第八章正交实验设计
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第8章正交试验设计
3
5.0
150
75
二、无交互作用的正交试验
4、将因素水平上列
F T
A
B
C
D
含油率 yi ％
每个因素上1列；
1
1
1
1 1 27.5
列数>=因素个数； 得到9个试验处理
2
1
2
2 2 24.9
3
1
3
3 3 24.9
5、安排试验（ Fisher准则）
4
2
1
2 3 25.3
设置区组：试验环境相同。
第8章 正交试验设计
一、正交表
1．作用 正交表：是根据组合数学的原理排列而成，安排正交试验
的因素和水平，决定试验的组合处理的一种特殊表格。
2．形式
F
L：正交表 源于拉丁方(Latin square) t：试验处理数（Thing）即：正交表的行数；
l l：因素的水平数（Level）
Lt F：可安排的因素数（Factor）即：正交表的列数
y7= yA3+ yB1+ yC3+ε7
⑦
y8= yA3+ yB2+ yC1+ε8
⑧
5
2
6
2
7
3
8
3
9
3
y9= yA3+ yB3+ yC2+ε9
⑨
B C D Yi
1
1 1 y1
2
2 2 y2
3
3 3 y3
1
2 3 y4
2
3 1 y5
3
1 2 y6
1
3 2 y7
2
1 3 y8
8正交试验设计
B
3
2
2
3
1
1
1
2
3
1
二 简单对比法
• 轮换方法：即B1C1
A3B1
A3C1 C1 C2 C3*
B1* B2 B3
A1 A2 A3*
B B3 B2 C C2 C3
· · A · · A
2 3
B1 C1 A 1
· · ·
A
得到较优水平组合为A3B1C3 • 试验次数：7次
• 缺点：七个点完全分布在立方体的个别边、面上。在很大范围 无试验点。因此试验缺乏代表性，不能反映事物全貌。特别是 因素间有交互作用时，更不易找到最优方案
1
一 全面试验法
• 定义：将三因素三水平组合搭配而成的各种试验条件全面进 行试验而进行比较选优的方法。 • 试验次数：33=27次， 即立方体的27个交点。 • 优点：能全面剖析出事物内部规 律性。 • 缺点：试验次数太多，当水平较多
时试验量是惊人的。
· · · · · · B · · · · · · C· · B · C· · C · · · · · · B C · · · A A A A
8. 正交试验设计
时间是世界上一切成就的土壤。 时间给空想者痛苦，给创造者幸福。 ——麦金西
8.1.0 正交设计的发展
20世纪30年代，费希尔在试验设计方面做出了一系 列先驱性的贡献。
20世纪上半叶，正交设计方法已经在数学界中提出。
到40年代后期，日本统计学家田口玄一博士首次将 正交设计方法应用到日本的电话机试验上。
1
三 正交试验法
• 特点：均衡分散，整齐可比 • 优点：多、快、好、省
No.
因素 列 号
A 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3
3
2
2
3
1
1
1
2
3
1
二 简单对比法
• 轮换方法：即B1C1
A3B1
A3C1 C1 C2 C3*
B1* B2 B3
A1 A2 A3*
B B3 B2 C C2 C3
· · A · · A
2 3
B1 C1 A 1
· · ·
A
得到较优水平组合为A3B1C3 • 试验次数：7次
• 缺点：七个点完全分布在立方体的个别边、面上。在很大范围 无试验点。因此试验缺乏代表性，不能反映事物全貌。特别是 因素间有交互作用时，更不易找到最优方案
1
一 全面试验法
• 定义：将三因素三水平组合搭配而成的各种试验条件全面进 行试验而进行比较选优的方法。 • 试验次数：33=27次， 即立方体的27个交点。 • 优点：能全面剖析出事物内部规 律性。 • 缺点：试验次数太多，当水平较多
时试验量是惊人的。
· · · · · · B · · · · · · C· · B · C· · C · · · · · · B C · · · A A A A
8. 正交试验设计
时间是世界上一切成就的土壤。 时间给空想者痛苦，给创造者幸福。 ——麦金西
8.1.0 正交设计的发展
20世纪30年代，费希尔在试验设计方面做出了一系 列先驱性的贡献。
20世纪上半叶，正交设计方法已经在数学界中提出。
到40年代后期，日本统计学家田口玄一博士首次将 正交设计方法应用到日本的电话机试验上。
1
三 正交试验法
• 特点：均衡分散，整齐可比 • 优点：多、快、好、省
No.
因素 列 号
A 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3
正交试验设计(多指标)ppt课件
6.2 正交试验设计结果的直观分析法
6.2.1 单指标正交试验设计及其结果的直观分析
例：
单指标：乳化能力 因素水平：3因素3水平（假定因素间无交互作用）
（1）选正交表
要求：
因素数≤正交表列数
因素水平数与正交表对应的水平数一致 选较小的表
选L9(34)
（2）表头设计
②等水平正交表特点
表中任一列，不同的数字出现的次数相同 表中任意两列，各种同行数字对（或称水平搭配）出现的 次数相同 两性质合称为“正交性” ：使试验点在试验范围内排列 整齐、规律，也使试验点在试验范围内散布均匀
（2）混合水平正交表
各因素的水平数不完全相同的正交表
混合水平正交表性质：
R越大，因素越重要
若空列R较大，可能原因：
漏掉某重要因素 因素之间可能存在不可忽略的交互作用
（6）优方案的确定
优方案：在所做的试验范围内，各因素较优的水平组合 若指标越大越好 ，应选取使指标大的水平 若指标越小越好，应选取使指标小的水平 还应考虑：降低消耗、提高效率等
将试验因素安排到所选正交表相应的列中 因不考虑因素间的交互作用，一个因素占有一列（可以随 机排列） 空白列（空列）：最好留有至少一个空白列
（3）明确试验方案
（4）按规定的方案做试验，得出试验结果 注意 ：
按照规定的方案完成每一号试验 试验次序可随机决定 试验条件要严格控制
（5）计算极差，确定因素的主次顺序
（7）进行验证试验，作进一步的分析
优方案往往不包含在正交实验方案中，应验证
优方案是在给定的因素和水平的条件下得到的，若不限定 给定的水平，有可能得到更好的试验方案
《正交试验设计》PPT幻灯片PPT
或实体
➢ 在试验性研究中，感兴趣的变量是明确规定的， 因此，研究中的一个或多个因素可以被控制，使 得数据可以按照因素如何影响变量来获取
➢ 对完全随机化设计的数据采用单因素方差分析
4
完全随机化设计-例题分析
【例】一家种业开发股份公司研究出三个新的小 麦品种：品种1、品种2、品种3。为研究不同品 种对产量的影响，需要选择一些地块，在每个地 块种上不同的品种，然后获得产量数据进行分析 。这一过程就是试验设计的过程
得3个产量的数据，也就是对应于每个处理的样本 容量为1；为获得每个品种的更多数据，必须重复 基本试验步骤。假定不是抽取3个地块，而是12个 地块，然后将每个品种之一随机地指派给其中的4 个地块，这就相当于重复做了4次试验。
6
完全随机化设计-例题分析
试验数据：
7
完全随机化设计-例题分析
方差分析：
➢ 二水平正交表: L4(23) ， L8(27) L16(215) ，L32(231)…
➢ 三水平正交表: L9(34) ， L27(313)… ➢ 四水平正交表: L16(45)， L64(421)… ➢ 五水平正交表: L25(56)…
这类正交表的一般代号：Ln(m k )，且满足：
n mk , m 2,3,4, k n1
12
11 12 13 21 22 23 31 32 33
34
11 22 33 23 31 12 32 13 21
➢ L:正交表记号
➢ 9:该表有9行，可以做九个不同条件的试验
➢ 4:该表有4列，最多只能考虑四个因子
➢ 3:这张表的主体中仅有三个不同的数字，每个因子取三个水平
➢
一个正交表中也可以各列的水平一种设计方法，并进 一步分析对所研究对象的指标的影响程度
➢ 在试验性研究中，感兴趣的变量是明确规定的， 因此，研究中的一个或多个因素可以被控制，使 得数据可以按照因素如何影响变量来获取
➢ 对完全随机化设计的数据采用单因素方差分析
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完全随机化设计-例题分析
【例】一家种业开发股份公司研究出三个新的小 麦品种：品种1、品种2、品种3。为研究不同品 种对产量的影响，需要选择一些地块，在每个地 块种上不同的品种，然后获得产量数据进行分析 。这一过程就是试验设计的过程
得3个产量的数据，也就是对应于每个处理的样本 容量为1；为获得每个品种的更多数据，必须重复 基本试验步骤。假定不是抽取3个地块，而是12个 地块，然后将每个品种之一随机地指派给其中的4 个地块，这就相当于重复做了4次试验。
6
完全随机化设计-例题分析
试验数据：
7
完全随机化设计-例题分析
方差分析：
➢ 二水平正交表: L4(23) ， L8(27) L16(215) ，L32(231)…
➢ 三水平正交表: L9(34) ， L27(313)… ➢ 四水平正交表: L16(45)， L64(421)… ➢ 五水平正交表: L25(56)…
这类正交表的一般代号：Ln(m k )，且满足：
n mk , m 2,3,4, k n1
12
11 12 13 21 22 23 31 32 33
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11 22 33 23 31 12 32 13 21
➢ L:正交表记号
➢ 9:该表有9行，可以做九个不同条件的试验
➢ 4:该表有4列，最多只能考虑四个因子
➢ 3:这张表的主体中仅有三个不同的数字，每个因子取三个水平
➢
一个正交表中也可以各列的水平一种设计方法，并进 一步分析对所研究对象的指标的影响程度
第八章.正交试验设计
第八章.正交试验设计第8章正交试验设计本章要求(1)掌握试验设计的基本概念；(2)掌握正交表的形式与特征；(3)掌握正交设计的试验步骤；(4)熟悉无交互作用的正交设计的数据直观分析方法；(5)熟悉正交设计的统计模型与方差分析；(6)了解正交设计的最佳条件选择。
正交试验设计法是研究与处理多因素实验的一种科学方法。
利用规格化的表格―正交表,科学地挑选试验条件,合理安排实验。
正交试验设计法最早由日本质量管量专家田口玄一提出,称为国际标准型正交试验法。
认为：“一个工程技术人员若不掌握正交试验设计法, 只能算半个工程师”。
我国工业企业特别是化工、纺织、医药、电子、机械行业,正交试验设计法的应用也取得相当的成就,中国数学家张里千教授发明了中国型正交试验设计法。
无交互作用单一指标的正交设计及其基本概念试验设计例为提高某化工产品的转化率，选择了三个有关因素进行条件试验，反应温度(A),反应时间(B),用碱量(C),并确定了它们的试验范围：A:80-90℃ B:90-150分钟C:5-7% 试验目的是搞清楚因素A、B、C对转化率有什么影响，哪些是主要的，哪些是次要的，从而确定最适生产条件，即温度、时间及用碱量各为多少才能使转化率高。
试制定试验方案。
这里，对因素A,在试验范围内选了三种状态；因子B和C也都取三种状态：A:A1=80℃,A2=85℃,A3=90℃ B:B1=90分，B2=120分，B3=150分C:C1=5%,C2=6%,C3=7% 当然，在正交试验设计中，因素可以是定量的，也可以是定性的。
而定量因素各水平间的距离可以相等，也可以不相等。
这个三因子三水平的条件试验，通常有两种试验进行方法：(Ⅰ)取三因素所有状态之间的组合，即AlBlC1,A1BlC2,A1B2C1, ……, A3B3C3,共有33=27次试验。
用图表示就是图1 立方体的27个节点。
这种试验法叫做全面试验法。
全面试验对各因素与指标间的关系剖析得比较清楚。
8正交试验设计
综合平衡法
• 水份A对各指标的影响：从表看出，对 裂纹度来讲，水份的极差最大，即水份 是影响最大的因素，水份取A2水平最 好，但对抗压强度和落下强度来讲，水 份的极差都是最小的，即是影响最小的 因素。对抗压强度来讲，水份取A2最 好，取A3次之；对落下强度来讲，水 份取A3最好，取A2次之。对3个指标综 合考虑，水份取A2水平为好。
11
正交表及其用法
本例中各因素对试验指标铁水 温度的影响按大小顺序来说C底焦
高度、A焦比、B风压，最好方案是
C2A3B2即： C2底焦高度，第2水平：1.5 A3焦比，第3水平： 1:14 B2风压，第2水平： 230
12
12.2 多指标的分析方法
• 在实际问题中，需要考虑的指标往 往不止一个，有时是两个、三个， 甚至更多，这都是多指标的问题。 解决多指标试验问题可采用两种方 法：综合平衡法和综合评分法。
2
3 抗压强度
试验号
A BC
Kg/个
1
1
1
1
11.5
2
1
2
2
4.5
3
1
3
3
11.0
4
2
1
2
7.0
5
2
2
3
8.0
6
2
3
1
18.5
7
3
1
3
9.0
8
3
2
1
8.0
9
3
3
2
13.4
K1
11
9
5
K2
5
8
8
裂 K3
6
5
9
k1
纹 k2
3.7 3.0 1.7 1.7 2.7 2.7
第八章 正交实验设计
1.2/1
1.1/1 1.2/1
500
500 600
96
83 88
13
2、综合比较——直观分析法
在测得8个数据后，如何科学地分析这些数据， 从而得出正确的结论，这是试验设计的重要步骤。在 比较中要鉴别的内容是： （1） 在4个因子中，哪些因子对收率的影响大，哪 些因子对收率的影响小？ （2） 如果某个因子对试验数据的影响大，那么它 取哪个水平对提高收率最有利？ 第一个问题要在比较4个因子中获得解决，第二 个问题要在比较每个因子的两个水平中获得解决。先 14 解决第二个问题。
7
多因子试验的分类。 在考查A，B，C，D，…等n个因子对指标y的 n 作用时，若每个因子都取两个水平，则称为 2 因子试验问题。
3n 若被考查的n个因子都取三个水平，则称为
因子试验问题。 若被考查的因子有n+m个，其中，其中n个因子 n m 取两水平，m个因子取三水平，则称为 2 3 因子试验问题。
列号 试验 1 2 3 4 5
A℃ 1
60 60 60 60 80
B小时 2
2.5 2.5 3.5 3.5 2.5
C 3
1.1/1 1.2/1 1.1/1 1.2/1 1.1/1
D 4
500 600 600 500 600
Result y 86 95 91 94 91
6
7 8
80
80 80
2.5
3.5 3.5
88
T1 j T2 j
T1 j T1 j 4
T1 j T2 j
T2 j T2 j 4 89.5
2.0
18
我们从表的最后一行的正负可以看出, 因子A取 A1 比 A2 时收率高；
第8章正交
（2）综合平衡法 先对每个指标分别进行单指标的直 观分析，得到每个指标的影响因素主 次顺序和较优水平组合，然后根据理 论知识和实践经验，对各指标的分析 结果进行综合比较和分析，得出较优 方案。 例8-7
3.2 方差分析法
先将试验结果的总变异分解为各因素
不同水平间、交互作用及误差的变异，
然后计算出各F值，查F界值表，确定P
根据因素数和水平数来选择合适的正 交表。一般要求，因素数≤正交表列 数，因素水平数与正交表对应的水平 数一致，在满足上述条件的前提下， 选择较小的表。
表头设计：
表头是指正交表第一行的“列号”。正交表选 定后，要把各因素项及交互作用项分别放在正交 表表头适当的列中去。此过程称表头设计。若因 素间的交互作用可以忽略时，可随意地把各因素 安排在所选表的列上；若因素间有交互作用，则 应将交互作用看作是影响因素，并将其安排在相 应的列上（称为交互作用列）。但是，各个因素 列和交互作用列是不能随意安排的。表头设计不 是唯一的，一项试验，可以做出多种不同的表头 设计，一般来说，只要设计得合理，试验误差不 大，结论一般都是一致的。
L125(531)，…
混合水平正交表： L8(4×24) ， L16(4×212)
L16(42×29) ，L16(43×26)，
L12(3×23) ，L12(3×24) ，L18(2×37)，
L12(6×22) ，…
常用的正交表见附录。
1.2 正交表的特点
“均衡分散”和“整齐可比”
均衡分散（或称搭配均匀）：是说明正交 表列出的这部分组合搭配，在全部可能的 组合搭配中分布是均匀的，因此代表性强， 能较好地反映全面情况。
如L18(6×36)，如表8-3
正交表可分为同水平和混合水平两大类
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A1 B1 C1 D2 D 3
2、若试验结果D2较好，就将D固定在D2上，A仍固定
在A1，B仍固定在B1，让C变化
C1 A1 B1 C2 D2 C 3
8
3、若试验结果C3较好，就将C固定在C3上，A1，D2不变， 让B变化 B1 A1 B2 C3 D2 B 3 4、若试验结果B1较好，就将B固定在B1上，C3，D2不变， 让A变化 A1 A2 B1 C3 D2 A 3
若试验结果A3较好，则得出较优搭配：A3B1C3D2
9
共做了九次试验，如下表：
因素
试验号 1 A 1 B 1 C 1 D 1
2
3 4
1
1 1
1
1 1
1
1 2
2
3 2
5
6 7
1
1 1
1
2 3
3
3 3
2
2 2
8
9
2
3
1
1
3
3
2
2
10
简单比较法特点：
优点：工作量大大减少（试验次数由81次减少为9次）。
23
•正交表安排实验的特点 具有均衡分散和整齐可比的特点 （1）均衡分散，是指用正交表挑选出来的各因素水平 组合在全部水平组合中的分布是均衡的 。 （2）整齐可比，是指每一个因素的各水平间具有可比性。 因为正交表中每一因素的任一水平下都均衡地包含着另 外因素的各个水平，当比较某因素不同水平时，其它因 素的效应都彼此抵消。如
20
L4（23）正交表
试验号 （处理） 列号（因素）
1(A)
1 1
2(B)
1
3(C)
1
2
3 4
1
2 2
2
1 2
2
2 1
21
L8(27)正交表
22
• 正交表的特点
（1）同一列中各水平的重复次数相同。 例如： L8(27)中不同数字只有1和2，它们各出现4次； L9(34)中不同数字有1、2、3，它们各出现3次； （2）任两列的行水平构成的数对出现次数相同。 例如：L8(27)的任两列中(1,1),(1,2),(2,1),(2,2) 各出现两次；L9(34)任两列中(1,1),(1,2),(1,3), (2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)各出现1次。 即每个因素的一个水平与另一因素的各个水平互碰 次数相等，表明任意两列各水平之间的搭配是均匀的。
2
3
1
2.5
24
36
6
9
7
10
可以采用多种试验设计方法：
6
一、析因设计（全面试验） 优点： 1.可检验每个因素各水平间的差异有无统计学意义； 2.可检验各因素间有无交互作用； 3.可从各因素所有水平彼此组合中选出最优组合条件
缺点：
试验因素过多（大于3）时，需要试验的次数较多， 工作量太大，一般不易做到。
第八章
正交试验设计与分析
正交试验设计是用正交表从析因设计的水 平组合中，选择一部分有代表性水平组合进行 试验。 正交试验分析则是获得多因素各水平最佳 搭配的方法.
1
目的要求： （一）了解试验设计的基本概念及原则。 （二）掌握正交表的特点及正交试验的一 般步骤。熟悉常见的正交表
（三）掌握正交试验的直观分析法，了解 有交互作用的试验分析及方差分析法。
（3）随机化(randomization)原则
等概率抽样，防止带倾向性的系统性误差。
（4）均衡(balanceFra bibliotek原则同质性原则，实验组和对照组条件一致。
试验设计方案很多，如配对设计，完全随机化设计、 均衡设计、正交设计等。
5
第二节 正交试验基本思想与步骤
正交试验的目的就是合理安排试验，做到既省时、省力、省 钱，又要有基本满意的试验效果。具体地，就是对多因素多水平 问题，找出因素的主次关系及最优搭配条件。 [例8.1】在中草药的有效成分提取中，为了摸清某生药用浸渍法 提取小檗硷的条件，根据经验拟考察四个因素，每个因素取三个 水平（如下表），试进行试验设计. 水平\因素 提取水的PH 浸渍时间(h) 盐析PH A 1 6 B 12 C 1 加食盐量(g) D 5
29
因素水平表
因 素
水
1
平
2
3
品种 (A) 二九矮(A1) 高二矮(A2)
窄叶青(A3)
密度 (B) 15(B1) 20(B2)
25(B3)
施氮量 (C) 3(C1) 5(C2)
8(C3)
30
3、选用适当的正交表、作表头设计 根据因素、水平及需要考察的交互作用的多少来选择合 适的正交表。 选用正交表的原则是：既要能安排下试验的全部因素(包 括需要考察的交互作用)，又要使水平组合数（试验次数） 尽可能地少。
如上面例题试验的次数为：3×3×3×3＝81
若各有5个水平，则为 5×5×5×5＝625
实际上最常用的析因试验设计是两因素或三因素。
7
二、简单比较 基本思路：让其中一个因素变化，其它因素固定到一个水 平，找出较好的水平，逐个试验，最后得到较优搭配。 如对上题： 1、先固定A在A1（A因素的第一个水平），B在B1，C在C1， 让D变化 D1
27
（四）正交试验的一般步骤
例：某水稻栽培试验选择了3个水稻优良品种(A)：二九矮、
高二矮、窄叶青 ， 3种密度(B)：15、20、25（万苗 /666.7m2）；3种施氮量(C)：3、5、8（kg/666.7m2），试 采用正交设计安排一个试验方案。
1、明确试验目的、确定试验指标 指标：水稻的产量
24
• 在这9个水平组合中，A因素各水平下包括了B、C因素 的3个水平，当比较A因素不同水平时，B因素不同水 平的效应相互抵消，C因素不同水平的效应也相互抵 消。所以A因素3个水平间具有可比性；同样，B、C因 素3个水平间亦具有可比性。
25
• 正交表的类型
（1）相同水平正交表(齐水平正交表 ) 各列中出现的最大数字相同的正交表称为相同水平正交表。 L4(23)、L8(27)、L12(211)等各列中最大数字为2，称为两 水平正交表； L9(34)、L27(313)等各列中最大数字为3，称为3水平正交表。
缺点： 1、各因素水平间搭配很不均匀； 2、不能分析因素间的相互影响（交互作用），当因素间的 相互作用影响较大时，找出的搭配有可能不是最好的； 3、试验花费的时间一般较长，要等第一批试验做完后，才 能做下一批试验。
11
三、正交试验设计（orthogonal experimental design）
拉丁方A与B正交
拉丁方A与C非正交
14
思考题：
4 3 2 5 6 7 5 6 7 5 6 7 ( B ) 6 7 8 (C ) 6 7 5 ( D ) 7 5 6 （A) 3 2 4 2 4 3 7 8 9 7 5 6 6 7 5
3 2 1 ( A) 2 1 3 1 3 2
2 3 1 1 3 2 (C ) 3 2 1 ( B) 1 2 3 3 1 2 2 1 3
13
设A、B分别是两个拉丁方，记为 aij , bij (i, j 1, 2,...3) ,若n2个有
3
调查研究设计 统计设计 试验研究设计（如成组、配对、析因、 均衡，正交设计等）
试验设计应考虑： 最大限度地减少试验误差，提高试验精度。
4
试验设计的基本原则： （1）重复（replication）原则
试验可重复进行，减少非试验因素偶然出现所产生的误差。
（2）对照(control)原则
设臵对照组，减少非试验因素的干扰。
序对 (aij , bij ) 都是不同的，则称A与B是正交的（orthogonal）
(3, 2) (2,3) (1,1) ( A, B) (2,1) (1, 2) (3,3) (1,3) (3,1) (2, 2)
(3,1) (2,3) (1, 2) ( A, C ) (2,3) (1, 2) (3,1) (1, 2) (3,1) (2,3)
目的：通过适当次数的试验，找出最优条件，并分清各 因素对试验指标影响的大小
28
2、确定试验的因素、水平，并列出因素水平表
上面例题中，有三个因素，每个因素有三个水平。 因素：品种（A）、密度（B）、施氮量（C） 水平 品种：二九矮、高二矮、窄叶青； 密度：15、20、25（万苗/666.7m2）； 施氮量(C)：3、5、8（kg/666.7m2）。
问：哪些是拉丁方？有无正交拉丁方？ (A与D、C与D正交，A与C非正交)
15
（二）正交试验的思想
仍见例8.1，若首先安排A、B两个因素，全部试验要做9次， 具体安排如下表： B1 A1 A2 A3 A1B1 A2B1 A3B1 B2 A1B2 A2B2 A3B2 B3 A1B3 A2B3 A3B3
这里因素A、B的每一个水平都相互各碰一次，搭配均匀。
16
然后再安排因素C，使任两个因素的三个水平都相互各碰一
次，试验如下表安排：
B1 A1 A2 A3 A1B1C1 A2B1C2 A3B1C3 B2 A1B2C2 A2B2C3 A3B2 C1 B3 A1B3C3 A2B3C1 A3B3C2
注：C的下标是一个三阶拉丁方：
31
【注意】选择正交表时，应遵循
因素的水平数应恰好等于正交表记号中的底数；
因素个数（包括需要考察的交互作用）应不大于正交表记号 中指数(列数)；
当因素个数小于列数时，用剩余的列估计试验误差。
当因素的个数等于列数时，用重复的正交试验估计试验 误差。
2、若试验结果D2较好，就将D固定在D2上，A仍固定
在A1，B仍固定在B1，让C变化
C1 A1 B1 C2 D2 C 3
8
3、若试验结果C3较好，就将C固定在C3上，A1，D2不变， 让B变化 B1 A1 B2 C3 D2 B 3 4、若试验结果B1较好，就将B固定在B1上，C3，D2不变， 让A变化 A1 A2 B1 C3 D2 A 3
若试验结果A3较好，则得出较优搭配：A3B1C3D2
9
共做了九次试验，如下表：
因素
试验号 1 A 1 B 1 C 1 D 1
2
3 4
1
1 1
1
1 1
1
1 2
2
3 2
5
6 7
1
1 1
1
2 3
3
3 3
2
2 2
8
9
2
3
1
1
3
3
2
2
10
简单比较法特点：
优点：工作量大大减少（试验次数由81次减少为9次）。
23
•正交表安排实验的特点 具有均衡分散和整齐可比的特点 （1）均衡分散，是指用正交表挑选出来的各因素水平 组合在全部水平组合中的分布是均衡的 。 （2）整齐可比，是指每一个因素的各水平间具有可比性。 因为正交表中每一因素的任一水平下都均衡地包含着另 外因素的各个水平，当比较某因素不同水平时，其它因 素的效应都彼此抵消。如
20
L4（23）正交表
试验号 （处理） 列号（因素）
1(A)
1 1
2(B)
1
3(C)
1
2
3 4
1
2 2
2
1 2
2
2 1
21
L8(27)正交表
22
• 正交表的特点
（1）同一列中各水平的重复次数相同。 例如： L8(27)中不同数字只有1和2，它们各出现4次； L9(34)中不同数字有1、2、3，它们各出现3次； （2）任两列的行水平构成的数对出现次数相同。 例如：L8(27)的任两列中(1,1),(1,2),(2,1),(2,2) 各出现两次；L9(34)任两列中(1,1),(1,2),(1,3), (2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)各出现1次。 即每个因素的一个水平与另一因素的各个水平互碰 次数相等，表明任意两列各水平之间的搭配是均匀的。
2
3
1
2.5
24
36
6
9
7
10
可以采用多种试验设计方法：
6
一、析因设计（全面试验） 优点： 1.可检验每个因素各水平间的差异有无统计学意义； 2.可检验各因素间有无交互作用； 3.可从各因素所有水平彼此组合中选出最优组合条件
缺点：
试验因素过多（大于3）时，需要试验的次数较多， 工作量太大，一般不易做到。
第八章
正交试验设计与分析
正交试验设计是用正交表从析因设计的水 平组合中，选择一部分有代表性水平组合进行 试验。 正交试验分析则是获得多因素各水平最佳 搭配的方法.
1
目的要求： （一）了解试验设计的基本概念及原则。 （二）掌握正交表的特点及正交试验的一 般步骤。熟悉常见的正交表
（三）掌握正交试验的直观分析法，了解 有交互作用的试验分析及方差分析法。
（3）随机化(randomization)原则
等概率抽样，防止带倾向性的系统性误差。
（4）均衡(balanceFra bibliotek原则同质性原则，实验组和对照组条件一致。
试验设计方案很多，如配对设计，完全随机化设计、 均衡设计、正交设计等。
5
第二节 正交试验基本思想与步骤
正交试验的目的就是合理安排试验，做到既省时、省力、省 钱，又要有基本满意的试验效果。具体地，就是对多因素多水平 问题，找出因素的主次关系及最优搭配条件。 [例8.1】在中草药的有效成分提取中，为了摸清某生药用浸渍法 提取小檗硷的条件，根据经验拟考察四个因素，每个因素取三个 水平（如下表），试进行试验设计. 水平\因素 提取水的PH 浸渍时间(h) 盐析PH A 1 6 B 12 C 1 加食盐量(g) D 5
29
因素水平表
因 素
水
1
平
2
3
品种 (A) 二九矮(A1) 高二矮(A2)
窄叶青(A3)
密度 (B) 15(B1) 20(B2)
25(B3)
施氮量 (C) 3(C1) 5(C2)
8(C3)
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3、选用适当的正交表、作表头设计 根据因素、水平及需要考察的交互作用的多少来选择合 适的正交表。 选用正交表的原则是：既要能安排下试验的全部因素(包 括需要考察的交互作用)，又要使水平组合数（试验次数） 尽可能地少。
如上面例题试验的次数为：3×3×3×3＝81
若各有5个水平，则为 5×5×5×5＝625
实际上最常用的析因试验设计是两因素或三因素。
7
二、简单比较 基本思路：让其中一个因素变化，其它因素固定到一个水 平，找出较好的水平，逐个试验，最后得到较优搭配。 如对上题： 1、先固定A在A1（A因素的第一个水平），B在B1，C在C1， 让D变化 D1
27
（四）正交试验的一般步骤
例：某水稻栽培试验选择了3个水稻优良品种(A)：二九矮、
高二矮、窄叶青 ， 3种密度(B)：15、20、25（万苗 /666.7m2）；3种施氮量(C)：3、5、8（kg/666.7m2），试 采用正交设计安排一个试验方案。
1、明确试验目的、确定试验指标 指标：水稻的产量
24
• 在这9个水平组合中，A因素各水平下包括了B、C因素 的3个水平，当比较A因素不同水平时，B因素不同水 平的效应相互抵消，C因素不同水平的效应也相互抵 消。所以A因素3个水平间具有可比性；同样，B、C因 素3个水平间亦具有可比性。
25
• 正交表的类型
（1）相同水平正交表(齐水平正交表 ) 各列中出现的最大数字相同的正交表称为相同水平正交表。 L4(23)、L8(27)、L12(211)等各列中最大数字为2，称为两 水平正交表； L9(34)、L27(313)等各列中最大数字为3，称为3水平正交表。
缺点： 1、各因素水平间搭配很不均匀； 2、不能分析因素间的相互影响（交互作用），当因素间的 相互作用影响较大时，找出的搭配有可能不是最好的； 3、试验花费的时间一般较长，要等第一批试验做完后，才 能做下一批试验。
11
三、正交试验设计（orthogonal experimental design）
拉丁方A与B正交
拉丁方A与C非正交
14
思考题：
4 3 2 5 6 7 5 6 7 5 6 7 ( B ) 6 7 8 (C ) 6 7 5 ( D ) 7 5 6 （A) 3 2 4 2 4 3 7 8 9 7 5 6 6 7 5
3 2 1 ( A) 2 1 3 1 3 2
2 3 1 1 3 2 (C ) 3 2 1 ( B) 1 2 3 3 1 2 2 1 3
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设A、B分别是两个拉丁方，记为 aij , bij (i, j 1, 2,...3) ,若n2个有
3
调查研究设计 统计设计 试验研究设计（如成组、配对、析因、 均衡，正交设计等）
试验设计应考虑： 最大限度地减少试验误差，提高试验精度。
4
试验设计的基本原则： （1）重复（replication）原则
试验可重复进行，减少非试验因素偶然出现所产生的误差。
（2）对照(control)原则
设臵对照组，减少非试验因素的干扰。
序对 (aij , bij ) 都是不同的，则称A与B是正交的（orthogonal）
(3, 2) (2,3) (1,1) ( A, B) (2,1) (1, 2) (3,3) (1,3) (3,1) (2, 2)
(3,1) (2,3) (1, 2) ( A, C ) (2,3) (1, 2) (3,1) (1, 2) (3,1) (2,3)
目的：通过适当次数的试验，找出最优条件，并分清各 因素对试验指标影响的大小
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2、确定试验的因素、水平，并列出因素水平表
上面例题中，有三个因素，每个因素有三个水平。 因素：品种（A）、密度（B）、施氮量（C） 水平 品种：二九矮、高二矮、窄叶青； 密度：15、20、25（万苗/666.7m2）； 施氮量(C)：3、5、8（kg/666.7m2）。
问：哪些是拉丁方？有无正交拉丁方？ (A与D、C与D正交，A与C非正交)
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（二）正交试验的思想
仍见例8.1，若首先安排A、B两个因素，全部试验要做9次， 具体安排如下表： B1 A1 A2 A3 A1B1 A2B1 A3B1 B2 A1B2 A2B2 A3B2 B3 A1B3 A2B3 A3B3
这里因素A、B的每一个水平都相互各碰一次，搭配均匀。
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然后再安排因素C，使任两个因素的三个水平都相互各碰一
次，试验如下表安排：
B1 A1 A2 A3 A1B1C1 A2B1C2 A3B1C3 B2 A1B2C2 A2B2C3 A3B2 C1 B3 A1B3C3 A2B3C1 A3B3C2
注：C的下标是一个三阶拉丁方：
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【注意】选择正交表时，应遵循
因素的水平数应恰好等于正交表记号中的底数；
因素个数（包括需要考察的交互作用）应不大于正交表记号 中指数(列数)；
当因素个数小于列数时，用剩余的列估计试验误差。
当因素的个数等于列数时，用重复的正交试验估计试验 误差。