第二章 平面向量教材分析
“平面向量”教材分析与教学建议
平面向量”教材分析与教学建议一、内容与要求（一）本章内容向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。
向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用。
因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等。
之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量（向量的坐标）的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法。
本章共分两大节。
第一大节是“向量及其运算”，内容包括向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积、平面向量的坐标运算；线段的定比分点、平面向量的数量积及运算律、平面向量数量积的坐标表示、平移等。
第二大节是“解斜三角形” 。
这一大节可以看成是向量知识的应用，内容包括正弦定理、余弦定理，解斜三角形应用举例和实习作业等。
正弦定理、余弦定理是关于任意三角形边角之间关系的两个重要定理，教科书通过向量的数量积把三角形的边与角联系起来，推导出了这两个定理，并运用这两个定理初步解决了测量、工业、几何等方面的实际问题，特别在这一大节中，还安排了一个实习作业，从而使学生进一步了解数学在实际中的应用，激发学生学习数学的兴趣，培养学生由实际问题抽象出数学问题并加以解决的能力。
为扩大学生的知识面，本章中还安排了两个阅读材料，即“向量的三种类型”和“人们早期怎样测量地球的半径”。
本章重点是向量的概念，向量的几何表示和坐标表示，向量的线性运算，平面向量的数量积，线段的定比分点和中点坐标公式，平移公式，解斜三角形等。
本章的难点是向量的概念，向量运算法则的理解和运用等。
高中数学_必修四第二章平面向量基本定理教学设计学情分析教材分析课后反思
平面向量基本定理教学设计一、教材分析本节课是在学习了共线向量基本定理的前提下，进一步研究平面内任一向量的表示，为今后平面向量的坐标运算打下坚实的基础。
所以，本节在本章中起到承上启下的作用。
平面向量基本定理揭示了平面向量之间的基本关系，是向量解决问题的理论基础。
平面向量基本定理提供了一种重要的数学思想—转化思想。
二、教学目标知识与技能: 理解平面向量基本定理，学会利用平面向量基本定理解决问题，掌握基向量表示平面上的任一向量.过程与方法：通过学习平面向量基本定理，让学生体验数学的转化思想，培养学生发现问题的能力.情感态度与价值观：通过学习平面向量基本定理，培养学生敢于实践的创新精神，在解决问题中培养学生的应用意识。
教学重点：平面向量基本定理的应用；教学难点：平面向量基本定理的理解.三、教学教法1.学情分析: 学生已经学习了向量的基本知识，并且对向量的物理背景有了初步的了解.2.教学方法：采用“问题导学—讨论探究—展示演练”的教学方法，完成教学目标.3.教学手段：有效使用多媒体和视频辅助教学，直观形象.四、学法指导1.导学：设置问题情境，激发学生学习的求知欲，引发思考.2.探究：引导学生合作探究，解决问题，注重知识的形成过程.3.应用：在解决问题中培养学生的应用意识与学以致用的能力.五、教学过程针对以上情况，结合我校“学本课堂”模式，我设计了如下教学过程，分为六个环节。
第一环节：问题导学自主学习首先是课前预习，预习学案分为问题导学、典例精析、巩固拓展三大部分。
通过预习学案，可以帮助学生完成课前预习。
设计意图：通过预习学案让学生预习新知识，发现问题，使学习更具针对性，培养学生的自学与探索能力.第二环节：创设情境导入课题进入新课，引入课题采用问题情境的办法。
通过导弹的飞行方向和力的分解两个实例，将问题类比，引入本节问题-向量的分解。
为了帮助学生理解，提供了两段直观的视频，直观形象。
设计意图：借助实际与物理问题设置情境，引发学生思考与想象，将问题类比，引入本节课题。
高中数学_平面向量基本定理教学设计学情分析教材分析课后反思
《平面向量基本定理》教学设计一、教学内容：人教B版普通高中课程标准实验教科书必修四第二章2.2.1平面向量基本定理。
二、教材分析：平面向量基本定理是平面向量的重点内容，考纲要求要了解平面向量基本定理及其意义，此部分在高考中占有十分重要的地位。
以平面向量基本定理的理解为前提，进而引入平面向量的正交分解和坐标，为后面的平面向量坐标法甚至是空间向量坐标法的应用打下一个坚实的基础。
三、教学目标：1、知识与技能目标：（1）考纲要求了解平面向量基本定理及其意义；（2）会用平面向量基本定理解决一些简单的问题；（3）培养学生分析、抽象、概括的思维能力。
2、过程与方法目标：（1）自主学习，合作探究，体会特殊到一般的思想；（2）通过不同形式的自主学习和探究活动，体验数学发现和创造的历程，提高抽象概括、分析总结、数学表达等数学思维能力。
3、情感态度与价值观：通过探究学习培养学生独立思考和勇于探究的精神，促进学生形成数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养；通过师生互动、生生互动的教学活动过程，形成学生的体验性认识，体会成功的喜悦，提高数学学习的兴趣，树立学好数学的信心，培养锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度，培养学生的合作意识和竞争精神。
四、教学重点和难点重点：平面向量基本定理的应用；难点：平面向量基本定理的理解。
五、教学方法采用“问题探究式”教学方法，教师通过创设问题情境，让学生积极参与到教学活动中来，通过层层深入的问题设置，使学生的思路逐步开阔，倡导学生小组合作、小组竞争，提高学生解决问题的能力。
六、学法指导由于本节内容比较重要，且难度相对比较大，因此应指导学生合作学习、小组探究，充分发挥学生的主观能动性。
七、教学过程内容讲解都可以用ar、br来表示呢？作图验证 .探究3 （1）这一平面内所有向量的基底是否唯一呢？大家作图验证是否可以由其他两个向量来表示cr？（2）对你给的这两个向量有什么要求？（3）如果基底选定，1λ和2λ能唯一确定吗？能为零吗？平面向量基本定理：如果1eu r，2eu u r是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内任一向量ar，；不共线的向量1eu r，2eu u r叫做表示这一平面内所有向量的一组，记做 .特别的，1λ=2λ=0时，ar= ；1λ=0，2λ≠0时，ar= ，ar与2eu u r；1λ≠0，2λ=0时，ar= ，ar与1eu r；试一试：学生作图并回答，教师用几何画板展示学生针对问题思考、作图并回答，教师用几何画板展示，师生共同思考研究学生发言，教师针对个别地方适当进行点拨和引导学生练习并回答，实际体验平面向量基本定理的意义学生作图，提高直观想象和数学抽象能力，利用几何画板给学生展示向量直观的变化过程，利于学生理解通过探究3的三个问题，使学生对基底有更深的认识，即基底不唯一，基底两个向量不平行，同时思考1λ和2λ的唯一性，为平面向量基本定理的引入和深入理解打好基础锻炼学生的总结分析能力和语言表达能力实例验证，概念释疑，加深认识EFBADCe1e2内容讲解ABuuu r= , CDuuu r= , EFuuu r= .辨一辨：下列说法中，正确的有：（）1）一个平面内只有一对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底；2）一个平面内有无数多对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底；3）一个平面内任意两个向量都可作为一组基底.三、典例剖析，变式训练：例1、如右图所示，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，AB a=u u u r r，AD b=u u u r r，用ar，br表示MAu u u r,MBu u u r,MCu u u u r,MDu u u u r.变式1、已知ABC∆中，AC b=u u u r r，AB a=u u u r r，D为BC边的中点，试用ar，br表示ADuuu r.（方法一）（方法二）（方法三）（方法四）例2、如右图，OAu u u r,OBuuu r不共线，AP=t AB (t∈R)，用OAu u u r，OBuuu r表示OPuuu r.学生思考并练习，将自己的计算过程在展示台进行投影展示一题多解、变式训练，深化认识，学生到黑板展示并讲解，其他同学订正小组讨论，学生发言，师生共同探究通过线性运算对平面向量基本定理进行应用，强化基底意识通过四种方法的点拨诱导，开阔学生思维，激发学生的积极主动性和主观能动性让学生合作学习、发言、回答并练习，锻炼学生的集体意识和团队精内容讲解[方法提炼]：1、P在A,B确定的直线L上三点共线的方法：基底向量OAu u u r，OBuuu r的系数和是；2、向量等式叫做直线的 ,t是参数；12t=时，P是AB的，则OPuuu r= .变式2、如图，在ABC∆中，H为BC上异于B、C的任一点，M为AH的中点，若AM AB ACλμ=+u u u u r u u u r u u u r，则λμ+= .【课堂小结】今天你有哪些收获？学科知识：题型与方法：注意问题：【作业布置】A必做部分：P98 练习A 2、3、4B选作部分：P99 练习B 2、3学生归纳总结，教师加以补充与说明变式训练，学生思考并回答让学生自主总结本节课所学的知识、方法和应该注意的问题A层次要求所有学生完成，B层次只要求学有余力的同学完成教师讲解并朗读神培养学生的概括总结能力，举一反三深化学生对三点共线方法的认识和理解学生在回顾、总结、反思的过程中，将所学知识点条理化、系统化，使自己的认知结构更趋合理作业分两个层次，既巩固所学，又为学有余力的同学留出自由发展的空间激发学生的学习兴趣，培养学生坚持不懈、精益求精八、板书设计学情分析从学生对平面向量的认知情况进行分析，感觉向量比较抽象，普遍存在理解不够深刻的问题，所以这是学习向量的一个难点，必须培养学生的学习兴趣和学习精神。
高中数学 第二章平面向量教学设计教案人教版必修4
第二章平面向量教学设计人教A版数学必修4一、教材分析向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景和深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具. 在数学和物理中都有广泛的应用．在本单元中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学及物理中的一些问题.发展运算能力和解决实际问题的能力．1．本单元的教学内容的范围（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。
（2）向量的线性运算①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。
②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。
③了解向量的线性运算性质及其几何意义。
（3）平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义。
②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。
④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
（4）平面向量的数量积①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。
③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。
④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
（5）向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。
本章知识结构如下：平面向量、实际背景向量及其基本概念线性运算向量的数量积基本定理坐标表示向量的应用根据数学知识的发展过程与学生的认知过程安排内容向量是高中数学课程近年来引进的新内容，为了保证其科学性，同时又易于被学生接受，根据向量知识的发展过程和学生的思维规律，根据“标准”对向量内容的定位，并考虑到学生在数及其运算中建立起来的经验，本章按照如下次序来编排：向量的实际背景及基本概念一向量的线性运算一平面向量基本定理及坐标表示一向量的数量积一向量应用举例.课标要求的具体化和深广度分析①平面向量的实际背景及基本概念《标准》表述《标准》要求的具体化和深广度分析《大纲》相应的要求通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示．如：用向量a，则-a表示____．一辆汽车从A地出发向西行驶了100km，到达B地，可以用向量a表示，那么从B地出发到A达地应如何表示？向量a，b都是非零向量，下面说法不正确的是（）（A）向量a与b反向，则向量a+b与向量a的方向可能相同（B）向量a与b反向，则向量a+b与向量b的方向可能相同（C）向量a与b反向，且a b>，则向量a+b与向量a的方向可能相同（D）向量a与b反向，且a b<，则向量a+b与向量a的方向可能相同理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量②向量的线性运算《标准》表述《标准》要求的具体化和深广度分析《大纲》相应的要求①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义．②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义．③了解向量的①如：若向量a表示向东走了2km，b表示向南走了1km，则a-b表示___________．已知下列各式①AB BC CA++；②AB MB BO OM+++；③OA OB BO CO+++；④AB AC BD CD-+-；①掌握向量的加法与减法，并理解其几何意义．②掌握实数与向量的积的运算，理解两个向量共线的充要条件．③会进行向量的线性运算．线性运算性质及其几何意义．其中结果为零向量的个数为（）（A）1（B）2（C）3（D）4②已知向量a，b满足AB =a+2b，BC =-5a+6b，CD =7a-2b，则一定共线的三点是（）（A）A，B，D （B）A，B，C（C）B，C，D （D）A，C，D③如：在ABC∆中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于O，设AB =a，AC =b，用a，b表示向量AO．③平面向量的基本定理及坐标表示《标准》表述《标准》要求的具体化和深广度分析《大纲》相应的要求①了解平面向量的基本定理及其意义．②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算．④理解用坐标表示的平面向量共线的条件．①如：某人在静水中游泳，速度为每小时3km，水流的速度为每小时4km，如果他要垂直游到对岸，则他的实际速度是多少？②如：已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别为A(-2，1)，B（3，4），C（-1，3），则顶点D的坐标为___________．③如：已知(0,1)A，(3,4)B-且点C在AOB∠的平分线上，若2OC=，则向量OC=_________．④已知向量(,12)OA k=，(4,5)OB=，(,10)OC k=-且A，B，C三点共线，则k=_________．①了解平面向量的基本定理②理解平面向量的坐标的概念③掌握平面向量的坐标运算④理解两个向量共线的充要条件④平面向量的数量积《标准》表述《标准》要求的具体化和深广度分析《大纲》相应的要求①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义．②体会平面向量的数量积与向量投影的关系．③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．①如：用两根夹角为120角的等长的绳子悬挂一个灯具，若灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力大小是_________．②如：已知点(0,1)A-，(2,2)B，(4,6)C-，则AB在AC上的投影的值为_________．③如：a=（-3，2），b=（-4，k），若（5a-b）⋅（3a-b）=55，求实数k的值．④如：两单位向量a，b的夹角为60，则两向量p=2a+b与q=3a+2b的夹角为_________．换垂直的题①明确平面向量数量积的定义、数学表达式及其几何意义②明确向量b在向量a的方向上的投影③掌握数量积的公式，能进行数量积的运算④明确两向量夹角的意义，掌握两向量垂直的充要条件，能用两种形式表示向量垂直的充要条件．⑤向量的应用《标准》表述《标准》要求的具体化和深广度分析《大纲》相应的要求经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算如图，在平行四边形ABCD中，13DE DC=，AE与BD交于F，用向量的方法证明：14DF DB=．掌握平面两点间的距离公式、掌握线段的定比分点和中点坐标公式、平移公式，并能熟练运用，会用平面向量数量积处理长度、角度等有关问题能力和解决实际问题的能力．ABCD E F实际问题如：一条河的两岸平行，河的宽度为0.4km ，一艘船从一岸边的A 处出发驶向对岸，已知船速为15kmv h =，水速为23kmv h =，欲使航行最短，则所用时间为_________．（2）本单元变化之处①删繁就简，降低了知识的难度 ②调整章节，凸显了知识的框架 ③贴近生活，重视了知识的应用 （3）人教B 版向量一章的教材特点强调向量法的基本思想，明确向量运算及运算律的核心地位向量具有明确的几何背景，向量的运算及运算律具有明显的几何意义，因此涉及长度、夹角的几何问题可以通过向量及其运算得到解决.另外，向量及其运算(运算律)与几何图形 的性质紧密相联，向量的运算(包括运算律)可以用图形直观表示，图形的一些性质也可以用向量的运算(运算律)来表示.例如，平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型，而向量的加法及其交换律(=+a b b +a )又可以表示平行四边形的性质(在平行四边形AB ∥CD 中，AD ∥BC ，AB ∥CD ，ABD ∆≌CBD ∆).这样，建立了向量运算(包括运算律)与几何图形之间的关系后，可以使图形的研究推进到有效能算的水平，向量运算(运算律)把向量与几何、代数有机地联系在一起.几何中的向量方法与解析几何的思想具有一致性，不同的只是用“向量和向量运算”来代替解析几何中的“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.如果把解析几何的方法简单地表述为 [形到数]——[数的运算]——[数到形]， 则向量方法可简单地表述为[形到向量]——[向量的运算]——[向量和数到形].教科书特别强调了向量法的上述基本思想，并根据上述基本思想明确提出了用向量法解决几何问题的“三步曲”.为了使学生体会向量运算及运算律的重要性，教科书注意引导学生在解决具体问题时及时进行归纳，同时还明确使用了“因为有了运算，向量的力量无限；如果没有运算，向量只是示意方向的路标”的提示语.说明：由于我们按照必修1，必修4的顺序进行教学，因此向量法这种解决问题的方法就显得尤其重要，他为今后学习解析法奠定了基础。
《平面向量的概念》教学设计.doc
又要兼顾方向，这是一个难点，给予学生充足的时间，旨在期望学生自
AD
行突破。
这里我们要注意有向线段和向量的区别。
“有向线段则有起点、长度和方向三个要素,起点不同,尽管大小与方
BC
向相同,也是不同的有向线段。
向量只与大小与方向有关，在平面中可以自由移动。
3
4、平行向量、共线向量与相等向量
两个单位向量他们的方向会有什么关系？
类比一下线段之间的位置关系，可以平行也可以相交。相交的情况我们后面几节课会学到，今天我们
先来讨论一下向量的平行。
那么如果两个单位向量平行，他们的方向会是相等或者相反。
【设计意图】教师启发，由学生归纳出平行向量的定义。
给出平行向量定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．
向量a平行于b，记作a∥b.
问题8：为什么要强调非零向量？
零向量模长为零，可以看成一个点，因此我们规定零向量与任一向量平行．
即对于任意的向量a,都有0∥a.
在梯形ABEF中，，向量AB，向量CD，向量EF是一组平行向量，因为
向量在空间中可以自由平移，所以将两个平行向量可以移到与AB所在的
同一条直线上。
7
3.下列说法中正确的是(D)
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
C．向量的大小与方向有关
D．向量的模可以比较大小
4.下列说法正确的是_______．(填序号)③④
①若a≠b，则a一定不与b共线；②若a＝b，b＝c，则a＝c；
→→
③在平行四边形ABCD中，一定有AB＝DC
；④若向量a与任一向量b平行，则a＝0；
第二章 平面向量全章教案
第二章第一节平面向量的实际背景及基本概念1．丰富多彩的背景，引人入胜的内容．教材首先从力、位移等量讲清向量的实际背景以及研究向量的必要性，接着介绍了平面向量的有关知识．学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言与方法表述和解决数学、物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力．平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础，从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示．向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来，这样为解决有关的几何问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题．最后介绍了平面向量的应用．2．教学的最佳契机，全新的思维视角．向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的．反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题．这一章的内容虽然概念多，但大都有其物理上的来源，虽然抽象，却与图形有着密切的联系，向量应用的优越性也是非常明显的．全新的思维视角，恰当的教与学，使得向量不仅生动有趣，而且是培养学生创新精神与能力的极佳契机．3．本章充分体现出新教材特点．以学生已有的物理知识和几何内容为背景，直观介绍向量的内容，注重向量运算与数的运算的对比，特别注意知识的发生过程．对概念、法则、公式、定理等的处理主要通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括得出结论．这一章中的一些例题，教科书不是先给出解法，而是先进行分析，探索出解题思路，再给出解法．解题后有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法，有的还让学生进一步考虑相关的问题．对知识的处理，都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式，从而培养学生的思维能力．向量的坐标实际上是把点与数联系起来，进而可把曲线与方程联系起来，这样就可用代数方程研究几何问题，同时也可以用几何的观点处理某些代数问题．4作者：赵勇，永安三中教师，本教学设计获福建省教学设计大赛三等奖整体设计教学理念新的课程标准要求我们创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，创设教学情境，让学生通过主动参与、积极思考、合作交流和创新等过程，获得知识、能力、情感的全面发展．本节课将充分体现以“学生为本”的教学观念，实现课程理念、教学方式和学生学习方式的转变．教学目标1．通过力的分析等实例，了解向量的实际背景；理解向量的概念．2．理解向量的几何表示；掌握零向量、单位向量、平行向量等概念；3．理解相等向量和共线向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量的相等向量．教学重点、难点1．通过学生自主探究，并在教师的引导下，使学生理解向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示等是本节课的重点．2．难点是学生对向量的概念和共线向量的概念的理解．学情和教材分析《向量》是高中数学新教材必修四第二章第1节．向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具．向量概念引入后，全等和平行(平移)、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加(减)法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系．向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用．所以，向量是高考必考的重点内容，又因为其抽象性，它还是学生在学习中的一个难学内容．本节内容是向量一章的第一节课，因此，是十分关键、重要的一节课．教学准备多媒体课件教学过程导入新课位置是几何学研究的重要内容之一，几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另外一点的位置．如图1，如何由点A确定点B的位置？图1一种常用的方法是，以A为参照点，用B点A点之间的方位和距离确定B点的位置．如，B点在A点东偏南45°，30千米处．这样，在A点与B点之间，我们可以用有向线段AB表示B点相对于A点的位置．有向线段AB就是A点与B点之间的位移．位移简明地表示了位置之间的相对关系．像位移这种既有大小又有方向的量，加以抽象，就是我们本章要研究的向量．推进新课新知探究本章引言中，我们知道，位移是既有大小，又有方向的量，你还能举出一些这样的量吗？图2请大家阅读课本2.1.1向量的物理背景与概念；2.1.2向量的几何表示．并回答下面问题：(1)什么是向量？向量和数量有何不同？(2)向量如何表示？(3)什么是零向量和单位向量？(4)什么是平行向量？待学生阅读完后，老师总结并展示课件： 1．什么是向量？向量和数量有何不同？(数量：只有大小，没有方向的量) 在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中，哪些是数量？哪些是向量？ 数量有：质量、身高、面积、体积 向量有：重力、速度、加速度提问：角度，海拔，温度是向量吗？ 2．向量如何表示？(1)几何表示——向量常用有向线段表示：有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．图3 注：以A 为起点，B 为终点的有向线段记为AB →，线段AB 的长度记作|AB →|(读为模)； (2)也可以表示为a ，b ，c ，…，大小记作：|a|、|b|、|c |、… 说明一：我们所说的向量，与起点无关，用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置．所以数学中的向量也叫自由向量．如图4：它们都表示同一个向量．图4练习：向量AB →和BA →是同一个向量吗？为什么？ 不是，方向不同．探究：向量就是有向线段吗？有向线段就是向量吗？ 说明二：有向线段与向量的区别： 有向线段：有固定起点、大小、方向．向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向．图5有向线段AB →、CD →是不同的．图6向量AB →、CD →是同一个向量． 3．什么是零向量和单位向量？零向量：长度为0的向量，记为0； 单位向量：长度为1的向量．注：零向量，单位向量都是只限制大小，不确定方向的． 向量之间的关系： 4．什么是平行向量？方向相同或相反的非零向量叫平行向量．注：1.若是两个平行向量，则记为a ∥b .2．我们规定，零向量与任一向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a . 练习：判断下列各组向量是否平行？图7向量的平行与线段的平行有什么区别？ 练习：已知下列命题：(1)向量AB →和向量BA →长度相等；(2)方向不同的两个向量一定不平行；(3)向量就是有向线段；(4)向量0＝0；(5)向量AB →大于向量CD →.其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：B例1试根据图8中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用向量表示A 地至B 、C 两地的位移，并求出A 地至B 、C 两地的实际距离(精确到1 km)．图8请同学们阅读课本2.1.3相等向量与共线向量，并回答问题：什么是相等向量和共线向量？待学生回答后，老师总结并展示课件： 5．什么是相等向量和共线向量？长度相等且方向相同的向量叫相等向量．a ＝b ＝c A 1B 1→＝A 2B 2→＝A 3B 3→＝A 4B 4→图9注：1.若向量a ，b 相等，则记为a ＝b ；2．任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．平行向量也叫共线向量．注：任一组平行向量都可以平移到同一直线上． 练习：判断下列命题是否正确：(1)两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；(2)若|a|＝|b |，则a ＝b ；(3)若AB →＝DC →，则四边形ABCD 是平行四边形；(4)平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；(5)若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ；(6)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中不正确命题的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C练习：下列说法正确的是( ) A ．若|a|>|b|，则a>b B ．若|a |＝0，则a ＝0C ．若|a|＝|b|，则a ＝b 或a ＝－bD ．若a ∥b ，则a ＝bE ．若a ＝b ，则|a|＝|b |F ．若a ≠b ，则a 与b 不是共线向量G ．若a ＝0，则－a ＝0 答案：EG例2如图10，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与OA →、OB →、OC →相等的向量．图10解：OA →＝CB →＝DO →， OB →＝DC →＝EO →， OC →＝AB →＝ED →＝FO →.练习：如图11，EF 是△ABC 的中位线，AD 是BC 边上的中线，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段表示的向量中请分别写出：图11(1)与向量CD →共线的向量有________个，分别是________________________________；(2)与向量DF →的模一定相等的向量有________个，分别是______________________；(3)与向量DE →相等的向量有________个，分别是__________．答案：(1)7 DC →、DB →、BD →、FE →、EF →、CB →、BC → (2)5 FD →、EB →、BE →、EA →、AE →(3)2 CF →、F A →课堂小结通过本节课的学习，要求大家能够理解向量的概念；掌握向量的几何表示；理解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并能进行简单的应用．作业习题2.1A 组2,5设计思路1．首先先对本节课教材内容进行分析2．教材内容的安排和处理根据我所教学生的特点，我对教材进行了如下处理，先由物理中的位置关系导入新课，然后提出问题，并要求学生带着问题去阅读课本，最后由老师总结，并对概念进行概念辨析，以加大学生的思维的深度，拓宽了学生的视野，实现本节课难点的突破，整堂课充分发挥学生的主导作用．3．教法“问题是数学的灵魂，也是学好数学的必然手段”，本节课总体上以问题串的形式，设计为七问五练．着重抓四个知识点，突出学生的“主导地位”．并通过多媒体课件的演示，直观展示向量的有关内容，激发学生的兴趣．4．学法指导以问题为载体，通过提问、阅读、归纳，练习的过程，掌握思考、讨论、交流的学习方法，并体验探究和发现的乐趣．第二章第二节平面向量的线性运算第一课时教学分析《向量》这一章是前一轮教材中新增的内容．高考考纲有明确说明，同时新课标也提出向量是数学的重要概念之一，在高考中的考查主要集中在两个方面：①向量的基本概念和基本运算；②向量作为工具的应用．另外，在今后学习复数的三角形式与向量形式时，还要用到向量的有关知识及思想方法，向量也是将来学习高等数学以及力学、电学等学科的重要工具．教材的第2.1节通过物理实例引入了向量的概念，介绍了向量的模、相等的向量、单位向量、零向量以及平行向量等基本概念．而本节课是继向量基本概念的第一节课．向量的加法是向量的第一运算，是最基本、最重要的运算，是学习向量其他运算的基础．它在本单元的教学中起着承前启后的作用，同时它在实际生活、生产中有广泛的应用．正如第二章的引言中所说：如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限．学生学习情况分析学生在高一学习物理中的位移和力等知识时，已初步了解了矢量的合成，而物理学中的矢量相当于数学中的向量，这为学生学习向量知识提供了实际背景．设计理念教学矛盾的主要方面是学生的学．学是中心，会学是目的．因此，在教学中要不断指导学生学会学习．在教学过程中，从教材和学生的实际出发，按照学生认知活动的规律，精练、系统、生动地讲授知识，发展学生的智能，陶冶学生的道德情操；要充分发挥学生在学习中的主体作用，运用各种教学手段，调动学生学习的主动性和积极性，启发学生开展积极的思维活动，通过比较、分析、抽象、概括，得出结论；进一步理解、掌握和运用知识，从而使学生的智力、能力和其他心理品质得到发展．教学目标根据新课标的要求：培养数学的应用意识是当今数学教育的主题，本节课的内容与实际问题联系紧密，更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识．集本节教材的特点和高一学生对矢量的认知特点，我把本节课的教学目标确定为：1．理解向量加法的意义，掌握向量加法的几何表示法，理解向量加法的运算律．2．理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学的应用意识．3．培养类比、迁移、分类、归纳等能力．4．进行辩证唯物主义思想教育、数学审美教育，提高学生学习数学的积极性．教学重点与难点1．教学重点：两个向量的和的概念及其几何意义．(两个向量的和的概念是向量加法的基础，而向量加法是向量运算的基础．向量的线性运算的另一个特点是它有深刻的物理背景和几何意义，因此在引入一种向量运算后，总是要考查一下它的几何意义，正因为向量的几何意义，使得向量在解决几何问题时可以发挥很好的作用．)2．教学难点：向量加法的运算律．(设计让学生先猜想后验证来学习运算律，需要利用类比的思想进行猜测，还要在猜测的基础上加以验证，有一定难度．)教学过程导入新课问题引入 (约5分钟)引例：有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F 1＝3 000牛，F 2＝2 000牛，牵绳之间的夹角θ＝60°.如果只用一条拖轮来牵引，而产生的效果跟原来的相同，试求出这条拖轮的牵引力的大小和方向．图1在物理中，我们已知道，两个不在一条直线的共点力OA →与OB →的合力是以OA →、OB →为邻边的平行四边形OACB 的对角线OC →所表示的力．这就是说，OC →是OA →与OB →相加所得到的和．设计说明引导学生利用物理中合力的概念，来解决这个实际问题，以现有的知识为出发点培养学生的知识类比、迁移能力．学情预设把实际问题抽象为数学概念是学生的认知难点． 概念形成 (约5分钟)一般地，把以OA →、OB →为邻边的平行四边形OACB 的对角线OC →，叫做OA →与OB →两个向量的和，记作OA →＋OB →.求两个不平行向量的和可按平行四边形法则进行．问题1：如何求两个平行向量的和向量？问题2：任意一个向量与一个零向量的和是什么？ 求两个向量的和的运算叫做向量的加法． 设计说明补充说明两个向量和的概念，同时让学生体验分类的思想． 概念深化 (约15分钟)练习：根据图2中所给向量a ，b ，c 画出向量： (1)a ＋b ；(2)a ＋b ＋c .图2解法一：将两个向量起点重合，应用平行四边形法则画出两个向量的和向量．解法二：将一个向量的起点与另一向量的终点重合，也可以画出两个向量的和向量． 设计说明1．学生通过练习题(1)可加深对向量加法概念的理解．另外，可由此引出向量加法的三角形法则．图32．通过对比的方式让学生了解向量的加法既可以按照平行四边形法则进行，也可以按照三角形法则进行．在向量加法运算中，通过向量的平移使两个向量首尾相接，可使用三角形法则．引申：求n (n >3)个向量的和向量． 设计说明求n (n >3)个向量的和向量时，让学生进一步体会应用首尾相接的三角形法则的优越性． 学情预设学生对从特殊到一般的理解较抽象．结论：求n 个向量的和向量可应用多边形法则． 运算律的归纳问题：向量的加法既然是一种运算，它应该具有哪些运算律？如何进行验证呢？ 设计说明引导学生类比实数加法的运算律，得出向量加法的运算律，培养学生的类比、迁移归纳能力．应用举例 (约10分钟)(1)已知平面内有三个非零向量OA →、OB →、OC →，它们的模都相等，并且两两的夹角都是120°，求证：OA →＋OB →＋OC →＝0；(2)在平面内能否构造三个非零向量a 、b 、c ，使a ＋b ＋c ＝0；(3)能否说出(2)的实际模型？设计说明题(1)是基本的例题；题(2)是题(1)的拓展；题(3)能体现数学来源于实际又应用于实际的思想．研究讨论 (约5分钟)已知a 、b 是非零向量，则|a ＋b|与|a|＋|b |有什么关系？ 设计说明设置这一研讨题可以将本节课与上节课的知识联系起来，并进一步渗透分类的思想． 小结归纳 (约4分钟)让学生自主回顾和归纳本节的内容． 设计说明1．向量加法的意义；2.理解实际问题数学化的思想，增强数学的应用意识；3.理解分类讨论等数学思想，培养类比、迁移等能力．学情预设要求学生不仅对知识体系进行归纳，还要对本节课中所体现的数学思想方法及数学能力进行总结，有一定的难度．作业(约1分钟)课本本节练习1,2,3,4. 设计说明1．巩固所学的内容.2.对所学内容的检测、反馈与及时补充不足．教学反思本节课采用“探究——讨论”教学法．“探究——研讨”教学法是美国哈佛大学教育专家兰本达所倡导的．“探究——研讨”教学法把教学过程分为两个步骤：第一步骤是“探究”．我所设计的问题引入、概念形成及概念深化都是采用探究的方法，将有关材料有层次地提供给学生，让学生独立地支配它，进而探索、研究它．学生通过对这些“有结构”的材料进行探究，获得对向量加法的感性认识和形成各自对向量加法概念的了解．第二步骤是“研讨”，即在探究的基础上，组织学生研讨自己在探究中的发现，通过互相交流、启发、补充、争论，使学生对向量加法的认识从感性的认识上升到理性认识，获得一定水平层次的科学概念．这节课主要是教给学生“动手做，动脑想；多训练，勤钻研．”的研讨式学习方法．这样做，增加了学生主动参与的机会，增强了参与意识，教给学生获取知识的途径和思考问题的方法．使学生真正成为教学的主体．也只有这样做，才能使学生“学”有新“思”，“思”有所“得”，“练”有所“获”．学生才会逐步感到数学的美，会产生一种成功感，从而提高学生学习数学的兴趣；也只有这样做，才能适应素质教育下培养“创新型”人才的需要．第二章第二节平面向量的线性运算第二课时整体设计教学分析向量减法运算是加法的逆运算．学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算．因此，类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数)，首先引进相反向量的概念，然后引入向量的减法(减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量)，通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则，结合一定数量的例题，深刻理解向量的减法运算．通过阐述向量的减法运算，可以转化为向量加法运算，渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间的相互转化、相互联系的辨证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识．三维目标1．通过探究活动，使学生掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反向量．2．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造性地解决问题．能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量．重点难点教学重点：向量的减法运算及其几何意义．教学难点：对向量减法定义的理解．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(问题导入)上节课，我们定义了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法．由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数．向量的减法是否也有类似的法则呢？引导学生进一步探究，由此展开新课．思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算．本节课，我们继续学习向量加法的逆运算——减法．引导学生去探究、发现．推进新课新知探究提出问题①向量是否有减法？②向量进行减法运算，必须先引进一个什么样的新概念？③如何理解向量的减法？④向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则，那么，向量的减法是否也有类似的法则？活动：数的减法运算是数的加法运算的逆运算，数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数，因此定义数的减法运算，必须先引进一个相反数的概念．类似地，向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算．可类比数的减法运算，我们定义向量的减法运算，也应引进一个新的概念，这个概念又该如何定义？引导学生思考，相反向量有哪些性质？由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a和－a互为相反向量．于是－(－a )＝a .我们规定，零向量的相反向量仍是零向量．任一向量与其相反向量的和是零向量，即a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0.所以，如果a 、b 是互为相反的向量，那么a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0. (1)平行四边形法则如图1，设向量AB →＝b ，AC →＝a ，则AD →＝－b ，由向量减法的定义，知AE →＝a ＋(－b )＝a －b .图1又b ＋BC →＝a ，所以BC →＝a －b .由此，我们得到a －b 的作图方法． (2)三角形法则如图2，已知a 、b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即a －b 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量，这是向量减法的几何意义．图2讨论结果：①向量也有减法运算．②定义向量减法运算之前，应先引进相反向量．与数x 的相反数是－x 类似，我们规定，与a 长度相等，方向相反的量，叫做a 的相反向量，记作－a .③向量减法的定义．我们定义a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． 规定：零向量的相反向量是零向量．④向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现．提出问题①上图中，如果从a 的终点到b 的终点作向量，那么所得向量是什么？ ②改变上图中向量a 、b 的方向使a ∥b ，怎样作出a －b 呢？讨论结果：①AB →＝b －a . ②略． 应用示例例1如图3(1)，已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a －b ，c －d .图3活动：教师让学生亲自动手操作，引导学生注意规范操作，为以后解题打下良好基础；点拨学生根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量．作法：如图3(2)，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d . →→变式训练在ABCD 中，下列结论错误的是( )A.AB →＝DC →B.AD →＋AB →＝AC →C.AB →－AD →＝BD →D.AD →－BC →＝0分析：A 显然正确，由平行四边形法则可知B 正确，C 中，AB →－AD →＝BD →错误，D 中，AD →－BC →＝AD →＋DA →＝0正确．答案：C例2如图4，在ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，你能用a 、b 表示向量AC 、DB 吗？图4活动：本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量，这是用向量证明几何问题的基础．要多注意这方面的训练，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道AC →＝a ＋b ，同样，由向量的减法，知DB →＝AB →－AD →＝a －b .变式训练 1．已知一点O 到ABCD 的3个顶点A 、B 、C 的向量分别是a 、b 、c ，则向量OD →等于( )A ．a ＋b ＋cB ．a －b ＋cC.a ＋b －c D ．a －b －c解析：如图5，点O 到平行四边形的三个顶点A 、B 、C 的向量分别是a 、b 、c ，结合图形有OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋BC →＝OA →＋OC →－OB →＝a －b ＋c .图5 答案：B2．若AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b .①当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 垂直？②当a 、b 满足什么条件时，|a ＋b|＝|a －b|?③当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 平分a 与b 所夹的角？④a ＋b 与a －b 可能是相等向量吗？解：如图6，用向量构建平行四边形，其中向量AC →、DB →恰为平行四边形的对角线且AB ＝a ，AD ＝b .图6 由平行四边形法则，得AC →＝a ＋b ，DB →＝AB →－AD →＝a －b .由此问题就可转换为：①当边AB 、AD 满足什么条件时，对角线互相垂直？(|a|＝|b|)②当边AB 、AD 满足什么条件时，对角线相等？(a 、b 互相垂直)③当边AB 、AD 满足什么条件时，对角线平分内角？(|a|、|b|相等)④a ＋b 与a －b 可能是相等向量吗？(不可能，因为对角线方向不同)点评：灵活的构想，独特巧妙，数形结合思想得到充分体现．由此我们可以想到在解决向量问题时，可以利用向量的几何意义构造几何图形，转化为平面几何问题，这就是数形结合解题的威力与魅力，教师引导学生注意领悟.(1)若非零向量a 与b 的方向相同或相反，则a ＋b 的方向必与a 、b 之一的方向相同．(2)△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0.(3)若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A 、B 、C 三点是一个三角形的三顶点．(4)|a ＋b|≥|a －b |.活动：根据向量的加、减法及其几何意义．解：(1)a 与b 方向相同，则a ＋b 的方向与a 和b 方向都相同；若a 与b 方向相反，则有可能a 与b 互为相反向量，此时a ＋b ＝0的方向不确定，说与a 、b 之一方向相同不妥．(2)由向量加法法则AB →＋BC →＝AC →，AC →与CA →是互为相反向量，所以有上述结论．(3)因为当A 、B 、C 三点共线时也有AB →＋BC →＋AC →＝0，而此时构不成三角形．(4)当a 与b 不共线时，|a ＋b|与|a －b|分别表示以a 和b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，其大小不定．当a 、b 为非零向量共线时，同向则有|a ＋b|>|a －b|，异向则有|a ＋b|<|a －b |；。
人教A版高中数学必修4《二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示》优质课教案_0
平面向量的正交分解及坐标表示一、教材分析本课时的内容包括“向量的正交分解及坐标表示”，向量基本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑基础，因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解，建立坐标系才有了依据，同时，只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算。
向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，实现了向量运算完全代数化，实现了数与形的结合。
二、学情分析对于学生来说，向量是个新内容。
前面学生已经掌握了向量的物理背景和概念，向量的几何表示，向量加减法及几何意义。
学生对这些知识的学习是模棱两可的，知识的掌握是浮在表面上的。
因此，在本课的教学之中教师引导学生获得对问题本质的认识是一个具有挑战性的教学活动，想在一节课中就实现学生联系各个模块知识灵活运用是不现实的，只有在今后的学习中，不断领悟、反思、运用，逐步深刻理解并运用它们。
三、教学目标1．知识与技能（1）掌握向量的正交分解，理解向量坐标表示的定义，具体要求：①能写出给定向量的坐标；②给出坐标能画出表示向量的有向线段；（2）掌握向量的坐标与表示该有向线段起、终点坐标的关系，具体要求：①知道起点在坐标原点时，向量的坐标就是终点的坐标；②i(1,0)=；=，0(0,0)=，j(0,1)（3）理解向量与坐标之间是一一对应关系。
2．过程与方法学生经历向量的几何表示——线性表示——坐标表示的实现过程，从中体会由特殊到一般的研究问题的方法，体会由“形”到“数”的数形结合思想及与点与坐标关系的类比思想。
3．情感态度与价值观在实现平面向量坐标表示的过程中，学生独立探索、参与讨论交流，从中加深对知识的理解，体验学习数学的乐趣。
通过具体问题的分析解决，渗透数形结合数学思想，提高学生从一般到特殊的归纳能力。
四、教学重点平面向量的坐标表示。
五、教学难点对平面向量坐标表示生成过程的理解。
突破方法：设置情景问题，注意过程分析与引导，力求自然、合理。
六、教学方法启发式教学法七、教学过程（一）创设问题情境师生活动：教师提问，学生思考、回答，学生口述的同时，教师加以引导并用幻灯片展示． 师：倾斜角为30o 的斜面上，质量为100kg 的物体匀速下滑，欲求物体受到的滑动摩擦力和支持力，该如何对重力进行分解？【设计意图】引出课题。
《平面向量》教材分析
(一)本章内容向量是新教材增加的内容之一,无论是对于教师还是学生都是新的.向量是数学中的重要内容,它和数一样也能进行运算,而且利用向量的有关知识还能有效地解决数学,物理等学科中很多问题.作为学生,接触到新的内容,不仅增大了知识的容量,而且由于立足于向量这一新的视角,进一步拓宽了思维的渠道.作为教师不仅要学习新内容,而且要从思想方法上研究新内容的内涵实质,修整原有的认知,用向量的观点研究以往教材的知识结构体系,培养学生运用向量解决问题的意识向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法本章共分两大节第一大节是“向量及其运算”，内容包括向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积、平面向量的坐标运算；线段的定比分点、平面向量的数量积及运算律、平面向量数量积的坐标表示、平移等为培养学生的创新意识和实践能力，激发学生学习数学的好奇心，启发学生能够发现问题和提出问题，学会分析问题和创造性地解决问题，本节中安排了一个实习作业和研究性课题教学中要加以实施为扩大学生的知识面，本章中还安排了两个阅读材料，即“向量的三种类型”和“人们早期怎样测量地球的半径”本章重点是向量的概念，向量的几何表示和坐标表示，向量的线性运算，平面向量的数量积，线段的定比分点和中点坐标公式，平移公式，解斜三角形等本章的难点是向量的概念，向量运算法则的理解和运用等本章一开始，从帆船航行的距离和方向两个要素出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念向量的加法与减法、实数与向量的积，实际是向量的线性运算知识教科书先讲了向量的加法、加法运算律，然后用相反向量及向量的加法定义向量的减法，这样把向量的加法与减法统一了起来教科书又通过向量的加法引入了实数与向量的积的定义，接着给出了实数与向量的积的运算律，最后介绍了向量共线的充要条件和平行向量基本定理，这样为后面介绍平面向量的坐标表示奠定了理论基础在“向量及其表示”中，主要介绍有向线段，向量的定义，向量的长度，向量的表示，相等向量，相反向量，自由向量，零向量在“向量的线性运算”中，介绍向量加法的定义，向量加法的运算律；向量减法的定义，向量方程，向量长度的三角不等式；数乘向量的定义，单位向量，数乘向量的运算律在“向量的共线与共面”中，介绍平行向量，共线向量，共面向量，两个向量共线的充要条件，直线的向量方程，三个向量共面的充要条件在“向量的内积”中，介绍两个向量的夹角，向量内积的定义，向量内积的几何意义，向量内积的运算律，向量内积的性质通过建立直角坐标系，给出了向量的另一种表示式----坐标表示式，这样就使得向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，然后给出了向量的加法、减法及实数与向量的积的坐标运算，这就为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁在向量坐标运算的基础上，还导出了线段的定比分点坐标公式和线段的中点公式向量的数量积体现了向量的长度和三角函数之间的一种关系，特别用向量的数量积能有效地解决线段垂直的问题把向量的数量积应用到三角形中，还能解决三角形边角之间的有关问题平面向量数量积的概念，教科书是从学生熟知的功的概念引入的，在介绍了平面向量数量积的定义及几何意义之后，又介绍了平面向量数量积的5个重要性质、运算律及其坐标表示特别通过两个向量数量积的坐标表示，很容易推导出平面内两点间的距离公式对这一章中概念的处理，是根据概念在教科书中的地位、作用及特点，对不同的概念采用不同的处理方式一些概念是通过例举反映概念实质的具体的对象，并充分发挥几何图形的直观的特点，使学生在感性认识的基础上建立概念，并理解概念的实质，像向量的概念等；一些概念则不仅给出严格的定义，还要分析满足定义的充要条件，要求学生理解、记忆，并通过适当的练习，让学生会用，像向量数量积的概念等这一章中的一些例题，不是先给出解法，而是先进行分析，探索出解题思路，再给出解法学思想和数学方法，有的还让学生进一步考虑相关的问题(三)注意培养学生的思维能力注意对学生思维能力的培养，对知识的处理，都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式，从而培养学生的思维能力对于解斜三角形，教科书是这样引入的：“在初中，我们已会解直角三角形，就是说，已会根据直角三角形中的边与角求出未知的边与角那么，如何来解斜三角形呢?也就是如何根据斜三角形中已知的边与角求出未知的边与角呢?”通过设问，引起学生思考(四)注意数学思想方法的渗透在这一章中，从引言开始，就注意结合具体内容渗透数学思想方法例如，从帆船在大海中航行时的位移，渗透数学建模的思想介绍相等向量及有关作图的训练，渗透平移变换的思想由于向量具有两个明显特点——“形”的特点和“数”的特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁，向量的坐标实际是把点与数联系了起来，进而可把曲线与方程联系起来，这样就可用代数方程研究几何问题，同时也可以用几何的观点处理某些代数问题，因此这部分知识还渗透了数形结合的解析几何思想(五)突出知识的应用(1)加强向量在数学知识中的应用，注意突出向量的工具性，很多公式都用向量来推导，如线段的定比分点公式、平面两点间距离公式、平移公式及正弦定理、余弦定理等(2)加强向量在物理中的应用为培养学生用向量知识解决有关物理问题的能力，在这一章的最后，安排了一个研究性课题，即向量在物理中的应用对于一个物理问题，首先要把它转化成数学问题，即用数学知识建立物理量之间的关系，也就是抽象成数学模型，然后再用建立起的数学模型解释相关物理现象《平面向量》教材分析与教学建议一、新旧教材对比分析1、在章节编排上有了一定的调整，对原教材中的某些小节作了合并，原教材中的“向量的加法与减法”与“实数与向量的积”合并为“向量的线性运算”，原教材中的“线段的定比分点”并入“向量的坐标运算”，原教材中的“平面向量的数量积及运算律”与“平面向量数量积的坐标表示”合并为“向量的数量积”。
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第二章平面向量教材分析
这一章主要介绍平面向量的基础知识，包括平面向量的概念、运算以及简单应用等本章教学时间约12课时，具体安排如下：
2.1平面向量的实际背景及基本概念约2课时
2.2平面向量的线性运算约2课时
2.3平面向量的基本定理及坐标表示约2课时
2.4平面向量的数量积约2课时
2.5平面向量应用举例约2时
小结与复习约2课时
(一)本章内容
向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题
向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法
本章重点是向量的概念，向量的几何表示和坐标表示，向量的线性运算，平面向量的数量积，线段的定比分点和中点坐标公式，平移公式本章的难点是向量的概念，向量运算法则的理解和运用等
(二)本章教学要求
1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念
2.掌握向量的加法与减法
3.掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件
4.了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算
5.掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件
6.掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分点公式和中点坐标公式，并且能熟练运用，掌握平移公式
向量的加法与减法、实数与向量的积，实际是向量的线性运算知识教科书先讲了向量的加法、加法运算律，然后用相反向量及向量的加法定义向量的减法，这样把向量的加法与减法统一了起来教科书又通过向量的加法引入了实数与向量的积的定义，接着给出了实数与向量的积的运算律，最后介绍了向量共线的充要条件和平行向量基本定理，这样为后面介绍平面向量的坐标表示奠定了理论基础
在“向量及其表示”中，主要介绍有向线段，向量的定义，向量的长度，向量的表示，相等向量，相反向量，自由向量，零向量
在“向量的线性运算”中，介绍向量加法的定义，向量加法的运算律；向量减法的定义，向量方程，向量长度的三角不等式；数乘向量的定义，单位向量，数乘向量的运算律
在“向量的共线与共面”中，介绍平行向量，共线向量，共面向量，两个向量共线的充要条件，直线的向量方程，三个向量共面的充要条件
在“向量的内积”中，介绍两个向量的夹角，向量内积的定义，向量内积的几何意义，向量内积的运算律，向量内积的性质
通过建立直角坐标系，给出了向量的另一种表示式----坐标表示式，这样就使得向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，然后给出了向量的加法、减法及实数与向量的积的坐标运算，这就为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁在向量坐标运算的基础上，还导出了线段的定比分点坐标公式和线段的中点公式
向量的数量积体现了向量的长度和三角函数之间的一种关系，特别用向量的数量积能有效地解决线段垂直的问题把向量的数量积应用到三角形中，还能解决三角形边角之间的有关问题平面向量数量积的概念，教科书是从学生熟知的功的概念引入的，在介绍了平面向量数量积的定义及几何意义之后，又介绍了平面向量数量积的5个重要性质、运算律及其坐标表示特别通过两个向量数量积的坐标表示，很容易推导出平面内两点间的距离公式
本大节的最后，介绍了平移(这里讲的平移是指图象的平移)接着推导出了平移公式，并举例说明了平移公式的应用
对这一章中概念的处理，是根据概念在教科书中的地位、作用及特点，对不同的概念采用不同的处理方式一些概念是通过例举反映概念实质的具体的对象，并充分发挥几何图形的直观的特点，使学生在感性认识的基础上建立概念，并理解概念的实质，像向量的概念等；一些概念则不仅给出严格的定义，还要分析满足定义的充要条件，要求学生理解、记忆，并通过适当的练习，让学生会用，像向量数量积的概念等
这一章中的一些例题，不是先给出解法，而是先进行分析，探索出解题思路，再给出解法解题后，有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法，有的还让学生进一步考虑相关的问题
关于向量运算，是借助于几何直观，并通过与数的对比引入，这样便于学生接受例如，关于向量的减法，在向量代数中，常有两种定义方法，第一种是将向量的减法定义为向量加法的逆运算，也就是，如果a+x=b，则 x叫做向量b与
a的差这样，作b-a时，可先在平面内取一点O，再作，则就
是b-a第二种方法是在相反向量的基础上，通过向量的加法定义向量的减法，即已知a、b，定义b-a=b+(-a)在这种定义下，作b-a时，可先在平面内任取一点
O，作则由向量加法的平行四边形法则知，由于
b+(-a)=b-a，即就是b-a实验表明，对中学生来讲，用这一种定义方法，学生不易理解向量减法的定义，但很容易作b-a而用第二种定义方法，学生根容易接受b-a=b+(-a)，但作b-a较繁为便于学生接受，在定义向量的减法时，先给出相反的向量(对比初中代数中的相反数)，再把b-a定义为b+(-a)，并告诉学生，作b-a时，只要按教科书图作出即可
(三)注意培养学生的思维能力
注意对学生思维能力的培养，对知识的处理，都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式，从而培养学生的思维能力对于解斜三角形，教科书是这样引入的：“在初中，我们已会解直角三角形，就是说，已会根据直角三角形中的边与角求出未知的边与角那么，如何来
解斜三角形呢?也就是如何根据斜三角形中已知的边与角求出未知的边与角呢?”通过设问，引起学生思考
(四)注意数学思想方法的渗透
在这一章中，从引言开始，就注意结合具体内容渗透数学思想方法例如，从帆船在大海中航行时的位移，渗透数学建模的思想通过介绍相等向量及有关作图的训练，渗透平移变换的思想
由于向量具有两个明显特点——“形”的特点和“数”的特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁，向量的坐标实际是把点与数联系了起来，进而可把曲线与方程联系起来，这样就可用代数方程研究几何问题，同时也可以用几何的观点处理某些代数问题，因此这部分知识还渗透了数形结合的解析几何思想
(五)突出知识的应用
(1)加强向量在数学知识中的应用，注意突出向量的工具性，很多公式都用向量来推导，如线段的定比分点公式、平面两点间距离公式、平移公式及正弦定理、余弦定理等
(2)加强向量在物理中的应用
为培养学生用向量知识解决有关物理问题的能力，在这一章的最后，安排了一个研究性课题，即向量在物理中的应用对于一个物理问题，首先要把它转化成数学问题，即用数学知识建立物理量之间的关系，也就是抽象成数学模型，然后再用建立起的数学模型解释相关物理现象
(3)注意联系实际
在这一章中，把联系实际分成三个层次：
第一层次，在知识的引入上联系实际例如，向量的概念从帆船航行的位移引入，平面向量的数量积从力作的功引入
第二层次，引导学生用数学知识解决实际生活和生产中的问题例如，在向量的加法之后，安排了求小船实际航行的速度的例题在解斜三角形之后，专门安排了“解斜三角形应用举例”一节等
第三层次，安排实习作业安排实习作业的目的是进一步巩固学生所学知识，提高学生分析问题解决问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果的能力，从而增强学生用数学的意识。