高中数学导数题型归纳总结
高中数学函数与导数常考题型归纳
高中数学函数与导数常考题型整理归纳题型一 : 利用导数研究函数的性质利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般观察两类题型：(1)谈论函数的单调性、极值、最值，(2) 利用单调性、极值、最值求参数的取值范围.【例 1】已知函数 f ( x) ＝ln x＋ a(1 －x).(1)谈论 f ( x) 的单调性；(2)当 f x有最大值，且最大值大于a－2时，求实数a的取值范围.( )21解(1) f ( x) 的定义域为 (0 ，＋∞ ) ， f ′( x) ＝x－ a.若 a≤0，则 f ′ ( x) ＞0，因此 f ( x) 在 (0 ，＋∞ ) 上单调递加 .1若 a＞0，则当 x∈ 0，a时， f ′( x) ＞0；当x∈1，＋∞ 时， f ′x＜，a()011因此 f ( x) 在 0，a上单调递加，在a，＋∞ 上单调递减 .综上，知当 a≤0时， f ( x) 在(0 ，＋∞ ) 上单调递加；当 a＞0 时， f ( x) 在 0，1上单调递加，在1，＋∞ 上单调递减 .a a(2)由 (1) 知，当 a≤0时， f ( x) 在(0 ，＋∞ ) 上无最大值；1111当 a＞0 时， f ( x) 在 x＝a处获取最大值，最大值为 f a＝ln a＋ a 1－a＝－ ln a＋ a－ 1.因此f1＞a－2等价于lna＋ a－＜a2 1 0.令g( a) ＝ln a＋a－1，则 g( a) 在(0 ，＋∞ ) 上单调递加，g(1) ＝0.于是，当 0＜a＜1 时， g( a) ＜0；当a＞1 时， g( a) ＞ 0.因此，实数 a 的取值范围是 (0 ， 1).【类题通法】 (1) 研究函数的性质平时转变成对函数单调性的谈论，谈论单调性要先求函数定义域，再谈论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性.(2) 由函数的性质求参数的取值范围，平时依照函数的性质获取参数的不等式，再解出参数的范围.若不等式是初等的一次、二次、指数或对数不等式，则能够直接解不等式得参数的取值范围；若不等式是一个不能够直接解出的超越型不等式时，如求解 ln a ＋a －1<0，则需要构造函数来解 .【变式训练】 已知 a ∈ R ，函数 f ( x) ＝ ( － x 2＋ax)e x ( x ∈ R ， e 为自然对数的底数 ).(1) 当 a ＝2 时，求函数 f ( x) 的单调递加区间；(2) 若函数 f ( x) 在 ( － 1，1) 上单调递加，求实数 a 的取值范围 .解 (1) 当 a ＝ 2 时， f ( x) ＝( －x 2＋2x)e x ，因此 f ′(x) ＝ ( － 2x ＋2)e x ＋( － x 2＋2x)e x＝ ( － x 2＋2)e x .令 f ′(x)>0 ，即 ( －x 2＋2)e x >0，由于 e x >0，因此－ x 2＋ 2>0，解得－ 2<x< 2.因此函数 f ( x) 的单调递加区间是 ( － 2， 2).(2) 由于函数 f ( x) 在( －1， 1) 上单调递加，因此 f ′(x) ≥0对 x ∈( － 1，1) 都成立，由于 f ′(x) ＝ ( － 2x ＋a)e x ＋( － x 2＋ax)e x＝－ x 2＋( a －2) x ＋a]e x ，因此－ x 2＋ ( a －2) x ＋ a]e x ≥0 对 x ∈( － 1， 1) 都成立 .由于 e x >0，因此－ x 2＋( a － 2) x ＋a ≥0对 x ∈( － 1， 1) 都成立，x 2＋2x（x ＋1）2－ 1即 a ≥ x ＋1 ＝x ＋11＝ ( x ＋1) －x ＋1对 x ∈( － 1，1) 都成立 .11令 y ＝( x ＋ 1) －x ＋1，则 y ′＝ 1＋（x ＋1）2>0.1因此 y ＝( x ＋1) － x ＋ 1在( －1，1) 上单调递加，因此 y<(1 ＋1) －1 3 3 1＋1 ＝ . 即 a ≥ .223因此实数 a 的取值范围为 a ≥2.题型二 : 利用导数研究函数零点或曲线交点问题函数的零点、方程的根、曲线的交点，这三个问题实质上同属一个问题，它们之间可相互转变，这类问题的观察平时有两类： (1) 谈论函数零点或方程根的个数； (2) 由函数零点或方程的根求参数的取值范围 .m【例 2】设函数 f(x) ＝ ln x ＋x，m∈R.(1)当 m＝e(e 为自然对数的底数 ) 时，求 f ( x) 的极小值；x(2) 谈论函数 g( x) ＝f ′(x) －3零点的个数 .e解(1) 由题设，当 m＝e 时， f ( x) ＝ln x＋x，x－ e定义域为 (0 ，＋∞ ) ，则 f ′(x) ＝x2，由f′(x)＝0，得x＝e.∴当 x∈(0 ， e) ， f ′ ( x) ＜ 0， f ( x) 在 (0 ，e) 上单调递减，当 x∈(e，＋∞ ) ， f ′( x) ＞0，f ( x) 在(e ，＋∞ ) 上单调递加，e∴当 x＝e 时， f ( x) 获取极小值 f (e) ＝ln e ＋e＝2，∴f ( x) 的极小值为 2.x 1 m x(2) 由题设 g( x) ＝ f ′(x) －3＝x－x2－3( x＞0) ，1令g( x) ＝0，得 m＝－ x3＋ x( x＞0).31 3设φ( x) ＝－3x ＋x( x＞0) ，则φ′(x) ＝－ x2＋ 1＝－ ( x－1)( x＋1) ，当x∈(0 ， 1) 时，φ′( x) ＞0，φ ( x) 在(0 ， 1) 上单调递加；当x∈(1 ，＋∞ ) 时，φ′( x) ＜0，φ ( x) 在(1 ，＋∞ ) 上单调递减 .∴x＝ 1 是φ ( x) 的唯一极值点，且是极大值点，因此 x＝1 也是φ ( x) 的最大值点 .2∴ φ( x) 的最大值为φ(1) ＝3.又φ(0) ＝ 0，结合 y＝φ( x) 的图象 ( 如图 ) ，2可知①当 m＞3时，函数 g( x) 无零点；2②当 m＝3时，函数 g( x) 有且只有一个零点；2③当 0＜m＜3时，函数 g( x) 有两个零点；④当 m≤0时，函数 g( x) 有且只有一个零点 .2综上所述，当 m＞3时，函数 g( x) 无零点；2当 m＝3或 m≤0时，函数 g( x) 有且只有一个零点；2当 0＜m＜3时，函数 g( x) 有两个零点 .【类题通法】利用导数研究函数的零点常用两种方法：(1)运用导数研究函数的单调性和极值，利用单调性和极值定位函数图象来解决零点问题；(2)将函数零点问题转变成方程根的问题，利用方程的同解变形转变成两个函数图象的交点问题，利用数形结合来解决 .【变式训练】函数 f ( x) ＝( ax2＋ x)e x，其中 e 是自然对数的底数， a∈R.(1)当 a>0 时，解不等式 f ( x) ≤0；(2)当 a＝0 时，求整数 t 的所有值，使方程 f ( x) ＝ x＋ 2 在 t ，t ＋1] 上有解 .解(1) 由于 e x>0， ( ax2＋x)e x≤ 0.∴ax2＋ x≤0. 又由于 a>0，1因此不等式化为x x＋a≤ 0.1因此不等式 f ( x) ≤0的解集为－a，0 .(2)当 a＝0 时，方程即为 xe x＝x＋2，由于 e x>0，因此 x＝0 不是方程的解，2x因此原方程等价于 e －x－ 1＝0.x2令h( x) ＝e －x－1，x2由于 h′(x) ＝ e ＋x2>0 对于 x∈( －∞， 0) ∪(0 ，＋∞ ) 恒成立，因此 h x 在 －∞， 0) 和 (0，＋∞ )内是单调递加函数，( ) (又 h＝ － ，h2h － ＝－3－1，(1) e 3<0(2) ＝e －2>0， (3)e3<0h －2) ＝－ 2，( e >0因此方程 f x ) ＝x ＋ 有且只有两个实数根且分别在区间， 和－ ，－ 2]上，因此整数 t 的所有值( 21 2] 3为 { － 3， 1}.题型三 : 利用导数研究不等式问题导数在不等式中的应用是高考的热点，常以解答题的形式观察，以中高档题为主，突出转变思想、函数思想的观察，常有的命题角度： (1) 证明简单的不等式； (2) 由不等式恒成立求参数范围问题；(3)不等式恒成立、能成立问题 .【例 3】设函数 f ( x) ＝ e 2x －aln x.(1) 谈论 f ( x) 的导函数 f ′(x) 零点的个数；2 (2) 证明：当 a ＞0 时， f ( x) ≥2a ＋aln .axa(1) 解 f( x) 的定义域为 (0 ，＋∞ ) ， f ′( x) ＝ 2e 2－x ( x ＞0).当 a ≤0时， f ′x ＞ ，f ′ x 没有零点.( )( )2xa当 a ＞0 时，设 u( x) ＝e ， v( x) ＝－ x ，由于 u x ＝ 2x 在 (0 ，＋∞ 上单调递加， v x ＝－ a 在 (0，＋∞ ) 上单调递加，因此f ′(x 在 (0，＋( ) e ) ( ) x)∞) 上单调递加 .a1又 f ′(a) ＞0，当 b 满足 0＜b ＜ 4且 b ＜4时， f ′( b) ＜ 0( 谈论 a ≥1或 a ＜1 来检验 ) ，故当 a ＞0 时， f ′( x) 存在唯一零点 .(2)证明 由 (1) ，可设 f ′(x 在 (0 ，＋∞ 上的唯一零点为 x 0，当 x ∈(0 ， x 0 时， f ′ x ＜ ；) ) ) ( ) 0当 x ∈(x 0 ，＋∞ ) 时， f ′( x) ＞0.故 f ( x) 在(0 ， x 0 ) 上单调递减，在 ( x 0，＋∞ ) 上单调递加，因此当 x ＝ x 0 时， f ( x) 获取最小值，最小值为 f ( x 0 )a由于 2e2x 0－ x 0＝0，因此 f ( x 0 ) ＝ a＋ 2ax 0＋aln 2 2a ≥2a ＋ aln .x 0a22故当 a ＞0 时， f ( x) ≥2a ＋ aln a .【类题通法】 1. 谈论零点个数的答题模板第一步：求函数的定义域；第二步：分类谈论函数的单调性、极值；第三步：依照零点存在性定理，结合函数图象确定各分类情况的零点个数.2. 证明不等式的答题模板第一步：依照不等式合理构造函数；第二步：求函数的最值；第三步：依照最值证明不等式 .【变式训练】 已知函数 f ( x) ＝ax ＋ln x( a ∈R).(1) 若 a ＝2，求曲线 y ＝f ( x) 在 x ＝1 处的切线方程；(2) 求 f ( x) 的单调区间；(3) 设 g( x) ＝x 2－2x ＋2，若对任意 x 1∈ (0 ，＋∞ ) ，均存在 x 2∈0，1] 使得 f ( x 1)< g( x 2) ，求 a 的取值范围 .1解(1) 由已知得 f ′(x) ＝ 2＋ x ( x>0) ，因此 f ′(1) ＝2＋1＝3，因此斜率 k ＝ 3. 又切点为 (1 ， 2) ，所以切线方程为 y － 2＝ 3( x － 1) ，即 3x － y － 1＝ 0，故曲线 y ＝ f ( x) 在 x ＝1 处的切线方程为 3x －y －1＝0.1 ax ＋1(2) f ′(x) ＝ a ＋ x ＝ x ( x>0) ，①当 a ≥0时，由于 x>0，故 ax ＋1>0， f ′ ( x)>0 ，因此 f ( x) 的单调增区间为 (0 ，＋∞ ).1②当 a<0 时，由 f ′(x) ＝0，得 x ＝－ a .11在区间 0，－ a 上， f ′( x )>0 ，在区间 －a ，＋∞ 上， f ′( x)<0 ，因此函数 f ( x) 的单调递加区间为0，－ 1 ，单调递减区间为 1.a － ，＋∞ a(3) 由已知得所求可转变成 f ( x) max <g( x) max ，g( x) ＝( x －1) 2＋1，x ∈0， 1] ，因此 g( x) max＝2，由(2) 知，当 a≥0时， f ( x) 在(0 ，＋∞ ) 上单调递加，值域为 R，故不吻合题意 .a时， f x在 0，－1上单调递加，在1x的极大值即为最大值，当<0－，＋∞ 上单调递减，故 f( )a a( )11是f －a＝－ 1＋ln －a＝－ 1－ln( －a) ，1因此 2>－1－ln( －a) ，解得 a<－e3.。
重难点：导数中的同构问题12大题型(学生版)-高中数学
重难点：导数中的同构问题12大题型一、常见同构模型①对于xf (x)+f(x)>0(<0)，构造h(x)=xf (x)；一般的，对于xf (x)+nf(x)>0(<0)，构造h(x)=x n f(x)．②对于xf (x)-f(x)>0(<0)，构造h x =f xx；一般的，对于xf(x)-nf(x)>0(<0)，构造h(x)=f(x) x n．③对于f (x)-f(x)>0(<0)，构造h x =f xe x；一般的，对于f (x)-nf(x)>0(<0)，构造h(x)=f(x)e nx．④对于f (x)+f(x)>0(<0)，构造h x =e x f x ；一般的，对于f (x)+nf(x)>0(<0)，构造h(x)=e nx f(x)．⑤对于f (x)>f(x)tan x(或f (x)<f(x)tan x)，即f (x)cos x-f(x)sin x>0(<0)，构造h(x)=f(x)cos x．⑥对于f (x)cos x+f(x)sin x>0(<0)，构造h(x)=f(x) cos x．⑦对于f (x)f(x)>0，构造h(x)=ln f(x).⑧对于f (x)+ln af(x)>0(<0)，构造h(x)=a x f(x).⑨对于f (x)ln x+f(x)x>0(<0)，构造h(x)=f(x)ln x.⑩乘积同构模型：(11)商式同构模型：(12)和差同构模型：二、六大超越函数图像表达式图像极值点y=x ln x(x>0)1e,-1ey=xe x-1,-1ey=xln x(e,e)y=e xx1,ey=ln xx (x>0)e,1ey=xe x1,1e三、添项同构乘法同构：ln a ⋅e x ln a >ln x ⇔x ln a ⋅e x ln a >ln x ⋅e ln x ，对变形要求低，找亲戚函数xe x 与x ln x 易实现，但构造的函数xe x 与x ln x 均不是单调函数加法同构：a x >log a x ⇔a x +x >log a x +x =a log ax +log a x ，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围.四、常见结构①a x >log a x ⇒e x ln a>ln x ln a⇒x ln a ⋅e x ln a >x ln x =ln x ⋅e ln x ⇒x ln a >ln x ⇒a >e 1e；②e λx >ln x λ⇒λe λx >ln x ⇒λx ⋅e λx >x ln x ⇒λx ⋅e λx >ln x ⋅e ln x ⇒λx >ln x ⇒λ>1e ；③e ax +ax >ln x +1 +x +1=e ln x +1+ln x +1 ⇒ax >ln x +1④xe x=ex +ln x≥x +ln x +1；x +ln x =ln xe x ≤xe x -1题型归纳题型一：同构训练1.对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．(1)log 2x -k ⋅2kx ≥0(2)e 2λx -1λln x ≥0；(3)x 2ln x -me m x≥0(4)a e ax +1 ≥2x +1xln x (5)a ln x -1 +2x -1 ≥ax +2e x (6)x +a ln x +e -x ≥x a (x >1)(7)e -x -2x -ln x =0(8)x 2e x +ln x =0．题型二：利用f (x )与x 构造2.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x >0时，xf (x )-f (x )x 2>0，且f -2=0，则不等式f (x )x >0的解集是()A.-2,0 ∪0,2B.-∞,-2 ∪2,+∞C.-2,0 ∪2,+∞D.-∞,-2 ∪0,23.已知函数f x 及其导函数f x 的定义域均为R ，且x -1 f x +f x >0,f 2-x =f x e 2x -2，则不等式f ln x e 2<f 2x 的解集是()A.0,e 2B.1,e 2C.e ,e 2D.e 2,+∞4.已知f (x )为偶函数，且f (1)=0，令F (x )=f (x )x2，若x >0时，xf (x )-2f (x )>0，关于x 的不等式F (ln x )<0的解集为()A.x 1e <x <1 或1<x <e B.x 0<x <eC.x 1e <x <eD.x 0<x <1e或x >e 5.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (2)=4，当x >0时，有xf (x )+2f (x )>0，则f (x )>16x2的解集为．题型三：利用f (x )与e x 构造6.已知函数f (x )的定义域为R ，其导函数为f '(x )，对任意x ∈R ，f '(x )>f (x )恒成立，且f (1)=1，则不等式ef (x )>ex 的解集为()A.(1，+∞)B.[1，+∞)C.(-∞，0)D.(-∞，0]7.已知函数f (x )的定义域为R ，其导函数为f '(x )，且满足f (x )>f '(x )对∀x ∈R 恒成立，e 为自然对数的底数，则A.e 2017f (2018)<e 2018f (2017)B.e 2017f (2018)=e 2018f (2017)C.e 2017f (2018)>e 2018f (2017)D.e 2017f (2018)与e 2018f (2017)的大小不能确定8.已知函数f (x )定义域为R ，其导函数为f x ，且3f x -f x >0在R 上恒成立，则下列不等式定成立的是()A.f 1 <e 3f 0B.f 1 <e 2f 0C.f 1 >e 3f 0D.f 1 >e 2f 09.已知函数f (x )是定义域R 上的可导函数，其导函数为f (x )，对于任意的x ∈R ,f (x )<-f (x )恒成立，则以下选项一定正确的是()A.5f (ln5)<2f (ln2)B.6f (ln6)>3f (ln3)C.2f (ln5)>5f (ln2)D. 3f (ln6)<6f (ln3)题型四：函数f (x )与sin x ，cos x 的构造10.已知函数f (x )的定义域为(0,π)，其导函数是f (x )．若f (x )sin x -f (x )cos x >0恒成立，则关于x 的不等式f (x )<2f π6sin x 的解集为()A.0,π6B.π6,πC.-∞,π6D.π6,π211.已知奇函数f x 的定义域为-π2,π2 ，且f ′x 是f x 的导函数，若对任意x ∈-π2,0 ，都有f ′x cos x +f x sin x <0则满足f θ <2cos θ⋅f π3的θ的取值范围是()A.-π2,π3 B.-π2,π3 ∪π3,π2 C.-π3,π3D.π3,π212.已知函数y =f x 对任意的x ∈-π2,π2 满足f (x )cos x -f x sin x >0(其中f x 是函数f x 的导函数)，则下列不等式成立的是()A.f -π3>2f -π4 B.f π3<2f π4 C.2f 0 <f π3D.2f 0 >f π413.(多选)已知函数y =f x 是偶函数，对于任意的x ∈0,π2满足f x cos x +f x sin x >0(其中f x 是函数f x 的导函数)，则下列不等式成立的是()A.2f π3 <f π4 B.3f -π4 >2f -π6C.3f π4 <2f -π6D.f π6<3f -π3题型五：利用同构比大小14.(2024·四川·模拟预测)已知a =ln 32,b =13,c =e -2，则a ,b ,c 的大小关系为()A.a >b >cB.a >c >bC.b >a >cD.b >c >a15.(2023·广东·模拟预测)已知a =tan0.01，b =1-cos0.01，c =0.015，则()A.a >b >cB.c >a >bC.c >b >aD.b >c >a16.(2024·安徽芜湖·模拟预测)已知a =19，b =ln 109，c =(lg11-1)ln9，则a ，b ，c 的大小关系是()A.c <b <aB.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b 17.(2025·全国·模拟预测)已知a =3π，b =e π，c =πe ，则它们的大小关系是()A.a >b >cB.b >c >aC.c >a >bD.a >c >b题型六：化为和差同构模型18.若不等式x m e x +x ≤e mx +mx m x -ln x 恒成立，则实数m 的取值范围是()A.1e +1,+∞ B.1,+∞C.ee -1,+∞ D.e -1,+∞19.函数f x =e mx +m -1 x -ln x m ∈R ．若对任意x >0，都有f x ≥0，则实数m 的取值范围为．20.已知不等式ln x +a ≤e x -a 对∀x ∈1,+∞) 恒成立，则a 的取值范围为.21.已知λ>0，对任意的x >1，不等式e 2λx -ln x2λ≥0恒成立，则λ的取值范围为.题型七：化为乘积，商式同构模型22.若关于x 的不等式e a +x ⋅ln x <x 2+ax 对∀x ∈(0,1)恒成立，则实数a 的取值范围为()A.-∞,0B.-1,0C.-1,+∞D.0,+∞23.设实数a >0，若不等式a e 2ax +1 ≥x +1xln x 对任意x >0恒成立，则a 的最小值为()A.12eB.1eC.eD.2e24.已知函数f x =ax 2ln x -x ln ax 2，若对任意x ∈e -12,1 ，都有f x <0，则a 的取值范围为.25.已知函数f x =e x -e a a +ln x .(1)当a =1时，求f x 的单调递增区间；(2)若f x ≥0恒成立，求a 的取值范围.题型八：添项后构造乘积型同构模型26.若存在正实数x ，使得不等式a ⋅2ax ⋅ln2-ln x ≤0a >0 成立，则a 的最大值为．27.若存在正实数x ，使得不等式1aln x ≥3ax ln3a >0 成立(e 是自然对数的底数)，则a 的最大值为.28.已知正数x ,y 满足y ln x +y ln y =e x ，则xy -2x 的最小值为．29.已知正数x ，y 满足y ln x +y ln y =e x ，则函数f x =xy sin x +cos x (0<x ≤2024π)的极小值点的个数为．题型九：添项后构造和差型同构模型30.已知不等式e x ≥a a x -1eln a >0 恒成立,则实数a 的最大值为31.已知不等式x +a ln ≤e x -a 对∀x ∈1,+∞ 恒成立，则a 的取值范围为．32.已知ae ax -ln x +2a-2≥0在-2a ,+∞ 上恒成立，则实数a 的取值范围．题型十：同构后再换元构造新函数33.已知f (x )=axe 2x a ∈R ，若关于x 的f (x )-2x -x ln ≥0恒成立，求实数a 的取值范围.34.已知函数f (x )=2x -a x ln ，若函数f (x )≥a +2 x -xe x 恒成立，求实数a 的取值范围．35.已知函数f (x )=x ln -x -xe -x -k 恒有零点，则实数k 的取值范围是()A.-∞,-1B.-∞,-1-1eC.-1-1e,-1 D.-1-1e ,0方法1：同构要使f (x )=x ln -x -xe -x -k 恒有零点，只需k =x ln -x -xe -x =x ln -x -e xln e -x设x ln -x =t ，求导可知t ∈-∞,-1而k =t -e t ，求导可知函数k =t -e t 在-∞,-1 上单调递增，故k ∈-∞,1-1e方法2：分参求导k =x ln -x -xe -x ，令g (x )=x ln -x -xe -x ，则g (x )=1x -1-e -x +xe -x =1-x 1x -1ex∵1x -1ex >0故g (x )=x ln -x -xe -x 在0,1 递增，1,+∞ 递减，故g (x )max =g (1)=-1-1e，故选B .注：由常见不等式e x ≥x +1得到，即e x -x >01x -1ex >0；或者令h (x )=1x -1e x =e x -x xe x，h (x )=e x -1x 2e 2x ，因为x >0,故h (x )>0方法3：直接求导(可以消掉k )f(x )=1x -1+x e x -1e x =-xe x +e x +x 2-x xe x =x -1 x -e xxe x，不难得出x -e x 在0,+∞ 上恒小于0，故f (x )在0,1 上单调递增，在1,+∞ 上递减，故f (x )max =f (1)=-1-1e -k ，当x 0时，f (x ) -∞，故f (x )的值域为-∞,-1-1e -k ，则-1-1e -k ≥0 k ≤-1-1e .题型十一：同构后放缩36.已知函数f (x )=m ln (x +1)-mx ，若不等式f (x )>x +1-e x 在0,+∞ 上恒成立，则实数m 的取值范围是.37.已知a >b >1，若e a +be a =ae b +1+a ，则A.ln (a +b )>1 B.ln (a -b )<0 C.3a +3-b <23 D.3a -1<3b【答案】A总结：一般都是去括号，这题反过来，可能一下子看不出来，后续计算量很小第一步，提公因式：e a +be a =ae b +1+a ⇒b +1 e a =a e b +1+1第二步，局部同构：b +1 e a =a e b +1+1 ⇒b +1e b +1+1=ae a 第三步，构造函数：令g (x )=x e x ，易知g (x )在1,+∞ ↓，则有g (b +1)=b +1e b +1>b +1e b +1+1=ae a ，故g (b +1)>g (a )⇒b +1<a ，则A 正确38.若正实数a ，b 满足a ln b -ln a +a ≥be a -1，则1ab的最小值为．题型十二：局部同构39.已知函数f(x)=ax+ln x+1-xe2x对任意的x>0，f(x)≤0恒成立，则实数a的取值范围为()A.(-∞，0]B.(-∞，2]C.(-∞，1]D.(-∞，3]40.若当x∈0,π2时，关于x的不等式e x-x cos x+cos x lncos x+ax2≥1恒成立，则满足条件的a的最小整数为()A.1B.2C.3D.441.已知关于x的不等式e x-1+a>a ln ax-2a(a>0)恒成立，则实数a的取值范围为.巩固提升1.(2024·山东潍坊·三模)已知函数f x 的导函数为f x ，且f1 =e，当x>0时，f x <1x+e x，则不等式f x -ln xe x>1的解集为()A.0,1B.0,+∞C.(1,+∞)D.0,1∪1,+∞2.(2024·重庆沙坪坝·二模)已知a=1e，b=ln33，c=ln55，则a，b，c的大小关系为()A.b<c<aB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b3.(2024沈阳市一模)设定义域为R的函数f x 满足f x >f x ，则不等式e x-1f x <f2x-1的解集为()A.-∞,eB.-∞,1C.e,+∞D.1,+∞4.(2024·广东佛山·模拟预测)已知函数f x 及其导函数f x 的定义域均为0,+∞,f2 =-1，且f x + xf x =1对于x∈0,+∞恒成立，则()A.f1 =0B.f3 =0C.f4 =0D.f6 =05.(2024陕西省宝鸡市二模)已知函数f x 的定义域为-3,3，其导函数为f x ，对任意x∈R,f x > f x 恒成立，且f1 =1，则不等式ef x >e x的解集为()A.1,3B.1,+∞C.-3,1D.-1,16.(2024·广西柳州·一模)已知f x 是定义在0,π上的函数f x 的导函数，有f x cos x>f x sin x，若a=fπ3，b=0，c=-3f5π6 ，则a，b，c的大小关系是()A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b7.(2023·河南信阳·一模)已知函数y=f(x)对x∈(0,π)均满足f (x)sin x-f(x)cos x=1x-1，其中f (x)是f(x)的导数，则下列不等式恒成立的是()A.2fπ6<fπ4 B.fπ3 <32fπ2 C.fπ3 <f2π3 D.32fπ2 <f2π38.(多选)(2024·湖南长沙·三模)设函数f(x)在R上存在导函数f (x)，对任意的x∈R有f(x)+f(-x)= x2，且在[0,+∞)上f (x)>x，若f(2-a)+2a>f(a)+2，则实数a的可能取值为()A.-1B.0C.1D.29.(多选)(2024·湖北·二模)已知x>y>0，则下列不等式正确的有()A.e x-e y>x-yB.ln x-ln y>x-yC.ln x≥1-1x D.e xy>eyx10.(多选)(2023·河北保定·三模)已知2n-1⋅ln1+lg2023>lg2023⋅ln2+ln n，满足条件的正整数n 的值有()A.2B.3C.4D.511.(多选)(2024·贵州遵义·三模)已知定义在0,+∞上的函数f x 的导函数为f x ，且不等式xf x + 2f x >2恒成立，则()A.4f1 -f12>3 B.4f2 -f1 <3 C.9f3 -4f2 >3 D.16f2 -f12 >15 12.(2024·湖南·三模)已知e是自然对数的底数．若∀x∈0,+∞，me mx≥ln x成立，则实数m的最小值是．13.(2024·云南·模拟预测)已知f x 是定义域为0,π2的函数f x 的导函数，且f x sin x+f x cos x<0，则不等式f x sin x>12fπ6的解集为．14.(2024高三第二次模拟考试数学(理)试题)定义在R上的偶函数f x 的导函数满足f x <f x ，且f x ⋅f x+3=e2，若f2015=e，则不等式f x <e x的解集为．15.(2024·广东东莞·三模)若a=2,b=e1e,c=π1π，则a,b,c的大小关系为 ．16.(2024·广东深圳·一模)已知定义在0,+∞上的函数f x =x⋅e ax.(1)若a∈R，讨论f x 的单调性；(2)若a>0，且当x∈0,+∞时，不等式e axx2a≥ln x ax恒成立，求实数a的取值范围.走进高考1.(2022·全国·高考真题)设a=0.1e0.1,b=19，c=-ln0.9，则()A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b2.(2021·全国·高考真题)设a=2ln1.01，b=ln1.02，c= 1.04-1．则()A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b3.(2007·陕西·高考真题)f x 是定义在(0,+∞)上的非负可导函数，且满足xf′x +f x ≤0．对任意正数a，b，若a<b，则必有()A.af b ≤bf aB.bf a ≤af bC.af a ≤f bD.bf b ≤f a4.(2023·全国·高考真题)已知函数f x =ax-sin xcos2x ,x∈0,π2．(1)当a=1时，讨论f x 的单调性；(2)若f x +sin x<0，求a的取值范围．5.(2023·天津·高考真题)已知函数f x =1x +1 2ln x+1．(1)求曲线y=f x 在x=2处的切线斜率；(2)求证：当x>0时，f x >1；(3)证明：56<ln n!-n+12ln n+n≤1．6.(2021·全国·高考真题)已知函数f x =x1-xln.(1)讨论f x 的单调性；(2)设a，b为两个不相等的正数，且b aln-a bln=a-b，证明：2<1a +1b<e.。
高中数学导数知识点归纳的总结及例题(word文档物超所值)
为函数
_____ _ 的图象的顶点在第四象限，则其导
o
y
x
-33
)
(x
f
y'
=
()y f x ='()f x 为( )
（安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测文科）函数()y f x =的图像如下右)
(x f y '=
（2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某
一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）
象大致形状是（ ）
2009湖南卷文）若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数
()x 在区间[,]a b 上的图象可能是
y
y
y
14.（2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),
y=g(x)的图象可能是（ ）
15.(2008珠海一模文、理)设是函数的导函数，将和的图)('x f )(x f )(x f y =)('x f y =像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．16.(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数
)(x f y =的导函数)(x f y '=的图像如下，则（
）
函数)(x f 有1个极大值点，1个极小值点
y。
高中数学导数知识点归纳总结
范围是（ ）
A．
3 2e
,1
B．
3 2e
,
3 4
【解析】方法一：分离函数---数形结合法
C．
3 2e
,
3 4
D．
3 2e
,1
-7-
巧辨“任意性问题”与“存在性问题” 一．方法综述
注意：当 x=x0 时，函数有极值 f/(x0)＝0。但是，f/(x0)＝0 不能得到当 x=x0 时，函数有极值；
判断极值，还需结合函数的单调性说明。
题型一、求极值与最值
题型二、导数的极值与最值的应用
题型四、导数图象与原函数图象关系
导函数
原函数
f '(x) 的符号
f (x) 单调性
f '(x) 与 x 轴的交点且交点两侧异号
（2）分离参数：将含参不等式转化为转化为 f (x) a; f (x) a ，进而研究直线 y a与y f (x) 图像位
置关系，寻找临界状态，求参数的范围。
（3）分离函数：通过变形将不等式转化为形如（ f (x) 或 g(x); f (x) 或 g(x) 的形式，参数通常
在直线形式的函数里），进而研究两个函数图像的位置关系，寻找临界状态，求解参数的范围。 （4）特殊点法：根据图形从特殊点的值入手求参数范围。 【典例分析】
(3)下结论
① f '(x) 0 f (x) 该区间内为增函数； ② f '(x) 0 f (x) 该区间内为减函数；
题型二、利用导数求单调区间
求函数 y f (x) 单调区间的步骤为： （1）分析 y f (x) 的定义域； （2）求导数 y f (x) （3）解不等式 f (x) 0 ，解集在定义域内的部分为增区间 （4）解不等式 f (x) 0 ，解集在定义域内的部分为减区间
高中导数题所有题型及解题方法
高中导数题所有题型及解题方法一、导数的概念1.1 导数的定义•导数的定义公式：f′(x)=limℎ→0f(x+ℎ)−f(x)ℎ•导数表示函数在某一点的变化率1.2 导数的几何意义•函数图象在某一点的切线斜率•函数图象在某一点的局部线性近似二、导数的基本运算法则2.1 基本导数公式•常数函数：d dx (C)=0•幂函数：d dx (x n)=nx n−1•指数函数：ddx(a x)=a x ln(a)2.2 函数和、差、积、商的导数•和的导数：(u+v)′=u′+v′•差的导数：(u−v)′=u′−v′•积的导数：(uv)′=u′v+uv′•商的导数：(uv)′=u′v−uv′v2,其中v≠02.3 复合函数的导数•复合函数的求导公式：如果y=f(u)及u=g(x), 则dy dx =dy dududx三、导数的应用3.1 函数的单调性•若f′(x)>0，则函数f(x)在该区间上单调递增•若f′(x)<0，则函数f(x)在该区间上单调递减3.2 函数的极值与最值•极大值：若f′(x0)=0，且f″(x0)<0，则f(x0)是函数f(x)在x0处的极大值•极小值：若f′(x0)=0，且f″(x0)>0，则f(x0)是函数f(x)在x0处的极小值3.3 函数的拐点•拐点：若f″(x0)=0，则f(x)在x0处的图像有拐点3.4 函数的图像•函数图象的基本性质–若f′(x)>0，则函数的图像上的点随x的增大而上升–若f′(x)<0，则函数的图像上的点随x的增大而下降–若f″(x)>0，则函数的图像在该区间上凹–若f″(x)<0，则函数的图像在该区间上凸四、基础导数题型4.1 求导数•题型1：求函数的导数y=f(x)•题型2：求函数的高阶导数y(n)=f(x)4.2 高阶导数应用•题型1：求函数的极值和拐点•题型2：求函数在某点的切线方程•题型3：求函数的图像4.3 求解极值问题•题型1：求一定范围内函数的极大值和极小值•题型2：求满足一定条件的函数极值4.4 函数的单调性•题型1：判断函数的单调区间•题型2：填空题，填写使函数单调递增或递减的区间五、综合题型5.1 数学建模•题型1：利用导数求解实际生活中的问题5.2 物理应用•题型1：利用导数求解物理问题，如速度、加速度等5.3 函数的变化率•题型1：求函数在某点的变化率•题型2：求函数在某段区间的平均变化率六、总结本篇文章主要介绍了高中阶段导数相关的内容，包括导数的基本定义、几何意义、基本运算法则，以及导数在函数的单调性、极值与最值、图像以及物理应用中的运用。
高中数学导数大题八类题型总结
导数-大题导数在大题中一般作为压轴题出现，其复杂的原因就在于对函数的综合运用：1.求导，特别是复杂函数的求导2.二次函数（求根公式的运用）3.不等式：基本不等式、均值不等式等4.基本初等函数的性质：周期函数、对数函数、三角函数、指数函数5.常用不等式的巧妙技巧：1/2<ln2<1，5/2<e<3导数大题最基本的注意点：自变量的定义域1.存在性问题2.韦达定理的运用3.隐藏零点4.已有结论的运用5.分段讨论6.分类讨论7.常见不等式的应用8.导数与三次函数的利用1. 存在性问题第(1)问有两个未知数，一般来说，双未知数问题要想办法合并成一个未知数来处理合并成一个未知数后利用不等式1.存在性问题(2)问将有且仅有一个交点分成两部分证明，分别证至多存在一个交点与必然存在交点：证明必然存在交点是单纯的找“特殊点”问题高考导数大题中的存在性问题，最后几乎都会变成零点的存在性问题要点由于只关注零点的存在性，因此就没有必要对t(x)求导讨论其单调性，直接使用零点定即可。
(2)问先对要证明的结论进行简单变形：证毕韦达定理的使用(1)问是常规的分类讨论问题隐零点设而不求，代换整体证明对称轴已经在-1右侧，保证有零点且-1处二次函数值大于0两道例题都是比较简单的含参“隐零点”问题，总之就是用零点(极值点)反过来表示参数再进行计算一些比较难的题目，一般问题就会进行一定提示，如利用(2)问提示(3)问，其难点就在于知道要利用已有结论，但无从下手第(1)问分类讨论问题，分离变量做容易导致解题过于复杂(2)问将不等式两边取对数之后思路就很清晰了(1)(2)分别证明两个不等号即可化到已知的结论上()()()()()()()()()()()()''''1101,0,1,0;1,,00,11,110f x x xx f x x f x x f x f x x x x f x f =->=∈>∈+∞<∈∈+∞==为的零点于是在上单调递增，在上单调递减是的极大值点，(3)问需要利用(2)问结论才能比较顺利的证明利用(2)中结论第(1)问是一个比较简单的存在型问题分段)高考导数大题除求导外，隐藏零点、韦达定理、极值点偏移、二，三阶导等技巧，都是附加的技巧，导数的核心，是分类讨论的考察，高考题多数绕不开分类讨论。
高中数学导数归纳总结
高中数学导数归纳总结导数是高中数学中一个重要的概念，用于研究函数的变化率。
在学习导数的过程中，我们需要掌握一系列的规则和技巧，以便正确地求导。
本文将对高中数学中导数的相关知识进行归纳总结。
一、导数的定义导数的定义是函数f(x)在点x=a处的导数，表示函数在该点的瞬时变化率。
具体地，导数可以用极限的形式表示：若函数f(x)在点x=a处可导，则它的导数f'(a)等于函数f(x)在点x=a处的极限，即f'(a) =lim(x→a) [f(x)-f(a)] / (x-a)。
二、导数的求法1. 基本函数的导数常用基本函数的导数公式如下：- 常数函数的导数为0，即d(c)/dx = 0。
- 幂函数的导数为其指数乘以常数，即d(x^n)/dx = n*x^(n-1)。
- 指数函数的导数等于其自身乘以ln(e)（即1），即d(e^x)/dx = e^x。
- 对数函数的导数等于其自变量的倒数，即d(ln(x))/dx = 1/x。
- 三角函数的导数公式如下：* 正弦函数的导数为余弦函数，即d(sin(x))/dx = cos(x)。
* 余弦函数的导数为负的正弦函数，即d(cos(x))/dx = -sin(x)。
* 正切函数的导数为其倒数的平方，即d(tan(x))/dx = 1/cos^2(x)。
2. 导数的四则运算法则- 和差法则：若函数f(x)和g(x)在某点可导，则其和（差）的导数等于函数f(x)和g(x)的导数之和（之差），即(d[f(x)+g(x)]/dx = d[f(x)]/dx+ d[g(x)]/dx）。
- 积法则：若函数f(x)和g(x)在某点可导，则其积的导数等于函数f(x)在该点的导数与g(x)在该点的函数值之积加上函数f(x)在该点的函数值与g(x)在该点的导数之积，即(d[f(x)g(x)]/dx = f'(x)g(x) + f(x)g'(x))。
- 商法则：若函数f(x)和g(x)在某点可导且g(x)不等于0，则其商的导数等于函数f(x)在该点的导数与g(x)在该点的函数值之积减去函数f(x)在该点的函数值与g(x)在该点的导数之积，再除以g(x)在该点的函数值的平方，即(d[f(x)/g(x)]/dx = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/g(x)^2）。
高中数学导数知识总结+导数七大题型答题技巧
高中数学导数知识总结+导数七大题型答题技巧知识总结一. 导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数y=f(x)在x=处的瞬时变化率是2. 导数的几何意义：曲线的切线，当点趋近于P时，直线 PT 与曲线相切。
容易知道，割线的斜率是当点趋近于 P 时，函数y=f(x)在x=处的导数就是切线PT的斜率k，即3. 导函数：当x变化时，便是x的一个函数，我们称它为f （x）的导函数. y=f（x）的导函数有时也记作，即。
二. 导数的计算基本初等函数的导数公式：导数的运算法则：复合函数求导：y=f(u)和u=g(x)，则称y可以表示成为x的函数，即y=f(g(x))为一个复合函数。
三、导数在研究函数中的应用1. 函数的单调性与导数：一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间（a,b）内(1) 如果＞0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递增；(2) 如果＜0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递减；2. 函数的极值与导数：极值反映的是函数在某一点附近的大小情况。
求函数y=f(x)的极值的方法有：（1）如果在附近的左侧＞0 ，右侧＜0，那么是极大值；（2）如果在附近的左侧＜0 ，右侧＞0，那么是极小值；3. 函数的最大(小)值与导数：求函数y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数y=f(x)在［a,b］内的极值；（2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值。
四. 推理与证明（1）合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理。
根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理，叫做类比推理。
类比推理的一般步骤：(1) 找出两类事物的相似性或一致性；(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题（猜想）；(3) 一般的，事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似，那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的；(4) 一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题越可靠。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学导数题型归纳总结
高中数学中，导数是一个重要的概念，它是微积分的基础。
在考试中，导数题型往往是必考的内容。
为了帮助同学们更好地复习导数，下面对高中数学导数题型进行归纳总结。
1. 求函数的导数：这是最基本的导数题型，要求根据函数的定义求出其导数。
常见的函数包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
2. 导数的四则运算：利用导数的基本性质，可以进行导数的四则运算。
例如，两个函数的和、差、积或商的导数可以通过分别求出函数的导数，然后利用四则运算的性质计算得到。
3. 链式法则：当函数是复合函数时，可以使用链式法则进行求导。
链式法则的基本思想是将复合函数分解为内层函数和外层函数，并利用导数的链式法则求出导数。
4. 隐函数求导：当一个函数的表达式中包含未知数的隐式关系时，可以利用隐函数求导的方法求出导数。
常见的隐函数求导题型包括求曲线的切线斜率、求极值等。
5. 参数方程求导：当函数由参数表示时，可以通过对参数方程进行
求导，然后用参数方程的导数表达式消去参数，得到函数的导数。
6. 反函数求导：如果函数存在反函数，可以利用反函数求导的方法求出导数。
反函数求导的基本思想是将函数的自变量和因变量互换，然后求出反函数的导数。
7. 极限与导数：导数的定义中包含了极限的概念，所以在求导过程中经常需要应用极限的性质。
例如，使用极限的性质求出函数导数的极限，或者利用导数的定义证明极限存在等。
除了上述的题型，还有一些常见的应用题型，如最值问题、曲线的凹凸性、切线和法线方程等。
这些题型往往需要综合运用导数的概念和性质进行解答。
总之，高中数学导数题型的归纳总结包括基本的导数求法、导数的四则运算、链式法则、隐函数求导、参数方程求导、反函数求导以及与极限的关系等。
通过对这些题型的理解和熟练掌握，可以帮助同学们更好地应对高中数学考试中的导数题目。