江苏高考附加题概率
江苏高考数学附加题卷例题及答案
B ．附加题部分三、附加题部分（本大题共6小题，其中第21～24题为选做题，请考生在第21～24题中任选2个小题作答，如果多做，则按所选做的前两题记分。
第25和第26题为必做题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）21．（本小题为选做题，满分10分） 如图，AB 是O 的直径，M 为圆上一点，ME AB ⊥，垂足为E ，点C 为O 上任一点，,AC EM 交于点D ，BC 交DE 于点F ． 求证：（1）AE ED FE EB =::；（2）2EM ED EF =⋅．22．（本小题为选做题，满分10分）已知点(,)P x y 是圆222x y y +=上的动点． （1）求2x y +的取值范围；（2）若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围．23．（本小题为选做题，满分10分）求使等式 2 4 2 0 1 03 50 10 -1M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦成立的矩阵M ．24．（本小题为选做题，满分10分）已知(0,)2x π∈，求函数2sin y x =+的最小值以及取最小值时所对应的x 值．25．（本小题为必做题，满分10分） 如图，直三棱柱111A B C ABC -中，12C C CB CA ===，AC CB ⊥. D E 、分别为棱111C C B C 、的中点.（1）求点E 到平面ADB 的距离； （2）求二面角1E A D B --的平面角的余弦值；（3）在线段AC 上是否存在一点F ，使得EF ⊥平面1A DB ？若存在，确定其位置；若不存在，说明理由.26．（本小题为必做题，满分10分）1,2,3,,9这9个自然数中，任取3个不同的在数．（1）求这3个数中至少有1个是偶数的概率； （2）求这3个数和为18的概率；（3）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ．B ．附加题部分 三、附加题部分：21．（选做题）（本小题满分10分） 证明：（1）∵MN AB ⊥，∴90B BFE D ∠=-∠=∠， ∴AED ∆∽FEB ∆，∴EB FE ED AE ：：=；（5分）（2）延长ME 与⊙O 交于点N ，由相交弦定理，得EM EN EA EB ⋅=⋅，且EM EN =， ∴2EM EA EB =⋅，由（1） ∴2EM ED EF =⋅。
江苏高考附加题数学知识点
江苏高考附加题数学知识点作为中国国内各省份高考中的一颗明珠，江苏高考备受广大考生和家长的关注。
江苏省高考数学试卷中附加题是考察学生对于数学知识理解的一个重要环节。
本文将对江苏高考附加题中涉及的数学知识点进行分析和解读，以帮助广大考生更好地备考。
一、初等数论初等数论是江苏高考附加题中经常出现的考察点之一。
其中包括整数的性质、整数的因数分解、最大公约数和最小公倍数等。
考生首先需要掌握素数与合数、奇数与偶数的特点，并能够灵活运用整数的有序性和整除性进行解题。
此外，还需要熟悉最大公约数和最小公倍数的计算方法以及相关的性质，例如辗转相除法和质数分解法等。
对于初等数论的掌握，既可以通过多做题来提高技巧，也可以通过深入理解数学原理来应对更复杂的情况。
二、坐标系与函数附加题中经常涉及到的另一个数学知识点是坐标系与函数。
考生需要熟悉直角坐标系的构造和基本性质，能够根据给定函数的表达式绘制函数图像，并理解各类函数的特点。
在解题过程中，还需要掌握函数的平移、伸缩和反转等变换方式的特点，以便做出准确的判断。
此外，对于带参数的函数或隐函数的解析，考生需要学会通过图像直观地理解其特点，从而找到解答问题的关键。
三、概率与统计学概率与统计学是江苏高考附加题中的另一个重要知识点。
考生需要掌握随机事件的概念、样本空间的构建以及事件的概率计算等基本内容。
在统计学方面，需要熟悉常用的统计指标如均值、中位数和众数等，以及频率分布图和累积分布图的绘制方法。
在解题过程中，考生还需要灵活运用条件概率、排列组合和概率分布等概念，以解决实际问题。
同时，了解基本的抽样调查和假设检验方法，能够应对更复杂的统计学问题。
四、向量与几何附加题中还经常涉及到向量与几何的知识点。
考生需要理解向量的基本概念和运算规则，能够求解向量的模、夹角和坐标。
在几何学方面，需要熟练掌握平面几何和空间几何中的基本定理和性质，例如三点共线、平行线与垂直线的判定等。
此外，对于曲线的参数方程以及空间曲线的类型和特点，考生也需要进行积极的学习和思考。
2021高考江苏版(理)数学一轮复习讲义： 附加题部分 第1章 第62课 离散型随机变量的均值与方差
第62课离散型随机变量的均值与方差[最新考纲]内容要求A B C离散型随机变量的均值与方差√1．离散型随机变量的均值与方差一般地，假设离散型随机变量X的概率分布为X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n(1)均值称E(X)＝μ＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)方差称V(X)＝σ2＝∑ni＝1(x i－E(X))2p i＝∑ni＝1x2i p i－μ2为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根σ＝V(X)为随机变量X的标准差．2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)V(aX＋b)＝a2V(X)．(a，b为常数)3．两点分布与二项分布的均值、方差(1)假设X服从两点分布，那么E(X)＝p，V(X)＝p(1－p)．(2)假设X～B(n，p)，那么E(X)＝np，V(X)＝np(1－p)．1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞) (1)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关．( ) (2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量．( )(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，那么偏离均值的平均程度越小. ( )(4)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，如果某运发动罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X 的均值是0.7.( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．(教材改编)X 的概率分布为设73 [E (X )＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13， 那么E (Y )＝2E (X )＋3＝3－23＝73.]3．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝15(k ＝2,4,6,8,10)，那么V (ξ)等于________．8 [∵E (ξ)＝15(2＋4＋6＋8＋10)＝6， ∴V (ξ)＝15[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.]4．(2021·四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，那么在2次试验中成功次数X 的均值是________．32 [同时抛掷两枚质地均匀的硬币，至少有一枚硬币正面向上的概率P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34. 又X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，34，∴成功次数X 的均值E (X )＝2×34＝32.]5．假设X ～B (n ，p )，且E (X )＝6，V (X )＝3，那么P (X ＝1)＝________. 31 024[∵E (X )＝np ＝6， V (X )＝np (1－p )＝3， ∴p ＝12，n ＝12，那么P (X ＝1)＝C 112×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1211＝3×2－10＝31 024.]离散型随机变量的均值、方差设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的时机均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的概率分布；(2)从该袋子中任取(每球取到的时机均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．假设Eη＝53，Dη＝59，求a ∶b ∶c . 【导学号：62172334】[解] (1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6. 故P (ξ＝2)＝3×36×6＝14，P (ξ＝3)＝2×3×26×6＝13，P (ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，P (ξ＝5)＝2×2×16×6＝19， P (ξ＝6)＝1×16×6＝136.所以ξ的概率分布为(2)由题意知η的概率分布为所以E (η)＝a a ＋b ＋c ＋2b a ＋b ＋c ＋3c a ＋b ＋c＝53，D (η)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－532·a a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－532·b a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－532·c a ＋b ＋c ＝59，化简得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0.解得a ＝3c ，b ＝2c ，故a ∶b ∶c ＝3∶2∶1.[规律方法] 1.求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进展计算．2．注意E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，V (aX ＋b )＝a 2V (X )的应用．[变式训练1] (2021·苏北四市摸底)某校有甲、乙两个兴趣小组，其中甲组有2名男生、3名女生，乙组有3名男生、1名女生，学校方案从两兴趣小组中随机各选2名成员参加某项活动．(1)求选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数；(2)记X 为选出的4名选手中女选手的人数，求X 的概率分布和数学期望．[解] (1)选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数为C 12·C 13·C 23＋C 13＝21种．(2)X 的可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝C23C25C24＝310×6＝120，P(X＝1)＝C12C13C23＋C13C25C24＝2×3×3＋310×6＝720，P(X＝3)＝C23C13C25C24＝3×310×6＝320，P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)＝9 20.X的概率分布为X 012 3P 120720920320E(X)＝0×120＋1×720＋2×920＋3×320＝1710.与二项分布有关的均值、方差某商场举行有奖促销活动，顾客购置一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，假设都是红球，那么获一等奖；假设只有1个红球，那么获二等奖；假设没有红球，那么不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)假设某顾客有3次抽奖时机，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的概率分布和数学期望及方差. 【导学号：62172335】[解](1)记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意知A1与A2相互独立，A1A2与A1A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A1A2＋A1A2，C＝B1＋B2.因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12， 所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝25×12＝15， P (B 2)＝P (A 1A 2＋A 1A 2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1A 2) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2) ＝P (A 1)(1－P (A 2))＋(1－P (A 1))P (A 2) ＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×12＝12. 故所求概率为P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝710.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，15. 于是P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫150⎝ ⎛⎭⎪⎫453＝64125， P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫151⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫152⎝ ⎛⎭⎪⎫451＝12125， P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫153⎝ ⎛⎭⎪⎫450＝1125. 故X 的概率分布为X 的数学期望为E (X )＝3×15＝35.随机变量X 的方差V (X )＝3×15⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＝1225.[规律方法]ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B (n ，p )，那么用公式E (ξ)＝np ，V (ξ)＝np (1－p )求解，可大大减少计算量．2．有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，此时，可以综合应用E (aξ＋b )＝aE (ξ)＋b 以及E (ξ)＝np 求出E (aξ＋b )．同样还可求出V (aξ＋b )．[变式训练2] 空气质量指数(Air Quality Index ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严重污染．一环保人士记录2021 年某地某月10天的AQI 的茎叶图如图62-1所示．图62-1(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI ≤100)的天数；(按这个月总共30天计算)(2)将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列、数学期望和方差．[解] (1)从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，故该样本中空气质量优良的频率为610＝35，从而估计该月空气质量优良的天数为30×35＝18. (2)由(1)估计某天空气质量优良的概率为35， ξ的所有可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253＝8125，P (ξ＝1)＝C 1335⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝36125，P (ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫35225＝54125，P (ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝27125.故ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P8125361255412527125显然ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，35，E (ξ)＝3×35＝1.8，随机变量ξ的方差V (ξ)＝3×35⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝1825.均值与方差在决策中的应用有甲、乙两种棉花，从中各抽取等量的样品进展质量检验，结果如下：X 甲 28 29 30 31 32 PX 乙 28 29 30 31 32 P花的质量．[解] 由题意，得E (X 甲)＝28×0.1＋29×0.15＋30×0.5＋31×0.15＋32×0.1＝30，E (X 乙)＝28×0.13＋29×0.17＋30×0.4＋31×0.17＋32×0.13＝30. 又V (X甲)＝(28－30)2×0.1＋(29－30)2×0.15＋(30－30)2×0.5＋(31－30)2×0.15＋(32－30)2×0.1＝1.1，V (X乙)＝(28－30)2×0.13＋(29－30)2×0.17＋(30－30)2×0.4＋(31－30)2×0.17＋(32－30)2×0.13＝1.38，所以E (X 甲)＝E (X 乙)，V (X 甲)＜V (X 乙)，故甲种棉花的质量较好． [规律方法] 1.依据均值与方差的定义、公式求出相应的均值与方差． 2．依据均值与方差的意义对实际问题作出决策或给出合理的解释．[变式训练3] (2021·扬州期末)某商场举办“迎新年摸球〞活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球、乙箱中有三个球(每个球的大小、形状完全一样)，每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球．假设摸中甲箱中的红球，那么可获奖金m 元，假设摸中乙箱中的红球，那么可获奖金n 元．活动规定：①参与者每个箱子只能摸一次，一次摸一个球；②可选择先摸甲箱，也可先摸乙箱；③如果在第一个箱子中摸到红球，那么可继续在第二个箱子中摸球，否那么活动终止.(1)如果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金n 元的概率；(2)假设要使得该参与者获奖金额的期望值较大，请你帮他设计摸箱子的顺序，并说明理由．[解] (1)设参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n 元为事件M . 那么P (M )＝13×34＝14，即参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n 元的概率为14.(2)参与者摸球的顺序有两种，分别讨论如下：①先在甲箱中摸球，参与者获奖金x 可取0，m ，m ＋n ， 那么P (x ＝0)＝34，P (x ＝m )＝14×23＝16，P (x ＝m ＋n )＝14×13＝112； E (X )＝0×34＋m ×16＋(m ＋n )×112＝m 4＋n12；②先在乙箱中摸球，参与者获奖金η可取0，n ，m ＋n ， 那么P (η＝0)＝23，P (η＝n )＝13 ×34＝14，P (η＝m ＋n )＝13×14＝112， E (η)＝0×23＋n ×14＋(m ＋n )×112＝m 12＋n3， E (X )－E (η)＝2m －3n12，当m n >32时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当m n ＝32时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当m n <32时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大． 即当m n >32时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当m n ＝32时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当m n <32时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大．[思想与方法] 1．均值与方差的性质(1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，V (aX ＋b )＝a 2V (X )(a ，b 为常数)． (2)假设X 服从两点分布，那么E (X )＝p ，V (X )＝p (1－p )．(3)假设X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )，那么E (X )＝np ，V (X )＝np (1－p )． 2．求离散型随机变量的均值与方差的根本方法(1)随机变量的概率分布求它的均值、方差，按定义求解．(2)随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解．(3)如果所给随机变量是服从二项分布，利用均值、方差公式求解．[易错与防范]1．理解均值E(X)易失误，均值E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X值的取值平均状态．2．注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，V(aX＋b)＝a2V(X)易错易混．3．对于应用问题，必须对实际问题进展具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进展分析，求出随机变量的概率分布，然后按定义计算出随机变量的均值、方差．课时分层训练(六)A组根底达标(建议用时：30分钟)1．某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者效劳，假设选出的男生人数为ξ，求ξ的方差．[解]依题意，随机变量ξ服从超几何分布，ξ可能的取值为1,2,3.P(ξ＝k)＝C k4C3－k2C36，k＝1,2,3.ξ的概率分布为E(ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.V (ξ)＝15×(1－2)2＋35×(2－2)2＋15×(3－2)2＝0.4.2．现有一游戏装置如图62-2，小球从最上方入口处投入，每次遇到黑色障碍物等可能地向左、右两边落下．游戏规那么为：假设小球最终落入A 槽，得10张奖票，假设落入B 槽，得5张奖票；假设落入C 槽，得重投一次的时机，但投球的总次数不超过3次．图62-2(1)求投球一次，小球落入B 槽的概率；(2)设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量X ，求X 的概率分布及均值.【导学号：62172336】[解] (1)由题意可知投一次小球，落入B 槽的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12.(2)落入A 槽的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，落入B 槽的概率为12， 落入C 槽的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.X 的所有可能取值为0,5,10， P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164，P (X ＝5)＝12＋14×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142×12＝2132.P (X ＝10)＝14＋14×14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142×14＝2164.所以X 的概率分布为X510E (X )＝0×164＋5×2132＋10×2164＝10516.3．(2021·南通二调)一个摸球游戏，规那么如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小一样、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k 倍的奖励(k ∈N ＋)，且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为X 元．(1)求概率P (X ＝0)的值；(2)为使收益X 的数学期望不小于0元，求k 的最小值．(注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！) 【导学号：62172337】 [解] (1)事件“X ＝0〞表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次〞，那么P (X ＝0)＝3×16×⎝ ⎛⎭⎪⎫562＝2572.(2)依题意，X 的可能值为k ，－1,1,0，且P (X ＝k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫163＝1216，P (X ＝－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫563＝125216，P (X ＝1)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫162×56＝572，P (X ＝0)＝2572，结合(1)知，参加游戏者的收益X 的数学期望为 E (X )＝k ×1216＋(－1)×125216＋1×572＝k －110216(元)．为使收益X 的数学期望不小于0元，所以k ≥110，即k min ＝110.4．(2021·山东高考)甲、乙两人组成“星队〞参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，那么“星队〞得3分；如果只有一人猜对，那么“星队〞得1分；如果两人都没猜对，那么“星队〞得0分．甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队〞参加两轮活动，求：(1)“星队〞至少猜对3个成语的概率；(2)“星队〞两轮得分之和X 的概率分布和数学期望E (X )． [解] (1)记事件A ：“甲第一轮猜对〞， 记事件B ：“乙第一轮猜对〞， 记事件C ：“甲第二轮猜对〞， 记事件D ：“乙第二轮猜对〞，记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语〞．由题意，E ＝ABCD ＋A BCD ＋A B CD ＋AB C D ＋ABC D ， 由事件的独立性与互斥性，P (E )＝P (ABCD )＋P (A BCD )＋P (A B CD )＋P (AB C D )＋P (ABC D )＝P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A)P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B)P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＝34×23×34×23＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫14×23×34×23＋34×13×34×23＝23， 所以“星队〞至少猜对3个成语的概率为23. (2)由题意，随机变量X 可能的取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性，得 P (X ＝0)＝14×13×14×13＝1144，P (X ＝1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×13×14×13＋14×23×14×13＝10144＝572，P (X ＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144， P (X ＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝112， P (X ＝4)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×23×34×13＋34×23×14×23＝60144＝512，P (X ＝6)＝34×23×34×23＝36144＝14. 可得随机变量X 的概率分布为所以数学期望E (X )＝0×1144＋1×572＋2×25144＋3×112＋4×512＋6×14＝236.B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2021·南京盐城二模)甲、乙两人投篮命中的概率分别为23与12，各自相互独立．现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．(1)求比赛完毕后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；(2)设ξ表示比赛完毕后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E (ξ)．[解] (1)比赛完毕后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况： 甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球． 所以比赛完毕后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率 P ＝C 1323⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫13C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝1136. (2)ξ的取值为0,1,2,3，所以ξ的概率分布列为所以数学期望E (ξ)＝0×724＋1×1124＋2×524＋3×124＝1.2．方案在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站．过去50年的水文资料显示，水库年入流量．．．．X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上．其中，缺乏80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多．．有1年的年入流量超过120的概率； (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：行，那么该台年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值到达最大，应安装发电机多少台？[解] (1)依题意，p 1＝P (40＜X ＜80)＝1050＝0.2，p 2＝P (80≤X ≤120)＝3550＝0.7，p 3＝P (X ＞120)＝550＝0.1.由二项分布知，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为 p ＝C 04(1－p 3)4＋C 14(1－p 3)3p 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9104＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫9103×⎝ ⎛⎭⎪⎫110＝0.947 7. (2)记水电站年总利润为Y (单位：万元)． ①安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y ＝5 000，E (Y )＝5 000×1＝5 000.②安装2台发电机的情形．依题意知，当40＜X ＜80时，一台发电机运行，此时Y ＝5 000－800＝4 200，因此P (Y ＝4 200)＝P (40＜X ＜80)＝p 1＝0.2；当X ≥80时，两台发电机运行，此时Y ＝5 000×2＝10 000，因此P (Y ＝10 000)＝P (X ≥80)＝p 2＋p 3Y 的分布列如下：所以，E (Y )＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝8 840. ③安装3台发电机的情形．依题意，当40＜X ＜80时，一台发电机运行，此时Y ＝5 000－1 600＝3 400，因此P (Y ＝3 400)＝P (40＜X ＜80)＝p 1＝0.2；当80≤X ≤120时，两台发电机运行，此时Y ＝5 000×2－800＝9 200，因此P (Y ＝9 200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当X ＞120时，三台发电机运行，此时Y ＝5 000×3＝15 000，因此P (Y ＝15 000)＝P (X ＞120)＝p 3＝0.1，由此得Y 的分布列如下：所以，E (Y )＝3 4008 620. 综上，欲使水电站年总利润的均值到达最大，应安装发电机2台． 3．(2021·南通模拟)一位网民在网上光临某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A ，B ，C 三种商品有购置意向．该网民购置A 种商品的概率为34，购置B 种商品的概率为23，购置C 种商品的概率为12.假设该网民是否购置这三种商品相互独立．(1)求该网民至少购置2种商品的概率；(2)用随机变量h 表示该网民购置商品的种数，求h 的概率分布和数学期望． [解] (1)记“该网民购置i 种商品〞为事件A i ，i ＝2,3，那么：P (A 3)＝34×23×12＝14，P (A 2)＝34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×12＝1124，所以该网民至少购置2种商品的概率为P (A 3)＋P (A 2)＝14＋1124＝1724. 该网民至少购置2种商品的概率为1724. (2)随机变量h 的可能取值为0,1,2,3， P (h ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝124，又P (h ＝2)＝P (A 2)＝1124，P (h ＝3)＝P (A 3)＝14，所以P (h ＝1)＝1－124－1124－14＝14.所以随机变量h 的概率分布为：故数学期望E (h )＝0×124＋1×14＋2×1124＋3×14＝2312.4．(2021·苏州市期中)某公司对新招聘的员工张某进展综合能力测式，共设置了A ，B ，C 三个测试工程．假定张某通过工程A 的概率为12，通过工程B ，C 的概率均为a (0<a <1)，且这三个测试工程能否通过相互独立．(1)用随机变量X 表示张某在测试中通过的工程个数，求X 的概率分布和数学期望E (X )(用a 表示)；(2)假设张某通过一个工程的概率最大，求实数a 的取值范围． [解] (1)随机变量X 的可能取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12C 02(1－a )2＝12(1－a )2；P (X ＝1)＝12C 02(1－a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12C 12a (1－a )＝12(1－a 2)；P (X ＝2)＝12C 12a (1－a )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12C 22a 2＝12(2a －a 2)； P (X ＝3)＝12C 22a 2＝12a 2. 从而X 的概率分布为X 的数学期望为E (X )＝0×12(1－a )2＋1×12(1－a 2)＋2×12(2a －a 2)＋3×a 22＝4a ＋12. (2)P (X ＝1)－P (X ＝0)＝12[(1－a 2)－(1－a )2]＝a (1－a )， P (X ＝1)－P (X ＝2)＝12[(1－a 2)－(2a －a 2)]＝1－2a 2， P (X ＝1)－P (X ＝3)＝12[(1－a 2)－a 2]＝1－2a 22.由⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a (1－a )≥0，1－2a2≥0，1－2a22≥0，得0<a ≤12，即a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.。
江苏省南京市金陵中学河西分校2016届高三附加题专项训练(概率分布、空间向量及综合) 含答案
附加题专项训练（二） 2015、10一、随机变量及其概率分布1、在某学校组织的一次蓝球定点投蓝训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分,在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投三次。
某同学在A处的命中率1q为0。
25，在B处的命中率为2q。
该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为()I求2q的值；()II求随机变量ξ的数学期量Eξ;()III试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小.2、某中学有4位学生申请A,B，C三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．（1）求恰有2人申请A大学的概率；（2）求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E（X）．ξ02345p0．031p2p3p4p3．一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分,反面向上得2分.(1）设抛掷5次的得分为ξ,求ξ的分布列和数学期望E ξ； （2）求恰好得到n *()n ∈N 分的概率．二、立体几何中的向量方法4、如图，在三棱锥ABC P -中，平面ABC ⊥平面APC ，2====PC AP BC AB ，︒=∠=∠90APC ABC 。
（1）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值；（2)若动点M 在底面三角形ABC 上，二面角M-PA-C 的余弦值为11113，求BM 的最小值.P5、在三棱锥S ABC-中，ABC∆是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA SC==M 、N分别为AB、SB的中点.（1)求二面角N CM B--的余弦值;（2）求点B 到平面CMN的距离.AMBSCN三、附加压轴题6、已知点(1,2)A 在抛物线L ：22ypx=上。
(1）若ABC ∆的三个顶点都在抛物线L 上，记三边AB ,BC ，CA 所在直线的斜率分别为1k ，2k ,3k ，求123111k k k -+的值；（2）若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线L 上,记四边AB ,BC ，CD ,DA 所在直线的斜率分别为1k ,2k ,3k ，4k ，求12341111k k k k -+-的值.7、已知函数0sin ()(0)x f x x x=>，设()n f x 为1()n fx -的导数，n *∈N．（1）求()()122222f f πππ+的值；（2）证明：对任意的n *∈N ，等式()()1444n nnff -πππ+=成立．8、设数列{}na 是等比数列,311232CAm m m a+-=⋅，公比q 是4214x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的第二项（按x 的降幂排列）．（1)用,n x 表示通项na 与前n 项和nS ；（2)若1212C C C nnn n n nAS S S =+++，用,n x 表示nA ．附加题专项训练（二） 2015、10一、随机变量及其概率分布1、在某学校组织的一次蓝球定点投蓝训练中，规定每人最多投3次；在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投三次。
2008高考江苏数学试卷含附加题详细解答全版080718
2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1．若函数cos()(0)6y x πωω=->最小正周期为5π，则ω= ▲ . 解：2105T ππωω==⇒=2．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是 ▲ ．解：基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个，故316612P ==⨯ 3．若将复数11ii+-表示为(,,a bi a b R i +∈是虚数单位）的形式，则a b += ▲ ． 解：∵()21112i i i i ++==- ，∴0,1a b ==，因此1a b += 4．若集合2{|(1)37,}A x x x x R =-<+∈，则A Z I 中有 ▲ 个元素解：由2(1)37x x -<+得2560x x --<,(1,6)A =-∴，因此}{0,1,2,3,4,5A Z =I ，共有6个元素．5．已知向量a r 和b r 的夹角为0120，||1,||3a b ==r r ，则|5|a b -=r r ▲ ． 解：()2222552510a b a ba ab b -=-=-+r r r r r r r r g =22125110133492⎛⎫⨯-⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，57a b -=r r6．在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投点在E 中的概率是 ▲ 解：如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域E 表示单位 圆及其内部，因此．214416P ππ⨯==⨯8．设直线b x y +=21是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，则实数b 的值是 ▲ 解： '1y x = ，令112x =得2x =，故切点坐标为（2，ln2），代入直线方程得ln 21ln 21b b =+⇒=-7．某地区为了解7080-岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h ）， 随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的 频率分布表：在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S 的值为 ▲解：由算法流程图可知S 为5组数据中的组中值（i G ）与对应频率（i F ）之积的和，1122334455S G F G F G F G F G F =++++4.50.125.50.206.50.407.50.28.50.08=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 6.42=9．如图，在平面直角坐标系xoy 中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点(0,)P p 在线段AO 上的一点（异于端点），这里p c b a ,,,均为非零实数，设直线 CP BP ,分别与边AB AC ,交于点F E ,，某同学已正确求得直线OE 的方 程为01111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y a p x c b ，请你完成直线OF 的方程： ( ▲ )011=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+y a p x 。
江苏高考数学附加题必做题考点剖析
龙源期刊网
江苏高考数学附加题必做题考点剖析
作者：蔡敏柱
来源：《高考进行时·高三数学》2013年第01期
近几年江苏高考数学附加题的必做题考点如下：
第22题第23题2008年考查空间向量基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力。
考查复合函数导数、二项式定理、组合数性质等基础知识，考查推理论证能力。
2009年考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识。
考查运算求解能力。
考查概率的基本知识和计数原理，考查探究能力。
2010年考查概率及分布列的有关知识，考查运算求解能力。
考查余弦
定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。
2011年
考查空间向量基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力。
考查计数原理，考查探究能力。
2012年考查分布列及其数学期望等基础知识，考查运算求解能力考查集合概念和运算，计数
原理问题等基础知识，考查探究能力。
对近几年江苏高考数学附加题的必做题分析，本专题主要针对考点计数原理、复合函数导数、二项式定理、组合数性质、概率、分布列及其数学期望等有关基础知识应用给出一点指导，希望能给同学们一点帮助。
江苏高考近7年试题附加题
2010 数学Ⅱ（附加题）21.[选做题]本题包括 A 、B、C、D 四小题，请．选．定．其．中．两．题．，并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．。
若多做，则按作答的前两题评分。
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A ．选修4-1：几何证明选讲D（本小题满分10 分）AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过 D 作圆O 的切线交 A B COAB 延长线于点C，若DA=DC ，求证：AB=2BC 。
[ 解析] 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。
选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,0) ，B(-2,0) ，C(-2,1) 。
设k 为非零实数，矩阵k 0 0 M= ,N=0 1 1 1，点A、B、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为 A 1、B1、C1，0△A 1B1C1 的面积是△ ABC 面积的 2 倍，求k 的值。
[ 解析] 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。
满分10 分。
B．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10 分）在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0 相切，求实数 a 的值。
[ 解析] 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力。
满分10 分。
[ 必做题]第22 题、第23 题，每题10 分，共计20 分。
请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
22、（本小题满分10 分）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10% 。
生产 1 件甲产品，若是一等品则获得利润 4 万元，若是二等品则亏损 1 万元；生产 1 件乙产品，若是一等品则获得利润 6 万元，若是二等品则亏损 2 万元。
设生产各种产品相互独立。
2020年江苏高考数学试卷及答案(含附加题)
2020年江苏高考数学试卷及答案（含附加题）一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上。
1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{}0,2,3B =，则A B = __________。
2.已知i 是虚数单位，则复数()()12z i i =+-的实部是__________。
3.已知一组数据4，2a，3-a，5，6的平均数为4，则a 的值是__________。
4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是。
5.右图是一个算法流程图,若输出y的值为-2,则输入x的值为。
6.在平面直角坐标系xOy中22y =,若双曲线()222105x y a a -=>的一条渐近线方程为52y x =,则该双曲线的离心率是。
7．已知()y f x =是奇函数，当0x >时，23()f x x =，则(8)f -的值是。
8.已知22sin +=43πα（），则sin 2α的值是。
9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的，已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是3cm 。
10.将函数3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度，则平移后的图像与y 轴最近的对称轴方程是。
11.设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列，已知数列{}+n n a b 的前项和()221n n S n n n N *=-+-∈，则d q +的值是。
12.已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是。
13.在△ABC 中，4AB =，=3AC ，∠=90BAC °，D 在边AC 上，延长AD P 到，使得=9AP ，若32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（m 为常数），则CD 的长度是。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
江苏高考附加题---概率
标注★重点做。
1.在1,2,3,,9
L这9个自然数中，任取3个不同的数．
（1）求这3个数中至少有1个是偶数的概率；
（2）求这3个数和为18的概率；
★（3）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．
2.一个暗箱中有形状和大小完全相同的3只白球与2只黑球，每次从中取出一只球，取到
白球得2分，取到黑球得3分．甲从暗箱中有放回地依次取出3只球．
（1）写出甲总得分ξ的分布列；
（2）求甲总得分ξ的期望E（ξ）．
3.一个袋中装有黑球，白球和红球共n(*
n∈N)个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中
任意摸出1个球，得到黑球的概率是2
5
．现从袋中任意摸出2个球．
（1）若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是4
7
，设ξ表示摸出的2个球中红球的个数,求随机变量ξ的概率分布及数学期望ξ
E；
（2）当n取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少? 4.某电视台综艺频道组织的闯关游戏，游戏规定前两关至少过一关才有资格闯第三关，闯
关者闯第一关成功得3分，闯第二关成功得3分，闯第三关成功得4分．现有一位参加
游戏者单独面第一关、第二关、第三关成功的概率分别为21，31，4
1
，记该参加者闯三关所得总分为ζ．
(1)求该参加者有资格闯第三关的概率； (2)求ζ的分布列和数学期望．
5.从符合条件的6名男生和2名女生中任选3人作为2008年北京奥运会志愿者，设随机变量??表示所选3人中女生的人数.
(1)写出??的分布列，并求出??的数学期望；(6分) (2)求事件“??≥l”发生的概率.(4分)
★6. 盒子中装着有标数字1,2,3,4,5的上卡片各２张，从盒子中任取３张卡片，按３张卡片上最大数字的8倍计分，每张卡片被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3张卡片上的最大数字，求：
（1）取出的3张卡片上的数字互不相同的概率； （2）随机变量ξ的概率分布和数学期望；
（3）计分不小于２0分的概率．
7.旅游公司为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁4条旅游线路， 每个旅游团任选其中一条。
（1）求3个旅游团选择3条不同线路的概率1P ; （2）求恰有2条线路没有被选择的概率2P ；
（3）求选择甲线路的旅游团数ξ的分布列与数学期望。
概率--参考答案：
1.解：（1）记“这3个数至少有一个是偶数”为事件A ，
则122130
4545453
937
()42
C C C C C C P A C ++==；.（3分） （2）记“这3个数之和为18”为事件B ,考虑三数由大到小排列后的中间数只有可能为5、6、7、8，分别为459，567，468，369，279，378，189七种情况，
所以3
971()12
P B C =
=；（7分） （3）随机变量ξ的取值为0,1,2,ξ的分布列为
0 1 2
P
∴ξ的数学期望为012122123
E ξ=⨯
+⨯+⨯=。
（10分） 2. 解：（1）甲总得分情况有6分，7分，8分，9分四种可能，记ξ为甲总得分．
12527533)
6(=⎪⎭⎫ ⎝⎛==ξP ，1255453522
13)7(=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ， 125365352223)8(=
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫
⎝⎛=
=C P ξ，1258523
)9(=⎪⎭
⎫ ⎝⎛==ξP ．………………………4分
(7)
分
（2）甲总得分ξ的期望
E （ξ）＝+⨯125
276+⨯125
547+⨯125
368125
89⨯
＝5
36
．……………………10分 3. 解：（1）设袋中黑球的个数为x (个)，记“从袋中任意摸出一个球，得到黑球”为
事件A ，则2
()155
x P A =
=． ∴6x =． …………………………………………………1分
设袋中白球的个数为y (个)，记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B ，则215215
4
()17
y C P B C -=-
=
， ∴2291200y y -+=，∴5y =或24y =(舍)．
∴红球的个数为15654--=(
个)． …………………………………3分
∴随机变量ξ的取值为0，1，2，分布列是
ξ的数学期望1144256
0122110535105
E ξ=
⨯+⨯+⨯=
．…………6分
（2）设袋中有黑球z 个，则2
(5,10,15,5
z n n ==…）．
设“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球”为事件C ，
则23
521661()125251
n n
C P C C
n =-
=
+⨯-，…………………………………8分 当5n =时，()P C 最大，最大值为
7
10
．…………………………………10分 4. ⑴设该参加者单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为211=
p ，3
12=p ，31
4
p =
，该参加者有资格闯第三关为事件A ． 则1212122()(1)(1)3
=-+-+=P A p p p p p p ．
(2)由题意可知，ξ的可能取值为0，3，6，7，10，
3
1)1)(1()0(21=
--==p p P ξ， 123123113
(3)(1)(1)(1)(1)488P p p p p p p ξ==--+--=+=，
1231
(6)(1)8P p p p ξ==-=，
123123111(7)(1)(1)12248P p p p p p p ξ==-+-=
+=，1231
(10)24
P p p p ξ===
， 所以ξ的分布列为
所以ξ的数学期望
13111
036710388824
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
.
6. 解：（１）记＂一次取出的３张卡片上的数字互不相同的事件＂为Ａ，
则.32
)(3
10
12121235==C C C C C A P （２）由题意ξ有可能的取值为：２，３，４，５
所以随机变量ξ的概率分布为：
所以ξ的数学期望为Ｅξ＝⨯
230＋⨯315＋⨯410＋⨯515＝3
（３）＂一次取出的３张卡片所得分不低于２０分＂为事件Ｃ。