数理逻辑习题部分解答
数理逻辑练习题及答案-3
命题逻辑的推理1．判断下面推理是否正确。
先将简单命题符号化，再写出前提、结论、推理的形式结构（以蕴涵式的形式给出）和判断过程（至少给出两种判断方法）：（1）若今天是星期一，则明天是星期三；今天是星期一。
所以明天是星期三。
（2）若今天是星期一，则明天是星期二；明天是星期二。
所以今天是星期一。
（3）若今天是星期一，则明天是星期三；明天不是星期三。
所以今天不是星期一。
（4）若今天是星期一，则明天是星期二；今天不是星期一。
所以明天不是星期二。
（5）若今天是星期一，则明天是星期二或星期三。
（6）今天是星期一当且仅当明天是星期三；今天不是星期一。
所以明天不是星期三。
2．构造下面推理的证明：（1）前提：p→(q→r), p, q结论：r∨s（2）前提：p→q, ┐(q∧r), r结论：┐p（3）前提：p→q结论：p→(p∧q)（4）前提：q→p, q s, s t, t∧r结论：p∧q（5）前提：p→r, q→s, p∧q结论：r∧s（6）前提：┐p∨r, ┐q∨s, p∧q结论：t→(r∨s)3．用附加前提法证明下面各推理：（1）前提：p→(q→r), s→p, q结论：s→r（2）前提：(p∨q)→(r∧s), (s∨t)→u结论：p→u4．用归谬法证明下面推理：（1）前提：p→┐q, ┐r∨q, r∧┐s结论：┐p（2）前提：p∨q, p→r, q→s结论：r∨s5．构造下面推理的证明。
（1）如果小王是理科学生，他必学好数学；如果小王不是文科生，他必是理科生；小王没学好数学。
所以，小王是文科生。
（2）明天是晴天，或是雨天；若明天是晴天，我就去看电影；若我看电影，我就不看书。
所以，如果我看书，则明天是雨天。
答案1．设p：今天是星期一，q：明天是星期二，r：明天是星期三。
（1）推理的形式结构为(p→r)∧p→r此形式结构为重言式，即(p→r)∧p r所以推理正确。
（2）推理的形式结构为(p→q)∧q→p此形式结构不是重言式，故推理不正确。
数理逻辑课后习题答案
数理逻辑课后习题答案数理逻辑课后习题答案数理逻辑是一门研究推理和思维的学科，它涉及到数学和哲学的交叉领域。
在学习数理逻辑的过程中，课后习题是巩固知识和提高能力的重要途径。
本文将为你提供一些数理逻辑课后习题的答案，希望能够帮助你更好地理解和应用这门学科。
1. 逻辑符号的运用习题：将以下自然语言句子转化为逻辑符号表示：a) 如果今天下雨，那么我就带伞。
b) 所有猫都喜欢吃鱼。
c) 除非你努力学习，否则你不会成功。
答案：a) p: 今天下雨q: 我带伞逻辑符号表示：p → qb) p: x是猫q: x喜欢吃鱼逻辑符号表示：∀x(p → q)c) p: 你努力学习q: 你成功逻辑符号表示：p → q2. 命题逻辑推理习题：使用命题逻辑进行推理，判断以下论断是否成立：a) 如果今天是周末，那么我会去看电影。
今天是周末，所以我会去看电影。
b) 如果这只猫是黑色的，那么它是一只黑猫。
这只猫是黑色的，所以它是一只黑猫。
答案：a) 论断成立。
根据前提条件，今天是周末，可以推出结论我会去看电影。
b) 论断不成立。
虽然前提条件是这只猫是黑色的，但不能推出结论它是一只黑猫，因为黑色的猫不一定全身都是黑色的。
3. 谓词逻辑推理习题：使用谓词逻辑进行推理，判断以下论断是否成立：a) 所有猫都喜欢吃鱼。
汤姆是一只猫，所以汤姆喜欢吃鱼。
b) 所有学生都喜欢音乐。
小明是学生，所以小明喜欢音乐。
答案：a) 论断成立。
根据前提条件，所有猫都喜欢吃鱼，可以推出结论汤姆喜欢吃鱼。
b) 论断成立。
根据前提条件，所有学生都喜欢音乐，可以推出结论小明喜欢音乐。
4. 范式化和归结习题：使用范式化和归结法解决以下逻辑问题：a) 给定前提条件：p → q, ¬q → r, ¬r。
证明结论：¬p。
答案：首先，根据前提条件，我们可以得到以下逻辑式：1. p → q2. ¬q → r3. ¬r然后，我们可以将逻辑式1和3应用范式化规则，得到新的逻辑式：4. ¬p → ¬q接下来，我们将逻辑式4和逻辑式2应用归结规则，得到新的逻辑式：5. ¬p → r最后，我们将逻辑式5和前提条件的逻辑式3应用归结规则，得到最终的结论：6. ¬p通过范式化和归结法，我们证明了结论¬p成立。
离散数学 练习-第1部分 数理逻辑(解答)
5、下列命题公式为重言式的是（ D ），为矛盾式的是（ C ）
A、(P→Q)⋀Q⋀R
B、(P→P)→Q
C、(Q⋁R)⋀R
D、((P→Q)⋀(Q→R))→(P→R)
6、命题公式 (P→Q) 的主合取范式中含有（ D ）个极大项， 主析取范式中含有（ B ）个极小项 A、0 B、1 C、2 D、3
7、下列式子不正确的是（ D ） A、∃xA(x) ⇔ ∀xA(x) B、∃x(A→B(x)) ⇔ A→∃xB(x) C、∀xA(x) ⇔ ∃xA(x) D、∀x(A(x)→B) ⇔ ∀xA(x)→B
以下方案任选一：①A不去,B不去,C去；②A不去,B去,C不去； ③A去,B不去,C去
9、证明下列谓词公式为永真式
(xF( x) yG( y)) (yG( y) xF( x))
证明：题中的谓词公式为 (P Q) (Q P) 的代换实例
(P Q) (Q P) (P Q) (Q P) (P Q) (P Q) 1 (A A 1)
(P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) m001 m000 m011 m111 m0 m1 m3 m（7 主析取范式） M2 M4 M5 M（6 主合取范式） (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R)
命题“并不是所有汽车都比火车跑得慢”可符号化为（ C ）
命题“说汽车都比火车快是不对的”可符号化为（ C ） A、∃x(F(x)∧∀y(G(y)→H(x,y))) B、∃x∃y(F(x)∧G(y)→H(x,y)) C、∀x∀y(F(x)∧G(y)→H(x,y)) D、∀x(F(x)∧∃y(G(y)→H(x,y)))
数理逻辑练习题及答案
命题逻辑基本概念1．将下列命题符号化。
（1）刘晓月跑得快，跳得高。
（2）老王是山东人或河北人。
（3）因为天气冷，所以我穿了羽绒服。
（4）王欢与李乐组成一个小组。
（5）李辛与李末是兄弟。
（6）王强与刘威都学过法语。
（7）他一面吃饭，一面听音乐。
（8）如果天下大雨，他就乘班车上班。
（9）只有天下大雨，他才乘班车上班。
）除非天下大雨，他才乘班车上班。
10）除非天下大雨，他才乘班车上班。
（10）下雪路滑，他迟到了。
（1111）下雪路滑，他迟到了。
）2与4都是素数，这是不对的。
（1212））“2或4是素数，这是不对的”是不对的。
13）“2（132．将下列命题符号化，并给出各命题的真值：（1）若3＋2＝4，则地球是静止不动的。
（2）若3＋2＝4，则地球是运动不止的。
（3）若地球上没有树木，则人类不能生存。
（4）若地球上没有水，则是无理数。
3．将下列命题符号化，并给出各命题的真值：（1）2＋2＝4当且仅当3＋3＝6。
（2）2＋2＝4的充要条件是3＋3≠6。
（3）2＋2≠4与3＋3＝6互为充要条件。
（4）若2＋2≠4，则3＋3≠6，反之亦然。
2+3=5。
4．设p：2+3=5q：大熊猫产在中国。
r：复旦大学在广州。
求下列复合命题的真值：（1）(pq)→r（2）(r→(p∧q))┐p）┐r→(┐p∨┐q∨r)r)（3）┐r→(┐p∨┐q∨∧q∧┐r)((┐p∨┐q)→r)(p∧（4）(p5．用真值表判断下列公式的类型：）p→(p∨q q∨r)（1）p→(p∨（2）(p→┐q)→┐q）┐(q→r)∧r r（3）┐(q→r)∧（4）(p→q)→(┐q→┐p)（5）(p∧r)(┐p∧┐q)(p∧r)(┐p∧┐q)（6）((p→q)∧(q→r))→(p→r)（7）(p→q)(rs)答案1．（1）p ∧q ，其中，，其中，p p ：刘晓月跑得快，：刘晓月跑得快，q q ：刘晓月跳得高。
（2）p ∨q ，其中，，其中，p p ：老王是山东人，：老王是山东人，q q ：老王是河北人。
数理逻辑习题部分解答
3．将下列命题符号化。
（3）如果公用事业费用增加或者增加基金的要求被否定，那么当且仅当现有计算机设不适用的时候，才需购买一台新计算机；
（5）虽然天气很好，xx还是不来；
（7）停机的原因在于语法错误或程序错误；
解：
（3）设P：
公用事业费用增加；Q：
要求增加基金；
R：
现有计算机设备适用；S：
（3）(x) P(x,y)(z)Q(z)；
（5）(y)(x)(z)(u)(v)P(x, y, z, u, v)。
解：
（1）求前束范式
(x)(P(x)(y)Q(x,y))(x)(P(x)(y)Q(x,y))(x)(y)(P(x)Q(x,y))
求Skolem范式
(x)(P(x)(y)Q(x,y))(x)(y)(P(x)Q(x,y))P(x)Q(x,f(x))
⑥Q
此，6是奇数；
证明：
设P：6是偶数；Q：2整除7；R：5是素数
则上述句子可符号化为：
PQ，RQ，RPI
P
⑥RT，④，⑤，I
⑦RP
⑧RRT，⑥，⑦，I
（3）若今天是星期二，那么我要考计算机科学或经济学；若经济学教授病了，就不考经济学；今天是星期二，并且经济学教授病了。所以，我要考计算机科学；证明：
证明：
设P：
红队第三；Q：
黄队第二；R：
蓝队第四；S：
白队第一。
则上述句子可符号为：
P(QR)，SR，QSR
P
P（附加前提）
T，①，②，I
P
T，③，④，I
P
⑦RT，⑤，⑥，I
⑧SRCP，②，⑦
（2）如果6是偶数，则2不能整除7；或者5不是素数，或者2整除7；5是素数。因①SP
数理逻辑部分参考答案
4．下面的推理是否正确，请给予说明． (1) (x)A(x) B(x) (2) A(y) B(y) 前提引入 US (1)
错误。 因为(1)中(x)的辖域仅是 A(x)，而不是 A(x) B(x)
四．计算题 1． 求 PQR 的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式．
解：由于 P Q R P Q R 析取范式： P Q R 合取范式： P Q R 主析取范式 P Q R P Q R (P 1 1) (1 Q 1) (1 1 R) (P (Q Q) (R R)) (( P P) Q (R R)) (( P P) (Q Q) R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R)
( A(a) A(b)) (B(a) B(b))
．
6．设个体域 D＝{1, 2, 3}，A(x)为“x 大于 3”，则谓词公式(x)A(x) 的真值 为 0 ． 7．谓词命题公式(x)((A(x)B(x)) C(y))中的自由变元为 8． 谓词命题公式(x)(P(x) Q(x) R(x， y))中的约束变元为 y x ． ．
三、公式翻译题 1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式． 设 P：今天是天晴 则该语句符号化为 P 2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式． 设 P：小王去旅游，Q：小李也去旅游 则该语句符号化为 P∧Q
3．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式． 设： P:他去旅游 Q：他有时间 则该语句符号化为 P->Q 4．将语句“41 次列车下午五点开或者六点开．”翻译成命题公式． 设：
数理逻辑考试题及答案
数理逻辑考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个选项不是命题逻辑中的联结词？A. 与B. 或C. 非D. 存在答案：D2. 在布尔代数中，以下哪个表达式是正确的？A. ¬(A∧B) = ¬A∨¬ BB. A∧¬ A = AC. A∨¬ A = 1D. A∧(A∨B) = A答案：C3. 以下哪个命题是真命题？A. 如果今天是星期一，那么明天是星期二。
B. 所有的鸟都会飞。
C. 所有的人都是哲学家。
D. 2+2=5答案：A4. 在命题逻辑中，以下哪个命题的否定是正确的？A. 如果A，则B。
B. A且B。
C. A或B。
D. A当且仅当B。
答案：A5. 以下哪个选项是谓词逻辑中的量词？A. 与B. 或C. 存在D. 非答案：C6. 在谓词逻辑中，以下哪个表达式表示“存在一个x，使得x是学生”？A. ∀x (x 是学生)B. ∃x (x 是学生)C. ¬∃x (x 是学生)D. ¬∀x (x 是学生)答案：B7. 以下哪个选项是模态逻辑中的模态词？A. 与B. 或C. 可能D. 非答案：C8. 在模态逻辑中，以下哪个命题表示“必然P”？A. PB. ¬PC. ◊PD. □P答案：D9. 以下哪个命题是逻辑等价的？A. A∧BB. A∨BC. ¬A∧¬ BD. ¬(A∧¬B)答案：C10. 在逻辑推理中，以下哪个选项是演绎推理？A. 归纳推理B. 演绎推理C. 溯因推理D. 类比推理答案：B二、多项选择题（每题3分，共15分）1. 以下哪些选项是命题逻辑中的有效推理形式？A. 从A∧B，可以推出A。
B. 从A∨B，可以推出A。
C. 从A，可以推出A∨B。
D. 从A∧B，可以推出B。
答案：A, C, D2. 在布尔代数中，以下哪些表达式是等价的？A. A∧(B∨¬A)B. A∨(B∧¬A)C. A∧¬ BD. A∨¬ B答案：A, C3. 以下哪些命题是真命题？A. 如果A则B，且A为真，那么B也为真。
数理逻辑练习题及答案
数理逻辑练习题及答案-4(共4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--一阶逻辑基本概念1．在一阶逻辑中将下面命题符号化，并分别讨论个体域限制为(a),(b)时命题的真值：（1）凡有理数都能被2整除。
（2）有的有理数能被2整除。
其中(a)个体域为有理数集合,(b)个体域为实数集合。
2．在一阶逻辑中将下面命题符号化，并分别讨论个体域限制为(a),(b)时命题的真值：（1）对于任意的x，均有x2-2= (x+)(x-)。
（2）存在x，使得x+5=9。
其中(a)个体域为自然数集合，(b)个体域为实数集合。
3．在一阶逻辑中将下列命题符号化：（1）没有不能表示成分数的有理数。
（2）在北京卖菜的人不全是外地人。
（3）乌鸦都是黑色的。
（4）有的人天天锻炼身体。
4．在一阶逻辑中将下列命题符号化：（1）火车都比轮船快。
（2）有的火车比有的汽车快。
（3）不存在比所有火车都快的汽车。
（4）“凡是汽车就比火车慢”是不对的。
5．给定解释I如下：(a)个体域D I为实数集合R。
(b)D I中特定元素=0。
(c)特定函数(x,y)=x-y，x,y∈D I。
(d)特定谓词(x,y)：x=y，(x,y)：x<y，x,y∈D I。
说明下列公式在I下的含义，并指出各公式的真值：（1）x y(G(x,y)→┐F(x,y))（2）x y(F(f(x,y）,a)→G(x,y))（3）x y(G(x,y)→┐F(f(x,y),a))（4）x y(G(f(x,y),a)→F(x,y))6．给定解释I如下：（a）个体域D=N（N为自然数）。
（b）D中特定元素=2。
（c）D上函数(x,y)=x＋y，(x,y)=x·y。
（d）D上谓词(x,y)：x=y。
说明下列公式在I下的含义，并指出各公式的真值：（1）xF(g(x,a),x)（2）x y(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x))（3）x y z(F(f(x,y),z)（4）xF(f(x,x),g(x,x))7．证明下面公式既不是永真式也不是矛盾式：（1）x(F(x)→y(G(y)∧H(x,y)))（2）x y(F(x)∧G(y)→H(x,y))1．（1）(a)中，xF(x)，其中，F(x)：x能被2整除，真值为0。
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一、命题逻辑
3．将下列命题符号化。
（3）如果公用事业费用增加或者增加基金的要求被否定，那么当且仅当现有计算机设不适用的时候，才需购买一台新计算机；
（5）虽然天气很好，老王还是不来；
（7）停机的原因在于语法错误或程序错误；
解：（3）设P：公用事业费用增加；Q：要求增加基金；
R：现有计算机设备适用；S：购买一台计算机；
则命题可符号化为：()()
P Q R S
∨⌝→⌝↔。
（5）设P：天气很好；Q：老王来；
则命题可符号化为：P Q
∧⌝。
（7）设P：停机的原因在于语法错误；Q：停机的原因在于程序错误。
则命题可符号化为：P Q
∨。
4．设命题P：这个材料很有趣；Q：这些习题很难；R：这门课程使人喜欢。
将下列句子符号化。
（4）这个材料很有趣意味着这些习题很难，反之亦然；
（5）或者这个材料很有趣，或者这些习题很难，并且两者恰具其一。
解：（4）P Q
↔（5）()()
P Q P Q
∧⌝∨⌝∧或者()()
P Q P Q
∨∧⌝∨⌝
12．用基本等价公式的转换方法验证下述论断是否有效。
（1）P→Q,R∧S,┐Q⇒P∧S；
（2）┐(P∧┐Q),┐Q∨R,┐Q⇒┐P；
（3）P,Q→R,R∨S⇒Q→S。
解：（1）()()()(()())()
P Q R S Q P S P Q R S Q P S
→∧∧∧⌝→∧=⌝⌝∨∧∧∧⌝∨∧
()()1
P Q R S Q P S P Q R S
=∧⌝∨⌝∨⌝∨∨∧=∨∨⌝∨⌝≠
（2）(()())()()
P Q Q R Q P P Q Q R Q P
⌝∧⌝∧⌝∨∧⌝→⌝=∧⌝∨∧⌝∨∨⌝
()()()1
P Q Q P P Q P Q
=∧⌝∨∨⌝=∧⌝∨⌝∧⌝=
（3）(()())()()()()
P Q R R S Q S P Q R R S Q S
∧→∧∨→→=⌝∨∧⌝∨⌝∧⌝∨⌝∨
(())()1
P R Q S Q S P R Q S
=⌝∨⌝∧∨⌝∨⌝∨=⌝∨⌝∨⌝∨≠
14．符号化下列论断，并用演绎法验证论断是否正确。
（1）有红、黄、蓝、白四队参加足球联赛。
如果红队第三，则当黄队第二时，蓝队第四；
或者白对不是第一，或者红队第三；事实上，黄队第二。
因此，如果白队第一，那
么蓝队第四；
证明：设P：红队第三；Q：黄队第二；R：蓝队第四；S：白队第一。
则上述句子可符号为：()
P Q R
→→，S R
⌝∨，Q S R
⇒→
①S P
⌝∨
②S
③P
④()
P Q R
→→⑤Q R
→
⑥Q
⑦R
⑧S R
→P
P（附加前提）T，①，②，I P
T，③，④，I P
T，⑤，⑥，I CP，②，⑦
（2）如果6是偶数，则2不能整除7；或者5不是素数，或者2整除7；5是素数。
因
此，6是奇数；
证明：设P：6是偶数；Q：2整除7；R：5是素数则上述句子可符号化为：P Q
→⌝，R Q
⌝∨，R P
⇒⌝
①()P
⌝⌝
②P
③P Q
→⌝④Q
⌝
⑤R Q
⌝∨
⑥R
⌝
⑦R
⑧R R
⌝∧P（附加前提）T，①，E
P
T，②，③，I P
T，④，⑤，I P
T，⑥，⑦，I
（3）若今天是星期二，那么我要考计算机科学或经济学；若经济学教授病了，就不考经济学；今天是星期二，并且经济学教授病了。
所以，我要考计算机科学；
证明：设P：今天是星期二；Q：我要考计算机科学；R：我要考经济学；S：经济学教授病了。
则上述句子可符号化为：()
P Q R
→∨，S R
→⌝，P S
∧Q
⇒
①P S
∧
②S
③S R
→⌝
④R
⌝
⑤()
P Q R
→∨
⑥P
⑦Q R
∨
⑧Q P
T，①，I P
T, ②,③,I P
T, ①,I T, ⑤,⑥,I T, ④,⑦,I
二、谓词逻辑
1．用谓词和量词，将下列命题符号化。
（4）会叫的狗未必会咬人；
（5）每个人的外祖母都是他母亲的母亲；
（6）任何金属均可溶解于某种液体之中；
解：（4）设：D(x)：x是会叫的狗，R(x)：x是会咬人的狗。
则上述句子可符号化为：()(()())
x D x R x
∃∧⌝
（5）设H(x)：x是人，G(x,y)：x是y的外祖母，M(x,y)：x是y的母亲。
则上述句子可符号化为：()()(()()(,)()(()(,)(,)))
x y H x H y G x y z H z M x z M z y
∀∀∧∧→∃∧∧（6）设：P(x)：x是液体，G(x)：x是金属，R(x,y)：x溶解y。
则上述句子可符号化为：()(()()(()(,)))
x G x y P y R y x
∀→∃∧
8．求下述公式的前束范式和Skolem范式。
（1）(∀y) (P(x)→(∃y)Q(x, y))；
（3）(∃x) P(x,y)↔(∀z)Q(z)；
（5）(∃y)(∀x)(∀z)(∃u)(∀v)P(x, y, z, u, v)。
解：（1）求前束范式
()(()()(,))()(()()(,))()()(()(,))
x P x y Q x y x P x y Q x y x y P x Q x y
∀→∃=∀⌝∨∃=∀∃⌝∨
求Skolem范式
()(()()(,))()()(()(,))()(,())
x P x y Q x y x y P x Q x y P x Q x f x
∀→∃=∀∃⌝∨=⌝∨。