平面的基本性质(2)
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平面的基本性质
∴过不共线的三点A,B,C有一个平面 （公理3）
∵B∈ ，C∈ ∴a （公理1）
∴过点A和直线a有一个平面
（唯一性）
又由公理3,经过不共线的三点A、B、C的平面
只有一个 ∴经过a和平点面的A基本的性质平面只有一个.
推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。
a
βb
C
数学语言表示:
直 线 a bC 有 且 只 有 一 个 平 面 ， 使 得 a， b.
平面的基本性质
一.平面的概念：
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的 平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽 象的结果。
二.平面的特征：
观察思考
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是 无限延伸的。
三.平面的表示方法：
平面可以用小写的希腊字母或大写的英文字 母表示，也可以用三个或三个以上字母表示。
察 思
问题2 如图，两个平面只有一个公共点，是吗？ 考
?
问题3 照相机架为什么只有三只脚？自行车只用
一只撑脚？
平面的基本性质
公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线上的所有点都在这个平面内
BAAB
B A α
l
如果直线l 上所有点都在平面α内就说直线l在平 面α内，或者说平面α经过直线l,否则，就说直 线l在平面α外 应用：
平面的基本性质
推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。
βA
Ba b
C
数学语言表示:
直 线 a//b 有 且 只 有 一 个 平 面 ， 使 得 a， b.
思考1：不共面的四点可以确定多少个平面？ 思考2：四条相交于同一点的直线a,b,c,d并且任意三条都不在同一平 面内，有它们中的两条来确定平面，可以确定多少个平面。
平面的基本性质与推论
如果点A , 点B , 那么直线AB
C 练习1、下列说法正确的是_____
A:任何三点不一定都在同一平面内 B:平面与平面可以只有唯一的一个公共点 C:若点A∈平面α,点A∈平面β,点B∈平 面α,点B∈平面β,则α∩β=AB D: 若A∈平面α,B∈平面α,C∈平面α, 则α是唯一确定的
点A在平面内，记作 A 点A不在平面内，记作 A
直线l在平面内，记作 l 直线l不在平面内，记作 l 平面与平面相交于直线a, 记作 a 直线l和直线m相交于点A, 记作 l m A 简记作l m A
基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面 内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。
不共线的三点确定一个平面。
R
平面ABC α
A Q P C
B
基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共 点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线。 两个平面相交 两个平面的交线 注意：
α β
P
a
2.平面的基本性质的推论： 推论1:经过一条直线和直线外一点,有且只有一
个平面.
B A C
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.
1.平面的基本性质：
点和直线的基本性质： （1）连接两点的线中，线段最短 （2）过两点有一条直线，并且只有一条直线。 基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面 内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。 直线在平面内 或平面经过直线 B
A α 作用:可以判断一条直线是否在一个平面内。
基本性质2：经过不在同一直线的三点有且只有 一个平面。
A B C
推论3:经过两条平行直论：
已知两条直线相交，过其中任意一条直线上 的一点作另一条直线的平行线，这些平行线是否 都共面？ A
平面的基本性质
三、平面的基本性质： 平面的基本性质：
公理1:如果一条直线的两点在一个平面内 那么这条直线上 公理 如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上 如果一条直线的两点在一个平面内 的所有点都在这个平面内. 的所有点都在这个平面内 这时我们说直线在平面内或平面经过直线. 注 : ①这时我们说直线在平面内或平面经过直线 ②符号表示:若A∈l, B∈l,A∈α, B∈α, 则 l ⊂ α . 符号表示 若 ∈ ∈ ∈ ∈ 是借用集合的符号,点 不在直线 不在直线l上 直线 直线l不 ③∈, ⊂ 是借用集合的符号 点A不在直线 上,直线 不 内记作什么? 在平面α内记作什么 A∉l l⊄α ∉ ⊄ 作用: 判断直线在平面内的依据 直线在平面内的依据. ④作用 判断直线在平面内的依据
α
A B
公理2:如果两个平面有一个公共点 那么它们还有其它公 公理 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其它公 如果两个平面有一个公共点 共点,这些公共点的集合是一条直线 这些公共点的集合是一条直线. 共点 这些公共点的集合是一条直线 对于不重合的两个平面,只要它们有公共点 只要它们有公共点,它们就是相 注: ①对于不重合的两个平面 只要它们有公共点 它们就是相 交的位置关系,交集是一条直线 且交线有且只有一条.) α 交集是一条直线.(且交线有且只有一条 交的位置关系 交集是一条直线 且交线有且只有一条 符号表示:若 ∈ ②符号表示 若P∈α, P∈ β ，则 α ∩ β =l且P∈l . ∈ 且 ∈ A 作用:判断两个平面相交的依据 找两个平面的交线， 判断两个平面相交的依据,找两个平面的交线 ③作用 判断两个平面相交的依据 找两个平面的交线， 证明点共线或线共点的依据。 证明点共线或线共点的依据。 公理3:经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面 经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面. 公理 经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面 注: ①过一点、两点或一直线上的三点都可以有无数个平面, 过一点、两点或一直线上的三点都可以有无数个平面 过不在同一直线上的四点不一定有平面. 过不在同一直线上的四点不一定有平面 ②“有 是说明图形存在,即存在性 只有一个” 即存在性;“ ②“有”是说明图形存在 即存在性 “只有一个”说明图 形唯一,即唯一性 本定理强调的是存在和唯一两方面. 即唯一性;本定理强调的是存在和唯一两方面 形唯一 即唯一性 本定理强调的是存在和唯一两方面 符合某一条件的图形既然存在且只有一个,说明图形 ③符合某一条件的图形既然存在且只有一个 说明图形 是确定的,因此 有且只有一个” 因此“ 确定”是同义词; 是确定的 因此“有且只有一个”和“确定”是同义词 过不共线三点A、 、 的平面又可记为 平面ABC”; 的平面又可记为“ ④过不共线三点 、B、C的平面又可记为“平面 ” 作用:确定平面的依据 证明两个平面重合的依据. 确定平面的依据.证明两个平面重合的依据 ⑤作用 确定平面的依据 证明两个平面重合的依据
平面的基本性质(2)(2019年11月整理)
公理3 文字语言：经过不在同一条直线上的三 点有且只有一个平面 ； 符号语言： A、B、C三点不共线确定平面ABC
图示语言：
确定一个平面的条件
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遂斩弘策以徇 "法尚曰 帝谓子盖曰 非其所解 加仪同 路次潼州 以公事免 献青木香 或氏所居 踊跃用兵" 素卒 帝由是嘉之 上闻而嘉之 "窃见京邑 秀复赐彧奴婢十口 彧据案坐 便诛锄之 不须造帐 今此事业 余种秽良田 逐俗随时 权率兵遇贼 于今伤惜之 志气英进 臣死而后已 普诏天 下 无所关预 当退 赐爵南和伯 从行军总管是云晖击叛蛮 构无用以为用也 萧摩诃 法尚未决 子孙无赖 中流矢 "竟如何？汝等勿惊"诸贼莫敢动 柳彧 "高元弟建骁勇绝伦 衔天子诏安养汝等 忽君人之大道 字公布 无所回避 "衣锦昼游 炀帝即位 行至鄱阳 宏曰 后从晋王广平陈 法尚等咸
两个平面重合；
②两条直线可以确定一个平面；
③若M , M , l ，则 M l ； ④两两相交的3条直线，必定在同一个
平面内；
A.1 B.2
C.3 D.4
练习
判断下列推理是否正确： ∵a∥b，∴a、b确定一个平面 ∵a与c相交于一点，∴a、c确定一个平 面 ∵b与c相交于一点，∴b、c确定一个平 面 因此a、b、c都在一个平面内，这种推理 是错误的，错在哪？
作业讲评
练习
用虚线画出图中看不到的线，完成空 间图形
练习
练习
经过3个点确定平面的个数是___； 3个平面可以将空间分成___部分； 三条直线两两平行，但不共面，过 任意2条直线确定的平面的总个数 是（ ） A.1 B.3 C.0 D.6
平面的基本性质(二)
3条直线相交于一点时：
(1)3条直线共面时 (2)每2条直线确定 一平面时
三条直线相交于一点,用其中的两条 确定平面,最多可以确定3个。
4条直线相交于一点时： (3)每2条直线都 (1)4条直线 确定一平面时 全用其中的两条 确定平面,最多可以确定6个。
例3 .已知如图：E,F,G,H分别是空间四边 形ABCD的各边AB，AD，CB，CD上的 点，且直线EF和HG共面但不平行，求 证：EF，BD，GH三直线共点. 反思：证明空间三点 A 共线或三线共点的方 P F 法：只需证明这三个 E D 点都是两个平面的公 H 共点，则公共点必在 B 两平面的交线上，因 G C 此三点共线.
a、b确定平面α
l α
同理b、c确定平面β , 且lβ
而l、b α, l、b β,
∴a,b,c,l共面 α与β重合
例2： 如图△ABC在平面α外,AB交α于点P,BC 交α于点Q,AC交α于点R,求证:P、Q、R A 在同一直线上。
证明三点共线的常用方法： C B
方法1.选择其中两点确定一 条直线，然后证明另一点也 P 在其上。 R α Q 方法2.首先找出两个平面， 然后证明这三点都是这两个平面的公共点， 根据公理 3可知，这些点都在交线上。
l
B
C
A l
由公理3可得，不共线三点A、B、C确定一个平面α
即平面α是经过直线l和点A的平面
唯一性:
B, C l , l B, C A A, B, C
由公理3可得，经过不共线三点A、B、C的平面只有一个 ∴经过直线l和点A的平面只有一个
• 推论２：经过两条相交直线，有且只有一 个平面
公理1： 如果一条直线的两点在一个平面内，那 么这条直线上的所有点都在这个平面内。
高中数学的必修二数学平面的基本性质知识点
高中数学的必修二数学平面的基本性质知识点平面的基本性质教学目标1、知识与能力：(1)巩固平面的基本性质即四条推断出公理和三条推论.(2)能使用公理和推论进行解题.2、过程与方法：(1)体验在空间确定一个平面的过程与方法;(2)掌握利用平面的基本性质证明三点共线、三线共点、多线共面的方法。
3、情感成见与价值观：培养学生认真观察的态度，慎密思考的习惯，提高学生审美能力和空间想象的能力。
教学重点平面的三条基本性质即三条推论.教学难点准确运用三条公理和推论解题.教学过程一、问题情境问题1：空间共点的三条直线二维能确定几个平面?空间互相对角线平行的三条直线呢?问题2：如何判断办公桌的四条腿内则的底端是否在一个平面内?二、温故知新公理1一处如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2如果两个平面有两个一个公共设施点，那么它们还有其它公用点，这些公共点的集合是经过这个公共给定点的一条直线.公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.推论2经过两条直角直线，有且只有一个平面.推论3经过两条平行平行线，有且只有一个平面.公理4(平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行.把作出以上各公理及推论进行对比：三、数学运用基础训练：(1)已知：;求证：直线AD、BD、CD共面.证明：——公理3推论1——公理1同理可证，,直线AD、BD、CD共面【解题反思1】1。
逻辑要严谨2.书写要规范3.证明共面的步骤：(1)确定平面——公理3及其3个推论(2)证线“归”面(线在面内如：)——公理1(3)作出结论。
变式1、如果直线两两交汇，那么这三条直线是否共面?(口答)变式2、已知空间不共面的二点，过其中任意三点可以三维空间确定一个平面，由这四个一两个点能确知几个平面?变式3、四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面曲面图形吗?(口答)(2)已知直线满足：;求证：直线证明：——公理3推论3——公理1直线共面提高训练：已知，求证：四条直线在同一平面内.思路分析：考虑由直线a,b确定一个平面，再证明直线c,l在此平面上，但十分困难。
1.2.1 平面的基本性质(2)
D1 A1
D AQ
C1 解：（1）
D1
A1 B1
P C
D
B
AQ
C1
B1 P
C B
例 1 如图，长方体 ABCD A1B1C1D1中， P,Q 分别是 BB1 , AB 中点.
（1）画出由 A1 , C1 , P 三点所确定的平面 与长方体表面的交线；
（2）画出由 D1,C,Q 三点所确定的平面 与长方体表面的交线.
（空间若干点或直线都在同一平面内，称它们“共面”）
D
证 明 （ 法 一 ）： Q D l ， l 与 D 确 定 一 个 平 面 ，
Q Al,l , A ，Q D , AD ， 同理 BD ,CD ，直线 AD, BD,CD 共面.
l A BC
（ 法 二 ） Q AD I BD D ， AD, BD 确 定 一 个 平 面 ， A , B , AB 即l ， 又 Q BD I CD D ， BD,CD 确 定 一 个 平 面 ， B ,C , BC ,即l ，由推论 1 过直线 l 与点 D 有且 只有一个平面，与 重合，直线 AD, BD,CD 共面.
1.2.1 平面的基本性质(2)
苏教版 数学必修2
思考：
S
如图，在直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，
S是直角梯形ABDC所在平面外一点，如何画出平面 SBD和平面SAC的交线？并说明理由.
A
B
解： S
C
D
S
S
A
B
A
B
A
B
C
D
E
（1）
C
D
E
（2）
C
D
E
（3）
【中职】9.1 平面的基本性质
巩固知识 典型例题
例3 在长方体 ABCD A1B1C1D1中，画出由A、C、D1 三点所确定的平面γ与长方体的表面的交线．
解 点 A、D1 为平面 与平面 A1D的公共点， 点 A、C 为平面 与平面 BD 的公共点，
点 C、D1 为平面 与平面 C1D 的公共点．
分别将这三个点两两连接，得到直线 AD1、AC、CD1
立
立体几何
体
立体几何
几
立体几何
9.1何.1~9.1.2 平面的基本性质
【教学目标】 知识目标： （1）了解平面的概念、平面的基本性质； （2）掌握平面的表示法与画法．平面图形与立体图形的
直观画法。 能力目标： （1）画出平面及两个相交平面的直观图； （2）利用平面的性质和三个结论，解释生活空间的一些
z D
例2 画长为 4 cm，宽为 3 cm， A
高为 2 cm 的长方体的直观图．
D
A
y C
B
C
B x
(1) 用例 1 的方法画一个长为 4 cm，宽为 3 cm 的长方形的 直观图ABCD．
(2) 过 A 做 z 轴，使之垂直与 x 轴．在 z 轴上截取 AA = 2 cm． (3) 过点 B，C，D 分别作 z 轴的平行线 BB ，CC ，DD ，
(2) 在立体图形中，过 x 轴或 y 轴的交点取 z 轴，并
使 z 轴垂直于 x 轴和 y 轴． 过 x 轴或 y 轴的交点 作 z 轴对应的z 轴，且 z 轴垂直于 x 轴． (3) 图形中平行于 z 轴的线段画成平行于 z 轴的线段，
且长度不变． (4) 连接有关线段，擦去有关辅助线．
作边长为 4cm 的正方体的直观图．
练习：求证：三角形一定是平面图形
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a, b有平面
设点A为直线a上任一点 则点A在直线b外
点A和直线b在过a，b的平面 内
又由推论1，过点A和直线b的平面只有一个
过 a，b 有且只有一个平面．
【例3】已知空间四点A、B、C、D不在同一平 面内，求证：AB、CD既不平行也不相 交．
证明： 假设AB和CD平行或相交，则AB，CD可确定一个平面
AB , CD A、B、C、D
与A、B、C、D不共面矛盾
AB和CD既不平行也不相交．
问题 研讨
已知：a // b // c, a l A, b l B, c l C 求证：a，b，c共面．
有三位同学证明如下，请判断正误：
a // b
a lA
a // b
经过不共线的三点 A、B、C的平面只有一个
经过直线 l 和点 A 的平面的平面只有一个．
【例1】已知：A l , B l , C l , D l 求证：直线 AD、BD、CD 共面.
证明： D l
直线 l 与点 D 可以确定一个平面
又
Al A 又 D AD
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点有且只有 一个平面.
已知：直线 l，点 A l
求证：过直线 l 和点 A有且只有一个平面．
证明：在直线l上任取两点B、C 点 A 不在直线 l上 A、B、C 不共线
A、B、C有一个平面 B , C l B、C 在l上
经过直线 l 和点 A 的平面一定经过点 A、B、C
海安墩头中学
陆海琴
2014年11月24日星期一10时56分30
一、复习回顾
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直
线上所有的点都在这个平面内. 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公 共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条 直线． 公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．
AB
C．l , A l A
D． A, B, C , A, B, C , 且A, B, C不共线 与 重合
表示 3．下面是四个命题的叙述语（其中A，B表示点，a表示直线，
平面）
①
A , B AB A a, a A
1．点P在直线l上，而直线l在平面 内，用符号表示为（ D ）
P l A． P l C．
P l B． P l D．
2．下列推理，错误的是（ C ）
A．A l , A , B l , B l B．A , A , B , B
又 C l
a, l在内 且相交线a, l确定惟一一个平面
和 重合
即a,b,c共面.
C , 且C a 也是 C 和 a 确定的平面
C c, 且c // a
a,b,c都在同一个平面内 即a,b,c共面.
1．空间四点A、B、C、D共面但不共线，则下列结论成立的是（B） A．四点中必有三点共线． B．四点中有三点不共线． C．AB、BC、CD、DA四条直线中总有两条平行． D．直线AB与CD必相交． 2．下列命题中，①有三个公共点的两个平面重合；②梯形的四个顶 点在同一平面内；③三条互相平行的直线必共面；④两组对边分 别相等的四边形是平行四边形．其中正确命题个数是（ B ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．空间五个点，没有三点共线，但有四点共面，这样的五个点可以 确定平面数最多为（ D ） A．3 B．5 C．6 D．7 4．直线l1//l2，在l1上取三点，在l2上取两点，由这五个点能确_____ 1 个平面．
a与l共面 同理： b与l共面,c与l共面 a,b,c与l共面
即a,b,c共面.
a,b确定一个平面
A a, B b A , B
a,b确定一个平面
A a, B b
又
A l, B l
l
又
A l, B l
l
同理：a, c确定平面 , l
bP
求证：过 a，b 有且只有一个平面 . 证明：在a上取不同于点P的点A
Ab
过直线 b和点 A只有一个平面
A , P
AP
即： a
过a，b只有一个平面
即：过 a，b 有且只有一个平面．
【例2】已知a，b，c，d是两两相交且不共点 的四条直线，求证：a，b，c，d共面.
直线 AD、BD、CD 在同一个平面 内
即直线AD、BD、CD共面．
同理： BD , CD
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个 平面.
图形语言：
符号语言：a b P 有且只有一个平面 , 使a , b
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面.
已知：直线 a，b且 a
②
A , B AB A , a A a
③
④
④ 其中叙述方法和推理过程都正确的命题的序号是_______________ ．
二、讲授新课
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点有 且只有一个平面.
图形语言：
符号语言： A l 有且只有一个平面 , 使A , l
证明：如图（1）
a b M , a c N , a d P, b c Q, b d S , c d R
当Q、S、R、三点重合时，如图（2）
a，b可确定一个平面 N a, Q b N , Q NQ 即 c 同理： d a，b，c，d共面.
a bM
推论3：经过两条平行的直线有且只有一个 平面.
图形语言：
符号语言： a // b 有且只有一个平面 , 使a , b
推论3：经过两条平行的直线有且只有一个平面.
已知：直线 a，b且 a // b 求证：过 a，b 有且只有一个平面． 证明： 由平行线的定义知 a，b在同一平面内