【北师大版】九年级数学上册：4.2《平行线分线段成比例》ppt课件
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4.2平行线分线段成比例++课件+2024—2025学年北师大版数学九年级上册
探究新知
如果把直线 n 向左平移到 过A1的位置，并把图中的部分线擦去，
得到新的图形，那么基本事实中的对应线段是否仍然成比例？
A1 ( ) A2
B1
a
B2
b
A1(B1)
A2
B2
A3 m
B3 c n
A3
B3
推论
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。
用几何语言表述为：
A字型
∵DE∥BC， ∴ADDB＝AECE，AADB＝AACE，BADB＝AECC.
基本事实
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
A1 B1
A2
B2
A3
Hale Waihona Puke 三平两斜型a bB3 c
∵ a∥b∥c
∴
A1 A2 B1B2 A1 A3 B1B3
A2 A3 B2 B3 A1 A3 B1B3
例1
如图，AD∥BE ∥CF，直线m,n与这三条平行线分别交于A,B,C和 D,E,F, 已知AB=5，BC=10，DE=4，则EF的长为（ ） A.12.5 B.12 C.8 D.4
课堂小结 平
行 线 分 线 段 成 比 例
三
一个基本事实
个
一个推论
一
一个口诀
两个模型： 三平两斜型 A字型
数形结合 三
个
分类讨论
思
想
由特殊到一般再到特殊
感谢聆听
复习回顾
1.什么叫线段的比？ 2.什么叫成比例线段？ 3.比例的基本性质是什么？
探究新知
平行线分线段成比例
如图所示，小方格的边长都是1，直线 a∥b∥c，分别交
直线 m，n于A1，A2，A3，B1，B2，B3.
九年级北师大版数学上册课件：4.2 平行线分线段成比例(共21张PPT)
AD AE ∴DB＝EC， 又∵AD＝6，DB＝3，AE＝4， 6 4 ∴ ＝EC，解得 EC＝2，故选 B. 3
2．已知，如图，在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是边 BC，CD 上的点，且 EF∥BD，AE，AF 分别交 BD 于点 G 和点 H，BD＝12，EF＝8，求：
DF (1)AB 的值； (2)线段 GH 的长．
CF EF 解：(1)∵EF∥BD，∴CD＝BD， ∵BD＝12，EF＝8， CF 2 ∴CD＝ ， 3 DF 1 ∴CD＝ ， 3 ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB＝CD， DF 1 ∴ AB ＝ ； 3
FH DF 1 (2)∵DF∥AB，∴AH＝ AB ＝ ， 3 AH 3 ∴ AF ＝ ， 4 ∵EF∥BD， GH AH 3 ∴ EF ＝ AF ＝ ， 4 GH 3 ∴ ＝ ，∴GH＝6. 8 4
• 【议一议】 • 如图，l3 ∥l4∥l5，线段AD，AB，DB的对应线 段分别是什么？
线段 AD，AB，DB 的 • 1 ．两条直线被一组平行线所截，所得的线段 成比例．( ) × • 2 ．平行线分线段成比例定理中的对应线段一 定出现在同一条直线上．( )
• 题组A平行线分线段成比例定理的应用 • 1．(2016·湘潭)如图，直线a∥b∥c ，点B是线 段AC的中点，若2 DE＝2，则EF＝ .
• 2．如图，直线a∥b∥c，直线m，n分别交直线 a，b，c于点A，C，E和点B，D，F. • (1)若AC＝6，EC＝4，BD＝8，求线段DF的长； • (2) 若 AE∶EC ＝ 5∶2 ， BD ＝ 5 ， 求 线段 DF 的 长．
解：(1)∵a∥b∥c， BD AC ∴DF＝EC， 8 6 10 即DF＝ ，∴DF＝ . 4 3 (2)∵a∥b∥c，
2．已知，如图，在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是边 BC，CD 上的点，且 EF∥BD，AE，AF 分别交 BD 于点 G 和点 H，BD＝12，EF＝8，求：
DF (1)AB 的值； (2)线段 GH 的长．
CF EF 解：(1)∵EF∥BD，∴CD＝BD， ∵BD＝12，EF＝8， CF 2 ∴CD＝ ， 3 DF 1 ∴CD＝ ， 3 ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB＝CD， DF 1 ∴ AB ＝ ； 3
FH DF 1 (2)∵DF∥AB，∴AH＝ AB ＝ ， 3 AH 3 ∴ AF ＝ ， 4 ∵EF∥BD， GH AH 3 ∴ EF ＝ AF ＝ ， 4 GH 3 ∴ ＝ ，∴GH＝6. 8 4
• 【议一议】 • 如图，l3 ∥l4∥l5，线段AD，AB，DB的对应线 段分别是什么？
线段 AD，AB，DB 的 • 1 ．两条直线被一组平行线所截，所得的线段 成比例．( ) × • 2 ．平行线分线段成比例定理中的对应线段一 定出现在同一条直线上．( )
• 题组A平行线分线段成比例定理的应用 • 1．(2016·湘潭)如图，直线a∥b∥c ，点B是线 段AC的中点，若2 DE＝2，则EF＝ .
• 2．如图，直线a∥b∥c，直线m，n分别交直线 a，b，c于点A，C，E和点B，D，F. • (1)若AC＝6，EC＝4，BD＝8，求线段DF的长； • (2) 若 AE∶EC ＝ 5∶2 ， BD ＝ 5 ， 求 线段 DF 的 长．
解：(1)∵a∥b∥c， BD AC ∴DF＝EC， 8 6 10 即DF＝ ，∴DF＝ . 4 3 (2)∵a∥b∥c，
初中数学北师大版九年级上册《平行线分线段成比例》课件
EM∥BD，AE 与 BD 相交于点 F.求证：BACB＝AEFF.
证明：∵EM∥BD， ∴BBCE＝DCMD ，AEFF＝DAMD ， 而 BD 是 AC 边上的中线， ∴AD＝CD，∴BBCE＝AEFF. 又∵BE＝AB，∴ABCB＝AEFF.
练习2 如图，在△ABC中，若BD∶DC＝CE∶EA＝2∶1，AD和 BE交于F，则AF∶FD＝________．
数学北师大版 九年级上
4.2
平行线分线段 成比例
一、平行线分线段成比例
如图所示，小方格的边长都是1，直线 a∥b∥c，分别交直线
m，n于A1，A2，A3，B1，B2，B3.
A1 B1
a
b
A2
B2
A3
B3 c
m
n
(1) 计算 A1 A2 ，B1B2
A2 A3 B2 B3
，与A1A2 , B1B2
A1 A3 B1B3
EB
5
5
(2) EF/ / BC,
AE AF . AB AC AB 10, AE 6, AF 5,
AC AB • AF 10 5 25 .
AE
6
3
FC AC CF 25 5 10 .
3
3
例题3 如图,△ABC中,DE//BC,EF//CD.
求证:AD是AB和AF的比例中项.
【分析】分别在△ABC及△ADC中利用平行
线分线段成比例定理的推论 证明 在ABC中, DE//BC , AB AC
AD AE
在ADC中, EF//CD, AD AC AF AE
AB AD AD AF ∴AD2=AB AF,即AD是AB和AF的比例中项
F D B
A
E C
证明：∵EM∥BD， ∴BBCE＝DCMD ，AEFF＝DAMD ， 而 BD 是 AC 边上的中线， ∴AD＝CD，∴BBCE＝AEFF. 又∵BE＝AB，∴ABCB＝AEFF.
练习2 如图，在△ABC中，若BD∶DC＝CE∶EA＝2∶1，AD和 BE交于F，则AF∶FD＝________．
数学北师大版 九年级上
4.2
平行线分线段 成比例
一、平行线分线段成比例
如图所示，小方格的边长都是1，直线 a∥b∥c，分别交直线
m，n于A1，A2，A3，B1，B2，B3.
A1 B1
a
b
A2
B2
A3
B3 c
m
n
(1) 计算 A1 A2 ，B1B2
A2 A3 B2 B3
，与A1A2 , B1B2
A1 A3 B1B3
EB
5
5
(2) EF/ / BC,
AE AF . AB AC AB 10, AE 6, AF 5,
AC AB • AF 10 5 25 .
AE
6
3
FC AC CF 25 5 10 .
3
3
例题3 如图,△ABC中,DE//BC,EF//CD.
求证:AD是AB和AF的比例中项.
【分析】分别在△ABC及△ADC中利用平行
线分线段成比例定理的推论 证明 在ABC中, DE//BC , AB AC
AD AE
在ADC中, EF//CD, AD AC AF AE
AB AD AD AF ∴AD2=AB AF,即AD是AB和AF的比例中项
F D B
A
E C
北师大版九年级数学上册教学课件：4.2平行线分线段成比例 (共22张PPT)
(1)求BF和BD的长度. (2)四边形BDEF的周长. 分析:(1)由平行线分线段成比例得出比例式,即可得出结果; (2)先证明四边形BDEF是平行四边形,得出对应边相等,即可得出 结果.
������������ AE,这样,证明������������
=
������������ 就可以转化为证 ������������
知识点一
知识点二
证明: 过 C 作 CE∥AD 交 BA 的延长线于 E, 则∠2=∠3,∠1=∠E.
∵AD 是∠BAC 的平分线,∴∠1=∠2. ∴∠3=∠E.∴AC=AE.
知识点一
知识点二
例 2 请阅读下面材料,并证明:
三角形内角平分线性质定理:三角形的内角平分线分对边所得 的两条线段和这个角的两边对应成比例.如图,在△ABC 中,AD 是∠ BAC 的平分线.求证:
������������ ������������
=
������������ . ������������
������������ ������������
AG=2,GD=1,DF=5,那么 的值等于
.
解析: ∵AG=2,GD=1,∴AD=3,
∵AB∥CD∥EF,∴������������ = ������������ = 5.
答案:5
3
������������
������������
3
知识点一
知识点二
������������ ������������
= ������������,或������������ = ������������等.
������������
������������
������������
初中数学北师大版九年级上册《42平行线分线段成比例》课件PPT
A．12.5
B．12
C．8
D．4
【分析】∵AD∥BE∥CF，∴ABCB＝DEFE， 即150＝E4F，解得 EF＝8.故选 C.
练习1
C
练习2
B
如图，直线a∥b∥ c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可
以得出图中对应成比例的线段，
A1 A2
A3 m
B1
a
B2
b
B3 c n
直线 n 向左平移到 A1 的位置，说说图中有哪些线段成比例？ 把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比
A
E C
练习 1 如图，在△ABC 中，BD 是 AC 边上的中线，BE＝AB，
EM∥BD，AE 与 BD 相交于点 F.求证：BACB＝AEFF.
证明：∵EM∥BD， ∴BBCE＝DCMD ，AEFF＝DAMD ， 而 BD 是 AC 边上的中线， ∴AD＝CD，∴BBCE＝AEFF. 又∵BE＝AB，∴ABCB＝AEFF.
平行线分线段成比例
北师大版初中数学九年级上册课件
新知导入
目
新知讲解
录
知识巩固
拓展练习
PART 01
新知导入
一、平行线分线段成比例
如图所示，小方格的边长都是1，直线 a∥b∥c，分别交直线 m，
n于A1，A2，A3，B1，B2，B3.
A1
B1
a
b
A2
B2
A3
B3 c
m
n
(1) 计算 A1 A2 ，B1B，2 与
B2
a b
B3 c
思考：
(1)如何理解“对应线段”？ (2)平行线分线段成比例基本事实的符号语言如何表示？ (3)“对应线段”成比例都有哪些表达形式？
4.2平行线分线段成比例 课件(共16张PPT) 北师大版数学九年级上册
AF交BC于点D，若BF=3EF，则 =
.
.
（ B）
.
.
点拨：过点E作 //交 BC 于点H,则
=
.
∵BE 是 △ 的中线， ∴ = , ∴ = .
∵ //, = , ∴
=
= , ∴
1 2 1 2
3 .计算
与
的值，你有什么发现？
2 3 2 3
如果不通过测量，我们要将一条长为5厘米的细线分成两部
分，使得这两部分之比为2：3.我们如何运用所学知识解决
这个问题呢？
知识讲解
自主探究
1.请同学们阅读课本82-83页内容.
2.思考并完成课本82页导入的内容中的问题可以得出什么结论？
例2：如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE//AB交
AC于E，如果
= ，那么BD：BC等于（
D
）
A.3:5 B. 5:3 C.8:5 D. 3:8
点拨: ∵ //, ∴
=
=
,∴
=
.
【题型三】平行线分线段成比例与三角形中位线的综合应用
例3：如图，BE是△BC的中线，点F在BE上，延长
平行的直线，用它们截两条直线，然后测量被截
的每段线段的长度，观察并计算是否满足本节课
所学的基本事实.
清楚哪些线段是对应的，切勿写反.
注意：在应用基本事实和推论时，我们需要注意的是：对应线段成比例，一
数学九年级上北师大版4-2平行线分线段成比例课件(15张)
问题2：计算
A 1
A 2
与
BB 12
,
A 1
A 2
与
BB 12
,
A 2
A 3
与
BB 23
的值，
AA BB AA BB A13
你有什么发现？
探究新知
将 l 向下平移到如图的位置，直线m,n与l 的交点分别
2
2
为 A ，B ，问题2中的结论还成立吗？计算试一试。如
2
2
果将 l 平移到其他位置呢？
（2）.如果AB = 10, AE=6，AF = 5 ，那 么FC的长是多少？
B
C
巩固练习2 2、如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC上的点， 且 DE∥BC, （1）如果AD=3.2cm,DB=1.2cm ，AE=2.4cm,那么 EC的长是多少？ （2）如果AB=5cm, AD=3cm，AC=4cm ，那么EC的 长是多少？
23
23
13
13
13
13
明晰结论
推论：平行于三角形一边的直线与其他两
边相交，截得的对应线段成比例。
A
∵DE∥AB
D B
AD AE
上
E
BD CE
下
AD AE
上
AB AC
C
全
BD CE
下
AB AC
全
例题解析
例1、如图，在△ABC中，E、F分别是AB和AC 上的点，且 EF∥BC,
（1）.如果AE = 7, FC = 4 ，那么AF的 长是多少？
B
C
回顾与反思
通过本节课的学习你学会了什么？你是如何获取 这些知识的？
１．通过归纳与猜想，探索“两条直线被一组平行 线所截，所得的对应线段成比例”的基本事实．
北师大版九年级上4.2平行线分线段成比例 (共22张PPT)
L5L4 L1 L2 L3
L5 L4 L1 L2 L3
L4 L5
A
D
L1
B
E
L2
C
F
L3
L4 L5 L1 L2 L3
L5L4 L1 L2 L3
L5 L4 L1 L2 L3
L5 L4 L1 L2
L3
L5 L4 L1 L2
L3
L5
L4
L1
L2
L3
L5
L4
E
D
L1
A
L2
B
C
L3
数学符号语言
北师大版 九年级 上册
4.2平行线分 线段成比例ຫໍສະໝຸດ L4 L5AD
L1
B
E
L2
C
F
L3
三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
定理的符号语言 L4 L5
L1//L2//L3
A
D
L1
B
E
AB
DE
=
C
L2 F
L3
BC EF
(平行线分线段成比例定理)
L4 L5
A
D
L1
B
E
L2
C
F
L3
L4 L5 L1 L2 L3
DE // BC E D
A
AD AE
AB =AC B
C
L5 L4
L5 L4
A
L1
ED
L1
DE
L2
A
L2
B
C L3 B
C
L3
数学符号语言 ∵ DE∥BC
∵
AD AB
=
AE AC
数学符号语言
北师大版九年级数学上册4.2 平行线分线段成比例课件(23张PPT)
DQ QE EN NG GF
B l2 E
M
N
H
G
AP PB BM MH HC
C l3
F
AP PB
DQ QE 2
BM MH HC EN NG GF 3
即 AB DE BC EF
证明（一般）
如果
AB n BC m
DE
， 那么
AB 与
BC
EF
A
相等吗？
D
l1
解：相等.理由如下：我们分别 找出AB的n等分点和BC的m等分点，
A2
A3 m
B2
b
B3 c
基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所截得的对应线段成比例.
若a ∥b∥ c 则
A1.A2 B1B2
A2 A3 B2 B3
A1
B1
A1 A2 B1B2 A1 A3 B1B3
A2 A3 B2 B3
A2
A1 A3 B1B3
A3
B2 b B3 c
A1 A2 A2 A3 B1B2 B2 B3
∴ OC=6.
2.如图，DE∥BC，EF∥DC.求证： AD2＝AF·AB.
分析：要证 AD2＝AF·AB，只需证AF＝AD，由于 AF、AD、AB 在同一条直线上， AD AB
因此上式不能直接用定理证，于是想到用过渡比．
证明：∵DE∥BC，∴AD＝AE.∵EF∥DC，∴AF＝AE，∴AD＝AF ，即 AD2
解: ∵EF∥BC,
∴ AE AF .
EB FC
A
∵AE = 7, EB = 5 , FC = 4.
E
F
AF AE FC 7 4 28. B
EB
55
C
B l2 E
M
N
H
G
AP PB BM MH HC
C l3
F
AP PB
DQ QE 2
BM MH HC EN NG GF 3
即 AB DE BC EF
证明（一般）
如果
AB n BC m
DE
， 那么
AB 与
BC
EF
A
相等吗？
D
l1
解：相等.理由如下：我们分别 找出AB的n等分点和BC的m等分点，
A2
A3 m
B2
b
B3 c
基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所截得的对应线段成比例.
若a ∥b∥ c 则
A1.A2 B1B2
A2 A3 B2 B3
A1
B1
A1 A2 B1B2 A1 A3 B1B3
A2 A3 B2 B3
A2
A1 A3 B1B3
A3
B2 b B3 c
A1 A2 A2 A3 B1B2 B2 B3
∴ OC=6.
2.如图，DE∥BC，EF∥DC.求证： AD2＝AF·AB.
分析：要证 AD2＝AF·AB，只需证AF＝AD，由于 AF、AD、AB 在同一条直线上， AD AB
因此上式不能直接用定理证，于是想到用过渡比．
证明：∵DE∥BC，∴AD＝AE.∵EF∥DC，∴AF＝AE，∴AD＝AF ，即 AD2
解: ∵EF∥BC,
∴ AE AF .
EB FC
A
∵AE = 7, EB = 5 , FC = 4.
E
F
AF AE FC 7 4 28. B
EB
55
C
【北师大版】九年级数学上册：4.2《平行线分线段成比例》ppt课件
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
4. 如图, AB∥GH∥CD, 点 H 在 BC 上, AC 与 BD 交于点 G,AB=2, CD=3, 则 GH 的长为 .
关闭
6 5
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
5. 如图, 已知 D, E, F 是△ABC 三边上的点, DE∥BC, DF∥AC, AE=5 cm, CE=3 cm, BF=2 cm, 则 CF= .
关闭
10 3
cm
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
6. 如图, 直线 AB∥CD∥EF, 若 AC=3, CE=4, 则������������的值是多少?
������������
关闭
3 7
答案
2.平行线分线段成比例
快乐预习感知
1. 两条直线被一组平行线所截, 所得的对应线段成 比例 . 2. 推论:平行于三角形一边的直线与其他两边相交, 截得的对应 线段成 比例 .
Байду номын сангаас
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
1. 如图, 在△ABC 中, 已知 MN∥BC, DN∥MC. 小红同学由此得出了以 ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ 下四个结论:①������������ = ������������ ;②������������ = ������������;③������������ = ������������;④������������ = ������������ .
关闭
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2.平行线分线段成比例
快乐预习感知
1. 两条直线被一组平行线所截, 所得的对应线段成 比例 . 2. 推论:平行于三角形一边的直线与其他两边相交, 截得的对应 线段成 比例 .
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
1. 如图, 在△ABC 中, 已知 MN∥BC, DN∥MC. 小红同学由此得出了以 ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ 下四个结论:①������������ = ������������ ;②������������ = ������������;③������������ = ������������;④������������ = ������������ .
其中正确结论的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4
B
)
关闭
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
2. 如图, 直线 l1 ∥l2 ∥l3 , 另两条直线分别交 l1 ,l2 ,l3 于点 A, B, C 及点 D, E , F , 且 AB=3, DE=4, EF=2, 则( )
A. BC∶DE=1∶2 B. BC∶DE=2∶3 C. BC· DE=8 D. BC· DE=6
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
4. 如图, AB∥GH∥CD, 点 H 在 BC 上, AC 与 BD 交于点 G,AB=2, CD=3, 则 GH 的长为 .
关闭
6 5
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
5. 如图, 已知 D, E, F 是△ABC 三边上的点, DE∥BC, DF∥AC, AE=5 cm, CE=3 cm, BF=2 cm, 则 CF= .
关闭
D
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
3. 如图, 在▱ABCD 中, E 是 AD 上一点, 连接 CE 并延长交 BA 的延长线 于点 F , 则下列结论中错误的是( )
A. ∠AEF=∠DEC B. FA ∶CD=AE∶BC C. FA ∶AB=FE∶EC D. AB=DC
关闭cm
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
6. 如图, 直线 AB∥CD∥EF, 若 AC=3, CE=4, 则������������的值是多少?
������������
关闭
3 7
答案
快乐预习感知
1. 两条直线被一组平行线所截, 所得的对应线段成 比例 . 2. 推论:平行于三角形一边的直线与其他两边相交, 截得的对应 线段成 比例 .
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
1. 如图, 在△ABC 中, 已知 MN∥BC, DN∥MC. 小红同学由此得出了以 ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ 下四个结论:①������������ = ������������ ;②������������ = ������������;③������������ = ������������;④������������ = ������������ .
其中正确结论的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4
B
)
关闭
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
2. 如图, 直线 l1 ∥l2 ∥l3 , 另两条直线分别交 l1 ,l2 ,l3 于点 A, B, C 及点 D, E , F , 且 AB=3, DE=4, EF=2, 则( )
A. BC∶DE=1∶2 B. BC∶DE=2∶3 C. BC· DE=8 D. BC· DE=6
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
4. 如图, AB∥GH∥CD, 点 H 在 BC 上, AC 与 BD 交于点 G,AB=2, CD=3, 则 GH 的长为 .
关闭
6 5
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
5. 如图, 已知 D, E, F 是△ABC 三边上的点, DE∥BC, DF∥AC, AE=5 cm, CE=3 cm, BF=2 cm, 则 CF= .
关闭
D
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
3. 如图, 在▱ABCD 中, E 是 AD 上一点, 连接 CE 并延长交 BA 的延长线 于点 F , 则下列结论中错误的是( )
A. ∠AEF=∠DEC B. FA ∶CD=AE∶BC C. FA ∶AB=FE∶EC D. AB=DC
关闭cm
答案
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6. 如图, 直线 AB∥CD∥EF, 若 AC=3, CE=4, 则������������的值是多少?
������������
关闭
3 7
答案