离散数学作业7答案(数理逻辑部分)
离散数学第七章部分答案
列各组数中，那些能构成无向图的度数列？那些能构成无向简单图的度数列？（1）1，1，1，2，3（2）2，2，2，2，2（3）3，3，3，3（4）1，2，3，4，5（5）1，3，3，3解答：（1），（2），（3），（5）能构成无向图的度数列。
（1），（2），（3）能构成五项简单图的度数列。
设有向简单图D 的度数列为2，2，3，3，入度列为0，0，2，3，试求D 的出度列。
解：因为 出度=度数-入度，所以出度列为2，2，1，0。
设D 是4阶有向简单图，度数列为3，3，3，3。
它的入度列（或出度列）能为1，1， 1，1吗？解：由定理可知，有向图的总入度=总出度。
该有向图的总入度=1+1+1+1=4,总出度=2+2+2+2=8,4！=8，所以它的出度列（或入度列）不能为1，1，1，1。
35条边，每个顶点的度数至少为3的图最多有几个顶点？解：根据握手定理，所有顶点的度数之和为70，假设每个顶点的度数都为3，则 n 为小于等于370的最大整数，即：２３ ∴ 最多有23个顶点7.7 设n 阶无向简单图G 中，δ（G ）=n-1，问△（G ）应为多少？解： 假设n 阶简单图图n 阶无向完全图，在K n 共有2)1(-n n 条边，各个顶点度数之和为n （n-1）∴每个顶点的度数为nn n )1(-=n-1 ∴△（G ）=δ（G ）=n-1一个n （n ≥２）阶无向简单图Ｇ中，n 为奇数，有r 个奇度数顶点，问Ｇ的补图G 中有几个奇度顶点？解：在K n 图中，每个顶点的度均为（n-1），n 为奇数，在Ｇ中度为奇数的顶点在G 中仍然为奇数，∴共有r 个奇度顶点在G 中７.９ 设Ｄ是n 阶有向简单图，Ｄ’是Ｄ的子图，已知Ｄ’的边数m ’＝n （n-1），问Ｄ的边数m 为多少？解： 在Ｄ’中m ’＝n （n-1） 可见Ｄ’为有个n 阶有向完全图，则Ｄ＝Ｄ’ 即Ｄ’就是Ｄ本身，∴m=n （n-1）有向图D 入图所示。
求D 中长度为4 的通路总数，并指出其中有多少条是回路？又有几条是V3到V4的通路？答: D中长度为四的通路总数：15其中有3条是回路2条是V3到V4的通路评语：此题的结果是对的，但是应该写出求解过程，即：先写出邻接矩阵A，然后求A的四次幂，通过矩阵指出通路或回路的条数。
山东大学离散数学题库及答案(计本)
《离散数学》题库答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)⌝Q=>Q →P (2)⌝Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)⌝P ∧(P ∨Q)=>⌝P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P ∧Q)→(Q →⌝R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q(4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ⌝(P →Q)=>P (6) ⌝P ∧(P ∨Q)=>⌝P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式∀x((A(x)→B(y ，x))∧ ∃z C(y ，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
( )(1) 北京是中华人民共和国的首都。
(2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1） 是，T （2） 是，F （3） 不是（4） 是，T （5） 不是 （6） 不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是()。
答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P ：我生病，Q ：我去学校，则下列命题可符号化为( )。
(1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1） P Q →⌝ （2） Q P ⌝→ （3） Q P ⌝↔ （4）Q P →⌝8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。
(1) ∀x ∃y(x+y=0) (2) ∃y ∀x(x+y=0)答：（1）对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0（2）存在整数y 对任一整数x 满足x+y=09、设全体域D 是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ∀x ∃y (xy=y) ( ) (2) ∃x ∀y(x+y=y) ( )(3) ∃x ∀y(x+y=x) ( ) (4) ∀x ∃y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T10、设谓词P(x)：x 是奇数，Q(x)：x 是偶数，谓词公式 ∃x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?() (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（ ）。
最新离散数学作业7答案
离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。
本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。
要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求本学期第17周末前完成并上交任课教师（不收电子稿）。
并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。
一、填空题1．命题公式()→∨的真值是1或T ．P Q P2．设P：他生病了，Q：他出差了．R：我同意他不参加学习.则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为（P∨Q）→R ．3．含有三个命题变项P，Q，R的命题公式P∧Q的主析取范式是(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧⌝R)．4．设P(x)：x是人，Q(x)：x去上课，则命题“有人去上课．”可符号化为∃x(P(x) ∧Q(x)) ．5．设个体域D＝{a, b},那么谓词公式)∨∃消去量词后的等值式为xA∀yB()(yx(A(a)∨A(b))∨((B(a)∧B(b)) ．6．设个体域D＝{1, 2, 3}，A(x)为“x大于3”，则谓词公式(∃x)A(x) 的真值为0(F) ．7．谓词命题公式(∀x)((A(x)∧B(x)) ∨C(y))中的自由变元为y ．8．谓词命题公式(∀x)(P(x) →Q(x) ∨R(x，y))中的约束变元为x ．三、公式翻译题1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式．设P：今天是晴天。
则P2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式．设P：小王去旅游。
Q：小李去旅游。
则P∧Q3．请将语句“如果明天天下雪，那么我就去滑雪”翻译成命题公式．设P：明天下雪。
离散数学形考任务1-7试题及答案完整版
2017年11月上交的离散数学形考任务一本课程的教学内容分为三个单元，其中第三单元的名称是（A ）．选择一项：A. 数理逻辑B. 集合论C. 图论D. 谓词逻辑题目2答案已保存满分10.00标记题目题干本课程的教学内容按知识点将各种学习资源和学习环节进行了有机组合，其中第2章关系与函数中的第3个知识点的名称是（D ）．选择一项：A. 函数B. 关系的概念及其运算C. 关系的性质与闭包运算D. 几个重要关系题目3答案已保存满分10.00标记题目题干本课程所有教学内容的电视视频讲解集中在VOD点播版块中，VOD点播版块中共有（B）讲．选择一项：A. 18B. 20C. 19D. 17题目4答案已保存满分10.00标记题目题干本课程安排了7次形成性考核作业，第3次形成性考核作业的名称是（ C）．选择一项：A. 集合恒等式与等价关系的判定B. 图论部分书面作业C. 集合论部分书面作业D. 网上学习问答题目5答案已保存满分10.00标记题目题干课程学习平台左侧第1个版块名称是：（C）．选择一项：A. 课程导学B. 课程公告C. 课程信息D. 使用帮助题目6答案已保存满分10.00标记题目题干课程学习平台右侧第5个版块名称是：（D）．选择一项：A. 典型例题B. 视频课堂C. VOD点播D. 常见问题题目7答案已保存满分10.00标记题目题干“教学活动资料”版块是课程学习平台右侧的第（ A ）个版块．选择一项：A. 6B. 7C. 8D. 9题目8答案已保存满分10.00标记题目题干课程学习平台中“课程复习”版块下，放有本课程历年考试试卷的栏目名称是：（D ）．选择一项：A. 复习指导B. 视频C. 课件D. 自测请您按照课程导学与章节导学中安排学习进度、学习目标和学习方法设计自己的学习计划，学习计划应该包括：课程性质和目标（参考教学大纲）、学习内容、考核方式，以及自己的学习安排，字数要求在100—500字．完成后在下列文本框中提交．解答：学习计划学习离散数学任务目标：其一是通过学习离散数学，使学生了解和掌握在后续课程中要直接用到的一些数学概念和基本原理，掌握计算机中常用的科学论证方法，为后续课程的学习奠定一个良好的数学基础；其二是在离散数学的学习过程中，培养自学能力、抽象思维能力和逻辑推理能力，解决实际问题的能力，以提高专业理论水平。
《离散数学》复习题及答案
页眉内容《离散数学》试题及答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式∀x((A(x)→B(y，x))∧∃z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
( )(1)北京是中华人民共和国的首都。
(2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。
答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。
(1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）PP⌝P→⌝↔（4）QQ→⌝（2）QP⌝→（3）Q8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。
(1) ∀x∃y(x+y=0) (2) ∃y∀x(x+y=0)答：（1）对任一整数x存在整数 y满足x+y=0（2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ∀x∃y (xy=y) ( ) (2) ∃x∀y(x+y=y) ( )(3) ∃x∀y(x+y=x) ( ) (4) ∀x∃y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式∃x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( )(1) 自然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。
《离散数学》题库及答案
《失散数学》题库与答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、以下哪些公式为永真包括式？( A )(1) Q=>Q→P (2) Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4) P (P Q)=>P答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（ 4）能够由第二章的包括等值式求出（注意与吸取律差异）2、以下公式中哪些是永真式？()(1)( ┐P Q)→(Q→R) (2)P →(Q→Q) (3)(P Q)→P (4)P→(P Q)答：（ 2），（3），（4）可用包括等值式证明3、设有以下公式，请问哪几个是永真蕴涵式?()(1)P=>P Q (2) P Q=>P (3) P Q=>P Q(4)P (P →Q)=>Q (5)(P→Q)=>P (6)P (P Q)=>P答：（2）是第三章的化简律，（3）近似附加律，（4）是假言推理，（ 3），（5），（6）都可以用包括等值式来证明出是永真包括式4、公式x((A(x)B(y，x))z C(y ，z)) D(x) 中，自由变元是 ( )，拘束变元是 ( )。
答： x,y, x,z（察看定义在公式x A 和 x A 中，称x为指导变元，A为量词的辖域。
在x A 和 x A 的辖域中， x 的所有出现都称为拘束出现，即称x 为拘束变元， A 中不是拘束出现的其他变项则称为自由变元。
于是A(x)、B(y，x)和 z C(y ，z) 中 y 为自由变元， x 和 z 为拘束变元，在 D(x) 中 x 为自由变元）5、判断以下语句可否是命题。
若是，给出命题的真值。
()(1)北京是中华人民共和国的国都。
(2)陕西师大是一座工厂。
(3)你喜欢唱歌吗？(4)若 7+8＞18，则三角形有 4 条边。
(5)前进！(6)给我一杯水吧！答：（1）是，T（2）是，F（3）不是（4）是，T（5）不是（6）不是（命题必定满足是陈述句，不能够是疑问句也许祈使句。
离散数学课后习题答案第七章
第七章 特 殊 图 类习题7.11．解 因 m=n-1,这里m=6,所以n=6+1=7.2．解 不正确。
与平凡图构成的非连通图中有4个结点3条边，但是它不是树。
3K 3．证明 必要性。
因为G 中有n 个结点，边数m=n-1，又因为G 是连通的，由本节定理1可知，G 为树，因而G 中无回路。
再证充分性。
因为G 中无回路，又因为边数m=n-1，由本节定理1，可知G 为树，所以G 是连通的。
4．解 因 m=n-r,这里n=15,r=3,所以m=15-3=12，即G 有12条边。
5．解6个结点的所有不同构的树如图7-1所示。
图7-16．证明 由定理1，在任意的树中，边数),(m n 1−=n m；所以，由握手定理得)1(22)(1−==∑=n m v d ni i①⑴若T 没有树叶，则由于T 是连通图，所以T 中任一结点均有，从而2)(≥i v d n v d ni i2)(1≥∑= ②则①与②矛盾。
⑵若树T 仅有1片树叶，则其余1−n个结点的度数不小于2，于是121)1(2)(1−=+−≥∑=n n v d ni i③从而①、③相矛盾。
综合⑴，⑵得知T 中至少有两片树叶。
7．解 图7-2⑴中共有两棵非同构的生成树（如图7-3⑴，⑵）。
图7-2⑵中共有3棵非同构的生成树（如图7-3⑶，⑷，⑸）。
⑵⑴⑶⑷ ⑸图7-38．解 在图7-4中共有8棵生成树，如图7-5⑴～⑻所示，第i 生成树用表示。
，，，)8,,2,1( =iT i 7)(8=T W 8)()(61==T W T W 6)()(52==T W T W )()(73==T W T W 9)(4=T W 。
其中T 2，T 5是图中的最小生成树。
9．解 最小生成树T 如图7-7所示，W （T ）=18。
a bc da b cda ba bcdabc d⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺ ⑻图7-5图7-4图7-6图7-7习题7.21．解 不一定是。
如图7-8就不是根树.2．解 五个结点可形成3棵非同构的无向树，如图7-9⑴，⑵，⑶所示。
离散数学左孝凌第七章答案
离散数学左孝凌第七章答案离散数学左孝凌第七章答案【篇一：离散数学(左孝凌)课后习题解答(详细)】11. 下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。
⑴中国有四大发明。
⑵计算机有空吗?⑶不存在最大素数。
⑷ 21+3＜5。
⑸老王是山东人或河北人。
⑹ 2与3都是偶数。
⑺小李在宿舍里。
⑻这朵玫瑰花多美丽呀!⑼请勿随地吐痰!⑽圆的面积等于半径的平方乘以?。
⑾只有6是偶数，3才能是2的倍数。
⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。
⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。
解：⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。
2. 将下列复合命题分成若干原子命题。
⑴李辛与李末是兄弟。
⑵因为天气冷，所以我穿了羽绒服。
⑶天正在下雨或湿度很高。
⑷刘英与李进上山。
⑸王强与刘威都学过法语。
⑹如果你不看电影，那么我也不看电影。
⑺我既不看电视也不外出，我在睡觉。
⑻除非天下大雨，否则他不乘班车上班。
解：⑴本命题为原子命题；⑵ p：天气冷；q：我穿羽绒服；⑶ p：天在下雨；q：湿度很高；⑷ p：刘英上山；q：李进上山；⑸ p：王强学过法语；q：刘威学过法语；⑹ p：你看电影；q：我看电影；⑺ p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉；⑻ p：天下大雨；q：他乘班车上班。
3. 将下列命题符号化。
⑴他一面吃饭，一面听音乐。
⑵ 3是素数或2是素数。
⑶若地球上没有树木，则人类不能生存。
⑷ 8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。
⑹四边形abcd是平行四边形当且仅当它的对边平行。
⑺如果a和b是偶数，则a+b是偶数。
解：⑴ p：他吃饭；q：他听音乐；原命题符号化为：p∧q⑵ p：3是素数；q：2是素数；原命题符号化为：p∨q⑶ p：地球上有树木；q：人类能生存；原命题符号化为：?p→?q⑷ p：8是偶数；q：8能被3整除；原命题符号化为：p?q⑸ p：停机；q：语法错误；r：程序错误；原命题符号化为：q∨r→p⑹ p：四边形abcd是平行四边形；q：四边形abcd的对边平行；原命题符号化为：p?q。
大学_《离散数学》课后习题答案
《离散数学》课后习题答案《离散数学》简介1、集合论部分：集合及其运算、二元关系与函数、自然数及自然数集、集合的基数2、图论部分：图的基本概念、欧拉图与哈密顿图、树、图的矩阵表示、平面图、图着色、支配集、覆盖集、独立集与匹配、带权图及其应用3、代数结构部分：代数系统的基本概念、半群与独异点、群、环与域、格与布尔代数4、组合数学部分：组合存在性定理、基本的计数公式、组合计数方法、组合计数定理5、数理逻辑部分：命题逻辑、一阶谓词演算、消解原理离散数学被分成三门课程进行教学，即集合论与图论、代数结构与组合数学、数理逻辑。
教学方式以课堂讲授为主，课后有书面作业、通过学校网络教学平台发布课件并进行师生交流。
《离散数学》学科内容随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地位已经发生了变化，离散数学的重要性逐渐被人们认识。
离散数学课程所传授的思想和方法，广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理，从理论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件，从人工智能到认知系统，无不与离散数学密切相关。
由于数字电子计算机是一个离散结构，它只能处理离散的或离散化了的数量关系，因此，无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域，都面临着如何对离散结构建立相应的数学模型;又如何将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化，从而可由计算机加以处理。
离散数学是传统的逻辑学，集合论(包括函数)，数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系理论，图论与树，抽象代数(包括代数系统，群、环、域等)，布尔代数，计算模型(语言与自动机)等汇集起来的一门综合学科。
离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域。
离散数学也可以说是计算机科学的基础核心学科，在离散数学中的有一个著名的典型例子-四色定理又称四色猜想，这是世界近代三大数学难题之一，它是在1852年，由英国的一名绘图员弗南西斯格思里提出的，他在进行地图着色时，发现了一个现象，“每幅地图都可以仅用四种颜色着色，并且共同边界的国家都可以被着上不同的颜色”。
离散数学 第7章 习题解答
第7章 习题解答7.1 (1),(2),(3),(5)都能构成无向图的度数列,其中除(5)外又都能构成无向简单图的度数列.分析 1° 非负整数列n d d d ,,,21 能构成无向图的度数列当且仅当∑=ni di 1为偶数,即n d d d ,,,21 中的奇数为偶数个.（1）,(2),(3),(5)中分别有4个,0个,4个,4个奇数,所以,它们都能构成无向图的度数列,当然,所对应的无向图很可能是非简单图.而(4)中有3个奇数,因而它不能构成无向图度数列.否则就违背了握手定理的推论.2°(5) 虽然能构成无向图的度数列,但不能构成无向简单度数列.否则,若存在无向简单图G,以1,3,3,3为度数列,不妨设G 中顶点为4321,,,v v v v ,且1)(=i v d ,于是.3)()()(432===v d v d v d 而1v 只能与432,,v v v 之一相邻,设1v 与2v 相邻,这样一来,除2v 能达到3度外, 43,v v 都达不到3度,这是矛盾的.在图7.5所示的4个图中,(1) 以1为度数列,(2)以2为度数列,(3)以3为度数列,(4)以4为度数列(非简单图).7.2 设有几简单图D 以2,2,3,3为度数列,对应的顶点分别为4321,,,v v v v ,由于),()()(_v d v d v d +=+所示,)()()(,202)()(22211v d v d v d v d v d -+-+-==-=-033)()()(,123)()()(,202444333=-=-==-=-==-=-+-+v d v d v d v d v d v d由此可知,D 的出度列为2,2,1,0,且满足∑∑-+=)()(i i v d v d .请读者画出一个有向图.以2,2,3,3为度数列,且以0,0,2,3为入度列,以2,2,1,0为出度列.7.3 D 的入度列不可能为1,1,1,1.否则,必有出度列为2,2,2,2(因为))()()(v d v d v d -++=,)此时,入度列元素之和为4,不等于出度列元素之和8,这违背握手定理.类似地讨论可知,1,1,1,1也不能为D 的出席列.7.4 不能. N 阶无向简单图的最大度.1-≤∆n 而这里的n 个正整数彼此不同,因而这n 个数不能构成无向简单图的度数列,否则所得图的最大度大于n,这与最大度应该小于等于n-1矛盾.7.5 (1) 16个顶点. 图中边数16=m ,设图中的顶点数为n .根据握手定理可知∑====ni i n v d m 12)(322所以,.16=n(2) 13个顶点.图中边数21=m ,设3度顶点个数为x,由握手定理有x m 343422+⨯==由此方程解出10=x .于是图中顶点数.13103=+=n (3) 由握手定理及各顶点度数均相同,寻找方程nk =⨯242的非负整数解,这里不会出现k n ,均为奇数的情况. 其中n 为阶级,即顶点数,k 为度数共可得到下面10种情况.①个顶点,度数为48.此图一定是由一个顶点的24个环构成,当然为非简单图.②2个顶点,每个顶点的度数均为24.这样的图有多种非同构的情况,一定为非简单图.③3个顶点,每个顶点的度数均为16.所地应的图也都是非简单图. ④4个顶点,每个顶点的度数均为12. 所对应的图也都是非简单图. ⑤6个顶点，每个顶点的度数均为8，所对应的图也都是非简单图. ⑥个顶点,每个顶点的度数均为 6.所对应的非同构的图中有简单图,也有非简单图.⑦12个顶点,每个顶点的度数均为 4. 所对应的非同构的图中有简单图,也有非简单图.⑧16个顶点,每个顶点的度数均为3,所对应的非同构的图中有简单图,也有非简单图.⑨24个顶点,每个顶点的度数均为2.所对应的非同构的图中有简单图,也有非简单图.⑩48个顶点,每个顶点的度数均为1,所对应的图是唯一的,即由24个2K 构成的简单图.分析 由于n 阶无向简单图G 中,1)(-≤∆n G ,的以①-⑤所对应的图不可能有简单图.⑥-⑨既有简单图,也有非简单图,读者可以画出若干个非同构的图,而⑩只能为简单图.7.6 设G 为n 阶图,由握手定理可知∑=≥=⨯=ni n v d 113)(35270,所以,.23370=⎥⎦⎥⎢⎣⎢≤n这里, ⎣⎦x 为不大于x 的最大整数,例如⎣⎦⎣⎦.23370,25.2,22=⎥⎦⎥⎢⎣⎢==7.7 由于1)(-=n G δ,说明G 中任何顶点v 的度数1)()(-=≥n G v d δ,可是由于G 为简单图,因而1)(-≤∆n G ,这又使得1)(-≤n v d ,于是1)(-=n v d ,也就是说,G 中每个顶点的度数都是1-n ,因而应有1)(-≤∆n G .于是G 为)1(-n 阶正则图,即G 为n 阶完全图.n K7.8 由G 的补图G 的定义可知,G G 为n K ,由于n 为奇数,所以, n K 中各项顶点的度数1-n 为偶数.对于任意的),(G V v ∈应有),(G V v ∈且1)()(_)(-==n v d v d v d n K G G其中)(v d G 表示v 在G 中的度数, )(v d G 表示v 在G 中的度数.由于1-n 为偶数,所以, )(v d G 与)(v d G 同为奇数或同为偶数,因而若G 有r 个奇度顶点,则G 也有r 个奇度顶点.7.9 由于,'D D ⊆所以,m m ≤'.而n 阶有向简单图中,边数)1(-≤n n m ,所以,应有)1()1('-≤≤=-n n m m n n这就导致)1(-=n n m ,这说明D 为n 阶完全图,且D D ='.7.10 图7.6给出了4K 的18个非同构的子图,其中有11个生成子图(8-18),其中连通的有6个11,12,13,14,16,17).图7.6中,n,m 分别为顶点数和边数.7.11 4K 有11个生成子图,在图7.6中,它们分别如图8-18所示.要判断它们之中哪些是自补图,首先要知道同构图的性质,设1G 与2G 的顶点数和边数.若21G G ≅,则21n n =且21m m =.(8)的补图为4)14(K =,它们的边数不同,所以,不可能同构.因而(8)与(14)均不是自补图类似地,(9)的补图为(13),它们也非同构,因而它们也都不是自补图.(10)与(12)互为补图,它们非同构,因而它们都不是自补图.(15)与(17)互为补图,它们非同构,所以,它们都不是自补图.类似地,(16)与(18)互为补图且非同构,所以,它们也都不是自补图.而(11)与自己的补图同构,所以,(11)是自补图.7.12 3阶有向完全图共有20个非同构的子图,见图7.7所示,其中(5)-(20)为生成子图,生成子图中(8),(13),(16),(19)均为自补图.分析 在图7.7所示的生成子图中, (5)与(11)互为补图,(6)与(10)互为补图,(7)与(9)互为补图,(12)与(14)互为补图,(15)与(17)互为补图,(18)与(20)互为补图,以上互为补图的两个图边数均不相同,所以,它们都不是自补图.而(8),(13),(16),(19)4个图都与自己的补图同构,所以,它们都是自补图.7.13 不能.分析 在同构的意义下,321,,G G G 都中4K 的子图,而且都是成子图.而4K 的两条边的生成子图中,只有两个是非同构的,见图7.6 中(10)与(15)所示.由鸽巢原理可知, 321,,G G G 中至少有两个是同构的,因而它们不可能彼此都非同构.鸽巢原理m 只鸽飞进n 个鸽巢,其中n m ≥,则至少存在一巢飞入至少][nm只鸽子.这里⎡⎤x 表示不小于x 的最小整数.例如, ⎡⎤,22=⎡⎤.35.2=7.14 G 是唯一的,即使G 是简单图也不唯一.分析 由握手定理可知n m 32=,又由给的条件得联立议程组⎩⎨⎧=-=.3232m n n m 解出.9,6==m n 6个顶点,9条边,每个顶点的度数都是3的图有多种非同构的情况,其中有多个非简单图(带平行边或环),有两个非同构的简单图,在图7.8 中(1),(2)给出了这两个非同构的简单图.满足条件的非同构的简单图只有图7.8中,(1),(2)所示的图,(1)与(2)所示的图,(1)与(2)是非同构的.注意在(1)中不存在3个彼此相邻的顶点,而在(2)中存在3个彼此相邻的顶点,因而(1)图与(2)图非同构.下面分析满足条件的简单图只有两个是非同构的.首先注意到(1)中与(2)中图都是6K 的生成子图,并且还有这样的事实,设21,G G 都是n 阶简单图,则21G G ≅当且仅当21G G ≅,其中21,G G 分别为1G 与2G 的补图.满足要求的简单图都是6阶9条边的3正则图,因而它们的补图都为6阶6条边的2正则图(即每个顶点度数都是2).而6K 的所有生成子图中,6条边2正则的非同构的图只有两个,见图7.8中(3),(4)所示的图,其中(3)为(1)的补图,(4)为(2)的补图,满足要求的非同构的简单图只有两个.但满足要求的非同简单图有多个非同构的,读者可自己画出多个来. 7.15 将6K 的顶点标定顺序,讨论1v 所关联的边.由鸽巢原理(见7.13 题),与1v 关联的5条边中至少有3条边颜色相同,不妨设存在3条红色边,见图7.9中(1)所示(用实线表示红色的边)并设它们关联另外3个顶点分别为.,,642v v v 若642,,v v v 构成的3K 中还有红色边,比如边(42,v v )为红色,则421,,v v v 构成的3K 为红色3K ,见图7.9中(2)所示.若642,,v v v 构成的3K 各边都是蓝色(用虚线表示),则642,,v v v 构成的3K 为蓝色的.7.16 在图7.10 所示的3个图中,(1)为强连通图,(2)为单向连通图,但不是强连通的,(3)是弱连通的,不是单向连通的,更不是强连通的.分析 在(1)中任何两个顶点之间都有通路,即任何两个顶点都是相互可达的,因而它是强连能的.(2)中c 不可达任何顶点,因而它不是强连通的,但任两个顶点存在一个顶点可达另外一个顶点,所以,它是单向可达的.(3)中c a ,互相均不可达,因而它不是单向连通的,更不是强连通的.判断有向图的连通性有下面的两个判别法.1°有向图D 是强连通的当且仅当D 中存在经过每个顶点至少一次的回路. 2°有向图D 是单向连通的当且仅当D 中存在经过每个顶点至少一次的通路. (1) 中abcda 为经过每个顶点一次的回路,所以,它是强连能的.(2)中abdc 为经过每个顶点的通路,所以,它是单向连通的,但没有经过每个顶点的回路,所以,它不是强连通的.(3)中无经过每个顶点的回路,也无经过每个顶点的通路,所以,它只能是弱连通的.7.17 'E G -的连通分支一定为2,而'V G -的连通分支数是不确定的. 分析 设'E 为连通图G 的边割集,则'E G -的连通分支数,2)('=-E G p 不可能大于2.否则,比如3)('=-E G p ,则'E G -由3个小图321,,G G G 组成,且'E 中边的两个端点分属于两个不同的小图.设''E 中的边的两个端点一个在1G 中,另一个在2G 中,则'''E E ⊂,易知2)(''=-E G p ,这与'E 为边割集矛盾,所以,2)(''=-E G p .但)('V G p -不是定数,当然它大于等于2,在图7.11中,},{'v u V =为(1)的点割集, ,2)('=-V G p 其中G 为(1)中图. }{''v V =为(2)中图的点割集,且v 为割点, 4)('''=-V G p ,其中'G 为(2)中图.7.18 解此题,只要求出D 的邻接矩阵的前4次幂即可.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000101000010110A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10001001011010112A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=101110101111113A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=101011111121214A D 中长度为4的通路数为4A 中元素之和,等于15,其中对角线上元素之和为3,即D 中长度为3的回路数为3.3v 到4v 的长度为4的通路数等于2)4(34=a .分析 用邻接矩阵的幂求有向图D 中的通路数和回路数应该注意以下几点: 1°这里所谈通路或回路是定义意义下的,不是同构意义下的.比如,不同始点(终点)的回路2° 这里的通路或回路不但有初级的、简单的，还有复杂的.例如,12121,,,,v v v v v 是一条长为4的复杂回路.3° 回路仍然看成是通路的特殊情况.读者可利用32,A A ,求D 中长度为2和3的通路和回路数. 7.19 答案 A:④.分析 G 中有k N 个k 度顶点,有)(k N n -个)1(+k 度顶点,由握手定理可知m N n k Nk v d k kni i2))(1()(1=-++⋅=∑=.2)1(n k n N k -+=⇒ 7.20 答案 A:②; B:③.分析 在图7.12中,图(1)与它的补同构,再没有与图(1)非同构的自补图了,所以非同构的无向的4阶自补图只有1个.图(2)与它的补同构,图(3)与它的补也同构,而图(2)与图(3)不同构,再没有与(2),(3)非同构的自补图了,所以,非同械的5阶自补图有2个.7.21 答案 A:④; B:③; C:④; D:①.分析 (1)中存在经过每个顶点的回路,如.adcba .(2)中存在经过每个顶点的通路,但无回路.(3)中无经过每个顶点至少一次的通路,其实,d b ,两个顶点互不可达.(4)中有经过每个顶点至少一次的通路,但无回路,aedcbd 为经过每个顶点的通路.(5)中存在经过每个顶点至少一次的回路,如.aedbcdba (6)中也存在经过每个顶点的回路,如.baebdcb 由7.16题可知,(1),(5),(6)是强连通的,(1),(2),(4),(5),(6)是单向连能的,(2),(4)是非强连通的单向连通图.注意,强连通图必为单向连通图.6个图中,只有(3)既不是强连通的,也不是连通的,它只是弱连通图.在(3)中,从a 到b 无通路,所以,,,∞>=<b a d 而b 到a 有唯一的通路ba ,所以1,>=<a b d .7.22 答案 A:①; B:⑥㈩ C:②; D:④.分析 用Dijkstra 标号法,将计算机结果列在表7.1中.表中第x 列最后标定b 到x 的最短路径的权为y,且在b 到x 的最短路径上,Z 邻接到x, 即x 的前驱元为Z.由表7.1可知,a 的前驱元为c(即a 邻接到c),c 的前驱元为b,所以,b 到a 的最短路径为bca ,其权为4.类似地计论可知,b 到c 的最短路径为bc,其权为1.b 到d 的最短路径为bcegd ,其权为9.b 到e 的最短路径为bce ,其权为7.表7.17.23 答案 A:⑧; B:⑩ C:③; D:③和④.分析 按求最早、最晚完成时间的公式，先求各顶点的最早完成时间，再求最晚完成时间，最后求缓冲时间。
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离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。
本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。
要求：将此作业用A4纸打印出来，并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分．作业应手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成后上交任课教师（不收电子稿）．
一、填空题
1．命题公式()
→∨的真值是 1 ．
P Q P
2．设P：他生病了，Q：他出差了．R：我同意他不参加学习.则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为P∨Q→R
．
3．含有三个命题变项P，Q，R的命题公式P∧Q的主析取范式是(P∧Q∧┐R)∨(P∧Q∧R)
．
4．设P(x)：x是人，Q(x)：x去上课，则命题“有人去上课．”可符号化为∃x ( P ( x) ∧Q ( x))．
5．设个体域D＝{a, b},那么谓词公式)
xA∀
∨
x
∃消去量词后的等值式为
yB
(
)
(y
(A(a)∨A(b))∨(B(a) ∧B(b))．
6．设个体域D＝{1, 2, 3}，A(x)为“x大于3”，则谓词公式(∃x)A(x) 的真值为0 ．
7．谓词命题公式(∀x)((A(x)∧B(x)) ∨C(y))中的自由变元为y ．8．谓词命题公式(∀x)(P(x) →Q(x) ∨R(x，y))中的约束变元为x ．
三、公式翻译题
1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式．
解：
设P：今天是天晴
则该语句符号化为P
2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式．
设P：小王去旅游，Q：小李也去旅游
则该语句符号化为P∧Q
3．请将语句“如果明天天下雪，那么我就去滑雪”翻译成命题公式．解：设P：明天天下雪Q：我就去滑雪
则该语句符号化为P→Q
4．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．
解：设P：他去旅游Q：他有时间
则该语句符号化为P→Q
5．请将语句“有人不去工作”翻译成谓词公式．
解：设P(x)：x是人Q(x)：x不去工作
则谓词公式为(∃x)(P(x)∧Q(x))
6．请将语句“所有人都努力工作．”翻译成谓词公式．
解：设P(x)：x是人Q(x)：x努力工作
则谓词公式为(∀x)(P(x)→Q(x))
四、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）
1．命题公式⌝P∧P的真值是1．
不正确，┐P∧P的真值是0，它是一个永假式，命题公式中的否定律就是┐P∧P=F
2．命题公式⌝P∧(P→⌝Q)∨P为永真式．
正确
可以化简┐P∧（P→┐Q）∨P=┐P∧（┐P∨┐Q）∨P=┐P∨P=1，所以它是永真式
当然方法二是用真值表
3．谓词公式))
x
x
yG
xP∀
→
∀是永真式．
→
∃
(x
,
)
y
(
(
xP
)
(
正确
∀x P(x)→(∃y G(x,y)→∀xP(x))
=∀x P(x)→(┐∃y G(x,y)∨∀xP(x))
=∀x P(x)→(∀y(┐G(x,y))∨∀xP(x))
=┐∀x P(x)∨(∀y(┐G(x,y))∨∀xP(x))
=┐∀x P(x)∨∀y(┐G(x,y))∨∀xP(x)
=┐∀x P(x) ∨∀xP(x)∨∀y(┐G(x,y))
=1∨∀y(┐G(x,y))
=1
所以该式是永真式
4．下面的推理是否正确，请给予说明．
(1) (∀x)A(x)→ B(x) 前提引入
(2) A(y) →B(y) US (1)
不正确，(1)中(∀)x的辖域仅是A(x)，而不是A(x) ∧ B(x)
四．计算题
1．求P→Q∨R的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式．解：┐P∨(Q∨R）= ┐P∨Q∨R
所以合取范式和析取范式都是┐P∨Q∨R
所以主合取范式就是┐P∨Q∨R
所以主析取范式就是(⌝P∧⌝Q∧⌝R) ∨(⌝P∧⌝Q∧ R) ∨ (⌝P∧Q∧⌝R) (⌝P∧Q ∧R) ∨(P∧⌝Q∧ R) ∨ (P∧Q∧⌝ R) ∨ (P∧Q∧ R)
2．求命题公式(P∨Q)→(R∨Q) 的主析取范式、主合取范式．
解：(P∨⌝Q)→(R∧Q)= ⌝(P∨⌝Q) ∨ (R∧Q)= (⌝P∧Q) ∨ (R∧Q)
其中(⌝P∧Q)= (⌝P∧Q) ∧ (R∨⌝R)= (⌝P∧Q∧ R) ∨(⌝P∧Q∧⌝R)
其中(R∧Q)= (R∧Q) ∧ (P∨⌝P)= (P∧Q∧ R) ∨ (⌝P∧Q∧ R)
所以原式=(⌝P∧Q∧ R) ∨(⌝P∧Q∧⌝R) ∨ (P∧Q∧ R) ∨ (⌝P∧Q∧ R)
=(⌝P∧Q∧ R) ∨(⌝P∧Q∧⌝R) ∨ (P∧Q∧ R)
= (⌝P∧Q∧⌝R) ∨(⌝P∧Q∧ R) ∨ (P∧Q∧ R)=m2∨m3∨m7这就是主析取范式
所以主合取范式为M0∧ M1∧ M4∧ M5∧ M6
可写为(P∨Q∨R)∧ (P∨Q∨⌝R) ∧ (⌝P∨⌝Q∨R) ∧ (⌝P∨Q∨⌝R) ∧ (⌝P∨⌝Q∨R) 3．设谓词公式()((,)()(,,))()(,)
x P x y z Q y x z y R y z
∃→∀∧∀．（1）试写出量词的辖域；
（2）指出该公式的自由变元和约束变元．
解：(1)量词∃x的辖域为P(x,y) →(∀z)Q(y,x,z)
量词∀z的辖域为Q(y,x,z)
量词∀y的辖域为R(y,x)
(2)P(x,y)中的x是约束变元，y是自由变元
Q(y,x,z)中的x和z是约束变元，y是自由变元
R(y,x)中的x是自由变元，y是约束变元
4．设个体域为D={a1, a2}，求谓词公式∀y∃xP(x,y)消去量词后的等值式；解：∀y∃xP(x,y)= ∃xP(x, a1)∧∃xP(x, a2)
=( P(a1, a1)∨ P(a2, a1))∧( P(a1, a2)∨ P(a1, a2))
五、证明题
1．试证明(P→(Q∨⌝R))∧⌝P∧Q与⌝ (P∨⌝Q)等价．
证：(P→(Q∨⌝R))∧⌝P∧Q⇔(⌝P∨(Q∨⌝R))∧⌝P∧Q
⇔(⌝P∨Q∨⌝R)∧⌝P∧Q
⇔(⌝P∧⌝P∧Q)∨(Q∧⌝P∧Q)∨(⌝R∧⌝P∧Q)
⇔(⌝P∧Q)∨(⌝P∧Q)∨(⌝P∧Q∧⌝R)
⇔⌝P∧Q（吸收律）
⇔⌝(P∨⌝Q) （摩根律）
2．试证明(∃x)(P(x) ∧R(x))⇒(∃x)P(x) ∧ (∃x)R(x)．
证明：
(1) (∃x)(P(x) ∧R(x))P
(2) P(a) ∧R(a)ES(1)
(3) P(a)T(2)
(4) (∃x)P(x) EG(3)
(5) R(a)T(2)
(6) (∃x) R(x)EG(5)
(7) (∃x)(P(x) ∧R(x))T(4)(6)。