初中几何最值问题常用解法
(完整word版)初中几何最值问题
初中几何最值问题例题精讲一、三点共线1、构造三角形【例 1】在锐角VABC中， AB=4，BC=5，∠ ACB=45°，将△ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转，获取△A1BC1．点E 为线段 AB 中点，点 P 是线段 AC 上的动点，在△ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转过程中，点P 的对应点是点 P1，求线段 EP1长度的最大值与最小值．C1P1 AEPA 1B C 【牢固】以平面上一点O 为直角极点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ ABO=∠DCO =30 °．如图，若 BO= 3 3，点 N 在线段 OD 上，且 NO=2．点 P 是线段 AB 上的一个动点，在将△AOB 绕点 O 旋转的过程中，线段 PN 长度的最小值为 _______，最大值为 _______．AO P OBN NC DC D备用图【例 2】如图，MON 90°，矩形ABCD 的极点 A． B 分别在边OM ， ON 上，当 B 在边 ON 上运动时， A 随之在边 OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2， BC=1，运动过程中，点 D 到点O 的最大距离为 __________【牢固】已知：△AOB 中， AB OB 2 ，△COD 中，CD OC 3 ,∠ABO ∠DCO .连接AD 、BC ，点 M 、N、 P 分别为OA、OD、BC的中点.若 A 、O、C三点在同素来线上，且∠ ABO 2 ，固定△AOB ，将△ COD 绕点 O 旋转，则PM的最大值为____________B AMOP NDC【牢固】在平面直角坐标系xOy 中，点 A 、 B 分别在x轴、y轴的正半轴上，点M为线段AB的中点．点D 、E 分别在x轴、y轴的负半轴上，且DE AB 10 ．以 DE 为边在第三象限内作正方形DGFE ，央求出线段MG 长度的最大值，并直接写出此时直线MG 所对应的函数的剖析式．yBMD O A xGEF【例 3 】如图，已知 A( 1, y ) ，B(2, y 2 ) 为反比率函数1P(x,0) 在x正半轴上运y图像上的两点，动点2 1 x动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是 _________yABO P x2、轴对称【例 1】求x 3 2 2 1 的最小值4x【例 2】ABE ,CD CD 是半径为5的MN 于点F，P为e O 的两条弦，EF 上任意一点，则AB 8 ，PA+PCCD 6 ，的最小值为MN 为直径，_________AB MN 于点ACM NE O P FDB【牢固】设半径为 1 的半圆的圆心为O ，直径为AB , C、 D 是半圆上两点，若弧AC 的度数为96 °，弧 BD的度数为36°，动点P在直径AB上，则CP+PD的最小值是 _______【牢固】设正三角形 ABC 的边长是2， M 是 AB 边上的中点， P 是边 BC 上任意一点，则PA+PM 的最大值为 _______,最小值为 ________【例 3】如图，已知等边△ABC 的边长为1， D、E、 F 分别是 AB、 BC、 AC 边上的点（均不与点A、 B、 C 重合），记△ DEF的周长为p .若D、E、F分别是AB、BC、AC边上任意点，则p的取值范围是.ADFB EC【例 4】如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝— x2＋ 2x＋ 3 与 x 轴交于 A．B 两点，与y 轴交于点C，点D 是抛物线的极点．（1）求直线 AC 的剖析式及 B． D 两点的坐标；（ 2）请在直线AC 上找一点M，使△BDM 的周长最小，求出点M 的坐标．图 1【例 5】如图，直线y 3 分别交 x 轴、 y 轴于 C、A 两点，将射线 AM 绕点 A 顺时针旋转 45°获取射x 23线A N， D 为 AM 上的动点， B 为 AN 上的动点，点 C 在∠ MAN 的内部．（1）当 AM∥ x 轴，且四边形 ABCD 为梯形时，求△ BCD 的面积；（2）求△BCD 周长的最小值；（ 3）当△BCD 的周长获取最小值，且BD 5 2时，求△ BCD 的面积．3yA yAyA2 2 2D1 M 1 1O 123C 4x O 123C 4x O 12 3 C 4x BN备用图备用图【例 6】在直角坐标系中， A 1, 2 ， B 4, 1 ， C m,0 ， D n, n 为四边形的 4 个极点，当四边形ABCD 的周长最短时，m_________nyODC xBA【牢固】如图1，抛物线 y＝ ax2＋ bx＋ c（ a≠0）的极点为 C（ 1， 4），交 x 轴于 A、 B 两点，交 y 轴于点 D，其中点 B 的坐标为（ 3， 0）。
几何中的最值问题的解决策略
几何中的最值问题的解决策略
在几何中，最值问题通常是要找到一个几何对象的最大值或最小值。
以下是几何中解决最值问题的一些常用策略：
1. 利用性质或定理：利用已知的几何性质或定理来推导出最值问题的解。
例如，利用三角形的角度和性质来证明某个角度或边长的最大值或最小值。
2. 利用几何画图法：通过绘制几何图形，并观察图形的性质来解决最值问题。
例如，通过绘制直角三角形来找到两条边长之和固定时，两条边长的乘积的最大值。
3. 利用代数方法：将几何问题转化为代数问题，并通过求导、求解方程等代数方法来求解最值问题。
例如，通过代数方法来证明一个函数的极值点是函数的最大值或最小值。
4. 利用不等式：通过建立合适的不等式关系来限制几何对象的取值范围，并通过求解不等式来解决最值问题。
例如，通过利用三角不等式来推导出三角函数的最值问题。
5. 利用等式的极值性质：利用等式的极值性质来解决最值问题。
例如，通过证明函数的取值范围，并找到函数在取值范围边界处的最大值或最小值。
综上所述，解决几何中的最值问题需要运用几何性质和定理，绘制几何图形观察性质，以及运用代数方法、不等式关系和极
值性质等。
同时，解决最值问题还需要对几何对象的性质有深刻的理解和运用。
初中几何最值问题解题技巧
初中几何最值问题解题技巧初中几何最值问题是一个比较常见的问题，通常涉及到线段、角度、面积等几何元素的最小值或最大值的求解。
下面将详细讲解一些常见的解题技巧：1.利用轴对称性转化：对于一些具有轴对称性的几何图形，可以利用轴对称性将问题转化为更简单的问题。
例如，对于一个关于直线对称的图形，可以找到对称轴，然后将问题转化为求解对称轴上的点到原图形的最短距离或最大距离。
2.利用三角形不等式：三角形不等式是解决几何最值问题的重要工具。
例如，对于一个三角形，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
利用这些不等式，可以推导出一些关于几何元素的最值关系。
3.利用特殊位置和极端位置：在解决几何最值问题时，可以考虑特殊位置或极端位置的情况。
例如，对于一个矩形，当它的一条对角线与矩形的一条边垂直时，该对角线的长度达到最小值。
对于一个三角形，当它的一条边与另一条边的延长线垂直时，该三角形的面积达到最小值。
4.利用几何定理：几何定理是解决几何最值问题的有力工具。
例如，对于一个三角形，当它的一条边与另一条边的中线重合时，该三角形的周长达到最小值。
对于一个四边形，当它的一条对角线与另一条对角线的中线重合时，该四边形的面积达到最小值。
5.利用数形结合：数形结合是解决几何最值问题的常用方法。
通过将几何问题转化为代数问题，可以更容易地找到问题的解。
例如，对于一个圆上的点到圆心的距离的最大值和最小值，可以通过将问题转化为求解圆的半径的平方的最大值和最小值来解决。
以上是一些常见的初中几何最值问题的解题技巧，希望能够帮助你更好地解决这类问题。
几何最值问题常用解法初二
几何最值问题常用解法初二几何最值问题是指在给定的几何条件下，求解出某个量的最大值或最小值。
这类问题在数学竞赛和应用问题中经常出现，对学生的综合能力和解题能力提出了要求。
下面将介绍几何最值问题常用的解法。
一、勾股定理求解最大值勾股定理是几何最值问题中应用最广泛的方法之一。
根据勾股定理，对于任意一个直角三角形，斜边的平方等于两直角边的平方和。
因此，当已知两条边的长度时，可以通过勾股定理求解另一条边的最大值或最小值。
例题1：在直角三角形ABC中，已知AB=3，BC=4，求AC的最大值。
解法：根据勾股定理，AC的平方等于AB的平方加BC的平方，即AC^2=3^2+4^2=9+16=25。
所以AC的最大值为5。
例题2：在直角三角形ABC中，已知AB=5，AC=13，求BC的最小值。
解法：根据勾股定理，BC的平方等于AC的平方减去AB的平方，即BC^2=13^2-5^2=169-25=144。
所以BC的最小值为12。
二、三角形面积法求解最大值三角形面积公式是几何最值问题中常用的方法之一。
根据三角形面积公式，三角形的面积等于底边乘以高的一半。
因此，当已知底边和高的一半时，可以通过三角形面积公式求解三角形面积的最大值或最小值。
例题3：已知一个三角形的底边长是6，高的一半是5，求这个三角形的最大面积。
解法：根据三角形面积公式，三角形的面积等于底边乘以高的一半，即面积=6*5=30。
所以这个三角形的最大面积是30。
例题4：已知一个三角形的底边长是10，面积是24，求这个三角形的最小高。
解法：根据三角形面积公式，三角形的面积等于底边乘以高的一半，即24=10*高/2，解得高=4.8。
所以这个三角形的最小高是4.8。
三、相似三角形属性求解最大值相似三角形属性是几何最值问题中常用的方法之一。
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
相似三角形的边长之比等于对应边的比值，面积之比等于对应边长的平方的比值。
例题5：已知两个相似三角形的面积分别是16和25，求这两个相似三角形的边长之比。
初中数学最值问题解题技巧,初中几何最值问题方法归纳总结
几何最值问题大一统追本溯源化繁为简目有千万而纲为一，枝叶繁多而本为一。
纲举则目张，执本而末从。
如果只在细枝末节上下功夫，费了力气却讨不了好。
学习就是不断地归一，最终以一心一理贯通万事万物，则达自由无碍之化境矣（呵呵，这境界有点高，慢慢来）。
关于几何最值问题研究的老师很多，本人以前也有文章论述，本文在此基础上再次进行归纳总结，把各种知识、方法、思想、策略进行融合提炼、追本溯源、认祖归宗，以使解决此类问题时更加简单明晰。
一、基本图形所有问题的老祖宗只有两个：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。
由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。
余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。
已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。
证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。
即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。
(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。
上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。
二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。
类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。
（一）直接包含基本图形。
AD一定，所以D是定点，C是直线的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为是定点，B'是动点，但题中未明确告知B'点的运动路径，所以需先确定B'点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。
初中数学几何最值的方法有哪些
初中数学几何最值的方法有哪些摘要：1.特殊位置及极端位置法2.几何定理（公理）法3.数形结合法4.举例：求线段最短问题正文：在初中数学几何中，最值问题是一种常见的题型。
解决这类问题有几种常用的方法，下面我们将逐一进行介绍。
首先，我们要掌握的是特殊位置及极端位置法。
这种方法首先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情况下的推理证明。
例如，在求解线段最短问题时，我们可以先找到线段的特殊位置或极端位置，进而求出最值。
其次，几何定理（公理）法也是解决最值问题的一种有效方法。
这种方法应用几何中的不等量性质、定理，如两点之间线段最短、点到直线垂线段最短、三角形两边之和大于第三边、斜边大于直角边等。
通过运用这些几何定理，我们可以轻松地解决一些最值问题。
再者，数形结合法也是一种非常实用的方法。
通过分析问题变动元素的代数关系和几何性质，我们可以将最值问题转化为求解代数式的最值。
这种方法在解决几何最值问题时，能够充分挖掘问题中的几何特征，使问题变得简洁明了。
接下来，我们通过一个求线段最短问题的例子来说明上述方法的运用。
例题：已知菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6，求MD（MD为对角线AC上的一个点）到点B的距离的最小值。
解：首先，我们可以通过特殊位置法找到MD线段的最短位置。
连接MD 与BD，我们可以得到直角三角形ABD。
由于菱形对角线两边对称，我们可以知道MD与BD垂直。
接着，我们通过数形结合法，将问题转化为求解代数式的最值。
设MD=x，那么MB=8-x。
根据勾股定理，我们可以得到MD^2+MB^2=AB^2。
将AB=√(8^2-6^2)=2√10代入，得到x^2+(8-x)^2=100。
通过求解这个二次方程，我们可以得到x=7/4时，MD取得最小值。
所以，MD到点B的最小距离为7/4。
总之，在解决初中数学几何最值问题时，我们可以根据具体情况选择特殊位置及极端位置法、几何定理（公理）法或数形结合法。
初中数学最值问题集锦 几何的定值与最值
几何的定值与最值几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明．几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法；2．几何定理(公理)法；3．数形结合法等．注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．【例题就解】【例1】 如图，已知AB=10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为 ．思路点拨 如图，作CC ′⊥AB 于C ，DD ′⊥AB 于D ′，DQ ⊥CC ′，CD 2=DQ 2+CQ 2，DQ=21AB 一常数，当CQ 越小，CD 越小，本例也可设AP=x ，则PB=x 10，从代数角度探求CD 的最小值．注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指：(1)中点处、垂直位置关系等；(2)端点处、临界位置等．【例2】 如图，圆的半径等于正三角形ABC 的高，此圆在沿底边AB 滚动，切点为T ，圆交AC 、BC 于M 、N ，则对于所有可能的圆的位置而言， MTN 为的度数（ ）⌒A ．从30°到60°变动B ．从60°到90°变动C ．保持30°不变D ．保持60°不变思路点拨 先考虑当圆心在正三角形的顶点C 时，其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断．注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，研究的量取得定值与最值．【例3】 如图，已知平行四边形ABCD ，AB=a ，BC=b (a >b )，P 为AB 边上的一动点，直线DP 交CB 的延长线于Q ，求AP+BQ 的最小值．思路点拨 设AP=x ，把AP 、BQ 分别用x 的代数式表示，运用不等式ab b a 222≥+ (当且仅当b a =时取等号)来求最小值．【例4】 如图，已知等边△ABC 内接于圆，在劣弧AB 上取异于A 、B 的点M ，设直线AC 与BM 相交于K ，直线CB 与AM 相交于点N ，证明：线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关．思路点拨 即要证AK ·BN 是一个定值，在图形中△ABC的边长是一个定值，说明AK ·BN 与AB 有关，从图知AB 为△ABM 与△ANB 的公共边，作一个大胆的猜想，AK ·BN=AB 2，从而我们的证明目标更加明确．注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证明问题．【例5】 已知△XYZ 是直角边长为1的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的三个顶点分别在等腰Rt △ABC(∠C=90°)的三边上，求△ABC 直角边长的最大可能值．思路点拨 顶点Z 在斜边上或直角边CA(或CB)上，当顶点Z 在斜边AB 上时，取xy 的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点Z 在(AC 或CB)上时，设CX=x ，CZ=y ，建立x ，y 的关系式，运用代数的方法求直角边的最大⌒值．注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解．常见的解题途径是：(1)利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值；(2)构造二次函数求几何最值．学力训练1．如图，正方形ABCD 的边长为1，点P 为边BC 上任意一点（可与B 点或C点重合），分别过B 、C 、D 作射线AP 的垂线，垂足分别是B ′、C ′、D ′，则BB ′+CC ′+DD ′的最大值为 ，最小值为 ．2．如图，∠AOB=45°，角内有一点P ，PO=10，在角的两边上有两点Q ，R(均不同于点O)，则△PQR 的周长的最小值为 ．3．如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC=8，B 到MN 的距离BD=5，CD=4，P 在直线MN 上运动，则PB PA -的最大值等于 ．4．如图，A 点是半圆上一个三等分点，B 点是弧AN 的中点，P 点是直径MN上一动点，⊙O 的半径为1，则AP+BP 的最小值为( )A ．1B ．22 C ．2 D ．13- 5．如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为4的正方形，动点P 从A 点出发，沿看圆柱的侧面移动到BC 的中点S 的最短距离是( )A ．212π+B ．2412π+C ．214π+D ．242π+6．如图、已知矩形ABCD ，R ，P 户分别是DC 、BC 上的点，E ，F 分别是AP 、RP 的中点，当P 在BC 上从B 向C 移动而R 不动时，那么下列结论成立的是( )A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减小C ．线段EF 的长不改变D ．线段EF 的长不能确定7．如图，点C是线段AB上的任意一点(C点不与A、B点重合)，分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N．(1)求证：MN∥AB；(2)若AB的长为l0cm，当点C在线段AB上移动时，是否存在这样的一点C，使线段MN的长度最长?若存在，请确定C点的位置并求出MN的长；若不存在，请说明理由．(20XX年云南省中考题)8．如图，定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动，M是ST的中点，P是S对AB作垂线的垂足，求证：不管ST滑到什么位置，∠SPM是一定角．9．已知△ABC是⊙O的内接三角形，BT为⊙O的切线，B为切点，P为直线AB上一点，过点P作BC的平行线交直线BT于点E，交直线AC于点F．(1)当点P在线段AB上时(如图)，求证：PA·PB=PE·PF；(2)当点P为线段BA延长线上一点时，第(1)题的结论还成立吗?如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由．10．如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是( )25 D．14A．8 B．12 C．211．如图，AB是半圆的直径，线段CA上AB于点A，线段DB上AB于点B，AB=2；AC=1，BD=3，P是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB的最大面积是( ) A．23+3+ D．21+ C．22+ B．212．如图，在△ABC中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB、AC上分别取点D、E，使线段DE将△ABC分成面积相等的两部分，试求这样线段的最小长度．13．如图，ABCD是一个边长为1的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，AV 与DU相交于点P，BV与CU相交于点Q．求四边形PUQV面积的最大值．14．利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，使花坛全部都能喷到水．已知每个喷水器的喷水区域是半径为l0米的圆，问如何设计(求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽)，才能使矩形花坛的面积最大?15．某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场(平面图如图所示)．其中，正方形MNPQ与四个相同矩形(图中阴影部分)的面积的和为800平方米．(1)设矩形的边AB=x(米)，AM=y(米)，用含x的代数式表示y为．(2)现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元；在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为105元；在四个三角形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为40元．①设该工程的总造价为S(元)，求S关于工的函数关系式．②若该工程的银行贷款为235000元，仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务?若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由．③若该工程在银行贷款的基础上，又增加资金73000元，问能否完成该工程的建设任务?若能，请列出所有可能的设计方案；若不能，请说明理由．(镇江市中考题)16．某房地产公司拥有一块“缺角矩形”荒地ABCDE，边长和方向如图，欲在这块地上建一座地基为长方形东西走向的公寓，请划出这块地基，并求地基的最大面积(精确到1m2)．参考答案。
中考数学中最值问题解法
中考数学几何最值问题解法在平面几何的动向问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量〔如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差〕的最大值或最小值问题，称为最值问题。
解决平面几何最值问题的常用的方法有：〔1〕应用两点间线段最短的公义〔含应用三角形的三边关系〕求最值；〔2〕应用垂线段最短的性质求最值；〔3〕应用轴对称的性质求最值；〔4〕应用二次函数求最值；〔5〕应用其他知识求最值。
下面经过近来几年全国各地中考的实例商议其解法。
应用两点间线段最短的公义〔含应用三角形的三边关系〕求最值典型例题：例 1. 〔2021 山东济南 3 分〕如图，∠MON=9°0 ，矩形ABCD的极点A、B 分别在边O M，ON上，当B 在边O N上运动时，A 随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O的最大距离为【】A．2 1 B．5 C．14555 D．52【答案】A。
【考点】矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形三边关系，勾股定理。
【解析】如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，∵O D≤OE+D，E∴当O、D、E 三点共线时，点D到点O的距离最大，12此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=A B=1。
DE= 2 2 2 2AD AE 1 1 2 ，∴OD的最大值为：2 1。
应选A。
例 2. 〔2021 湖北鄂州 3 分〕在锐角三角形ABC中，BC=4 2 ，∠ABC=45°，BD均分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，那么CM+MN的最小值是▲。
【答案】4。
【考点】最短路线问题，全等三角形的判断和性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，锐角三角函数定义，特别角的三角函数值。
【解析】如图，在BA上截取BE=BN，连接EM。
∵∠ABC的均分线交AC于点D，∴∠EBM∠= NBM。
在△AME与△AMN中，∵BE=BN，∠EBM∠= NBM，BM=BM，∴△BME≌△BMN〔SAS〕。
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初中几何最值问题常用解法
初中几何最值问题一直是学生们的难点，但通过一些常用的解法，我们可以轻松解决这些问题。
以下将介绍9种常用的解法，帮助您更好地理解和学习。
一、轴对称法
轴对称法是一种常用的解决最值问题的方法。
通过将图形进行轴对称变换，可以将问题转化为相对简单的问题，从而找到最值。
二、垂线段法
垂线段法是指在几何图形中，利用垂线段的性质来求取最值。
例如，在矩形中，要使矩形的周长最小，可以将矩形的一条边固定，然后通过调整其他边的长度，使得矩形的周长最小。
三、两点之间线段最短
两点之间线段最短是几何学中的基本原理。
在解决最值问题时，我们可以利用这个原理，找到两个点之间的最短距离。
四、利用三角形三边关系
三角形三边关系是指在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
利用这个关系，可以解决一些与三角形相关的最值问题。
五、利用余弦定理求最值
余弦定理是三角学中的基本定理，它可以用来解决一些与角度和边长相关的问题。
通过余弦定理，我们可以找到一个角的最大或最小余弦值，从而求得最值。
六、利用基本不等式求最值
基本不等式是指在一个数列中，平均值总是小于等于几何平均值。
利用这个不等式，可以解决一些与数列相关的最值问题。
七、代数运算求最值
代数运算是一种基本的数学运算方法，它可以用来解决一些与代数式相关的最值问题。
例如，通过求导数或微分的方法，可以找到一个函数的最大或最小值。
八、代数方程求最值
代数方程是一种基本的数学方程形式，它可以用来解决一些与代数方程相关的最值问题。
例如，通过解二次方程或不等式的方法，可以找到一个表达式的最大或最小值。
九、几何变换求最值
几何变换是指在几何图形中，通过平移、旋转、对称等方式改变图形的形状和大小。
利用几何变换的方法，可以解决一些与图形变换相关的最值问题。
例如，在矩形中，要使矩形的面积最大。