2018版高中数学第四章函数应用2实际问题的函数建模课件北师大版必修1
高中数学第四章函数应用4.2实际问题的函数建模课时作业3北师大版必修1(2021年整理)
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4.2实际问题的函数建模（建议用时：45分钟）［学业达标]一、选择题1。
甲乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图4。
2.6所示，则下列说法正确的是（)图4。
2。
6A．甲比乙先出发B．乙比甲跑得路程更多C．甲、乙两人的速度相同D．甲先到达终点【解析】由图可知,甲比乙跑的要快，比乙先到达终点，两人跑的路程相同，故选D。
【答案】D2。
某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图像如图4 2.7所示，由图中给出的信息可知,营销人员没有销售量时的收入是( ）图4。
2.7A．310元B．300元C．290元D．280元【解析】令y＝ x＋b，则错误!解得错误!所以y＝500x＋300,令x＝0，y＝300.故营销人员没有销售量时的收入是300元．【答案】B3。
某机器总成本y(万元）与产量x(台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为（ )A ．30B ．40C ．50D ．60【解析】 设安排生产x 台，则获得利润f (x ）＝25x －y ＝－x 2＋100x＝－（x －50）2＋2 500.故当x ＝50台时，获利润最大．故选C. 【答案】 C4. 如图42。
高中数学 第四章 函数应用 2 实际问题的函数建模学案 北师大版必修1
§2 实际问题的函数建模学习目标 1.会利用已知函数模型解决实际问题(重点)；2.能建立函数模型解决实际问题(重、难点)．预习教材P120－129完成下列问题： 知识点一 常见函数模型y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋bx <m ，cx ＋d x ≥m1．(1)斜率k 的取值是如何影响一次函数的图像和性质的？ (2)在幂函数模型的解析式中，α的正负如何影响函数的单调性？提示 (1)k >0时直线必经过一、三象限，y 随x 的增大而增大；k <0时直线必经过二、四象限，y 随x 的增大而减小．(2)当x >0，α>0时，函数的图像在第一象限内是上升的，在(0，＋∞)上为增函数；当x >0，α<0时，函数的图像在第一象限内是下降的，在(0，＋∞)上为减函数．2．(1)依据散点图选择函数模型时主要依据函数的什么性质？ (2)数据拟合时，得到的函数为什么需要检验？提示 (1)主要依据函数的单调性及函数值增长速度的快慢．(2)因为根据已给的数据，作出散点图，根据散点图选择我们比较熟悉的、最简单的函数进行拟合，但用得到的函数进行估计时，可能误差较大或不切合客观实际，此时就要再改选其他函数模型．知识点二 解决函数应用问题的基本步骤利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行： (一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原． 这些步骤用框图表示如图：【预习评价】1．某种放射性元素的原子数y 随时间x 的变化规律是y ＝1 024e －5x，则( )A ．该函数是增函数B ．该函数是减函数C ．x ＝－15lg y1 024D ．当x ＝0时，y ＝1解析 显然该函数是减函数，B 正确，C ，D 变形或求值错误． 答案 B2．某物体一天内的温度T 是时间t 的函数T (t )＝t 3－3t ＋60，时间单位是h ，温度单位为℃，t ＝0时表示中午12：00，则上午8：00时的温度为________℃．解析 由于t ＝0时表示中午12：00，则上午8：00时t ＝－4，代入函数T (t )＝t 3－3t ＋60中，可得T (－4)＝8．答案 8题型一 一次函数、二次函数模型【例1】 某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m (件)与售价x (元)满足一次函数：m ＝162－3x ，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为( )A ．30元B ．42元C ．54元D ．越高越好解析 设每天获得的利润为y 元，则y ＝(x －30)(162－3x )＝－3(x －42)2＋432，∴当x ＝42时，获得利润最大，应定价为42元． 答案 B规律方法 一次函数、二次函数均是重要的函数模型，特别是二次函数模型在函数建模中占有重要的地位．利用二次函数求最值时要注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符．【训练1】 某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )A ．310元B ．300元C ．290元D ．280元解析 由题意可知，收入y 是销售量x 的一次函数，设y ＝ax ＋b (a ≠0)，将(1,800)，(2,1 300)代入，得a ＝500，b ＝300.当销售量为x ＝0时，y ＝300．答案 B题型二 指数型函数、对数型函数模型【例2】 燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？解 (1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入题目所给公式可得0＝5log 2Q10．解得Q ＝10，即燕子静止时的耗氧量为10个单位． (2)将耗氧量Q ＝80代入公式得：v ＝5log 28010＝5log 28＝15(m/s)，即当一只燕子的耗氧量为80个单位时，飞行速度为15 m/s ．规律方法 指数型函数模型：y ＝ma x＋b (a >0且a ≠1，m ≠0)，在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示．对数型函数模型：y ＝m log a x ＋c (m ≠0，a >0且a ≠1)，对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解．【训练2】 某城市2009年底人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出经过x 年后，该城市人口总数y (万人)与x (年)的函数关系； (2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算经过多少年以后，该城市人口将达到120万人(精确到1年)．(参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg 1.2≈0.079，lg 2≈0.301 0，lg 1.012≈0.005)．解 (1)2009年底人口总数为100万人，经过1年，2010年底人口总数为100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)，经过2年，2011年底人口总数为100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2，经过3年，2012年底人口总数为100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3，……所以经过x 年后，该城市人口总数为100×(1＋1.2%)x， 所以y ＝100×(1＋1.2%)x． (2)10年后该城市人口总数为 100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人)． (3)由题意得100×(1＋1.2%)x>120，两边取常用对数得lg[100×(1＋1.2%)x]>lg 120， 整理得2＋x lg 1.012>2＋lg 1.2，得x ≥16， 所以大约16年以后，该城市人口将达到120万人． 题型三 分段函数模型【例3】 如图所示，等腰梯形ABCD 的两底分别为AD ＝2，BC ＝1，∠BAD ＝45°，直线MN ⊥AD 交AD 于M ，交折线ABCD 于N ，记AM ＝x ，试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y表示为x 的函数，并写出函数的定义域和值域．解 如图，过B ，C 分别作AD 的垂线，垂足分别为H 和G ，则AH ＝12，AG ＝32，当M 位于H 左侧时，AM ＝x ，MN ＝x ， ∴y ＝S △AMN ＝12x 2,0≤x <12．当M 位于H ，G 之间时，y ＝12AH ·HB ＋HM ·MN ＝12×12×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12×12＝12x －18，12≤x <32．当M 位于G ，D 之间时，y ＝S 梯形ABCD －S △MDN ＝12×12×(2＋1)－12(2－x )(2－x )＝－12x 2＋2x－54，32≤x ≤2． ∴所求函数的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2，0≤x <12，12x －18，12≤x <32，－12x 2＋2x －54，32≤x ≤2.∴函数的定义域为[0,2]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34．规律方法 1.分段函数模型是日常生活中常见的函数模型．对于分段函数，一要注意规范书写格式；二要注意各段的定义域的表示方法，对于中间的各个分点，一般是“一边闭，一边开”，以保证在各分点的“不重不漏”．2．解决分段函数问题需注意几个问题：(1)所有分段的区间的并集就是分段函数的定义域．(2)求分段函数的函数值时，先要弄清自变量在哪个区间内取值，然后再用该区间上的解析式来计算函数值．(3)一般地，分段函数由几段组成，必须注意考虑各段的自变量的取值范围．【训练3】 通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f (x )表示学生掌握和接受概念的能力(f (x )值越大，表示接受的能力越强)，x 表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下的公式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.1x 2＋2.6x ＋43，0<x ≤10，59，10<x ≤16，－3x ＋107，16<x ≤30.(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？ (2)开讲后5 min 与开讲后20 min 比较，学生的接受能力何时强一些？(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13 min 时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？解 (1)当0<x ≤10时，f (x )＝－0.1x 2＋2.6x ＋43＝－0.1(x －13)2＋59.9．故f (x )在(0,10]上单调递增，最大值为f (10)＝－0.1×(－3)2＋59.9＝59；当16<x ≤30时，f (x )单调递减，f (x )<－3×16＋107＝59．因此，开讲后10 min ，学生达到最强的接受能力(值为59)，并维持6 min ． (2)f (5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝59.9－6.4＝53.5，f (20)＝－3×20＋107＝47<53.5＝f (5)．因此，开讲后5 min 学生的接受能力比开讲后20 min 强一些． (3)当0<x ≤10时，令f (x )＝55，则－0.1×(x －13)2＝－4.9，(x －13)2＝49． 所以x ＝20或x ＝6.但0<x ≤10， 故x ＝6．当16<x ≤30时，令f (x )＝55，则－3x ＋107＝55． 所以x ＝1713．因此，学生达到(或超过)55的接受能力的时间为1713－6＝1113<13(min)，所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题.【探究1】 图中一组函数图像，它们分别与其后所列的一个现实情境相匹配：情境A ：一份30分钟前从冰箱里取出来，然后被放到微波炉里加热，最后放到餐桌上的食物的温度(将0时刻确定为食物从冰箱里被取出来的那一刻)；情境B ：一个1970年生产的留声机从它刚开始的售价到现在的价值(它被一个爱好者收藏，并且被保存得很好)；情境C ：从你刚开始放水洗澡，到你洗完后把水排掉这段时间浴缸里水的高度； 情境D ：根据乘客人数，每辆公交车一趟营运的利润． 其中情境A ，B ，C ，D 分别对应的图像是________．解析 对于A ，加热时升温快，然后再变凉，易知为①；对于B ，这时的物品价值先下降，直到收藏后价值才会升值，因此显然为③；对于C ，由于洗澡一般是间歇性用水，所以易知水高度函数图像有多重折线，因此显然为④；对于D ，乘客人数越多，利润越大，显然是②．答案 ①③④②【探究2】 环境污染已经严重危害人们的健康，某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为60，整治后前四个月的污染度下表：污染度为0后，后第一个月开始工厂的污染模式：f (x )＝20|x －4|(x ≥1)，g (x )＝203(x －4)2(x ≥1)，h (x )＝30|log 2x －2|(x ≥1)，其中x表示月数，f (x )，g (x )，h (x )分别表示污染度．问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由．解 用h (x )模拟比较．理由：因为f (2)＝40，g (2)≈26.7，h (2)＝30，f (3)＝20，g (3)≈6.7，h (3)≈12.5．由此可得h (x )更接近实际值，所以用h (x )模拟比较合理．【探究3】 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x cm 与当年灌溉面积y hm 2.现有连续10年的实测资料，如下表所示.(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y ＝f (x )，并画出图像； (3)根据所建立的函数模型，求最大积雪深度为25 cm 时，可以灌溉的土地数量． 解 (1)描点作图如图甲．(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y 和最大积雪深度x 满足线性函数模型y ＝ax ＋b (a ≠0)．取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24,0,45.8)，代入y ＝ax ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧21.1＝10.4a ＋b ，45.8＝24.0a ＋b ，用计算器可算得a ≈1.8，b ≈2.4．这样，我们得到一个函数模型y ＝1.8x ＋2.4．作出函数图像如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．(3)由y ＝1.8×25＋2.4，求得y ＝47.4，即当最大积雪深度为25 cm 时，可以灌溉土地47.4 hm 2．规律方法 对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题．函数拟合与预测的一般步骤：(1)根据原始数据，绘出散点图；(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线； (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测，为决策和管理提供依据．课堂达标1．某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.A ．y ＝log 2xB ．y ＝2xC ．y ＝x 2D ．y ＝2x解析 逐个检验可得答案为B ． 答案 B2．一辆匀速行驶的汽车90 min 行驶的路为180 km ，则这辆汽车行驶的路程y (km)与时间t (h)之间的函数关系式是( )A ．y ＝2tB ．y ＝120tC ．y ＝2t (t ≥0)D ．y ＝120t (t ≥0)答案 D3．里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中．测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．解析 由M ＝lg A －lg A 0知，M ＝lg 1 000－lg 0.001＝6，所以此次地震的级数为6级．设9级地震的最大振幅为A 1,5级地震的最大振幅为A 2，则lg A 1A 2＝lg A 1－lg A 2＝(lg A 1－lg A 0)－(lg A 2－lg A 0)＝9－5＝4.所以A 1A 2＝104＝10 000.所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍．答案 6 10 0004．用一根长为12 m 的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是________m 2．解析 设矩形的一边长为x m ， 则与这条边垂直的边长为12－2x 2m ，所以矩形面积S ＝x ·12－2x 2＝－x 2＋6x (0<x ≤6)，当x ＝3 m 时，S 最大＝9 m 2． 答案 95．我国1999年至2002年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：(1) (2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较．解 (1)画出函数图形，如图．从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上．设所求的函数为y＝kx＋b(k≠0)，把直线通过的两点(0,8.206 7)和(3,10.239 8)代入上式，解方程组，可得k＝0.677 7，b＝8.206 7．因此，所求的函数关系式为y＝f(x)＝0.677 7x＋8.206 7．(2)由得到的关系式计算出2000年和2001年的国内生产总值分别为f(1)＝0.677 7×1＋8.206 7＝8.884 4，f(2)＝0.677 7×2＋8.206 7＝9.562 1．与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．课堂小结1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题．2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化．4．根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如下图所示．。
高中数学第四章函数应用2实际问题的函数建模学案北师大必修1
2 实际问题的函数建模学习目标 1.了解什么是函数模型，知道函数的一些基本模型.2.学会对收集到的相关数据进行拟合，并建立适当的数学模型.3.学会运用常见的函数模型来解一些简单的实际问题．知识点一实际问题的函数刻画思考世界上很多事物间的联系可以用函数刻画，在试图用函数刻画两个变量的联系时，需要关注哪些要点？梳理设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．知识点二用函数模型解决实际问题思考函数模型是应用最广泛的数学模型之一，一旦确定是函数模型，怎样研究它？梳理用函数模型解决实际问题的步骤：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型．(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得到数学结论．(4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．可将这些步骤用框图表示如下：知识点三数据拟合思考自由落体速度公式v＝gt是一种函数模型．类比这个公式的发现过程，简述什么是数据拟合？梳理数据拟合(1)定义：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律．这种方法称为数据拟合．(2)数据拟合的步骤：①以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点；②依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数形式，设其一般形式；③取特殊数据代入，求出函数的具体解析式；④做必要的检验．例1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km后，以120 km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2 h内行驶的路程．反思与感悟在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是已知函数模型，如一次、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数，这时可借助待定系数法求出函数解析式，再根据解题需要研究函数性质．跟踪训练1 如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米后，水面宽________米．命题角度1 非分段函数模型例2 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？反思与感悟 自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”． 求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务．设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量． 列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等． 限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．跟踪训练2 有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次为Q 1万元和Q 2万元，它们与投入的资金x 万元的关系是Q 1＝15x ，Q 2＝35x .现有3万元资金投入使用，则对甲、乙两种商品如何投资才能获得最大利润？命题角度2 分段函数模型例3 某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．旅游点规定：每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，用y表示出租所有自行车的日净收入．(日净收入即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费用后的所得)(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？反思与感悟自变量x按取值不同，依不同的对应关系对应因变量y是分段函数的典例特征，建立分段函数模型应注意：(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．跟踪训练3 学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40 min的一节课中，注意力指数y与听课时间x(单位：min)之间的关系满足如图的图像．当x∈(0,12]时，图像是二次函数图像的一部分，其中顶点A(10,80)，过点B(12,78)；当x∈[12,40]时，图像是线段BC，其中C(40,50)．根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．(1)试求y＝f(x)的函数关系式；(2)教师在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由．1．从2013年起，在20年内某海滨城市力争使全市工农业生产总产值翻两番，如果每年的增长率是8%，则达到翻两番目标的最少年数为( ) A ．17 B ．18 C ．19 D ．202．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s 关于时间t 变化的图像如图所示，那么图像所对应的函数模型是( )A ．分段函数B ．二次函数C ．指数函数D ．对数函数3．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y ，则x ，y 的函数关系是( )A ．y ＝0.957 6x100B ．y ＝(0.957 6)100xC ．y ＝(0.957 6100)xD ．y ＝1－0.042 4x1004．某种植物生长发育的数量y 与时间x 的关系如下表：x 1 2 3 … y138…A ．y ＝2x －1B ．y ＝x 2－1C ．y ＝2x－1D ．y ＝1.5x 2－2.5x ＋25．某同学最近5年内的学习费用y (千元)与时间x (年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是( )A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋cC．y＝a e x＋b D．y＝a ln x＋b解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．答案精析问题导学 知识点一思考 先确定两个变量是谁；再看两个变量之间的对应关系是否满足函数定义；如果满足，就要考虑建立函数关系式． 知识点二思考 先确定函数关系式，再根据解决实际问题的需要针对性研究函数性质，如定义域、最值、单调性等，使实际问题得到解决． 知识点三思考 函数模型来源于现实(伽利略斜塔抛球)，通过收集数据(打点计时器测量)，画散点图分析数据(增长速度、单位时间内的增长量等)，寻找或选择函数(假说)来作为函数模型，再检验这个函数模型是否符合实际，这就是数据拟合． 题型探究例1 解 因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷120 ＝115 (h)，所以0≤t ≤115.因为火车匀速行驶t h 所行驶的路程为120t ，所以，火车运行总路程S 与匀速行驶时间t 之间的关系是S ＝13＋120t (0≤t ≤115).2 h 内火车行驶的路程S ＝13＋120×(2－1060)＝233(km)． 跟踪训练1 2 6解析 以拱顶为原点，过原点与水面平行的直线为x 轴，建立平面直角坐标系(如图)，则水面和拱桥交点A (2，－2)，设抛物线所对应的函数关系式为y ＝ax 2(a ≠0)，则－2＝a ·22，∴a ＝－12，∴y ＝－12x 2.当水面下降1米时，水面和拱桥的交点记作B (b ，－3)，将B 点的坐标代入y ＝－12x 2，得b ＝±6，因此水面宽26米．例2 解 设可获得总利润为R (x )万元， 则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8 000＝－x 25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680 (0≤x ≤210)．∵R (x )在[0,210]上是增函数， ∴x ＝210时，R (x )max ＝－15(210－220)2＋1 680＝1 660(万元)．∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．跟踪训练2 解 设对甲种商品投资x 万元，则对乙种商品投资(3－x )万元，总利润为y 万元．所以Q 1＝15x ，Q 2＝353－x .所以y ＝15x ＋353－x (0≤x ≤3)，令t ＝3－x (0≤t ≤3)，则x ＝3－t 2. 所以y ＝15(3－t 2)＋35t＝－15(t －32)2＋2120.当t ＝32时，y max ＝2120＝1.05(万元)，即x ＝34＝0.75(万元)，所以3－x ＝2.25(万元)．由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元，共获得利润1.05万元．例3 解 (1)当x ≤6时，y ＝50x －115， 令50x －115＞0，解得x ＞2.3. 又因为x ∈N ，所以3≤x ≤6，且x ∈N . 当6＜x ≤20，且x ∈N 时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115，综上可知y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 50x －115，3≤x ≤6，x ∈N ，－3x 2＋68x －115，6＜x ≤20，x ∈N .(2)当3≤x ≤6，且x ∈N 时，因为y ＝50x －115是增函数，所以当x ＝6时，y max ＝185元．当6＜x ≤20，且x ∈N 时，y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113， 所以当x ＝11时，y max ＝270元．综上所述，当每辆自行车日租金定为11元时才能使日净收入最多，为270元．跟踪训练3 解 (1)当x ∈(0,12]时，设f (x )＝a (x －10)2＋80(a ≠0)．因为该部分图像过点B (12,78)，将B 点的坐标代入上式，得a ＝－12， 所以f (x )＝－12(x －10)2＋80. 当x ∈[12,40]时，设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)．因为线段BC 过点B (12,78)，C (40,50)，将它们的坐标分别代入上式，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 12k ＋b ＝78，40k ＋b ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－1，b ＝90，所以f (x )＝－x ＋90.故所求函数的关系式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －12x －102＋80，x ∈0，12]，－x ＋90，x ∈12，40].(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ≤12，－12x －102＋80＞62 或⎩⎪⎨⎪⎧ 12＜x ≤40，－x ＋90＞62，解得4＜x ≤12或12＜x ＜28，即4＜x ＜28.故老师应在x ∈(4,28)时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳．当堂训练1．C 2.A 3.A 4.D 5.B。
2017_2018版高中数学第四章函数应用2实际问题的函数建模学案北师大版必修1
故所求函数的关系式为
f(x)＝
(2)由题意，得
或
解得4＜x≤12或12＜x＜28，
即4＜x＜28.
故教师应在x∈(4,28)时段内安排核心内容，能使得学生学习成效最正确．
当堂训练
1．C 2.A 3.A 4.D 5.B
(2)数据拟合的步骤：
①以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点；
②依据点的整体特点，猜想这些点所知足的函数形式，设其一样形式；
③取特殊数据代入，求出函数的具体解析式；
④做必要的查验．
类型一 利用已知函数模型求解实际问题
例1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车动身10 min开出13 km后，以120 km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时刻t之间的关系，并求火车离开北京2 h内行驶的路程．
反思与感悟 自变量x按取值不同，依不同的对应关系对应因变量y是分段函数的典例特点，成立分段函数模型应注意：
(1)分段函数的“段”必然要分得合理，不重不漏．
(2)分段函数的概念域为对应每一段自变量取值范围的并集．
(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．
跟踪训练3 学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情形的调查研究中，发觉其在40 min的一节课中，注意力指数y与听课时刻x(单位：min)之间的关系知足如图的图像．当x∈(0,12]时，图像是二次函数图像的一部份，其中极点A(10,80)，过点B(12,78)；当x∈[12,40]时，图像是线段BC，其中C(40,50)．依照专家研究，当注意力指数大于62时，学习成效最正确．
2 实际问题的函数建模
学习目标 1.了解什么是函数模型，明白函数的一些大体模型.2.学会对搜集到的相关数据进行拟合，并成立适当的数学模型.3.学会运用常见的函数模型来解一些简单的实际问题．
高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.5.3 函数模型的应用课件 a高一第一册数学课件
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解:(1)根据题表中提供的数据,知描述该农产品种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系的函数不可能是常数函数,
因此用函数 Q=at+b,Q=abt,Q=alogbt 中的任何一个进行描 述时都应有 a≠0,
而此时上述三个函数均为单调函数,这与表格中所提供 的数据不符,
函数模型的优劣,一般可用其他数据进行验证,若差 距较小,则说明选择正确,主要考查数学抽象、数学建模 的核心素养.
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【跟踪训练】
4.某农产品从 5 月 1 日起开始上市,通过市场调查,得
到该农产品种植成本 Q(单位:元/百千克)与上市时间 t(单
位:天)的数据如下表:
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解:(1)当 x=1 时,y=100+100×1.2%=100(1+1.2%); 当 x=2 时, y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)×1.2%=100(1+1.2%)2; 当 x=3 时, y=100(1+1.2%)2+100(1+2%)2×1.2%=100(1+1.2%)3;… 故 y 关于 x 的函数解析式为 y=100(1+1.2%)x(x∈N*). (2)当 x=10 时,y=100×(1+1.2%)10=100×1.01210≈112.7. 故 10 年后该县约有 112.7 万人. (3)设 x 年后该县的人口总数为 120 万, 即 100×(1+1.2%)x=120,
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(3)根据收集到的数据作出散点图,结合已知的函数 选择适当的函数模型,这样得到的函数模型的模拟效果 较好.( )
高中数学第四章函数应用4.2实际问题的函数建模教案1北
2
答：复利函数式为 y a(1 r ) x ，5 期后的本利和为 1117.68 元． 点评：此题解答的过程体现了解题的思路，再现了探究问题的过程，容易被学生接受．创建 的函数模型是指数函数型．
例 5.某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某种产品的数量分别是 1 万件、1 .2 万件，为 了估测以后每个月的产量， 以这三个月的产品数量为依据， 用一个函数模拟该产品的月产量
y2 g ( x) abx c ，
p q r 1, ab c 1, 2 根据已知，得 4 p 2q r 1.2, 及 ab c 1.2, 9 p 3q r 1.3, ab3 c 1.3,
【配套K12】2018北师大版高中数学必修一学案：第四章 2 实际问题的函数建模
学习目标 1.了解什么是函数模型，知道函数的一些基本模型.2.学会对收集到的相关数据进行拟合，并建立适当的数学模型.3.学会运用常见的函数模型来解一些简单的实际问题．知识点一实际问题的函数刻画思考世界上很多事物间的联系可以用函数刻画，在试图用函数刻画两个变量的联系时，需要关注哪些要点？梳理设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．知识点二用函数模型解决实际问题思考函数模型是应用最广泛的数学模型之一，一旦确定是函数模型，怎样研究它？梳理用函数模型解决实际问题的步骤：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型．(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得到数学结论．(4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．可将这些步骤用框图表示如下：知识点三数据拟合思考自由落体速度公式v＝gt是一种函数模型．类比这个公式的发现过程，简述什么是数据拟合？梳理数据拟合(1)定义：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律．这种方法称为数据拟合．(2)数据拟合的步骤：①以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点；②依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数形式，设其一般形式；③取特殊数据代入，求出函数的具体解析式；④做必要的检验．类型一利用已知函数模型求解实际问题例1某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km后，以120 km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2 h内行驶的路程．反思与感悟在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是已知函数模型，如一次、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数，这时可借助待定系数法求出函数解析式，再根据解题需要研究函数性质．跟踪训练1如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米后，水面宽________米．类型二自建确定性函数模型解决实际问题命题角度1非分段函数模型例2某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝x25－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？反思与感悟自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”．求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务．设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量．列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等．限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．跟踪训练2有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次为Q1万元和Q2万元，它们与投入的资金x万元的关系是Q1＝15x，Q2＝35x.现有3万元资金投入使用，则对甲、乙两种商品如何投资才能获得最大利润？命题角度2分段函数模型例3某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．旅游点规定：每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，用y表示出租所有自行车的日净收入．(日净收入即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费用后的所得)(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？反思与感悟自变量x按取值不同，依不同的对应关系对应因变量y是分段函数的典例特征，建立分段函数模型应注意：(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．跟踪训练3学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40 min的一节课中，注意力指数y与听课时间x(单位：min)之间的关系满足如图的图像．当x∈(0,12]时，图像是二次函数图像的一部分，其中顶点A(10,80)，过点B(12,78)；当x∈[12,40]时，图像是线段BC，其中C(40,50)．根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．(1)试求y＝f(x)的函数关系式；(2)教师在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由．1．从2013年起，在20年内某海滨城市力争使全市工农业生产总产值翻两番，如果每年的增长率是8%，则达到翻两番目标的最少年数为( ) A ．17 B ．18 C ．19 D ．202．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s 关于时间t 变化的图像如图所示，那么图像所对应的函数模型是( )A ．分段函数B ．二次函数C ．指数函数D ．对数函数3．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y ，则x ，y 的函数关系是( ) A ．y ＝0.957 6x100B ．y ＝(0.957 6)100xC ．y ＝(0.957 6100)xD ．y ＝1－0.042 4x1004．某种植物生长发育的数量y 与时间x 的关系如下表：A．y＝2x－1 B．y＝x2－1C．y＝2x－1 D．y＝1.5x2－2.5x＋25．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是()A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋cC．y＝a e x＋b D．y＝a ln x＋b解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．答案精析问题导学 知识点一思考 先确定两个变量是谁；再看两个变量之间的对应关系是否满足函数定义；如果满足，就要考虑建立函数关系式． 知识点二思考 先确定函数关系式，再根据解决实际问题的需要针对性研究函数性质，如定义域、最值、单调性等，使实际问题得到解决． 知识点三思考 函数模型来源于现实(伽利略斜塔抛球)，通过收集数据(打点计时器测量)，画散点图分析数据(增长速度、单位时间内的增长量等)，寻找或选择函数(假说)来作为函数模型，再检验这个函数模型是否符合实际，这就是数据拟合． 题型探究例1 解 因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷120 ＝115 (h)，所以0≤t ≤115.因为火车匀速行驶t h 所行驶的路程为120t ，所以，火车运行总路程S 与匀速行驶时间t 之间的关系是S ＝13＋120t (0≤t ≤115).2 h 内火车行驶的路程S ＝13＋120×(2－1060)＝233(km)．跟踪训练1 2 6解析 以拱顶为原点，过原点与水面平行的直线为x 轴，建立平面直角坐标系(如图)，则水面和拱桥交点A (2，－2)，设抛物线所对应的函数关系式为y ＝ax 2(a ≠0)，则－2＝a ·22，∴a ＝－12，∴y ＝－12x 2.当水面下降1米时，水面和拱桥的交点记作B (b ，－3)，将B 点的坐标代入y ＝－12x 2，得b ＝±6，因此水面宽26米．例2 解 设可获得总利润为R (x )万元， 则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8 000＝－x 25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680 (0≤x ≤210)．∵R (x )在[0,210]上是增函数， ∴x ＝210时，R (x )max ＝－15(210－220)2＋1 680＝1 660(万元)．∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．跟踪训练2 解 设对甲种商品投资x 万元，则对乙种商品投资(3－x )万元，总利润为y 万元．所以Q 1＝15x ，Q 2＝353－x .所以y ＝15x ＋353－x (0≤x ≤3)，令t ＝3－x (0≤t ≤3)，则x ＝3－t 2.所以y ＝15(3－t 2)＋35t＝－15(t －32)2＋2120.当t ＝32时，y max ＝2120＝1.05(万元)，即x ＝34＝0.75(万元)，所以3－x ＝2.25(万元)．由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元，共获得利润1.05万元．例3 解 (1)当x ≤6时，y ＝50x －115， 令50x －115＞0，解得x ＞2.3. 又因为x ∈N ，所以3≤x ≤6，且x ∈N. 当6＜x ≤20，且x ∈N 时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115，综上可知y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115，3≤x ≤6，x ∈N ，－3x 2＋68x －115，6＜x ≤20，x ∈N.(2)当3≤x ≤6，且x ∈N 时，因为y ＝50x －115是增函数，所以当x ＝6时，y max ＝185元．当6＜x ≤20，且x ∈N 时，y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝⎛⎭⎫x －3432＋8113， 所以当x ＝11时，y max ＝270元．综上所述，当每辆自行车日租金定为11元时才能使日净收入最多，为270元． 跟踪训练3 解 (1)当x ∈(0,12]时，设f (x )＝a (x －10)2＋80(a ≠0)．因为该部分图像过点B (12,78)，将B 点的坐标代入上式，得a ＝－12， 所以f (x )＝－12(x －10)2＋80. 当x ∈[12,40]时，设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)．因为线段BC 过点B (12,78)，C (40,50)，将它们的坐标分别代入上式，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 12k ＋b ＝78，40k ＋b ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－1，b ＝90，所以f (x )＝－x ＋90.故所求函数的关系式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12(x －10)2＋80，x ∈(0，12]，－x ＋90，x ∈(12，40].(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ≤12，－12(x －10)2＋80＞62或⎩⎪⎨⎪⎧12＜x ≤40，－x ＋90＞62， 解得4＜x ≤12或12＜x ＜28，即4＜x ＜28.故老师应在x ∈(4,28)时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳． 当堂训练1．C 2.A 3.A 4.D 5.B。
北师大版高中数学必修1第四章《函数应用》函数模型的应用实例(一)
乐安一中高一数学 备课组
1
教学目标：了解数学建模，掌握根据已知条件建立
函数关系式的方法；通过例题培养学生应用数学的意 识以及分析问题、解决问题的能力。
教学重点：根据已知条件建立函数关系式，初步掌
握一些简单的实际问题的解决办法。
教学方法：探析归纳，讲练结合。 教学过程
数学模型
推 理 演 算
数学模型的解
3
例题选讲：
例1：用长为 m 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的 框架，若矩形底边长为 x ，求此框架的面积 y 与 x 的函数式，并写出它的定义域。
分析： 所求框架面积由矩形和半圆组成，数量关系较为明确，
而且题中已设出变量，所以属于函数关系的简单应用。
解： 如图 设ABx ，则CD弧长＝x
分析： 随着小正方形边长的变化，底面积和高在变化，但都可 以写成关于x的关系式。
解： 如 图 ， 盒 子 底 面 正 方 形 的 边 长 ＝ a 2 x
盒 子 的 底 面 积 S 底 ＝ （ a 2 x ） 2
又盒 子 的 高 hx
盒 子 的 体 积 V ＝ S 底 h ＝ (a 2 x )2 x x a－2x
R
R
当 x R 时 ， y 有 最 大 值 5 R
数学应用题的能力要求：
阅读理解能力 抽象概括能力
数学语言的运用能力
解答应用题的基本步骤：
合理、恰当假设 抽象概括数量关系，并能用 数学语言表示
分析、解决数学问题
分析、解决数学问题的能力 数学问题的解向实际问题的还原
6
练习：有一块边长为 a 的正方形铁皮，将其四个角各截去 一个边长为 x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子， 写出体积 V 以 x 为自变量的函数式，并讨论这个函数 的定义域。
2018年高中数学 第四章 导数应用 4.1.1 导数与函数的单调性课件1 北师大版选修1-1
导数应用
利用导数研究函数 导数在实际问题中的应用
探求新知
导数
函数 y f (x) 在 x 0 处的导数，函数在 x 0 处的瞬时
变化率 f(x0) lixm 0f(x0 xx )f(x0)
函数单调性
在函数 y f (x) 定义域内的一个区间A 上，如果
(1) f(x)2x1 f '(x) 2 0 R上减
(2) f (x) ex
f '(x) ex 0 R上增
(3) f (x) lnx f '( x ) 1 0 (0, ) 上增 x
知识应用
例2 求函数 f(x)1x31x26x1 32
的单调区间.
知识应用
步骤： ① 求 y f (x) 定义域 ② 求导函数 y f '(x) ③ 在定义域范围内解 f'(x)0,f'(x)0 ④ 确定单调区间
随堂练习
练习： 求下列函数的单调区间
(1) f (x)3xx3 (2) f(x)xlnx
•如果在某个区间内，都有函数y f (x) 的 导数 f '(x) 0 ,则在这个区间上，函数 y f (x)
是增加的。
•如果在某个区间内，都有函数 y f (x) 的 导数 f '(x) 0 ,则在这个区间上，函数 y f (x)
是减少的。
知识应用
例1 利用导数分析下列函数的单调性
对于任意两个数 x1, x2 A ，当 x1 x 2 时，都有
f(x 1 )f(x 2 )(f(x 1 ) f(x 2 ))那么就称函数 y f (x) 在区间 A 上是增加（减少）的。
导数ห้องสมุดไป่ตู้函数的单调性
推荐学习K122018北师大版高中数学必修一学案：第四章 2 实际问题的函数建模
学习目标 1.了解什么是函数模型，知道函数的一些基本模型.2.学会对收集到的相关数据进行拟合，并建立适当的数学模型.3.学会运用常见的函数模型来解一些简单的实际问题．知识点一实际问题的函数刻画思考世界上很多事物间的联系可以用函数刻画，在试图用函数刻画两个变量的联系时，需要关注哪些要点？梳理设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．知识点二用函数模型解决实际问题思考函数模型是应用最广泛的数学模型之一，一旦确定是函数模型，怎样研究它？梳理用函数模型解决实际问题的步骤：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型．(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得到数学结论．(4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．可将这些步骤用框图表示如下：知识点三数据拟合思考自由落体速度公式v＝gt是一种函数模型．类比这个公式的发现过程，简述什么是数据拟合？梳理数据拟合(1)定义：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律．这种方法称为数据拟合．(2)数据拟合的步骤：①以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点；②依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数形式，设其一般形式；③取特殊数据代入，求出函数的具体解析式；④做必要的检验．类型一利用已知函数模型求解实际问题例1某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km后，以120 km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2 h内行驶的路程．反思与感悟在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是已知函数模型，如一次、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数，这时可借助待定系数法求出函数解析式，再根据解题需要研究函数性质．跟踪训练1如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米后，水面宽________米．类型二自建确定性函数模型解决实际问题命题角度1非分段函数模型例2某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝x25－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？反思与感悟自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”．求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务．设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量．列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等．限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．跟踪训练2有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次为Q1万元和Q2万元，它们与投入的资金x万元的关系是Q1＝15x，Q2＝35x.现有3万元资金投入使用，则对甲、乙两种商品如何投资才能获得最大利润？命题角度2分段函数模型例3某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．旅游点规定：每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，用y表示出租所有自行车的日净收入．(日净收入即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费用后的所得)(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？反思与感悟自变量x按取值不同，依不同的对应关系对应因变量y是分段函数的典例特征，建立分段函数模型应注意：(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．跟踪训练3学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40 min的一节课中，注意力指数y与听课时间x(单位：min)之间的关系满足如图的图像．当x∈(0,12]时，图像是二次函数图像的一部分，其中顶点A(10,80)，过点B(12,78)；当x∈[12,40]时，图像是线段BC，其中C(40,50)．根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．(1)试求y＝f(x)的函数关系式；(2)教师在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由．1．从2013年起，在20年内某海滨城市力争使全市工农业生产总产值翻两番，如果每年的增长率是8%，则达到翻两番目标的最少年数为( ) A ．17 B ．18 C ．19 D ．202．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s 关于时间t 变化的图像如图所示，那么图像所对应的函数模型是( )A ．分段函数B ．二次函数C ．指数函数D ．对数函数3．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y ，则x ，y 的函数关系是( ) A ．y ＝0.957 6x100B ．y ＝(0.957 6)100xC ．y ＝(0.957 6100)xD ．y ＝1－0.042 4x1004．某种植物生长发育的数量y 与时间x 的关系如下表：A．y＝2x－1 B．y＝x2－1C．y＝2x－1 D．y＝1.5x2－2.5x＋25．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是()A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋cC．y＝a e x＋b D．y＝a ln x＋b解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．答案精析问题导学 知识点一思考 先确定两个变量是谁；再看两个变量之间的对应关系是否满足函数定义；如果满足，就要考虑建立函数关系式． 知识点二思考 先确定函数关系式，再根据解决实际问题的需要针对性研究函数性质，如定义域、最值、单调性等，使实际问题得到解决． 知识点三思考 函数模型来源于现实(伽利略斜塔抛球)，通过收集数据(打点计时器测量)，画散点图分析数据(增长速度、单位时间内的增长量等)，寻找或选择函数(假说)来作为函数模型，再检验这个函数模型是否符合实际，这就是数据拟合． 题型探究例1 解 因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷120 ＝115 (h)，所以0≤t ≤115.因为火车匀速行驶t h 所行驶的路程为120t ，所以，火车运行总路程S 与匀速行驶时间t 之间的关系是S ＝13＋120t (0≤t ≤115).2 h 内火车行驶的路程S ＝13＋120×(2－1060)＝233(km)．跟踪训练1 2 6解析 以拱顶为原点，过原点与水面平行的直线为x 轴，建立平面直角坐标系(如图)，则水面和拱桥交点A (2，－2)，设抛物线所对应的函数关系式为y ＝ax 2(a ≠0)，则－2＝a ·22，∴a ＝－12，∴y ＝－12x 2.当水面下降1米时，水面和拱桥的交点记作B (b ，－3)，将B 点的坐标代入y ＝－12x 2，得b ＝±6，因此水面宽26米．例2 解 设可获得总利润为R (x )万元， 则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8 000＝－x 25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680 (0≤x ≤210)．∵R (x )在[0,210]上是增函数， ∴x ＝210时，R (x )max ＝－15(210－220)2＋1 680＝1 660(万元)．∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．跟踪训练2 解 设对甲种商品投资x 万元，则对乙种商品投资(3－x )万元，总利润为y 万元．所以Q 1＝15x ，Q 2＝353－x .所以y ＝15x ＋353－x (0≤x ≤3)，令t ＝3－x (0≤t ≤3)，则x ＝3－t 2.所以y ＝15(3－t 2)＋35t＝－15(t －32)2＋2120.当t ＝32时，y max ＝2120＝1.05(万元)，即x ＝34＝0.75(万元)，所以3－x ＝2.25(万元)．由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元，共获得利润1.05万元．例3 解 (1)当x ≤6时，y ＝50x －115， 令50x －115＞0，解得x ＞2.3. 又因为x ∈N ，所以3≤x ≤6，且x ∈N. 当6＜x ≤20，且x ∈N 时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115，综上可知y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115，3≤x ≤6，x ∈N ，－3x 2＋68x －115，6＜x ≤20，x ∈N.(2)当3≤x ≤6，且x ∈N 时，因为y ＝50x －115是增函数，所以当x ＝6时，y max ＝185元．当6＜x ≤20，且x ∈N 时，y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝⎛⎭⎫x －3432＋8113， 所以当x ＝11时，y max ＝270元．综上所述，当每辆自行车日租金定为11元时才能使日净收入最多，为270元． 跟踪训练3 解 (1)当x ∈(0,12]时，设f (x )＝a (x －10)2＋80(a ≠0)．因为该部分图像过点B (12,78)，将B 点的坐标代入上式，得a ＝－12， 所以f (x )＝－12(x －10)2＋80. 当x ∈[12,40]时，设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)．因为线段BC 过点B (12,78)，C (40,50)，将它们的坐标分别代入上式，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 12k ＋b ＝78，40k ＋b ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－1，b ＝90，所以f (x )＝－x ＋90.故所求函数的关系式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12(x －10)2＋80，x ∈(0，12]，－x ＋90，x ∈(12，40].(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ≤12，－12(x －10)2＋80＞62或⎩⎪⎨⎪⎧12＜x ≤40，－x ＋90＞62， 解得4＜x ≤12或12＜x ＜28，即4＜x ＜28.故老师应在x ∈(4,28)时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳． 当堂训练1．C 2.A 3.A 4.D 5.B。