离散数学作业7答案(数理逻辑部分)

离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。

本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。

要求：将此作业用A4纸打印出来，并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分．作业应手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成后上交任课教师（不收电子稿）．
一、填空题
1．命题公式()
→∨的真值是 1 ．
P Q P
2．设P：他生病了，Q：他出差了．R：我同意他不参加学习.则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为P∨Q→R
．
3．含有三个命题变项P，Q，R的命题公式P∧Q的主析取范式是(P∧Q∧┐R)∨(P∧Q∧R)
．
4．设P(x)：x是人，Q(x)：x去上课，则命题“有人去上课．”可符号化为∃x ( P ( x) ∧Q ( x))．
5．设个体域D＝{a, b},那么谓词公式)
xA∀
∨
x
∃消去量词后的等值式为
yB
(
)
(y
(A(a)∨A(b))∨(B(a) ∧B(b))．
6．设个体域D＝{1, 2, 3}，A(x)为“x大于3”，则谓词公式(∃x)A(x) 的真值为0 ．
7．谓词命题公式(∀x)((A(x)∧B(x)) ∨C(y))中的自由变元为y ．8．谓词命题公式(∀x)(P(x) →Q(x) ∨R(x，y))中的约束变元为x ．
三、公式翻译题
1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式．
解：
设P：今天是天晴
则该语句符号化为P
2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式．
设P：小王去旅游，Q：小李也去旅游
则该语句符号化为P∧Q
3．请将语句“如果明天天下雪，那么我就去滑雪”翻译成命题公式．解：设P：明天天下雪Q：我就去滑雪
则该语句符号化为P→Q
4．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．
解：设P：他去旅游Q：他有时间
则该语句符号化为P→Q
5．请将语句“有人不去工作”翻译成谓词公式．
解：设P(x)：x是人Q(x)：x不去工作
则谓词公式为(∃x)(P(x)∧Q(x))
6．请将语句“所有人都努力工作．”翻译成谓词公式．
解：设P(x)：x是人Q(x)：x努力工作
则谓词公式为(∀x)(P(x)→Q(x))
四、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）
1．命题公式⌝P∧P的真值是1．
不正确，┐P∧P的真值是0，它是一个永假式，命题公式中的否定律就是┐P∧P=F
2．命题公式⌝P∧(P→⌝Q)∨P为永真式．
正确
可以化简┐P∧（P→┐Q）∨P=┐P∧（┐P∨┐Q）∨P=┐P∨P=1，所以它是永真式
当然方法二是用真值表
3．谓词公式))
x
x
yG
xP∀
→
∀是永真式．
→
∃
(x
,
)
y
(
(
xP
)
(
正确
∀x P(x)→(∃y G(x,y)→∀xP(x))
=∀x P(x)→(┐∃y G(x,y)∨∀xP(x))
=∀x P(x)→(∀y(┐G(x,y))∨∀xP(x))
=┐∀x P(x)∨(∀y(┐G(x,y))∨∀xP(x))
=┐∀x P(x)∨∀y(┐G(x,y))∨∀xP(x)
=┐∀x P(x) ∨∀xP(x)∨∀y(┐G(x,y))
=1∨∀y(┐G(x,y))
=1
所以该式是永真式
4．下面的推理是否正确，请给予说明．
(1) (∀x)A(x)→ B(x) 前提引入
(2) A(y) →B(y) US (1)
不正确，(1)中(∀)x的辖域仅是A(x)，而不是A(x) ∧ B(x)
四．计算题
1．求P→Q∨R的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式．解：┐P∨(Q∨R）= ┐P∨Q∨R
所以合取范式和析取范式都是┐P∨Q∨R
所以主合取范式就是┐P∨Q∨R
所以主析取范式就是(⌝P∧⌝Q∧⌝R) ∨(⌝P∧⌝Q∧ R) ∨ (⌝P∧Q∧⌝R) (⌝P∧Q ∧R) ∨(P∧⌝Q∧ R) ∨ (P∧Q∧⌝ R) ∨ (P∧Q∧ R)
2．求命题公式(P∨Q)→(R∨Q) 的主析取范式、主合取范式．
解：(P∨⌝Q)→(R∧Q)= ⌝(P∨⌝Q) ∨ (R∧Q)= (⌝P∧Q) ∨ (R∧Q)
其中(⌝P∧Q)= (⌝P∧Q) ∧ (R∨⌝R)= (⌝P∧Q∧ R) ∨(⌝P∧Q∧⌝R)
其中(R∧Q)= (R∧Q) ∧ (P∨⌝P)= (P∧Q∧ R) ∨ (⌝P∧Q∧ R)
所以原式=(⌝P∧Q∧ R) ∨(⌝P∧Q∧⌝R) ∨ (P∧Q∧ R) ∨ (⌝P∧Q∧ R)
=(⌝P∧Q∧ R) ∨(⌝P∧Q∧⌝R) ∨ (P∧Q∧ R)
= (⌝P∧Q∧⌝R) ∨(⌝P∧Q∧ R) ∨ (P∧Q∧ R)=m2∨m3∨m7这就是主析取范式
所以主合取范式为M0∧ M1∧ M4∧ M5∧ M6
可写为(P∨Q∨R)∧ (P∨Q∨⌝R) ∧ (⌝P∨⌝Q∨R) ∧ (⌝P∨Q∨⌝R) ∧ (⌝P∨⌝Q∨R) 3．设谓词公式()((,)()(,,))()(,)
x P x y z Q y x z y R y z
∃→∀∧∀．（1）试写出量词的辖域；
（2）指出该公式的自由变元和约束变元．
解：(1)量词∃x的辖域为P(x,y) →(∀z)Q(y,x,z)
量词∀z的辖域为Q(y,x,z)
量词∀y的辖域为R(y,x)
(2)P(x,y)中的x是约束变元，y是自由变元
Q(y,x,z)中的x和z是约束变元，y是自由变元
R(y,x)中的x是自由变元，y是约束变元
4．设个体域为D={a1, a2}，求谓词公式∀y∃xP(x,y)消去量词后的等值式；解：∀y∃xP(x,y)= ∃xP(x, a1)∧∃xP(x, a2)
=( P(a1, a1)∨ P(a2, a1))∧( P(a1, a2)∨ P(a1, a2))
五、证明题
1．试证明(P→(Q∨⌝R))∧⌝P∧Q与⌝ (P∨⌝Q)等价．
证：(P→(Q∨⌝R))∧⌝P∧Q⇔(⌝P∨(Q∨⌝R))∧⌝P∧Q
⇔(⌝P∨Q∨⌝R)∧⌝P∧Q
⇔(⌝P∧⌝P∧Q)∨(Q∧⌝P∧Q)∨(⌝R∧⌝P∧Q)
⇔(⌝P∧Q)∨(⌝P∧Q)∨(⌝P∧Q∧⌝R)
⇔⌝P∧Q（吸收律）
⇔⌝(P∨⌝Q) （摩根律）
2．试证明(∃x)(P(x) ∧R(x))⇒(∃x)P(x) ∧ (∃x)R(x)．
证明：
(1) (∃x)(P(x) ∧R(x))P
(2) P(a) ∧R(a)ES(1)
(3) P(a)T(2)
(4) (∃x)P(x) EG(3)
(5) R(a)T(2)
(6) (∃x) R(x)EG(5)
(7) (∃x)(P(x) ∧R(x))T(4)(6)。