非线性回归分析(常见曲线及方程)
曲线回归
x
(四) 双曲关系曲线
x ˆ y a bx
a bx ˆ y x 1 ˆ y a bx
y
y
1 b
a>0,b<0
a>0,b>0
0
x
0
a b
x
(五) S型曲线
最著名的曲线是Logistic生长曲线，它最早由比 利时数学家P.F.Vehulst于1838年导出，但直至20世 纪20年代才被生物学家及统计学家R.Pearl和 L.J.Reed重新发现，并逐渐被人们所发现。目前它已 广泛应用于多领域的模拟研究。
x 3.37 4.12 4.87 5.62 6.37 7.12 y 349 374 388 395 401 397
7.87
384
从散点图看。呈单峰趋势，没有明显的凹凸变化，故 预期可用二次式配合。
1 3.37 11.3569 1 4.12 16.9744 X 1 7.87 61.9369
至此即获得了二元线性回归方程：
ˆ 2 165.03532698 y 74.89269841 x1 5.96825397 x2
二、多项式回归的假设检验
（一）多项式回归关系的假设检验
（三）各次分量项的假设检验源自 ae4.5948
98.965
0.39833 x ˆ y 98.965e
二、幂函数曲线方程的配置
ˆ ax y
当x、y都大于0时，
b
ˆ ln a b ln x ln y
ˆ , x ln x 令y ln y
y ln a bx
如果：
ryx
SPyx SS y SS X
ˆ a b1 x b2 x y
非线性回归分析的入门知识
非线性回归分析的入门知识在统计学和机器学习领域，回归分析是一种重要的数据分析方法，用于研究自变量和因变量之间的关系。
在实际问题中，很多情况下自变量和因变量之间的关系并不是简单的线性关系，而是呈现出一种复杂的非线性关系。
因此，非线性回归分析就应运而生，用于描述和预测这种非线性关系。
本文将介绍非线性回归分析的入门知识，包括非线性回归模型的基本概念、常见的非线性回归模型以及参数估计方法等内容。
一、非线性回归模型的基本概念在回归分析中，线性回归模型是最简单和最常用的模型之一，其数学表达式为：$$Y = \beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2 + ... + \beta_pX_p +\varepsilon$$其中，$Y$表示因变量，$X_1, X_2, ..., X_p$表示自变量，$\beta_0, \beta_1, \beta_2, ..., \beta_p$表示模型的参数，$\varepsilon$表示误差项。
线性回归模型的关键特点是因变量$Y$与自变量$X$之间呈线性关系。
而非线性回归模型则允许因变量$Y$与自变量$X$之间呈现非线性关系，其数学表达式可以是各种形式的非线性函数，例如指数函数、对数函数、多项式函数等。
一般来说，非线性回归模型可以表示为：$$Y = f(X, \beta) + \varepsilon$$其中，$f(X, \beta)$表示非线性函数，$\beta$表示模型的参数。
非线性回归模型的关键在于确定合适的非线性函数形式$f(X,\beta)$以及估计参数$\beta$。
二、常见的非线性回归模型1. 多项式回归模型多项式回归模型是一种简单且常见的非线性回归模型，其形式为： $$Y = \beta_0 + \beta_1X + \beta_2X^2 + ... + \beta_nX^n +\varepsilon$$其中，$X^2, X^3, ..., X^n$表示自变量$X$的高次项，$\beta_0, \beta_1, \beta_2, ..., \beta_n$表示模型的参数。
非线性回归分析常见模型
非线性回归常见模型一．基本内容模型一xc e c y 21=，其中21,c c 为常数.将xc ec y 21=两边取对数，得x c c e c y xc 211ln )ln(ln 2+==，令21,ln ,ln c b c a y z ===，从而得到z 与x 的线性经验回归方程a bx z +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.模型二221c x c y +=，其中21,c c 为常数.令a c b c x t ===212,,，则变换后得到y 与t 的线性经验回归方程a bt y +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.模型三21c x c y +=，其中21,c c 为常数.a cbc x t ===21,,，则变换后得到y 与t 的线性经验回归方程a bt y +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.模型四反比例函数模型：1y a b x=+令xt 1=，则变换后得到y 与t 的线性经验回归方程a bt y +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.模型五三角函数模型：sin y a b x=+令x t sin =，则变换后得到y 与t 的线性经验回归方程a bt y +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.二．例题分析例1．用模型e kx y a =拟合一组数据组()(),1,2,,7i i x y i =⋅⋅⋅，其中1277x x x ++⋅⋅⋅+=；设ln z y =，得变换后的线性回归方程为ˆ4zx =+，则127y y y ⋅⋅⋅=（）A．70e B．70C．35e D．35【解析】因为1277x x x ++⋅⋅⋅+=，所以1x =，45z x =+=，即()127127ln ...ln ln ...ln 577y y y y y y +++==，所以35127e y y y ⋅⋅⋅=.故选：C例2．一只红铃虫产卵数y 和温度x 有关，现测得一组数据()(),1,2,,10i i x y i =⋅⋅⋅，可用模型21e c x y c =拟合，设ln z y =，其变换后的线性回归方程为4zbx =- ，若1210300x x x ++⋅⋅⋅+=，501210e y y y ⋅⋅⋅=，e 为自然常数，则12c c =________.【解析】21e c x y c =经过ln z y =变换后，得到21ln ln z y c x c ==+，根据题意1ln 4c =-，故41e c -=，又1210300x x x ++⋅⋅⋅+=，故30x =，5012101210e ln ln ln 50y y y y y y ⋅⋅⋅=⇒++⋅⋅⋅+=，故5z =，于是回归方程为4zbx =- 一定经过(30,5)，故ˆ3045b -=，解得ˆ0.3b =，即20.3c =，于是12c c =40.3e -.故答案为：40.3e -.该景点为了预测2023年的旅游人数，建立了模型①：由最小二乘法公式求得的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图.。
计量经济学_詹姆斯斯托克_第8章_非线性的回归模型
Ln(TestScore) = 6.336 + 0.0554 ln(Incomei) (0.006) (0.0021)
假设 Income 从$10,000 增加到$11,000（或者 10%）。
则 TestScore 增加大约 0.0554 10% = 0.554%。
如果 TestScore = 650, 意味着测试成绩预计会增加
非线性的回归模型
非线性的回归函数
“非线性”的含义：
（1）非线性的函数 自变量与解释变量之间的非线性
函 数形式。
（2）非线性的回归 参数与随机项的非线性形式。
非线性的回归函数
一、多项式回归 二、对数回归 三、自变量的交互作用 四、其他非线性形式的回归 五*、非线性回归（参数非线性）
一、多项式回归
1、指数函数曲线
指数函数方程有两种形式：
yˆ aebx yˆ abx
y a＞0，b＞0
a＞0，b＜0
x
图11.1方yˆ 程 aebx 的图象
二、对数函数曲线
对数函数方程的一般表达式为：
yˆ a b ln x
y
b＞0
b＜0
x
图11.2 方程yˆ =a+blnx 的图象
（2）根据拟合程度的好坏来确定（如，利用spss 的相关功能） 在社会科学领域里，阶数不会太高！
一、多项式回归
形式： Y 0 1X 2 X 2 ...r X r u
（2）多项式的本质 泰勒展开
一、多项式回归
形式： Y 0 1X 2 X 2 ...r X r u
Y——收入； D1——性别（1——男；0——女） D2——学历（1——大学学历；0——没有）
《非线性回归》课件
灵活性高
非线性回归模型形式多样，可以根据 实际数据和问题选择合适的模型，能 够更好地适应数据变化。
解释性强
非线性回归模型可以提供直观和易于 理解的解释结果，有助于更好地理解 数据和现象。
预测准确
非线性回归模型在某些情况下可以提 供更准确的预测结果，尤其是在数据 存在非线性关系的情况下。
缺点
模型选择主观性
势。
政策制定依据
政府和决策者可以利用非线性回归模型来评估不同政策方案的影响，从而制定更符合实 际情况的政策。例如，通过分析税收政策和经济增长之间的关系，可以制定更合理的税
收政策。
生物学领域
生态学研究
在生态学研究中，非线性回归模型被广 泛应用于分析物种数量变化、种群动态 和生态系统稳定性等方面。通过建立非 线性回归模型，可以揭示生态系统中物 种之间的相互作用和环境因素对种群变 化的影响。
模型诊断与检验
诊断图
通过绘制诊断图，可以直观地观察模型是否满足回归分析的假设条件，如线性关系、误差同方差性等 。
显著性检验
通过显著性检验，如F检验、t检验等，可以检验模型中各个参数的显著性水平，从而判断模型是否具 有统计意义。
04
非线性回归在实践中的应用
经济学领域
描述经济现象
非线性回归模型可以用来描述和解释经济现象，例如消费行为、投资回报、经济增长等 。通过建立非线性回归模型，可以分析影响经济指标的各种因素，并预测未来的发展趋
VS
生物医学研究
在生物医学研究中，非线性回归模型被用 于分析药物疗效、疾病传播和生理过程等 方面。例如，通过分析药物浓度与治疗效 果之间的关系，可以制定更有效的治疗方 案。
医学领域
流行病学研究
在流行病学研究中，非线性回归模型被用于 分析疾病发病率和死亡率与各种因素之间的 关系。通过建立非线性回归模型，可以揭示 环境因素、生活方式和遗传因素对健康的影 响。
非线性回归分析(常见曲线与方程)
非线性回归分析回归分析中，当研究的因果关系只涉及因变量和一个自变量时，叫做一元回归分析；当研究的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时，叫做多元回归分析。
此外，回归分析中，又依据描述自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析。
通常线性回归分析法是最基本的分析方法，遇到非线性回归问题可以借助数学手段化为线性回归问题处理两个现象变量之间的相关关系并非线性关系，而呈现某种非线性的曲线关系，如：双曲线、二次曲线、三次曲线、幂函数曲线、指数函数曲线(Gompertz)、S型曲线(Logistic)对数曲线、指数曲线等，以这些变量之间的曲线相关关系，拟合相应的回归曲线，建立非线性回归方程，进行回归分析称为非线性回归分析常见非线性规划曲线1.双曲线1b a yx2.二次曲线3.三次曲线4.幂函数曲线5.指数函数曲线(Gompertz)6.倒指数曲线y=ab/xe其中a>0，7.S型曲线(Logistic) y1 abex8.对数曲线y=a+blogx,x>0bx9.指数曲线y=ae其中参数a>01．回归：（1）确定回归系数的命令[beta，r，J]=nlinfit（x,y,’model’,beta0）（2）非线性回归命令：nlintool（x，y，’model’,beta0，alpha）2．预测和预测误差估计：[Y，DELTA]=nlpredci（’model’,x，beta，r，J）求nlinfit或lintool所得的回归函数在x处的预测值Y及预测值的显著性水平为1-alpha的置信区间Y，DELTA.例2观测物体降落的距离s与时间t的关系，得到数据如下表，求s关于t的回归方程s?a btct2.t(s)1/302/303/304/305/306/307/30s(cm)11.8615.6720.6026.6933.7141.9351.13t(s)8/309/3010/3011/3012/3013/3014/30s(cm)61.4972.9085.4499.08113.77129.54146.48解：b/x，建立M文件volum.m如下：e1.对将要拟合的非线性模型y=afunctionyhat=volum(beta,x)yhat=beta(1)*exp(beta(2)./x);2．输入数据：x=2:16;y=[6.428.209.589.59.7109.939.9910.4910.5910.6010.8010.6010.9010.76];beta0=[82]';3．求回归系数：[beta,r,J]=nlinfit(x',y','volum',beta0)；beta2.y11.6036ex即得回归模型为：4．预测及作图：[YY,delta]=nlpredci('volum',x',beta,r,J)；plot(x,y,'k+',x,YY,'r')2．非线性函数的线性化曲线方程曲线图形变换公式变换后的线性函数b y＝ax c＝lnavlnx＝u＝ylnu＝cbvbx y＝ae c＝alnu＝ylnu＝cbvc＝alny＝a1bvxxeu＝ylnu＝cbvy＝abxvlnxln＝＝u＝abvuy。
非线性回归分析与曲线拟合方法
非线性回归分析与曲线拟合方法回归分析是一种常见的统计分析方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
在实际应用中，很多数据并不符合线性关系，而是呈现出曲线形式。
这时，我们就需要使用非线性回归分析和曲线拟合方法来更好地描述数据的规律。
一、非线性回归分析的基本原理非线性回归分析是一种通过拟合非线性方程来描述自变量与因变量之间关系的方法。
与线性回归不同，非线性回归可以更准确地反映数据的特点。
在非线性回归分析中，我们需要选择适当的非线性模型，并利用最小二乘法来估计模型的参数。
二、常见的非线性回归模型1. 多项式回归模型：多项式回归是一种常见的非线性回归模型，它通过多项式方程来拟合数据。
多项式回归模型可以描述数据的曲线特征，但容易出现过拟合问题。
2. 指数回归模型：指数回归模型适用于自变量与因变量呈指数关系的情况。
指数回归模型可以描述数据的增长或衰减趋势，常用于描述生物学、物理学等领域的数据。
3. 对数回归模型：对数回归模型适用于自变量与因变量呈对数关系的情况。
对数回归模型可以描述数据的增长速度，常用于描述经济学、金融学等领域的数据。
4. S形曲线模型：S形曲线模型适用于自变量与因变量呈S形关系的情况。
S形曲线模型可以描述数据的增长或衰减过程，常用于描述市场营销、人口增长等领域的数据。
三、曲线拟合方法曲线拟合是一种通过选择合适的曲线形状来拟合数据的方法。
在曲线拟合过程中，我们需要根据数据的特点选择适当的拟合方法。
1. 最小二乘法：最小二乘法是一种常用的曲线拟合方法，通过最小化观测值与拟合值之间的残差平方和来确定拟合曲线的参数。
2. 非线性最小二乘法：非线性最小二乘法是一种用于拟合非线性模型的方法，它通过最小化观测值与拟合值之间的残差平方和来确定模型的参数。
3. 曲线拟合软件：除了手动选择拟合方法，我们还可以使用曲线拟合软件来自动拟合数据。
常见的曲线拟合软件包括MATLAB、Python的SciPy库等。
四、应用实例非线性回归分析和曲线拟合方法在实际应用中有着广泛的应用。
非线性回归分析常见曲线及方程)
非线性回归分析回归分析中，当研究的因果关系只涉及因变量和一个自变量时，叫做一元回归分析；当研究的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时，叫做多元回归分析。
此外，回归分析中，又依据描述自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析。
通常线性回归分析法是最基本的分析方法，遇到非线性回归问题可以借助数学手段化为线性回归问题处理 两个现象变量之间的相关关系并非线性关系，而呈现某种非线性的曲线关系，如：双曲线、二次曲线、三次曲线、幂函数曲线、指数函数曲线(Gompertz)、S 型曲线(Logistic) 对数曲线、指数曲线等，以这些变量之间的曲线相关关系，拟合相应的 回归曲线，建立非线性回归方程，进行回归分析称为非线性回归分析常见非线性规划曲线1. 双曲线1b a y x =+2.二次曲线 3.三次曲线 4.幂函数曲线 5.指数函数曲线(Gompertz) 6.倒指数曲线y=a /e b x 其中a>0， 7.S 型曲线(Logistic) 1e x y a b -=+ 8.对数曲线 y=a+b log x,x >0 9. 指数曲线y =a e bx 其中参数a >01．回归：（1）确定回归系数的命令[beta ，r ，J]=nlinfit （x,y,’model’,beta0）（2）非线性回归命令：nlintool （x ，y ，’model’, beta0，alpha ）2．预测和预测误差估计：[Y ，DELTA]=nlpredci （’model’, x，beta ，r ，J ）求nlinfit 或lintool 所得的回归函数在x 处的预测值Y 及预测值的显著性水平为1-alpha 的置信区间Y ，DELTA.例2 观测物体降落的距离s 与时间t 的关系，得到数据如下表，求s关于t 的回归方程2ˆct bt a s++=. 解：1. 对将要拟合的非线性模型y=a /e b x ，建立M 文件volum.m 如下：function yhat=volum(beta,x)yhat=beta(1)*exp(beta(2)./x);2．输入数据：x=2:16;y=[6.42 8.20 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.5910.60 10.80 10.60 10.90 10.76];beta0=[8 2]';3．求回归系数：[beta,r ,J]=nlinfit(x',y','volum',beta0)； beta即得回归模型为：1.064111.6036e x y-=4．预测及作图：[YY,delta]=nlpredci('volum',x',beta,r ,J)； plot(x,y,'k+',x,YY,'r')2．非线性函数的线性化。
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非线性回归分析
回归分析中，当研究的因果关系只涉及因变量和一个自变量时，叫做一元回归分析；当研究的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时，叫做多元回归分析。
此外，回归分析中，又依据描述自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析。
通常线性回归分析法是最基本的分析方法，遇到非线性回归问题可以借助数学手段化为线性回归问题处理
两个现象变量之间的相关关系并非线性关系，而呈现某种非线性的曲线关系，如：双曲线、二次曲线、三次曲线、幂函数曲线、指数函数曲线(Gompertz)、S型曲线(Logistic) 对数曲线、指数曲线等，以这些变量之间的曲线相关关系，拟合相应的回归曲线，建立非线性回归方程，进行回归分析称为非线性回归分析
常见非线性规划曲线
1.双曲线1b
a
y x =+
2.二次曲线
3.三次曲线
4.幂函数曲线
5.指数函数曲线(Gompertz)
6.倒指数曲线y=a
/
e b x其中a>0，
7.S型曲线(Logistic)
1
e x y
a b-=
+
8.对数曲线y=a+b log x,x>0
9.指数曲线y=a e bx其中参数a>0
1．回归：
（1）确定回归系数的命令
[beta，r，J]=nlinfit（x,y,’model’,beta0）
（2）非线性回归命令：nlintool（x，y，’model’, beta0，alpha）
2．预测和预测误差估计：
[Y，DELTA]=nlpredci（’model’, x，beta，r，J）
求nlinfit 或lintool所得的回归函数在x处的预测值Y及预测值的显著性水平为1-alpha的置信区间Y，DELTA.
例2 观测物体降落的距离s与时间t的关系，得到数据如下表，求s
2
解：
1. 对将要拟合的非线性模型y=a/
e b x，建立M文件如下：
function yhat=volum(beta,x)
yhat=beta(1)*exp(beta(2)./x);
2．输入数据：
x=2:16;
y=[ 10
];
beta0=[8 2]';
3．求回归系数：
[beta,r ,J]=nlinfit(x',y','volum',beta0)； beta
即得回归模型为：
1.0641
11.6036e x y-
=
4．预测及作图：
[YY,delta]=nlpredci('volum',x',beta,r ,J)；
plot(x,y,'k+',x,YY,'r')
2．非线性函数的线性化
曲线方程
曲线图形
变换公式
变换后的线性函数
b
y ax
＝
ln ln ln c a v x u y
＝＝＝ u c bv +＝
bx
y ae
＝
ln ln c a u y
＝＝
u c bv +＝
b x
e y a
＝
1ln ln x c a v u y
=＝＝
u c bv +＝
ln y a b x +＝
ln v x u y
＝＝ u bv +＝a。