形式逻辑、逻辑学导论、逻辑思维、数理逻辑和论证逻辑。
这些书籍在内容、深度和广度上各有侧重，适合不同层次的读者。
3.代表性逻辑学经典书籍介绍3.1《形式逻辑》《形式逻辑》是关于推理形式和规律的研究，是逻辑学的基础理论。
本书通过阐述概念、判断和推理的基本概念，以及推理的基本规律，为读者打下扎实的逻辑学基础。
3.2《逻辑学导论》《逻辑学导论》是一本引导读者进入逻辑学领域的入门书籍，它简要介绍了逻辑学的基本概念、历史发展和主要分支。
本书适合初学者入门学习，帮助读者了解逻辑学的基本内容和研究方向。
3.3《逻辑思维》《逻辑思维》旨在培养读者的逻辑思维能力，通过丰富的实例分析、练习和测试，使读者掌握逻辑思维的基本方法和技巧。
本书适合希望提高逻辑思维能力的读者。
3.4《数理逻辑》《数理逻辑》是一本关于符号逻辑和数学逻辑的书籍，它运用符号和数学方法研究逻辑结构和推理规律。
本书适合对数理逻辑有兴趣的读者深入学习。
3.5《论证逻辑》《论证逻辑》主要研究论证的构建、分析和评估，它通过阐述论证的基本概念、结构和评估方法，帮助读者学会分析、评估和构建有效的论证。
面向计算机科学的数理逻辑答案
A|=|A’矛盾，同理可证¬A’|=¬A,所以式子得证。 （ⅱ）先证 A∧B|=A’∧B’ v v 假 设 存 在 一 组 赋 值 使 得 (A ∧ B) =1,(A’ ∧ B) =0’, 可 得 AV=1,BV=1,(A’)V=0 或(B’)V=0 或二者都为零， 这与 A|=|A’， B|=|B’矛盾， 即式子成立，同理可证， A’∧B’ |=A∧B。 （ⅲ）先证 A∨B|=A’∨B’ 假 设 存 在 一 组 赋 值 使 得 (A ∨ B)V=1,(A’ ∨ B’)V=0, 可 得 (A’)V=0,(B’)V=0,(A)v=1 或(B)v=1 或二者都为 1，这与 A|=|A’， B|=|B’ 矛盾，即式子得证，同理可证 A’∨B’|= A∨B。 （ⅳ）先证 A→B|=A’→B’ 假 设 存 在 一 组 赋 值 使 得 （ A → B ） V=1,(A’ → B’)V=0 ， 可 得 v v V V v (A’) =1,(B’) =0, 由 A|=|A’， B|=|B’可得，A =1,B =0,即(A→B) =0,这 与（A→B）V=1 矛盾，即式子得证。同理可证，A’→B’|=A →B (ⅴ)先证 A↔B|=A’ ↔B’ 假 设 存 在 一 组 赋 值 使 得 (A↔B)V=1,(A’↔B’)V=0, 可 得 AV=1,BV=1 或 V (A’)v=1,(B’)v=0 或(A’)v=0,(B’)v=1, 这与 A|=|A’，B|=|B’ A =0,BV=0， 矛盾，所以式子成立。同理可证 A’↔B’|=A↔B。 习题 2.5.3（未布置） (1) 假设存在一组赋值， 使得¬(A∧B) V=1， 而(¬A∨¬B) V=0,可得¬A V =0， ¬B V=0 V V V 即 A =1，B =1，代入¬(A∧B) =0，与假设矛盾，则¬(A∧B)|= ¬A∨¬B。 再假设存在一组赋值，使得(¬A∨¬B) V=1。¬(A∧B) V=0，则(A∧B) V=1， V V V 得 A =0，B =0。代入(¬A∨¬B) =1，矛盾，则¬A∨¬B|=¬(A∧B)。 所以¬(A∧B)|=| ¬A∨¬B。 (2) 假设存在一组赋值，使得¬(A∨B) V =1，(¬A∧¬B) V =0，得到¬A V =0， V V V V V V V ¬B =0，或者¬A =1，¬B =0，或者¬A =0，¬B =1，即 A =1，B =1，或者 A V =0，B V =1，或者 A V =1，B V =0，代入¬(A∨B) V =0，矛 盾，则¬(A∨B) |=¬A∧¬B。 再假设 (¬A∧¬B) V =1，¬(A∨B) V =0，得到 A V=1，BV=1。 ，代入(¬A∧¬B) V =0。矛盾，即¬A∧¬B |= ¬(A∨B)。 因此¬(A∧B)|=| ¬A∨¬B。 2.5.4 (3)构造真假赋值 A V =1，BV=0， C V=0，则((A→C) ∧(B→C)) V=0,(A∧B→C) V =1,命题得证。 (4)构造真假赋值 A V =1，BV=0， C V=0,则(A∨B→C) V =0, ((A→C) ∨(B→C)) V =1 定理 2.6.4 （i）A->B,A|-A->B (∈) A->B,A|-A (∈) A->B,A|-B (-> -) (ii)A,B|-A (∈)
必须掌握的数学知识点总结
必须掌握的数学知识点总结一、基础知识1. 算术算术是数学的基础，包括加法、减法、乘法、除法等基本运算。
在实际生活中，我们经常需要进行数字的计算，因此掌握基本的算术知识对于每个人来说都是至关重要的。
2. 代数代数是数学中的一个重要分支，主要研究未知数和它们之间的关系。
代数知识包括多项式、方程、不等式、函数等内容，是后续学习更高级数学知识的基础。
3. 几何几何是研究空间和图形的形状、大小、位置关系的一门学科。
几何知识包括直线、角、三角形、四边形、圆等内容，对于理解空间和图形的属性有着重要的作用。
4. 概率与统计概率与统计是数学中的一个重要分支，研究的是随机现象的规律性和数量关系。
概率用来描述随机事件发生的可能性，而统计则是对数据进行收集、整理、分析和解释的过程。
二、高级知识1. 微积分微积分是数学的一个重要分支，主要研究函数的变化规律和其在空间中的应用。
微积分知识包括导数、积分、微分方程等内容，是自然科学和工程技术中不可或缺的工具。
2. 线性代数线性代数是数学中的一个重要领域，主要研究向量空间和线性变换。
线性代数知识包括矩阵、行列式、特征值与特征向量等内容，在物理、工程、信息科学等领域有着广泛的应用。
3. 数理逻辑数理逻辑是数学的一个重要分支，研究的是数学推理和证明的方法。
数理逻辑知识包括命题逻辑、谓词逻辑、集合论等内容，是数学基础和理论研究中不可或缺的一部分。
4. 离散数学离散数学是数学中的一个重要分支，主要研究离散结构和离散对象之间的关系。
离散数学知识包括集合、图论、代数结构等内容，在计算机科学和信息技术中有着重要的应用价值。
通过对这些数学知识点的总结，我们可以清晰地看到数学的广泛应用和重要性。
无论在学术研究还是实际应用中，数学都扮演着不可替代的角色。
因此，掌握这些数学知识点对于每个人来说都是非常重要的。
希望通过这篇总结，读者们可以对数学有一个更全面的理解，从而更好地应用和发展数学知识。
数理逻辑中的二阶逻辑与高阶逻辑
数理逻辑中的二阶逻辑与高阶逻辑二阶逻辑和高阶逻辑是数理逻辑中的重要概念。
它们在逻辑学和计算机科学中有广泛应用，并对推理和形式证明的研究产生了深远影响。
本文将介绍二阶逻辑和高阶逻辑的基本概念、特点以及在实际应用中的一些重要作用。
一、二阶逻辑的基本概念和特点二阶逻辑是指在逻辑系统中引入了量化二阶变量和二阶量词的逻辑体系。
相对于一阶逻辑，二阶逻辑具有更强的表达能力和描述能力。
在二阶逻辑中，可以量化一阶谓词变量，即可以描述关于一阶谓词的性质和关系。
这为解决一些复杂问题提供了便利。
二阶逻辑的特点包括以下几个方面：1.二阶量词：二阶逻辑中引入了二阶量词，它可以量化一阶谓词变量，从而表达更复杂的命题和关系。
2.表达能力：相对于一阶逻辑，二阶逻辑具有更强的表达能力，可以描述更复杂的关系和性质。
3.形式化语义：二阶逻辑的形式化语义研究更加复杂，需要引入更多的概念和方法，如拟态逻辑、模型论等。
二、高阶逻辑的基本概念和特点高阶逻辑是指在逻辑系统中引入了更高阶的量词和变量的逻辑体系。
相对于二阶逻辑，高阶逻辑具有更强的表达能力和描述能力。
在高阶逻辑中，可以量化谓词变量的谓词变量，即可以描述关于谓词的性质和关系。
高阶逻辑的特点包括以下几个方面：1.高阶量词：高阶逻辑中引入了高阶量词，它可以量化谓词变量，从而表达更复杂的命题和关系。
2.表达能力：相对于二阶逻辑，高阶逻辑具有更强的表达能力，可以描述更复杂的关系和性质。
3.形式化语义：高阶逻辑的形式化语义更加复杂，需要引入更多的概念和方法，如模型论、类型论等。
三、二阶逻辑与高阶逻辑在实际应用中的作用二阶逻辑和高阶逻辑在逻辑学和计算机科学中有着广泛应用。
它们对于推理、形式化验证和智能系统的研究产生了重要影响。
1.推理和证明：二阶逻辑和高阶逻辑可以用于形式化推理和证明的过程。
通过引入量化变量和量词，可以更准确地描述和推理关于谓词的性质和关系，从而提高推理和证明的精确性和效率。
2.形式化验证：在计算机科学中，二阶逻辑和高阶逻辑在形式化验证中发挥着重要作用。
儿童智力测试题中心(3篇)
第1篇一、引言智力是儿童成长过程中不可或缺的一部分，它不仅影响着儿童的学习能力，还关系到其未来的发展。
为了更好地了解儿童的智力水平，家长和教育工作者常常会借助智力测试题来进行评估。
本中心致力于收集和整理各类儿童智力测试题，为家长、教师和教育机构提供专业的智力测试服务。
二、智力测试的意义1. 了解儿童智力水平：智力测试可以帮助家长和教育工作者了解儿童的智力发展状况，为后续的教育提供依据。
2. 发现潜在问题：通过智力测试，可以及时发现儿童在认知、语言、逻辑等方面的潜在问题，便于早期干预。
3. 促进儿童全面发展：智力测试有助于家长和教育工作者关注儿童的综合素质，促进其全面发展。
4. 为教育决策提供依据：智力测试结果可以为教育部门制定教育政策、优化教育资源分配提供科学依据。
三、儿童智力测试题的分类1. 语言智力测试题：主要测试儿童的语言理解、表达、词汇积累等方面的能力。
2. 数理逻辑测试题：主要测试儿童的逻辑思维、空间想象力、数学运算等方面的能力。
3. 观察能力测试题：主要测试儿童对事物的观察、分析、判断等方面的能力。
4. 想象力与创造力测试题：主要测试儿童的想象力、创造力、创新思维等方面的能力。
5. 社交能力测试题：主要测试儿童在社交场合中的沟通、合作、理解他人情感等方面的能力。
四、儿童智力测试题示例1. 语言智力测试题（1）下列哪个字与“花”字最接近？（）A. 杏B. 瓜C. 桃D. 梅（2）下列哪个词语与“平安”意思相反？（）A. 稳定B. 安宁C. 危险D. 和平2. 数理逻辑测试题（1）在下面的算式中，填入适当的数字，使等式成立：（）×3+2=17A. 4B. 5C. 6D. 7（2）小明有5个苹果，小红有3个苹果，他们一共有多少个苹果？（）A. 8B. 9C. 10D. 113. 观察能力测试题（1）下列哪个图形与其他三个图形不同？（）A. 圆形B. 正方形C. 三角形D. 长方形（2）下列哪个词语与其他三个词语不同？（）A. 鸟儿B. 鱼儿C. 蜜蜂D. 汽车4. 想象力与创造力测试题（1）请发挥想象力，描述一下一个“会飞的汽车”的特点。
皮亚杰关于认知发展的游戏理论
皮亚杰关于认知发展的游戏理论一、前言游戏论是一种广泛存在的社会现象，儿童是游戏的主题，同时，游戏是儿童的需要，游戏是儿童的工作，游戏是儿童的权利。
游戏能够促进儿童的身心、认知、情绪情感和社会性等的发展，有利于儿童健康快乐的成长。
二、主题。
皮亚杰关于认知发展学派的游戏理论对于幼儿教育的影响。
三、内容皮亚杰的认知发展理论摆脱了遗传和环境的争论和纠葛，旗帜鲜明地提出内因和外因相互作用的发展观，即心理发展是主体与客体相互作用的结果。
主客体相互作用主要表现如下：第一，在心理发展中，主体和客体之间是相互联系、相互制约的关系，即两者相互依存，缺一不可。
第二，主体和客体相互转化的互动关系。
先天遗传因素具有可控性和可变性，在环境的作用下，可以改变遗传特性。
第三，主体和客体的相互作用受个体主观能动性的调节。
心理发展过程是主体自我选择、自我调节的主动建构过程。
认知发展本质的适应理论和主动建构学说皮亚杰认为智力的本质是适应，“智慧就是适应”，“是一种最高级形式的适应”。
他用四个基本概念阐述他的适应理论和建构学说，即图式、同化、顺应和平衡。
1．图式图式即认知结构。
“结构”不是指物质结构，是指心理组织，是动态的机能组织。
图式具有对客体信息进行整理、归类、改造和创造的功能，以使主体有效地适应环境。
认知结构的建构是通过同化和顺应两种方式进行的。
2．同化是主体将环境中的信息纳入并整合到已有的认知结构的过程。
同化过程是主体过滤、改造外界刺激的过程，通过同化，加强并丰富原有的认知结构。
同化使图式得到量的变化。
3．顺应是当主体的图式不能适应客体的要求时，就要改变原有图式，或创造新的图式，以适应环境需要的过程。
顺应使图式得到质的改变。
同化表明主体改造客体的过程，顺应表明主体得到改造的过程。
通过同化和顺应建构新知识，不断形成和发展新的认知结构。
皮亚杰强调主体在认知发展建构过程中的主动性，即认知发展过程是主体自我选择、自我调节的主动建构过程，而平衡是主动建构的动力。
数理逻辑 第二章 算法、整数和矩阵 整数和除法
三、素数
如果整数不能被小于或等于其平方根的 素数整除，它就是素数。
例5：证明101是素数。
解：不超过101的平方根的素数有2，3，5， 7。因为101不能被这些数整除，所以101是 素数。
三、素数
由于每个整数都有素因子分解，如何求 解整数n的素因子分解？
从最小的素数2开始，从小到大用一个个素 数去除n；
最常用的产生伪随机数的过程称为线性同 余法
xn+1=(axn+c) mod m P120
九、密码学
最重要的同余应用之一涉及研究信息保 密的密码学
解为 a p1a1 p2a2 pnan
b p1b1 p2b2 pnbn
每个指数都是非负整数，出现在a和b分解中的所有素数都包 含在两个分解之中，必要时以0为指数出现
gcd(a,b)
p p min(a1,b1) min(a2,b2)
1
2
p min( an ,bn ) n
五、最大公约数
证明：P116 例14：已知120和500的素因子分解分别
定理7：令m为正整数，若a≡b(mod m)， c≡d(mod m)，那么a+c≡b+d(mod m)以及 ac≡bd(mod m)。
证明：P118
例18：由于7≡2(mod 5)和11≡1(mod 5)， 从定理7知： 18≡3(mod 5) 77≡2(mod 5)
八、同余应用
可以用同余为计算机分配内存地址 例19：散列（哈希）函数 散列就是无需查找，直接用元素的查找
数理逻辑
Mathematical Logic
第二章 算法、整数和矩阵
Chapter 2 Algorithm、Integer and Matrix
初一数学必背知识点
初一数学必背知识点1、几何：（1）图形的基本类型。
包括点、线段、矩形、正方形、三角形、圆形、椭圆及其细分。
（2）形状的特征。
包括形态、体积、边长、角度、相交、平行、对称等。
（3）图形的构造。
包括平移、旋转、缩放及其原理。
2、数理逻辑：（1）符号逻辑。
包括判断式、析出式和表达式。
（2）蕴含关系。
包括等价、蕴含、非蕴含及其特征和联系。
（3）分析与推理。
包括逻辑推理、方程求解等技能的应用。
3、代数：（1）数的概念以及运算：整数、分数、小数、百分数及其运算。
（2）变量及其性质：变量、常数、系数、项的构成及其特征。
（3）方程的特殊形式及其解法：一元二次方程、平方差公式法、二次差公式法、变量代换法等。
（4）函数：一元函数、双调函数、正比函数、对数函数及其特征概念。
4、排列组合：（1）组合数学。
排列、组合、部分组合、比例组合的概念及其应用。
（2）概率论。
不同概率的概念、独立事件、同构事件、相互独立事件、期望及其应用。
（3）统计学。
比率、差率、积率、比值、百分比，均数及其用法。
5、几何分析：（1）点、直线、圆和线段。
它们的性质、相交、平行、相等等概念。
（2）平面图形。
矩形、正方形、三角形、多边形和等腰三角形的性质。
（3）圆锥、圆台及其应用。
球、圆柱体的体积及其计算方法。
（4）立体图形的概念。
正四、正八面体的性质和计算方法。
（5）空间几何图形的构成。
棱柱、棱台、棱锥及其计算方法。
以上就是初一数学必背知识点的梗概，学会这些知识点是学好数学的基础，考生们要用心研究理解，并归纳背诵，总结过程把握规律，能够更好地掌握数学知识点。
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练习1：判断推理是否正确
1. 判断下面推理是否正确: (1) 前提：pq, q 结论：p
解 推理的形式结构: (pq)qp 方法一：等值演算法
(pq)qp ((pq)q)p (pq)qp ((pq)(qq))p pq
A1A2…AkB (A1A2…Ak)B (A1A2…AkB) (A1A2…AkB)0 A1A2…AkB0
27
归谬法实例
例7 前提：(pq)r, rs, s, p
结论：q
证明 用归缪法
①q
结论否定引入
② rs
前提引入
第三章 命题逻辑的推理理论
主要内容: 推理的形式结构 推理的正确与错误 判断推理正确的方法 推理定律 自然推理系统P 形式系统的定义与分类 自然推理系统P 在P中构造证明:直接证明法、附加前提证明法、归谬法
1
推理理论 数理逻辑的主要任务是借助于数学的 方法来研究推理的逻辑。
推理是从前题推出结论的思维过程， 前提是已知的命题公式，结论是从前题出 发应用推理规则推出的命题公式。
用等值演算法 (pq)pq
((pq)p)q pqq 1 由定理3.1可知推理正确
5
推理实例
(2) 推理的形式结构: (pq)qp 用主析取范式法 (pq)qp (pq)qp ((pq)q)p qp (pq)(pq) (pq)(pq) m0m2m3 结果不含m1, 故01是成假赋值，所以推理不正确
附加前提引入 前提引入 前提引入 ②③假言三段论 ①④拒取式 前提引入 ⑤⑥析取三段论
24
例6 如果小张去看电影，则当小王去看电影时，小 李也去。小赵不去看电影或小张去看电影。小王 去看电影。所以当小赵去看电影时，小李也去。
解：将简单命题符号化：
p：小张去看电影； q：小王去看电影； r：小李去看电影； s：小赵去看电影。 前提：p→(q→r), ﹁s∨p, q 。 结论：s→r。
结论：pq
(3) 证明
① rs
前提引入
② s
前提引入
③ r
①②拒取式
④ (pq)r 前提引入
⑤ (pq)
③④拒取式
⑥ pq
⑤置换
18
推理理论
例4
写出对应下面推理的证明：
若数a是实数，则它不是有理数就是无理数。 若a不能表示成分数，则它不是有理数。a是实 数且它不能表示成分数。所以a是无理数。
注意: 推理正确不能保证结论一定正确
3
推理的形式结构
推理的形式结构 1. {A1, A2, …, Ak} B
若推理正确, 记为{A1,A2,,An} B 2. A1A2…AkB
若推理正确, 记为A1 A2 … Ak B 3. 前提： A1, A2, … , Ak
结论： B
重要的9条推理定律：附加、化简、假言推理、 拒取式、析取三段论、假言三段论、等价三段论、 构造性二难、 破坏性二难。
除此之外，每个等值式均产生两条推理定律。 11
推理定律——重言蕴涵式
1. A (AB)
附加律
2. (AB) A
化简律
3. (AB)A B
假言推理
4. (AB)B A
解 用附加前提证明法构造证明 (1) 设 p：2是素数，q：2是合数， r： 是无理数，s：4是素数 (2) 推理的形式结构 前提：pq, pr, rs 结论：sq
23
附加前提证明法实例
前提：pq, pr, rs 结论：sq
(3) 证明 ①s ② pr ③ rs ④ ps ⑤ p ⑥ pq ⑦q
∨(﹁q∧﹁p) (p∧q)∨(﹁p∧q)∨(﹁p∧﹁q))∨(p∧﹁q) m3∨m1∨m0∨m2
该蕴含式的主析取范式中含有4个极小项，因而是重言式。10
为了更好地判断推理的正确性，引入构造证明 的方法。
在数理逻辑中，证明是一个描述推理过程的命 题公式序列，其中的每个命题公式或者是已知的 前提，或者是由某些前提应用推理规则得到的结 论。其中有些规则建立在推理定律（重言蕴涵式） 的基础之上。
易知10是成假赋值，不是重言式，所以推理不正确.
33
练习1解答
方法二：主析取范式法， (pq)qp
自然推理系统: 无公理, 即AX(I)= 公理推理系统 推出的结论是系统中的重言式, 称作定理
13
自然推理系统P
定义3.3 自然推理系统 P 定义如下: 1. 字母表 (1) 命题变项符号：p, q, r, …, pi, qi, ri, … (2) 联结词符号：, , , , (3) 括号与逗号：(, ), ， 2. 合式公式（同前） 3. 推理规则 (1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则
判断推理是否正确的方法: 真值表法 等值演算法 主析取范式法
4
推理实例
例1 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是1号，则明天是5号. 今天是1号. 所以, 明天是5号. (2) 若今天是1号，则明天是5号. 明天是5号. 所以, 今天是1号.
解 设 p：今天是1号，q：明天是5号. (1) 推理的形式结构: (pq)pq
拒取式
5. (AB)B A
析取三段论
6. (AB)(BC) (AC)
假言三段论
7. (AB)(BC) (AC)
等价三段论
8. (AB)(CD)(AC) (BD)
构造性二难
(AB)(AB) B
构造性二难(特殊形式)
9. (AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
解：将简单命题符号化：
p：a是实数； q：a是有理数；
r：a是无理数； s：a能表示成分数。
前提：p→(q∨r), ﹁s→﹁q, p∧﹁s 。
结论：r。
19
前提：p→(q∨r), ﹁s→﹁q, p∧﹁s 。 结论：r。
证明：① p∧﹁s
前提引入
②p
①化简
③﹁s
①化简
④p→(q∨r)
前提引入
⑤ q∨r
31
基本要求
理解并记住推理形式结构的两种形式： 1. (A1A2…Ak)B 2. 前提：A1, A2, … , Ak 结论：B
熟练掌握判断推理是否正确的不同方法（如真值表法、等值 演算法、主析取范式法等）
牢记 P 系统中各条推理规则 熟练掌握构造证明的直接证明法、附加前提证明法和归谬
法 会解决实际中的简单推理问题
理由：
(A1A2…Ak)(CB)
( A1A2…Ak)(CB)
( A1A2…AkC)B
(A1A2…AkC)B
22
附加前提证明法实例
例5 构造下面推理的证明 2是素数或合数. 若2是素数，则 是无理数. 若 是无理 数，则4不是素数. 所以，如果4是素数，则2是合数.
7
（1）真值表法
((p→﹁q)∧p)→﹁q (*)的真值表
p q ﹁q p→﹁q
(p→﹁q)∧p (*)
00 1
1
0
1
01 0
1
0
1
10 1
1
1
1
11 0
0
0
1
真值表的最后一列全为1，因而（*）是重言式，
所以推理正确。
8Байду номын сангаас
（2）等值演算法
((p→﹁q)∧p)→﹁q ((﹁p∨﹁q)∧p)→﹁q ﹁((﹁p ∨﹁q)∧p)∨﹁q ﹁(﹁p ∨﹁q)∨﹁p∨﹁q ﹁(﹁p∨﹁q)∨(﹁p∨﹁q) 1
②④假言推理
⑥﹁s→﹁q
前提引入
⑦﹁q
③⑥假言推理
⑧r
⑤⑦析取三段论
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在使用构造证明法来进行推理时， 常常采用一些技巧，下面介绍两种：
1、附加前提证明法 2、归谬法
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附加前提证明法
附加前提证明法 适用于结论为蕴涵式
欲证
前提：A1, A2, …, Ak 结论：CB
等价地证明
前提：A1, A2, …, Ak, C 结论：B
证明：① p→(﹁(r∧s)→﹁q) 前提引入
②p
前提引入
③ ﹁(r∧s)→﹁q
①②假言推理
④ ﹁(﹁q)
否定结论引入
⑤q
④置换
⑥ r∧s
③⑤拒取式
⑦s
⑥化简
⑧ ﹁s
前提引入
⑨ s∧﹁s
⑦⑧合取
⑨为矛盾式，根据归谬法说明推理正确。
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第三章 习题课
主要内容 推理的形式结构 判断推理是否正确的方法
真值表法 等值演算法 主析取范式法 推理定律 自然推理系统P 构造推理证明的方法 直接证明法 附加前提证明法 归谬法(反证法)
6
例2
判断下列推理是否正确：如果天气凉快，小王
就不去游泳，天气凉快，所以小王没去游泳。
解这类推理问题，应先将命题符号化，然后写出 前提、结论和推理的形式结构，最后进行判断。
设p：天气凉快；q：小王去游泳。 前提：p→﹁q, p。结论：﹁q。 推理的形式结构： ((p→﹁q )∧p)→﹁q 。 下面分别用三种方法来判断该蕴含式是否为重言式。
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3.1 推理的形式结构
定义3.1 设A1, A2, …, Ak, B为命题公式. 若对于每组赋值， A1A2… Ak 为假，或当A1A2…Ak为真时，B也为真， 则称由前提A1, A2, …, Ak推出结论B的推理是有效的或正确 的, 并称B是有效结论. 定理3.1 由命题公式A1, A2, …, Ak 推B的推理正确当且仅当 A1A2…AkB为重言式
③ s
前提引入
④ r
②③拒取式
⑤ (pq)r
前提引入
⑥ (pq)
④⑤析取三段论
⑦ pq
⑥置换
⑧ p