高中数学选修2-1优质学案5：1.3 简单的逻辑联结词

1.3 简单的逻辑联结词导学目标：1.了解逻辑联结词“或、且、非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．课前准备区——回扣教材 夯实基础自主梳理1．逻辑联结词命题中的或，且，非叫做逻辑联结词．“p 且q ”记作p ∧q ，“p 或q ”记作p ∨q ，“非p ”记作綈p .2．命题p ∧q ，p ∨q3.(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题，可用符号简记为∀x ∈M ，p (x )，它的否定∃x ∈M ，綈p (x )．(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做特称命题，可用符号简记为∃x ∈M ，p (x )，它的否定∀x ∈M ，綈p (x )．自我检测1．命题“∃x ∈R ，x 2－2x ＋1<0”的否定是( )A ．∃x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0 B．∃x ∈R ，x 2－2x ＋1>0C ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0 D．∀x ∈R ，x 2－2x ＋1<02．若命题p ：x ∈A ∩B ，则綈p 是( )A ．x ∈A 且x ∉B B ．x ∉A 或x ∉BC ．x ∉A 且x ∉BD ．x ∈A ∪B3．若p 、q 是两个简单命题，且“p ∨q ”的否定是真命题，则必有( )A ．p 真q 真B ．p 假q 假C ．p 真q 假D ．p 假q 真4．下列命题中的假命题是( )A ．∀x ∈R,2x －1>0B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0C ．∃x ∈R ，lg x <1D ．∃x ∈R ，tan x ＝25．下列4个命题：p 1：∃x ∈(0，＋∞)，(12)x <(13)x ； p 2：∃x ∈(0,1)，log 12x >log 13x ； p 3：∀x ∈(0，＋∞)，(12)x >log 12x ； p 4：∀x ∈(0，13)，(12)x <log 13x . 其中的真命题是( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4课堂活动区——突破考点 研析热点探究点一 判断含有逻辑联结词的命题的真假例1 写出由下列各组命题构成的“p ∨q ”、“p ∧q ”、“綈p ”形式的复合命题，并判断真假．(1)p ：1是素数；q ：1是方程x 2＋2x －3＝0的根；(2)p ：平行四边形的对角线相等；q ：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同；q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的绝对值相等．解题导引 正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是解题的关键，应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．其步骤为：①确定复合命题的构成形式；②判断其中简单命题的真假；③根据其真值表判断复合命题的真假．解 (1)p ∨q ：1是素数或是方程x 2＋2x －3＝0的根．真命题．p ∧q ：1既是素数又是方程x 2＋2x －3＝0的根．假命题．綈p ：1不是素数．真命题．(2)p ∨q ：平行四边形的对角线相等或互相垂直．假命题．p ∧q ：平行四边形的对角相等且互相垂直．假命题．綈p ：有些平行四边形的对角线不相等．真命题．(3)p ∨q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同或绝对值相等．假命题．p ∧q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同且绝对值相等．假命题．綈p ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号不相同．真命题．变式迁移1 (2011·厦门月考)已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}，给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧綈q ”是假命题；③命题“綈p ∨q ”是真命题；④命题“綈p ∨綈q ”是假命题，其中正确的是( )A ．②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④[答案] D[解析] 命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1是真命题，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}也是真命题，∴①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧綈q ”是假命题；③命题“綈p ∨q ”是真命题；④命题“綈p ∨綈q ”是假命题． 探究点二 全(特)称命题及真假判断例2 判断下列命题的真假．(1)∀x ∈R ，都有x 2－x ＋1>12. (2)∃α，β使cos(α－β)＝cos α－cos β.(3)∀x ，y ∈N ，都有x －y ∈N .(4)∃x 0，y 0∈Z ，使得2x 0＋y 0＝3.解题导引 判定一个全(特)称命题的真假的方法：(1)全称命题是真命题，必须确定对集合中的每一个元素都成立，若是假命题，举反例即可．(2)特称命题是真命题，只要在限定集合中，至少找到一个元素使得命题成立．解 (1)真命题，因为x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34>12. (2)真命题，如α＝π4，β＝π2，符合题意． (3)假命题，例如x ＝1，y ＝5，但x －y ＝－4 N .(4)真命题，例如x 0＝0，y 0＝3符合题意．变式迁移2 (2011·日照月考)下列四个命题中，其中为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，x 2＋3<0B ．∀x ∈N ，x 2≥1C ．∃x ∈Z ，使x 5<1D ．∃x ∈Q ，x 2＝3[答案] C[解析] 由于∀x ∈R 都有x 2≥0，因而有x 2＋3≥3，所以命题“∀x ∈R ，x 2＋3<0”为假命题；由于0∈N ，当x ＝0时，x 2≥1不成立，所以命题“∀x ∈N ，x 2≥1”为假命题；由于－1∈Z ，当x ＝－1时，x 5<1，所以命题“∃x ∈Z ，使x 5<1”为真命题；由于使x 2＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“∃x ∈Q ，x 2＝3”为假命题． 探究点三 全称命题与特称命题的否定例3 写出下列命题的“否定”，并判断其真假．(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0； (2)q ：所有的正方形都是矩形；(3)r ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0；(4)s ：至少有一个实数x ，使x 3＋1＝0.解题导引 (1)全(特)称命题的否定与一般命题的否定有着一定的区别，全(特)称命题的否定是将其全称量词改为存在量词(或把存在量词改为全称量词)，并把结论否定；而一般命题的否定则是直接否定结论即可．(2)要判断“綈p ”命题的真假，可以直接判断，也可以判断p 的真假．因为p 与綈p 的真假相反且一定有一个为真，一个为假．解 (1)綈p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14<0，这是假命题， 因为∀x ∈R ，x 2－x ＋14＝(x －12)2≥0恒成立，即p 真，所以綈p 假． (2)綈q ：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题．(3)綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，是真命题，这是由于∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1>0成立．(4)綈s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，是假命题，这是由于x ＝－1时，x 3＋1＝0.变式迁移3 (2009·天津)命题“存在x 0∈R,2x 0≤0”的否定是( )A ．不存在x 0∈R,2x 0>0B ．存在x 0∈R,2x 0≥0C ．对任意的x ∈R,2x ≤0D ．对任意的x ∈R,2x >0[答案] D[解析] 本题考查全称命题与特称命题的否定．原命题为特称命题，其否定应为全称命题，而“≤”的否定是“>”，所以其否定为“对任意的x ∈R,2x >0”．转化与化归思想的应用例 (12分)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围．【答题模板】解由“p且q”是真命题，则p为真命题，q也为真命题．[3分]若p为真命题，a≤x2恒成立，∵x∈[1,2]，∴a≤1.[6分]若q为真命题，即x2＋2ax＋2－a＝0有实根，Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2，[10分]综上，所求实数a的取值范围为a≤－2或a＝1.[12分]【突破思维障碍】含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)命题的真假，求出参数存在的条件，命题p转化为恒成立问题，命题q转化为方程有实根问题，最后再求出含逻辑联结词的命题成立的条件．若直接求p成立的条件困难，可转化成求綈p成立的条件，然后取补集．【易错点剖析】“p且q”为真是全真则真，要区别“p或q”为真是一真则真，命题q就是方程x2＋2ax ＋2－a＝0有实根，所以Δ≥0.不是找一个x0使方程成立．1．逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解．(1)“或”与日常生活用语中的“或”意义有所不同，日常用语“或”带有“不可兼有”的意思，如工作或休息，而逻辑联结词“或”含有“同时兼有”的意思，如x<6或x>9.(2)命题“非p”就是对命题“p”的否定，即对命题结论的否定；否命题是四种命题中的一种，是对原命题条件和结论的同时否定．2．判断复合命题的真假，要首先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后根据真值表判断．3．全称命题“∀x∈M，p(x)”的否定是一个特称命题“∃x∈M，綈p(x)”，特称命题“∃x∈M，p(x)”的否定是一个全称命题“∀x∈M，綈p(x)”．答 案自我检测1.[答案] C[解析] 因要否定的命题是特称命题，而特称命题的否定为全称命题．对x 2－2x ＋1<0的否定为x 2－2x ＋1≥0，故选C.2.[答案] B[解析] ∵“x ∈A ∩B ”⇔“x ∈A 且x ∈B ”，∴綈p ：x ∉A 或x ∉B .3.[答案] B[解析] ∵“p ∨q ”的否定是真命题，∴“p ∨q ”是假命题，∴p ，q 都假．4.[答案] B[解析] 对于B 选项x ＝1时，(x －1)2＝0.5.[答案] D[解析] 取x ＝12，则log 12x ＝1，log 13x ＝log 32<1，p 2正确． 当x ∈(0，13)时，(12)x <1，而log 13x >1，p 4正确．。