人教高中数学A版必修二平面向量的概念
形又因AB为CD是与平行的四方边向形相.所同以，|所以|=Duu|Aur
|，且uuuDr A∥CB. = C. B
同理可证四边形CNAM是平行四边形，所以
uuur uuur DA CB
uuur uuur CB DA
uuur uuur CM NA.
因为 uuur uuur uuur uuur 所以| CB|=| DA|，, CDMN∥NMAB,，即 与
uuur uuur B. AB DC
uuur uuur D.AB DC
【解析】选B.| uuur |与| uuur |表示等腰梯形两腰的长
度，故相等. AB
DC
2.四边形ABCD为边长为3的正方形，把各边三等分后，
共有16个交点，从中选取两个交点作为向量，则与
平行且长度为2 的向量个数有________个.
【思考】 (1)0与0相同吗？0是不是没有方向？ 提示：0与0不同，0是一个实数，0是一个向量，且 |0|=0.0有方向，其方向是任意的.
(2)若a=b，则两向量在大小与方向上有何关系？ 提示：若a=b，意味着|a|=|b|，且a与b的方向相同. (3)“向量平行”与“几何中的平行”一样吗？ 提示：向量平行与几何中的直线平行不同，向量平行 包括所在直线重合的情况，故也称向量共线.
第六章 平面向量及其应用 6.1 平面向量的概念
1.向量的定义与表示
(1)定义：既有大小又有方向的量叫做向量.
(2)表示方法：
①几何表示法：用以A为始点，B为终点的有向线段_u_uu_r
表示.
AB
②字母表示法：在印刷时，用黑体小写字母a，b，
c，…表示向量，手写时，可写成带箭头的小写字
母
rrr a，b，c
AB，DC，EO，OF.
uuur
uuur
uuur
OB
AO
OD
uuur OC
(4)题干图中与 uu相ur 等的向量为 .uuur
EO
OF
【加练·固】
1.如图，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量
与 的关系是 ( )
uuur AB
uuur DC
uuur uuur A.AB DC
uuur uuur C.AB DC
2.共线向量的判断方法 先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段， 再构造同向或反向的向量.
3.共线向量与相等向量的关系 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等 向量.若两向量相等，则两向量方向相同，模相等；若 两向量共线，则两向量方向相同或相反.
【发散·拓】 向量的平行不具备传递性，即若a∥b，b∥c，则未必 有a∥c.因为当b=0时，a，c可以是任意向量，故a，c不 一定平行；只有当b≠0时，才有a∥b，b∥c，则a∥ c，即平行可传递.因此在今后学习时要特别注意零向量
是正方形，请在图中找出与
uuur AB
模相等的向量.
【解析】由题干图可知，与 uuur 模相等的向量为
AB uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur DC, ED, AE, EA, BD, DB, BA, CD, DE.
【类题·通】 1.相等向量的判断方法 先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再 确定哪些是同向的.
【解析】选D.当b=0时，A不对；如图a= uuur ，c= uuur b与a，b与c均不共线，但a与c共线，所以ABB错. BC，
在▱ABCD中，uuur 与 uuur共线，但四点A，B，C，D不共 线，所以C错A；B若a与CDb有一个为零向量，则a与b一定共 线，所以a，b不共线时，一定有a与b都是非零向量， 故D正确.
AB BA
有公共终点的向量的方向不一定相同或相反，B错误；
当a=0时， 无意义，D错误；
零向量与任何向量都是平行向量，C正确.
a
a
类型二 相等向量与共线向量 【典例】如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形 ABDE是矩形. 世纪金榜导学号
(1)找出与 uuur 相等的向量. (2)找出与 AB 共线的向量.
3.如图，在矩形ABCD中，可以用同一条有向线段表示 的向量是 ( )
uuur uuur A.DA和BC
uuur uuur B.DC和AB
uuur uuur C.DC和BC
uuur uuur D.DC和DA
【解析】选B.结合题干图可知 uuur练·破】 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点 O，EF是过点O且平行于AB的线段，在所标的向量中： (1)写出与 共线的向量. (2)写出与 方向相同的向量.
uuur AB
uur EF
(3)写出与 uuur uuur 的模相等的向量. (4)写出与 OB，O相D等的向量.
【思维·引】1.根据方向与大小确定终点即可.
2.利用向量相等证明四边形ABCD，CNAM是平行四边
形，进而得到
.
uuur uuur DN MB
【解析】1.画出所有的向量 uuur 如图：
AC,
2.因为 AuuB=ur Du所uCur，以| |=|AuuBur|，且DuuACur B∥CD，所以四边
的特殊性，解答问题时，一定看清题目中是“零向量 ”，还是“非零向量”.
【延伸·练】 (2019·秦皇岛高一检测)下列命题正确的是 ( ) A.向量a与b共线，向量b与c共线，则向量a与c共线 B.向量a与b不共线，向量b与c不共线，则向量a与c不 共线
C.向量 uuur 与 uuur 是共线向量，则A，B，C，D四点一 定共线 AB CD D.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
uuur
uuur uuur
以与 AB相等的向量为 DC., ED
uuur uuur uuur
uuur
(u2u)ur由uu题ur 干图uu可ur 知，DC, ED,与EC
DE, uuur
Cu与uEur
uuur方uAu向uBr u相uur反uu，ur u所uur 以与
方向AB相同，
uuur
共线A的B 向量有
uuur AB
【思维·引】(1)找与 uuur 相等的向量，就是找与 uuur
长度相等且方向相同的A向B量.
AB
(2)找与 共线的向量，就是找与 方向相同或相
反的向量u.uur
uuur
AB
AB
【解析】(1)由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE
uuur uuur uuur
是矩形知，DC,E与D 的A长B 度相等且方向相同，所
….
(3)向量的模：向量的大小叫做向量的长度或模，如
a，AuuBur
的模分别记做|a|,|
uuur AB
|.
【思考】 (1)定义中的“大小”与“方向”分别描述了向量的哪 方面的特性？只描述其中一个方面可以吗？
提示：向量不仅有大小，而且有方向.大小是代数特征 ，方向是几何特征.看一个量是否为向量，就要看它是 否具备了大小和方向两个要素，二者缺一不可，所以 只描述其中一个方面不可以.
uuur EO
【解析】在等腰梯形ABCD中AB∥CD∥EF，AD=BC.
(1)题干图中与 共线的向量有
(2)题干图中与 Auu方Bur 向相同的向量有DuuCur，EuuOur，OuuFur，EuuFr.
(3)题干图中与 uu的r 模相等的向量为 ，uuur与uuur u的uur uuur
模相等的向量为 EF.
uuur uuur
AB DC.
类型一 向量的概念、零向量与单位向量
【典例】1.(2019·临沂高一检测)以下选项中，都是
向量的是 ( )
A.正弦线、海拔
B.质量、摩擦力
C.三角形的边长、体积
D.余弦线、速度
2.给出下列说法： ①零向量是没有方向的； ②零向量的长度为0； ③零向量的方向是任意的； ④单位向量的模都相等， 其中正确的是________(填序号).
DC, ED, EC, BA, CD, DE, CE.
uuur uuur BA, CD,
【素养·探】
本题主要考查相等向量与共线向量，同时考查直观想
象的核心素养，培养读图能力.
本例在找与
uuur AB
共线的向量时，易忽视与其本身方向
相反的向量，即易把 uuur 漏掉.
BA
若本例改为，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE
uuur AC
2
【解析】如图所示，满足与 uuur 平行且长度为2
向量有
AC 共8个.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur ur ur AF，FA，EC，CE，GH, HG, IJ, JI
的
2
答案：8
类型三 向量的表示与应用
【典例】1.如图所示的方格由若干个边长为1的小正方
【思维·引】1.紧扣向量的定义解答. 2.紧扣零向量、单位向量的定义解答.
【解析】1.选D.三角函数线、摩擦力、速度既有大小 又有方向，是向量；海拔、质量、三角形的边长、体 积只有大小没有方向，不是向量.
2.由零向量的方向是任意的，知①错误，③正确；由 零向量的定义知②正确；由单位向量的模是1，知④正 确. 答案：②③④
【习练·破】 在下列判断中，正确的是 ( ) ①长度为0的向量都是零向量； ②零向量的方向都是相同的； ③长度相等的向量都是单位向量；
④单位向量都是同方向；
⑤向量 与向量 的长度相等.
A.①②③AuuBur
B.Bu①uAur ③⑤
C.①②⑤
D.①⑤
【解析】选D.由定义知①正确，②由于两个零向量是 平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具 体方向，故不正确.长度相等的向量其模不一定为1， ③不正确，单位向量的方向不一定相同，④不正确， ⑤正确.
人教A版高中数学必修二第六章第1节《平面向量的概念》解答题 (21)(含答案解析)
必修二第六章第1节《平面向量的概念》解答题 (21)一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）1.平面内给定三个向量a⃗=(3,2),b⃗ =(−1,2),c⃗=(4,1)．(Ⅰ)求|3a⃗+b⃗ −2c⃗|；(Ⅱ)求满足a⃗=m b⃗ +n c⃗的实数m和n；(Ⅲ)若(a⃗+k c⃗ )⊥(2b⃗ −a⃗ )，求实数k．2.已知，与的夹角为．(1)求；(2)求为何值时，3.已知向量a⃗=(1,0)，|b⃗ |=√2，a⃗、b⃗ 的夹角为45°，c⃗=a⃗+b⃗ ，d⃗=a⃗−b⃗ ，求c⃗在d⃗方向上的数量投影．4.已知向量a⃗=(cosα,sinα)，b⃗ =(cosβ,sinβ)，c⃗=(−1,0)(1)求向量b⃗ +c⃗的长度的最大值;(2)设α=π，且a⃗⊥(b⃗ +c⃗ )，求cosβ的值。
45.如图，平行四边形ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC的长．6. 如图，平行四边形ABCD 中，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，∠DAB =π3．求：(1)|DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |； (2)cos∠CAB 的大小．7. 已知飞机从A 地按北偏东30°方向飞行2000km 到达B 地，再从B 地按南偏东30°方向飞行2000km 到达C 地，再从C 地按西南方向飞行 1000√2km 到达D 地．画图表示向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， BC⃗⃗⃗⃗⃗ ， CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，并指出向量 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的模和方向．8. 设两个非零向量a ⃗ 与b ⃗ 不共线．(1)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ⃗ −b ⃗ 与a ⃗ −k b ⃗ 共线．9. 已知平面上一定点O ，不共线的三点A ，B ，C ，动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |)，λ∈[0,+∞)，求证：P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．10. 已知点A(p,t)、B(q,t +4)、C(0,2)，O 为坐标原点.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5，求|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围．11.帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20km/ℎ，此时水的流向是正东，流速为20km/ℎ.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向．12.已知向量a⃗、b⃗ 满足|a⃗|=2，|b⃗ |=1，|a⃗−b⃗ |=2，求|a⃗+b⃗ |．13.已知向量a⃗与b⃗ 的夹角θ=120°，且|a⃗|=4，|b⃗ |=2，求：(1)a⃗⋅b⃗ ；(2)(a⃗+b⃗ )⋅(a⃗−2b⃗ )；(3)|a⃗+b⃗ |．14. 在△ABC 中，∠B =120°，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，且|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=3，试用a ⃗ 、b ⃗ 表示与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向的单位向量c 0⃗⃗⃗ ．15. 已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，记a ⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，b ⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，c ⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)用a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 表示AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；(2)若AB 1⊥BC 1，A 1C ⊥BC 1，求证：AB 1=A 1C .16.已知向量a⃗=(1,−2)，b⃗ =(−7,−6)，求与a⃗+b⃗ 同向，且模等于20的向量c⃗．17.已知a⃗=(−6,8)，2a⃗−b⃗ =(2,2)，求b⃗ 和|b⃗ |．18.如图，正方形ABCD，P是对角线BD上的一点，四边形PECF是矩形，用向量法证明：(1)PA=EF；(2)PA⊥EF．19.在下图田字格中，以图中的结点为向量的起点或终点．⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量；(1)写出与A1A2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 平行的向量；(2)写出与A1B2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的负向量．(3)写出A1A3⃗⃗⃗⃗⃗ 共20.如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，写出与AB线(平行)的向量．21. 设a ⃗ 、b ⃗ 是两个不共线的非零向量(t ∈R ).(1)若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗=13(a ⃗ +b ⃗ )，则当实数t 为何值时，A 、B 、C 三点共线？ (2)若|a ⃗ |=|b ⃗ |=1，且a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120°，则当实数x 为何值时，|a ⃗ −x b⃗ |的值最小？22. 已知|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=3，|a ⃗ −b ⃗ |=√7．求：(1)a ⃗ 与b ⃗ 的夹角；(2)向量a ⃗ 在b ⃗ 方向上的数量投影．23. 在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，F 、G 分别是DB 、EC 的中点，判别下列命题是否正确．(1)DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =FG ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和FG⃗⃗⃗⃗⃗ 是平行向量； (3)DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <FG⃗⃗⃗⃗⃗ ．24. 如图，质点O 受到两个力F 1和F 2的作用，已知∠F 1OF 2=135°，|OF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=8 N ，|OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√2 N ，求这两个力的合力OF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的大小以及∠FOF 1的大小．25. 已知O 、A 、B 是平面上不共线的三点，记OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，若平面上另一点C 满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a ⃗ +b ⃗ )，求证：A 、B 、C 三点共线，且C 恰为线段的中点．26.已知a⃗=(3,−1)，b⃗ =(1,−2)，求a⃗⋅b⃗ ，|a⃗|，|b⃗ |，⟨a⃗,b⃗ ⟩．27.已知平面向量a⃗与b⃗ 满足|a⃗|=2，|b⃗ |=1，且a⃗与b⃗ 的夹角为2π．3(1)求|2a⃗+b⃗ |；(2)若2a⃗+b⃗ 与a⃗+λb⃗ (λ∈R)垂直，求λ的值．28.已知，|b⃗ |=4，a⃗与b⃗ 的夹角为135°.求：；(2)|a⃗+b⃗ |．29.已知|a⃗|=|b⃗ |=3，且向量a⃗与b⃗ 的夹角为120°.求|a⃗+b⃗ |，|a⃗−b⃗ |．30.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，O为其中心，分别写出：⃗⃗⃗⃗⃗ 的起点、终点和模；(1)向量OA⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量；(2)与向量OA⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量．(3)与向量OA【答案与解析】1.答案：解：(Ⅰ)根据题意，向量a ⃗ =(3,2),b ⃗ =(−1,2),c ⃗ =(4,1)． 则3a ⃗ +b ⃗ −2c ⃗ =(0,6)，故|3a ⃗ +b ⃗ −2c ⃗ |=6； (Ⅱ)若a ⃗ =m b ⃗ +n c ⃗ ，即(3,2)=m(−1,2)+n(4,1)， 则有{3=−m +4n 2=2m +n ，解可得{m =59n =89， 故m =59，n =89；(Ⅲ)根据题意，a ⃗ +k c ⃗ =(3+4k,2+k)，2b ⃗ −a ⃗ =(−5,2)，若(a ⃗ +k c ⃗ )⊥(2b ⃗ −a ⃗ )，则(a ⃗ +k c ⃗ )⋅(2b ⃗ −a ⃗ )=(−5)(3+4k)+2(2+k)=0， 解可得k =−116， 故k =−116．解析：本题考查平面向量数量积的计算，涉及向量的坐标和向量模的计算，属于基础题． (Ⅰ)根据题意，求出3a ⃗ +b ⃗ −2c ⃗ 的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案；(Ⅱ)根据题意，由向量的坐标计算公式可得若a ⃗ =m b ⃗ +n c ⃗ ，必有{3=−m +4n 2=2m +n ，求出m 、n 的值，即可得答案；(Ⅲ)根据题意，求出a ⃗ +k c ⃗ 与2b ⃗ −a ⃗ 的坐标，由向量数量积的计算公式可得(a ⃗ +k c ⃗ )⋅(2b ⃗ −a ⃗ )=0，求出k 的值，即可得答案．2.答案：解：(1)因为|a ⃗ |=4，|b ⃗ |=8，a ⃗ 与b ⃗ 夹角是，所以，因此|a ⃗ +b ⃗ |=√a ⃗ 2+b ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ =√42+82+2×(−16)=4√3；(2)因为(a ⃗ +2b ⃗ )⊥(k a ⃗ −b ⃗ )，所以(a ⃗ +2b ⃗ )⋅(k a ⃗ −b ⃗ )=k a ⃗ 2−2b ⃗ 2+(2k −1)a ⃗ ⋅b ⃗ =0，整理得16k −128+(2k −1)×(−16)=0， 解得k =−7．即当k =−7值时，(a ⃗ +2b ⃗ )⊥(k a ⃗ −b ⃗ )．解析：本题考查了向量的数量积和向量垂直的判断与证明，属于基础题．(1)利用向量的数量积计算得a ⃗ ⋅b ⃗ =−16，再利用|a ⃗ |2=a ⃗ 2计算得结论；(2)利用向量垂直得16k −128+(2k −1)×(−16)=0，计算求解即可．3.答案：解：设b ⃗ =(m,n)，又|b ⃗ |=√2.所以m 2+n 2=2，因为a⃗ 、b ⃗ 的夹角为45°， 所以cos 45∘=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |=m √2=√22，联立方程组， 可解得：{m =1,n =1,或{m =1,n =−1.当b ⃗ =(1,1)时，c ⃗ =(2,1)，d ⃗ =(0,−1)， 所以c ⃗ 在d⃗ 方向上的数量投影为c ⃗ ⋅d ⃗⃗ |d|=−11=−1；当b ⃗ =(1,−1)时，c ⃗ =(2,−1)，d⃗ =(0,1)， 所以c ⃗ 在d⃗ 方向上的数量投影为c ⃗ ⋅d ⃗⃗|d|=−11=−1， 综上所述：c ⃗ 在d⃗ 方向上的数量投影为−1解析：本题考查向量的投影以及向量夹角和向量模的计算，首先设b ⃗ =(m,n)，利用已知条件求出m ，n 然后分别求出c ⃗ 和d⃗ ，进而通过向量投影公式求出结果，属于基础题． 4.答案：解：，c ⃗ =(−1,0)，∴b ⃗ +c ⃗ =(−1+cosβ,sinβ)，=√2−2cosβ，当cosβ=−1时，上式取最大值2； (2)由(1)知，b ⃗ +c ⃗ =(−1+cosβ,sinβ)，当α=π4时， a ⃗ =(√22,√22)， 由向量垂直可得a ⃗ ·(b ⃗ +c ⃗ )=0， 故√22(−1+cosβ)+√22sinβ=0， 由三角函数公式化简可得sin(β+π4)=√22，∴β+π4=2kπ+π4，或β+π4=2kπ+3π4，k ∈Z ，故β=2kπ或β=2kπ+π2，k ∈Z ， ∴cosβ=1或0．解析：本题考查平面向量和三角函数的综合，解决问题的关键是熟练掌握先关的结论． (1)由已知可得b ⃗ +c ⃗ 坐标，可得|b ⃗ +c ⃗ |，由三角函数最值可得答案；(2)由(1)可得向量坐标，由垂直可得数量积为0，由等式和三角函数可得sin(β+π4)=√22，可得β=2kπ或β=2kπ+π2，k ∈Z ，求其余弦值可得答案．5.答案：解：设AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a →，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b →，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a →−b →，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =a →+b →， 而|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|a →−b →|=√a →2−2a →·b →+b →2=√1+4−2a →·b →=√5−2a →·b →=2， 所以5−2a →·b →=4，所以a →·b →=12，又|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|a →+b →|2=a →2+2a →·b →+b →2=1+4+2a →·b →=6， 所以|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6， 即AC =√6．解析：【试题解析】本题考查了向量的线性运算，考查了向量的数量积，根据条件可以得到BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a →−b →，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =a →+b →，然后由向量数量积求解即可．6.答案：解：(1)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AB =2，AD =4， ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4， ∴|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=16+4−2×4=12， ∴|DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3． (2)由|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=16+4+2×2×4×cos60°=28， 故|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√7， 在△ABC 中，AB =2，AC =2√7，BC =4， 根据余弦定理得出：cos∠CAB =AB 2+AC 2−BC 22AB⋅AC=2×2×2√7=2√77．解析：本题综合考察了平面向量的运算，几何意义，三角形中的定理，考察了学生的计算能力，运用图形的能力．(1)根据向量的加法几何意义得出BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得出BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4，再求解|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )2，即可得出|DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | (2)在△ABC 中，AB =2，AC =2√7，BC =4，运用余弦定理求解即可．7.答案：解：以A 为原点，正东方向为x 轴正方向，正北方向为y 轴正方向建立直角坐标系．据题设，B 点在第一象限，C 点在x 轴正半轴上，D 点在第四象限，向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 如图所示，由已知可得△ABC 为正三角形，所以AC =2000km ．又∠ACD =45°，CD =1000√2 km ，所以△ADC 为等腰直角三角形， 所以AD =1000√2 km ，∠CAD =45°． 故向量AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的模为1000√2 km ，方向为东南方向．解析：本题主要考查平面向量问题有生产生活中的实际应用，是中档题，解题认真审题，注意向量加法法则和数学结合思想的合理运用，是高考中常见的题型．8.答案：(1)证明：∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ +8b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(a ⃗ −b ⃗ ).∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ +8b ⃗ +3(a ⃗ −b ⃗ ) =2a ⃗ +8b ⃗ +3a ⃗ −3b ⃗=5(a ⃗ +b ⃗ )=5AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线， 又它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线.(2)解：∵k a ⃗ −b ⃗ 和a ⃗ −k b ⃗ 共线， ∴存在实数λ，使k a ⃗ −b ⃗ =λ(a ⃗ −k b ⃗ )， 即k a ⃗ −b ⃗ =λa ⃗ −λk b ⃗ ， ∴(k −λ)a ⃗ =(1−λk)b ⃗ . ∵a ⃗ ，b ⃗ 是不共线的两个非零向量， ∴k −λ=1−λk =0， ∴k 2−1=0，∴k =±1．解析：略9.答案：证明：如图所示，因为AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |均为单位向量，且两向量方向分别与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向． 记AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |， 由向量加法的几何意义知AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |对应一个平行四边形AMQN 的对角线AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 又因为|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||=1， 所以▱AMQN 是菱形． 所以AQ 在∠BAC 的平分线上．因为OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |)=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ．所以点P 在∠BAC 的平分线上，即P 的轨迹必过△ABC 的内心．解析：本题考查平面向量的加减运算和向量运算的平行四边形法则，先根据AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗|分别表示向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的单位向量，判断AQ 在∠BAC 的平分线上，确定OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP⃗⃗⃗⃗⃗ ，据此可判断． 10.答案：解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(q −p,4)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2)，而AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴2(q −p)=0，即p =q ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(p,t)⋅(p,t +4)=p 2+t 2+4t =5．∴|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |2=p2+t2=5−4t，∵p2+t2+4t=5，∴p2=5−t2−4t≥0，解得−5≤t≤1，1≤|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |2≤25，∴1≤|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |≤5．|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围：[1,5]．解析：通过向量平行，推出p=q，利用向量的数量积，求解p，t的关系式，通过p2=5−t2−4t≥0求解即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查转化思想以及计算能力．11.答案：解：建立如图所示的直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为|v1⃗⃗⃗⃗ |=20(km/ℎ)，水流的方向为正东，速度为|v2⃗⃗⃗⃗ |=20(km/ℎ)，设帆船行驶的速度为v⃗，则v⃗=v1⃗⃗⃗⃗ +v2⃗⃗⃗⃗ ．由题意，可得向量，向量v2⃗⃗⃗⃗ =(20,0)，则帆船的行驶速度v⃗=v1⃗⃗⃗⃗ +v2⃗⃗⃗⃗ =(10,10√3)+(20,0)=(30,10√3)，所以．因为tanα=10√330=√33(α为v和v2的夹角，α为锐角)，所以α=30°．所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为20√3km/h．解析：本题考查了向量的物理运用、向量的模和平面向量的坐标运算，建立如图所示的直角坐标系，设帆船行驶的速度为v ⃗ ，则v ⃗ =v 1⃗⃗⃗⃗ +v 2⃗⃗⃗⃗ .由向量坐标运算得出v⃗ ，再求模即可． 12.答案：解：|a ⃗ −b ⃗ |2=(a ⃗ −b ⃗ )2=a ⃗ 2+b ⃗ 2−2a ⃗ ·b ⃗ =4+1−2a ⃗ ·b ⃗ =4， 故a ⃗ ·b ⃗ =12，|a ⃗ +b ⃗ |=√(a ⃗ +b ⃗ )2=√4+1+2×12=√6．解析：此题考查向量的模，属于基础题．将|a ⃗ −b ⃗ |=2完全平方求得a ⃗ ·b ⃗ ，进而再对|a ⃗ +b ⃗ |平方求解即可．13.答案：解：(1)a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cosθ=4×2×cos120°=−4．(2)(a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −2b ⃗ )=a ⃗ 2−a ⃗ ⋅b ⃗ −2b ⃗ 2=16+4−8=12． (3)|a ⃗ +b ⃗ |2=a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=16−8+4=12，∴|a ⃗ +b ⃗ |=√12=2√3．解析：本题考查了平面向量的数量积运算，以及向量的模，属于基础题． (1)利用数量积的定义进行计算； (2)利用数量积的运算法则展开计算； (3)先计算(a ⃗ +b ⃗ )2，再开方即可．14.答案：解：∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ， ∴与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量c 0⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1919(a ⃗ +b⃗ )．解析：此题考查了平面向量的知识．注意掌握单位向量，三角形法则以及向量的坐标运算． 由在直角三角形ABC 中，∠B =120°，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ 且|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=3，直接利用AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量c 0⃗⃗⃗ ▱AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=a⃗ +b ⃗ |a ⃗ +b⃗ |求解即可求得答案． 15.答案：(1)解：AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ −a ⃗ ，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +c ⃗ −b ⃗ ； (2)证明：∵AA 1⊥底面ABC ，∴AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB ， ∴a ⃗ ·c ⃗ =0，a ⃗ ·b ⃗ =0， ∵AB 1⊥BC 1，∴(a ⃗ +b ⃗ )·(a ⃗ +c ⃗ −b ⃗ )=0，∴|a ⃗ |2−|b ⃗ |2+a ⃗ ·c ⃗ +b ⃗ ·c ⃗ =|a ⃗ |2−|b ⃗ |2+b ⃗ ·c ⃗ =0，∵A 1C ⊥BC 1，∴(c ⃗ −a ⃗ )·(a ⃗ +c ⃗ −b ⃗ )=0，∴|c ⃗ |2−|a ⃗ |2−b ⃗ ·c ⃗ =0， ∴|b ⃗ |2=|c ⃗ |2，∴|b ⃗ |=|c ⃗ |，即AB 1=A 1C .解析：本题考查向量线性运算、向量数量积、向量的模，属于基础题． (1)由向量加减法可得BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +c ⃗ −b ⃗ ； (2)由题意得(a ⃗ +b ⃗ )·(a ⃗ +c ⃗ −b ⃗ )=0，且(c ⃗ −a ⃗ )·(a ⃗ +c ⃗ −b ⃗ )=0，化简得 |b ⃗ |2=|c ⃗ |2，即可得AB 1=A 1C .16.答案：解：∵向量a ⃗ =(1,−2)，b ⃗ =(−7,−6)，∴a ⃗ +b ⃗ =(−6,−8)，与之同向的单位向量为c 0⃗⃗⃗ =(−35,−45)， 故：c ⃗ =20c 0⃗⃗⃗ =(−12,−16)．解析：本题主要考查了向量的模以及向量同向共线的概念，平面向量的坐标运算，属于基础题． 先求出与a ⃗ +b ⃗ 同向的单位向量为c 0⃗⃗⃗ =(−35,−45)，再由c ⃗ =20c 0⃗⃗⃗ 可得结论．17.答案：解：由题意可得：b ⃗ =2a ⃗ −(2,2)=2(−6,8)−(2,2)=(−12,16)−(2,2)=(−14,14)， 那么|b ⃗ |=√(−14)2+142=14√2，综上所述，结论为：b ⃗ =(−14,14)，|b ⃗ |=14√2．解析：本题主要考查平面向量的坐标运算，以及向量的模，属于基础题． 直接利用平面向量的坐标运算可的结论．18.答案：证明：(1)建立如图所示坐标系，设正方形边长为1，设| DP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=λ，则A(0,1)， P(√22λ, √22λ),E(1, √22λ),F(√22λ,0)， ∴PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22λ,1− √22λ), EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( √22λ−1,− √22λ)， | PA⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(−√22λ)2+(1−√22λ)2=λ2− √2λ+1 ， | EF |2=( √22λ−1)2+(− √22λ)2=λ2− √2λ+1，∴| PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=| EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，故PA =EF ； (2)由(1)可得： PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(− √22λ)( √22λ−1)+(1− √22 λ)(− √22λ)=0， ∴ PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EF⃗⃗⃗⃗⃗ ∴PA ⊥EF ．解析：略19.答案：解：(1)A 2A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 2B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，C 1C 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，C 2C 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；(2)A 1C 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，A 2B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 1C 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 2C 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 2A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 3A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，C 2B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，C 3B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，C 3A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； (3)A 3A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 3B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，C 3C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗解析：本题考查向量相等、平行、相反的概念，属于基础题， (1)根据向量相等的概念求解即可； (2)根据向量平行的概念求解即可； (3)根据向量相反的概念求解即可．20.答案：解：∵点D 、E 、F 分别是△ABC 的三边AB 、BC 、CA 的中点，∴AB//EF ，AC//DE ，BC//DF ，∴与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 平行的向量有BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，FE ⃗⃗⃗⃗⃗ 。
人教A版(新教材)高中数学第二册：向量的实际背景与概念 向量的几何表示 相等向量与共线向量
解 (1)如图所示，作出A→B，B→C，C→D.
(2)由题意知AB∥CD，AB＝CD，所以四边形ABCD是平行四边形， 所以 AD＝BC＝400 km，所以|A→D|＝400 km.
【迁移】 在例 3 的四边形 ABCD 中，是否一定有A→B＝D→C？ 解 是，因为 AB 与 DC 平行且相等，A→B与D→C的方向也相同，所以A→B＝D→C. 规律方法 平面向量在实际生活中的应用 生活中很多问题可以归结为向量的问题，如力、速度、位移等，因此运用向量的 知识进行解答可使问题简化，易于求解.解答时，一般先把实际问题用图示表示出 来，然后围绕线段的长度(即向量的模)和方向(求某个角)进行求解.
(2)由题意知A→D＝B→C， ∴AD 綉 BC，则四边形 ABCD 为平行四边形， ∴A→B＝D→C，则 B 地相对于 A 地的位置为“北偏东 60°，长度为 6 千米”.
一、素养落地 1.通过了解平面向量的实际背景及理解平面向量的意义，培养数学抽象素养.通过学
习相等向量的含义及平面向量的几何表示提升直观想象素养. 2.向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，
1.向量的定义及表示 向量无特定的位置，因此向量可以作任意的平移 (1)定义：既有 大小又有 方向 的量叫做向量. (2)表示： ①有向线段：带有 方向的线段，它包含三个要素： 起点 、方向、长度；
②向量的表示：
|AB|
长度
→a ,→b ,→c
2.向量的有关概念 相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等向量
2.理解平面向量的几何表示和基本要素.
教材知识探究
老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，猫能否追到老鼠(如图)? 问题 猫能否追到老鼠？ 提示 猫的速度再快也没用，因为方向错了. 老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有大小、有方向的量. 生活中还有许多既有大小又有方向的量，你能说出它们并指出其大小和方向吗？ 本节就来学习这方面的知识.
高中数学必修二 专题6 1 平面向量的概念-同步培优专练
专题6.1 平面向量的概念知识储备一 向量的概念1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.2.数量：只有大小没有方向的量称为数量.二 向量的几何表示1.有向线段具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB ，线段AB 的长度叫做有向线段AB 的长度记作|AB |.2.向量的表示(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.(2)字母表示：向量可以用字母a ，b ，c ，…表示(印刷用黑体a ，b ，c ，书写时用c b a ,,).3.模、零向量、单位向量 向量AB 的大小，称为向量AB 的长度(或称模)，记作|AB |.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.思考 “向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？答案 错误.理由是：①向量只有长度和方向两个要素；与起点无关，只要长度和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、长度和方向三个要素，起点不同，尽管长度和方向相同，也是不同的有向线段.三 相等向量与共线向量1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.(1)记法：向量a 与b 平行，记作a ∥b .(2)规定：零向量与任意向量平行.2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.思考 (1)平行向量是否一定方向相同？(2)不相等的向量是否一定不平行？(3)与任意向量都平行的向量是什么向量？(4)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？答案 (1)不一定；(2)不一定；(3)零向量；(4)平行(共线)向量.能力检测姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（ ）（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；（2）平行且模相等的两个向量是相等向量；（3）若a b ≠，则a b →→≠；（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】由相等向量的定义知（1）正确；平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，（2）错；方向不相同且长度相等的两个是不相等向量，（3）错；相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，（4）错， 所以正确答案只有一个．故选B ．2．下列命题正确的是（ ）A ．若||0a =，则0a =B ．若||||a b =，则a b =C ．若||||a b =，则//a bD ．若//a b ，则a b =【答案】A 【解析】模为零的向量是零向量，所以A 项正确；||||a b =时，只说明向,a b 的长度相等，无法确定方向，所以B ，C 均错；a b 时，只说明,a b 方向相同或相反，没有长度关系，不能确定相等，所以D 错.故选A.3．若非零向量a 和b 互为相反向量，则下列说法中错误是（ ）A ．//a bB ．a b ≠C ．a b ≠D ．a b =-【答案】C 【解析】由平行向量的定义可知A 项正确；因为a 和b 的方向相反，所以a b ≠，故B 项正确；由相反向量的定义可知a b =-，故选项D 正确；由相反向量的定义知a b =，故C 项错误.故选C.4．如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，则与BC 相等的向量为（ ）A ．BAB ．CDC ．AD D ．OD【答案】D 【解析】根据图形看出，四边形BCDO 是平行四边形//,BC OD BC OD ∴=BC OD ∴=故选：D 5．若向量a 与向量b 不相等，则a 与b 一定（ ）A ．不共线B ．长度不相等C ．不都是单位向量D ．不都是零向量 【答案】D 【解析】向量a 与向量b 不相等，它们有可能共线、有可能长度相等、有可能都是单位向量但方向不相同，但不能都是零向量，即选项A 、B 、C 错误，D 正确.故选：D.6．下列说法错误的是（ ）A ．若非零向量a b c ，，有//a b ，//b c ，则//a cB ．零向量与任意向量平行C ．已知向量a b ，不共线，且//a c ，//b c ，则0c =D ．平行四边形ABCD 中，AB CD =【答案】D【解析】选项A ：因为a b c ，，都不是零向量，所以由//a b ，可知向量a 与向量b 具有相同或相反方向.又由//b c ，可得向量c 与向量b 具有相同或相反方向，所以向量a 与向量c 具有相同或相反方向，故//a c ，故本说法是正确的；选项B ：零向量与任意向量平行这是数学规定，故本说法是正确的；选项C ：由//a c ，//b c ，可知：c 与向量a 具有相同或相反方向，c 与向量b 具有相同或相反方向，但是向量a b ，不共线，所以0c ，故本说法是正确的；选项D ：平行四边形ABCD 中，应该有AB DC =，故本说法是错误的.故选：D7．a ，b 为非零向量，且a b a b +=+，则（ ）A ．a ，b 同向B ．a ，b 反向C ．a b =-D ．a ，b 无论什么关系均可【答案】A 【解析】当两个非零向量a 与b 不共线时,a b +的方向与a ,b 的方向都不相同,且a b a b +<+；当向量a 与b 同向时,a b +的方向与a ,b 的方向都相同,且a b a b +=+； 当向量a 与b 反向且a b <时,a b +的方向与b 的方向相同（与a 的方向相反）,且a b b a +=-, 故选:A8．如图是34⨯的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与AB的向量共有( )A．12个B．18个C．24个D．36个【答案】C⨯的格点图中【解析】由题意知，每个小正方形的对角线与AB34包含12个小正方形，所以有12条对角线，与AB平行的向量包含方向相同和相反，所有共有24个向量满足.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
6-4-1平面几何中的向量方法(教学课件)——高中数学人教A版(2019)必修第二册
(1)因为E→D＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)， B→C＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)， 所以E→D＝B→C，所以E→D∥B→C，即DE∥BC。 (2)连接MB，MD。
因为M为EC的中点，所以M0，12， 所以M→D＝(－1,1)－0，12＝－1，12，M→B＝(1,0)－0，12＝1，－12。 所以M→D＝－M→B，所以M→D∥M→B。 又M→D与M→B有公共点M， 所以D，M，B三点共线。
作业: P52 3 三维设计P37-38
第 6章 平面向量及其应用
6.4 平面向量的应用
7.1.1 数系的扩充和复数的概念 6.4.1 平面几何中的向量方法
温故知新
导入新课
➢ 平面几何中的向量方法
例1 如图所示,DE是∆ABC的中位线，用向量方法证明： DE//BC,
分析：这是初中我们学习过的一个重要定理（三角形中位线定理），
证明时要添加辅助线，有一定的难度。如果用向量方法证明
➢ 求长度
例3
在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长.
例2.如图，已知 ABCD中, AC、BD是 ABCD的两条对角线，求证：AC2 BD2 （2 AB2 AD2）.
解 设A→D＝a，A→B＝b，则B→D＝a－b，A→C＝a＋b， 而|B→D|＝|a－b|＝ a2－2a·b＋b2＝ 1＋4－2a·b ＝ 5－2a·b＝2，
D A
C B
∴5－2a·b＝4，∴a·b＝12， 又|A→C|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，
∴|A→C|＝ 6，即 AC＝ 6.
➢ 求角度
【例 3】 如图,在△ABC 中,∠BAC=120°,AB=AC=3,点 D 在线段 BC 上,且 BD=12DC。 求:
(完整版)高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行③单位向量：模为1个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法：设,ABa BCb uu u ru uu r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =ACuu u r （1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律；AB BCCDPQQRAR u u u r u u u r u uu r u u u r u u u r u u u rL，但这时必须“首尾相连”．3、向量的减法：①相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：b a可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点）4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a ；（Ⅱ）当0时，λa 的方向与a 的方向相同；当时，λa 的方向与a 的方向相反；当0时，0a，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线有且只有一个实数，使得b =a6、平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,使：2211e ea，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a r可表示成axi yj r rr ，记作a r=(x,y)。
2平面向量的坐标运算：(1)若1122,,,ax y bx y rr ，则1212,a bx x y y r r (2)若2211,,,y x B y x A ，则2121,AB x x y y u u u r(3)若a r =(x,y)，则a r =(x, y)(4)若1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y rr (5)若1122,,,ax y bx y rr ，则1212a bx x y y r r 若ab rr ，则02121y y x x 三．平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量a r 与b r，它们的夹角为，则a r ·b r =︱a r︱·︱b r ︱cos 叫做a r与b r 的数量积（或内积）规定00ar r 2向量的投影：︱b r ︱cos =||a b a r r r ∈R ，称为向量b r 在a r方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义：a r ·b r 等于a r 的长度与b r 在a r方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：22||a a a a r r r r 5乘法公式成立：2222a b ab a b a b r r r r r r r r ；2222abaa bb r r r r r r 222aa bbr r r r 6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a bb arr r r ②对实数的结合律成立：a b a b a bRr r r r r r ③分配律成立：abca cb c r r r r r r r ca br r r 特别注意：（1）结合律不成立：ab ca b c r r r r r r ；（2）消去律不成立a ba cr r r r 不能得到bc rr （3）a b r r =0不能得到a r =0r或b r =0r 7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)ax y b x y rr，则a r ·b r=1212x x y y 8向量的夹角：已知两个非零向量a r与b r ，作OA u u u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB=（01800）叫做向量a r 与b r 的夹角cos =cos,a b a ba b??r r r r r r =222221212121y x y x y y x x 当且仅当两个非零向量a r 与b r 同方向时，θ=00，当且仅当a r与b r 反方向时θ=1800，同时0r与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a r 与b r 的夹角为900则称a r 与b r 垂直，记作a r⊥br 10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥ba ·b ＝O02121y y x x 平面向量数量积的性质一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则()．A ．AB 与AC 共线B ．DE 与CB 共线C ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等2．下列命题正确的是()．A ．向量AB 与BA 是两平行向量B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足OC ＝OA ＋OB ，其中，∈R ，且＋＝1，则点C 的轨迹方程为()．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝04．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，则a 与b 的夹角是A ．6B ．3C ．23D ．565．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1)B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22)C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1)D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22)6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝()．(第1题)A．EF＋ED B．EF－DE C．EF＋AD D．EF＋AF7．若平面向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为()．A．2 B．4 C．6 D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF二、填空题11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC ＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋mb)⊥(a－b)，则实数m 等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？(第10题)18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．(第19题) 20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值．一、选择题1．B 解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB ＝DC ，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y)，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，OA ＝(3，)，OB ＝(－，3)，又OA ＋OB ＝(3－，＋3)，∴(x ，y)＝(3－，＋3)，∴33＋＝－＝y x ，又＋＝1，由此得到答案为D ．4．B解析：∵(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，∴(a －2b)·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a)·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴a 2＝b 2，即|a|＝|b|．∴|a|2＝2|a||b|cos θ＝2|a|2cos θ．解得cos θ＝21．∴a 与b 的夹角是3π．5．A解析：由平行四边形法则，AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵AF ＝DE ，∴DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．7．C解析：由(a ＋2b)·(a －3b)＝－72，得a 2－a ·b －6b 2＝－72．而|b|＝4，a ·b ＝|a||b|cos 60°＝2|a|，∴|a|2－2|a|－96＝－72，解得|a|＝6．8．D 解析：由OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，得OA ·OB ＝OC ·OA ,即OA ·(OC －OB )＝0，故BC ·OA ＝0，BC ⊥OA ，同理可证AC ⊥OB ，∴O 是△ABC 的三条高的交点．9．C解析：∵AD ＝AB ＋BC ＋D C ＝－8a －2b ＝2BC ，∴AD ∥BC 且|AD |≠|BC |．∴四边形ABCD 为梯形．10．D解析：AD 与BC ，AC 与BD ，OA 与OB 方向都不相同，不是相等向量．(第1题)二、填空题11．－32．解析：A ，B ，C 三点共线等价于AB ，BC 共线，AB ＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又A ，B ，C 三点共线，∴5(4－k)＝－7(－k －4)，∴k ＝－32．12．－1．解析：∵M(－1，3)，N(1，3)，∴MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴＝4－3－2＝3＋2x x x 解得4＝1＝－1＝－x x x 或∴x ＝－1．13．－25．解析：思路1：∵AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴△ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0，∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(BC ＋AB )＝－(CA )2＝－2CA ＝－25．思路2：∵AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴∠ABC ＝90°，∴cos ∠CAB ＝CAAB ＝53，cos ∠BCA ＝CABC＝54．根据数积定义，结合图(右图)知AB ·BC ＝0，BC ·CA ＝BC ·CA cos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16，CA ·AB ＝CA ·AB cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9．∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25．14．323．解析：a ＋mb ＝(3＋2m ，4－m)，a －b ＝(1，5)．∵(a ＋mb)⊥(a －b)，∴ (a ＋mb)·(a －b)＝(3＋2m)×1＋(4－m)×5＝0m ＝323．15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF交AC 于点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又OA ＋OC ＝－OB ，(第15题)D(第13题)∴OF ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心．16．答案：平行四边形．解析：∵a ＋c ＝b ＋d ，∴a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ．∴四边形ABCD 为平行四边形．三、解答题17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y)，则AP ＝(x ，y)－(2，3)＝(x －2，y －3)．AB ＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵AP ＝AB ＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)．∴713532yx 即7455yx 要使点P 在第三象限内，只需74055解得λ＜－1．18．DF ＝(47，2)．解析：∵A(7，8)，B(3，5)，C (4，3)，AB ＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又D 是BC 的中点，∴AD ＝21(AB ＋AC )＝21(－4－3，－3－5)＝21(－7，－8)＝(－27，－4)．又M ，N 分别是AB ，AC 的中点，∴F 是AD 的中点，∴DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)．19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ．∴AF ·ED ＝(a ＋21b)·(b －21a)＝21b 2－21a 2＋43a ·b ．又AB ⊥AD ，且AB ＝AD ，∴a 2＝b 2，a ·b ＝0．∴AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴|2a －b|2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ．又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos3π－cos θsin3π)＝8sin(θ－3π)，最大值为8，∴|2a －b|2的最大值为16，∴|2a －b|的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b|表示2a ，b终点间的距离．|2a|＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ|的最大值为直径的长为4．(第18题)(第19题)。
高中数学第六章平面向量及其应用6.1平面向量的概念教案第二册
6。
1 平面向量的概念本节课选自《普通高中课程标准数学教科书—必修第二册》（人教A 版）第六章《平面向量及其应用》,本节课是第1课时，本节课内容包括向量的实际背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。
本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念,并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。
在“向量的物理背景与概念"中介绍向量的定义；在“向量的几何表示"中，主要介绍有向线段、有向线段的三个要素、向量的表示、向量与有向线段的区别与联系、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量;在“相等向量与共线向量”中，主要介绍相等向量,共线向量定义等1。
教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.2.教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.多媒体意的,单位向量的方向具体而定.（2）注意:向量是不能比较大小的，但向量的模（是正数或零）是可以进行大小比较的。
例1。
在图中，分别用向量表示A地至B、C两地的位移，并根据图中的比例尺，并求出A地至B、C两地的实际距离(精确到1km）（三）。
相等向量与共线向量思考1:向量由其模和方向所确定.对于两个向量b a,，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？【答案】模相等，方向相同；模相等，方向不相同;模不相等，方向相同; 模不相等,方向不相同；1.平行向量定义：[来源：学科网ZXXK]通过例题进一步理解向量的概念，提高学生用向量解决问题的能力。
通过思考，引入平行向量，提高学生的理解问题的能力。
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行。
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；(2)向量ａ、ｂ、ｃ平行,记作ａ∥ｂ∥ｃ.2。
相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明:（1)向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等;（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线．．．．段的起点无关．．．．．．。
人教A版高中数学选修2
另外，我发现有些同学在向量坐标运算方面还存在困难，尤其是在向量减法和数乘运算的坐标表示上。针对这个问题，我计划在下一节课中增加一些针对性的练习，帮助同学们巩固这部分知识。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《平面向量》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过力的合成与分解的情况？”（如两个人拉扯物体）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索平面向量的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解平面向量的基本概念。平面向量是有大小和方向的量，它是描述物体运动状态和力的作用效果的重要工具。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了平面向量在力的合成与分解中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调向量加法、减法、数乘这两个重点。对于难点部分，如向量加法的平行四边形法则，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
5.向量的投影：向量在另一个向量上的投影，投影向量的计算。
二、核心素养目标
本节课旨在培养学生的以下核心素养：
1.逻辑推理：通过向量的概念及运算的学习，使学生能够运用逻辑推理进行向量问题的分析，提高解决问题的能力。
2.数学建模：培养学生运用向量知识解决实际问题的能力，学会建立向量模型，并运用模型进行问题的求解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与平面向量相关的实际问题。
统编人教高中数学A版必修二第六章第2节《平面向量的运算》优质说课稿
（新）人教高中数学A版必修二第六章第2节《平面向量的运算》优质说课稿今天我说课的内容是新人教高中数学A版必修二的第六章第1节《平面向量的概念》。
向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景。
向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁.向量是描述直线、曲线，平面、曲面以及高维空间数学同题的基本工具，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥着重要作用。
本章的学习可以帮助学生理解平面向量的几何意义和代数意义;掌握平面向量的概念、运算、平面向量基本定理;用向量语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题:提升数学运算、直观想象和逻辑推理素养.第2节主要讲平面向量的运算。
本节教学承载着实现上述目标的任务，为了更好地教学，下面我从课程标准、教材分析、核心素养、教学重难点、教学方法、教学过程等方面进行说课。
一、说课程标准普通高中数学课程标准（２０１７年版２０２０年修订）【内容要求】１．平面向量及其应用。
内容包括：向量运算①借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义。
②通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义。
理解两个平面向量共线的含义。
③了解平面向量的线性运算性质及其几何意义。
④通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积。
⑤通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义。
⑥会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
二、教材分析。
对于“运算"学生并不陌生，他们已经学习了数的运算、代数式的运算、集合的运算等，针对每一种代数运算无外乎要研究运算的背景、意义、法则、性质、应用等，从而建立相应的运算体系，平面向量运算内容关注了以下两个方面: 一是引导学生从物理、几何、代数三个角度理解向量运算；二是引导学生类比数的运算研究向量的运算.本节在学生已经学习了平面向量概念的基础上，对平面向量这个新获得的数学研究对象，从运算的角度进一步展开研究。
6.3.1 平面向量基本定理 高中数学人教A版(2019)必修二
故 OP ON BN 3 OA (ON OB) 3 (1 )OA OB ，
所以
3
3 4
(1
)
2
3
4 解得
9 10 3
5
，
4 所以 OP 3 a 3 b .
10 5
平面向量基本定理指出了平面内任一向量 a 都可以表示为同一平面内两个
不共线向量 e1 ， e2 的线性组合 a e1 e2 .在具体求 λ1，λ2时有两种方法：
__23_a__13_b__， OQ
_1__a__2_b__.(用 33
a
，b
表示)
B Q P
A
O
5.如图所示，在△OAB中， OA a ，OB b ，点M是AB上的靠近B的一个
三等分点，点N是OA上的靠近A的一个四等分点．若OM与BN相交于点P，
求 OP .(用 a ，b 表示)
B
分析：可利用 OP OM 及 OP OB BN 两 种形式来表示，并都转化为以 a ，b 为基底的表
a
A
aC
e1
e1
e2
O
e2
B
根据上述分析，我们得到如下定理：
如果 e1 ，e2 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内 的任一向量 a ，有且只有一对实数 λ1，λ2，使
a 1 e1 2 e2 .
若 e1 ，e2 不共线，我们把 e1 ，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一
达式．根据任一向量基底表示的唯一性求得 λ， O μ，进而求得 OP .
M P
N
A
解：OM OA AM OA 2 AB OA 2 (OB OA) 1 a 2 b ，
3
3
33
向量的概念 课件 高中数学人教A版(2019)必修第二册
且|
的区别及联系：0是一个实数， 是一个向量，并
|=0，书写时 0 表示零向量，一定不能忘记上面的箭头.
②单位向量有无数个，它们大小相等，但是方向不一定相同.
③在平面内，将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到
同一点，则它们的终点就会构成一个半径为1的圆.
牛刀小试
问题：“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？
定的，而向量是可以自由移动的；向量可以用有向线段表示，但并不能
说向量就是有向线段
3．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一
条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量
4．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，
单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一
个单位圆
得正确选项.
测验
【例2】(2020·全国高一专题练习)某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改
变方向沿东北方向走了10 2 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达
D点．
(1)作出向量AB，BC，CD ；
(2)求AD 的模．
(1)不一定；(2)不一定；(3)零向量；(4)平行(共线)向量
（速度为10海里/小时）．如果只是给出指令：
“由A地航行15 海里”，小船能否到达B地？
• 如果不指明“向东南方向”航行，小船不一定到达B地
• 给出指令：“向东南方向航行”呢？
• 方向和距离缺一不可
新知探究
（1）向量的实际背景与概念
• 物理中我们学习了位移、速度、力等既有大小、又有方向的量，
在物理中被称为“矢量”，
B．②④⑥是数量，①③⑤是向量