高考数学 第2章第1节函数及其表示课件 新人教A版
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高考数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第1节函数及其表示课件新人教A版
考点三 分段函数
多维探究
角度1 分段函数求值
【例 3－1】 (2018·江苏卷)函数 f(x)满足 f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，
f(x)＝cxo＋s π122x，，－0<2x<≤x≤2，0，则 f[f(15)]的值为________.
解析 因为函数 f(x)满足 f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，所以函数 f(x)的最小正周期是 4.因为
(2)已知 f(x)是二次函数且 f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则 f(x)＝________；
(3)已知函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，且 f(x)＝2f1x· x－1，则 f(x)＝________.
解析 (1)令 t＝2x＋1(t>1)，则 x＝t－2 1，∴f(t)＝lgt－2 1，即 f(x)＝lgx－2 1(x>1). (2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2， f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝2ax＋a＋b＝x－1， 所以2aa＋＝b1＝，－1，即ab＝ ＝－ 12，32.∴f(x)＝12x2－32x＋2.
5.(2020·九江联考)函数 f(x)＝
1－ln 2x－2
x的定义域是________.
解析 依题意，得12－ x－ln2≠x≥0，0，解得 0<x≤e，且 x≠1. 答案 (0，1)∪(1，e]
6.已知函数f(x)满足f(x)＋2f(－x)＝ex，则函数f(x)的解析式为________________.
解得－1<x<0 或 0<x≤3，所
x＋1≠1，
以函数的定义域为(－1，0)∪(0，3]. (2)因为 f(x)的定义域为[0，2]，所以要使 g(x)有意义，x 满足0≤12x≤2，解得
人教A版高中数学必修一最新专题第二章函数的概念及其表示文数人教课件
解：设f(x)＝ax＋b， 则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b ＝a2x＋ab＋b＝4x＋3，
所以aa2b＝＋4b，＝3， 解得ab＝ ＝21， 或ab＝ ＝－ －23， .
故所求的函数为f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3.
考点四 实际问题中函数定义域的确定 【案例4】 如图所示，等腰梯形ABCD的两底分别 为AD＝2a，BC＝a，∠BAD＝45°，直线MN⊥AD交AD 于M，交折线ABCD于N.设AM＝x，试将梯形ABCD位于 直线MN左侧的面积y表示为x的函数，并写出定义域．
【即时巩固1】 已知函数f(x)＝|x－1|，则下列函数
与f(x)表示同一函数的是
()
A．||，x≠－1； 2， x＝－1
C．g(x)＝x1－ －1x， ，xx＞ ＜00； D．g(x)＝x－1
解析：B 选项中，g(x)＝||xx2＋－11||，x≠－1； ＝
D．(－∞，＋∞)
关键提示：本题考查对数函数的定义域，由真数为正可
得解．
解析：由已知，x＞－1，且x≠1，故选C.
答案：C
点评：掌握基本初等函数(如分式函数、对数函数、三
角函数、根式函数等)的定义域是求函数定义域的关键．
【即时巩固2】 求下列函数的定义域： (1)f(x)＝x2－36x＋2；
(2)f(x)＝ 3x－1＋ 1－2x＋4. 解：(1)由题意得x2－3x＋2≠0，所以x≠2，且x≠1， 所以定义域为(－∞，1)∪(1,2)∪(2，＋∞)． (2)由题意得31x－－21x≥ ≥00， ， 所以13≤x≤12，
所以原函数的定义域为13，12.
考点三 函数解析式的求法 【案例3】 已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x ＋1)＝f(x)＋x＋1，求函数f(x)的解析式． 关键提示：本题知道函数类型，可采用待定系数法进 行求解． 解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由f(0)＝0知c＝0，所以f(x)＝ax2＋bx. 又因为f(x＋1)＝f(x)＋x＋1， 所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1， 即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以aa2b＝＋4b，＝3， 解得ab＝ ＝21， 或ab＝ ＝－ －23， .
故所求的函数为f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3.
考点四 实际问题中函数定义域的确定 【案例4】 如图所示，等腰梯形ABCD的两底分别 为AD＝2a，BC＝a，∠BAD＝45°，直线MN⊥AD交AD 于M，交折线ABCD于N.设AM＝x，试将梯形ABCD位于 直线MN左侧的面积y表示为x的函数，并写出定义域．
【即时巩固1】 已知函数f(x)＝|x－1|，则下列函数
与f(x)表示同一函数的是
()
A．||，x≠－1； 2， x＝－1
C．g(x)＝x1－ －1x， ，xx＞ ＜00； D．g(x)＝x－1
解析：B 选项中，g(x)＝||xx2＋－11||，x≠－1； ＝
D．(－∞，＋∞)
关键提示：本题考查对数函数的定义域，由真数为正可
得解．
解析：由已知，x＞－1，且x≠1，故选C.
答案：C
点评：掌握基本初等函数(如分式函数、对数函数、三
角函数、根式函数等)的定义域是求函数定义域的关键．
【即时巩固2】 求下列函数的定义域： (1)f(x)＝x2－36x＋2；
(2)f(x)＝ 3x－1＋ 1－2x＋4. 解：(1)由题意得x2－3x＋2≠0，所以x≠2，且x≠1， 所以定义域为(－∞，1)∪(1,2)∪(2，＋∞)． (2)由题意得31x－－21x≥ ≥00， ， 所以13≤x≤12，
所以原函数的定义域为13，12.
考点三 函数解析式的求法 【案例3】 已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x ＋1)＝f(x)＋x＋1，求函数f(x)的解析式． 关键提示：本题知道函数类型，可采用待定系数法进 行求解． 解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由f(0)＝0知c＝0，所以f(x)＝ax2＋bx. 又因为f(x＋1)＝f(x)＋x＋1， 所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1， 即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
函数的表示法【新教材】人教A版高中数学必修第一册精品ppt课件2
第三章 3.1.2 第1课时函数的表示法-【新教材】 人教A 版（201 9）高 中数学 必修第 一册课 件(共90 张PPT) 第三章 3.1.2 第1课时函数的表示法-【新教材】 人教A 版（201 9）高 中数学 必修第 一册课 件(共90 张PPT)
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高中数学 1.2.1函数的概念课件 新人教A版必修1 (2)
预习导学
挑战自我，点点落实
[知识链接]
1.在初中，学习过正比例函数、反比例函数、一次函数、二
次函数等，它们的表达形式分别为 y＝kx(k≠0) ，y＝kx(k≠0)， y＝ax＋b(a≠0) ， y＝ax2＋bx＋c(a≠0) .
2.反比例函数 y＝kx(k≠0)在 x＝0 时 无意义 .
[预习导引]
所以x>－2且x≠－1.
x＋10
所以函数 y＝
的定义域为{x|x>－2，且 x≠－1}.
x＋2
1.2.1 函数的概念
*
(2)y＝ 2x＋3－ 21－x＋1x.
2x＋3≥0， 解 要使函数有意义，需2－x>0，
x≠0，
解得－32≤x<2，且 x≠0，
所以函数 y＝
2x＋3－
21－x＋1x的定义域为x－32≤x<2，且x≠0.
第一章——
集合与函数 概念
1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念
[学习目标]
1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素. 2.能正确使用区间表示数集. 3.会求一些简单函数的定义域、函数值.
栏目索引
CONTENTS PAGE
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实 重点难点，个个击破 当堂训练，体验成功
1.2.1 函数的概念
*
规律方法 1.当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使
解析式有意义的自变量的取值集合，必须考虑下列各种情形：
(1)负数不能开偶次方，所以偶次根号下的式子大于或等于零；
(2)分式中分母不能为0；(3)零次幂的底数不为0；(4)如果f(x)由几部
分构成，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合；
高考数学总复习 21函数及其表示课件 新人教A版
8．利用均值不等式求值域时，要注意必须满足已知 条件和不等式一端是常数，等号能成立，还要注意符 号．
9．熟练掌握求函数值域的几种常用方法，要注意这 些方法分别适用于哪些类型的函数．
如求函数y＝x＋ 1－x与y＝x＋ 1－x2的值域，虽然 形式上接近但采用的方法却不同．
10．分段函数求值或解不等式时，一定要先区分自 变量在哪一段区间上取值．
做从集合A到集合B的映射，记作f：A→B.
(2)象和原象：给定一个集合A到B的映射，且a∈A， b∈B，如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做 元素a的象，元素a叫做元素b的原象．
2．函数 (1)定义 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关 系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯 一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集 合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变 量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值
3．函数与方程、函数的应用主要考查： (1)零点与方程实数解的关系． (2)函数的概念、性质、图象的综合问题． (3)导数与零点的结合；方程、不等式、数列与函数的综 合问题． (4)函数与解析几何知识的综合问题． (5)二次函数、三次函数、导数、零点的结合． (6)实际应用问题．
●备考指南 1．深刻理解函数的概念，准确把握常见基本初等函数的 图象与性质，以及以这些基本函数为材料构建的含绝对值的 函数、分段函数等，并能灵活运用这些知识去分析、解决有 关问题． 2．注重基础知识的落实，主干知识的强化，交汇知识的 梳理，常用数学思想、方法、技能、解题规律的总结．
(3)理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画 出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊 点．
人教A版必修1高一数学.2函数的表示法教学PPT课件
三种表示方法的特点
解析法 ①函数关系清楚、精确；
②容易从自变量的值求出其对应的函数值； ③便于研究函数的性质.
解析法是中学研究函数的主要表达方法.
图象法 能形象直观的表示出函数的变化趋势，是今
后利用数形结合思想解题的基础.
列表法 不必通过计算就知道当自变量取某些值时函
数的对应值，当自变量的值的个数较少时使 用. 列表法在实际生产和生活中有广泛的应用.
y
y=-|x+1|+4
5 4
3 2 1
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
y=-|x+1|
4.设A={1,2,3}，B={3,4,5,6,7,8,9}，集合A中的元 素x按照对应法则“乘2加1”和集合B中的元素 2x+1对应．这个对应是不是映射？
x + 2,(x 1) 2.函数 f(x) = x2 ,(1 x 2)若f(x)=3,则x的值 是( D ) 2x,(x 2)
A.1
B. 1或3/2 C. ± 3 D. 3
3.作函数y=－|x＋1|＋4的图像.
y
y=|x|
5 4
3 2 1
-3 -2 -1 1 2 3
x
0
y=-|x+1|的图象与y=|x+1| 的图像关于x轴对称.
ห้องสมุดไป่ตู้
设一封（0 x 200 ）的信函应付的邮资为 （单
位：y分），试写出以 x为自变量的函数 y 的解析式，
并画出这个函数的图象.
解：这个函数的定义域是 0＜x≤200 ，函数解析
式为
80， x ∈ （0，20］
160 ， x ∈ （20，40］
y = 240， x ∈ （40，60］
2013版高考数学 2.1 函数及其表示课件 文 新人教A版
3 2
答案：(1) 3
2
(2)-1或 3
求简单函数的定义域、值域 【方法点睛】1.简单函数定义域的类型及求法 (1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组) 求解. (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式
(组)求解.
(3)对抽象函数：
①若已知函数f(x)的定义域为［a,b］，则复合函数f(g(x))的
4.分段函数 对应关系 不同而分别用 若函数在其定义域的不同子集上，因_________ 几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
【即时应用】
x 1, x 1 5 (1)已知函数f(x)= 则 f (f ( )) =_______. ， x 3, x＞1
2
x 2, x 1 2 (2)设f(x)= x , 1＜x＜2 , 若f(x)=3，则x=________. 2x, x 2
②f(x)=|x|与g(x)=
3
x3
(
(
)
)
2 x x>0 ③f(x)=x|x|与 g(x)= 2 -x x<0 2 x ④f(x)= 1 与g(t)=t+1(t≠1) x 1
(
)
(2)函数y=x2-2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为_____. (3)设集合 A {x | y x 2} ,集合B={y|y=x2,x∈R},则 A∩B=_________.
②A=R，B=R，f:x→x2;
③A=Z, B=R，f:x→ x ； ④A=Z，B=Z，f:x→x2-3.
(
( (
)
) )
(2)设A={0,1,2,4}，B={ 1 ,0,1,2,6,8}，判断下列对应关系
答案：(1) 3
2
(2)-1或 3
求简单函数的定义域、值域 【方法点睛】1.简单函数定义域的类型及求法 (1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组) 求解. (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式
(组)求解.
(3)对抽象函数：
①若已知函数f(x)的定义域为［a,b］，则复合函数f(g(x))的
4.分段函数 对应关系 不同而分别用 若函数在其定义域的不同子集上，因_________ 几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
【即时应用】
x 1, x 1 5 (1)已知函数f(x)= 则 f (f ( )) =_______. ， x 3, x＞1
2
x 2, x 1 2 (2)设f(x)= x , 1＜x＜2 , 若f(x)=3，则x=________. 2x, x 2
②f(x)=|x|与g(x)=
3
x3
(
(
)
)
2 x x>0 ③f(x)=x|x|与 g(x)= 2 -x x<0 2 x ④f(x)= 1 与g(t)=t+1(t≠1) x 1
(
)
(2)函数y=x2-2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为_____. (3)设集合 A {x | y x 2} ,集合B={y|y=x2,x∈R},则 A∩B=_________.
②A=R，B=R，f:x→x2;
③A=Z, B=R，f:x→ x ； ④A=Z，B=Z，f:x→x2-3.
(
( (
)
) )
(2)设A={0,1,2,4}，B={ 1 ,0,1,2,6,8}，判断下列对应关系
高一数学 1.2.1 函数的概念课件 新人教A版必修1
自 我 检 测 1．下列式子中不能表示函数 y＝ f(x)的是 ( ) A． x＝ y2＋ 1 C． x－ 2y＝ 6 答案： A B． y＝ 2x2＋ 1 D．x＝ y
1 2．函数y＝ 的定义域是 ( x＋ 1 A． [－ 1，＋∞ ) C． (－ 1，＋∞ ) B． [－1,0) D． (－1,0)
• 新知视界 • 1 ．函数的定义：设 A 、 B 是两个非空的数集，如 果按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的 任意的一个数，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么就称 f ： A→B 为集合 A 到集合 B 的 一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中x叫做自变量， x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值对应的 y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}＝{y|y＝ f(x)，x∈A}叫做函数的值域．
4．已知函数f(x)＝ 2x－ 3，x∈ {1,2,3}，则 f(x)的值域为 __________．
解析： 当 x＝ 1时， f(1)＝ 2× 1－3＝－ 1， 当 x＝2时，f(2)＝ 2× 2－ 3＝ 1， 当 x＝3时，f(3)＝ 2× 3－ 3＝ 3， ∴ f(x)的值域为{－ 1,1,3}．
思考感悟 (1)函数概念中的集合B与函数的值域是什么关 系． 提示： 与 x对应的 y的值是函数值，函数值的集 合 {f(x)|x∈ A}叫做值域，根据函数的定义，每一个函 数值都属于集合B，所以函数值的集合{f(x)|x∈ A}⊆ B.
(2)数集都能用区间表示吗？ 提示： 区间是数集的又一种表示方法，但并不 是所有数集都能用区间表示，如{1,2,3,4}，就不能用 区间表示．
• • • • • •
类型五 函数的值域 [例5] 已知函数y＝x2－4x－5，求： (1)x∈R时的函数值域； (2)x∈{－1,0,1,2,3,4}时的值域； (3)x∈[－2,1]时的值域． [分析] 函数值域是由定义域与对应关系所 确定的，在求函数有关问题时，始终要把 握好“定义域优先”的原则．
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若f(a)＝4，则实数a＝
()
A．－4或－2
B．－4或2
C．－2或4
D．－2或2
返回
[自主解答] 当a＞0时，有a2＝4，∴a＝2；当a≤0时，有 －a＝4，∴a＝－4，因此a＝－4或a＝2. [答案] B
返回
[例2] (2011·陕西高考)设f(x)＝l1g0xx，，xx≤＞00，， 则f(f(－2)) ＝________. [自主解答] 显然f(－2)＝10－2＝1100，f1010＝lg1100＝－2.
返回
2．定义域与值域相同的函数，不一定是相同函数 如函数y＝x与y＝x＋1，其定义域与值域完全相同，但 不是相同函数；再如函数y＝sin x与y＝cos x，其定义域 与值域完全相同，但不是相同函数．因此判断两个函数 是否相同，关键是看定义域和对应关系是否相同．
返回
返回
[精析考题]
[例1] (2011·浙江高考)设函数f(x)＝x－2，x，x＞x≤0.0，
数关系求函数值，只需将f(x)中的x用对应的值代入计 算即可．另外，高考命题一般会与分段函数相结合， 求值时注意a的范围和对应的关系． (2)求f(f(f(a)))时，一般要遵循由里到外逐层计算的原则.
返回
[精析考题] [例3] (2011·北京高考)根据统计，一名工人组装第x件某产品所
用的时间(单位：分钟)为f(x)＝
[答案] －2
返回
[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
1．(2011·泰安一模)已知 f：x→sin x 是集合 A(A⊆[0,2π])到集合
B＝{0，12}的一个映射，则集合 A 中的元素个数最多有(
)
A．4 个
B．5 个
C．6 个
D．7 个
返回
解析：∵A⊆[0,2π]， 由sin x＝0，得x＝0，π，2π； 由sin x＝12，得x＝π6，56π， 所以A中最多有5个元素．
答案：B
返回
2．(2012·广州模拟)设函数f(x)＝1x－ 2＋xx2， －x2≤ ，1x， ＞1， 则ff12
的值为
()
A.1156
B．－2176
C.89
D．18
返回
解析：f(2)＝4，f12＝14， 故ff12＝f14＝1－142＝1156.
答案： A
返回
[冲关锦囊] (1)函数值f(a)就是a在对应法则f下的对应值，因此由函
应关系f，使对于集合A 中的 任意 一个元素x， 在集合B中有唯一确定
的数f(x)和它对应
的元素y与之对应
返回
函数
映射
称 f：A→B 为从集合 称对应 f：A→B 为从集 名称
A到集合B的一个函数 合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A 对应f：A→B是一个映射
返回
二、函数的有关概念 1．函数的定义域、值域
第
二
第
章
一
节
函
数、
函ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
导
数
数
及
及
其
其
表
应
示
用
抓基础 明考向 提能力
教你一招 我来演练
返回
返回
返回
[备考方向要明了] 考什么
1.了解构成函数的要素，了解映射的概念． 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方
法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 3.了解简单的分段函数，并能简单应用.
返回
怎么考 1.函数的概念、表示方法、分段函数是近几年高考的热 点． 2.函数的概念、三要素、分段函数等问题是重点，也是
解析：由已知得19＋＋b3＋b＋c＝c＝0，0， 得bc＝＝3－. 4， ∴f(x)＝x2－4x＋3. ∴f(－1)＝(－1)2－4×(－1)＋3＝8.
答案：8
返回
返回
1．函数与映射的区别与联系 (1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A与集合B只
能是非空数集，即函数是非空数集A到非空数集B的 映射． (2)映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不 是数集，则这个映射便不是函数．
x123
f 312
g321 则f(g(3))等于
()
A．1
B．2
C．3 解析：f(g(3))＝f(1)＝3.
D．不存在
答案：C
返回
3．(教材习题改编)设函数f(x)＝
x，x≥0， －x，x＜0，
若f(a)＋
f(－1)＝2，则a＝
()
A．－3
B．±3
C．－1
D．±1
解析：若a≥0，则 a＋1＝2，得a＝1；若a<0，则 －a＋1＝2，
难点． 3.题型以选择题和填空题为主，与其他知识点交汇则以
解答题的形式出现.
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一、函数与映射的概念
函数
映射
两集合 设A、B是两个非空数集 设A、B是两个非空集合 A、B
如果按照某种确定的对 如果按某一个确定的对
对应关 应关系f，使对于集合A 系f： 中的 任意 一个数x，在 A→B 集合B中有 唯一确定
得a＝－1.
答案： D
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4．已知f1x＝x2＋5x，则f(x)＝________. 解析：令t＝1x，∴x＝1t .∴f(t)＝t12＋5t . ∴f(x)＝5xx＋2 1(x≠0)． 答案：5xx＋2 1(x≠0)
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5．(教材习题改编)若f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0， f(3)＝0，则f(－1)＝________.
四、分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系 不同而
分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 并集 ，其值
域等于各段函数的值域的 并集 ，分段函数虽由几个部分组 成，但它表示的是一个函数．
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1．已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{0,1,2}，给出下列
四个对应法则，其中能构成从M到N的函数的是( )
A．y＝x2
B．y＝x＋1
C．y＝2x
D．y＝log2|x|
解析：用排除法，易验证选项A，B，C都存在M 中的元素在N中没有元素和它对应，所以排除A， B，C，故选D.
答案： D
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2．(教材习题改编)设f，g都是从A到A的映射(其中A＝ {1,2,3})，其对应关系如下表：
cx，x<A， cA，x≥A
(A，c为常数)．已
知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A 叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值， 函数值的集合{f(x)|x∈A} 叫做函数的值域．显然，值域 是集合B的子集． 2．函数的三要素： 定义域 、值域 和 对应关系 ．
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三、函数的表示方法 表示函数的常用方法有：解析法 、图象法 和 列表法 ．