数理逻辑
数理逻辑基本概念解析
数理逻辑基本概念解析数理逻辑是数学与哲学的交叉领域，它研究的是关于真理、推理和证明的基本概念和原则。
数理逻辑可以帮助我们理解和分析语言中的逻辑结构，从而使我们能够进行正确的推理和论证。
本文将对数理逻辑的基本概念进行解析，包括命题、谓词、量词、推理、证明等。
一、命题命题是陈述性的句子，它要么是真的，要么是假的。
命题可以用句子来表示，比如“今天是晴天”。
命题在数理逻辑中是基本的要素，我们可以对命题进行逻辑运算，比如取反、合取、析取等。
二、谓词谓词是带有一个或多个变量的命题函数，它依赖于特定的对象和参数。
谓词可以用来描述特定的性质或关系，比如“x是奇数”、“x大于y”。
通过引入谓词，我们可以更加精确地描述对象之间的关系，从而进行更加复杂的推理。
三、量词量词用来描述命题的数量存在与否。
在数理逻辑中，常见的量词有全称量词和存在量词。
全称量词表示命题对于所有的个体都成立，比如“对于任意的x，都有P(x)成立”。
存在量词表示命题对于至少一个个体成立，比如“存在一个x，使得P(x)成立”。
量词的引入使我们能够推理和论证一些关于对象的普遍性或存在性的命题。
四、推理推理是通过一系列逻辑步骤从已知的命题中得出新命题的过程。
在数理逻辑中，常用的推理形式有直接推理、假设推理、演绎推理等。
推理过程中需要遵循一定的推理规则和原则，比如充足条件、必然条件等。
五、证明证明是通过逻辑推理建立命题真实性或有效性的过程。
证明包括直接证明、间接证明、归谬证明等形式。
证明的过程需要严谨的逻辑思维和正确的推理方法。
数理逻辑为我们提供了一套形式化的证明系统，使我们能够清晰地展示证明过程，从而确保推理的准确性和有效性。
通过对数理逻辑的基本概念的解析，我们可以更好地理解和应用逻辑推理。
数理逻辑为我们提供了一种思维工具，帮助我们分析和解决问题，从而推动了科学和哲学的发展。
在实际生活中，数理逻辑的应用广泛存在于数学、计算机科学、人工智能等领域。
掌握数理逻辑的基本概念对于我们的学习和思维能力的提升具有重要的意义。
数理逻辑
1
0
然语言中的“非”、“不”等，
真值表如右图。
1.1 命题与联结词
合取词“∧”
合取词（Conjunction） P Q P ∧Q 是二元联结词。相当于自然 0 0 0 语言中的“与” 、“并且” 、 0 1 0
“而且” 、“也”等，真值表 1 0 0
如右图。
11 1
1.1 命题与联结词
析取词“∨” 析取词（Disjunction）
是二元联结词。相当于自然 语言中的“或”、“要么… 要么…”等，真值表如右图。
PQ 00 01 10 11
P∨Q 0 1 1 1
1.1 命题与联结词
蕴含词“”
蕴含词（Implication） P Q
是二元联结词。相当于自然 0 0
语言中的“若…则…”、“如果 0 1
…就…”、“只有…才…”， 1 0
数理逻辑的发展前期
(3)莱布尼兹(Leibniz, 1646~1716)完善三 段论，提出了建立数理逻辑或者说理性演 算的思想： 提出将推理的正确性化归于计算，这种演 算能使人们的推理不依赖于对推理过程中 的命题的含义内容的思考，将推理的规则 变为演算的规则。 使用一种符号语言来代替自然语言对演算 进行描述，将符号的形式和其含义分开。 使得演算从很大程度上取决与符号 的组合 规律，而与其含义无关。
第1章 命题逻辑
命题逻辑研究的是以原子命题为基本 单位的推理演算，其特征在于，研究和考 查逻辑形式时，我们把一个命题只分析到 其中所含的原子命题成分为止。通过这样 的分析可以显示出一些重要的逻辑形式， 这种形式和有关的逻辑规律就属于命题逻 辑。
第1章 命题逻辑
内容提要：
1. 命题逻辑的基本概念、命题联结词 2. 命题公式、自然语言的形式化 3. 命题公式的等值和蕴含 4. 范式 5. 联结词的完备集 6. 推理理论 7. 命题逻辑在计算机科学中的应用
数理逻辑的博士
数理逻辑的博士数理逻辑，一门探讨数学与逻辑之间关系的学科，它在现代科学领域中具有重要地位。
作为一名数理逻辑博士，不仅需要具备扎实的理论基础，还要具备深入的研究能力和创新精神。
本文将介绍数理逻辑的基本概念、应用领域、成为数理逻辑博士的要求以及职业前景。
1.数理逻辑简介数理逻辑起源于19世纪末，它主要研究数学形式系统，如集合论、命题逻辑、谓词逻辑等。
这门学科在哲学、计算机科学、数学、逻辑学等领域具有广泛的应用。
它帮助我们理解数学结构的合理性，以及证明数学定理的可靠性。
2.数理逻辑的应用领域数理逻辑在多个领域具有广泛的应用，如计算机科学中的形式化方法、人工智能、程序验证、逻辑编程等。
此外，数理逻辑还应用于数学中的模型理论、拓扑学、代数几何等分支。
在哲学领域，数理逻辑为知识论、语言哲学、心灵哲学等提供了理论支持。
3.成为数理逻辑博士的要求要想成为一名数理逻辑博士，首先需要具备扎实的数学和逻辑基础。
在本科阶段，可以选择数学、逻辑等专业进行学习。
此外，还需掌握相关领域的知识，如计算机科学、哲学等。
在研究生阶段，可以选择数理逻辑、数学哲学等方向进行深入研究。
在此过程中，要阅读大量经典和前沿的学术论文，培养自己的研究能力和创新精神。
4.数理逻辑博士的职业前景数理逻辑博士在学术界、工业界和政府部门都有广泛的就业前景。
他们可以在高校、研究机构担任教职或研究员，也可以在企业从事研发工作。
此外，他们还可以在政府部门担任顾问或政策制定者，为我国数理逻辑领域的发展提供支持。
5.我国数理逻辑教育与发展我国在数理逻辑领域具有悠久的历史和丰富的成果。
近年来，随着计算机科学、人工智能等领域的快速发展，数理逻辑在国内的研究水平不断提高。
众多高校和研究机构为数理逻辑研究提供了良好的平台。
在国家政策的支持下，我国数理逻辑教育与发展正逐步走向国际化，为培养更多优秀的数理逻辑人才做出贡献。
总之，数理逻辑作为一门跨学科的领域，具有广泛的应用前景和重要的理论价值。
数理逻辑总结
数理逻辑总结数理逻辑总结一、概念数理逻辑（mathematical logic）是一门根据数学的思维模式和方法在表述语言和推理思维上进行分析和作用的逻辑学课程。
它是一门用来研究和分析与计算机科学有关的严谨思维和验证的逻辑学科。
数理逻辑从宏观意义上讲，是指用符号抽象的方法来描述，定义，表示和理解各种基础数学系统的知识，以及这些系统中定理的证明等。
二、历史数理逻辑（mathematical logic）由古典逻辑演化而来，它最早由古希腊的哲学家亚里士多德（Aristotle）创立，但是由于他的古典逻辑只涉及到了辩论中的质问和概括推理，并未涉及到像数学中的严谨性，所以不能科学地处理逻辑问题。
直到二十世纪中期，数理逻辑才发展到其现在的状态。
首先，德国数学家彼得拉多斯（Petr Lusitr）提出了系统性的作为符号逻辑学的主要著作被称为《符号逻辑学》。
随后，德国数学家卡尔·贝尔（Carl Brel）提出了一种新的逻辑秩序，用以把命题逻辑系统中的各个命题放置于命题结构之中，称为贝尔结构，他也提出了用来支持贝尔结构的证明系统。
在二十世纪五十年代，英国数学家霍华德·劳夫（Howard Lawford）引入了前言逻辑系统，并从多种角度改进了古典逻辑，使其变成一种非常完善的数学系统。
三、特点数理逻辑有它独特的特点，其一是抽象性。
数理逻辑采用抽象方法，把问题表达为一系列标准的符号，然后用逻辑证明的方法求解。
抽象的好处是可以把问题简化，可以有效地发现和解决复杂的问题。
其次，数理逻辑有其严谨性。
数理逻辑用符号语言来描述和表达问题，采用公理-定理的方法证明结果，使得结果更加准确可靠。
最后，它有其实用性。
数理逻辑可以被看作是一种被证明准确可靠的结构性思维规范，它可以用于描述，定义，表示，理解多种数学系统，以及证明系统中的定理，实际上也被广泛应用于计算机科学领域，极大地推动了计算机技术的发展。
四、应用数理逻辑在计算机科学中有着重要的应用。
数理逻辑(Mathematical Logic)
数理逻辑（MathematicalLogic）数理逻辑(Mathematical logic)是用数学方法研究诸如推理的有效性、证明的真实性、数学的真理性和计算的可行性等这类现象中的逻辑问题的一门学问。
其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。
数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。
数理逻辑的研究范围是逻辑中可被数学模式化的部分。
以前称为符号逻辑（相对于哲学逻辑），又称元数学，后者的使用现已局限于证明论的某些方面。
历史背景“数理逻辑”的名称由皮亚诺首先给出，又称为符号逻辑。
数理逻辑在本质上依然是亚里士多德的逻辑学，但从记号学的观点来讲，它是用抽象代数来记述的。
某些哲学倾向浓厚的数学家对用符号或代数方法来处理形式逻辑作过一些尝试，比如说莱布尼兹和朗伯（Johann Heinrich Lambert）；但他们的工作鲜为人知，后继无人。
直到19世纪中叶，乔治·布尔和其后的奥古斯都·德·摩根才提出了一种处理逻辑问题的系统性的数学方法（当然不是定量性的）。
亚里士多德以来的传统逻辑得到改革和完成，由此也得到了研究数学基本概念的合适工具。
虽然这并不意味着1900年至1925年间的有关数学基础的争论已有了定论，但这“新”逻辑在很大程度上澄清了有关数学的哲学问题。
在整个20世纪里，逻辑中的大量工作已经集中于逻辑系统的形式化以及在研究逻辑系统的完全性和协调性的问题上。
本身这种逻辑系统的形式化的研究就是采用数学逻辑的方法.传统的逻辑研究（参见逻辑论题列表）较偏重于“论证的形式”，而当代数理逻辑的态度也许可以被总结为对于内容的组合研究。
它同时包括“语法”（例如，从一形式语言把一个文字串传送给一编译器程序，从而转写为机器指令）和“语义”（在模型论中构造特定模型或全部模型的集合）。
数理逻辑的重要著作有戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）的《概念文字》（Begriffsschrift）、伯特兰·罗素的《数学原理》（Principia Mathematica）等。
数学的数理逻辑
数学的数理逻辑数学是人类智慧的结晶，是一门令人又爱又恨的学科。
它的美妙之处不仅在于数学公式、定理的推导，更体现在数理逻辑的严密性和精确性上。
数理逻辑是数学的基石，通过逻辑推理和符号运算，帮助我们理解、表达并解决各种数学问题。
本文将深入探讨数学的数理逻辑及其应用。
一、数理逻辑的基础数理逻辑是研究命题、谓词和推理规则的学科，它通过严谨的符号化方法，纯粹地探讨命题之间的逻辑关系。
数理逻辑的基础是命题逻辑和谓词逻辑。
1. 命题逻辑命题逻辑是研究命题和推理规则的数理逻辑分支。
命题是陈述性句子，要么是真，要么是假。
通过逻辑操作符（如非、与、或、蕴含等），可以对命题进行组合，并推导出新的结论。
命题逻辑是数理逻辑的起点，为其他相关逻辑学科提供了坚实的理论基础。
2. 谓词逻辑谓词逻辑是研究谓词、量词和推理规则的数理逻辑分支。
谓词是陈述性函数，它包含变量和常量，并且可以是真或假的。
通过量词和逻辑操作符，可以对谓词进行组合，从而进行推理。
谓词逻辑拓展了命题逻辑的范畴，并能够更加准确地描述数学问题。
二、数理逻辑的应用数理逻辑在数学的各个领域中都有广泛的应用，从数论到代数、几何，甚至物理、计算机科学等。
1. 数论中的应用在数论中，数理逻辑帮助我们证明数学中的重要定理和猜想。
例如，费马大定理的证明就运用了数理逻辑的方法。
通过命题逻辑和谓词逻辑，可以推导出各种数论命题的真假，并最终得到定理的证明。
2. 代数和几何中的应用在代数和几何中，数理逻辑可以帮助我们构建严密的证明体系，推导各种重要结果。
对于代数方程式和几何问题，数理逻辑提供了切实可行的逻辑推理方法，使我们能够正确地解决问题。
3. 物理和计算机科学中的应用在物理学和计算机科学中，数理逻辑起到了重要的作用。
通过建立逻辑模型，可以对物理现象进行描述和解释。
在计算机科学中，数理逻辑是计算机程序设计和算法研究的基础，它帮助我们确保程序的正确性和有效性。
三、数理逻辑的重要性数理逻辑对于培养人们的逻辑思维能力和分析问题的能力起到了重要的作用。
数理逻辑
数理逻辑又称符号逻辑、理论逻辑。
它是数学的一个分支，是用数学方法研究逻辑或形式逻辑的学科。
其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。
数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。
虽然名称中有逻辑两字，但并不属于单纯逻辑学范畴。
所谓数学方法就是指数学采用的一般方法，包括使用符号和公式，已有的数学成果和方法，特别是使用形式的公理方法。
用数学的方法研究逻辑的系统思想一般追溯到莱布尼茨，他认为经典的传统逻辑必须改造和发展，是之更为精确和便于演算。
后人基本是沿着莱布尼茨的思想进行工作的。
简而言之，数理逻辑就是精确化、数学化的形式逻辑。
它是现代计算机技术的基础。
新的时代将是数学大发展的时代，而数理逻辑在其中将会起到很关键的作用。
逻辑是探索、阐述和确立有效推理原则的学科，最早由古希腊学者亚里士多德创建的。
用数学的方法研究关于推理、证明等问题的学科就叫做数理逻辑。
也叫做符号逻辑。
数理逻辑的产生利用计算的方法来代替人们思维中的逻辑推理过程，这种想法早在十七世纪就有人提出过。
莱布尼茨就曾经设想过能不能创造一种“通用的科学语言”，可以把推理过程象数学一样利用公式来进行计算，从而得出正确的结论。
由于当时的社会条件，他的想法并没有实现。
但是它的思想却是现代数理逻辑部分内容的萌芽，从这个意义上讲，莱布尼茨可以说是数理逻辑的先驱。
1847年，英国数学家布尔发表了《逻辑的数学分析》，建立了“布尔代数”，并创造一套符号系统，利用符号来表示逻辑中的各种概念。
布尔建立了一系列的运算法则，利用代数的方法研究逻辑问题，初步奠定了数理逻辑的基础。
十九世纪末二十世纪初，数理逻辑有了比较大的发展，1884年，德国数学家弗雷格出版了《数论的基础》一书，在书中引入量词的符号，使得数理逻辑的符号系统更加完备。
对建立这门学科做出贡献的，还有美国人皮尔斯，他也在著作中引入了逻辑符号。
从而使现代数理逻辑最基本的理论基础逐步形成，成为一门独立的学科。
(完整版)数理逻辑知识点总结
(完整版)数理逻辑知识点总结什么是数理逻辑？数理逻辑是一门研究命题、命题之间关系以及推理规律的学科。
它运用数学的方法来研究逻辑的基本概念和原理，用符号表示和描述逻辑概念，以及通过推理规则对命题进行推导。
命题与逻辑连接词1. 命题是陈述性语句，例如，“今天是晴天”。
在逻辑中，常用字母p、q、r等表示命题。
2. 逻辑连接词是用来构建复合命题的词语，例如，“与”、“或”、“非”等。
常用的逻辑连接词有：- “与”（合取）：表示两个命题同时为真；- “或”（析取）：表示两个命题中至少有一个为真；- “非”（否定）：表示对命题的否定。
命题逻辑的推理规则1. 合取分配律（并）：(p ∧ q) ∧ r = p ∧ (q ∧ r)2. 析取分配律（或）：(p ∨ q) ∨ r = p ∨ (q ∨ r)3. 合取律（并）：p ∧ p = p4. 析取律（或）：p ∨ p = p5. 否定律：¬(¬p) = p6. De Morgan定律：- ¬(p ∧ q) = ¬p ∨ ¬q- ¬(p ∨ q) = ¬p ∧ ¬q命题的等价性1. 蕴含：p → q 表示当p为真时，q也为真；2. 等价：p ↔ q 表示当p与q同时为真或同时为假时成立。
命题逻辑的证明方法1. 直接证明法：直接证明命题的真假；2. 反证法：假设命题为假，推导出矛盾，得出命题为真；3. 归谬法：假设命题为真，推导出矛盾，得出命题为假；4. 数学归纳法：通过证明基础情形和推导情形的真假来证明命题。
数理逻辑的应用数理逻辑在计算机科学、数学推理、形式语言学和人工智能等领域有广泛的应用。
它能够帮助我们分析问题、进行推理以及验证和证明复杂的命题。
在算法设计、数据库查询优化、自然语言处理等方面发挥着重要作用。
以上是关于数理逻辑的基本知识点总结，希望能对您有所帮助。
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第一章数理逻辑逻辑思维（又称抽象思维）是人运用概念、判断和推理反映事物本质与规律的认识过程（图1.1），它是人类特有的能力，是人类文明延绵不绝、科学技术持续进步的原动力。
具备较强的逻辑思维能力是学习科技知识、进行科学研究、从事技术开发的先决条件。
逻辑思维在信息科学技术领域显得尤为重要，只有具备强大的逻辑思维能力，才能胜任该领域的研究工作，才能胜任大型复杂软件的编写与调试工作。
图1.1. 逻辑思维第一节逻辑学概论逻辑思维是有规律的，逻辑学是专门研究逻辑思维规律性的学科。
本节简述逻辑学的基本内容和发展历史。
1.1. 逻辑思维的基本规律逻辑思维的作用，就是根据一定的前提，通过合理的推导，得到一定的结论。
例1.1．苏格拉底是柏拉图的导师，柏拉图是亚里士多德的导师，因此，苏格拉底是亚里士多德的师爷。
分析：苏格拉底、柏拉图和亚里士多德是人类文明史上著名的哲学家，有着师徒传承关系。
这是一个逻辑思维过程，其作用就是根据‘苏格拉底是柏拉图的导师’和‘柏拉图是亚里士多德的导师’这两个前提，得到‘苏格拉底是亚里士多德的师爷’这个结论。
例1.2. 子非鱼，安知鱼之乐？分析：这是惠子对庄子说的一句话。
可以将这句话改写为‘你不是鱼，所以你不知道鱼的快乐’，这是一个逻辑思维过程，其作用就是根据‘你不是鱼’这个前提，导出‘你不知道鱼的快乐’这个结论。
逻辑学之父亚里士多德总结出了逻辑思维的以下四条基本规律。
表1.1. 逻辑思维的四条基本规律下面来看看不满足这些基本规律的实例。
例1.3. 有个小伙子上了火车，一看座无虚席，就厚着脸皮硬往一位老大爷身边挤座儿。
老大爷不高兴了，说：“小伙子，别硬坐了，座位已经满了。
”小伙子嘻皮笑脸地说：“老大爷，没办法,我买的就是硬坐票。
”分析：这个小伙子在说话时故意把“硬座”变换成“硬坐”，这是偷换概念，违背了同一律。
图1.2. 自相矛盾例1.4．楚国有个卖兵器的人在街上叫卖。
他说：“我的矛是最锋利的，能刺穿任何东西。
”他又说：“我的盾是最坚固的，不能被任何东西刺穿。
”这时，人群中有人问道：“如果用你的矛去戳你的盾，会怎么样呢？”楚人听后哑口无言。
分析：假设楚人说的两句话都是真的，就可以做以下推理：一方面，因为‘楚人的矛能刺穿任何东西’，所以‘楚人的矛能刺穿楚人的盾’；另一方面，因为‘楚人的盾不能被任何东西刺穿’，所以‘楚人的矛不能刺穿楚人的盾’。
这样一来，就得到了两个相互矛盾的结论，根据矛盾律，这两个结论不可能同时为真，因此，楚人的话至少有一句是假的。
例1.5．有个人说：“‘华盛顿是第一任美国总统’是不对的，‘华盛顿不是第一任美国总统’也是不对的。
”分析：‘华盛顿是第一任美国总统’和‘华盛顿不是第一任美国总统’互为否命题。
根据排中律，这两个命题必须有一个是真的。
根据历史知识，第一个命题是真的。
这个人违背了排中律。
例1.6．南宋初年，宰相秦桧诬陷抗金名将岳飞谋反。
虽然秦桧用尽一切卑鄙手段，捏造罪名刑讯逼供，但连一件像样的罪证也找不到。
然而秦桧在宋高宗赵构的支持下，仍然把岳飞问成死罪。
抗金名将韩世忠感到不平，就去质问秦桧：“你们说岳飞造反，有什么确凿证据？”秦桧不敢明确回答，只好含糊其辞地说：“这样的证据‘莫须有’。
”韩世忠听了以后气愤地说：“只凭‘莫须有’这三个字，怎么能使天下人心服！”岳飞最后惨死于风波亭。
图1.3. 风波亭分析：秦桧采用的是‘有罪推定’原则，先假定‘岳飞有罪’，如果找不到岳飞无罪的确凿证据，就不能否认这个假设，因此岳飞有罪。
这样的思维方式违背了充足理由律，不能令人信服。
在我国以前的司法实践中，常年采用‘有罪推定’原则，造成了许多冤假错案。
我国的现代法律则采用了更为合理的‘无罪推定’原则，先假定‘嫌疑人无罪’，如果找不到嫌疑人有罪的确凿证据，就认为嫌疑人无罪。
疑罪从无是司法实践的巨大进步，可以最大限度地减少冤假错案。
按照无罪推定原则，岳飞是无罪的。
1.2．命题、推理和论证从结构来看，逻辑思维是由命题和推理两部分组成的。
命题是在思维过程中有确定真假值的陈述句，它是逻辑思维的基本单元。
在例1.3中，‘华盛顿是第一任美国总统’和‘华盛顿不是第一任美国总统’都是陈述句，前者是真的，后者是假的，因此都是命题。
如果一个命题为真，就用符号1表示；如果一个命题为假，就用符号0表示。
疑问句、祈使句和感叹句等非陈述句虽然可以出现在思维过程中，但要么可以被直接去掉，要么可以被改写为陈述句，而不会影响思维本身。
例1.7. 现象会受到因素什么样的影响呢？如果因素对现象有影响，并且因素对现象的影响不是负面的，那么因素对现象的影响就必然是正面的。
分析：可以将上述思维过程改写为‘如果因素对现象有影响，并且因素对现象的影响不是负面的，那么因素对现象的影响就是正面的。
’由此可见，‘现象会受到因素什么样的影响呢？’这个疑问句不会影响思维本身，可以被去掉。
但疑问句具有重要的辅助作用，有助于提出问题，聚焦问题。
在逻辑思维过程中，所涉及的所有陈述句都必须有确定的真假值，虽然思维者并不一定知道它究竟是真是假。
例1.8. 上帝存在。
分析：上帝要么存在要么不存在，不可能既存在又不存在，因此这句话要么真要么假，有确定的真值。
人类到目前为止，既没有找到上帝存在的确凿证据，也没有找到上帝不存在的确凿证据，因此并不知道这句话究竟是真是假，虽然如此，这并不妨碍这句话成为命题。
现代科学认为，‘上帝存在或者不存在’只是一个信仰问题，而不是一个科学问题。
有一类天生违背排中律的陈述句，既不真也不假，被称为悖论。
悖论不能作为逻辑思维的前提，否则得到的结论就靠不住。
不过在正常的逻辑思维中，所遇到的陈述句基本上都不是悖论，所以不用过分担心悖论。
推理是假设一个或者多个命题（前提）为真，推出另一个命题（结论）为真的思维形式。
例1.9. 因为1x =，所以ln 0x =。
分析：这是从前提‘1x =’为真，推出结论‘ln 0x =’为真的推理。
例1.10. 荷兰在西欧，阿姆斯特丹是荷兰的首都，所以阿姆斯特丹在西欧。
分析：这是从前提“荷兰在西欧”和“阿姆斯特丹是荷兰的首都”为真，推出结论“阿姆斯特丹在西欧”为真的推理。
可以将推理分为以下两类。
演绎推理：如果前提为真，结论就一定为真的推理。
归纳推理：即使前提为真，结论也不一定为真的推理。
例1.11. 任何人都会死。
苏格拉底是人，所以苏格拉底会死。
分析：这是演绎推理，因为从‘任何人都会死’和‘苏格拉底是人’这两个前提为真，一定能够保证‘苏格拉底会死’这个结论为真。
例1.12. 有些人会死。
苏格拉底是人，所以苏格拉底会死。
分析：这是归纳推理，因为从“有些人会死”和“苏格拉底是人”这两个前提为真，不能保证“苏格拉底会死”这个结论为真。
从功能角度来看，逻辑思维就是用某些理由（论据，前提）去支持或反驳某个观点（论点，结论）的过程，因此也被称为论证。
可以将论证分为以下两类。
有效论证：如果论据为真，就能保证论点为真的论证。
无效论证：即使论据为真，也不能保证论点为真的论证。
无效论证有时也被称为归纳论证。
例1.13. 最早的采用图形用户界面的计算机是苹果公司开发的，因而不是IBM公司开发的。
分析：这个论证的论点是‘最早的采用图形用户界面的计算机不是IBM 公司开发的’，论据是‘最早的采用图形用户界面的计算机是苹果公司开发的’，从论据到论点只做了一步推理。
例1.14. 因为x y =，y z =，所以x z =；又因为z w =，所以x w =。
分析：这个论证的结论是“x w =”，前提是‘x y =’、‘y z =’和‘z w =’，从前提到结论做了两步推理，第一步推理是从前提‘x y =’和‘y z =’推得了中间结论‘x z =’，第二步推理是从中间结论‘x z =’和前提‘z w =’推得了论点‘x w =’。
这个论证在复数范围内是有效的。
例1.15. 因为x y ≠，y z ≠，所以x z ≠。
分析：这个论证在复数范围内是无效的。
在数学领域，每个定理都要求已知条件（论据）成立能够保证结论（论点）成立，只有通过有效论证才能证明定理。
因此，基于演绎推理的有效论证是建立数学大厦的主要工具。
例1.16. 如果10010个个体中的某100个个体都具有某种属性，则所有个体都具有这种属性。
这个论证是归纳论证，因为样本没有穷尽总体中的所有个体，即使a b =对所有样本都为真，也不能保证a b =对总体中所有个体都为真。
尽管如此，如果所选取的样本具有代表性，结论还是相当可靠的。
以物理学、化学、生物学等为代表的实验科学的主要研究方法，就是通过对个别情况的实验研究，通过归纳找到一般性规律。
由于实验的数量有限，不可能穷尽所有情况，所发现的规律不能够保证对所有情况都成立，因此这些规律只能被称为定律，不能被称为定理。
随着科学技术的不断进步，需要对某些定律进行修改，建立新的定律。
随着物联网时代和大数据时代的来临，能够获得的样本数据越来越多，结论变得越来越可靠，量变最终导致了质变，人工智能先后在语音识别、图像识别、自然语言理解、语音合成、智能博弈、自动回答问题、自动决策等领域取得了突破性进展，成功超越了人类，迎来了机器智能时代。
1.3．逻辑学的历史历史上，逻辑学经历了三个发展阶段：古典逻辑、布尔代数和数理逻辑。
第一阶段：古典逻辑。
古希腊哲学家亚里士多德发现了逻辑思维的四条基本规律，提出了著名的三段论规则，奠定了古典逻辑的基础。
由于许多推理规则不能用三段论来表达，古典逻辑的适用范围是比较狭窄的。
第二阶段：布尔代数。
德国哲学家莱布尼茨设想将思维约化为符号演算。
英国数学家布尔建立了布尔代数，在一定程度上将思维约化为代数运算，初步实现了莱布尼茨的梦想。
布尔代数只能模拟比较简单的逻辑思维。
第三阶段：数理逻辑。
德国数学家弗雷格建立了数理逻辑，比较成功地将思维约化为逻辑运算，较好地实现了莱布尼茨的梦想。
数理逻辑的宗旨是用数学方法研究逻辑思维的规律。
数理逻辑在计算机科学技术领域有着广泛的应用，从硬件设计、软件设计、软件正确性证明直至人工智能，处处都离不开数理逻辑。
习题1．逻辑学是什么？2．什么是命题？3．什么是演绎推理？什么是归纳推理？4．什么是有效论证？什么是无效论证。
5．数理逻辑的宗旨是什么？名人轶事亚里士多德亚里士多德（公元前384~前322），古希腊伟大的哲学家、科学家和教育家。
他是柏拉图的学生，亚历山大的老师。
公元前335年，他在雅典办了一所叫吕克昂的学校，被称为逍遥学派。
他几乎对每个学科都做出了贡献。
他的写作涉及伦理学、形而上学、心理学、经济学、神学、政治学、修辞学、自然科学、教育学、诗歌、风俗，以及雅典法律。
亚里士多德的著作构建了西方哲学的第一个广泛系统，包含道德、美学、逻辑和科学、政治和玄学。