中考复习数学几何最值问题

几何最值问题

一、垂线段最短

1、已知抛物线y=x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距

离始终相等，如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线y=x2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（）

2、如图，在RT三角形ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，点D是BC上的动点，将线段AD绕点A 顺时针旋转60°至AD，连接BD，若AB=2cm，则BD’的最小值为__________

3、如图，在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1B1C1．点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，线段EP1长度的最小值与最大值分别是．

4\如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是▲．

5、如图，点C 是线段AB 上的一点，且AB= ,分别以AC,BC 为底作等腰ΔAEC 和等腰ΔBCF,

且∠AEC=∠BFC=120°，点P 为EF 的中点，求线段PC 长度的最小值。

6、已知菱形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点O ，?=∠120BAD ，4=AB ,E 为OB 上的一个动点，将AE 绕点A 逆时针旋转60°，得AF ，则点F 到O 的最短距离为 ．

7、如图，已知∠MON=30°，B 为OM 上一点，BA ⊥ON ，四边形ABCD 为正方形，P 为射线BM 上一动点，连结CP ，将CP 绕点C 顺时针方向旋转90°得CE ，连结BE ，若AB=4，则BE 的最小值为__________

8、 如图，在△ABC 中，∠A=75°，∠C=45°，BC=4，点M 是AC 边上的动点，点M 关于直线AB 、BC 的对称点分别为P 、Q ，则线段PQ 长的取值范围是______．

二、两点之间线段最短

1、如图，在ABC △中，?=∠90C ，2,4==BC AC ,点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动.在运动过程中点B 到原点O 的最大距离为 ．

2、ΔABC 中，AB=4，AC=2，以BC 为边在ΔABC 外作正方形BCDE ，BD 、CE 交于点O ，则线段AO 的最大值为 .

三、轴对称求最值

1、如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK+QK 的最小值为（ ） A ． 1 B ． C ． 2 D ． +1

2、如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（）

3、如图，∠MON=20°，A、B分别为射线OM、ON上两定点，且OA=2，OB=4，点P、Q分别为射

线OM、ON两动点，当P、Q运动时，线段AQ+PQ+PB的最小值是（）

4、如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是_________

5、如图在四边形ABCD中，AB=2，BC=6，CD=1，E是BC的中点，∠AED=120°，求AD长度的

最大值。

6、如图，AB是⊙O的直径，AB=2,点C在⊙O上，∠CAB=30°，D为弧BC的中点，P是直径AB 上一动点，则PC+PD的最小值为.

四、圆中求最值

①圆中利用切线性质构造勾股定理

1、如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）

2、如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B；点Q是以C（0，﹣1）为圆心、1为半径的圆上一动点，过Q点的切线交线段AB于点P，则线段PQ的最小是______．

②直径是圆中最长的弦

1、如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为___________。

2、如图，AB是圆O的弦，，是圆O上的一个动点，?

ACB，若点、分别是AB、

∠45

=

BC的中点，则MN长的最大值是_____ 。

4,点C为半圆AB上一动点,以BC为边向O外作正△BCD(点D在直5、如图,AB为O的直径,AB=3

线AB的上方),连接OD,则线段OD的最大值为.

③圆外（内）一点到圆上距离最值问题

1、如图，已知边长为2的正三角形ABC 顶点A 的坐标为（0,6），BC 的中点D 在y 轴上，且在A 的下方，点E 是边长为2，中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE 的最小值为（ ）（2013台州卷选择题9） A.3 B.34- C.4 D.326-

2、如图，正方形ABCD 的边长为1，中心为点O ，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ 绕点O 可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD 内（包括正方形的边），当这个六边形的边长最大时，AE 的最小值为 （2015台州卷选择题16）

3、如图，在△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P ，Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是（ ）（2016台州卷选择题10）

4、在△ABC 中，若O 为BC 边的中点，则必有：AB 2+AC 2=2AO 2+2BO 2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG 中，已知DE=4，EF=3，点P 在以DE 为直径的半圆上运动，则PF 2+PG 2的最小值为（ ）

5、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P 在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是______．

6、如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,1)、点B(0,1+t)、C(0,1?t)(t>0),点P在以D(3,3)为圆心,1为半径的圆上运动,且始终满足∠BPC=90°，则t的最大值是。

7、如图,已知正方形ABCD的边长为2,以点A为圆心,1为半径作圆,E是A上的任意一点,将点E绕点D按逆时针方向旋转90°,得到点F,连接AF,则AF的最大值是。

8、已知⊙O的半径为4，等腰直角△ABC的直角顶点B为⊙O上一定点，当点A在圆上运动时（不与点B重合），则OC的最小值为.

9、如图，已知以BC为直径的⊙O，A为BC中点，P为AC上任意一点，AD⊥AP交BP于D.连CD.若BC=8，则CD的最小值为

④圆上一点到直线距离最值问题

1、如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以C（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆上一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小值是（）

五、隐圆问题

①定点+定长

1、如图1，四边形ABCD中，AB=AC=AD=2，BC=1，AB∥CD，则BD的长为。

2、如图，在边长为2的菱形ABCD 中，?=∠60A ，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将AMN △沿MN 所在直线翻折得到MN A '△，连接C A '，则C A '长度的最小值是_____ 。

②定角+定长

1、如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB 的边OB 在x 轴正半轴上，点A(3, m), m ＞0,点D 、E 分别从B 、0以相同的速度向O 、A 运动，连接AD 、BE 交点为F. M 是y 轴上一点，则FM 的最小值是（ ）

2、如图，Rt △ABC 中，AC=2

，∠CAB=30°，点D 和点B 分别在线段AC 的异侧，且∠ADC=30°，

连BD ，则BD 的最大值为

3、如图3，∠XOY = 45°，等边三角形ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，AB = 2，那么OC的最大值为。

③直角所对的是直径

1、如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为_____．

2、如图，正方形ABCD中，AB=8，O为AB的中点，P为正方形ABCD外一动点，且AP⊥CP，则线段OP的最大值为（）

3、如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE=DF 。连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H 。若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是_____。

4、如图,在平面直角坐标系中,抛物线a ax ax y 432

--=的图象经过点C(0, 2),交轴于点A 、B ，(A 点在点左侧),顶点为D.

①求抛物线的解析式及点A 、B 的坐标;

②将ΔABC 沿直线BC 对折,点A 的对称点为A',试求A'的坐标;

③抛物线的对称轴上是否存在点P,使∠BPC=∠BAC ？若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.

④四点共圆

1、如图, △ABC中, ∠ABC＝90°, AB＝6, BC＝8, O为AC的中点, 过O作OE⊥OF, OE、OF 分别交射线AB、BC于E、F, 则EF的最小值为 .

2、如图，△ABC、△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC 相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（）

A．3

3-

2-B．1

3+C．2D．1

五、函数最值问题

1、如图，等边△ABC的边长为3，F为BC边上的动点，FD⊥AB于D，FE⊥AC于E，则DE的最大值为（）

2、如图，Rt△ABC

中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，AD是BC上的高，另有一Rt△DEF（其直角

顶点在D点）绕D点旋转，在旋转过程中，DE，DF分别与边AB，AC交于M、N点，则线段MN 的最小值为．

3、（2019年台州）如图，直线l1∥l2∥l3，A，B，C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D．设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，l3之间的距离为n，若∠ABC=90°，

BD＝4，且

2

3

m

n

，则m＋n的最大值为．

l1

l2

l3

D

B

A

4、（2018台州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D在BC上，点E在弦AB上（E不与A重合），且四边形BDCE为菱形．

（1）求证：AC=CE；

（2）求证：BC2﹣AC2=AB?AC；

（3）已知⊙O的半径为3．

①若AB

AC

=

5

3

，求BC的长；

②当AB

AC

为何值时，AB?AC的值最大？