概率统计与统计案例复习

(1)在 35～50 岁年龄段的专业技术人员中用分层抽样
的方法抽取一个容量为 5 的样本，将该样本看成一个总体，
从中任取 2 人，求至少有 1 人的学历为研究生的概率；
(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层
抽样的方法抽取 N 个人，其中 35 岁以下 48 人，50 岁以上
多 10 人，再从这 N 个人中随机抽出 1 人，此人的年龄为 50
100]之间的概率．
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第54讲 随机事件的概率与古典概型
点 面 讲 考 向
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第54讲 随机事件的概率与古典概型
变式题 (1)[2012·宁波模拟] 连掷骰子两次(骰子六
个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6)得到的点数分别
记为a和b，则使直线3x－4y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝4相
(2)A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站； B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站． 由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6； P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)>P(A2)．∴甲应选择L1. P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8； P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P(B2)＞P(B1)． ∴乙应选择L2.
面 讲
坏，但可见部分如图9－54－3，据此解答如下问题：
考 向
(1)求分数在[50，60)的频率及全班的人数；
(2)求分数在[80，90)之间的频数，并计算频率分布直
方图中[80，90)间的矩形的高； (3)若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析
学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份在[90，
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第54讲 随机事件的概率与古典概型
思考流程 (1)分析：“三个形状颜色不全相同”与
“三个形状颜色全相同”是对立事件；推理：先找出事件
点 的总数，数出“三个形状颜色完全相同”的事件个数并求
面 其概率；结论：根据对立事件概率之和为1可得结果．
讲 考
(2)分析：事件“甲不输”是两个互斥事件“甲获胜”
A)，(C，A)，(B，A)，(D，B)，(C，B)，(D，C)共 16 种.2 分
多 元
设事件 A1 表示数字和为 2，包括：(A，A)，(B，B)，(A，
提
能 力
B)，(B，A)，共 4 种，P(A1)＝146＝14.3 分
设事件 A2 表示数字和为 3，
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第54讲 随机事件的概率与古典概型
2．概率 (1)在相同条件下，大量重复进行同一试验时，事件A发生的 频率 m 总接近于某个常数，且在它附近摆动，这时就把这个常数 n 叫做事件A的概率，记作P(A)．由定义可知0≤P(A)≤1，显然必然 事件的概率是_1__，不可能事件的概率是__0__. (2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但是频率是随 机的，而__概__率_是一个确定的值，通常人们用概率来反映随机事 件发生的可能性的大小．有时也用_频__率_来作为随机事件概率的估 计值．
50～60 12 4
图 14－1－1
(1)试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车 站，为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说 明，他们应如何选择各自的路径．
解：(1)由已知共调查了100 人，其中40 分钟内不能赶到火车 站的有 12＋12＋16＋4＝44(人)， 用频率估计相应的概率为0.44.
提
能
力
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第54讲 随机事件的概率与古典概型
(2)所有基本事件包括：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，
A)，(B，C)，(B，D)，(C，A)，(C，B)，(C，D)，(D，A)，
(D，B)，(D，C)，共 12 种.7 分
设事件 B1 表示数字和为 3，包括：(A，C)，(A，D)，(B，
例 [2012·哈三中三模] 口袋里装有4个大小相同的小
球，其中两个标有数字1，两个标有数字2.
(1)第一次从口袋里任意取一球，放回口袋里后第二次再
任意取一球，记第一次与第二次取到小球上的数字之和为ξ .
多 元
当ξ为何值时，其发生的概率最大？说明理由；
提 能
(2)第一次从口袋里任意取一球，不再放回口袋里，第二
向 与“甲、乙二人下成和棋”的和事件；推理：设甲、乙二
人下成和棋的概率为P，利用甲不输的概率为95%列方 程；结论：方程的根就是所求的答案．
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第54讲 随机事件的概率与古典概型
变式题 (1)某人射击1次，命中率如下表所示：
点 面
命中环数 10环 9环
8环
7环
6环及其以下(包括脱 靶)
讲
考 向
双
向
固
基 础
点
面 讲
第54讲 随机事件的概率
考
向
与古典概型
多
元
提
能
力
教
师
备
用 题
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1．随机事件 在一次试验中，一定会发生的事件称为必然事件，一定不 会发生的事件称为_不__可__能__事__件__，可能发生也可能不发生的事 件称为__随__机__事__件__，其中__必__然__事__件__和不__可__能__事__件__统称为确定 事件．
正解：互斥事件是不可能同时发生的事件，而对立事件是 不可能同时发生且必有一个发生的两个事件．对立事件是特殊 的互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，故选C.
答案：C 【失误与防范】互斥事件是不可能同时发生的事件，而对 立事件是不可能同时发生且必有一个发生的两个事件.对立事件 与互斥事件的区别在于两个事件中是否必有一个发生.在解题中 我们一般把所求事件的概率转化为若干个互斥事件的概率和或 者转化为对立事件的概率来求解.
3．事件的关系及运算 (1)包含关系：如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时称 事件 B 包含事件 A( 或称事件 A 包含于事件 B) ，记作__B_⊇__A_( 或 _A__⊆_B__)． (2)相等关系：若 B⊇A 且___A_⊇__B_，那么称事件 A 与事件 B 相 等，记作__A_＝__B__. (3)并事件(和事件)：若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事 件 B 发生，则此事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或和事件)，记 作__A_∪__B__(或__A_＋__B_)．
点 中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这
面 讲
两位同学参加同一个兴趣小组的概率为(
)
考 向
1123 A.3 B.2 C.3 D.4
(2)[2012·安徽卷] 袋中共有6个除了颜色外完全相同的
球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两
球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )
1234 A.5 B.5 C.5 D.5
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第54讲 随机事件的概率与古典概型
变式题 (1)[2012·宁夏仿真模拟] 从{1，2，3，4，
5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数
点
b，则a>2b的概率为( )
面 讲
1416 A.5 B.15 C.3 D.15
考 向
(2)如图9－54－2表示的是甲、乙两人在5次综合测评
(4)交事件(积事件)：若某事件发生当且仅当_事__件___A_发__生__且__事__件_ __B__发__生_____，则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件)， 记作_A_∩__B__(或__A_B_)．
(5)互斥事件：若 A∩B 为不可能事件，那么事件 A 与事件 B
叫做互斥事件，记作__A_∩_B__＝__∅__. (6)对立事件：若 A∩B 为不可能事件，A∪B 为必然事件，那
多 C)，(B，D)，(C，A)，(C，B)，(D，A)，(D，B)，P(B1)＝182
元 提 能
＝23，9 分
力
设事件 B2 表示数字和为 4，包括：(C，D)，(D，C)，P(B2)
＝122，数字和大于 2 的概率为 P(B1)＋P(B2)＝56.11 分
∴数字和大于 2 的概率为56.12 分
包括：(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(D，A)，(C，
A)，(D，B)，(C，B)，共 8 种，P(A2)＝186＝12，4 分
设事件 A3 表示数字和为 4，包括：(C，C)，(D，D)，(C，
D)，(D，C)，共 4 种，P(A3)＝146＝14，5 分
多 元
∴数字和为 3 时概率最大.6 分
中成绩的茎叶图，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩
超过乙的平均成绩的概率为( )
2749 A.5 B.10 C.5 D.10
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第54讲 随机事件的概率与古典概型
► 探究点四 复杂的古典概型的概率问题
例4 [2012·哈九中四模] 某校高三某班的一次数学测
点 试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破
力 次再任意取一球，记第一次与第二次取到小球上的数字之和
为η.求η大于2的概率．
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第54讲 随机事件的概率与古典概型
解：(1)设标号为 1 的球为 A，B，标号为 2 的球为 C，D，
1分
所有基本事件包括：(A，A)，(B，B)，(C，C)，(D，D)，
(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，(D，
点
面 切的概率为________．
讲 考
(2)将一骰子向上抛掷2次，所得点数分别为m和n，则
向
函数y＝
2 3
mx3－nx＋1在[1，＋∞)上为增函数的概率是