高中数学必修一 函数的应用
高中数学必修一第三章函数的应用知识点总结
第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。
即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．3、函数零点的求法：○1○24（1（2（356Eg7、确定零点在某区间(),a b 个数是唯一的条件是:①()f x 在区间上连续，且()()0f a f b <②在区间(),a b 上单调。
Eg ：求函数2)1lg(2)(-++=x x f x 的零点个数。
8、函数零点的性质：从“数”的角度看：即是使0)(=x f 的实数；从“形”的角度看：即是函数)(x f 的图象与x 轴交点的横坐标；若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相切，则零点0x 通常称为不变号零点； 若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相交，则零点0x 通常称为变号零点．Eg ：一元二次方程根的分布讨论一元二次方程根的分布的基本类型 设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤.表二：（两根与k的大小比较）k k k表三：（根在区间上的分布）Eg ：（1）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围？（2）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[0,4]内，求m 的取值范围？（3）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两个实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围？9)(x f10（1（2（3①若f ②若f ③若f （4~（41112① ② ③ ④ 还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．13、函数的模型不符合14。
人教A版高中数学必修1第三章《函数的应用》思维导图
人教A版高中数学必修1第三章《函数
的应用》思维导图
用思维导图复习，一天顶一个月。
高中数学必修和选修课本共计13本，通常两年内学完，平均一年6本，每学期3本。
每本平均三到四章，每学期5个月，大约半月学完一章。
而高考总复习的时间则更为宝贵，如果高考一轮复习的时候，在基础知识模块，大家还需要消耗大量时间去翻看教材显然得不偿失。
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本文，我们主要梳理了人教版A版高中数学必修1（也就是高一数学）第三章《函数的应用》。
主要内容大纲如下：
其中重点在于零点问题、函数模型及函数的应用。
下面我们逐一展开回忆下。
一、函数与方程
二、函数模型及其应用
到本文为止，有关人教版A版高中数学必修一（也就是高一数学必修1）的内容，我们就在前面三篇文章给大家梳理完了，至于第一章《集合与函数的概念》及第二章《基本初等函数（I）》，请大家查阅我们前面两天的文章即可。
大家如果觉得这种方式好，可以自己下载思维导图软件尝试下。
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人教高中数学必修一B版《函数的应用》函数研讨复习说课教学课件
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2．向高为 H 的水瓶中注水，注满为止．如果注水量 V 与水深 h 的函数关系的图像如图所示，那么水瓶的形状是( )
A
B
C
D
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B [题图反映随着水深 h 的增加，注水量 V 增长速度越来越慢， 这反映水瓶中水上升的液面越来越小．]
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3．某人从 A 地出发，开汽车以 80 千米/小时的速度经 2 小时到 达 B 地，在 B 地停留 2 小时，则汽车离开 A 地的距离 y(单位：千米) 是时间 t(单位：小时)的函数，该函数的解析式是________．
(2)每天的盈利额超过 1 000 元，则 x∈(200,300]，由 15x－2 500>1
000 得，x>7300，故每天至少需要卖出 234 张门票．
60 [设涨价 x 元，销售的利润为 y 元， 则 y＝(50＋x－45)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250 ＝－2(x－10)2＋450， 所以当 x＝10，即销售价为 60 元时，y 取得最大值．]
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合作探究 提素养
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一次函数模型的应用
【例 1】 某厂日生产文具盒的总成本 y(元)与日产量 x(套)之间
2．数学建模的过程图示如下：
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当堂达标 固双基
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1．思考辨析 甲、乙两人在一次赛跑中，路程 s 与时间 t 的函数关系如图所示， 判断下列说法的对错．
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(1)甲比乙先出发．( ) (2)乙比甲跑的路程多．( ) (3)甲、乙两人的速度相同．( ) (4)甲先到达终点．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
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y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.
高中数学必修一函数在实际中的应用举例(含解答)
函数在实际中的应用举例(含解答)
函数在中考中具有重要的地位，近几年中考中出现很多与实际问题相结合的函数题
目，注意实际问题和函数的转化。
例1．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为 2.5米时，达到最大高度 3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为 3.05米。
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式。
（2）该运动员身高 1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
分析：（1）已知，顶点（0，3.5）过一点（ 1.5，3.05）用顶点式。
（2）已知横坐标－ 2.5，求出纵坐标，就是抛出点的高度。
解：（1）由题意知抛物线顶点坐标为（0，3.5）且过（1.5，3.05）点，
∴设y=a(x-0)2+3.5
即y=ax2+3.5，
将（1.5, 3.05）代入，3.05=2.25a+3.5
2.25a=-0.45
a=-
∴y=-x2+3.5
（2）当x=-2.5时，
y=-0.2×(-2.5)2+3.5=2.25
2.25-1.8-0.25=0.20(m)
答：球出手时，他距离地面高度是0.20m。
说明：求抛物线的解析式时，一定要正确找到抛物线上的点，并注意根据坐标系的位
置，确定坐标的符号。
第1页共8页。
高中数学常见函数及其应用
高中数学常见函数及其应用数学是一门广泛应用于各个领域的学科，而函数是数学中的基本概念之一。
在高中数学中，我们需要掌握并熟练运用一些常见函数及其应用。
本文将介绍一些常见的高中数学函数及其在实际问题中的应用。
一、线性函数线性函数是最简单的一类函数，其表达式为y = kx + b，其中k和b为常数。
线性函数的图像为一条直线，其斜率k代表直线的倾斜程度，而常数b代表直线与y轴的截距。
线性函数常见的应用有以下几种：1. 方程的解：在线性方程中，我们常常需要求解一元一次方程。
以y = 2x + 3为例，我们可以通过这个线性函数找到方程的解。
当x取特定的值时，我们可以求得对应的y值，从而得到该方程的解。
2. 直线的斜率和截距：线性函数的斜率和截距可以帮助我们分析直线的性质。
斜率决定了直线的倾斜程度，而截距则决定了直线与y轴的交点。
二、二次函数二次函数是一个非常常见的函数形式，其表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不等于0。
二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线，常见的应用有以下几种：1. 抛物线的顶点问题：二次函数的顶点是抛物线的最高点或者最低点，在实际问题中可以用来寻找最优解，例如最大值或最小值。
2. 建模问题：二次函数可以用来建立实际问题的模型。
例如，通过分析苹果从树上掉落的过程，可以建立一个与时间相关的二次函数来描述苹果的运动轨迹。
三、指数函数指数函数是以一个正常数为底数，变量为指数的函数，其表达式为y = a^x，其中a为常数且大于0。
指数函数的图像通常是上升或下降的曲线，常见的应用有以下几种：1. 指数增长问题：指数函数在自然界中的许多现象都有应用，例如人口增长、细胞分裂等。
通过分析指数函数的特点，我们可以预测未来的发展趋势。
2. 复利计算：指数函数在金融领域中有着重要的应用，特别是在计算复利方面。
通过利率和时间的指数函数关系，我们可以计算复利的收益。
四、对数函数对数函数是指以一个正常数为底数，另一个正数为真数的函数，其表达式为y = loga(x)，其中a为常数且大于0且不等于1。
高中数学必修第一册人教A版3.4《函数的应用(一)》名师课件
(3)幂函数模型: = + (, , 为常数, ≠ 0, ≠ 1).
(4)反比例函数模型: = + (, 为常数, ≠ 0 ).
(5)分段函数模型:一种比较复杂的函数模型,可以用来描述在不同区间上有不同变化规
得最大纯利润,并求出最大纯利润.(均精确到0.1万元)
解析
以投资额为横坐标,纯利润为纵坐标,画出散点图,如图所示:
典例讲解
例3、某个体经营者把前六个月试销A,B两种商品的逐月投资与所获纯利润制成
下表：
解析
据此,可考虑用函数 = − − 4
2
+ 2( > 0)
①表示投资A种商品的
金额与其纯利润的关系,用函数 = ( > 0)
每辆每月要维护费50 元.
(1)当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
解析
(1)当每辆车的月租金定为3600元时,未租出的车辆数为(3600 − 3000) ÷ 50 = 12,所以这
时租出了100 − 12 = 88辆车.
1200.
由①②知 = 1225.故该种商品的日销售额的最大值为1225元.
典例讲解
例3、某个体经营者把前六个月试销A,B两种商品的逐月投资与所获纯利润制成
下表：
该经营者准备下个月投入12万元经营这两种商品,但不知投入A,B两种商品
各多少万元才最合算.请你帮他制订一个资金投入方案,使得该经营者能获
5
2
1
2 ,即
人教版高中数学必修一《函数的应用》重难点解析(含答案)
人教版数学必修一第三章《函数的应用》重难点解析第三章 课文目录 3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用重点：1．通过用“二分法”求方程近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观点处理问题的意识.2．认识指数函数、对数函数、幂函数等 函数模型的增长差异,体会直线上升、指数爆炸、对数增长的差异. 难点：1．在利用“二分法”求方程近似解的过程中，对给定精确度的近似解的计算. 2．如何选择适当的函数模型分析和解决 实际问题.一、方程的根和函数的零点1．函数的零点给出三个具体函数的图象——设置问题研究情景，通过对函数图像的观察，归纳出结论：一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根，就是相应的二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴的交点的横坐标。
我们把使()0=x f 的实数x 叫做函数()x f y =的零点。
注意函数的零点与方程的根间的联系和区别，二者不能混为一谈。
例1 函数322--=x x y 的零点是（ ）A ．31=-=x x 或B ．()()030,1，或-C ．31-==x x 或D ．()()030,1，或- 函数的零点与方程的根——形数的结合的典范。
利用学生熟悉的二次函数的图象和性质，为理解函数的零点提供直观认识，为判定零点是否存在和求零点提供支持，使函数零点的求解与函数的变化建立联系。
为判断方程()0=x f 实数根的个数，只需观察函数()x f y =的图象与x 轴交点的个数——方程根的研究转化为函数零点的研究。
例2 判断方程062ln =-+x x 实根的个数。
2．函数零点存在的判定引导学生观察图象连续的函数的变化情况，让学生通过连续的函数值的变化情况认识到：当函数值由正变为负时必定经过一个零点； 当函数值由负变为正时必定经过一个零点。
由此概括得到函数零点存在的判定方法。
如果函数()x f y =在区间[]b a ,上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0<⋅b f a f ，那么，函数()x f y =在区间()b a ,内有零点，即存在()b a c ,∈，使得()0=c f ，这个c 也就是方程()0=x f 的根。
高中函数的应用ppt课件ppt课件ppt
在生物学中，二次函数可以用于描述 种群增长、生物繁殖和生态平衡等现 象。
物理学
在物理学中，二次函数可以用于描述 物体的运动轨迹、振动和波动等现象 。
二次函数与其他数学知识的结合
与导数结合
通过求导数，可以研究二次函数的单调性、极值 和拐点等性质。
与三角函数结合
通过与三角函数的结合，可以研究一些周期性和 对称性问题。
的交叉也将越来越深入。例如，在物理学、工程学、经济学等领域中，
函数都有广泛的应用。
02
数学建模的普及
随着数学建模的普及，函数作为数学建模的重要工具之一，其应用也将
越来越广泛。通过数学建模，学生能够更好地理解现实世界中的问题，
并运用数学方法来解决这些问题。
03
新函数类型的出现
随着数学的发展，新的函数类型也将不断出现。例如，分形函数、混沌
分式函数在交通工程中的应用
在交通工程中，分式函数可以用来描述车辆行驶的速度和时 间之间的关系，以及道路通行能力与车辆数量之间的关系。 通过分式函数的分析，可以优化交通流量的分配和管理。
分式函数与其他数学知识的结合
分式函数与导数的结合
分式函数的导数可以用来研究函数的单调性、极值和拐点等问题。通过导数的计 算和分析，可以更好地理解分式函数的性质和变化规律。
度、长度、面积和体积等。
三角函数在解析几何中的应用
02
通过三角函数，可以将几何问题转化为代数问题，从而利用代
数方法求解。
三角函数在复数中的应用
03
复数中的三角函数可以用于解决与周期性、波动性和旋转相关
的问题。
三角函数在实际生活中的应用
航海和航空中的应用
通过三角函数，可以计算航行路线、飞行轨迹和高度等。
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函数的应用
教学目标
知识目标： 使学生能根据实际问题抽象出函数的数学模型；
使学生学会用数形结合的思想解决函数值大小比较的实际问题；
能力目标： 培养学生数学的应用意识，提高解决实际问题的能力； 情感目标： 培养学生学习数学的兴趣和积极性。
教学重点和难点：
使学生学会从实际问题抽象出函数的数学模型，并用数形结合的思想解决函数值大小比较的实际问题。
课前准备：学生调查桑塔纳出租车计价情况 教学过程：
一、复习
提问：我们已学的一次函数、正比例函数、常值函数都可用怎样的函数解析式表示？
y=kx+b ：当k 0≠时是一次函数；当k 0≠，b=0时是正比例函数；当k=0时是常值函数。
[说明：渗透分类的数学思想，明确函数间的关系]
二、函数的应用
1、 龟兔赛跑（动画演示）
师：兔子在醒来后，发现乌龟已在自己前面2500米处，很后悔，以每小时跑3000米的速度奋力去追，而乌龟仍以每小时500米的速度继续前进，那么谁能胜利呢？
师：你能用学过的方法直观地反映这一问题吗？ （学生讨论后回答）
若设兔子醒后追赶了t 小时，龟、兔离开兔子睡觉处的路程S （米）与时间t （小时）各是什么关系？并在同一直角坐标系内画出图象。
（学生回答）
师：（板书）兔：1S =3000t
()0≥t ；
龟：t S 50025002+=
()0≥t ；
（图象实物投影） 师：图象的交点表示什么实际意义？交点左侧表示什么意义？右侧又表示什么意义呢？
（学生回答后，老师归纳）
归纳：两图象交点表示当自变量为交点横坐标时，两函数值相等，且同为交点纵坐标；反映在龟兔赛跑中，即经过相同的时间，兔子正好追上乌龟；
交点左侧部分图象对于相同的自变量，两函数值不同，其中位于上方图象的函数值大于下方图象的相应函数值；反映在龟兔赛跑中，即乌龟跑在兔子前面，
[说明：对学生
脑海中传统的龟兔赛跑的结局提出问题，引发学生兴趣的同时也引起学生的思考，从而考虑解决问题的方法；通过对函数图象的一系列问题这一师生间的互动，使学生充分认识图象获取信息，理解图象的实际含义，直观感受到数形结合解决这类问题的价值，从学法上给学生以指导，为后面学生自主解
乌龟胜利；
交点右侧部分图象对于相同的自变量，两函数值也不同，其中位于上方图象的函数值也大于下方图象的相应函数值；反映在龟兔赛跑中，即兔子超过了乌龟，
兔子胜利；
以上是从相同的自变量即时间的角度，直观地看出函数值也就是路程的大小。
我们还可以从什么角度来理解呢？
生：也可从距离来理解。
交点表示终点距离兔子睡觉处正好是交点纵坐标时，乌龟和兔子同时到达； 交点左侧表示终点距离兔子睡觉处小于交点纵坐标时，乌龟到达终点所用的时间比兔子少，乌龟胜利；
交点右侧表示终点距离兔子睡觉处大于交点纵坐标时，乌龟到达终点所用的时间比兔子多，兔子胜利。
（师生共同求出不同时间内龟、兔路程关系）
师：（板书） 当t=1时，21y y =，龟、兔同时到达； 当t ≤0<1时，21y y <，乌龟胜利；
当t>1时，21y y >，兔子胜利。
师：（小结）龟兔赛跑实质上就是比较函数值大小问题，对于这类问题，我们应该：第一根据实际建立合适的函数解析式；第二在同一直角坐标平面内画出图象；最后利用数形结合的思想方法解决函数值大小比较问题。
决出租车收费
问题作了很好的铺垫。
]
（提出课题：函数的应用） 2、 出租车收费问题
原来桑塔纳出租车起步费为14.40元，最多行驶5公里，5公里以上10公里以内每公里计价1.80元。
现在桑塔纳出租车计程费为起步费10元，最多行驶3公里，3公里以上10公里以内每公里计价2元。
不计途中停车时间等。
请分析在10公里范围内对乘客来讲哪一种收费方式更优惠？
（学生讨论回答，并画图象直观分析后准确求出路程与收费关系）
师：（板书）现在： 1y =10 （0<x ≤3）,1y =10+2(x-3) (3<x ≤10); 原来： =2y 14.4 (0<x ≤5), =2y 14.4+1.8(x-5)
(5<x ≤10);
当x=7时，21y y =，收费相同； 当0<x<7时，21y y <，现在的优惠；
当x>7时，21y y >，原来的优惠。
师：通过这一问题的分析，大家可以进一步去了解出租车费调价的原因。
思考：按现在的收费方式，我从出发地到目的地共20公里路程，是一辆车坐到底还是途中换车合算？为什么？（机动） 三、小结
1、学数学是为了用数学，数学在生活中所起的作用很大；
2、用函数知识解决实际问题时，应先建立函数解析式，画出图象，用数形结合
的思想方法解决实际问题，生活中有很多这类问题，如电费、信息费等，都可用这一方法来解决。
3、实际生活中的问题与理想化的数学有一定的差距。
四、作业
补充：为了加快教学的现代化，某校计划购置一批电脑，已知甲公司的报价为每台5800元，优惠条件为购买10台以上，则从第11台开始按报价的70%计算，乙公司的报价也是每台5800元，但优惠条件是为了支持教育，每台均按报价的85%计算，假如你是学校的负责人，在电脑品牌、质量、售后服务等完全相同的条件下，你如何选择？
课后记
用学生耳熟能详的故事和日常经历过的事例加深学生理解函数，理解函数的实际应用价值，进行有用数学的教学，使学生初步具有用数学眼光来关注身边事物的意识；同时也是对已学正、反比例函数、一次函数知识的拓展。