平面的基本性质(2).doc
平面的基本性质
三、平面的基本性质： 平面的基本性质：
公理1:如果一条直线的两点在一个平面内 那么这条直线上 公理 如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上 如果一条直线的两点在一个平面内 的所有点都在这个平面内. 的所有点都在这个平面内 这时我们说直线在平面内或平面经过直线. 注 : ①这时我们说直线在平面内或平面经过直线 ②符号表示:若A∈l, B∈l,A∈α, B∈α, 则 l ⊂ α . 符号表示 若 ∈ ∈ ∈ ∈ 是借用集合的符号,点 不在直线 不在直线l上 直线 直线l不 ③∈, ⊂ 是借用集合的符号 点A不在直线 上,直线 不 内记作什么? 在平面α内记作什么 A∉l l⊄α ∉ ⊄ 作用: 判断直线在平面内的依据 直线在平面内的依据. ④作用 判断直线在平面内的依据
α
A B
公理2:如果两个平面有一个公共点 那么它们还有其它公 公理 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其它公 如果两个平面有一个公共点 共点,这些公共点的集合是一条直线 这些公共点的集合是一条直线. 共点 这些公共点的集合是一条直线 对于不重合的两个平面,只要它们有公共点 只要它们有公共点,它们就是相 注: ①对于不重合的两个平面 只要它们有公共点 它们就是相 交的位置关系,交集是一条直线 且交线有且只有一条.) α 交集是一条直线.(且交线有且只有一条 交的位置关系 交集是一条直线 且交线有且只有一条 符号表示:若 ∈ ②符号表示 若P∈α, P∈ β ，则 α ∩ β =l且P∈l . ∈ 且 ∈ A 作用:判断两个平面相交的依据 找两个平面的交线， 判断两个平面相交的依据,找两个平面的交线 ③作用 判断两个平面相交的依据 找两个平面的交线， 证明点共线或线共点的依据。 证明点共线或线共点的依据。 公理3:经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面 经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面. 公理 经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面 注: ①过一点、两点或一直线上的三点都可以有无数个平面, 过一点、两点或一直线上的三点都可以有无数个平面 过不在同一直线上的四点不一定有平面. 过不在同一直线上的四点不一定有平面 ②“有 是说明图形存在,即存在性 只有一个” 即存在性;“ ②“有”是说明图形存在 即存在性 “只有一个”说明图 形唯一,即唯一性 本定理强调的是存在和唯一两方面. 即唯一性;本定理强调的是存在和唯一两方面 形唯一 即唯一性 本定理强调的是存在和唯一两方面 符合某一条件的图形既然存在且只有一个,说明图形 ③符合某一条件的图形既然存在且只有一个 说明图形 是确定的,因此 有且只有一个” 因此“ 确定”是同义词; 是确定的 因此“有且只有一个”和“确定”是同义词 过不共线三点A、 、 的平面又可记为 平面ABC”; 的平面又可记为“ ④过不共线三点 、B、C的平面又可记为“平面 ” 作用:确定平面的依据 证明两个平面重合的依据. 确定平面的依据.证明两个平面重合的依据 ⑤作用 确定平面的依据 证明两个平面重合的依据
1.2.1平面的基本性质
例题讲解
例2、在长方体A C1中, P为棱BB1的中点, 画出 由A1 ,C1 ,P三点所确定的平面 与长方体 表面的交线.
D1 A1 D A B1 P B C C1
D1 A1 D A B1 P B
C1
C
例题讲解
例3、两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内 已知：AB∩AC=A， AB∩BC=B， AC∩BC=C
D A B C
D1
C1 B1
A1
3．根据下列符号表示的语句，说出有关 点、线、面的关系，并画出图形．
(1) A , B (2)l , m
(3) l
(4) P l , P , Q l , Q
4填空
点A在直线l上 点A在直线l外 点A在平面 内 点A在平面 外 直线l在平面 内 直线l在平面 外
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有 一个平面. B a 已知：点A a. A C
推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。
a
β
b
C
数学语言表示:
直线a b C 有且只有一个平面， 使得a ，b .
推论2的证明
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 已知：直线a与b交与A 求证：经过直线a、b有且只有一个平面α。 【证明】（存在性）如图所示，在直线a,b上分别 取不同于点A的点C、B，得不在同一直线上的三 点A、B、C，过这三个点有且只有一个平面α(公 理2)。又 (公理1) 所以平面α是过相交直线a，b的平面。
B
A
C
求证：直线AB，BC，AC共面. 证法一： 因为AB∩AB=A 所以直线AB，AC确定一个平面.（推论2） 因为B∈AB，C∈AC，所以B∈，C∈， 故BC.（公理1） 因此直线AB，BC，CA共面.
1.1.2平面基本性质与推论2
课题1.2.1平面的基本性质与推论课型主备人李冬旭上课教师李冬旭上课时间学习目标1、了解平面的基本性质与推论，并能运用这些公理及推论去解决有关问题，会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质。
2、以所学过的作为推理依据的一些公理和定理为基础，通过直观感知，操作确认，思辨论证，归纳出空间中线、面平行的有关判定定理和性质定理。
能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
教学重点平面的基本性质与推论以及它们的应用；线线平行及平行线的传递性和面面平行的定义与判定教学难点自然语言与数学图形语言和符号语言间的相互转化与应用；如何由平行公理以及其他基本性质推出空间线、线，线、面和面、面平行的判定和性质定理，并掌握这些定理的应用。
教师准备教学过程时间分配集备修正（二）平面中的平行关系1. 平行直线（1）空间两条直线的位置关系①相交：在同一平面内，有且只有一个公共点；②平行：在同一平面内，没有公共点。
（2）初中几何中的平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行。
【说明】此结论在空间中仍成立．（3）公理4（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行．即：如果直线a // b,c // b，那么a // c。
【说明】此公理是判定两直线平行的重要方法：寻找第三条直线分别与前两条直线平行。
2. 等角定理等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等。
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。
需要说明的是：对于等角定理中的条件：“方向相同”。
1’5x5’（1）若仅将它改成“方向相反”，则这两个角也相等。
（2）若仅将它改成“一边方向相同，而另一边方向相反”，则这两个角互补。
此定理及推论是证明角相等问题的常用方法。
3. 空间图形的平移如果空间图形F的所有点都沿同一方向移动相同的距离到F＇的位置，则说图形F在空间做了一次平移。
三、平面的基本性质
[解答] ∵E∈AB，H∈AD， ∴E∈平面 ABD，H∈平面 ABD， ∴EH⊂平面 ABD. ∵EH∩FG＝O，∴O∈平面 ABD， 同理可证 O∈平面 BCD， ∴O∈平面 ABD∩平面 BCD，即 O∈BD， 所以 B、D、O 三点共线．
第44讲 │ 要点探究
[点评] 证明点共线的依据是公理 3， 其方 法是找出这些点所在的两个平面， 说明各个点 都是这两个平面的公共点， 则这些点必在这两 个平面的交线上；另外，证明三线共点的依据 也是公理 3，可证明其中两直线的交点在第三 条直线上， 把问题归结为证明点在直线上的问 题， 而第三条直线是经过这两条直线的两平面 的交线， 两个平面的公共点必在这两个平面的 交线上．下面变式题就是三线共点的问题：
[解答] 方法一： 由公理 2， 不共 线的三点 D1、E、F 确定平面 α， 由图可知 D1E 与 DA 共面(公理 2 的推论)，且延长线交于点 G， 从而 G∈α(公理 1)，同理 D1F 与 DC 延长线的交点 H∈α，
第44讲 │ 要点探究
∵G∈平面 AC，H∈平面 AC， ∴GH⊂平面 AC， 又 B∈平面 AC，则 G、B、H 共面， ∵E 为 AA1 中点，AE∥DD1， ∴AG＝AD＝AB，∠ABG＝45° ， 同理∠CBH＝45° ， ∴∠ABG＋∠ABC＋∠CBH＝180° ， ∴G、B、H 三点共线， 又 G∈α，H∈α，即 GH⊂α(公理 1)， ∴B∈α，即点 D1、E、F、B 四点共面于平面 α.
第44讲 │ 要点探究
(4)正确．因为 A、C1、B1 不共线，∴A、C1、 B1 三点确定一个平面 α， 又 AB1C1D 为平行四边形，AC1、B1D 相交于 O2 点，而 O2∈α，B1∈α， ∴B1O2⊂α，而 D∈B1O2，∴D∈α； (5)正确．若 l 与 m 相交，则交点是两平面的 公共点，而直线 CD 为两平面的交线，所以交点一 定在直线 CD 上．
平面的基本性质(二)
3条直线相交于一点时：
(1)3条直线共面时 (2)每2条直线确定 一平面时
三条直线相交于一点,用其中的两条 确定平面,最多可以确定3个。
4条直线相交于一点时： (3)每2条直线都 (1)4条直线 确定一平面时 全用其中的两条 确定平面,最多可以确定6个。
例3 .已知如图：E,F,G,H分别是空间四边 形ABCD的各边AB，AD，CB，CD上的 点，且直线EF和HG共面但不平行，求 证：EF，BD，GH三直线共点. 反思：证明空间三点 A 共线或三线共点的方 P F 法：只需证明这三个 E D 点都是两个平面的公 H 共点，则公共点必在 B 两平面的交线上，因 G C 此三点共线.
a、b确定平面α
l α
同理b、c确定平面β , 且lβ
而l、b α, l、b β,
∴a,b,c,l共面 α与β重合
例2： 如图△ABC在平面α外,AB交α于点P,BC 交α于点Q,AC交α于点R,求证:P、Q、R A 在同一直线上。
证明三点共线的常用方法： C B
方法1.选择其中两点确定一 条直线，然后证明另一点也 P 在其上。 R α Q 方法2.首先找出两个平面， 然后证明这三点都是这两个平面的公共点， 根据公理 3可知，这些点都在交线上。
l
B
C
A l
由公理3可得，不共线三点A、B、C确定一个平面α
即平面α是经过直线l和点A的平面
唯一性:
B, C l , l B, C A A, B, C
由公理3可得，经过不共线三点A、B、C的平面只有一个 ∴经过直线l和点A的平面只有一个
• 推论２：经过两条相交直线，有且只有一 个平面
公理1： 如果一条直线的两点在一个平面内，那 么这条直线上的所有点都在这个平面内。
高中数学的必修二数学平面的基本性质知识点
高中数学的必修二数学平面的基本性质知识点平面的基本性质教学目标1、知识与能力：(1)巩固平面的基本性质即四条推断出公理和三条推论.(2)能使用公理和推论进行解题.2、过程与方法：(1)体验在空间确定一个平面的过程与方法;(2)掌握利用平面的基本性质证明三点共线、三线共点、多线共面的方法。
3、情感成见与价值观：培养学生认真观察的态度，慎密思考的习惯，提高学生审美能力和空间想象的能力。
教学重点平面的三条基本性质即三条推论.教学难点准确运用三条公理和推论解题.教学过程一、问题情境问题1：空间共点的三条直线二维能确定几个平面?空间互相对角线平行的三条直线呢?问题2：如何判断办公桌的四条腿内则的底端是否在一个平面内?二、温故知新公理1一处如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2如果两个平面有两个一个公共设施点，那么它们还有其它公用点，这些公共点的集合是经过这个公共给定点的一条直线.公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.推论2经过两条直角直线，有且只有一个平面.推论3经过两条平行平行线，有且只有一个平面.公理4(平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行.把作出以上各公理及推论进行对比：三、数学运用基础训练：(1)已知：;求证：直线AD、BD、CD共面.证明：——公理3推论1——公理1同理可证，,直线AD、BD、CD共面【解题反思1】1。
逻辑要严谨2.书写要规范3.证明共面的步骤：(1)确定平面——公理3及其3个推论(2)证线“归”面(线在面内如：)——公理1(3)作出结论。
变式1、如果直线两两交汇，那么这三条直线是否共面?(口答)变式2、已知空间不共面的二点，过其中任意三点可以三维空间确定一个平面，由这四个一两个点能确知几个平面?变式3、四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面曲面图形吗?(口答)(2)已知直线满足：;求证：直线证明：——公理3推论3——公理1直线共面提高训练：已知，求证：四条直线在同一平面内.思路分析：考虑由直线a,b确定一个平面，再证明直线c,l在此平面上，但十分困难。
1.2.1 平面的基本性质(2)
D1 A1
D AQ
C1 解：（1）
D1
A1 B1
P C
D
B
AQ
C1
B1 P
C B
例 1 如图，长方体 ABCD A1B1C1D1中， P,Q 分别是 BB1 , AB 中点.
（1）画出由 A1 , C1 , P 三点所确定的平面 与长方体表面的交线；
（2）画出由 D1,C,Q 三点所确定的平面 与长方体表面的交线.
（空间若干点或直线都在同一平面内，称它们“共面”）
D
证 明 （ 法 一 ）： Q D l ， l 与 D 确 定 一 个 平 面 ，
Q Al,l , A ，Q D , AD ， 同理 BD ,CD ，直线 AD, BD,CD 共面.
l A BC
（ 法 二 ） Q AD I BD D ， AD, BD 确 定 一 个 平 面 ， A , B , AB 即l ， 又 Q BD I CD D ， BD,CD 确 定 一 个 平 面 ， B ,C , BC ,即l ，由推论 1 过直线 l 与点 D 有且 只有一个平面，与 重合，直线 AD, BD,CD 共面.
1.2.1 平面的基本性质(2)
苏教版 数学必修2
思考：
S
如图，在直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，
S是直角梯形ABDC所在平面外一点，如何画出平面 SBD和平面SAC的交线？并说明理由.
A
B
解： S
C
D
S
S
A
B
A
B
A
B
C
D
E
（1）
C
D
E
（2）
C
D
E
（3）
平面的基本性质(2).许兴华
9.1平面的基本性质(2)
( 201210925 )
(月亮河 A )
Designed by Steven 华 兴 No.3 High School 课 许 of Nanning 件
T N S E
E
V
兴 T 华
件
N S E 许E V课
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一、平面的基本性质
1、几个公理 公理1:如果一条直线上的两点在一 个平面内,那么这条直线上的所有点 在这个平面内;
B A l
α
确定直线在平面内的依据
兴 T 华
N S E 许E V课
Firstpage首页 upward return next last 铃
件
公理2:如果两个平面有一个公共点, 那么它们还有其他公共点,且所有这 些公共点的集合是过这个公共点的一 条直线 β
o
a
d
又 H，K∈c，∴c α． 同理可证 d α． ∴a，b，c，d 四条直线在同一平面α内．
兴 T 华
N S E 许E V课
b c
Firstpage首页 upward return next last 铃
件
[应用举例](调研P5R思考题) 例2.已知三条直线两 两平行,
第四条直线与它们都相交， 求证 : 这四条直线共面 .
证明: 如图 l a A,由推理2得 : ,
直线 l 与直线 a 确定一个平面
.
a 与点 B ,
又 l b B, l c C , B, C .
经过直线 a , b 的平面必经过经过直线
而经过直线 与点B的平面是唯一的 . a 直线 b 平面 , 同理, 直线c .
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§1.2.1 平面的基本性质(2)
教学目标：
1．了解推论1、推论2、推论3，并能运用推论解释生活中的一些现象．
2．初步学习立体几何中的证明．
教学重点：
三个推论的理解和应用．
教学难点：
推论的正确理解和正确应用．
教学过程：
1．复习引入
复习：回顾平面的基本性质的三个公理：公理1、公理2、公理3．
问题：根据公理3，不共线的三个点可以确定一个平面，那么，
○
1一条直线和这条直线外一点能否确定一个平面呢？ ○
2两条相交直线呢？ ○
3两条平行直线呢？ 为什么？
推论1：
推论2：
推论3：
3．例题讲解
例1．已知：,,,A l B l C l D l ∈∈∈∉，求证：直线,,AD BD CD 共面。
练习：（1）求证：两两相交且不过同一点的三条直线共面。
（2）已知：平面AB D ∩平面BCD=BD ，AE AB = CH BC = 13 ,AF AD = CG CD = 12
求证：BD 、EF 、GH 共点。
例2．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1BB 的中点，画出由1A ，1C ，P 三点所确定的平面α与长方体表面的交线。
A B
C D l α
A B C D E
H F
G
变式：若l α
β=，,A B α∈，C β∈，试画出平面ABC 与平面,αβ的交线。
4．练习 (1)若空间三个平面两两相交，则它们的交线有 条；
(2)四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面有 个；
(3)给出下列四个命题：○1若空间四点不共面，则其中无三点共线；○2若直线l 上有一点在平面α外，则l 在α外；○3若直线,,a b c 中，a 与b 共面且b 与c 共面，则a 与c 共面；○4两两相交的三条直线共面．其中正确命题的序号是__________．
(4)在正方体1111ABCD A B C D -中，○
11AA 与1CC 能够确定一个平面？ ○2点1,,B C D 能否确定一个平面？ ○3画出平面11ACC A 与平面1BC D 的交线，平面1ACD 与平面1BDC 的交线； ○4P 为棱BC 的中点，画出由11,,A C P 三点所确定的平面α与正方体表面的交线。
A
1A
1B 1C A C B
A D C C 1 D 1
B 1 A 1
(5)求证：两两相交且不过同一点的三条直线共面。
5．课堂小结
公理三的三个推论及其应用。