计算方法(孙志忠)习题 第三章 线性方程组数值解法
第三章线性方程组数值解法
a 11 Di xi , D det( A ), D i det D a n1
a 1i 1
b1 bn
a1i 1 a ni 1
a ni 1
a1 n a nn
第3章
线性方程组的数值解法
但Gram法则不能用于计算方程组的解，如n＝100，1033次/秒的计算机要算10120年
所以，Gauss消元法的可行条件为： a ( k ) 0 kk
《 计 算 方 法 与 实 习 》
因此，有些有解的问题，不能用Gauss消元求解
另外，如果某个 a kk
(k )
很小的话，会引入大的误差
第3章
线性方程组的数值解法
高斯主元素消元法是消去法的一种改进。它的基
本思想是在逐次消元时总是选绝对值最大的元素(称之 为主元)做除数,按消元法的步骤消元。
《 n次运算 ① 计 算 方 A diag ( a , a , , a ) x b i , i 1, , n 11 22 nn i 法 a ii 与 实② （n＋1）n/2次运算 习 i 1 》 l11
l 21 A l n1
l 22 ln 2 l nn
《 解线性方程组的方法可以分为2类： 计 ①直接法：准确，可靠，理论上得到的解是精确的,但由于计算中有舍入误差,故 算 得到的也是近似解. 方 法 ②迭代法：速度快，但有误差（雅可比迭代法、高斯—赛得尔迭代法） 与 实 习 》
第3章
线性方程组的数值解法
3.2 消元法
我们知道，下面有3种方程的解我们可以直接求出：
运算量： (n-2)*(1+n-1)=(n-2)n
计算方法与实习 第四版 (孙志忠 著) 东南大学出版社 课后答案
2
ww
w.
kh
da
w.
co
∗ − y | → ∞, 计算过程不稳定。 注 ：此题中，|yn n
m
× 10−3 .
w.
n = 1, 2, · · ·
co m
e2 e2 r r = . 1 + er 1 − er
w.
课后答案网
aw . kh d
∗ − y | = 510 e ≤ n = 10时，|yn n 0
√ 计算到y100 , 若取 783 ≈ 27.982 (5位有效数字)，试问计算到y100 将有多大误差？ √ 答 ：设x∗ = 783, x = 27.982, x∗ = x + e.
−2 ∗ = y∗ yn n−1 − 10 (x + e), yn = yn−1 − 10−2 x,
1 √ 783, 100
概率与数理统计 第二, C语言程序设计教程 第 西方经济学(微观部分) C语言程序设计教程 第 复变函数全解及导学[西 三版 (浙江大学 三版 (谭浩强 张 (高鸿业 著) 中 二版 (谭浩强 张 安交大 第四版]
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2009-10-15
ww
er − er = er −
e2 e e 1 r = . = e − = e − r r x∗ e+x 1 + er 1 + e1 r ·········
7. 设y0 = 28, 按递推公式
案 答
yn = yn−1 −
网 课 后
1 2
6. 机器数–略。
w. kh da
∗ −y |=e≤ n = 100时，|yn n
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数值方法课后习题答案第3章
第三章直接法解线性方程组习题3-11. 写出列主元消去算法。
For k =1 to n-1 do1）消元：(1) 选主元：(2) 判别： , than stop(3) 换行： (j=k,k+1,...,n+1)(4) 计算乘数： (i=k+1,...,n)(5) 消元：(i=k+1,...,n; j=k+1,...,n+1) 2) 回代：(1) ,than stop(2) 回代：for k=n,n-1,...,1 do(3) 打印：print x j =a j,n+12. 用全主元高斯—约当消元法求下列方程的解3. 用全主元高斯—约当消去法求下列矩阵的逆矩阵4. 请用列全主元高斯—约当消去法求下列矩阵的逆矩阵6．如果在解方程组过程中，希望顺便求出系数矩阵A的行列式值det(A)，用什么方法比较方便？需注意一些什么问题？如果用高斯—约当列主元消去法，如何求出det(A)?高斯消元法解方程时；主元素高斯消元法解方程时，注意换行列会改变行列式的符号；用高斯—约当列主元消去法解方程时，把列主元 记录下来，把换行的次数m记录下来，。
7. 设A x=b是线性方程组1) 用列元高斯约当消去法，求解此方程组。
2) 求系数矩阵的行列式。
3) 求系数矩阵的逆矩阵。
也是一个指标为k的初等下三角阵，其中I i,j 为排列阵：证明：只是m i,k与m j,k换了个位置。
9．试证明单位下三角阵的逆矩阵仍然是一个单位下三角阵。
证：证得 下三角阵的逆阵仍是下三角阵。
当A为单位下三角阵时， ，B也是单位下三角阵。
习题3-25. 设A为n阶非奇异阵，且有分解式 A=LU，其中L为单位下三角阵，U为上三角阵，求证：A的所有顺序主子式均不为零。
证明：U一定是非奇异阵，否则A=LU也奇异。
记A的顺序主子阵为A k ，L的顺序主子阵为L k ，U的顺序主子阵为U k ，由分块阵的乘法6. 设A对称正定，试证明A一定可以进行以下分解:A=UU T，其中U是上三角阵，若限定U的对角元为正的，此分解唯一。
数值计算方法第3章解线性方程组的数值解法1
,i
2 ,3 ,...,
n
a
(1 11
)
A（ 1） A ( 2 )
a (1) 11
a (2) 22
...... ......
......
a (2) n2
......
a a
(1) 1n
(2) 2n
a
(2 nn
)
b (1)
b (2)
[
b
( 1
1
)
b (2) 2
a(k) kk
...
a(k) kn
... ... ...
...
...
a(n) nn
b1(1) b2(2)
...
bk(k)
...
bn(n)
21
高斯顺序消去法
也就是对于方程组AX=b系数矩阵做：
ai(jkl1i)k
a(k) ik
a(k) ij
/
a(k) kk
3)顺序消元
31
高斯列主元消去法
第k步
从A ( k ) 的第
k
列
a (k) kk
，a (k) k 1k
，...a
(k) nk
中选取绝对值
最大项，记录所在行，即
|a(k) ikk
|m kina|axi(kk)
|
记 lik
若 l k 交换第k行与l行的所有对应元素，再 进行顺序消元。
32
其中， lii 0, i 1,2,..., n
（1）
10
高斯顺序消元法
第三章 线性代数方程组的解法
于是 由于 e
e
(0)
(k )
= Me
( k - 1)
= M e
2 ( k - 2)
=L = M e
时
Mk - 0
Mk ® 0
k (0)
可以是任意向量,故 e
(k )
收敛于0当且仅
0
k M 当 收敛于零矩阵，即当 k
矩阵序列：M1，M2，M3……Mk 收敛于零矩阵
15
3.1 简单迭代法的一般形式
于是 0 ? (r (M )) 所以必有
k
13
3.1 简单迭代法的一般形式
定理3-1 简单迭代公式 x(k + 1) = Mx( k ) + g , k = 0,1, 2,L
收敛的充要条件是迭代矩阵M的谱半径 r (M ) < 1
证:必要性 设迭代公式收敛,当k→∞时,
x
(k )
® x
*
则在迭代公式两端同时取极限得 x* = Mx* + g
x( k + 1) = Mx( k ) + g
M 1- M
k
(k = 0,1,L )
收敛,且有误差估计式,且有误差估计式
x - x
* (k )
?
x( k )
x( k- 1)
及
x - x
*
(k )
M ? 1- M
x (1)
x (0)
18
3.1 简单迭代法的一般形式
收敛时令k→∞，有 等价地有Ax*=b . 控制迭代结束的实用标准：
计算方法 吴筑筑编
第三章 线性代数方程组的解法
孙剑
计算机学院信息管理系
1
本章主要内容：
第三章 解线性方程组的直接方法
(7) 矩阵的行列式 设A∈Rn×n，则A的行列式可按任一行(列)展开,
n
det( A) aij Aij (i 1,2,, n), j 1
其中Aij为aij的代数余子式，Aij=(-1)i+jMij，为Mij元 素aij的余子式.
行列式性质：
(a) det( AB) det(A)det(B), A, B Rnn . (b) det( AT ) det( A), A Rnn .
乘矩阵的第1行加到第 i 行上, 得到矩阵:
26
a1(11) a1(12) a1(13) ... a1(1n) b1(1)
0 a2(22) a2(23) ... a2(2n) b2(2)
(
A( 2 )
,
b(2)
)
0
a3( 22)
a3( 23)
...
a3( 2n)
b3( 2
再消去最后一个方程的x2得
x1
2 x2 5 x2
x3 1 2x3 2
42 5
x3
7 5
消元结束.
x1
1 2
经过回代得解:
x2
1 3
x3
1 6
24
消元过程: 先逐次消去变量 x1, x2, 将方程组化 为同解的上三角形方程组. 回代过程: 按方程相反的顺序求解上三角形方程组.
)
0
an( 22)
an( 23)
...
an( 2n)
bn( 2
)
数值计算方法-第3章--线性方程组的解法PPT课件
个顺序主子式
a a (1)
(1)
11
12
Dk
a(1) 21
a(1) 22
a(1) 1k
a(1) 2k
0
(k 1, 2,..., n 1).
a a (1)
(1)
k1
k2
a(1) kk
.
13
顺序Gauss消去法计算过程中的 akk(k) 称为主元素，在 第k步消元时要用它作除数,则可能会出现以下几种情况
.
是原方程组 Ax=b 的解向量。
27
对于
Ly =b
1
由
l21
1
l31
l32 1
y1 b1
y2
b2
y3
b3
ln1 ln2 lnn1 1 yn bn
.
解得
y1 yk
b1 bk
k 1 i 1
lki
yi
,
k 2,3,, n
28
对于 Ux =y
u11 u12 u1n x1 y1
2x3 6
⑤
x1 6 (x2 x3 ) 1
x2 x3 5 / 4 2
x3 (6) / (2) 3
用x3, x2的值求x1 把x3的值代入②求x2
.
8
从下向上逐步求解
对应的增广矩阵的变化
1 1 1 6 1 1 1 6
( A | b) 0
4
1 5 0
4
1
5
2 2 1 1 0 4 1 11
0.8334
5.910
12.10
0.0120 0.0100 0.1670 0.6781
3200
1200
4.200 981.0
计算方法 数值分析 第三章考点总结CH.3
第三章 解线性方程组的迭代法解线性方程组：10,(,......,)Tn Ax b x x x -== 将方程组变形为1,(,......,)T n x Bx f x x x =+= 的形式 移项法111213112122232231323333a a a x b a a a x b a a a x b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎥=⇒ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭131211111111123212222222223331323333333000a a b a a ax x a a b x x a a a x xaa b a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭很容易推广到n 阶简单迭代法（Jacobi 迭代法）1122(,,......,)nn D diag a a a =迭代：11100()1,2,...k k x B x f B I D A f D b k +--=+=--== 0x ：初值，任意。
分量式：(1)()11()nk k ii ij j j ii j ixb a x a +=≠=-∑ 1,2,...,i n = ,L U 分别表示A 的下三角和上三角部分（不含对角线）。
A=D+L+U10();0()ij n n ij ij ij L l l a i j l i j B D L U ⨯-==>=≤=-+迭代次数的控制：迭代到1*(1)k k k xx x x ε++-<≈ 取(1)()(1)1()1?()k k k k x x x I D A x D b ++---==-- (1)()1()1()()k k k k x x D Ax b D r +---=-=前述()*()()||||k k x x r cond A xb -≤，控制()()*,()k k rx x cond A - 与有关，对病态方程组，可能ε很小而解的精度不高。
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2 2 3 1 0 0 2 2 3 A = 4 7 7 = 2 1 00 b 1 − 2 4 5 −1 a 10 0 6
则a, b的值分别为a = 2，b = 2 。 （
三、选择题 1、以下矩阵是严格对角占优矩阵的为(
x 1 − 2x 2 + 2x 3 = 5 = −1 的高斯-赛德尔迭代格式，并分析此格 3、写出计算 − x 1 + 3x 2 2x + 7x 3 = 2 1
式的敛散性。
x1 + 2 x2 − 2 x3 = 1 4、 对方程组 x1 + x2 + x3 = 3 ，用雅可比迭代法求解 2 x + 2 x + x = 5 2 3 1 是否收敛？若收敛，取初始向量 x (0) = (0, 0, 0)T ，迭代计 算至 x ( k +1) − x ( k )
∞
≤ 10 −8
5、问 α 取何值时，用高斯-赛德尔迭代法求解线性方程组
α x1 + 3x2 = b1 3 x1 + α x2 = b2
是收敛的？
）
)。
0 2 −1 0 − 1 2 − 1 0 A、 0 − 1 2 − 1 0 −1 2 0
5 1 B、 1 0
2 1 0 4 1 0 1 4 1 0 1 2 1 1 1 0 4 1 1 5
5 1 C、 2 0
1、用高斯消去法解线性方程组 Ax = b 时，无论条件数 cond(A)多大， 在不考虑舍入误差的情况下，得到的都是精确解。 （ ）
2、 若 n 阶方阵 A 的谱半径 ρ ( A) < 1 ，则求解线性方程组 Ax = b 的 Gauss-Seidel 迭代法收敛。 （ ） ）
3、当行列式 A ≠ 0 时，线性方程组 Ax = b 有唯一解。 （ 4、对矩阵 A 作如下的 Doolittle 分解：
1 − 1 3 x1 1 2 − 4 6 x2 = 4 4 − 9 2 x 1 3
2 、 用 矩 阵 的 直 接 三 角 分 解 法 （ LU 分 解 ） 解 方 程 组
1 0 1 0 0 1 2 1 2 0 4 0 0 x1 5 1 x2 = 3 3 x 3 17 3 x4 7
） ， x∞= （
） ， x 2 =（
） 。
3x1 + 5x2 = 1 的高斯－赛德尔 迭 代 格 式 为 4 、 求 解 线 性 代 数 方 程 组 1 x + 4 x = 0 1 2 5
（ 径 ρ (G ) = （ 二、判断题
） 。 该迭代格式的迭代矩阵的谱半 ） ，所以该迭代格式是（ ）
第三章 线性方程组数值解法 一、填空题 1、已知矩阵 A = 2 2、设 A =
2 − 1 ，则 A 2
2
＝（
）， A ） 。
∞
＝
（
） 。
3 2 2 , x = , 则 AX − 2 1 − 3
∞
=（
3、设 x = (3,−1,5,8) T ,则 x 1 ＝（
2 −1 4 1 0 2 4 1
0 − 1 1 2
4 2 1 4 D、 2 − 1 1 3
2 、解方程组 Ax = b 的简单迭代格式 x ( k +1) = Bx ( k ) + f 收敛的充要条件是 （ ） 。 A、ρ ( A) < 1 B、ρ ( B) < 1 C、ρ ( A) > 1 D、ρ (B) > 1 四、问答题 1、用列主元高斯消去法解线性代数方程组