高中数学必修-函数性质

高中数学必修 第二章 函数1.函数的有关概念(1)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(2)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． (3)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 2. 求给出解析式的函数定义域的基本方法： （1）)(x f 为整式型函数时，定义域为R ；（2）)(x f 为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数的集合； （3）)(x f 为偶次根式型函数时，定义域为使被开方数非负的实数的集合； （4）)(x f 为零次幂型函数时，定义域为底数不为零的实数的集合；（5）若)(x f 是由上述几部分式子构成，则定义域为各个简单函数定义域的交集。

3．增函数、减函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ，如果对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1＜x 2，则都有： (1)f (x )在区间D 上是增函数⇔f (x 1)＜f (x 2)； (2)f (x )在区间D 上是减函数⇔f (x 1)＞f (x 2)． 4.利用定义法判断函数单调性的步骤：（1）取值：在指定区间上任取)(,,122121x x x x x x <<或且令；（2）作差：将)]()()[()(1221x f x f x f x f --或进行化简变形，变形的方向应有利于判断)()(21x f x f -)]()([12x f x f -或的符号，主要的变形方法有因式分解、配方、有理化等；（3）定号：对变形后盾额差进行判断，确定)]()()[()(1221x f x f x f x f --或的符号； （4）判断：判断函数符合增函数还是减函数的定义，从而得出结论。

复合函数单调性的确定： “同增异减”. 5．函数的奇偶性（1）一般地，如果对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f --=，那么函数)(x f 就叫做奇函数；奇函数的图象关于)0,0(对称；0)0(=f（2）一般地，如果对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=，那么函数)(x f 就叫做偶函数；偶函数的图象关于y 轴对称； 6.函数的周期性(1)周期函数：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．函数周期性的三个常用结论： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ， (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a ， (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a ＞0)．题型一：函数三要素求解【例1】函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________． 【例2】若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f 2xx －1的定义域是________． 【例3】求下列函数的解析式(1)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )的解析式． (3)已知f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x (x ≠0)，求f (x )的解析式．【例4】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ≥1，x 2＋m 2，x ＜1，若f (f (－1))＝2，则实数m 的值为( )A ．1B ．1或－1 C. 3 D.3或－3 【例5】求下列函数的值域：（1）求函数12xy x -=的值域。

（2）求函数212y x x =+-（3） 求函数y =（4）求函数的值域22221x x y x x -+=++【过关练习】 1.函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( ) A ．(－3,0] B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0)D ．(－∞，－3)∪(－3,1)2.已知函数f (2x )的定义域为[－1,1]，则f (x )的定义域为________.3.已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.4.已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2·f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，则f (x )＝________. 5.若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0，则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫19＝ ( )A ．－2B ．－3C ．9D ．－96.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝lg x C ．y ＝2xD ．y ＝1x7.求下列函数的值域： （1）求()()21,1,232x f x x x +=∈+的值域； （2）求函数12++=x x y 的值域 （3）求函数|3||5|y x x =++-的值域。

（4）求函数的值域3274222++-+=x x x x y8.已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎨⎧x －1，x ＞0，2－x ，x ＜0.(1)求f (g (2))和g (f (2))的值； (2)求f (g (x ))的解析式．题型二：函数单调性【例1】函数f (x )＝log 2(x 2－1)的单调递减区间为________．【例2】设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <cD ．b <c <a【例3】已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则不等式f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的解集是________．【例4】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x －1，x ≤1，log a x ，x ＞1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．【例5】试讨论函数f (x )＝x ＋kx (k ＞0)的单调性．【例6】已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1. (1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞]，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围【过关练习】1.函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2) 2.如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－14，＋∞B.⎣⎡⎭⎫－14，＋∞C.⎣⎡⎭⎫－14，0D.⎣⎡⎦⎤－14，0 3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0.若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[－1,1]D ．[－2,2]4.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋a ，x ＜1，2x ，x ≥1的最小值为2，则实数a 的取值范围是______5．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．题型三：函数奇偶性和周期性【例1】已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则x ＜0时，f (x )＝________. 【例2】若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (2)＝________. 【例3】判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3－2x ； (2)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＞0，x 2－x ，x ＜0.【例4】设定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝________.【过关练习】1.已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13 B.13 C.12D ．－122.设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f (x )g (x )是偶函数 B ．|f (x )|g (x )是奇函数 C ．f (x )|g (x )|是奇函数 D ．|f (x )g (x )|是奇函数3.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝________.4.若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________.5.设定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝________.6.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，－1＜x ≤0，－1，0＜x ≤1，则下列函数值为1的是( )A ．f (2.5)B ．f (f (2.5))C ．f (f (1.5))D ．f (2)课后练习【补救练习】1.若函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增 2. 求函数6)(2-+=x x x f 的单调区间。

3.已知[]1,1,22)(2-∈+-=x ax x x f ，求)(x f 的最大值和最小值。

【巩固练习】1.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．2．函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，32B.⎣⎡⎭⎫32，＋∞C.⎝⎛⎦⎤－1，32D.⎣⎡⎭⎫32，4 3.函数y ＝log 21＋x 1－x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称4．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－98D ．985.已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ∈[0,2)时，f (x )＝x 2，若对于任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )，则f (2)－f (3)的值为________． 6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数，(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．7.已知函数()f x 是定义在[1,1]-上的增函数，解不等式(2)(1)f x f x -<-，求x 的取值范围。