江苏省盐城市2021届新高考数学一模考试卷含解析
江苏省盐城市2021届新高考数学一模考试卷含解析
江苏省盐城市2021届新高考数学一模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一个对称中心为（ ） A ．(,0)3πB ．(,0)4πC ．(,0)12πD ．(0,0)【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得1sin()26y x π=+的图象；再将图象向右平移3π个单位，可得11sin[()]sin 2362y x x ππ=-+=的图象，那么所得图象的一个对称中心为(0,0)，故选D. 考点：三角函数的图象与性质.2．已知定义在[)1,+∞上的函数()f x 满足()()33f x f x =，且当13x ≤≤时，()12f x x =--，则方程()()2019f x f =的最小实根的值为（ ） A ．168 B ．249C ．411D ．561【答案】C 【解析】 【分析】先确定解析式求出(2019)f 的函数值，然后判断出方程()()2019f x f =的最小实根的范围结合此时的5()3f x x =-，通过计算即可得到答案.【详解】当1x ≥时，()()33f x f x =，所以22()3()3()33x x f x f f ===L 3()3n n x f =，故当 +133n n x ≤≤时，[1,3]3n x ∈，所以()13,233(12)33,23n n nn n nx x x f x x x +⎧-≥⋅=--=⎨-<⋅⎩，而 672019[3,3]∈，所以662019(2019)3(12)3f =--=732109168-=，又当13x ≤≤时， ()f x 的极大值为1，所以当+133n n x ≤≤时，()f x 的极大值为3n ，设方程()168f x =的最小实根为t ，45168[3,3]∈，则56533(3,)2t +∈，即(243,468)t ∈，此时5()3f x x =-令5()3168f x x =-=，得243168411t =+=，所以最小实根为411. 故选：C. 【点睛】本题考查函数与方程的根的最小值问题，涉及函数极大值、函数解析式的求法等知识，本题有一定的难度及高度，是一道有较好区分度的压轴选这题. 3．设命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为 A ．,a b R ∀∈，a b a b -≥+ B ．,a b R ∃∈，a b a b -<+ C ．,a b R ∃∈，a b a b ->+ D ．,a b R ∃∈，a b a b -≥+【答案】D 【解析】 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为：,a b R ∃∈，a b a b -≥+.故本题答案为D. 【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题.4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A ．1010.1 B ．10.1C ．lg10.1D ．10–10.1【答案】A 【解析】 【分析】由题意得到关于12,E E 的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值. 【详解】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-, ()10.111212222lg( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==. 故选A. 【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算. 5．已知i 为虚数单位，若复数12i12iz +=+-，则z = A ．9i 5+B ．1i -C ．1i +D ．i -【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】因为212i (12i)(2i)2i 4i 2i 1111i 2i (2i)(2i)5z ++++++=+=+=+=+--+，所以1i z =-，故选B ． 6．设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆C ：2212x y +=交于不同的两点P ，Q ，若原点O 在以PQ 为直径的圆的外部，则直线l 的斜率k 的取值范围为（ ）A．⎛ ⎝⎭B．⎛ ⎝⎭⎝UC．2⎛ ⎝ D．22⎛⎛- ⎝⎭⎝U 【答案】D 【解析】 【分析】设直线l ：2y kx =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由原点O 在以PQ 为直径的圆的外部，可得0OP OQ ⋅>u u u r u u u r，联立直线l 与椭圆C 方程，结合韦达定理，即可求得答案. 【详解】显然直线0x =不满足条件，故可设直线l ：2y kx =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由22122x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2212860k x kx +++=，Q ()226424120k k ∆=-+>，∴解得2k >或2k <-，∴122812k x x k +=-+，122612x x k =+， Q 02POQ π<∠<，∴0OP OQ ⋅>u u u r u u u r，∴()()1212121222OP OQ x x y y x x kx kx ⋅=+=+++u u u r u u u r()()21212124kx xk x x =++++()222222611610240121212k k k k k k+-=-+=>+++， ∴解得k <<∴直线l 的斜率k 的取值范围为k ⎛∈ ⎝⎭⎝U . 故选：D. 【点睛】本题解题关键是掌握椭圆的基础知识和圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且公比为2，则n S 与n a 的关系正确的是（ ） A ．41n n S a =- B ．21n n S a =+ C ．21n n S a =- D ．43n n S a =-【答案】C 【解析】 【分析】在等比数列中，由11n n a a S qq-⋅=-即可表示之间的关系.【详解】由题可知，等比数列{}n a 中11a =，且公比为2，故11221112n nn n a a q a a q S -⋅-===---故选：C 【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，属于基础题.8．已知函数()(0)f x x x x =->，()xg x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点分别为1x ，2x ，3x ，则（ ） A ．123x x x << B ．213x x x << C ．231x x x << D ．312x x x <<【答案】C 【解析】 【分析】转化函数()(0)f x x x x =->，()xg x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点为y x =与(0)y x x =>，x y e =-，()ln 0y x x =->的交点，数形结合，即得解.【详解】 函数()(0)f x x x x =->，()xg x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点，即为y x =与(0)y x x =>，x y e =-，()ln 0y x x =->的交点，作出y x =与(0)y x x =>，x y e =-，()ln 0y x x =->的图象，如图所示，可知231x x x << 故选：C 【点睛】本题考查了数形结合法研究函数的零点，考查了学生转化划归，数形结合的能力，属于中档题.9．若函数()()2(2 2.71828 (x)f x x mx e e =-+=为自然对数的底数)在区间[]1,2上不是单调函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．510,23⎛⎫⎪⎝⎭C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】求得()f x 的导函数()'fx ，由此构造函数()()222g x x m x m =+-+-，根据题意可知()g x 在(12)，上有变号零点.由此令()0g x =，利用分离常数法结合换元法，求得m 的取值范围. 【详解】()()2'22x f x e x m x m =+-+-⎡⎤⎣⎦，设()()222g x x m x m =+-+-，要使()f x 在区间[]1,2上不是单调函数，即()g x 在(12)，上有变号零点，令()0g x =， 则()2221x x m x ++=+，令()12,3t x =+∈，则问题即1m t t =+在()2,3t ∈上有零点，由于1t t+在()2,3上递增，所以m 的取值范围是510,23⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查方程零点问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10．如果直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，则点(),M a b 与圆C 的位置关系是（ ） A ．点M 在圆C 上 B ．点M 在圆C 外 C ．点M 在圆C 内 D ．上述三种情况都有可能【答案】B 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离小于半径可得,a b 满足的条件，利用(),M a b 与圆心的距离判断即可. 【详解】Q 直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，∴圆心(0,0)到直线1ax by +=的距离1d =<，1>．也就是点(,)M a b 到圆C 的圆心的距离大于半径． 即点(,)M a b 与圆C 的位置关系是点M 在圆C 外．故选：B【点睛】本题主要考查直线与圆相交的性质，考查点到直线距离公式的应用，属于中档题．11．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多【答案】D【解析】【分析】根据两个图形的数据进行观察比较，即可判断各选项的真假．【详解】在A中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%，所以是正确的；在B中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：56%39.6%22.176%20%⨯=>，互联网行业从业技术岗位的人数超过总人数的20%，所以是正确的；在C中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分别条形图得到：⨯=>，互联网行业从事运营岗位的人数90后比80后多，所以是正确的；13.7%39.6%9.52%3%⨯=<，所以不在D中，互联网行业中从事技术岗位的人数90后所占比例为56%39.6%22.176%41%能判断互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多．故选：D.【点睛】本题主要考查了命题的真假判定，以及统计图表中饼状图和条形图的性质等基础知识的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12．已知12,F F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以12F F 为直径的圆经过点P ，若12PF F ∆2，则双曲线的离心率为（ ）A B ．2C D ．3【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，设点()00,P x y 在第一象限，求出此坐标，再利用三角形的面积即可得到结论. 【详解】由题意，设点()00,P x y 在第一象限，双曲线的一条渐近线方程为by x a=， 所以，00by x a=， 又以12F F 为直径的圆经过点P ，则OP c =，即22200x y c +=，解得0x a =，0y b =，所以，12201223PF F S c y c b ∆=⋅⋅=⋅=，即3c =，即()22243c c a =-，所以，双曲线的离心率为2e =. 故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，解决本题的关键在于求出a 与c 的关系，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年江苏省盐城市滨海中学高考数学一模试卷
2021年江苏省盐城市滨海中学高考数学一模试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|||2A x x =，}x N ∈，集合2{|60}B x x x =+-=，则(A B = )A ．{2}B ．{3-，2}C ．{3-，1}D ．{3-，0，1，2}2．（5分）已知复数21iz i +=+，则z 的虚部为( ) A ．12B ．12iC ．12-D ．12i -3．（5分）已知a ，b 都是实数，那么“2a >”是“方程2220x y x a +--=表示圆”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）已知向量a ，b 满足||1a =，(2,1)b =-，且||2a b -=，则(a b ⋅= ) A ．1-B ．0C ．1D ．25．（5分）函数||21x y =-的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．6．（5分）已知ABCDEF 为正六边形，若A 、D 为椭圆W 的焦点，且B 、C 、E 、F 都在椭圆W 上，则椭圆W 的离心率为( ) A 31B 21C 31- D 31+ 7．（5分）区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融、政务服务、供应链、版权和专利、能源、物联网等．在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有2562种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行2562次哈希运算．现在有一台机器，每秒能进行112.510⨯次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为( )（参考数据20.3010lg ≈，30.477)lg ≈ A ．734.510⨯秒B ．654.510⨯秒C ．74.510⨯秒D ．28秒8．（5分）已知函数,0(),0x xx e x f x x e x ⎧⋅=⎨-⋅<⎩，如果关于x 的方程2[()]()10()f x t f x t R +⋅+=∈有四个不等的实数根，则t 的取值范围( ) A ．1(,)e e-∞--B ．1(e e--，2)-C ．1(2,)e e+D ．1(e e+，)+∞二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．（5分）若函数()f x 对1x ∀，2(1,)x ∈+∞，12()x x ≠，不等式122212()()1f x f x x x -<-成立，则称()f x 在(1,)+∞上为“平方差减函数”，则下列函数中是“平方差减函数”的有( ) A ．()21f x x =-+B ．2()21f x x x =++C ．22()log f x x x =-D ．22()fx x x x=-+10．（5分）已知动点P 在左、右焦点分别为1F 、2F 的双曲线22:13y C x -=上，下列结论正确的是( )A ．双曲线C 的离心率为2B ．当P 在双曲线左支时，122||||PF PF 的最大值为14C ．点P 到两渐近线距离之积为定值D ．双曲线C 的渐近线方程为3y x =±11．（5分）如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，正确的为( )A ．AC BD ⊥B ．//AC 截面PQMN C ．AC BD =D ．异面直线PM 与BD 所成的角为45︒12．（5分）已知函数sin cos ()x x f x e e =-，其中e 是自然对数的底数，下列说法中，正确的是()A ．()f x 在(0,)2π是增函数B ．()4f x π+是奇函数C ．()f x 在(0,)π上有两个极值点D ．设()()f x g x x =，则满足1()()44n n g g ππ+>的正整数n 的最小值是2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则10a = ．14．（5分）在直角边长为3的等腰直角ABC ∆中，E 、F 为斜边BC 上的两个不同的三等分点，则AE AF ⋅= ．15．（5分）已知函数3()(f x x lg x =++，若|1|[(23)a f a f -⋅-+（2）]0>，则实数a 的取值范围是 ．16．（5分）已知函数3()f x x mx n =++，对任意的[2x ∈-，2]，使得|()|2f x ，则m n += ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S 满足224(*)n n S a a n N =-∈，且1a ，2a ，31a -成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式： （2）设222221()()n n n b log a log a +=，{}n b 的前n 项和为n T ，对任意*n N ∈，23n mT >恒成立，求m 的取值范围．18．设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c 且cos 1a B =，sin 2b A =． （Ⅰ）求sin()A C +和边长a ；（Ⅱ）当22b c +取最小值时，求ABC ∆的面积．19．学校趣味运动会上增加了一项射击比赛，比赛规则如下：向A 、B 两个靶子进行射击，先向A 靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分；再向B 靶连续射击两次，如果只命中一次得2分，一次也没有命中得0分，如果连续命中两次则得5分．甲同学准备参赛，经过一定的训练，甲同学的射击水平显著提高，目前的水平是：向A 靶射击，命中的概率是23；向B 靶射击，命中的概率为34．假设甲同学每次射击结果相互独立． （1）求甲同学恰好命中一次的概率；（2）求甲同学获得的总分X 的分布列及数学期望．20．如图，四棱锥P ABCD -，四边形ABCD 为平行四边形，AD BD ⊥，ACBD O =，2AD BD ==，PB PD ⊥，PB PD =，PA PC =，M 为PD 中点．（1）求证：//OM 平面PBC ； （2）求证：平面PAD ⊥平面PBD ； （3）求二面角A PB C --的余弦值．21．在平面直角坐标系中，已知圆心为点Q 的动圆恒过点(1,0)F ，且与直线1x =-相切．设动圆的圆心Q 的轨迹为曲线Γ． （Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点F 的两条直线1l 、2l 与曲线Γ相交于A 、B 、C 、D 四点，且M 、N 分别为AB 、CD 的中点．设1l 与2l 的斜率依次为1k 、2k ，若121k k +=-，求证：直线MN 恒过定点．22．已知函数()(1)x f x e ln x =++．（1）求曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程；（2）若不等式()1f x ax -对任意[0x ∈，)+∞恒成立，求实数a 的取值范围．2021年江苏省盐城市滨海中学高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|||2A x x =，}x N ∈，集合2{|60}B x x x =+-=，则(A B = )A ．{2}B ．{3-，2}C ．{3-，1}D ．{3-，0，1，2}【解答】解：{|22A x x =-，}{0x N ∈=，1，2}，{3B =-，2}，{2}AB ∴=．故选：A ．2．（5分）已知复数21iz i +=+，则z 的虚部为( ) A ．12B ．12iC ．12-D ．12i -【解答】解：复数222(2)(1)33111222i i i i z i i i ++--====-+-， 则3122z i =+，所以z 的虚部为12． 故选：A ．3．（5分）已知a ，b 都是实数，那么“2a >”是“方程2220x y x a +--=表示圆”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：因为22222(1)10x y x a x y a +--=-+=+>， 所以10a +>即1a >-，由2a >能推出1a >-，反之不成立，故“2a >”是“方程2220x y x a +--=表示圆”的充分不必要条件． 故选：A ．4．（5分）已知向量a ，b 满足||1a =，(2,1)b =-，且||2a b -=，则(a b ⋅= ) A ．1-B ．0C ．1D ．2【解答】解：向量a ，b 满足||1a =，(2,1)b =-，且||2a b -=，2224a a b b -⋅+=，即1254a b -⋅+=， 则1a b ⋅=． 故选：C ．5．（5分）函数||21x y =-的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：函数的定义域为R ，排除A ，D ， 当0x >时，210x y =->，排除B ， 故选：C ．6．（5分）已知ABCDEF 为正六边形，若A 、D 为椭圆W 的焦点，且B 、C 、E 、F 都在椭圆W 上，则椭圆W 的离心率为( )A 1B 1CD 【解答】解：由题意设(,0)A c -，(,0)D c ，不妨设点E 在第一象限， 则由正六边形的性质可得三角形ODE 为边长为c 的正三角形，则点E 的坐标为(2c ，代入椭圆方程可得：22223144c c a b +=，根据222,c a b c e a=+=化简可得：42840e e -+=，所以244e =-+（舍去），所以1e =-， 故选：A ．7．（5分）区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融、政务服务、供应链、版权和专利、能源、物联网等．在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有2562种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行2562次哈希运算．现在有一台机器，每秒能进行112.510⨯次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为( )（参考数据20.3010lg ≈，30.477)lg ≈ A ．734.510⨯秒B ．654.510⨯秒C ．74.510⨯秒D ．28秒【解答】解：设这台机器破译密码所需时间大约为x 秒， 则：112562.5102x ⨯=，两边同时取常用对数得：11256( 2.510)2lg x lg ⨯=，112.5102562lgx lg lg lg ∴++=， 52112562lgx lg lg lg ∴+-+=， 122112562lgx lg lg lg ∴+--+=，2582122580.3011265.658lgx lg ∴=-≈⨯-=， 65.658650.658101010x ∴≈=⨯，而94.52320.6532lg lglg lg ==-≈，0.65810 4.5∴≈， 654.510x ∴≈⨯，故选：B ．8．（5分）已知函数,0(),0x xx e x f x x e x ⎧⋅=⎨-⋅<⎩，如果关于x 的方程2[()]()10()f x t f x t R +⋅+=∈有四个不等的实数根，则t 的取值范围( ) A ．1(,)e e-∞--B ．1(e e--，2)-C ．1(2,)e e+D ．1(e e+，)+∞【解答】解：函数,0(),0x xx e x f x x e x ⎧⋅=⎨-⋅<⎩， 当0x 时，()x f x xe =，则()(1)0x f x e x '=+>， 故()f x 在[0，)+∞上单调递增，当0x <时，()x f x xe =-，所以()(1)x f x e x '=-+，所以()f x 在(,1)-∞-上单调递增，在(1,0)-上单调递减，且1(1)f e-=，作出函数()f x 的图象如图所示， 令()f x m =，由图象可知，当1m e =时，()f x 与y m =有两个交点，当1m e>或0m =时，()f x 与y m =有1个交点，当10m e<<时，()f x 与y m =有3个交点， 当0m <时，()f x 与y m =没有交点，因为2[()]()10()f x t f x t R +⋅+=∈有四个不等的实数根， 则方程210m tm ++=有两个不同的实数根，12m m <， 因为121m m =，12m m t +=-，所以10m ≠， 所以1211(0,),(,)m m e e∈∈+∞，且211m m =，所以12111m m m m +=+，11(0,)m e∈， 设1()g x x x =+，1(0,)x e ∈，则21()10g x x'=-<， 所以()g x 在1(0,)e 上单调递减，则11()()g x g e e e>=+，故1t e e->+， 所以1t e e<--．故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．（5分）若函数()f x 对1x ∀，2(1,)x ∈+∞，12()x x ≠，不等式122212()()1f x f x x x -<-成立，则称()f x 在(1,)+∞上为“平方差减函数”，则下列函数中是“平方差减函数”的有( ) A ．()21f x x =-+ B ．2()21f x x x =++C ．22()log f x x x =-D ．22()f x x x x=-+【解答】解：根据题意，设2()()g x f x x =-，若()f x 在(1,)+∞上为“平方差减函数”，则对1x ∀，2(1,)x ∈+∞，12()x x ≠，不等式122212()()1f x f x x x -<-成立，则有2212112212222212121212()()()[()]()()110f x f x f x x f x x g x g x x x x x x x x x ------==⨯=<--+-， 则有1212()()0g x g x x x -<-，则函数2()()g x f x x =-在[1，)+∞为减函数，反之，若函数2()()g x f x x =-在[1，)+∞为减函数，则有2212112212221212()()()[()]()0g x g x f x x f x x x x x x x x ----=+<--，即()f x 在(1,)+∞上为“平方差减函数”，分析选项：对于A ，()21f x x =--，22()()21g x f x x x x =-=---，为开口向下，对称轴为1x =-的二次函数，()g x 在区间[1，)+∞为减函数，则()f x 在(1,)+∞上为“平方差减函数”； 对于B ，2()21f x x x =++，2()()21g x f x x x =-=+，()g x 在区间[1，)+∞为增函数，则()f x在(1,)+∞上不是“平方差减函数”；对于C ，22()log f x x x =-，22()()log g x f x x x =-=-，()g x 在区间[1，)+∞为减函数，则()f x 在(1,)+∞上为“平方差减函数”； 对于D ，22()f x x x x =-+，22()()g x f x x x x=-=-+，()g x 在区间[1，)+∞为减函数，则()f x 在(1,)+∞上为“平方差减函数”； 故选：ACD ．10．（5分）已知动点P 在左、右焦点分别为1F 、2F 的双曲线22:13y C x -=上，下列结论正确的是( )A ．双曲线C 的离心率为2B ．当P 在双曲线左支时，122||||PF PF 的最大值为14C ．点P 到两渐近线距离之积为定值D ．双曲线C的渐近线方程为y = 【解答】解：由双曲线2213y x -=，得21a =，23b =，则2c ==，∴双曲线C 的离心率为2ce a==，故A 正确；当P 在双曲线左支时，1||1PF c a -=，211||2||||2PF a PF PF =+=+，111222211111||||||114||(||2)||44||8||42||||PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF ====+++++． 当且仅当1||2PF =时等号成立，∴122||||PF PF 的最大值为18，故B 错误； 设0(P x ，0)y ，则220013y x -=，双曲线的两条渐近线方程为0x y ±=，则点P 22000000||||||33443y x y x y x -+-==，故C 正确；双曲线的渐近线方程为y =，故D 错误． 故选：AC ．11．（5分）如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，正确的为( )A ．AC BD ⊥B ．//AC 截面PQMN C ．AC BD =D ．异面直线PM 与BD 所成的角为45︒【解答】解：因为截面PQMN 是正方形，所以//PQ MN 、//QM PN ， 则//PQ 平面ACD 、//QM 平面BDA ， 所以//PQ AC ，//QM BD ，由PQ QM ⊥可得AC BD ⊥，故A 正确； 由//PQ AC 可得//AC 截面PQMN ，故B 正确；异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与QM 所成的角，故D 正确； 综上C 是错误的． 故选：ABD ．12．（5分）已知函数sin cos ()x x f x e e =-，其中e 是自然对数的底数，下列说法中，正确的是()A ．()f x 在(0,)2π是增函数B ．()4f x π+是奇函数C ．()f x 在(0,)π上有两个极值点D ．设()()f x g x x =，则满足1()()44n n g g ππ+>的正整数n 的最小值是2 【解答】解：对于函数sin cos ()x x f x e e =-，其中e 是自然对数的底数， 所以sin cos ()cos sin x x f x xe x e '=+⋅，对于A ：由于(0,)2x π∈时，cos 0x >，sin 0x >，所以()0f x '>，所以函数()f x 为增函数，故A 正确；对于B ：设sin()cos()44()()4x x h x f x eeπππ++=+=-，所以sin()cos()cos()cos()cos()sin()4442444()()x x x x x x h x eeee eeh x πππππππ-+-+-+--++-=-=-=-=-，故B 正确；对于C ：由sin cos ()cos sin x x f x xe x e '=+⋅， 在(0,)2x π∈时，cos 0x >，sin 0x >，所以()0f x '>，所以函数在此区间上无极值点， 由2x π=时，()10f x '=≠，下面考虑(,)2x ππ∈上由sin 2cos 2()(cos sin )(cos sin )x x f x e x x e x x ''=-+-，当3(,)24x ππ∈时，2cos sin 0x x -<，2cos sin 0x x -<，所以()0f x ''<，函数()f x '为单调递减函数，由()12f π'=，3()4f eπ'=-，所以3()04f π'<，故明显存在()0f x '=； 在3(,)4x ππ∈上，sin cos ()cos sin x xf x xe x e '=+⋅， 由|sin ||cos |x x <，而cos 0x <，sin 0x >， 所以sin cos x x <-， 所以sin cos 0x x +<， 而由sin cos x x e e >，明显成立， 即sin cos |cos ||sin |x x x e x e ⋅>⋅， 即sin cos cos sin 0x x xe x e +⋅<， 所以不存在零点，故()f x '在(0,)π只有一个零点，即函数()f x 只有一个极值点．故C 错误；对于D ：由1n =时，sincos44()04eeg ππππ-==，所以sincos2222()()(1)422eeg g e ππππππ-===-，明显()()42g g ππ>不成立，由2n =时，2()(1)2g e ππ=-，同理33sin cos4434()(3434ee g e πππππ-==-， 由() 1.09392g π≈，3()0.65154g π≈，所以3(()24g g ππ>， 所以n 的最小值为2，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则10a = 19 ． 【解答】解：当1n =时，2111S ==，当2n 时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-， 又1n =时，1211a =-=，满足通项公式，∴此数列为等差数列，其通项公式为21n a n =-，则10210119a =⨯-=． 故答案为：19．14．（5分）在直角边长为3的等腰直角ABC ∆中，E 、F 为斜边BC 上的两个不同的三等分点，则AE AF ⋅= 4 ．【解答】解：由题意，以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系， 则(0,0)A ，(3,0)B ，(0,3)C ，由于E 、F 为斜边BC 上的两个不同的三等分点，则由题意，不妨设(2,1)E ，(1,2)F ，可得(2,1)AE =，(1,2)AF =， 可得21124AE AF ⋅=⨯+⨯=． 故答案为：4．15．（5分）已知函数32()(1)f x x lg x x =+++，若|1|[(23)a f a f -⋅-+（2）]0>，则实数a 的取值范围是 1(2，1)(1⋃，)+∞．【解答】解：()f x 的定义域为R ，且3232()(1)(1)()f x x lg x x x lg x x f x -=-++=--+=-，()f x ∴是R 上的奇函数，又()f x 在[0，)+∞上是增函数， ()f x ∴是R 上的增函数，由|1|[(23)a f a f -⋅-+（2）]0>得，1(23)(2)a f a f ≠⎧⎨->-⎩，∴1232a a ≠⎧⎨->-⎩，解得12a >，且1a ≠，a ∴的取值范围是1(,1)(1,)2+∞．故答案为：1(,1)(1,)2+∞．16．（5分）已知函数3()f x x mx n =++，对任意的[2x ∈-，2]，使得|()|2f x ，则m n += 3- ．【解答】解：2()3f x x m '=+，①当0m 时，函数()f x 在[2-，2]单调递增， 要使|()|2f x ，必有(2)822(2)822f m n f m n -=--+-⎧⎨=++⎩，可得3m -，与0m 矛盾，不符合题意；②当0m <时，令()0f x '=，可得3m x =±-， ()()2f x f x n +-=，∴函数()f x 的图象关于(0,)n 对称，故函数()f x 的图象如下：23m-时，即12m -时，只需(2)822(2)282f m n f m n -=--+⎧⎨=++-⎩， 解得5m -，与12m -矛盾； 23m-<时，即120m -<<时， 则有(2)822(2)822f m n f m n -=--+-⎧⎨=++⎩，可得3m -，或()23()23m f m f ⎧--⎪⎪⎨⎪--⎪⎩，即2()2332233m m n m m n ⎧⋅--+⎪⎪⎨⎪-+-⎪⎩， 解得3m -， 综上，3m =-，把3m =-代入(2)822(2)822f m n f m n -=--+-⎧⎨=++⎩，可得0n =，综上，3m n +=-， 故答案为：3-．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S 满足224(*)n n S a a n N =-∈，且1a ，2a ，31a -成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式： （2）设222221()()n n n b log a log a +=，{}n b 的前n 项和为n T ，对任意*n N ∈，23n mT >恒成立，求m 的取值范围．【解答】解：（1）数列{}n a 的前n 项和为n S 满足224(*)n n S a a n N =-∈，且1a ，2a ，31a -成等差数列．11221242S a a a a ∴=-⇒=； 33232242S a a a a =-⇒=；2131211a a a a =+-⇒=，22a =； 242n n S a ∴=-； 11242n n S a --=-；可得：12n n a a -=⇒数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列；∴数列{}n a 的通项公式为：12n n a -=，(*)n N ∈，（2）2222211111()()()(21)(21)22121n n n b log a log a n n n n +===--+-+；{}n b ∴的前n 项和为11111111[(1)()()](1)23352121221n T n n n =-+-⋯+-=--++是单调递增数列；113n T T ∴=；对任意*n N ∈，23n mT >恒成立， ∴1233233m m >⇒<； 故m 的取值范围23(,)3-∞． 18．设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c 且cos 1a B =，sin 2b A =． （Ⅰ）求sin()A C +和边长a ；（Ⅱ）当22b c +取最小值时，求ABC ∆的面积．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理及cos 1a B =与sin 2b A =得：2sin cos 1R A B =，2sin sin 2(R B A R =是ABC ∆的外接圆半径）， 两式相除，得1cos 2sin BB=， 设cos B k =，sin 2B k =，B 是ABC ∆的内角，sin 0B ∴>，0k ∴>，22sin cos 1B B +=，∴k =，∴cos B =sin B =，将cos B =cos 1a B =，得a =，∴sin()sin()sin A C B B π+=-==； （Ⅱ）由（Ⅰ）及余弦定理知22222cos 52b a c ac B c c =+-=+-，∴22221992252()222b c c c c +=-+=-+， 当且仅当12c =时，22b c +取得最小值92，∴1111sin 2222ABC S ac B ∆===， 22b c ∴+最小时ABC ∆的面积为12．19．学校趣味运动会上增加了一项射击比赛，比赛规则如下：向A 、B 两个靶子进行射击，先向A 靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分；再向B 靶连续射击两次，如果只命中一次得2分，一次也没有命中得0分，如果连续命中两次则得5分．甲同学准备参赛，经过一定的训练，甲同学的射击水平显著提高，目前的水平是：向A 靶射击，命中的概率是23；向B 靶射击，命中的概率为34．假设甲同学每次射击结果相互独立． （1）求甲同学恰好命中一次的概率；（2）求甲同学获得的总分X 的分布列及数学期望．【解答】（1）记“甲同学恰好命中一次”为事件C ，“甲射击命中A 靶”为事件D ， “甲第一次射击B 靶命中”为事件E ，“甲第二次射击B 靶命中”为事件F ，由题意可知品P （D ）23=，P （E ）3()4P F ==． 由于C DEF DEF DEF =++，P ∴（C ）21111313113443443446=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，（2）随机变量X 的可能取值为：0，1，2，3，5，6． 1111(0)34448P X ==⨯⨯=； 2111(1)34424P X ==⨯⨯=，121131(2)3448P X C ==⨯⨯⨯=，122311(3)3444P X C ==⨯⨯⨯=，1333(5)34416P X ==⨯⨯=，2333(6)3448P X ==⨯⨯=，X 0 1 2 3 5 6 P148124181431638111133203()01235648248416848E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．如图，四棱锥P ABCD -，四边形ABCD 为平行四边形，AD BD ⊥，ACBD O =，2AD BD ==，PB PD ⊥，PB PD =，PA PC =，M 为PD 中点．（1）求证：//OM 平面PBC ； （2）求证：平面PAD ⊥平面PBD ； （3）求二面角A PB C --的余弦值．【解答】（1）证明：四边形ABCD 为平行四边形，AC BD O =，O ∴为BD 中点，M 为PD 中点，//OM PB ∴，OM ⊂/平面PBC ，PB ⊂平面PBC ， //OM ∴平面PBC ．（2）证明：四边形ABCD 为平行四边形，AC BD O =，O ∴为AC ，BD 中点，PB PD =，PA PC =，PO AC ∴⊥，PO BD ⊥，ACBD O =，PO ∴⊥平面ABCD ， AD PO ∴⊥，又AD BD ⊥，BD PO O =，AD ∴⊥平面ABD ，AD ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面PBD ．（3）解：以DA ，DB 分别为x 轴，y 轴，过D 且与平面ABCD 垂直的直线为z 轴， 建立如图所示空间直角坐标系，2AD BD ==，AD BD ⊥，BC BD ∴⊥，2BC =，22AB CD ==，PB PD ⊥，PB PD =，∴2PB PD =1PO =，2AD =，AD BD ⊥，1DO =，∴5AO OC =，(2A ∴，0，0)，(0P ，1，1)，(0B ，2，0)，(2C -，2，0)， (2,1,1)PA =--，(0,1,1)PB =-，(2,1,1)PC =--，设平面PAB 和平面PBC 的法向量分别为111(,,1)n x y =-，222(,,1)n x y =-， 则1n ，2n 夹角的补角θ就是二面角A PB C --的平面角， 由1111121010n PA x y n PB y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩和2222210210n PB y n PC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩， 解得：1111x y =-⎧⎨=-⎩和2201x y =⎧⎨=-⎩，∴1(1,1,1)n =---，2(0,1,1)n =--，1212cos||||||n nnnθ⋅∴=-=-=，∴二面角A PB C--的余弦值为．21．在平面直角坐标系中，已知圆心为点Q的动圆恒过点(1,0)F，且与直线1x=-相切．设动圆的圆心Q的轨迹为曲线Γ．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点F的两条直线1l、2l与曲线Γ相交于A、B、C、D四点，且M、N分别为AB、CD的中点．设1l与2l的斜率依次为1k、2k，若121k k+=-，求证：直线MN恒过定点．【解答】（Ⅰ）解：设(,)Q x y，依题意可得：|1|x+=，化简得：24y x=．（Ⅱ）证明：设1l，2l的方程为1(1)y k x=-；2(1)y k x=-．联立12(1)4y k xy x=-⎧⎨=⎩，得2222111(24)0k x k x k-++=，所以21122124kx xk++=，则2121122(,)kMk k+，同理联立22(1)4y k xy x=-⎧⎨=⎩，得2222222(24)0k x k x k-++=，所以22122224kx xk++=，2222222(,)kNk k+，所以121222121222122222MNk k k kkk k k kk k-==-+++-，由121k k+=-可得：11(1)MNk k k=+，所以直线MN的方程为：211121122(1)()ky k k xk k+-=+-，化简整理得：112(1)(1)y k k x+=+-，所以直线MN恒过定点(1,2)-．22．已知函数()(1)xf x e ln x=++．（1）求曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程；（2）若不等式()1f x ax -对任意[0x ∈，)+∞恒成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）依题意，0(0)(01)1f e ln =++=，所以切点为(0,1)， 又1()1x f x e x '=++， 所以0(0)12f e '=+=，所以曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程为12(0)y x -=-，即210x y -+=；（2）令()()1(0)g x f x ax x =--， 则1()()1x g x f x a e a x ''=-=+-+， 令1()(0)1x h x e x x =++，则21()(1)x h x e x '=-+， 当0x 时，1x e ，2101(1)x <+， 所以()0h x '，函数()h x 在[0，)+∞上是增函数，所以()(0)2h x h =，所以()2g x a '-，①当2a 时，()0g x '，所以函数()g x 在[0，)+∞上是增函数， 所以()(0)0g x g =，即对任意[0x ∈，)+∞，不等式()1f x ax -恒成立． ②当2a >时，11a ->，由0x ，得1011x <+， 1()11x x g x e a e a x '=+-+-+， 当(0x ∈，(1))ln a -时，10x e a +-<，即()0g x '<，所以函数()g x 在(0，(1))ln a -上是减函数，所以()(0)0g x g <=，即()1f x ax -<，不合题意．综上，所以实数a 的取值范围是(-∞，2]．。
2021年高考数学一模试卷(江苏省) (2)(含答案解析)
2021年高考数学一模试卷（江苏省） (2)一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={−1,0,1,6}，B={x|x>0,x∈R}，则A∩B=____．2.已知复数z=2+3i ，则|z|=．3.从由数字1，2，3所组成的所有两位数中随机抽取一个数，则该数为没有重复数字的两位数的概率为________．4.如图，某报刊亭老板根据以往报纸的销售记录，绘制了某100天的报纸日销售量(单位：份)的频率分布直方图(每组包含最小值，不包含最大值)，不慎将频率分布直方图弄污，则这家报刊亭在这100天中，报纸日销售量在[100,150)内的天数为________．5.执行如图所示的流程图，则输出的M应为______6.已知双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线方程是y=±2x，那么此双曲线的离心率为______ ．7.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点P为棱AA1上任意一点，则四棱锥P−BDD1B1的体积为______8. 已知p:x ≤1，q:x ≤a ，若p 是q 的必要不充分条件，则a 的取值范围是_________．9. 在△ABC 中，若AC =6，cosB =45，C =π4,则AB =____．10. 已知数列的前{a n }的前n 项和为S n =2n+1,b n =log 2(a n 2⋅2a n )，数列的{b n }的前n 项和为T n ，则满足T n >1024的最小n 的值为______．11. 已知集合P ={−4,−2,0,2,4},Q ={x|−1<x <3}，则P ∩Q =_______.12. 已知函数f(x)的图象关于原点对称，当x <0时，f(x)=x(1−x)，则当x >0时，函数f(x)=__________．13. 在△ABC 中，AC =4，M 为AC 的中点，BM =3，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．14. 若点A(a,2)既是曲线y =mx 2上的点，又是直线x +y =0上的点，则m =________．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15. 已知函数f (x )=Asin (ωx +φ)，x ∈R ，(其中A >0,ω>0,0<φ<π2)的周期为π，且图像上的一个最低点为M (2π3,−2)．(1)求f (x )的解析式．(2)当x ∈[0,π12]时，求f (x )的最值．16. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠ABC =60°，PA =AC ，PB =PD =√2AC ，E 是PD 的中点，求证：(1)PB//平面ACE；(2)平面PAC⊥平面ABCD．17.如图，在圆心角为变量2θ(0<2θ<π)的扇形OAB内作一半径为r的内切圆P，再在扇形内作一个与扇形两半径相切并与圆P外切的小圆Q，圆P与圆Q相切于C点，圆P和圆Q与半径OA分别切于E，D两点．(1)当圆Q的半径不低于OA时，求θ的最大值；9(2)设BH为点B到半径OA的距离，当BH取得最大值时，扇形被称之为“最理想扇形”.求“最PE理想扇形”的面积．18.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a<b<0)的左右焦点分别为F1,F2，椭圆C过点P(1,√22)，且PF2垂直于x轴．(1)求椭圆C的方程；(2)设M是椭圆C的上顶点，过点M分别作出直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设这条直线的斜率分别为k1,k2，且k1+k2=2，证明：直线AB过定点．19.已知数列{a n}中，a1=1，a n a n+1=(12)n，(n∈N∗)(1)求a1，a2，a3，a4(2)求证：数列{a2n}与{a2n−1}(n∈N∗)都是等比数列．20.已知函数f(x)=x4−4x3+ax2−1在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,2)上单调递减．(1)求a的值；(2)在区间[−2,2]上，试求函数f(x)的最大值和最小值．21.已知矩阵A=[12−14]，向量α=[74].(1)求A的特征值和对应的特征向量；(2)计算A5α的值．22.在极坐标系中，已知直线与圆ρ=acosθ(a>0)相切，求a的值．23.设x，y，z∈R，x2+y2+z2=1，且4x+3y+2z=√29，求x+y+z的值．24.若直线x=m与抛物线y2=4√3x交于A、B两点，F是其焦点，若△ABF为等边三角形，求m的值．25.记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知，a2+a12=24.S11=121(1)求{a n}的通项公式；(2)令b n=1，T n=b1+b2+⋯+b n，若24T n−m≥0对一切n∈N∗成立，求实数m的最a n+1a n+2大值．【答案与解析】1.答案：{1,6}解析：本题考查集合的交集运算，属于基础题目．由交集的定义直接得出即可．解：∵A={−1,0，1，6}，B={x|x>0,x∈R}，∴A∩B={1,6}．故答案为{1,6}．2.答案：√13解析：本题考查复数模的求法，根据复数的求模公式计算即可．解：因为z=2+3i，所以|z|=√22+32=√13．故答案为√13．3.答案：23解析：本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．基本事件个数n=3×3=9，该数为没有重复数字的两位数包含的基本事件个数m=3×2=6，由此能求出所求概率．解：从由数字1，2，3所组成的所有两位数中随机抽取一个数，基本事件个数n=3×3=9，该数为没有重复数字的两位数包含的基本事件个数m=3×2=6，∴该数为没有重复数字的两位数的概率为p=69=23．故答案为：23．4.答案：30解析：本题主要考查频率分布直方图，考查考生分析问题、解决问题的能力，是基础题.利用据矩形面积和为1即可求解．解：由题图知，没有被弄污的频率的和为50×(0.003+0.005+0.004+0.002)=0.7，所以被弄污这组的频率为1−0.7=0.3，所以这家报刊亭在这100天中，报纸日销售量在[100,150)内的天数为100×0.3=30．5.答案：2解析：解：由题意，执行程序框图，可得i=1，满足条件，则M=11−2=−1，i=2，满足条件，则M=11−(−1)=12，i=3，满足条件，则M=11−12=2，i=4不满足条件，退出循环，输出M的值为2．故答案为：2模拟执行程序，依次写出每次循环得到的M，i的值，当i=4不满足条件，退出循环，输出M的值为2．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的功能是解答此类问题的关键，属于基础题．6.答案：√5解析：解：∵焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±2x，∴设双曲线方程为x2λ−y24λ=1，λ>0，∴双曲线的标准方程为x2λ−y24λ=1，∴a2=λ，b2=4λ，c2=5λ，∴此双曲线的离心率e=√5λ√λ=√5．故答案为：√5由焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±2x，知双曲线的标准方程可设为x2λ−y24λ=1，由此能求出此双曲线的离心率．本题考查双曲线的离心率的求法，是基础题．解题时要认真审题，注意双曲线渐近线方程的合理运用．7.答案：13解析：四棱锥P−AA1C1C的体积等于三棱柱的体积减去两个三棱锥的体积．本题考查了正方体的结构特征，棱锥的体积计算，属于基本知识的考查．解：V ABD−A1B1D1=12V正方体=12，V P−BDD1B1=23V ABD−A1B1D1=13故答案为：13．8.答案：(−∞,1)解析：解：∵p是q的必要不充分条件，所以q要真包含于p，通过数轴可判断1位于a的右侧，∴a<1，即a的取值范围为(−∞,1)．故答案为：(−∞,1)．p是q的必要不充分条件，所以q要真包含于p，可判断1与a的大小．本题主要考查简易逻辑推理，通过数轴解决，属于基础题．9.答案：5√2解析：本题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题型．首先根据cosB=45求出sin B，再利用正弦定理即可求解．解：∵cosB=45，∴B为锐角，∴sinB=35，∵AC=6，C=π4,由正弦定理得ACsinB =ABsinC，∴635=√22，∴AB=5√2．故答案是5√2．10.答案：9解析：解：n≥2，a n=S n−S n−1=2n+1−2n=2n.n=1，a1=S1=4．∴a n={4,n=12n,n≥2．∴b1=log2(42×24)=8，n≥2时，b n=log2[(2n)2⋅22n]=2n+2n．数列的{b n}的前n项和为T n=8+4(2n−1−1)2−1+2×n(n+1)2=2n+1+4+n2+n．由T n>1024，即满足2n+1+4+n2+n>1024的最小n的值为9．故答案为：9．n≥2，a n=S n−S n−1.n=1，a1=S1=4.可得a n.b1=log2(42×24)=8，n≥2时，b n=log2[(2n)2⋅22n]=2n+2n.利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.答案：{0,2}解析：本题考查了集合的交集及其运算，属于基础题． 解：∵P ={−4,−2,0,2,4},Q ={x|−1<x <3}， ∴P ∩Q ={0,2}， 故答案为{0,2}．12.答案：x(1+x)解析：当x >0时，−x <0，f(x)=−f(−x)=−[(−x)(1+x)]=x(1+x)．13.答案：5解析：解：∵M 为AC 的中点，∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=36，① ∵BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BA⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=16，② ①−②得：4BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =20， ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =5． 故答案为：5．由题意可得BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，对两式平方相减即可得出答案． 本题考查了平面向量线性运算的几何意义，平面向量的数量积运算，属于在中档题．14.答案：12解析：本题主要考查了点与直线及曲线的关系，考查了计算能力，属于基础题．由题意，将点A(a,2)代入直线方程，可得a =−2，则点A(−2,2)在曲线y =mx 2上，代入可求出m 的值．解：因为点A(a,2)在直线x +y =0上， 所以a +2=0，即a =−2， 又点A(−2,2)在曲线y =mx 2上， 所以4m =2，解得m =12． 故答案为12．15.答案：解：①由T =π，可知ω=2πT=2，又图像上有最低点M (2π3,−2),∴A =2， 又有2sin (4π3+φ)=−2得sin (4π3+φ)=−1∴4π3+φ=−π2+2kπ ，k ∈z故φ=−11π6+2kπ k ∈z 又φ∈(0,π2) ∴φ=π6 ∴f (x )的解析式为f (x )=2sin (2x +π6)．(2)∵x ∈[0,π12] ∴2x +π6∈[π6,π3] 又正弦函数y =sinx 在[0,π2]上单调递增 又[π6,π3]⊆[0,π2]∴当2x +π6=π6即x =0时，f (x )min =1 当2x +π6=π3即x =π12时，f (x )max =√3．解析：此题考查由y =Asin(ωx +φ)的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．(1)由题意知，A =2，T =π，可求得ω=2πT=2，由ω·2π3φ=2kπ−π2,k ∈Z ，可求得φ=π6，从而可求f(x)的解析式； (2)由x 的范围求得的范围，利用正弦函数的单调性即可求得f(x)的最值．16.答案：证明：(1)连BD 交AC 于点O ，连接EO ，则O 为BD 的中点，∵E 为PD 的中点， ∴PB//OE ，∵OE ⊂平面EAC ，PB ⊄平面EAC ， ∴PB//平面ACE ；(2)∵底面ABCD 是菱形，∠ABC =60°， 设AB =BC =CD =DA =AC =a ，∵PA =AC ， ∴PA =AB =a ，PB =√2a ，∴PA ⊥AB ，同理可得PA ⊥AD ，∵AB ∩AD =A ，AB ，AD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥平面ABCD ， 又PA ⊂平面PAC ， 故平面PAC ⊥平面ABCD ．解析：本题主要考查了线面平行，面面垂直的判定，属于基础题． (1)连BD 交AC 于点O ，则PB//OE ，从而得到PB//平面ACE ； (2)先证得PA ⊥平面ABCD ，从而得到面面垂直．17.答案：解：(1)由题意得OP =PE sinθ=rsinθ，又OP +PE =OA ，∴rsinθ+r =OA ，∴OA =1+sinθsinθr ，又OQ =QDsinθ且OP =OQ +CQ +PC ，∴rsinθ=QDsinθ+QD +r ， ∴QD =1−sinθ1+sinθr则当圆Q 的半径不小于OA9，即QD ≥OA9也即1−sinθ1+sinθr ≥1+sinθ9sinθr ，整理得10sin 2θ−7sinθ+1≤0，即15≤sinθ≤12， 又θ∈(0,π2)，y =sinθ在θ∈(0,π2)单调增， 故θ的最大值为π6；(2)∵BH =OBsin2θ=sin2θ×1+sinθsinθr =2cosθ(1+sinθ)r ，∴BH PE=2cosθ(1+sinθ)，设f(θ)=cosθ(1+sinθ)，θ∈(0,π2)，则f′(θ)=−sinθ(1+sinθ)+cos 2θ=−2sin 2θ−sinθ+1 令f′(θ)>0可解得−1<sinθ<12，可得θ∈(0,π6)， 同理令f′(θ)<0可得θ∈(π6,π2)，则当θ∈(0,π6)时，f(θ)为增函数，当θ∈(π6,π2)时，f(θ)为减函数， ∴当θ=π6时，BHPE 取得最大值，此时OA =1+1212r =3r ，故“最理想扇形”的面积为12×π6×OA 2=π12×(3r)2=34πr 2解析：(1)由题意得OA =1+sinθsinθ，QD =1−sinθ1+sinθr ，由QD ≥OA 9可得sinθ的不等式，解不等式解正弦函数的单调性可得；(2)可得BHPE =2cosθ(1+sinθ)，设f(θ)=cosθ(1+sinθ)，θ∈(0,π2)，由导数法可得函数的最值，可得结论．本题考查导数和三角函数的综合应用，涉及新定义和导数法判函数的单调性，属难题．18.答案：(1)解：∵椭圆C 过点P(1,√22)，∴1a 2+12b 2=1①，∵PF ⊥x 轴，则c =1，∴a 2−b 2=1，②， 由①②得a 2=2，b 2=1， ∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1；(2)证明：当直线AB 的斜率不存在时， 设A(x 0,y 0)，则B(x 0,−y 0)， 由k 1+k 2=2得y 0−1x 0+ −y 0−1 x 0=2，得x 0=−1，当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y =kx +m(m ≠1)， A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{x 22+y 2=1y =kx +m⇒(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−2=0，得x 1+x 2= −4km 1+2k2 ,x 1⋅x 2= 2m 2−21+2k2，k 1+k 2=2⇒ y 1−1x 1 + y 2−1x 2 =2⇒(kx 2+m−1)x 1+(kx 1+m−1)x 2x 1x 2 =2，即(2−2k)x 2x 1=(m −1)(x 2+x 1)⇒(2−2k)(2m 2−2)=(m −1)(−4km)， 由m ≠1，(1−k)(m +1)=−km ⇒k =m +1， 即y =kx +m =(m +1)x +m ⇒m(x +1)=y −x ，故直线AB 过定点(−1,−1)．解析：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系及斜率计算公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．(1)根据题意可得1a 2+12b 2=1，a 2−b 2=1，联立解出即可得出结果；(2)对直线AB 的斜率分类讨论：当直线AB 的斜率不存在时，利用k 1+k 2=2，及其斜率计算公式即可得出．当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y =kx +m(m ≠1)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线方程与椭圆方程联立化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．19.答案：(1)解：∵数列{a n }中，a 1=1，a n a n+1=(12)n ，∴a 1=1，a 2=12，a 3=12，a 4=14； (2)证明：∵a n a n+1=(12)n ， ∴a n+2a n=12，∴数列a 1，a 3，…a 2n−1，是以1为首项，12为公比的等比数列； 数列a 2，a 4，…，a 2n ，是以12为首项，12为公比的等比数列．解析：(1)利用数列{a n }中，a 1=1，a n a n+1=(12)n ，可求a 1，a 2，a 3，a 4； (2)由a n a n+1=(12)n ，可得a n+2a n=12，根据等比数列的定义判定出数列{a 2n }与{a 2n−1}(n ∈N ∗)都是等比数列．本题主要考查了等比关系的确定．解题的关键是对等比数列基础知识点的熟练掌握．20.答案：解：(1)由f(x)=x 4−4x 3+ax 2−1在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,2)上单调递减．∴当x =1时，f(x)有极大值，∴f′(1)=0.又∵f′(x)=4x 3−12x 2+2ax ， ∴f′(1)=4−12+2a =0⇒a =4．当a =4时，f′(x)=4x(x 2−3x +2)=4x(x −1)(x −2)， 在(0,1)上，f′(x)>0，f(x)单调递增； 在(1,2)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，则x =1是极大值点，符合题设． ∴a =4．(2)令f′(x)=4x 3−12x 2+8x =0，得x =0，1，2． 此时，f(0)=−1，f(1)=0，f(2)=−1，f(−2)=63， ∴f(x)max =63，f(x)min =−1．解析：本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了计算能力与推理能力，属于中档题． (1)根据函数f(x)=x 4−4x 3+ax 2−1在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,2)上单调递减，知道当x =1是f(x)的极大值点，令f′(x )=0，可得a 的值，再验证即可；(2)由(1)得f′(x)=4x 3−12x 2+8x =0，得x =0，1，2，由此能求出函数f(x)在区间[−2,2]上的最大值和最小值．21.答案：解：(1)矩阵A 的特征多项式为f(λ)=|λ−1−21λ−4|=λ2−5λ+6=0，解得：λ1=2，λ2=3，当λ1=2时，得α1=[21]；当λ2=3时，得α2=[11]；(2)由α=mα1+nα2，可得：{2m +n =7m +n =4，解得m =3，n =1，∴A 5α=A 5(3α1+α2)=3(A 5α1)+A 5α2=3(λ15α1)+λ25α2=3×25[21]+35[11]=[435339]．解析： 本题考查矩阵的特征值与特征向量的计算，注意解题方法的积累，属于基础题． (1)通过令矩阵A 的特征多项式为f(λ)=0，可得特征值，进而可得对应的特征向量； (2)通过解方程组α=mα1+nα2，可得m =3，n =1，进而可得结论．22.答案：解：以极点为坐标原点，极轴为x 轴，建立平面直角坐标系xoy ，则将直线化为普通方程：，即x −√3y −4=0.将圆ρ=acosθ(a>0)化为普通方程：x2+y2=ax，即(x−a2)2+y2=a24.因为直线与圆相切，所以|a2−4|2=a2 (a>0)，解得a=83.解析：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆相切的充要条件的应用．首先把曲线和直线的极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用圆心到直线的距离等于半径求出结果．23.答案：解：由柯西不等式可得，(x2+y2+z2)(42+32+22)≥(4x+3y+2z)2=29，则29≥(4x+3y+2z)2，又4x+3y+2z=√29，∴x4=y3=z2，代入x2+y2+z2=1，解得x=29，y=29，z=29，∴x+y+z=9√2929．解析：利用柯西不等式可得29≥(4x+3y+2z)2，然后结合条件即可得到x+y+z的值．本题考查了柯西不等式的应用，属基础题．24.答案：解：抛物线y2=4√3x的焦点F坐标为(√3,0)．将直线x=m代入抛物线方程y2=4√3x，可得y2=4√3m(m>0)，所以y=±√4√3m，即|AB|=2√4√3m．由条件可知|AB|=|AF|，则2√4√3m=m+√3，两边平方解得m=7√3−12或7√3+12．解析：本题考查抛物线的定义和与直线的关系，属于基础题．首先将直线x=m代入抛物线方程可得|AB|=2√4√3m.|AF|=m+√3，结合条件即可得到m的值．25.答案：解：(1)∵等差数列{a n }中，a 2+a 12=24，S 11=121．∴{2a 7=2411a 6=121，解得{a 7=12a 6=11． ∴d =a 7−a 6=12−11=1， ∴a n =a 6+(n −6)d =n +5,n ∈N ∗．(2)∵b n =1a n+1⋅a n+2=1(n +6)(n +7)=1n +6−1n +7∴T n =17−18+18−19+19−110+⋯+1n+6−1n+7=17−1n+7=n7(n+7)，∴{T n }是递增数列，T n ≥T 1=156， ∵24T n −m ≥0,对一切n ∈N ∗成立，∴m ≤24(T n )min =2456=37∴实数m 的最大值为37．解析：(1)利用等差数列的通项公式以及前11项和，求出数列的第6，7项与公差，然后求解通项公式．(2)求出通项公式，利用裂项法求解数列的和，通过不等式求解即可． 本题考查数列求和，通项公式的应用，考查转化思想以及计算能力．。
2021年年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷(附答案详解)
2021年年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.若1+ai2−i为实数，其中i为虚数单位，则实数a的值为()A. 2B. −12C. 12D. −22.已知函数y=lg(−x2−x+2)的定义域为集合M，函数y=sinx的值域为N，则M∩N=()A. ⌀B. (−2,1]C. [−1,1)D. [−1,1]3.函数f(x)=2x 5 3ln|x|在其定义域上的图象大致为()A. B.C. D.4.一次竞赛考试，老师让学生甲、乙、丙、丁预测他们的名次.学生甲说：丁第一；学生乙说：我不是第一；学生丙说：甲第一；学生丁说：甲第二.若有且仅有一名学生预测错误，则该学生是()A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁5.化简sin2(π6−α)−sin2(π3+α)可得()A. cos(2α+π3) B. −sin(2α+π6) C. cos(2α−π3) D. sin(2α−π6)6.某词汇研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计得下方的2×2列联表.则根据列联表可知()年轻人非年轻人总计经常用流行用语12525150不经常用流行用语351550总计16040200参考公式：独立性检验统计量χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．下面的临界值表供参考：A. 有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系B. 没有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系C. 有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系D. 有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系7.设F1，F2分别为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，圆F1与双曲线的渐近线相切，过F2与圆F1相切的直线与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的两条渐近线所成的锐角α的正切值为()A. 815B. √3 C. 43D. 18.已知点A，B，C，D在球O的表面上，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB=2，BC=4，AC与平面ABD所成角的正弦值为√105，则球O表面上的动点P到平面ACD距离的最大值为()A. 2B. 3C. 4D. 5二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列关于向量a⃗，b⃗ ，c⃗的运算，一定成立的有()A. (a⃗+b⃗ )⋅c⃗=a⃗⋅c⃗+b⃗ ⋅c⃗B. (a⃗⋅b⃗ )⋅c⃗=a⃗⋅(b⃗ ⋅c⃗ )C. a⃗⋅b⃗ ≤|a⃗|⋅|b⃗ |D. |a⃗−b⃗ |≤|a⃗|+|b⃗ |10.下列选项中，关于x的不等式ax2+(a−1)x−2>0有实数解的充分不必要条件的有()A. a=0B. a≥−3+2√2C. a>0D. a≤−3−2√211.已知函数f(x)=log2(1+4x)−x，则下列说法正确的是()A. 函数f(x)是偶函数B. 函数f(x)是奇函数C. 函数f(x)在(−∞,0]上为增函数D. 函数f(x)的值域为[1,+∞)12.回文数是一类特殊的正整数，这类数从左到右的数字排列与从右到左的数字排列完全相同，如1221，15351等都是回文数.若正整数i与n满足2≤i≤n且n≥4，在[10i−1,10i+1]上任取一个正整数取得回文数的概率记为P i，在[10,10n−1]上任取一个正整数取得回文数的概率记为Q n，则()A. P i <P i+1(2≤i ≤n −1)B. Q n <1n−1∑P i n i=2 C. Q n >1n−1∑P i n i=2D. ∑P i n i=2<1三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若函数f(x)=sin(2x +φ)为偶函数，则φ的一个值为______ .(写出一个即可) 14. (1+√2x 3)100的展开式中有理项的个数为______ ．15. 在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线y 2=2p 1x 与x 2=2p 2y 在第一象限的交点为A ，若OA 的斜率为2，则p 2p 1= ______ ．16. 罗默、伯努利家族、莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线C ：x 23+y 23=1的性质，其形美观，常用于超轻材料的设计.曲线C 围成的图形的面积S ______ 2(选填“>”、“<”或“=”)，曲线C 上的动点到原点的距离的取值范围是______ ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 设正项数列{a n }的前n 项和为S n ，2S n =a n 2+a n ．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：∑1a i2+a i+12−1ni=1<12．18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A =B +3C ．(1)求sin C 的取值范围； (2)若c =6b ，求sin C 的值．19.如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABEF为正方形，平面ABEF⊥平面CDFE，CD//EF，DF⊥EF，EF=2CD=2．(1)若DF=2，求二面角A−CE−F的正弦值；(2)若平面ACF⊥平面BCE，求DF的长．20.某市为创建全国文明城市，市文明办举办了一次文明知识网络竞赛，全市市民均有且只有一次参赛机会，满分为100分，得分大于等于80分的为优秀.竞赛结束后，随机抽取了参赛中100人的得分为样本，统计得到样本平均数为71，方差为81.假设该市有10万人参加了该竞赛活动，得分Z服从正态分布N(71,81)．(1)估计该市这次竞赛活动得分优秀者的人数是多少万人？(2)该市文明办为调动市民参加竞赛的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加竞赛活动者，均可参加“抽奖赢电话费”活动，竞赛得分优秀者可抽奖两次，其余参加者抽奖一次.抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数(10,11，…，99)，若产生的两位数的数字相同，则可奖励40元电话费，否则奖励10元电话费.假设参加竞赛活动的所有人均参加了抽奖活动，估计这次活动奖励的电话费总额为多少万元？参考数据：若Z～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<Z<μ+σ)≈0.68．21.设F为椭圆C：x2+y2=1的右焦点，过点(2,0)的直线与椭圆C交于A，B两点．2(1)若点B为椭圆C的上顶点，求直线AF的方程；(2)设直线AF，BF的斜率分别为k1，k2(k2≠0)，求证：k1为定值．k222.设函数f(x)=a x+e−x(a>1)．(1)求证：f(x)有极值点；(2)设f(x)的极值点为x0，若对任意正整数a都有x0∈(m,n)，其中m，n∈Z，求n−m的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵1+ai2−i =2−a5+2a+15i，要使原式是实数，则2a+15=0，a=−12，故选：B．利用复数的运算法则、复数为实数的充要条件即可得出．本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：∵函数y=lg(−x2−x+2)的定义域为集合M，函数y=sinx的值域为N，∴M={x|−x2−x+2>0}={−2<x<1}，N={y|−1≤y≤1}，∴M∩N=[−1,1)．故选：C．求出集合M，N，然后进行交集的运算即可．本题考查了对数函数的定义域，正弦函数的值域，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：根据题意，f(x)=2x 5 3ln|x|，有{|x|>0ln|x|≠0，则有{x|x≠0且x≠1}，f(−x)=−f(x)，则f(x)为奇函数，排除AB，又由当x>1时，f(x)>0，排除C，故选：D．根据题意，先分析函数的奇偶性，排除AB，再在区间(1,+∞)上，分析f(x)的符号，排除C，即可得答案．本题考查函数图象的分析，关键是分析函数的奇偶性和函数值的符号，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：可知丙与丁所说矛盾，故在丙、丁中有一人错误，若丙错，则甲不是第一，故丁第一，乙不是第一，甲第二，不矛盾，故正确；若丁错，则甲第一，与丁第一有矛盾，故不正确．故丁为第一，乙不是第一，甲第二的结论正确，所以丙预测错误．故选：C．由已知，丙、丁中有一人错误，然后分别分析若丙错和若丁错两种情况，即可得到答案．本题考查了简单的合情推理的应用，解题的关键是得到丙、丁中有一人错误，考查了逻辑推理能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：因为(π6−α)+(π3+α)=π2，所以sin(π6−α)=cos(π3+α)，所以sin2(π6−α)−sin2(π3+α)=cos2(π3+α)−sin2(π3+α)=cos[2(π3+α)]=cos(π2+π6+2α)=−sin(2α+π6)，故选：B．因为(π6−α)+(π3+α)=π2，所以sin(π6−α)=cos(π3+α)，然后利用余弦的倍角公式以及诱导公式化简即可求解．本题考查了两角互余的性质以及倍角公式和诱导公式的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：根据独立性检验计算观测值X2，即验统计量χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=200×(125×15−25×35)2160×40×50×150≈4.167>3.841．根据临界值知有95%的把握认为经常用流行语与年轻人有关系，故选：A．根据独立性检验计算观测值X2，对照题目中的表格，得出统计结论．本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．7.【答案】C【解析】解：根据题意作图，垂足分别为N，M，H，由圆F1与双曲线的渐近线相切，可知|F1M|=b，过F2与圆F1相切的直线与双曲线的一条渐近线垂直，可知|F1N|=b，cos∠HF1F2=cos∠MOF1，b2c =ac，所以ba=2，所以双曲线的两条渐近线所成的锐角α的正切值，tanα=|2−(−2)1+2×(−2)|=43，故选：C．画出图形，利用双曲线的定义，结合渐近线的斜率，转化求解两条渐近线所成的锐角α的正切值即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．8.【答案】B【解析】解：因为AB⊥平面BCD，BC⊥CD，所以球心O为AD中点，其在面BCD投影为E，则OE=1，作CF⊥BD，所以sin∠CAF=√105=√CD2+16√22+42⇒CD=4，所以R=√OE2+CE2=√12+(2√2)2=3，所以P到平面ACD距离的最大值为3．故选：B．画出截面图，说明球心O为AD中点，其在面BCD投影为E，则OE=1，作CF⊥BD，转化求解P到平面ACD距离的最大值即可．本题考查空间点、线、面距离的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．9.【答案】ACD【解析】解：对于A，由向量数量积对加法满足分配律知等式成立，所以A对；对于B，左边为c⃗的共线向量，右边为a⃗的共线向量，所以等式未必成立，所以B错；对于C，由向量数量积定义知不等式成立，所以C对；对于D，由向量三角不等式知，不等式成立，所以D对；故选：ACD．根据向量基本概念和基本性质判断即可．本题考查向量的模及其运算基本性质，属于基础题．10.【答案】AC【解析】解：设函数y=ax2+(a−1)x−2，当a>0时，若y>0，则△>0，△=(a−1)2+8a=a2+6a+1>0．当a=0时，若y>0，则−x−2>0，解得x<−2，当a<0时，若y>0，则△>0，△=(a−1)2+8a=a2+6a+1，由a2+6a+1>0，解得a<−3−2√2或−3+2√2<a<0，综上所述，当a≥0时，不等式ax2+(a−1)x−2>0一定有实数解，不等式ax2+(a−1)x−2>0有实数解，不一定a≥0，故a≥0是不等式ax2+(a−1)x−2>0有实数解的充分不必要条件．故选：AC．讨论a的取值，利用判别式可得出关于x的不等式ax2+(a−1)x−2>0有实数解的充分不必要条件．本题考查了不等式的解法性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.【答案】AD【解析】解：根据题意，函数f(x)=log2(1+4x)−x，其定义域为R，)+x=log2(1+4x)−x=f(x)，所以函数f(x)是偶函数，则A 有f(−x)=log2(1+14x正确，B错误，>1=f(0)，f(x)不是增函数，C错误，对于C，f(−1)=log252+2x)，对于D，f(x)=log2(1+4x)−x=log2(12+2x≥2，当且仅当x=0时等号成立，则t的最小值为2，故f(x)≥log22=1，设t=12x即函数的值域为[1,+∞)，D正确，故选：AD ．根据题意，先分析函数的奇偶性可得A 正确，B 错误，对于C ，验证f(−1)与f(0)的值，可得C 错误，对于D ，利用换元法求出f(x)的值域，可得D 正确，综合可得答案． 本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数的值域计算，属于基础题．12.【答案】BD【解析】解：i 为奇数，P i =9×10i−1210i −1−10i−1+1=110i−12，i 为偶数，P i =9×10i 2−110−1−10+1=110i 2，所以P 2k =P 2k+1=110k ，A 错； 当n =4时，Q 4=9+90+909990=1899990，∑P i 4i=2=110+110+1100=21100，1899990<21100， 所以C 错；由多选题至少有两个正确选项，利用排除法得BD 正确． 故选：BD ．由已知对i 进行分类讨论，然后结合古典概率公式分别检验各选项即可判断． 本题主要考查了古典概率公式的应用，体现了分类讨论思想，属于中档题．13.【答案】π2【解析】解：∵函数y =sin(2x +φ)为偶函数，∴φ=kπ+π2，k ∈Z ， 故可取φ=π2， 故答案为：π2．由条件根据正弦函数、余弦函数的奇偶性可得φ=kπ+π2，k ∈Z ，从而得出结论． 本题主要考查正弦函数、余弦函数的奇偶性，属于基础题．14.【答案】34【解析】解：T r+1=C 100r (2x)13r ，所以r =0，3，6，…，99时为有理项，共34个．故答案为：34利用二项式定理的展开式，即可判断．本题考查了二项式定理，二项式展开式，属于基础题．15.【答案】18【解析】解：设A(x,y)，则k OA =2=2p 1y=x2p 2⇒{x =4p 2y =p 1，代入抛物线得p 12=2p 1⋅4p 2⇒p2p 1=18． 故答案为：18．设出A 的坐标，求出直线的斜率，结合抛物线方程转化求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．16.【答案】< [12,1]【解析】解：由题意知x ，y ∈[−1,1]，且曲线既关于原点对称又关于y 轴对称， 当x ，y ∈(0,1)时，x 23>x ，y 23>y ，所以x +y <1，同理可得曲线在y =x +1，y =x −1，y =−x +1，y =−x −1四条直线内部， 所以S <12×2×2=2，所以d 2=x 2+y 2=x 2+(1−x 23)3=3x 43−3x 23+1=3(x 23−12)2+14，所以当x 23=12时，(d 2)min =14min =14， 当x 23=0时，(d 2)max =1， 所以d 2∈[14,1]，则d ∈[12,1]， 故答案为：<，[12,1].由已知可得x ，y ∈[−1,1]，且曲线既关于原点对称又关于y 轴对称，且曲线在y =x +1，y =x −1，y =−x +1，y =−x −1四条直线内部，则可求出面积S 与2的关系；再写出d 2的关系式，利用二次函数的性质即可求解．本题考查了曲线的方程与性质，涉及到二次函数求最值的问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)当n =1时，a 1=S 1，由2S n =a n2+a n ，得a 1 (a 1−1)=0． 因为数列{a n }为正项数列，所以a 1>0，所以a 1=1．因为当n ≥1时，2S n =a n 2+a n ，…………………………①①−②，得2S n −2S n−1=a n 2−a n−12+a n −a n−1， 即2a n =a n 2−a n−12+a n −a n−1，所以a n +a n−1=(a n +a n−1)(a n −a n−1)， 因为数列{a n }的各项均正，所以a n +a n−1>0， 所以当n ≥2时，a n −a n−1=1， 故数列{a n }是公差为1的等差数列， 故数列{a n }的通项公式为a n =n ； (2)证明：1a i2+a i+12−1=1i 2+(i+1)2−1=12i(i+1)=12(1i −1i+1)，则∑1a i2+a i+12−1ni=1=12[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n+1)] =12(1−1n+1)<12．【解析】(1)可令n =1，求得首项，再将n 换为n −1，相减可得当n ≥2时，a n −a n−1=1，由等差数列的定义和通项公式，可得所求； (2)求得1a i2+a i+12−1=1i 2+(i+1)2−1=12i(i+1)=12(1i−1i+1)，再由数列的裂项相消求和和不等式的性质，即可得证．本题考查数列的递推式的运用，以及数列的裂项相消求和和不等式的证明，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)由A =B +3C 及A +B +C =π，得2B +4C =π，所以B =π2−2C ，所以A =π2+C ．由{0<A <π,0<B <π,0<C <π,得{0<π2+C <π,0<π2−2C <π,0<C <π,得0<C <π4，故sin C 的取值范围为(0,√22).(2)若c =6b ，由正弦定理有sinC =6sinB ，① 由(1)知B =π2−2C ，则sinB =sin(π2−2C)=cos2C.②由①②得16sinC =cos2C =1−2sin 2C ，所以12sin 2C +sinC −6=0， 解得sinC =23或sinC =−34，所以sinC=23．【解析】本题主要考查了正弦定理，三角形的内角和，诱导公式及二倍角公式在求解三角形中的应用，属于基础题．(1)由已知结合三角形内角和可得A，C的关系，结合三角形内角范围可求C的范围，进而可求；(2)由已知结合正弦定理及诱导公式，二倍角公式进行化简可求sin C．19.【答案】解：(1)因为平面ABEF⊥平面CDFE，平面ABEF∩平面CDFE=EF，DF⊥EF，DF⊂平面CDFE，所以DF⊥平面ABEF，所以DF⊥AF．又因为AF⊥EF，DF⊂平面CDFE，EF⊂平面CDFE，DF∩EF=F．所以AF⊥平面CDFE．在平面CEF内过点F作FG⊥CE于G，连结AG，则AG⊥CE．所以∠AGF为二面角A−CE−F的平面角．ABCDFEGl在△CEF中，CE=CF=√5，EF=2，由S△CEF=12×EF×DF=12×CE×FG，得FG=4√55．在△AFG中，AG=√AF2+FG2=6√55，所以sin∠AGF=AFAG =√53，所以二面角A−CE−F的正弦值为√53．(2)设平面ACF∩平面BCF=l．因为四边形ABEF为正方形，所以AF//BE.又AF⊄平面BCE，BE⊂平面BCE，所以AF//平面BCE．又AF⊂平面ACF，平面ACF∩平面BCE=l，所以AF//l．因为AF⊥平面CDFE，CF⊂平面CDFE，所以AF⊥CF，所以CF⊥l．又平面ACF ⊥平面BCE ，平面ACF ∩平面BCE =l ，CF ⊂平面ACF ， 所以CF ⊥平面BCE ．又CE ⊂平面BCE ，所以CF ⊥CE ，所以CF 2+CE 2=EF 2．设DF =t(t >0)，则CF =√t 2+1，CE =√t 2+1，所以(t 2+1)+(t 2+1)=22， 解得t =1，即DF =1．【解析】(1)证明DF ⊥AF.AF ⊥平面CDFE.在平面CEF 内过点F 作FG ⊥CE 于G ，连结AG ，则AG ⊥CE.说明∠AGF 为二面角A −CE −F 的平面角．通过求解三角形推出二面角A −CE −F 的正弦值即可．(2)设平面ACF ∩平面BCF =l.推出AF//平面BCE.AF//l.证明CF ⊥l.CF ⊥平面BCE.得到CF ⊥CE ，设DF =t(t >0)，然后利用勾股定理求解即可．本题考查二面角的平面角的求法，空间点、线、面距离的求法，是中档题．20.【答案】解：(1)因得分Z ～N(71,81)，所以标准差σ=9，所以优秀者得分Z ≥μ+σ， 由P(μ−σ<Z <μ+σ)≈0.68得，P(Z ≥μ+σ)≈0.16．因此，估计这次参加竞赛活动得分优秀者的人数为10×0.16=1.6(万人)． (2)方法一：设抽奖一次获得的话费为X 元， 则P(X =40)=990=110，P(X =10)=910，所以抽奖一次获得电话费的期望值为E(X)=110×40+910×10=13． 又由于10万人均参加抽奖，且优秀者参加两次， 所以抽奖总次数为10+10×0.16=11.6万次，因此，估计这次活动所需电话费为11.6×13=150.8万元．方法二：设每位参加活动者获得的电话费为X 元，则X 的值为10，20，40，50，80． 且P(X =10)=(1−0.16)×8190=7561000， P(X =20)=0.16×(8190)2=129610000，P(X =40)=(1−0.16)×990=841000， P(X =50)=0.16×(8190)×(990)×2=28810000， P(X =80)=0.16×(990)2=1610000．所以E(X)=10×7561000+20×129610000+40×841000+50×28810000+80×1610000=15.08．因此，估计这次活动所需电话费为10×15.08=150.8(万元)．【解析】(1)Z ～N(71,81)，由此能求出P(Z ≥μ+σ)≈0.16的值，即可求出对应的人数； (2)方法一：根据设抽奖一次获得的话费为X 元，求出数学期望，即可求出电话费总额； 方法二：设每位参加活动者获得的电话费为X 元，则X 的值为10，20，40，50，80，得到分布列，即可求出数学期望可得答案．本题考查均值、概率、离散型随机变量、分布列的求法，考查正态分布、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)若B 为椭圆的上顶点，则B(0,1)，又AB 过点(2,0)，故直线AB ：x +2y −2=0， 代入椭圆C ：x 22+y 2=1，可得3y 2−4y +1=0，解得y 1=1，y 2=13，即点A(43,13)，从而直线AF ：y =x −1；(2)证明：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线AB ：x =ty +2， 代入椭圆方程可得：(2+t 2)y 2+4ty +2=0，△>0， 所以y 1+y 2=−4tt 2+2，y 1y 2=2t 2+2， 故k 1+k 2=y 1x 1−1+y 2x 2−1=y 1ty 1+1+y 2ty 2+1=2ty 1y 2+(y 1+y 2)(ty 1+1)(ty 2+1)=2t2t 2+2+−4tt 2+2(ty 1+1)(ty 2+1)=0，又k 1，k 2均不为0，故k1k 2=−1，即k1k 2为定值−1．【解析】(1)先求出直线AB 的方程，然后代入椭圆方程消去x ，从而可求出点A 的坐标，从而可求出直线AF 的方程；(2)设出直线AB 的方程，代入椭圆方程消去x ，利用韦达定理表示出y 1+y 2，y 1y 2，表示出k 1+k 2，从而可得结论．本题主要考查了直线方程的求解，以及韦达定理的应用，同时考查了转化能力和运算求解的能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)证明：由题意得f′(x)=a x lna −e −x ，所以f′′(x)=a x (lna)2+e −x >0，所以函数f′(x)单调递增， 由f′(x)=0，得(ae)x lna =1，(ae)x =1lna ，当x >log ae 1lna 时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x <log ae 1lna 时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 因此，当x =log ae 1lna 时函数f(x)有极值． (2)方法一由(1)知，函数f(x)的极值点x 0(即函数f′(x)的零点)唯一， 因为f′(−1)=lna a−e ，令g(a)=lna a，则g′(a)=1−lna a2=0，得a =e ，当a >e 时，g′(a)<0，g(a)单调递减， 当0<a <e 时，g′(a)>0，g(a)单调递增， 所以g(a)≤g(e)=1e ，所以f′(−1)=lna a−e <0，而f′(0)=lna −1，当a =2时，f′(0)<0， 当a ≥3时，f′(0)>0，又f′(1)=alna −1e ，因为a 为正整数且a ≥2时，所以alna ≥2ln2>1>1e ， 当a ≥2时，f′(1)>0，即对任意正整数a >1，都有f′(−1)<0，f′(1)>0，所以x 0∈(−1,1)恒成立， 且存在a =2，使x 0∈(0,1)，也存在a =3，使x 0∈(−1,0)， 所以n −m 的最小值为2． 方法二由(1)知x 0=log ae1lna=−ln(lna)lna+1，令lna =k ，k =ln2，ln3，…，则x 0=−lnkk+1=0，得k =1， 先证：lnk ≤k −1，令g(k)=lnk −k +1，则g′(k)=1−k k，当k >1时，g′(k)<0，当k <1时，g′(k)>0， 所以g(k)≤g(1)=0，即lnk ≤k −1成立， 所以x 0=−lnkk+1>−1，又当k ≥ln3时，x 0=−lnkk+1<0，当k=ln2时，x0=ln(ln2)ln2+1>0，且x0=ln(ln2)−1ln2+1<lneln2+1<1，所以x0∈(−1,1)恒成立，且存在a=2，使x0∈(0,1)，也存在a=3，使x0∈(−1,0)．所以n−m的最小值为2．【解析】(1)求出函数的导数，求出函数的单调区间，求出函数的极值点，从而证明结论成立；(2)法一：求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出n−m的最小值即可；法二：根据lnk≤k−1，得到x0=−lnkk+1>−1，求出x0<1，得到x0∈(−1,1)恒成立，且存在a=2，使x0∈(0,1)，也存在a=3，使x0∈(−1,0)，得到n−m的最小值．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是难题．。
2021年高考数学一模试卷(江苏省) (1)(含答案解析)
2021年高考数学一模试卷（江苏省） (3)一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.集合A={4,7,15},B={x|x<10,x∈Z}，则A∩B=_____．2.已知z=4−3i，则|z|=______．3.从0，1，2，3这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是_______________．4.一家企业据以往某种新产品的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．由频率分布直方图，估计这种新产品的日销售量的中位数为______ .(结果保留整数)5.执行如图所示的流程图，则输出的M应为______6.若双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0 ,b>0)的渐近线为y=±√3x，则双曲线C的离心率为______ ．7.在四棱锥S−ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，SD=AD=2，M，N，P分别是棱AB，AD，AS的中点，三棱柱MNP−M1N1P1的顶点都位于四棱锥S−ABCD的棱上，则三棱柱MNP−M1N1P1的体积为__________．8.“函数f(x)=sin(x+φ)为奇函数”是“φ=0”的__________条件．9. 在△ABC 中，若AC =6，cosB =45，C =π4,则AB =____．10. 已知数列的前{a n }的前n 项和为S n =2n+1,b n =log 2(a n 2⋅2a n )，数列的{b n }的前n 项和为T n ，则满足T n >1024的最小n 的值为______．11. 若集合P ={x ∈N|1≤x ≤10}，Q ={x ∈R|x 2+x −6=0}，则P ∩Q =____.12. 已知函数f(x)的图象关于原点对称，当x <0时，f(x)=x(1−x)，则当x >0时，函数f(x)=__________．13. 在△ABC 中，AC =4，M 为AC 的中点，BM =3，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．14. 设曲线L 的方程为y 4+(2x 2+2)y 2+(x 4−2x 2)=0，对于曲线L ，有下列3个结论，所有正确结论的序号是____________．①曲线L 是轴对称图形；②曲线C 是中心对称图形；③曲线L 上所有的点的纵坐标y ∈[−12,12]二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(0<ω<1,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M(3π4,0)对称．(1)求ω，φ的值；(2)若x ∈[−3π4,π2]，求f(x)的最大值与最小值．16. 如图，在四棱锥 P −ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，PA ⊥平面 ABCD ，PA =3，F 是棱 PA 上的一个动点，E 为 PD 的中点． (Ⅰ)求证：平面 BDF ⊥平面 PCF ；(Ⅱ)若AF=1，求证：CE//平面BDF．17.如图，在圆心角为变量2θ(0<2θ<π)的扇形OAB内作一半径为r的内切圆P，再在扇形内作一个与扇形两半径相切并与圆P外切的小圆Q，圆P与圆Q相切于C点，圆P和圆Q与半径OA分别切于E，D两点．(1)当圆Q的半径不低于OA时，求θ的最大值；9(2)设BH为点B到半径OA的距离，当BH取得最大值时，扇形被称之为“最理想扇形”.求“最PE理想扇形”的面积．18.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点M(1,32)，左焦点为F(−1,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线y=kx+2与椭圆C有两个不同的交点P，Q，点N(0,−2)，记直线NP，NQ的斜率分别为k1，k2，求k1·k2的取值范围．19.已知数列{a n}中，a1=1，a n a n+1=(12)n，(n∈N∗)(1)求a1，a2，a3，a4(2)求证：数列{a2n}与{a2n−1}(n∈N∗)都是等比数列．20.已知函数f(x)=lnx+2ax，a∈R．(1)若函数f(x)在[2,+∞)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)在[1,e]上的最小值为3，求实数a 的值．21. 21 (本题10分)已知矩阵M =[−12523] ．(1)求M 的特征值和特征向量；(2)若向量α=[116]，求M 3α．22. 在极坐标系中，已知圆C 的方程为ρ=2sinθ，直线l 的方程为ρsin(θ+π3)=a.若直线l 与圆C相切，求实数a 的值．23.已知：x，y，z是正实数，且x+2y+3z=1．(1)求1x +1y+1z的最小值；(2)求证：x2+y2+z2≥114．24.已知抛物线y2=2px(p>0)过点(4,4)，它的焦点F，倾斜角为π3的直线l过点F且与抛物线两交点为A，B，点A在第一象限内．(1)求抛物线和直线l的方程；(2)求|AF|：|BF|的值．25.设数列{a n}的前n项和S n=n(n+1)(4n−1)6，n∈N∗(1)求数列{a n}的通项公式．(2)证明：对一切正整数n，有1a12+4a22+⋯n2a n2<54．【答案与解析】1.答案：{4,7}解析：本题主要考查了交集及其运算，属于基础题．由题意即可得出答案．解：因为A={4,7,15},B={x|x<10,x∈Z}，故A∩B={4,7}．故答案为{4,7}．2.答案：5解析：解：|z|=√42+(−3)2=5．故答案为：5．利用复数模的计算公式即可得出．本题考查了复数模的计算公式，属于基础题．3.答案：59解析：本题考查古典概型概率计算，解题关键是列举出所有的基本事件．解：无重复数字的两位数有10，12，13，20，21，23，30，31，32，共9个.其中偶数有10，12，20，30，32，共5个．．所以所求概率为59故答案为5．94.答案：117解析：解：从频率分布直方图，可以知道要使得两边的面积相等，平分面积的直线应该在100～150之间，设该直线为x=a，则50×(0.002+0.005)+0.006×(a−100)=0.06×(150−a)+50×(0.004+0.002)解得a≈117，即这种新产品的日销售量的中位数为大约是117．故答案为：117：．从频率分布直方图中求中位数，即求要使得两边的面积相等的数，设该数为x=a，则x=a的左边部分面积为12，可以看出平分面积的直线应该在100～150之间，计算出第一个和第二个矩形面积之和，再加上第三个矩形中x=a的左边部分面积0.006×(a−100)为0.5，即可解出a．本题考查频率分布直方图、利用频率分布直方图进行总体估计：求中位数，属基本知识、基本运算的考查．5.答案：2解析：解：由题意，执行程序框图，可得i=1，满足条件，则M=11−2=−1，i=2，满足条件，则M=11−(−1)=12，i=3，满足条件，则M=11−12=2，i=4不满足条件，退出循环，输出M的值为2．故答案为：2模拟执行程序，依次写出每次循环得到的M，i的值，当i=4不满足条件，退出循环，输出M的值为2．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的功能是解答此类问题的关键，属于基础题．6.答案：2解析：解：∵双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0 ,b>0)的渐近线为y=±√3x，∴ba=√3∴c2−a2a2=3即e2−1=3∴e=2故答案为2先利用双曲线的几何性质，焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±ba x，得ba=√3，在两边平方，利用双曲线离心率的定义求其离心率即可本题主要考查了双曲线的标准方程、双曲线的几何性质，双曲线的渐近线定义及其应用，双曲线的离心率定义及求法，属基础题7.答案：1解析：【试题解析】由题意画出图形，可得三棱柱MNP−M1N1P1的底面为直角三角形，且为直三棱柱，由已知求出底面直角三角形的边长与高，则体积可求．本题考查多面体体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．解：由题意画出图形如图，则三棱柱MNP−M1N1P1的底面为直角三角形MNP，高为侧棱M1M，且由已知可得PN=12SD=1，MN=12BD=√2，MM1=12AC=√2，∴三棱柱MNP−M1N1P1的体积为12×1×√2×√2=1．故答案为：1．8.答案：必要不充分解析：因为函数f(x)=sin(x+φ)为奇函数，不一定有φ=0，但是φ=0一定有f(x)=sin(x+φ)为奇函数，因此可以判断“函数f(x)=sin(x+φ)为奇函数”是“φ=0”的必要不充分条件．9.答案：5√2解析：本题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题型．首先根据cosB=45求出sin B，再利用正弦定理即可求解．解：∵cosB=45，∴B为锐角，∴sinB=35，∵AC=6，C=π4,由正弦定理得ACsinB =ABsinC，∴635=√22，∴AB=5√2．故答案是5√2．10.答案：9解析：解：n≥2，a n=S n−S n−1=2n+1−2n=2n.n=1，a1=S1=4．∴a n={4,n=12n,n≥2．∴b1=log2(42×24)=8，n≥2时，b n=log2[(2n)2⋅22n]=2n+2n．数列的{b n}的前n项和为T n=8+4(2n−1−1)2−1+2×n(n+1)2=2n+1+4+n2+n．由T n >1024，即满足2n+1+4+n 2+n >1024的最小n 的值为9．故答案为：9．n ≥2，a n =S n −S n−1.n =1，a 1=S 1=4.可得a n .b 1=log 2(42×24)=8，n ≥2时，b n =log 2[(2n )2⋅22n]=2n +2n.利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 11.答案：{2}解析：本题考查函数性质的应用，比较基础．求得集合P ，Q 再由交集的定义求解即可．解：因为P ={x ∈N|1≤x ≤10}={1,2，3，4，5，6，7，8，9，10}，Q ={x ∈R|x 2+x −6=0}={−3,2}，所以P ∩Q ={2}．故答案为{2}．12.答案：x(1+x)解析：当x >0时，−x <0，f(x)=−f(−x)=−[(−x)(1+x)]=x(1+x)．13.答案：5解析：解：∵M 为AC 的中点，∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=36，①∵BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA⃗⃗⃗⃗⃗ 2=16，② ①−②得：4BA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =20， ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =5．故答案为：5．由题意可得BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，对两式平方相减即可得出答案．本题考查了平面向量线性运算的几何意义，平面向量的数量积运算，属于在中档题．14.答案：①②③解析：本题考查曲线与方程及根据方程分析曲线具有的几何性质，属于中档题．根据方程结合几何性质分析即可．解：y4+(2x2+2)y2+(x4−2x2)=0(∗)，在(∗)式中，将x换成−x，方程不变，所以曲线C关于y轴对称；将y换成−y，方程不变，所以曲线C关于x轴对称；同时将x换成−x，将y换成−y，方程不变，所以曲线C关于原点对称，故①②正确；(∗)式可变形为x4+(2y2−2)x2+(y4+2y2)=0，可以看成是关于x2的二次方程，则，所以y2⩽14, −12⩽y⩽12，所以③正确．故答案①②③．15.答案：解：(1)因为f(x)=sin(ωx+φ)是R上的偶函数，所以φ=π2+kπ，k∈Z，且0≤φ≤π，则φ=π2，即f(x)=cosωx．因为图象关于点M(34π,0)对称，所以ω⋅34π=π2+mπ，m∈Z，ω=23+4m3，又0<ω<1，所以ω=23．(2)因为x∈[−3π4,π2 ]，所以23x∈[−π2,π3]，当23x=0时，即x=0，函数f(x)的最大值为1，当23x=−π2时，即x=−3π4，函数f(x)的最小值为0．解析：本题考查三角函数y=Asin(ωx+φ)图象和的性质，题目基础．(1)由函数为偶函数，可得φ=π2，再由对称点可得ω=23；(2)由x∈[−3π4,π2]可得23x∈[−π2,π3]，再根据函数的单调性求解最值即可．16.答案：证明：(Ⅰ)连接AC交BD于O，则AC⊥BD，∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，∵PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面BDF，∴平面BDF⊥平面PAC，即平面BDF⊥平面PCF；(Ⅱ)如图所示，取PF中点G，连接EG，CG，连接FO．由题可得F为AG中点，O为AC中点，∴FO//GC；又G为PF中点，E为PD中点，∴GE//FD．又GE∩GC=G，GE、GC⊂面GEC，FO∩FD=F，FO，FD⊂面FOD．∴面GEC//面FOD．∵CE⊂面GEC，∴CE//面BDF；解析：(Ⅰ)连接AC交BD于O，证明BD⊥平面PAC，即可证明结论；(Ⅱ)取PF中点G，连接EG，CG，连接FO.由三角形中位线定理可得FO//GC，GE//FD.然后利用平面与平面平行的判定得到面GEC//面FOD，进一步得到CE//面BDF．本题考查直线与平面平行的判定，考查了线面垂直、面面垂直的证明，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．17.答案：解：(1)由题意得OP =PE sinθ=r sinθ，又OP +PE =OA ，∴r sinθ+r =OA ，∴OA =1+sinθsinθr ， 又OQ =QD sinθ且OP =OQ +CQ +PC ，∴r sinθ=QD sinθ+QD +r ，∴QD =1−sinθ1+sinθr则当圆Q 的半径不小于OA 9，即QD ≥OA 9也即1−sinθ1+sinθr ≥1+sinθ9sinθr ， 整理得10sin 2θ−7sinθ+1≤0，即15≤sinθ≤12，又θ∈(0,π2)，y =sinθ在θ∈(0,π2)单调增，故θ的最大值为π6；(2)∵BH =OBsin2θ=sin2θ×1+sinθsinθr =2cosθ(1+sinθ)r ， ∴BH PE =2cosθ(1+sinθ)，设f(θ)=cosθ(1+sinθ)，θ∈(0,π2)，则f′(θ)=−sinθ(1+sinθ)+cos 2θ=−2sin 2θ−sinθ+1令f′(θ)>0可解得−1<sinθ<12，可得θ∈(0,π6)，同理令f′(θ)<0可得θ∈(π6,π2)，则当θ∈(0,π6)时，f(θ)为增函数，当θ∈(π6,π2)时，f(θ)为减函数，∴当θ=π6时，BH PE 取得最大值，此时OA =1+1212r =3r ， 故“最理想扇形”的面积为12×π6×OA 2=π12×(3r)2=34πr 2解析：(1)由题意得OA =1+sinθsinθ，QD =1−sinθ1+sinθr ，由QD ≥OA 9可得sinθ的不等式，解不等式解正弦函数的单调性可得；(2)可得BH PE =2cosθ(1+sinθ)，设f(θ)=cosθ(1+sinθ)，θ∈(0,π2)，由导数法可得函数的最值，可得结论．本题考查导数和三角函数的综合应用，涉及新定义和导数法判函数的单调性，属难题．18.答案：解：(1)因为左焦点为F(−1,0)，所以c =1，因为过点M(1,32)，所以1a 2+94b 2=1，解之得a 2=4，b 2=3，所以椭圆方程为x 24+y 23=1．(2)设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，联立方程{x 24+y 23=1y =kx +2，得(3+4k 2)x 2+16kx +4=0， 由Δ=(16k)2−4×4(3+4k 2)>0可得k 2∈(14,+∞) ，则x 1+x 2=−16k 3+4k 2，x 1x 2=43+4k 2，所以y 1+y 2=k(x 1+x 2)+4=123+4k 2，y 1y 2=k 2x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4=12−12k 23+4k 2， 所以k 1k 2=y 1+2x 1·y 2+2x 2=y 1y 2+2(y 1+y 2)+4x 1x 2=k 2+12 ， 因为k 2∈(14,+∞)，所以k 2+12∈(494,+∞)，所以k 1k 2取值范围为(494,+∞)．解析：本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆相交问题，属于中档题．(1)根据题目条件列方程组，求出a ，b ，c 的值即可；(2)设P ，Q 点坐标，将所求的k 1k 2表示成点P ，Q 坐标的关系，再利用韦达定理代入即可． 19.答案：(1)解：∵数列{a n }中，a 1=1，a n a n+1=(12)n ，∴a 1=1，a 2=12，a 3=12，a 4=14；(2)证明：∵a n a n+1=(12)n ，∴a n+2a n =12， ∴数列a 1，a 3，…a 2n−1，是以1为首项，12为公比的等比数列；数列a 2，a 4，…，a 2n ，是以12为首项，12为公比的等比数列．解析：(1)利用数列{a n }中，a 1=1，a n a n+1=(12)n ，可求a 1，a 2，a 3，a 4；(2)由a n a n+1=(12)n ，可得a n+2a n =12，根据等比数列的定义判定出数列{a 2n }与{a 2n−1}(n ∈N ∗)都是等比数列．本题主要考查了等比关系的确定．解题的关键是对等比数列基础知识点的熟练掌握． 20.答案：解：(1)f ′(x)=x−2ax 2，∵f(x)在区间[2,+∞)上是增函数，∵x 2>0，∴x −2a ≥0即2a ≤x 在区间[2,+∞)恒成立，即2−2a ≥0，解得a ≤1；∴实数a 的取值范围为(−∞,1]．(2)f ′(x)=x−2a x 2， ①当a ≤12时，f′(x)=x−2ax 2≥0在[1,e]恒成立，∴f(x)在区间[1,e]为增函数，∴f(x)min =f(1)=2a =3，得a =32不符合题意舍；②当12<a <e 2时，f′(x)=x−2ax 2≤0在[1,2a]成立，∴f(x)在区间[1,2a]为减函数，f′(x)=x−2ax 2≥0在[2a,e]成立，∴f(x)在区间[2a,e]为增函数， ∴f(x)min =f(2a)=ln(2a)+1=3，解得a =e 22(舍)； ③当a ≥e 2时，f′(x)=x−2ax 2≤0在[1,e]恒成立，∴f(x)在区间[1,e]为减函数，∴f(x)min =f(e)=lne +2a e =3，解得a =e ．综上可得，a 的值为e ．解析：本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查函数的单调性的运用，以及转化思想和分类讨论的思想方法，运算求解能力，属于难题．(1)求出f(x)的导数，由题意可得x −2a ≥0即2a ≤x 在区间[2,+∞)恒成立，求得x 的最小值，即可得到a 的范围；(2)求出f(x)的导数，讨论①当a ≤12时，②当12<a <e 2时，③当a ≥e 2时，由单调性和恒成立思想解方程可得a 的值．21.答案：解：(1)M =[−12523]有两个特征值λ1=4,λ2=−2；属于λ1=4的一个特征向量为α1=[25]；属于λ2=−2的一个特征向量为α2=[−21]． (2)α=[116]=3α1+α2， ∴M 3α=3λ13α1+λ23α2=[208952]．解析：本题考查特征值、特征向量的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．(1)考查矩阵特征值和特征向量；(2)考查的矩阵的运算，利用α=[116]=3α1+α2计算即可． 22.答案：解：由ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2+(y −1)2=1，由ρsin(θ+π3)=a ，得ρ(12sinθ+√32cosθ)=a ， 所以直线l 的直角坐标方程为√3x +y −2a =0，因为直线l 与圆C 相切，所以√3+1=1， 解得a =32或a =−12．解析：先把直线与圆的极坐标方程化成直角坐标方程，再根据相切得圆心到直线的距离等于半径列方程可解得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：(1)解：1x +1y +1z =(1x +1y +1z )(x +2y +3z)≥(√x ⋅1x +√2y ⋅1y +√3z ⋅1z )2=(1+√2+√3)2=6+2√2+2√3+2√6， 当且仅当x =√2y =√3z 时，等号成立，因此，1x +1y +1z 的最小值为6+2√2+2√3+2√6；(2)证：由柯西不等式可得(12+22+32)(x 2+y 2+z 2)≥(x +2y +3z)2=1，即14(x 2+y 2+z 2)≥1，则x 2+y 2+z 2≥114，当且仅当x=y2=z3时，等号成立．解析：(1)将1x +1y+1z与x+2y+3z相乘，利用柯西不等式可求出1x+1y+1z的最小值；(2)将x2+y2+z2与数12+22+32相乘，利用柯西不等式进行配凑可证明x2+y2+z2≥114．本题考查柯西不等式，解题的关键在于对代数式进行合理的配凑，属于中等题．24.答案：解：(1)∵抛物线y2=2px(p>0)过点(4,4)，∴16=8p，∴p=2，∴抛物线的方程为y2=4x，焦点F(1,0)，直线方程为y=√3(x−1)；(2)直线y=√3(x−1)与抛物线方程联立{y2=4xy=√3(x−1),可得3x2−10x+3=0，∴x=13或3，又∵点A在第一象限，∴x A=3，x B=3∴|AF|=3+1=4，|BF|=13+1=43，∴|AF|：|BF|=4：43=3．解析：本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．(1)抛物线y2=2px(p>0)过点(4,4)，代入，求出p，可得抛物线方程，求出焦点F(1,0)，可得直线方程；(2)y=√3(x−1)与抛物线方程联立，可得3x2−10x+3=0，求出A，B的横坐标，即可求出|AF|：|BF|的值25.答案：(1)解：a n=S n−S n−1=n(n+1)(4n−1)6−(n−1)n(4n−5)6=n(2n−1)；显然，当n=1时，a1=1×(2×1−1)=1，故数列{a n}的通项公式为a n=n(2n−1)；(2)证明：根据(2)可得：a n=n(2n−1)，故n 2a n2=n2n2(2n−1)2=1(2n−1)2<1(2n−1+1)(2n−1−1)=14(1n−1−1n)(n≥2)，所以1a12+4a22+⋯n2a n2<1+14(1−12+12−13+⋯+1n−1−1n)=1+14(1−1n)<54．解析：本题主要考查数列的通项公式，是数列与不等式相结合的综合题，难度较大，考查了分析问题与解决问题的能力．(1)根据S n与a n的关系，即可求数列{a n}的通项公式；(2)利用n2a n2=1(2n−1)2<1(2n−1+1)(2n−1−1)放缩、并项相加即可计算．。
江苏省盐城市2021届新高考数学模拟试题含解析
江苏省盐城市2021届新高考数学模拟试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数3(1),1()ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若()()f a f b >，则下列不等关系正确的是（ ）A ．221111a b <++ BC ．2a ab <D ．()()22ln 1ln 1a b +>+【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的单调性得到,a b 的大小关系，再利用不等式的性质，即可得答案. 【详解】∵()f x 在R 上单调递增，且()()f a f b >，∴a b >.∵,a b 的符号无法判断，故2a 与2b ，2a 与ab 的大小不确定， 对A ，当1,1a b ==-时，221111a b =++，故A 错误； 对C ，当1,1a b ==-时，21,1a ab ==-，故C 错误； 对D ，当1,1a b ==-时，()()22ln 1ln 1a b +=+，故D 错误； 对B ，对a b >B 正确. 故选：B. 【点睛】本题考查分段函数的单调性、不等式性质的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.2．已知函数()()2,211,22xa x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩，满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()1,+∞ B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．13,8⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．13,8⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】由题意可知函数()y f x =为R 上为减函数，可知函数()2y a x =-为减函数，且()212212a ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】由题意知函数()y f x =是R 上的减函数，于是有()22012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-≤- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得138a ≤， 因此，实数a 的取值范围是13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． 故选：B. 【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数，一般要分析每支函数的单调性，同时还要考虑分段点处函数值的大小关系，考查运算求解能力，属于中等题.3．函数()y f x =满足对任意x ∈R 都有()()2f x f x +=-成立，且函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，()14f =，则()()()201620172018f f f ++的值为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．1【答案】C 【解析】 【分析】根据函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称可得()f x 为奇函数，结合()()2f x f x +=-可得()f x 是周期为4的周期函数，利用()00f =及()14f =可得所求的值. 【详解】因为函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，所以()y f x =的图象关于原点对称， 所以()f x 为R 上的奇函数.由()()2f x f x +=-可得()()2f x f x +=-，故()()()42f x f x f x +=-+=， 故()f x 是周期为4的周期函数.因为20164504,201745041,201845042=⨯=⨯+=⨯+，所以()()()()()()()20162017201012428f f f f f f f +=+=+++. 因为()()2f x f x +=-，故()()()02000f f f +=-=-=，所以()()()2016201720148f f f +=+. 故选：C. 【点睛】本题考查函数的奇偶性和周期性，一般地，如果R 上的函数()f x 满足()()()0f x a f x a +=-≠，那么()f x 是周期为2a 的周期函数，本题属于中档题.4．下列命题中，真命题的个数为（ ） ①命题“若1122a b <++，则a b >”的否命题； ②命题“若21x y +>，则0x >或0y >”；③命题“若2m =，则直线0x my -=与直线2410x y -+=平行”的逆命题. A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】否命题与逆命题是等价命题，写出①的逆命题，举反例排除；原命题与逆否命题是等价命题，写出②的逆否命题后，利用指数函数单调性验证正确；写出③的逆命题判，利用两直线平行的条件容易判断③正确. 【详解】①的逆命题为“若a b >，则1122a b <++”， 令1a =-，3b =-可知该命题为假命题，故否命题也为假命题；②的逆否命题为“若0x ≤且0y ≤，则21x y +≤”，该命题为真命题，故②为真命题； ③的逆命题为“若直线0x my -=与直线2410x y -+=平行，则2m =”，该命题为真命题. 故选：C. 【点睛】本题考查判断命题真假. 判断命题真假的思路：(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，然后联系其他相关的知识进行判断．(2)当一个命题改写成“若p ，则q ”的形式之后，判断这个命题真假的方法：①若由“p ”经过逻辑推理，得出“q ”，则可判定“若p ，则q ”是真命题；②判定“若p ，则q ”是假命题，只需举一反例即可．5．若实数x ，y 满足条件25024001x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数2z x y =-，则z 的最大值为( )A ．52B ．1C ．2D ．0【答案】C 【解析】 【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到最大值. 【详解】若实数x ，y 满足条件25024001x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数2z x y =-如图：当3,12x y ==时函数取最大值为2 故答案选C 【点睛】求线性目标函数(0)z ax by ab =+≠的最值:当0b >时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小； 当0b <时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.6．ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB a =，CA b =，2a =，1b =，则CD =（ ） A ．2133a b + B ．1233a b +C ．3455a b + D ．4355a b + 【答案】B 【解析】 【分析】由CD 平分ACB ∠，根据三角形内角平分线定理可得BD CBDA CA=，再根据平面向量的加减法运算即得答案. 【详解】CD 平分ACB ∠，根据三角形内角平分线定理可得BD CBDA CA=， 又CB a =，CA b =，2a =，1b =， 2,2BDBD DA DA∴=∴=. ()22123333CD CB BD CB BA a b a a b ∴=+=+=+-=+.故选：B . 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题.7．某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（ ）种 A ．240 B ．320C ．180D ．120【答案】C 【解析】 【分析】在所有两组至少都是3人的分组中减去3名女干部单独成一组的情况，再将这两组分配，利用分步乘法计数原理可得出结果. 【详解】两组至少都是3人，则分组中两组的人数分别为3、5或4、4，又因为3名女干部不能单独成一组，则不同的派遣方案种数为432882221180C C A A ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查排列组合的综合问题，涉及分组分配问题，考查计算能力，属于中等题.8．计算2543log sin cos ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于( )A ．32-B ．32C ．23-D ．23【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式、特殊角的三角函数值，结合对数运算，求得所求表达式的值.【详解】原式2222221log cos 2log cos log 232322πππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯-=⨯=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦3223log 22-==-. 故选：A 【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查对数运算，属于基础题. 9．在等差数列{}n a 中，若244,8a a ==，则7a =（ ） A ．8 B ．12C ．14D ．10【答案】C 【解析】 【分析】将2a ，4a 分别用1a 和d 的形式表示，然后求解出1a 和d 的值即可表示7a . 【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则由24a =，48a =，得114,38,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得12a =，2d =，所以71614a a d =+=．故选C ． 【点睛】本题考查等差数列的基本量的求解，难度较易.已知等差数列的任意两项的值，可通过构建1a 和d 的方程组求通项公式.10．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为（ ）A 3B ．36C 3D 23【答案】C 【解析】 【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出底面面积，代入锥体体积公式，可得答案．【详解】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其底面面积11(11)12S=⨯⨯+=，高3h=，故体积1333V Sh==，故选：C．【点睛】本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．11．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的a的值为（）A．2-3B．3-2C．52D．25【答案】C【解析】【分析】根据给定的程序框图，计算前几次的运算规律，得出运算的周期性，确定跳出循环时的n的值，进而求解a的值，得到答案.【详解】由题意，3,15a n ==， 第1次循环，2,23a n =-=，满足判断条件；第2次循环，5,32a n ==，满足判断条件；第3次循环，3,45a n ==，满足判断条件；可得a 的值满足以3项为周期的计算规律，所以当2019n =时，跳出循环，此时n 和3n =时的值对应的a 相同，即52a =. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中认真审题，得出程序运行时的计算规律是解答的关键，着重考查了推理与计算能力. 12．已知函数1()cos 22f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()f x 的极大值点为( ) A ．3π-B ．6π-C ．6π D ．3π 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导函数，令导数为零，根据函数单调性，求得极大值点即可. 【详解】 因为()11cos 222f x x x x sinx π⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭， 故可得()12f x cosx '=-+， 令()0f x '=，因为,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 故可得3x π=-或3x π=，则()f x 在区间,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增， 在,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递减，在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，故()f x 的极大值点为3π-. 故选：A. 【点睛】本题考查利用导数求函数的极值点，属基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南京盐城市2021届高三数学下学期第一次模拟考试试题含解析
江苏省南京、盐城市2021届高三数学下学期第一次模拟考试试题(含解析)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．若1i 2i a +-为实数,其中i 为虚数单位，则实数a 的值为A ．2B ．12-C ．12D ．﹣22．已知函数2lg(2)y x x =--+的定义域为集合M,函数y ＝sin x 的值域为N,则M N ＝A ．B ．（﹣2,1］C ．［﹣1，1）D ．[﹣1,1］3．函数532()ln xf x x=在其定义域上的图象大致为4．一次竞赛考试，老师让学生甲、乙、丙、丁预测他们的名次．学生甲说:丁第一；学生乙说：我不是第一；学生丙说：甲第一;学生丁说：甲第二．若有且仅有一名学生预测错误，则该学生是A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁5．化简sin 2(6π﹣α）﹣sin 2（3π＋α)可得A ．cos(2α＋3π）B ．﹣sin （2α＋6π） C ．cos （2α﹣3π） D ．sin(2α﹣6π)6．某词汇研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查,随机抽取了200人进行调查统计得下方的2×2列联表．则根据列联表可知A ．有95％的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系B ．没有95％的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系C ．有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系D ．有97。
5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人"没有关系参考公式:独立性检验统计量22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d=+++．下面的临界值表供参考：P(20x χ≥） 0。
15 0。
10 0。
05 0。
025 0.010 0.005 0。
0010x2.072 2。
7063.841 5。
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题新高考Ⅰ卷含解析 江苏卷
17. 已知数列 满足 ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）根据题设中的递推关系可得 ，从而可求 的通项.
（2）根据题设中的递推关系可得 的前 项和为 可化为 ，利用（1）的结果可求 .
【详解】A： 且 ，故平均数不相同，错误；
B：若第一组中位数为 ，则第二组的中位数为 ，显然不相同，错误；
C： ，故方差相同，正确；
D：由极差的定义知：若第一组的极差为 ，则第二组的极差为 ，故极差相同，正确；
故选：CD
10. 已知 为坐标原点，点 ， ， ， ，则（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
8. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）
A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立
【详解】设圆锥的母线长为 ，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则 ，解得 .
故选：B.
4. 下列区间中，函数 单调递增的区间是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式 ，利用赋值法可得出结论.
【详解】因为函数 的单调递增区间为 ，
对于函数 ，由 ，
解得 ，
取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ，
设 ，
则 ，
两式作差得：
，
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江苏省盐城市2021届新高考数学一模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一个对称中心为（ ） A ．(,0)3πB ．(,0)4πC ．(,0)12πD ．(0,0)【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得1sin()26y x π=+的图象；再将图象向右平移3π个单位，可得11sin[()]sin 2362y x x ππ=-+=的图象，那么所得图象的一个对称中心为(0,0)，故选D. 考点：三角函数的图象与性质.2．已知定义在[)1,+∞上的函数()f x 满足()()33f x f x =，且当13x ≤≤时，()12f x x =--，则方程()()2019f x f =的最小实根的值为（ ） A ．168 B ．249C ．411D ．561【答案】C 【解析】 【分析】先确定解析式求出(2019)f 的函数值，然后判断出方程()()2019f x f =的最小实根的范围结合此时的5()3f x x =-，通过计算即可得到答案.【详解】当1x ≥时，()()33f x f x =，所以22()3()3()33x x f x f f ===L 3()3n n x f =，故当 +133n n x ≤≤时，[1,3]3n x ∈，所以()13,233(12)33,23n n nn n nx x x f x x x +⎧-≥⋅=--=⎨-<⋅⎩，而 672019[3,3]∈，所以662019(2019)3(12)3f =--=732109168-=，又当13x ≤≤时， ()f x 的极大值为1，所以当+133n n x ≤≤时，()f x 的极大值为3n ，设方程()168f x =的最小实根为t ，45168[3,3]∈，则56533(3,)2t +∈，即(243,468)t ∈，此时5()3f x x =-令5()3168f x x =-=，得243168411t =+=，所以最小实根为411. 故选：C. 【点睛】本题考查函数与方程的根的最小值问题，涉及函数极大值、函数解析式的求法等知识，本题有一定的难度及高度，是一道有较好区分度的压轴选这题. 3．设命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为 A ．,a b R ∀∈，a b a b -≥+ B ．,a b R ∃∈，a b a b -<+ C ．,a b R ∃∈，a b a b ->+ D ．,a b R ∃∈，a b a b -≥+【答案】D 【解析】 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为：,a b R ∃∈，a b a b -≥+.故本题答案为D. 【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题.4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A ．1010.1 B ．10.1C ．lg10.1D ．10–10.1【答案】A 【解析】 【分析】由题意得到关于12,E E 的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值. 【详解】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-, ()10.111212222lg( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==. 故选A. 【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算. 5．已知i 为虚数单位，若复数12i12iz +=+-，则z = A ．9i 5+B ．1i -C ．1i +D ．i -【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】因为212i (12i)(2i)2i 4i 2i 1111i 2i (2i)(2i)5z ++++++=+=+=+=+--+，所以1i z =-，故选B ． 6．设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆C ：2212x y +=交于不同的两点P ，Q ，若原点O 在以PQ 为直径的圆的外部，则直线l 的斜率k 的取值范围为（ ）A．⎛ ⎝⎭B．⎛ ⎝⎭⎝UC．2⎛ ⎝ D．22⎛⎛- ⎝⎭⎝U 【答案】D 【解析】 【分析】设直线l ：2y kx =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由原点O 在以PQ 为直径的圆的外部，可得0OP OQ ⋅>u u u r u u u r，联立直线l 与椭圆C 方程，结合韦达定理，即可求得答案. 【详解】显然直线0x =不满足条件，故可设直线l ：2y kx =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由22122x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2212860k x kx +++=，Q ()226424120k k ∆=-+>，∴解得2k >或2k <-，∴122812k x x k +=-+，122612x x k =+， Q 02POQ π<∠<，∴0OP OQ ⋅>u u u r u u u r，∴()()1212121222OP OQ x x y y x x kx kx ⋅=+=+++u u u r u u u r()()21212124kx xk x x =++++()222222611610240121212k k k k k k+-=-+=>+++， ∴解得k <<∴直线l 的斜率k 的取值范围为k ⎛∈ ⎝⎭⎝U . 故选：D. 【点睛】本题解题关键是掌握椭圆的基础知识和圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且公比为2，则n S 与n a 的关系正确的是（ ） A ．41n n S a =- B ．21n n S a =+ C ．21n n S a =- D ．43n n S a =-【答案】C 【解析】 【分析】在等比数列中，由11n n a a S qq-⋅=-即可表示之间的关系.【详解】由题可知，等比数列{}n a 中11a =，且公比为2，故11221112n nn n a a q a a q S -⋅-===---故选：C 【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，属于基础题.8．已知函数()(0)f x x x x =->，()xg x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点分别为1x ，2x ，3x ，则（ ） A ．123x x x << B ．213x x x << C ．231x x x << D ．312x x x <<【答案】C 【解析】 【分析】转化函数()(0)f x x x x =->，()xg x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点为y x =与(0)y x x =>，x y e =-，()ln 0y x x =->的交点，数形结合，即得解.【详解】 函数()(0)f x x x x =->，()xg x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点，即为y x =与(0)y x x =>，x y e =-，()ln 0y x x =->的交点，作出y x =与(0)y x x =>，x y e =-，()ln 0y x x =->的图象，如图所示，可知231x x x << 故选：C 【点睛】本题考查了数形结合法研究函数的零点，考查了学生转化划归，数形结合的能力，属于中档题.9．若函数()()2(2 2.71828 (x)f x x mx e e =-+=为自然对数的底数)在区间[]1,2上不是单调函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．510,23⎛⎫⎪⎝⎭C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】求得()f x 的导函数()'fx ，由此构造函数()()222g x x m x m =+-+-，根据题意可知()g x 在(12)，上有变号零点.由此令()0g x =，利用分离常数法结合换元法，求得m 的取值范围. 【详解】()()2'22x f x e x m x m =+-+-⎡⎤⎣⎦，设()()222g x x m x m =+-+-，要使()f x 在区间[]1,2上不是单调函数，即()g x 在(12)，上有变号零点，令()0g x =， 则()2221x x m x ++=+，令()12,3t x =+∈，则问题即1m t t =+在()2,3t ∈上有零点，由于1t t+在()2,3上递增，所以m 的取值范围是510,23⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查方程零点问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10．如果直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，则点(),M a b 与圆C 的位置关系是（ ） A ．点M 在圆C 上 B ．点M 在圆C 外 C ．点M 在圆C 内 D ．上述三种情况都有可能【答案】B 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离小于半径可得,a b 满足的条件，利用(),M a b 与圆心的距离判断即可. 【详解】Q 直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，∴圆心(0,0)到直线1ax by +=的距离1d =<，1>．也就是点(,)M a b 到圆C 的圆心的距离大于半径． 即点(,)M a b 与圆C 的位置关系是点M 在圆C 外．故选：B【点睛】本题主要考查直线与圆相交的性质，考查点到直线距离公式的应用，属于中档题．11．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多【答案】D【解析】【分析】根据两个图形的数据进行观察比较，即可判断各选项的真假．【详解】在A中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%，所以是正确的；在B中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：56%39.6%22.176%20%⨯=>，互联网行业从业技术岗位的人数超过总人数的20%，所以是正确的；在C中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分别条形图得到：⨯=>，互联网行业从事运营岗位的人数90后比80后多，所以是正确的；13.7%39.6%9.52%3%⨯=<，所以不在D中，互联网行业中从事技术岗位的人数90后所占比例为56%39.6%22.176%41%能判断互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多．故选：D.【点睛】本题主要考查了命题的真假判定，以及统计图表中饼状图和条形图的性质等基础知识的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12．已知12,F F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以12F F 为直径的圆经过点P ，若12PF F ∆2，则双曲线的离心率为（ ）A B ．2C D ．3【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，设点()00,P x y 在第一象限，求出此坐标，再利用三角形的面积即可得到结论. 【详解】由题意，设点()00,P x y 在第一象限，双曲线的一条渐近线方程为by x a=， 所以，00by x a=， 又以12F F 为直径的圆经过点P ，则OP c =，即22200x y c +=，解得0x a =，0y b =，所以，12201223PF F S c y c b ∆=⋅⋅=⋅=，即3c =，即()22243c c a =-，所以，双曲线的离心率为2e =. 故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，解决本题的关键在于求出a 与c 的关系，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。