线性回归与曲线拟合
SPSS 10.0高级教程十二：多元线性回归与曲线拟合
SPSS 10.0高级教程十二：多元线性回归与曲线拟合回归分析是处理两个及两个以上变量间线性依存关系的统计方法。
在医学领域中，此类问题很普遍，如人头发中某种金属元素的含量与血液中该元素的含量有关系，人的体表面积与身高、体重有关系；等等。
回归分析就是用于说明这种依存变化的数学关系。
§10.1Linear过程10.1.1 简单操作入门调用此过程可完成二元或多元的线性回归分析。
在多元线性回归分析中，用户还可根据需要，选用不同筛选自变量的方法（如：逐步法、向前法、向后法，等）。
例10.1：请分析在数据集Fat surfactant.sav中变量fat对变量spovl的大小有无影响？显然，在这里spovl是连续性变量，而fat是分类变量，我们可用用单因素方差分析来解决这个问题。
但此处我们要采用和方差分析等价的分析方法--回归分析来解决它。
回归分析和方差分析都可以被归入广义线性模型中，因此他们在模型的定义、计算方法等许多方面都非常近似，下面大家很快就会看到。
这里spovl是模型中的因变量，根据回归模型的要求，它必须是正态分布的变量才可以，我们可以用直方图来大致看一下，可以看到基本服从正态，因此不再检验其正态性，继续往下做。
10.1.1.1 界面详解在菜单中选择Regression==>liner，系统弹出线性回归对话框如下：除了大家熟悉的内容以外，里面还出现了一些特色菜，让我们来一一品尝。
【Dependent框】用于选入回归分析的应变量。
【Block按钮组】由Previous和Next两个按钮组成，用于将下面Independent框中选入的自变量分组。
由于多元回归分析中自变量的选入方式有前进、后退、逐步等方法，如果对不同的自变量选入的方法不同，则用该按钮组将自变量分组选入即可。
下面的例子会讲解其用法。
【Independent框】用于选入回归分析的自变量。
【Method下拉列表】用于选择对自变量的选入方法，有Enter（强行进入法）、Stepwise（逐步法）、Remove（强制剔除法）、Backward（向后法）、Forward（向前法）五种。
多元线性回归与曲线拟合
第十章：多元线性回归与曲线拟合――Regression菜单详解〔上〕回归分析是处理两个及两个以上变量间线性依存关系的统计方法。
在医学领域中，此类问题很普遍，如人头发中某种金属元素的含量与血液中该元素的含量有关系，人的体外表积与身高、体重有关系；等等。
回归分析就是用于说明这种依存变化的数学关系。
§10.1Linear过程调用此过程可完成二元或多元的线性回归分析。
在多元线性回归分析中，用户还可根据需要，选用不同筛选自变量的方法〔如：逐步法、向前法、向后法，等〕。
例10.1：请分析在数据集Fat surfactant.sav中变量fat对变量spovl的大小有无影响？显然，在这里spovl是连续性变量，而fat是分类变量，我们可用用单因素方差分析来解决这个问题。
但此处我们要采用和方差分析等价的分析方法--回归分析来解决它。
回归分析和方差分析都可以被归入广义线性模型中，因此他们在模型的定义、计算方法等许多方面都非常近似，下面大家很快就会看到。
这里spovl是模型中的因变量，根据回归模型的要求，它必须是正态分布的变量才可以，我们可以用直方图来大致看一下，可以看到根本服从正态，因此不再检验其正态性，继续往下做。
在菜单中选择Regression==>liner，系统弹出线性回归对话框如下：除了大家熟悉的容以外，里面还出现了一些特色菜，让我们来一一品尝。
【Dependent框】用于选入回归分析的应变量。
【Block按钮组】由Previous和Next两个按钮组成，用于将下面Independent框中选入的自变量分组。
由于多元回归分析中自变量的选入方式有前进、后退、逐步等方法，如果对不同的自变量选入的方法不同，那么用该按钮组将自变量分组选入即可。
下面的例子会讲解其用法。
【Independent框】用于选入回归分析的自变量。
【Method下拉列表】用于选择对自变量的选入方法，有Enter〔强行进入法〕、Stepwise〔逐步法〕、Remove〔强制剔除法〕、Backward〔向后法〕、Forward〔向前法〕五种。
回归与拟合分析
多元回归模型的标准差（中误差）
ˆ V TV
yi yˆi 2
n m 1
n m 1
1.5 线性回归模型的拟合优度
拟合优度：样本观测值聚集在样本回归线周围的紧
密程度。常用指标是复相关系数 R2
定义：
总离差平方和
n
S总 yi y 2
i 1
原假设：因变量与自变量之间不存在线性关系，则模型中的 为零
向量，即 H0 : 1 0, 2 0, , m 0
备选假设： i 不全为零
1.6 总体回归模型的显著性检验
检验统计量
n
F S残
S回 m
n m 1
yˆi y 2 m
i 1 n
ε 1,2, ,n T
β 0 1 2 m T
1 x11 x12 A 1 x21 x22
1 xn1 xn2
x1m
x2
m
xnm
1.3 线性回归模型建立过程
回归分析模型建立的过程
根据实际研究问题设置目标变量 收集整理统计数据 构造回归模型 对模型参数进行估计 对回归方程和回归系数进行假设检验 回归模型的应用
p t t 2,1,nm1 H0
若上式成立，即可认为回归系数 xi 在 1置信水 平下是显著的。
1.7 回归系数显著性检验—F检验
偏回归平方和：在回归分析中，去掉一个自变量使回归平 方和减少的部分，也可理解为添入一个自变量使回归平方 和增加的部分。可以证明，其为：
化工计算机数据与图形处理PPT-13曲线拟合
讨厌的紫箭头，虽然copy到 word里会消除掉。 消 除 办 法 ： Analysis-FittingFit Linear-Open dialog， Recalculate选None
6.1线性拟合
1. 线性拟合（Fit Linear） 单独拟合：1)画出散点图后，在图 形窗口下，先选中要拟合的列的数
摘要信息显示，整合了斜率、截距 和相关系数等主要信息。 6）ANOVA
显示方差分析的结果。
Linear Fit对话框设置
• 拟合结果分析报表 7）Fitted Curves Plot 显示拟合结果缩略图。 8）Residual vs. Independent Plot 实验值与估计值的残差图。显示其他图表可以再Re
置信度。
Linear Fit对话框设置
8）Find Specific X/Y 设置是否产生一个表格，显示在Y列或X列中寻找另一
列对应的数据。（输出位置在Output Result 中设置） 9）Residual Plots
用于输出各残差分析图。
Linear Fit对话框设置
• 关于分析报表 分析报表（Analysis Report Sheets）较之旧版本，
1
主要的控制按钮以及下部的
2
一组信息显示标签。
3
• NLFit对话框设置
对话框上部的一组标签，主要用来设置拟合的参数。
1）Setting标签：包括4个子项。
A、Function：包括Category（函数所属种类）、Functi on（具体的函数）、Description（函数描述）和File Name （函数来源和名称）。
x)
A2 x
A2 1
x
回归分析方法及其应用中的例子
回归分析方法及其应用中的例子回归分析是一种统计分析方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
它可以通过建立一个数学模型来描述自变量与因变量之间的函数关系，并根据已有的数据对模型进行估计、预测和推断。
回归分析可以帮助我们了解变量之间的相关性、预测未来的结果以及找出主要影响因素等。
在实际应用中，回归分析有许多种方法和技术，下面将介绍其中的几种常见方法及其应用的例子。
1.简单线性回归：简单线性回归是一种最基本的回归分析方法，用于研究两个变量之间的关系。
它的数学模型可以表示为y=β0+β1x，其中y是因变量，x是自变量，β0和β1是常数。
简单线性回归可以用于预测一个变量对另一个变量的影响，例如预测销售额对广告投入的影响。
2.多元线性回归：多元线性回归是在简单线性回归的基础上引入多个自变量的模型。
它可以用于分析多个因素对一个因变量的影响，并以此预测因变量的取值。
例如，可以使用多元线性回归分析房屋价格与大小、位置、年龄等因素之间的关系。
3.逻辑回归：逻辑回归是一种用于预测二元结果的回归方法。
它可以将自变量与因变量之间的关系转化为一个概率模型，用于预测一些事件发生的概率。
逻辑回归常常应用于生物医学研究中，如预测疾病的发生概率或患者的生存率等。
4.多项式回归：多项式回归是一种使用多项式函数来拟合数据的方法。
它可以用于解决非线性关系的回归问题，例如拟合二次曲线或曲线拟合。
多项式回归可以应用于多个领域，如工程学中的曲线拟合、经济学中的生产函数拟合等。
5.线性混合效应模型：线性混合效应模型是一种用于分析包含随机效应的回归模型。
它可以同时考虑个体之间和个体内的变异，并在模型中引入随机效应来解释这种变异。
线性混合效应模型常被用于分析面板数据、重复测量数据等，例如研究不同学生在不同学校的学习成绩。
以上只是回归分析的一些常见方法及其应用的例子，实际上回归分析方法和应用还有很多其他的变种和扩展，可以根据具体问题和数据的特点选择适合的回归模型。
r语言 曲线拟合方法 loss
r语言曲线拟合方法 loss 在R 语言中进行曲线拟合时，通常使用一种损失函数（loss function）来衡量模型的拟合程度。
损失函数是一个衡量模型预测值与实际观测值之间差异的函数。
常见的损失函数有平方损失函数、绝对损失函数等，选择不同的损失函数会对模型的拟合产生影响。
以下是一些 R 语言中进行曲线拟合时常用的方法和相关损失函数：1. 线性拟合：使用 lm 函数进行线性回归，损失函数为平方损失函数。
model <- lm(y ~ x, data = your_data)2. 多项式拟合：使用poly 函数进行多项式回归，损失函数同样是平方损失函数。
model <- lm(y ~ poly(x, degree), data = your_data)3. 非线性拟合：使用 nls 函数进行非线性拟合，可以自定义损失函数。
model <- nls(y ~ formula, data = your_data, start = list(parameters), algorithm = "algorithm_name")4. Loess 拟合：使用 loess 函数进行局部加权散点平滑拟合，损失函数是加权的平方损失函数。
model <- loess(y ~ x, data = your_data, span = smoothing_parameter)5. GAM（广义可加模型）：使用 gam 函数进行广义可加模型拟合，可以自定义平滑函数和损失函数。
library(mgcv)model <- gam(y ~ s(x), data = your_data)在这些例子中，损失函数通常是最小化残差平方和，但对于非线性拟合，你可以根据问题选择适当的损失函数。
nls 函数允许你自定义损失函数，以满足特定的建模需求。
要了解更多有关这些函数的详细信息，建议查阅相关的 R 语言文档。
物理学实验中的常用数学模型与拟合方法
物理学实验中的常用数学模型与拟合方法物理学实验是研究物质和能量之间相互作用规律的重要手段，通过实验可以得到大量数据。
然而，这些数据往往需要通过数学模型进行处理与分析，以便进行更深入的研究与理解。
在物理学实验中，常用的数学模型与拟合方法有以下几种。
一、直线模型与线性回归分析直线模型是物理学实验中最简单也是最常见的数学模型之一。
在许多实验中，通过实验测量得到的数据呈现一条直线趋势。
这时，我们可以运用线性回归分析的方法，通过最小二乘法拟合出一条最佳拟合直线，以描述实验数据的整体分布趋势。
线性回归模型的方程通常采用y = kx + b的形式，其中k为斜率，表示物理量之间的线性关系；b 为截距，表示直线与y轴的交点。
二、二次曲线模型与曲线拟合在某些实验中，通过实验测量得到的数据并不呈现直线趋势，而更接近于二次曲线。
这时，我们可以运用二次曲线模型进行拟合，以更准确地揭示实验数据的规律。
常见的二次曲线模型方程为y = ax^2 + bx + c，其中a，b和c是拟合参数，代表二次曲线的形状。
三、指数模型与指数拟合指数模型在物理实验中也经常出现，特别是在描述物理过程中的指数衰减或增长现象时。
通过使用指数模型进行有效的数据拟合，可以帮助我们了解物理现象的变化规律。
指数模型的方程通常为y = ae^(bx)，其中a和b为拟合参数，e为自然对数的底。
四、对数模型与对数拟合某些实验中，由于物理量之间的关系比较复杂，不适合使用线性、二次曲线或指数模型进行拟合。
这时，对数模型就成为一种有效的选择。
对数模型可以将非线性关系转化为线性关系，从而通过最小二乘法进行拟合。
对数模型的方程通常为y = a + b * ln(x)，其中a和b为拟合参数，ln表示自然对数函数。
五、幂函数模型与幂函数拟合幂函数模型在描述某些物理现象时较为常见，如电阻与电流之间的关系、速度与时间之间的关系等。
幂函数模型的方程通常为y = ax^b，其中a和b为拟合参数。
曲线拟合问题讲解
曲线拟合问题摘要本文首先对给定数据根据不同要求进行多次直线拟合，分别求得使所拟直线预期值的偏差平方和、绝对偏差总和和最大偏差最小的三类拟合直线，然后再求得二次曲线条件下满足三类要求的二次拟合曲线，最后运用其他曲线对给定数据进行拟合，得到吻合度最高的曲线。
针对问题一，构建线性回归方程，运用最小二乘法及lingo软件使得目标函数预期值的即拟合偏差平方和达到最小，从而得到拟合曲线^0.80310480.0123077iy x-=。
针对问题二，构建给定数据的线性回归方程，使得目标函数即预期值的绝对偏差综合最小，但由于绝对偏差较难处理，采用转化的思想将对绝对偏差的求解转化为对偏差平方和开方的求解，从而得到拟合曲线^0.650.575iy x=+。
针对问题三，构建给定数据的线性回归方程，运用lingo软件使得目标函数即预期值的最大偏差最小，从而得到拟合曲线^1.13 1.879iy x=-。
针对问题四，构建给定数据的二次方程，运用lingo软件分别求得三类不同条件下的最优拟合曲线，偏差平方和达到最小：^210.097030110.138534 1.425301i iy x x-=+，绝对偏差总和达到最小：^210.041481480.27111111i iy x x+=+，观测值与预测值最大偏差为最小：^210.025568180.76590910.6923295i iy x x-=+。
针对问题五，本文做出给定数据散点图，构建不同曲线类型进行拟合，得到2R即吻合度最高的曲线类型，运用Matlab软件求得该曲线类型的方程。
本文的特色在于利用图标直观表达拟合曲线，增强文章可靠性及真实性，并构建不同的曲线类型，得到吻合度最高的拟合曲线。
关键词：曲线拟合、线性回归、lingo1．问题的重述已知一个量y 依赖于另一个量x ，现收集有数据如下：（1）求拟合以上数据的直线a bx y +=。
目标为使y 的各个观察值同按直线关系所预期的值的偏差平方和为最小。
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对照一级反应动力学的积分式：
c= cA0e-kt
说明我们所作的结果，事实上证明了这个液相反应是一级反应，
a 相 当 于 反 应 物 A 的 初 始 浓 度 c A 0可。编辑bp相pt 当 于 反 应 速 率 常 数 k 。
15
从散点图中看出，这些点虽然散乱，但大体上散布 在某直线的周围，也就是说，拉伸倍数与强度之间 大致成线性关系。其关系可用下式表示：
Y=a+bx Y是y的计算值，与实际值不完全相同。 Y与x之间不具有确定的函数关系，而是相关关系。 确定回归方程Y=a+bx中的回归系数a、b。 y随x增大，称为正相关； y随x减小，称为负相关。
Ⅲ 、 再 选 用 y=axb 型 作 试 探 ， 将 此 曲 线 变 直
y = ln c A 算得：
x = ln t
lncA ~lnt 的 数 表
Lnt
0.693
1.61
2.08
2.84
2.64
lncA
-0.053 -1.09
-2.07 -0.289 -0.375
2.83 -0.446
3.296 -0.707
求回归方程的方法，通常是用最小二乘法，其基本思想 就是从并不完全成一条直线的各点中用数理统计的方法 找出一条直线，使各数据点到该直线的距离的总和相对 其他任何线来说最小，即各点到回归线的差分和为最小， 简称最小二乘法。
可编辑ppt
2
6.1 散点图
要研究两个变量之间是否存在相关
关系，自然要先作实验，拥有一批实验
数据，然后，作散点图，以便直观地观
察两个变量之间的关系。
合成纤维强度与拉伸倍数的关系， 24组实验。
可编辑ppt
3
某合成纤维拉伸倍数和强度的关系
编号 拉伸倍数
x
1
1.9
2
2
3
2.1
4
2.5
5
2.7
6
2.7
7
3.5
8
3.5
9
4
10
4
11
4.5
12
4.6
强度 y
kgf/cm2 1.4 1.3 1.8 2.5 2.8 2.5 3 2.7 4 3.5 4.2 3.5
第6章 线性回归与曲线拟合
可编辑ppt
1
线性回归
y与x之间是一种相关关系，即当自变量x变化时，因变 量y大体按某规律变化，两者之间的关系不能直观地看出 来，需要用统计学的办法加以确定，回归分析就是研究 随机现象中变量间关系的一种数理统计方法，相关关系 存在着某种程度的不确定性。 身高与体重；矿物中A组 分含量与B组分含量间的关系；分析化学制备标准工作曲 线，浓度与吸光度间的关系。
y=1/cA x=t 算得 1/cA 为：
1/cA~ t 数表
T
2
5
8
11
14
1/cA
1.005 1.018
1.28
1.335 1.445
17 1.568
27 2.028
31 2.273
35 2.507
1/c
1/c， t 关系图
3 2.5
2 1.5
1 0.5
0
0
10
20
30
40
t
系列1
可编辑ppt
13
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8
6.3 曲线拟合
在化工实验数据处理中，我们经常会遇到 这样的问题，即已知两个变量之间存在着函数 关系，但是，不能从理论上推出公式的形式， 要我们建立一个经验公式来表达这两个变量之 间的函数关系。
二元溶液的溶解热与浓度的函数关系 反应物的浓度与反应时间的函数关系 做散点图，选经验方程，曲线变直，相关
Ⅰ、首先将实验数据t~cA作图，图像表明，这是一条曲线，不是y=a+bx 型直线，因此，对照样板曲线重新选型。
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11
c（mol/L）
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 0
c, t关系图
10
20
30
40
t（min）
系列1
可编辑ppt
12
Ⅱ、选 y 1 型试探，将曲线变直，这时
ax b
3.434 -0.821
3.555 -0.939
l nc
0 -0.2 0 -0.4 -0.6 -0.8
-1
lnc， lnt 关 系 图
1
2
3
4
lnt
系列1
作 lnc ~lnt 的 图 ，发 现 原 来 的 曲 线 不 但 没 变 直 ，反 而 更 加 弯 曲 了 。说 明 这 个类型的经验公式更不适合了。
肉眼判断，杂乱无章，不存在直线关系。
可编辑ppt
6
强度y
10 8 6 4 2 0
0
5
10
拉伸倍数x
可编辑ppt
15
7
6.2 回归方程的相关系数
因变量y与自变量x之间是否存在相关关系，在 求回归方程的过程中并不能回答，因为对任何 无规律的试验点，均可配出一条线，使该线离 各点的误差最小。为检查所配出的回归方程有 无实际意义，可以用相关关系，或称相关系数 检验法。
可编辑ppt
14
Ⅳ 、 又 重 新 选 型 ， 选 用 y=aebx 型 ， 再 试 探
y= lncA
x=t
lnc， t 关 系 图
ln c
0 -0.2 0 -0.4 -0.6 -0.8
-1
10
20
30
40
t
系列1
作 t ~lncA 的 图 ， 作出图来，是一条很好的直线，说明这组实验数据，服从
cA=aebt 型 经 验 方 程 。
编号 拉伸倍数
x
13
5
14
5.2
15
6
16
6.3Biblioteka 176.518
7.1
19
8
20
8
21
8.9
22
9
23
9.5
24
10
强度 y
kgf/cm2 5.5 5 5.5 6.4 6 5.3 6.5 7 8.5 8 8.1 8.1
可编辑ppt
4
强度y
10 8 6 4 2 0 0
5
10
拉伸倍数x
可编辑ppt
15
5
系数对比，求出常数
可编辑ppt
10
在某液相反应中，不同时间下测的某组成的浓度见下表，
试作出其经验方程。
浓度随时间的变化关系
时间 2
5
8 11 14 17 27 31
t(min)
浓度cA 0.948 0.879 0.813 0.749 0.687 0.640 0.493 0.440 (mol/L)
35 0.391