高考数学一轮复习 独立性、二项分布及应用01课件
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高考总复习一轮数学精品课件 第十一章 第七节 二项分布、超几何分布、正态分布
(1)求甲能获得奖品的概率;
(2)记甲答对灯谜题目的数量为X,求X的分布列与均值.
C46 +C36 C14
解 (1)由题可知,甲能获得奖品的概率 P=
C410
=
15+80
210
=
19
.
42
(2)由题可知,X 的可能取值为 0,1,2,3,4,
则 P(X=0)=
C44
C410
P(X=4)=
C46
C410
81
(2)方案一中,逐个化验,化验次数为4,期望为4.
方案二中,设化验次数为Y,则Y的所有可能取值为2,4,6,
每组两个样本化验呈阴性的概率为(1-p)2,
设x=(1-p)2,
则P(Y=2)=x2,P(Y=4)=C21 x(1-x),P(Y=6)=(1-x)2.
所以E(Y)=2×x2+4×C21 x(1-x)+6×(1-x)2=6-4x,
微思考正态分布函数中的μ,σ的含义是什么?
提示 若X~N(μ,σ2),则E(X)=μ,D(X)=σ2.
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”.
(1)二项分布是一个概率分布,其公式相当于(a+b)n展开式的通项,其中
a=p,b=1-p.( × )
(2)从4名男演员和3名女演员中选出4名,其中女演员的人数X服从超几何分
③P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈ 0.997 3 .
微点拨1.若X服从正态分布,即X~N(μ,σ2),要充分利用“正态曲线关于直线
X=μ对称”和“曲线与x轴之间的区域的面积为1”.
2.在实际应用中,通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取
(2)记甲答对灯谜题目的数量为X,求X的分布列与均值.
C46 +C36 C14
解 (1)由题可知,甲能获得奖品的概率 P=
C410
=
15+80
210
=
19
.
42
(2)由题可知,X 的可能取值为 0,1,2,3,4,
则 P(X=0)=
C44
C410
P(X=4)=
C46
C410
81
(2)方案一中,逐个化验,化验次数为4,期望为4.
方案二中,设化验次数为Y,则Y的所有可能取值为2,4,6,
每组两个样本化验呈阴性的概率为(1-p)2,
设x=(1-p)2,
则P(Y=2)=x2,P(Y=4)=C21 x(1-x),P(Y=6)=(1-x)2.
所以E(Y)=2×x2+4×C21 x(1-x)+6×(1-x)2=6-4x,
微思考正态分布函数中的μ,σ的含义是什么?
提示 若X~N(μ,σ2),则E(X)=μ,D(X)=σ2.
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”.
(1)二项分布是一个概率分布,其公式相当于(a+b)n展开式的通项,其中
a=p,b=1-p.( × )
(2)从4名男演员和3名女演员中选出4名,其中女演员的人数X服从超几何分
③P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈ 0.997 3 .
微点拨1.若X服从正态分布,即X~N(μ,σ2),要充分利用“正态曲线关于直线
X=μ对称”和“曲线与x轴之间的区域的面积为1”.
2.在实际应用中,通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取
新高考2023版高考数学一轮总复习第10章第6讲随机事件的独立性条件概率与二项分布课件
∴P(B|A)＝PPAAB＝0.75，故选 B．
考点二
相互独立事件——多维探究
角度1 相互独立事件的概率
例2 (1)(多选题)(2022·苏鲁名校联考)从甲袋中摸出一个红球的概
率是
1 3
，从乙袋中摸出一个红球的概率是
1 2
，从两袋各摸出一个球，下列
结论正确的是 A．2 个球都是红球的概率为16
( ABC )
[引申]本例(2)中乙以4∶0获胜的概率为___0_._0_4___，甲以4∶2获胜的
概率为___0_._1_7_1___.
[解析] P1＝0.42×0.52＝0.04；P2＝(C
2 3
0.42×0.6×0.52
＋
0.63×0.52
＋
C
1 3
0.4×0.62×C
(3)(2019·课标Ⅱ)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成 10 ∶ 10 平 后 ， 每 球 交 换 发 球 权 ， 先 多 得 2 分 的 一 方 获 胜 ， 该 局 比 赛 结 束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5， 乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10 平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．
B．2 个球中恰有 1 个红球的概率为12
C．至少有 1 个红球的概率为23
D．2 个球不都是红球的概率为31
(2)(2019·全国)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队 赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主 客场安排依次为“主主客客主客主”，设甲队主场取胜的概率为0.6，客 场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概 率是_0_._1_8_____.
高考数学第一轮章节复习课件 第八节 二项分布及其应用(理)
1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个 白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱， 然后从2号箱随机取出一球，问从2号箱取出红球的概率是 多少？
本题可分为两种互斥的情况：一是从1号箱取出 红球；二是从1号箱取出白球.然后利用条件概率 知识来解决.
【解】 记事件A：最后从2号箱中取出的是红球； 事件B：从1号箱中取出的是红球． 则P(B)＝
(2009·辽宁高考)某人向一目标射击4次，每次击 中目标的概率为 .该目标分为3个不同的部分，第一、 二、三部分面积之比为1∶3∶6，击中目标时，击中任何 一部分的概率与其面积成正比. (1)设X表示目标被击中的次数，求X的分布列； (2)若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1 次或第二部分被击中2次”，求P(A)．
∴P(B|A)＝
答案：A
4．在4次独立重复试验中事件A出现的概率相同，若事件A
至少发生一次的概率为 ，则事件A在1次试验中出现
的概率为________．
解析：A至少发生一次的概率为 ，则A的对立事件：事
件A都不发生的概率为1-
，所以，A在一
次试验中出现的概率为
答案：
5．某机械零件加工由2道工序组成，第1道工序的废品率 为a，第2道工序的废品率为b，假定这2道工序出废品 是彼此无关的，那么产品的合格率是________． 解析：合格率为(1－a)(1－b)＝ab－a－b＋1. 答案：ab－a－b＋1
3．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 假设 两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人 各次射击是否击中目标相互之间也没有影响．求两人各 射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的 概率．
解：记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A， “乙射击4次，恰有3次击中目标”为事件B.
高考数学一轮复习课件：选修第9课独立性与二项分布
• 问题1：如何理解“甲以4比1获胜 ”？
甲最后一局必须赢 问题2：“乙获胜且比赛局数多于5局” 如何理解？ 包括几种情况？
乙以4比2获胜 +乙以4比3获胜
教学反思
• 1、求复杂事件的概率，可以把它分解为若 干个互不相容的简单事件，然后利用条件 概率和乘法公式，求出这些简单事件的概 率，最后利用概率的可加性得到最终结果；
第二问
,
“两人各射击一次，恰好有一次击中目标”包括几种情 况？这几种情况在各射击一次时是否可能同时发生 ？
范例导析
例3、乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7 局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛 中获胜的可能性相同. (1)求甲以4比1获胜的概率； (2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率； (3)求比赛局数的概率分布.
独立重复试验与二项分布
二项分布
诊断练习
• 1、已知P(AB)=0.3,P(A)=0.6，则P(B︱A)= 0＿.5
温馨提示：公式切勿记错.一轮复习时应 着重基础，强化基础知识如公式定义的记 忆与简单应用，切勿搞题海战或难题战术。
诊断练习
第2题已知A，B是两个相互独立事件，P(A)，P(B)分别表示它们
发生的概率，则1－P(A)P(B)是下列哪个事件的概率___(_3_)_.
(填序号) ①事件A，B同时发生；②事件A，B至少有一个发生；③事件A， B至多有一个发生；④事件A，B都不发生.
诊断练习
3、随机变量 X 的分布列如下： X －1 0 1
Pa b c 其中 a，b，c 成等差数列，若 E(X)＝13，则方差 V(X) 的值是________．
(Ⅱ) 若 A、B 两个袋子中的球数之比为 12，将 A、B 中的球装在一起后，
高考数学一轮复习-独立性、二项分布及应用01课件
事件 B：从 1 号箱中取出的是红球． 4 2 1 P(B)＝ ＝ ，P( B )＝1－P(B)＝ ， 3 2＋4 3 3＋1 4 (1)P(A|B)＝ ＝ . 8＋1 9
3 1 (2)∵P(A| B )＝ ＝ ， 8＋1 3 ∴P(A)＝P(AB)＋P(A B ) ＝P(A|B)P(B)＋P(A| B )P( B ) 4 2 1 1 11 ＝ × ＋ × ＝ . 9 3 3 3 27
条件概率
例 1 抛掷红、蓝两颗骰子，设事件 A 为“蓝色骰子的点数为 3 或 6”，事件 B 为“两颗骰子的点数之和大于 8”． (1)求 P(A)，P(B)，P(AB)； (2)当已知蓝色骰子的点数为 3 或 6 时，求两颗骰子的点 数之和大于 8 的概率．
(1)从古典概型的角度看，确定基本事件和构成事件的基 本事件．(2)条件概率．
相互独立事件的概率
例 2 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命 1 1 中率分别为 与 p，且乙投球 2 次均未命中的概率为 . 2 16 (1)求乙投球的命中率 p； (2)求甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率； (3)若甲、乙两人各投球 2 次，求共命中 2 次的概率．
(1)利用列方程求 p；(2)可用直接法也可用间接法；(3)要分 类讨论甲、乙各命中的次数．
要点梳理
3．二项分布
忆一忆知识要点
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的， 各次之间 相互独立的一种试验， 在这种试验中每一次试验只有 两 种 结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的 概率都是一样的．
k k C n (2)在 n 次独立重复试验中，事件 A 发生 k 次的概率为 p － (1－p)n k(k＝0,1,2，…，n) (p 为事件 A 发生的概率)， 事件 A
3 1 (2)∵P(A| B )＝ ＝ ， 8＋1 3 ∴P(A)＝P(AB)＋P(A B ) ＝P(A|B)P(B)＋P(A| B )P( B ) 4 2 1 1 11 ＝ × ＋ × ＝ . 9 3 3 3 27
条件概率
例 1 抛掷红、蓝两颗骰子，设事件 A 为“蓝色骰子的点数为 3 或 6”，事件 B 为“两颗骰子的点数之和大于 8”． (1)求 P(A)，P(B)，P(AB)； (2)当已知蓝色骰子的点数为 3 或 6 时，求两颗骰子的点 数之和大于 8 的概率．
(1)从古典概型的角度看，确定基本事件和构成事件的基 本事件．(2)条件概率．
相互独立事件的概率
例 2 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命 1 1 中率分别为 与 p，且乙投球 2 次均未命中的概率为 . 2 16 (1)求乙投球的命中率 p； (2)求甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率； (3)若甲、乙两人各投球 2 次，求共命中 2 次的概率．
(1)利用列方程求 p；(2)可用直接法也可用间接法；(3)要分 类讨论甲、乙各命中的次数．
要点梳理
3．二项分布
忆一忆知识要点
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的， 各次之间 相互独立的一种试验， 在这种试验中每一次试验只有 两 种 结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的 概率都是一样的．
k k C n (2)在 n 次独立重复试验中，事件 A 发生 k 次的概率为 p － (1－p)n k(k＝0,1,2，…，n) (p 为事件 A 发生的概率)， 事件 A
高考数学一轮总复习课件：n次独立重复试验与二项分布
【解析】 记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地
译出密码”为事件B，A，B为相互独立事件，且P(A)＝
1 3
，P(B)
＝14.
(1)“2 个人都译出密码”的概率为：
P(AB)＝P(A)×P(B)＝13×14＝112.
(2)“2个人都译不出密码”的概率为：
P(AB)＝P(A)×P(B)＝[1－P(A)]×[1－P(B)]＝1－131－14＝12..3
B.7 C.3 D.4
【解析】
由题意知，P(A)＝
C32＋C42 C72
＝
3 7
，P(AB)＝
C42 C72
＝
2 7
，
2 所以P(B|A)＝PP（（AAB））＝73＝23.故选C.
7
题型二 相互独立事件的概率
例2 甲、乙2个人独立地破译一个密码，他们能译出密码 的概率分别为13和14，求：
作为做对试题的概率，已知某个学生已经做对第一问，则该学
生做对第二问的概率为( A )
A．0.9
B．0.8
C．0.72
D．0.576
【解析】 P＝7820＝0.9，选A.
(2)在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不
放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后， 4
第二次再次取到不合格品的概率为___9_9____． 【解析】 方法一：设A＝{第一次取到不合格品}， B＝{第二次取到不合格品}，则P(AB)＝CC150202， 5×4 所以P(B|A)＝PP（（AAB））＝100× 5 99＝949. 100
(5)“至少1个人译出密码”的对立事件为“2个人都未译出
密码”，所以至少有1个人译出密码的概率为：
高考数学一轮总复习 10.8二项分布及其应用课件
高频考点
考点一
条件概率
【例 1】 (2014·新课标全国卷Ⅱ)某地区空气质量监测资料表
明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为优良的概
率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为
优良的概率是( )
A．0.8
B．0.75
C．0.6
D．0.45
听 课 记 录 设某天空气质量为优良为事件 A，随后一天空 气质量为优良为事件 B，由已知得 P(A)＝0.75，P(AB)＝0.6，所求 事件的概率为 P(B|A)＝PPAAB＝00..765＝0.8，故选 A.
3.一射手对同一目标独立地进行四次射击，已知至少命中一次
的概率为8801，则此射手的命中率为( )
1
2
A.3
B.3
1பைடு நூலகம்
2
C.4
D.5
解析 设此射手射击目标命中的概率为 P， 由已知 1－(1－P)4＝8801，解得 P＝23.
答案 B
4．有 1 道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙 能解决的概率为13，两人试图独立地在半小时内解决它．则两人都 未解决的概率为__________，问题得到解决的概率为__________．
解析 设“半小时内甲独立解决该问题”为事件 A，“半小 时内乙独立解决该问题”为事件 B，那么两人都未解决该问题就
是事件 A B ，
∴P( A B )＝P( A )·P( B )
＝[1－P(A)][1－P(B)]
＝1－12×1－13＝13. 问题得到解决是问题没得到解决的对立事件，
知识点三
独立重复试验与二项分布
1.独立重复试验 在 相同 条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验．
(江苏专用)高考数学总复习第十五章第二节独立性与二项分布课件苏教版
第二节 独立性与二项分布
教 1.条件概率及其性质 材 2.相互独立事件 研 读 3.独立重复试验与二项分布
考 考点一 条件概率 点 突 考点二 相互独立事件的概率 破 考点三 n次独立重复试验与二项分布
教材研读
1.条件概率及其性质
(1)定义 对于任何两个事件A和B,在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率 叫做① 条件概率 ,用符号② P(B|A) 来表示,其公式为P(B|A)=
3 3
0 6
5
=6
10
,P(AB)=3 6
5
=1 8
,所以P(B|A)=P
(
A
B
=
)
P (A)
18 5
1
=3
.故
6
向上的点数不相同时,其中有一个的点数为4的概率是 1 .
3
2.(2018江苏南京多校高三段考)某地区有云龙山,户部山,子房山和九里
山四大名山,一位游客来该地区游览,已知该游客游览云龙山的概率为
3.独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次之间相互独立
的一种试验,在这种试验中每一次试验只有 两 种结果,即要么发
生,要么不发生,且任何一次试验中发生的概率都是一样的.
(2)在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事
件A发生的概率为p,则P(X=k)=
C knpk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n) ,此时称随
机变量X服从 二项分布 ,记为 X~B(n,p) ,并称p为成功概率.
1.(教材习题改编)抛掷两个质地均匀的骰子各1次. (1)向上的点数之和为7时,其中有一个的点数是2的概率是多少? (2)向上的点数不相同时,其中有一个的点数为4的概率是多少?
教 1.条件概率及其性质 材 2.相互独立事件 研 读 3.独立重复试验与二项分布
考 考点一 条件概率 点 突 考点二 相互独立事件的概率 破 考点三 n次独立重复试验与二项分布
教材研读
1.条件概率及其性质
(1)定义 对于任何两个事件A和B,在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率 叫做① 条件概率 ,用符号② P(B|A) 来表示,其公式为P(B|A)=
3 3
0 6
5
=6
10
,P(AB)=3 6
5
=1 8
,所以P(B|A)=P
(
A
B
=
)
P (A)
18 5
1
=3
.故
6
向上的点数不相同时,其中有一个的点数为4的概率是 1 .
3
2.(2018江苏南京多校高三段考)某地区有云龙山,户部山,子房山和九里
山四大名山,一位游客来该地区游览,已知该游客游览云龙山的概率为
3.独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次之间相互独立
的一种试验,在这种试验中每一次试验只有 两 种结果,即要么发
生,要么不发生,且任何一次试验中发生的概率都是一样的.
(2)在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事
件A发生的概率为p,则P(X=k)=
C knpk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n) ,此时称随
机变量X服从 二项分布 ,记为 X~B(n,p) ,并称p为成功概率.
1.(教材习题改编)抛掷两个质地均匀的骰子各1次. (1)向上的点数之和为7时,其中有一个的点数是2的概率是多少? (2)向上的点数不相同时,其中有一个的点数为4的概率是多少?
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独立性、二项分布及其应用
要点梳理
忆一忆知识要点
1．条件概率及其性质
(1)对于任何两个事件 A 和 B，在已知事件 B 发生的条件下 事件 A 发生的概率，称为事件 B 发生的条件下事件 A 的条
PAB
件概率，用符号 P(A|B)来表示，其公式为 P(A|B)＝ PB .
在古典概型中，若用 n(B)表示事件 B 中基本事件的个数， 则 P(A|B)＝nnABB.
发生的次数是一个随机变量 X，其分布列为 P(X＝k)＝Cknpk qn－k，其中 0<p<1，p＋q＝1，k＝0,1,2，…，n，则称 X 服
从参数为 n，p 的 二项分布 ，记为 X～B(n，p) ．
[难点正本 疑点清源] 1．“互斥事件”与“相互独立事件”的区别与联系
(1)“互斥”与“相互独立”都是描述的两个事件间的关系． (2)“互斥”强调不可能同时发生，“相互独立”强调一个事 件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响． (3)“互斥”的两个事件可以独立，“独立”的两个事件也可 以互斥． 2．条件概率 条件概率通常是指在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概 率．放在总体情况下看：先求 P(A)，P(AB)再求 P(A|B)＝PPABB. 关键是求 P(A)和 P(AB)．
②∵两个骰子的点数共有 36 个等可能的结果，点数之和大于
8 的结果共 10 个． ∴P(B)＝1306＝158.
③当蓝色骰子的点数为 3 或 6 时，两颗骰子的点数之和大于 8 的结果有 5 个，故 P(AB)＝356.
5 (2)由(1)知 P(B|A)＝PPAAB＝316＝152.
3
探究提高
(2)条件概率具有的性质： ① 0≤P(A|B)≤1 ；
②如果 A 和 C 是两互斥事件，则 P(A＋C|B)＝ P(A|B)＋ P(C|B) ．
要点梳理
忆一忆知识要点
2．相互独立事件 (1)对于事件 A、B，若 A 的发生与 B 的发生互不影响， 则称 A、B是相互独立事件 ． (2)若 A 与 B 相互独立，则 P(A|B)＝ P(A) ， P(AB)＝P(A|B)·P(B)＝ P(A)·P(B) ． (3)若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也都
(1)利用列方程求 p；(2)可用直接法也可用间接法；(3)要分 类讨论甲、乙各命中的次数．
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条件概率
例 1 抛掷红、蓝两颗骰子，设事件 A 为“蓝色骰子的点数为 3 或 6”，事件 B 为“两颗骰子的点数之和大于 8”． (1)求 P(A)，P(B)，P(AB)； (2)当已知蓝色骰子的点数为 3 或 6 时，求两颗骰子的点 数之和大于 8 的概率．
(1)从古典概型的角度看，确定基本事件和构成事件的基 本事件．(2)条件概率． 解 (1)①P(A)＝26＝13.
相互独立． (4)若 P(AB)＝P(A)P(B)，则 A 与 B 相互独立 ．
要点梳理
忆一忆知识要点
3．二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间
相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有 两 种
结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的
概率都是一样的． (2)在 n 次独立重复试验中，事件 A 发生 k 次的概率为 Cnkpk (1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n) (p 为事件 A 发生的个白球和 4 个红球，2 号箱中有 5 个白球和 3 个 红球，现随机地从 1 号箱中取出一球放入 2 号箱，然后从 2 号 箱随机取出一球，问：
(1)从 1 号箱中取出的是红球的条件下，从 2 号箱取出红球的 概率是多少？
(2)从 2 号箱取出红球的概率是多少？ 解 记事件 A：最后从 2 号箱中取出的是红球； 事件 B：从 1 号箱中取出的是红球． P(B)＝2＋4 4＝23，P( B )＝1－P(B)＝13， (1)P(A|B)＝38＋＋11＝49.
条件概率的求法： (1)利用定义，分别求 P(A)和 P(AB)，得 P(B|A)＝PPAAB.这是通 用的求条件概率的方法． (2)借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)，再在事件 A 发生的条件下求事件 B 包含的基本事件数， 即 n(AB)，得 P(B|A)＝nnAAB.
(2)∵P(A| B )＝8＋3 1＝13， ∴P(A)＝P(AB)＋P(A B ) ＝P(A|B)P(B)＋P(A| B )P( B ) ＝49×23＋13×13＝2117.
相互独立事件的概率
例 2 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命 中率分别为12与 p，且乙投球 2 次均未命中的概率为116. (1)求乙投球的命中率 p； (2)求甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率； (3)若甲、乙两人各投球 2 次，求共命中 2 次的概率．
要点梳理
忆一忆知识要点
1．条件概率及其性质
(1)对于任何两个事件 A 和 B，在已知事件 B 发生的条件下 事件 A 发生的概率，称为事件 B 发生的条件下事件 A 的条
PAB
件概率，用符号 P(A|B)来表示，其公式为 P(A|B)＝ PB .
在古典概型中，若用 n(B)表示事件 B 中基本事件的个数， 则 P(A|B)＝nnABB.
发生的次数是一个随机变量 X，其分布列为 P(X＝k)＝Cknpk qn－k，其中 0<p<1，p＋q＝1，k＝0,1,2，…，n，则称 X 服
从参数为 n，p 的 二项分布 ，记为 X～B(n，p) ．
[难点正本 疑点清源] 1．“互斥事件”与“相互独立事件”的区别与联系
(1)“互斥”与“相互独立”都是描述的两个事件间的关系． (2)“互斥”强调不可能同时发生，“相互独立”强调一个事 件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响． (3)“互斥”的两个事件可以独立，“独立”的两个事件也可 以互斥． 2．条件概率 条件概率通常是指在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概 率．放在总体情况下看：先求 P(A)，P(AB)再求 P(A|B)＝PPABB. 关键是求 P(A)和 P(AB)．
②∵两个骰子的点数共有 36 个等可能的结果，点数之和大于
8 的结果共 10 个． ∴P(B)＝1306＝158.
③当蓝色骰子的点数为 3 或 6 时，两颗骰子的点数之和大于 8 的结果有 5 个，故 P(AB)＝356.
5 (2)由(1)知 P(B|A)＝PPAAB＝316＝152.
3
探究提高
(2)条件概率具有的性质： ① 0≤P(A|B)≤1 ；
②如果 A 和 C 是两互斥事件，则 P(A＋C|B)＝ P(A|B)＋ P(C|B) ．
要点梳理
忆一忆知识要点
2．相互独立事件 (1)对于事件 A、B，若 A 的发生与 B 的发生互不影响， 则称 A、B是相互独立事件 ． (2)若 A 与 B 相互独立，则 P(A|B)＝ P(A) ， P(AB)＝P(A|B)·P(B)＝ P(A)·P(B) ． (3)若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也都
(1)利用列方程求 p；(2)可用直接法也可用间接法；(3)要分 类讨论甲、乙各命中的次数．
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条件概率
例 1 抛掷红、蓝两颗骰子，设事件 A 为“蓝色骰子的点数为 3 或 6”，事件 B 为“两颗骰子的点数之和大于 8”． (1)求 P(A)，P(B)，P(AB)； (2)当已知蓝色骰子的点数为 3 或 6 时，求两颗骰子的点 数之和大于 8 的概率．
(1)从古典概型的角度看，确定基本事件和构成事件的基 本事件．(2)条件概率． 解 (1)①P(A)＝26＝13.
相互独立． (4)若 P(AB)＝P(A)P(B)，则 A 与 B 相互独立 ．
要点梳理
忆一忆知识要点
3．二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间
相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有 两 种
结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的
概率都是一样的． (2)在 n 次独立重复试验中，事件 A 发生 k 次的概率为 Cnkpk (1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n) (p 为事件 A 发生的个白球和 4 个红球，2 号箱中有 5 个白球和 3 个 红球，现随机地从 1 号箱中取出一球放入 2 号箱，然后从 2 号 箱随机取出一球，问：
(1)从 1 号箱中取出的是红球的条件下，从 2 号箱取出红球的 概率是多少？
(2)从 2 号箱取出红球的概率是多少？ 解 记事件 A：最后从 2 号箱中取出的是红球； 事件 B：从 1 号箱中取出的是红球． P(B)＝2＋4 4＝23，P( B )＝1－P(B)＝13， (1)P(A|B)＝38＋＋11＝49.
条件概率的求法： (1)利用定义，分别求 P(A)和 P(AB)，得 P(B|A)＝PPAAB.这是通 用的求条件概率的方法． (2)借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)，再在事件 A 发生的条件下求事件 B 包含的基本事件数， 即 n(AB)，得 P(B|A)＝nnAAB.
(2)∵P(A| B )＝8＋3 1＝13， ∴P(A)＝P(AB)＋P(A B ) ＝P(A|B)P(B)＋P(A| B )P( B ) ＝49×23＋13×13＝2117.
相互独立事件的概率
例 2 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命 中率分别为12与 p，且乙投球 2 次均未命中的概率为116. (1)求乙投球的命中率 p； (2)求甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率； (3)若甲、乙两人各投球 2 次，求共命中 2 次的概率．