中学2020初三第三次月考数学试题及答案
人教版2022-2023学年第一学期九年级数学第三次月考测试题(附答案)
湖北省武汉市黄陂区木兰乡朝阳中学2022-2023学年第一学期九年级数学第三次月考测试题（附答案）一、选择题（共30分）1．在美术字中，有些汉字或字母是中心对称图形．下面的汉字或字母不是中心对称图形的是（）A．A B．B C．C D．D2．有两个事件，事件M：在汽步枪比赛中，某运动员打出10环；事件N：一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的6个小球（4个黑球，2个白球），从中随机摸出的3个球中有黑球．下列判断正确的是（）A．M，N都是随机事件B．M，N都是必然事件C．M是随机事件，N是必然事件D．M是必然事件，N是随机事件3．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（）A．x2﹣2x+1＝0B．x2﹣2x＝0C．x2﹣2x+2＝0D．x2+2＝04．在平面直角坐标系中，将抛物线C向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到抛物线y＝2x2，则抛物线C的解析式为（）A．y＝2（x+2）2+2B．y＝2（x+2）2﹣2C．y＝2（x﹣2）2+2D．y＝2（x﹣2）2﹣25．如图，两个同心圆的半径分别为3，5，直线l与大⊙O交于点A，B，若AB＝6，则直线l与小⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定6．从﹣1，﹣2，3三个数中随机取两个数求和作为a，则使抛物线y＝ax2的开口向下的概率是（）A．B．C．D．7．如图，P A，PB分别与⊙O相切于点A，B，，∠APB＝60°，则的长为（）A．B．C．D．8．已知二次函数y＝x2+（m﹣1）x+m﹣2，当x＞1时，y随x的增大而增大，则其图象与x 轴的交点坐标不可能是（）A．B．（3，0）C．D．（﹣1，0）9．如图是某圆弧形桥洞，它的跨度AB＝10，点C在圆弧上，CD⊥AB于点D，AD＝6，，则该圆弧所在圆的半径为（）A．B．6C．D．10．已知m，n是方程x2﹣x+1＝0的两个根．记S1＝，S2＝，…，S t＝（t为正整数）．若S1+S2+…S t＝t2﹣56，则t的值为（）A．7B．8C．9D．10二、填空题（共18分）11．在平面直角坐标系中，若点A（a，﹣1）与点B（b，1）关于原点对称，则a+b的值为．12．一个不透明的袋子里装有红球和白球共m个，它们除颜色外完全相同，每次搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，不断重复，统计汇总数据如下表：摸球次数3006009001500摸到白球的频数123247365606摸到白球的频率0.4100.4120.4060.404已知袋子里白球有10个，根据表格信息，可估计m的值为．13．某商城今年9月份的营业额为440万元，11月份的营业额达到了633.6万元，则该商城9月份到11月份营业额的月平均增长率是（用百分数表示）．14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE（点D与点B对应），连接BD．当点E落在直线AB上时，线段BD的长为．15．若抛物线y＝mx2﹣2mx+1（m＜0）经过点P（﹣2，t），则关于x的不等式m（x﹣1）2﹣2m（x﹣1）+1﹣t＜0的解集是．16．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，定长线段EF的端点E，F分别是边AC，BC上的动点，O是EF的中点，连接OB．设AE＝x，CF2＝y，y与x之间的函数关系的部分图象如图2所示（最高点为（b，4）），当x＝a时，∠OBC最大，则a的值为．三、解答题（共72分）17．已知3，t是方程2x2+2mx﹣3m＝0的两个实数根，求m及t的值．18．如图，将△ABC绕点A顺时旋转得到△ADE，点B的对应点D在BC上，且AD＝CD．若∠E＝26°，求∠CDE的度数．19．在一个不透明的纸盒里装有红、白、黄三种颜色的乒乓球4个（除颜色外完全相同），其中白球2个，红球、黄球各1个．（1）从纸盒中随机摸出一个球，事件“摸到白球”的概率是；（2）若摸到红球得1分，摸到白球得2分，摸到黄球得3分．甲同学随机从纸盒中一次摸出两个球，请用画树状图法或列表法求甲同学至少得4分的概率．20．如图，在矩形ABCD中，G为AD的中点，△GBC的外接圆⊙O交CD于点F．（1）求证：AD与⊙O相切；（2）若DF＝1，CF＝3，求BC的长．21．如图，在平面直角坐标系网格中，A（1，6），B（5，2），C（8，5），仅用无刻度的直尺按下列步骤完成画图，并回答下列问题：（1）直接写出：AC的长为，△ABC的形状是；（2）△ABC的角平分线AD；（3）过点D作DE⊥AC，垂足为则E；（4）将线段AD绕点P顺时针旋转90°得到线段CH（点A与点C对应），直接写出点P的坐标，并画出线段CH．22．某社区决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成健身广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），空白区域为活动区，且广场四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于12m，不大于24m．设绿化区较长边为xm，活动区的面积为ym2．（1）直接写出：①每一个出口的宽度为m，绿化区较短边长为m（用含x的式子表示）；②y与x的函数关系式是，x的取值范围是；（2）当出口的宽为多少时，活动区所占面积最大？最大面积是多少？（3）预计活动区造价为50元/m2.若该社区用于建造活动区的经费不超过60000元，当x 为整数时，共有几种建造方案？23．问题背景：（1）如图1，D是等边△ABC外的一点，且∠BDC＝60°，过点A作AE⊥BD于点E，作AF⊥CD于点F．求证：DA平分∠BDF；尝试应用：（2）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，在其内部作∠ADB＝∠ADC＝135°，E是AB的中点，连接ED，设△ABD的面积为S．求证：S＝AD•DE；拓展创新：（3）如图3，∠POQ＝45°，点B，C分别在OP，OQ上，点A在∠POQ的内部，AE⊥OQ于点E．若△ABC是边长为a的等边三角形，AE＝4，OE＝3+7，则a的值为（直接写出结果）．24．如图，抛物线y＝﹣x2﹣（2t+1）x﹣t2﹣t+2与x轴交于A，B两点（点A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）当时，直接写出：点B的坐标为，点C的坐标为；（2）在（1）的条件下，P是x轴下方抛物线上的一点，且∠PBA＝2∠OCB，求点P到y轴的距离；（3）当﹣2＜t＜1时，若△ABC的外心在x轴上，求代数式的值．参考答案一、选择题（共30分）1．解：选项A不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项B、C、D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：A．2．解：事件M：在汽步枪比赛中，某运动员打出10环，是随机事件，事件N：一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的6个小球（4个黑球，2个白球），从中随机摸出的3个球中有黑球，是必然事件．故选：C．3．解：A、∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，∴方程有两个相等的实数根，不合题意；B、∵Δ＝22﹣4×1×0＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根，符合题意；C、∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，∴方程没有实数根，不合题意；D、∵Δ＝02﹣4×1×2＝﹣8＜0，∴方程没有实数根，不合题意．故选：B．4．解：∵将抛物线C向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到抛物线y ＝2x2，∴抛物线C的解析式为y＝2（x﹣2）2﹣2，故选：D．5．解：如图，连接OA，过O作OC⊥AB于C，∵OA＝5，AC＝AB＝3，∴OC＝＝4，∵小⊙O的半径为3＜4，∴直线l与小⊙O的位置关系是相离，6．解：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中使抛物线y＝ax2的开口向下（a＜0）的结果有2种，∴使抛物线y＝ax2的开口向下的概率为＝，故选：C．7．解：如图，连接OA，OP，OB，∵P A、PB分别与相切⊙O于点A、B，∴P A＝PB，OA⊥AB，OB⊥PB，∵∠APB＝60°，∴∠AOB＝120°，∵P A＝，∴∠APO＝∠APB＝×60°＝30°，∴OA＝AP•tan30°＝×＝1．故⊙O的半径长为为1，则的长＝＝π．故选：B．8．解：二次函数y＝x2+（m﹣1）x+m﹣2的对称轴为直线x＝﹣，∴抛物线开口向上，∴当x＞﹣时，y随x的增大而增大，又∵当x＞1时，y随x的增大而增大，∴﹣≤1，解得m≥﹣1，令y＝0，则x2+（m﹣1）x+m﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝﹣m+2，∵m≥﹣1，∴x2＝﹣m+2≤3，∵＞3，故选：A．9．解：如图，取圆心O，连接OA，OB，OC，BC，AC，∵∠ADC＝90°，AB＝10，AD＝6，CD＝2，∴BD＝10﹣6＝4，∴tan∠CAD＝＝＝，∴∠CAD＝30°，∴∠BOC＝2∠CAD＝60°，∴△BOC为等边三角形，在Rt△BCD中，根据勾股定理得，CD2+BD2＝BC2，即（2）2+42＝BC2，解得BC＝2，∴该圆弧所在圆的半径为2．10．解：∵m，n是方程x2﹣x+1＝0的两个根，∴m+n＝，mn＝1，∴S1＝＝＝＝＝1，S2＝＝＝＝＝1，…，∴S t＝＝1，∴S1+S2+…S t＝t2﹣56，1+1+…+1＝t2﹣56，t＝t2﹣56，t2﹣t﹣56＝0，（t﹣8）（t+7）＝0，解得：t＝8或t＝﹣7（舍去）．故选：B．二、填空题（共18分）11．解：∵点A（a，﹣1）与点B（b，1）关于原点对称，∴a＝﹣b，∴a+b＝0．故答案为：0．12．解：根据表格信息，摸到白球的频率将会接近0.4，故摸到白球的概率为0.4，所以可估计袋子中球的个数m＝10÷0.4＝25；故答案为：25．13．解：设该商城9月份到11月份营业额的月平均增长率是x，根据题意得：440（1+x）2＝633.6，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），∴该商城9月份到11月份营业额的月平均增长率是20%．故答案为：20%．14．解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5，由旋转得∠AED＝∠C＝90°，DE＝BC＝3，AE＝AC＝4，如图1，点E在边AB上，则∠DEB＝180°﹣∠＝90°，∵BE＝AB﹣AE＝5﹣4＝1，∴BD＝＝＝；如图2，点E在边BA的延长线上，∵∠DEB＝90°，BE＝AB+AE＝5+4＝9，∴BD＝＝＝3，综上所述，线段BD的长为或3，故答案为：或3．15．解：∵抛物线y＝mx2﹣2mx+1（m＜0）的对称轴为：x＝1，∴y＝m（x﹣1）2﹣2m（x﹣1）+1的对称轴为x＝2，且过点（﹣1，t），∴y＝m（x﹣1）2﹣2m（x﹣1）+1还过点（5，t），∵m＜0，∴m（x﹣1）2﹣2m（x﹣1）+1﹣t＜0的解集为：x＜﹣1或x＞5，故答案为：x＜﹣1或x＞5．16．解：∵CF≤EF，当点E与点C重合时等号成立，且EF为定长，∴CF的最大值即为EF的长，根据图象可知，CF2的最大值为4，即CF的最大值为2，∴EF＝2，∵当x＝1时，CF2＝3，∠ACB＝90°，∴CE＝＝1，∴AC＝AE+CE＝1+1＝2，∴BC＝2AC＝4，如图所示，连接OC，∵O是EF的中点，∠C＝90°，∴OC＝EF＝1，∴点O是在半径为1的⊙C上，如图所示，∴当OB与⊙C相切时，∠OBC最大，此时OC⊥OB，过点O作OG⊥BC于点G，此时OB＝，则sin∠OBC＝，即，∴OG＝，∵OG⊥BC，∴∠OGF＝∠C＝90°，∴OG∥AC，∴，即，∴CE＝，∴AE＝AC﹣CE＝2﹣，即a＝2﹣，故答案为：2﹣．三、解答题（共72分）17．解：∵3，t是方程2x2+2mx﹣3m＝0的两个实数根，∴，∴m＝﹣6，t＝3．18．解：将△ABC绕点A顺时旋转得到△ADE，∴∠E＝∠C，∠ADE＝∠B，AD＝AB，由AD＝AB可得∠B＝∠ADB，∴∠ADE＝∠ADB，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠C，∵∠E＝26°，∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝52°，∴∠ADE＝52°，∴∠CDE＝180°﹣（∠ADE+∠ADB）＝180°﹣（52°+52°）＝76°．19．解：（1）球，事件“摸到白球”的概率是＝，故答案为：；（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中甲同学至少得4分的结果有8种，∴甲同学至少得4分的概率为＝．20．（1）证明：连接GO并延长交BC于E，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，∵G为AD的中点，∴AG＝DG，∴Rt△ABD≌Rt△DCG（HL），∴BG＝CG，∴GE⊥BC，∵AD∥BC，∴OG⊥AD，∵OG是⊙O的半径，∴AD与⊙O相切；（2）解：连接GF，∵∠DFG+∠CFG＝∠CFG+∠CBG＝180°，∵∠DFG＝∠CBG，∵BG＝CG，∴∠GBC＝∠GCB，∵AD∥BC，∴∠DGC＝∠GCB，∴∠DGC＝∠DFG，∵∠D＝∠D，∴△GDF∽△CDG，∴＝，∴＝，∴DG＝2（负值舍去），∴BC＝AD＝2DG＝4．21．解：（1）∵AC＝，AB＝，BC＝，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，故答案为：5，直角三角形；（2）如图，AD为所作；（3）如图，DE为所作；（4）如图，CH为所作．22．解：（1）①由题意得：出口的宽度为：（50﹣2x）m，绿化区较短边长为[30﹣（50﹣2x）]÷2＝（x﹣10）m，故答案为：（50﹣2x），（x﹣10）；②根据题意得，y＝50×30﹣4x（x﹣10），即y与x的函数关系式及x的取值范围为：y＝﹣4x2+40x+1500（13≤x≤19）；故答案为：y＝﹣4x2+40x+1500，13≤x≤19；（2）y＝﹣4x2+40x+1500＝﹣4（x﹣5）2+1600，∵﹣4＜0，13≤x≤19，∴x＝13时，y取最大值，最大值为﹣4×（13﹣5）2+1600＝1344，∴50﹣2x＝50﹣2×13＝24，∴当出口的宽为24m时，活动区所占面积最大，最大面积是1344m2；（3）设费用为w元，由题意得，w＝50（﹣4x2+40x+1500）＝﹣200x2+2000x+75000，当w＝60000时，﹣200x2+2000x+75000＝60000，解得x＝15或x＝﹣5（舍去），由二次函数性质及13≤x≤19可得，x取15，16，17，18，19时，建造活动区的经费不超过60000元，∴一共有5种建造方案．23．（1）证明：如图1，AC与BD的交点记作点G，∴∠AGB＝∠CGD，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，在△ABG中，∠ABG+∠AGB＝180°﹣∠BAC＝120°，∴∠ABG+∠CGD＝120°，在△CDG中，∠BDC＝60°，∴∠ACF+∠CGD＝180°﹣∠CDG＝120°，∴∠ABG＝∠ACF，∵AE⊥BD，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFC＝90°，∴△ABE≌△ACF（AAS），∴AE＝AF，∵AE⊥BD，AF⊥CD，∴DA是∠BDF的平分线；（2）证明：如图2，过点E作ET⊥ED交BD于点T连接CE交BD于点K．∵点E是AB的中点，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，∠ACB＝90°，∴CE⊥AB，AE＝EC＝EB，∴∠BEC＝90°，∴∠EBK+∠BKE＝90°，∵∠CKD＝∠BKE，∴∠EBK+∠CKD＝90°，在△CDK中，∠CDK＝360°﹣∠ADC﹣∠ADB＝90°，∴∠DCE+∠CKD＝90°，∴∠DCE＝∠EBK，∵∠DET＝∠CEB＝90°，∴∠DEC＝∠TEB，∴△CED≌△BET（ASA），∴ED＝ET，∴∠EDT＝∠ETD＝45°，∵∠ADB＝135°，∴∠BDE＝360°﹣135°﹣90°﹣45°＝90°，延长DE至H，使EH＝ED，∴∠AEH＝∠BED，∵AE＝BE，∴△AEH≌△BED（SAS），∴S△AEH＝S△BED，∴S＝S△ABD＝S△ADE+S△BDE＝S△ADE+S△AEH＝S△ADH＝AD•DH＝AD•2DE＝AD•DE；（3）解：在CE的延长线上取一点H，连接AH，使∠AEH＝60°，∵AE⊥OQ，∴∠AEC＝∠AEH＝90°，在Rt△AEH中，AE＝4，∴EH＝4，AH＝8，设CE＝x，则CH＝CE+EH＝x+4，在CO上取一点M使CM＝AH＝8，则OM＝OE﹣CM﹣CE＝3+7﹣8﹣x＝3﹣1﹣x，在△ACH中，∠ACH+∠CAH＝180°﹣∠AHC＝120°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠BCM+∠ACH＝120°，∴∠BCM＝∠CAH，∴△BCM≌△CAH（SAS），∴BM＝CH＝x+4，∠BMC＝∠CHA＝60°，∴∠OMB＝120°＝∠AHN，在OE的延长线上取一点N，使EN＝AE＝4，∴HN＝EN﹣EH＝4﹣4＝4（﹣1），∠N＝45°＝∠POQ，∴△BOM∽△ANH，∴，∴，∴x＝2，在Rt△ACE中，CE＝2，根据勾股定理a＝AC＝＝2，故答案为：2．24．解：（1）∵，∴y＝﹣x2﹣2x+，当y＝0时，﹣x2﹣2x+＝0，解得x＝或x＝﹣，∴B（，0），令x＝0，则y＝，∴C（0，），故答案为：（，0），（0，）；（2）作O点关于BC的对称点G，连接CG交x轴于点E，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+，设G（m，n），∴n＝﹣m+，∵BO＝BG，∴＝，解得m＝，∴G（，），设直线CG的解析式为y＝k'x+b'，∴，解得，∴y＝﹣x+，∴E（，0），∴tan∠OCE＝，∵∠COE＝2∠OCB，∠PBA＝2∠OCB，∴∠PBA＝∠COE，过点P作PH⊥x轴交于点H，设P（x，﹣x2﹣2x+），∴＝，解得x＝（舍）或x＝﹣，∴点P到y轴的距离为；（3）∵△ABC的外心在x轴上，∴∠ACB＝90°，当y＝0时，﹣x2﹣（2t+1）x﹣t2﹣t+2＝0，解得x＝﹣t﹣2或x＝﹣t+1，∵﹣2＜t＜1，∴A（﹣t﹣2，0），B（﹣t+1，0），当x＝0时，y＝﹣t2﹣t+2，∴C（0，﹣t2﹣t+2），∴OC2＝OA•OB，∴（﹣t2﹣t+2）2＝（t+2）•（﹣t+1），∴t2+t﹣1＝0，∴＝﹣1．。
黑龙江省哈尔滨市2022-2023学年九年级数学上册第三次月考测试题(附答案)
2022-2023学年九年级数学上册第三次月考测试题（附答案）一、选择题（共30分）1．﹣2的相反数是（）A．2B．﹣2C．D．2．下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a5C．（a+b）2＝a2+b2D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b23．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．如图的几何体其左视图是（）A．B．C．D．5．如图，已知AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC＝60°，则∠C的度数为（）A．15°B．30°C．45°D．60°6．已知抛物线的解析式为，则该抛物线的顶点坐标是（）A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（1，2）7．用150张铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身15个或盒底45个，1个盒身与2个盒底配成一套罐头盒，为使制成的盒身与盒底恰好配套，可设用x张铁皮制盒底，则可列方程为（）A．2×15x＝45（150﹣x）B．15x＝2×45（150﹣x）C．2×15（150﹣x）＝45x D．15（150﹣x）＝2×45x8．方程的解为（）A．x＝3B．x＝4C．x＝5D．x＝﹣59．已知反比例函数y＝（k≠0）经过点（2，5）和点（1，a），则a的值为（）A．2B．5C．10D．10．如图，AB∥CD，AE∥FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则下列结论中错误的是（）A．B．C．D．二、填空题（共30分）11．将59800000用科学记数法表示为．12．函数y＝的自变量x的取值范围是．13．分解因式：x3﹣2x2y+xy2＝．14．不等式组的解集是．15．计算：＝．16．一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的面积是cm2．17．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝6，BC＝10，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A1BC1（点A的对应点是点A1，点C的对应点是点C1），A1落在边BC上，连接AC1，则AC1的长为．18．在△ABC中，AB＝AC，∠B的角平分线与AC边所夹锐角为60°，则∠A的度数为．19．在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD＝6，CD＝1，则BC的长为．20．如图，矩形ABCD中，E为BC边上一点，DE交AC于点F，若∠BAC＝2∠DEC，CE ＝15，BE＝9，则线段ED的长为．三、解答题（共60分）21．先化简，再求代数式的值，其中．22．如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB，点A，B均在小正方形的顶点上．（1）在图中画出一个以线段AB为一边的等腰△ABC，且△ABC为钝角三角形；（2）在图中画一个△BCD，点D在小正方形的顶点上，tan∠CBD＝，且△BCD的面积等于14；（3）连接AD，请直接写出AD的长．23．为了解学生线上学习的需求，某校随机对本校的部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果，绘制成如图两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：（1）求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图；（2）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；（3）该校共有学生2100人，请你估计该校对“在线阅读”最感兴趣的学生人数．24．已知，在平行四边形ABCD中，点E、F在分别边BC、AD上，且BE＝DF，EH⊥CF 于点H，FG⊥AE于点G．（1）求证：GE＝FH；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与∠AFG互余的所有角．25．某中学为了创建书香校园，去年购买了一批图书．其中故事书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购买的故事书与用800元购买的文学书数量相等．（1）求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元？（2）若今年文学书的单价比去年提高了25%，故事书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买文学书和故事书共200本，且购买文学书和故事书的总费用不超过2120元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？26．如图，AB为⊙O直径，弦CD交AB于点E，G为上一点，连接CG交AB于点F，交AD于点H，连接DG，且∠AFH﹣∠GDH＝∠BAD．（1）如图1，求证：AB⊥CD；（2）如图2，若∠ADE＝2∠ADG，求证：＝；（3）如图3，在（2）的条件下，若AF＝BF，AH＝10，求⊙O的半径．27．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）与x轴交于A、B两点（A左B右），与y轴交于点C，连接AC，tan∠CAO＝2．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一点，射线BP交y轴正半轴于点N，设点P的横坐标为t，线段ON的长为d，求d与t的函数解析式；（3）在（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，过点F作直线FD⊥BP于点D，过点A作AH⊥x轴交直线DF于点H，连接PH交x轴于点E，点G为线段AC上一点，连接PG、GE，PG交y轴于点K，点M为PG延长线上一点，连接MH，延长HM、EG 交于点R，若PF＝AH，MR＝MG，HR＝，求K点的坐标．参考答案一、选择题（共30分）1．解：﹣2的相反数是：﹣（﹣2）＝2，故选：A．2．解：A、原式＝a5，故A不符合题意．B、原式＝a6，故B不符合题意．C、原式＝a2+2ab+b2，故C不符合题意．D、原式＝a2﹣b2，故D符合题意．故选：D．3．解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误．故选：A．4．解：从左面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．故选：B．5．解：∠A＝∠BOC＝×60°＝30°，∵OA＝OC，∴∠C＝∠A＝30°．故选：B．6．解：由抛物线解析式可知，抛物线顶点坐标为（2，1），故选：A．7．解：设用x张铁皮制盒底，则把（150﹣x）张铁皮制盒身，根据题意得：2×15（150﹣x）＝45x．故选：C．8．解：，方程两边都乘（3x﹣2）（x+1），得2（x+1）＝3x﹣2，解得：x＝4，检验：当x＝4时，（3x﹣2）（x+1）≠0，所以x＝4是原方程的解，即原方程的解是x＝4，故选：B．9．解：∵反比例函数y＝（k≠0）经过点（2，5）和点（1，a），∴k＝2×5＝a，解得：a＝10．故选：C．10．解：A、∵AB∥CD，∴＝，故本选项不符合题目要求；B、∵AE∥DF，∴△CEG∞△CDH，∴＝，∴＝，∵AB∥CD，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝，故本选项不符合题目要求；∵AB∥CD，AE∥DF，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AF＝DE，∵AE∥DF，∴，∴＝，故本选项不符合题目要求；D、∵AE∥DF，∴△BFH∞△BAG，∴，故本选项符合题目要求；故选：D．二、填空题（共30分）11．解：59800000＝5.98×107．故答案为：5.98×107．12．解：由题意可知：x+2≠0，解得：x≠﹣2；所以，函数y＝的自变量x的取值范围是x≠﹣2．13．解：x3﹣2x2y+xy2，＝x（x2﹣2xy+y2），＝x（x﹣y）2．故答案为：x（x﹣y）2．14．解：解不等式≤1，得：x≥1，解不等式3x+2≥1，得：x≥﹣，∴不等式组的解集为x≥1．故答案为：x≥1．15．解：原式＝2×﹣2＝﹣2＝﹣．故答案为：﹣16．解：设扇形的半径为Rcm，∵扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，∴＝3π，解得：R＝4，所以此扇形的面积为＝6π（cm2），故答案为：6π．17．解：过C1作AB的垂线交AB延长线于C1，∵∠ABC＝60°，AB＝6，BC＝10，∵BD＝BC，由旋转性质得：BC＝BC1，∴BD＝5，AD＝BD+AB＝11，∴CD＝＝5，∴AC1＝＝14．故答案为：14．18．解：设∠B的角平分线交AC于点E，当∠BEC＝60°时，如图1，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A），∴∠ABE＝∠ABC＝（180°﹣∠A），∵∠ABE+∠A＝∠BEC，∴（180°﹣∠A）+∠A＝60°，∴∠A＝20°；当∠AEB＝60°时，如图2，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A），∴∠ABE＝∠ABC＝（180°﹣∠A），∵∠ABE+∠A+∠BEC＝180°，∴（180°﹣∠A）+∠A+60°＝180°，∴∠A＝100°，综上所述，∠A的度数为20°或100°．19．解：∵AD为BC边上的高，∴△ABD为Rt△ABD，在Rt△ABD中，∠ABC＝60°，AD＝6，∴BD＝＝＝6，如图1所示，当点D在BC上时，BC＝BD+CD＝6+1＝7，如图2所示，当点D在BC的延长线上时，BC＝BD﹣CD＝6﹣1＝5，故答案为：7或5．20．解：延长DC至G，DC＝CG，连接EG，作DH⊥EG，如图，，设AB＝a，则DC＝CG＝a，∵DC＝CG，CE⊥DG，∴∠GEC＝∠DEC，EG＝ED，∴∠BAC＝∠GED，∵S，EG＝ED，∴，在Rt△ECD中，DE＝，在Rt△ABC中，sin∠BAC＝，在Rt△EDH中，sin∠GED＝，∵∠BAC＝∠GED，∴sin∠BAC＝sin∠GED，∴，化简整理得：a4﹣800a2﹣90000＝0，解得：a＝10，在Rt△ECD中，DE＝＝5，故答案为5．三、解答题（共60分）21．解：＝＝﹣＝＝﹣，当＝2×﹣2×＝﹣2时，原式＝﹣＝﹣．22．解：（1）如图，△ABC即为所求．（2）如图，△BCD即为所求．（3）AD＝＝4．23．解：（1）18÷20%＝90（人），90﹣24﹣18﹣12＝36（人），答：调查的学生总人数是90人，补全条形统计图如图所示：（2）360°×＝48°，答：扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数为48°；（3）2100×＝560（人），答：该校2100名学生中对“在线阅读”最感兴趣的大约有560人．24．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵BE＝DF，∴AD：DF＝BC：BE，∴AF＝CE，AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形∴AE∥CF，∴∠AEH+∠FHE＝180°，∵EH⊥CF，FG⊥AE，∴∠FGE＝∠FHE＝∠GEG＝90°，∴四边形EHFG为矩形，∴GE＝FH；（2）∵GF⊥AE，∴∠GAF+∠AFG＝90°，∵AD∥BC，AE∥FC，∴∠AEB＝∠GAF，∠HCE＝∠CFD＝∠GAF，与∠AFG互余的角有：∠F AG、∠AEB、∠DFC、∠FCB．25．解：（1）设去年文学书单价为x元，则故事书单价为（x+4）元，根据题意得：，解得：x＝8，经检验x＝8是原方程的解，当x＝8时x+4＝12，答：去年文学书单价为8元，则故事书单价为12元．（2）设这所学校今年购买y本文学书，根据题意得．8×（1+25%）y+12（200﹣y）≤2120，y≥140，∴y最小值是140；答：这所中学今年至少要购买140本文学书．26．（1）证明：如图（1），连接AC、AG，∵∠AFH﹣∠GDH＝∠BAD，即∠AFH＝∠BAD+∠GDH，∴∠AFH+∠BAD＝2∠BAD+∠GDH，∵∠AFH+∠F AH＝∠HGD+∠GDH，∴∠HGD＝2∠BAD，∵∠HGD＝∠CAD，∴2∠BAD＝∠CAD，∴∠CAB＝∠DAB，∴，∴AB⊥CD．（2）证明：由（1）得：，∴，∴∠ADE＝∠ACD，∵∠ADE＝2∠ADG，∴∠ACD＝2∠ADG，∵∠ADG＝∠ACG，∠ACD＝∠ACG+∠GCD，∴∠ACD＝∠GCD，∴．（3）解：连接AC、BC、BG、BD、AG，作HN⊥AG于点N，∵，，∴∠GCD＝∠GBD＝∠ABG＝∠ADG，∠CGB＝∠CDB＝∠BAD＝∠BGD，∴∠ABD＝∠ACD＝∠ADC＝∠AGC，∵∠FCB＝∠GCD+∠BCD，∠F AG＝∠BAD+∠DAG，∠AFG＝∠CFB＝∠ABG+∠CGB，∴∠FCB＝∠F AG＝∠AFG＝∠CFB，∴BF＝BC，AG＝FG，∵AF＝BF，设AF＝4k，BF＝6k，则：AB＝10k，BC＝BF＝BD＝6k，∴AD＝，∴tan∠ABD＝，∴，∵BD＝6k，ED2+EB2＝DB2，∴ED＝EC＝，EB＝，∴EF＝，∴tan∠FCE＝，∴tan∠NAH＝，tan∠NGH＝，∵AH＝1，解直角三角形ANH和直角三角形GNH，得，AN＝4，HN＝2，NG＝，∴AG＝AN+NG＝，∵tan∠ABG＝tan∠FCE＝，∴BG＝11，∴AB2＝AG2+BG2＝（）2+（11）2＝，∴AB＝，∴⊙O的半径为．27．解：（1）在y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）中，令y＝0得x＝﹣1或x＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），∴OA＝1，在直角△AOC中，tan∠CAO＝＝2，∴OC＝2，由已知a＜0，∴C（0，2），代入y＝ax2﹣3ax﹣4a得：﹣4a＝2，∴a＝﹣，∴抛物线的解析式为；（2）∵点P的横坐标为t，∴P纵坐标为﹣t2+t+2，设直线BP的解析式为y＝mx+n，则，解得，∴直线BP的解析式为y＝﹣x+2t+2，令x＝0得y＝2t+2，∴N（0，2t+2），∵线段ON的长为d，N在y轴正半轴，∴d＝2t+2，（3）延长GE到G'，使EG'＝EG，连接HG'，如图：设P（m，﹣m2+m+2），则F（m，0），∴PF＝﹣m2+m+2，BF＝4﹣m，AF＝m+1，∵PF⊥x轴，FD⊥BP，AH⊥x轴，∴∠AFH＝∠DFB＝90°﹣∠PFD＝∠FPB，∴tan∠AFH＝tan∠FPB，∴＝，∴＝，∴AH＝2，H（﹣1，﹣2），∴PF＝AH＝2，即y P＝2，在中，令y＝2得x＝0（与C重合，舍去）或x＝3，∴P（3，2），∵∠AEH＝∠FEP，∠HAE＝∠PFE＝90°，AH＝PF，∴△AEH≌△FEP（AAS），∴PE＝HE，∵∠GEP＝∠G'EH，GE＝G'E，∴△GEP≌△G'EH（SAS），∴PG＝G'H，∠G'＝∠PGE，∵MR＝MG，∴∠R＝∠MGR，∴∠R＝∠MGR＝∠PGE＝∠G'，∴HR＝G'H，∴PG＝HR，∵HR＝，∴PG＝，由A（﹣1，0），C（0，2）可得直线AC解析式为y＝2x+2，设G（n，2n+2），而P（3，2），∴（n﹣3）2+（2n+2﹣2）2＝（）2，解得n＝﹣或n＝（G在二象限，舍去），∴G（﹣，1），由P（3，2），G（﹣，1）得直线PG的解析式为，∵点K是直线PG和y轴的交点，当x＝0时，y＝，∴点K坐标为．。
人教版2022-2023学年第一学期九年级数学第三次月考测试题(附答案)
2022-2023学年第一学期九年级数学第三次月考测试题（附答案）一、选择题（共40分）1．下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．点P（2，﹣5）关于原点的对称点的坐标是（）A．（﹣2，﹣5）B．（2，5）C．（﹣2，5）D．（﹣5，2）3．已知⊙O的半径为3，点M在⊙O上，则OM的长可能是（）A．2B．3C．4D．54．如图所示，在⊙O中＝，∠A＝30°，则∠B＝（）A．150°B．75°C．60°D．15°5．平面上一点P与⊙O的点的距离的最小值是2，最大值是8，则⊙O的直径是（）A．6或10B．3或5C．6D．56．如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB＝AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP 的最大值是（）A．90°B．60°C．45°D．30°7．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31°后得到的图形，若点D恰好落在AB 上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是（）A．34°B．36°C．38°D．40°8．下列说法：①弧长相等的弧是等弧；②三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④垂直于半径的直线是圆的切线；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．其中不正确的有（）个．A．1B．2C．3D．49．某数学兴趣小组研究二次函数y＝x2+bx+c的图象时，得出如下四个结论：甲：图象与x轴的一个交点为（1，0）；乙：图象与x轴的一个交点为（3，0）；丙：图象与x轴的交点在原点两侧；丁：图象的对称轴为过点（1，0），且平行于y轴的直线；若这四个结论中只有一个是不正确的，则该结论是（）A．甲B．乙C．丙D．丁10．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是⊙O上个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（）A．2B．C．D．二、填空题（共24分）11．已知关于x的方程x2﹣3x﹣m＝0的一个根是1，则m＝．12．如图，若∠BOD＝140°，则∠BCD＝．13．在半径为10cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为6cm，则弦AB的长是cm．14．如图，⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，⊙O的切线P A交OC延长线于点P，则PC的长为．15．在等边△ABC中，AB＝5，点D是AB上的定点，点P是BC上的动点，DP绕点D逆时针旋转60°恰好落在AC上，已知BD＝2，则此时DP＝．16．如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD 边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作⊙O与AD相切于点P，若AB＝6，BC＝3，则下列结论：①F是CD的中点：②⊙O的半径是2；③AE＝CE，其中正确的是．（写序号）三、解答题（共86分）17．解方程：x2﹣2x﹣5＝0．18．小晗家客厅装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏灯，在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，因刚搬进新房不久，不熟悉情况．（1）若小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是；（2）若任意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明．19．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，且n+2m＝4，求n 的取值范围．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC．求作⊙O，使得点O在边AB 上，且⊙O经过B、D两点；并证明AC与⊙O相切．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）21．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，P是BC边上一点，将△ABP绕点A逆时针旋转50°，点P旋转后的对应点为P′．（1）画出旋转后的三角形；（2）连接PP′，若∠BAP＝20°，求∠PP′C的度数；22．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y（桶）与每桶降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？23．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点A作AD平分∠CAB，交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）依据题意，补全图形；（2）判断直线DE与⊙O的位置关系并证明；（3）若AB＝10，BC＝8，求CE的长．24．如图，△ABC内接于⊙O，弦BD⊥AC，垂足为E，点D、点F关于AC对称，连结AF 并延长交⊙O于点G．（1）连结OB，求证：∠ABD＝∠OBC；（2）求证：点F、点G关于BC对称．25．已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B．（1）若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6）．①求抛物线的解析式；②若当m≤x≤3时，y＝x2+bx+c的最小值为2，最大值为6，求m的取值范围；（2）若点P在第一象限，且P A＝PO，过点P作PD⊥x轴于D，将抛物线y＝x2+bx+c 平移，平移后的抛物线经过点A、D，与x轴的另一个交点为C，试探究四边形OABC的形状，并说明理由．参考答案一、选择题（共40分）1．解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，故选：C．2．解：因为点P（2，﹣5）关于原点的对称点的坐标特点：横纵坐标互为相反数，所以对称点的坐标是（﹣2，5），故选：C．3．解：∵点M在⊙O上，⊙O的半径为3，∴OM＝3，故选：B．4．解：∵＝，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠A＝30°，∴∠B＝∠C＝×（180°﹣30°）＝75°．故选：B．5．解：当点P在圆内时，因为点P与⊙O的点的距离的最小值是2，最大值是8，所以圆的直径为10，当点P在圆外时，因为点P与⊙O的点的距离的最小值是2，最大值是8，所以圆的直径为6．故选：A．6．解：当AP与⊙O相切时，∠OAP有最大值，连接OP，如图，则OP⊥AP，∵OB＝AB，∴OA＝2OP，∴∠P AO＝30°．故选：D．7．解：由题意得，∠AOD＝31°，∠BOC＝31°，又∠AOC＝100°，∴∠DOB＝100°﹣31°﹣31°＝38°．故选：C．8．解：①弧长相等的弧是等弧，故该说法不正确；②不在同一直线的三点可以确定一个圆，故该说法不正确；③在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故该说法不正确；④经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故该说法不正确；⑤三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等，故该说法正确．故选：D．9．解：若甲、乙成立，（1+3）÷2＝1，∴图象的对称轴为过点（1，0），且平行于y轴的直线，图象与x轴的交点在原点右侧，故丁结论正确；图象与x轴的交点在原点右侧，故丙结论不正确，符合题意．故选：C．10．解：如图，连接OD，OC，∵AD＝DP，∴OD⊥P A，∴∠ADO＝90°，∴点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，AC，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，∵C为的三等分点，∴∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴CK⊥OA，在Rt△OCK中，∵∠COA＝60°，OC＝2，OK＝1，∴CK＝＝，∵DK＝OA＝1，∴CD＝+1，∴CD的最大值为+1，故选：D．二、填空题（共24分）11．解：把x＝1代入方程可得：1﹣3﹣m＝0，解得m＝﹣2．故答案为：﹣2．12．解：由圆周角定理得，∠A＝∠BOD＝70°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCD＝180°﹣∠A＝110°，故答案为：110°．13．解：连接OB．在Rt△ODB中，OD＝6cm，OB＝10cm．由勾股定理得BD＝＝＝8．∴AB＝2BD＝2×8＝16cm．14．解：连接OA，∵AP是⊙O的切线，∴OA⊥AP，∵∠ABC＝30°，∴∠AOP＝2∠ABC＝60°，∴∠APO＝30°，∵OA＝OC＝1，∴OP＝2OA＝2，∴PC＝OP﹣OC＝1．故答案为：1．15．解：如图，连接PP'，过点D作DE⊥BC，∵DP绕点D逆时针旋转60°，∴DP＝DP'，∠PDP'＝60°，∴△DP'P是等边三角形，∴DP＝PP'，∠DPP'＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵∠BPP'＝∠C+∠PP'C＝∠BPD+∠DPP'，∴∠PP'C＝∠BPD，且DP＝PP'，∠B＝∠C，∴△BDP≌△CPP'（AAS）∴BD＝CP＝2，∴BP＝3，∵∠B＝60°，BD＝2，DE⊥BC，∴BE＝1，DE＝BE＝，∴PE＝2，∴DP＝＝＝，故答案为．16．解：①∵AF是AB翻折而来，∴AF＝AB＝6，∵矩形ABCD，则，∴，∴DF＝CF，∴F是CD中点；故①正确；②如图，连接OP，∵⊙O与AD相切于点P，∴OP⊥AD，∵AD⊥DC，∴OP∥CD，∴△APO∽△ADF，∴，设OP＝OF＝x，则，解得：x＝2，故②正确；③∵Rt△ADF中，AF＝6，DF＝3，∴，∴∠DAF＝30°，∠AFD＝60°，∴∠EAF＝∠EAB＝30°，∴AE＝2EF；∵∠AFE＝∠B＝90°，∴∠EFC＝90°﹣∠AFD＝30°，∴EF＝2EC，∴AE＝4CE，故③错误；故答案为：①②．三、解答题（共86分）17．解：x2﹣2x＝5，x2﹣2x+1＝6，（x﹣1）2＝6，x﹣1＝±，所以x1＝1+，x2＝1﹣．18．解：（1）∵小晗家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯，∴小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是：；（2）画树状图得：∵共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况，∴正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是：＝．19．解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣m）＞0，解得m＞﹣1．∵n+2m＝4，∴m＝＞﹣1，解得n＜6，即n的取值范围为n＜6．20．解：如图，⊙O为所作．证明：连接OD，如图，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠CBD＝∠ODB，∴OD∥BC，∴∠ODA＝∠ACB，又∠ACB＝90°，∴∠ODA＝90°，即OD⊥AC，∵点D是半径OD的外端点，∴AC与⊙O相切．21．解：（1）旋转后的三角形ACP'如图所示：（2）由旋转可得，∠P AP'＝∠BAC＝50°，AP＝AP'，△ABP≌△ACP'，∴∠APP'＝∠AP'P＝65°，∠AP'C＝∠APB，∵∠BAC＝50°，AB＝AC，∴∠B＝65°，又∵∠BAP＝20°，∴∠APB＝95°＝∠AP'C，∴∠PP'C＝∠AP'C﹣∠AP'P＝95°﹣65°＝30°．22．解：（1）设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b，将点（1，110）、（3，130）代入一次函数关系式得：，解得：，故函数的关系式为：y＝10x+100（0＜x＜20）；（2）由题意得：（10x+100）×（55﹣x﹣35）＝1760，整理，得x2﹣10x﹣24＝0．解得x1＝12，x2＝﹣2（舍去）．所以55﹣x＝43．答：这种消毒液每桶实际售价43元．23．解：（1）如图1即为补全的图形．（2）直线DE是⊙O的切线．理由如下：证明：如图2，连接OD，交BC于F．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．∴．∴OD⊥BC于F．∵DE∥BC，∴OD⊥DE于D．∴直线DE是⊙O的切线．（3）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∵AB＝10，BC＝8，∴AC＝6．∵∠BFO＝∠ACB＝90°，∴OD∥AC．∵O是AB中点，∴OF＝＝3．∵OD＝＝5，∴DF＝2．∵DE∥BC，OD∥AC，∴四边形CFDE是平行四边形．∵∠ODE＝90°，∴平行四边形CFDE是矩形．∴CE＝DF＝2．答：CE的长为2．24．证明：（1）连接OC，∵BD⊥AC，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB+∠ABE＝90°，∵，∴∠BOC＝2∠BAC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠OBC+∠OCB+∠BOC＝180°，∴2∠OBC+2∠BAC＝180°，∴∠OBC+∠BAC＝90°，∴∠OBC＝∠ABE，即∠OBC＝∠ABD，（2）连接BG，AD，GC，AG交BC于点H，∵点D，F关于AC对称，∴EF＝ED，∵BD⊥AC，∴∠AEF＝∠AED＝90°，又∵AE＝AE，∴△AEF≌△AED（SAS），∴∠EAF＝∠EAD，∠AFE＝∠ADE，即∠GAC＝∠DAC，∵，∴∠DAC＝∠DBC，∵，∴∠GAC＝∠GBC，∴∠DBC＝∠GBC，∵∴∠ADB＝∠BGA，∵∠AFD＝∠BFG，∴∠BFG＝∠AGB，∴△BHF≌△BHG（AAS），∴FH＝GH，∠BHF＝∠BHG＝90°，∴点F，点G关于BC对称．25．解：（1）①∵抛物线y＝x2+bx+c的顶点P的横坐标为1，∴﹣＝1，解得：b＝﹣2．∴y＝x2﹣2x+c，∵抛物线y＝x2﹣2x+c经过点B（3，6），∴6＝32﹣2×3+c，解得：c＝3．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+3；②由y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2知，P（1，2）．∴点（3，6）关于对称轴x＝1的对称点B′的坐标为（﹣1，6），如图1，∵当m≤x≤3时，y＝x2+bx+c的最小值为2，最大值为6，∴﹣1≤m≤1；（2）如图2，由P A＝PO，OA＝c，可得PD＝．∵抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为P（﹣，），∴＝．∴b2＝2c．∴抛物线y＝x2+bx+b2，A（0，b2），P（﹣b，b2），D（﹣b，0）．可得直线OP的解析式为y＝﹣bx．∵点B是抛物线y＝x2+bx+b2与直线y＝﹣bx的图象的交点，令﹣bx＝x2+bx+b2．解得x1＝﹣b，x2＝﹣．可得点B的坐标为（﹣b，b2）．由平移后的抛物线经过点A，可设平移后的抛物线解析式为y＝x2+mx+b2．将点D（﹣b，0）的坐标代入y＝x2+mx+b2，得m＝b．则平移后的抛物线解析式为y＝x2+bx+b2．令y＝0，即x2+bx+b2＝0．解得x1＝﹣b，x2＝﹣b．依题意，点C的坐标为（﹣b，0）．则BC＝b2．则BC＝OA．又∵BC∥OA，∴四边形OABC是平行四边形．∵∠AOC＝90°，∴四边形OABC是矩形．。
2020-2021学年河北省某校初三(下)3月月考数学试卷详细答案与解析
2020-2021学年河北省某校初三（下）3月月考数学试卷一、选择题1. 如图，已知直线m，在同一平面内，给定一点P，过点P作直线m的平行线，可作平行线的条数有( )A.0条B.1条C.0或1条D.无数条2. 计算：(13)2020×32021=( )A.1B.3C.13D.93. 如图，某校园内有一池塘，为得到池塘边的两棵树A，B间的距离，小亮测得了以下数据：∠B=∠DEC，AD=DC，DE=5m，则A，B间的距离是( )A.10mB.15mC.20mD.25m4. 长江是我国最长的河流，全长约为6400千米，将6400千米用科学记数法表示为6.4×106( )，其中“（）”里表示单位，则该单位应该是( )A.千米B.米C.分米D.厘米5. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是( )A.b>aB.−a<bC.|a|>|b|D.a2<b26. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，I为Rt△ABC的内心，过点I作ID // BC，交斜边AB于点D，连接CI，则∠CID=( )A.100∘B.105∘C.130∘D.135∘7. 化简2x2−1÷1x−a的结果是2x+1，则a的值是( )A.1B.−1C.2D.−28. 如图，该几何体是由6个相同的小正方体搭成的，在小正方体的上方再添加一个相同的小正方体得到一个新的几何体，则添加前后三视图相同的是( )正面A.主视图B.左视图C.俯视图D.主视图和左视图9. 在“+，−，×，÷”四个符号中选一个符号，填入算式：22+2×(1▫12)中的“▫”里，使计算结果最大的符号是( )A.+B.−C.×D.÷10. 如图，已知点A在点B的北偏东30∘方向，点C在点B的南偏东30∘方向，点A在点C的正北方向，则下列结论中错误的是( )A.∠ABC=120∘B.AB=BCC.AC=BCD.∠A=30∘[(6−7)2+(10−7)2+(a−7)2+(b−7)2+(8−7)2] 11. 已知一组数据的方差s2=1n（a，b为常数），则a+b的值为( )A.5B.7C.10D.1112. 已知一元二次方程ax2−c=0没有实数根，则方程ax2+bx+c=0根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定13. 下列图形中，对称轴有且只有3条的是( )A. B.C. D.14. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴，x轴上，且△ABO的面积为16，(x<0)的图象过线段AB的中点C，则k的值为( )若反比例函数y=kxA.−16B.−8C.8D.−1215. 如图，在正方形ABCD中，AB=2，在BD的延长线上取一点E，使得DE=√5，连接CE，并将线段CE绕点C按逆时针方向旋转90∘，得到线段CF，连接BF，EF．则tan∠EFB=( )A.√32B.5+2√55C.5+2√105D.√5516. 如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4 // B3B4，直线l经过B2，B3，则直线l与A1A2的夹角α=( )A.40∘B.45∘C.48∘D.50∘二、填空题已知a2+2a=5，则2a2+4a+2011=________.尺规作图：作一个角的平分线．嘉嘉是这样做的：已知：∠MAN，如图①所示．求作：射线AD，使AD平分∠MAN.作法：(1)如图②，以点A为圆心，任意长为半径作弧，交AM于点B，交AN于点C；(2)分别以B，C为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于点D；(3)作射线AD.所以射线AD就是所求作的射线.淇淇是个喜欢动脑筋的孩子，他继续对图形进行探究：连接BD，CD和BC，发现BC与AD的位置关系是________.如图为6×6的正方形网格，将此网格放到平面直角坐标系中，使AD//x轴，若点E的横坐标为−4，点F的纵坐标为5.(1)点C的坐标为________.(2)连接EF，则线段EF的中点坐标为________.(3)连接CE，CF，则△EFC的面积为________.三、解答题+m×(−1)．小明在解一道有理数的混合运算时，一个有理数m被污染了.计算：3÷32(1)若m=2，请计算：3÷3+2×(−1)；2+m×(−1)=3，求m的值；(2)若3÷32(3)若要使3÷3+m×(−1)的计算结果为最小正整数，求m的值．2老师设计了一个数学游戏，给甲、乙、丙三名同学各一张写有最简代数式的卡片，规则是两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，甲、乙、丙的卡片如图所示，其中丙同学卡片上的代数式未知．(1)若乙同学卡片上的代数式为一次二项式，求m的值；(2)若甲同学卡片上的代数式减乙同学卡片上的代数式等于丙同学卡片上的代数式．①当丙同学卡片上的代数式为常数时，求m的值；②当丙同学卡片上的代数式值为非负数时，求m的取值范围．图①是一个转盘，转盘被等分成三个区域，并分别标有数字2，3，7，图②是一个正五边形棋盘，现通过转动转盘的方式玩跳棋游戏．规则如下：将转盘转动后，指针指向的数字是几（指针指向边界不计），就从图②中的点A开始在正五边形边上沿着顺时针方向连续跳过几个边，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动．(1)求转盘上所标数字的中位数；(2)随机转动转盘一次，求棋子从点A处跳动到点D处的概率；(3)用画树状图或列表的方法，求棋子从开始跳动两次后回到点A的概率．̂上的一动点（不与A，B重合），连接AC并延长，如图，半圆O的直径AB=4，C是AB交⊙O的切线BD于点D，点E是BD的中点，连接EC．(1)试判断EC与半圆O的位置关系，并说明理由；(2)若点C将AB̂分为1:2两部分，求阴影部分的面积；(3)过AB̂的中点F作FG⊥AD于点G，连接BG，求BG的最小值．已知A，B两地相距90km，甲、丙二人同时出发从A地骑行到B地，甲以高于丙10km/ℎ的速度前进，甲骑行一段时间后想起有紧急事情要告知丙，又往回骑行（往返过程中速度不变），最终与丙相遇，相遇后两人继续以各自的速度向B地行进，设甲和丙行驶的时间为t，与A地的距离为s，s与t之间的函数图象如图所示．(1)求直线l的解析式；(2)在甲与丙相遇时，丁由B地开始出发前往A地，经过一段时间后，甲和丁在中途休息地点相遇，已知丁的速度与丙的速度相同，求此时丁与A地之间的距离（结果保留一位小数）；(3)若乙在某一时刻也从B地出发前往A地，速度与甲相同，如果乙不能比丁晚到A地，求乙比丁最多晚出发多少小时？如图，在△ABC中，AB=BC=10，tan∠ABC=43，点P是BC边上的一点，在线段AP 上取点M，将线段PM绕点P按顺时针方向旋转90∘得到线段PN．设BP=t．(1)如图①，当点P与点B重合时，连接AN，点H为△APN的外心，且HM//PN，求AN 的长；(2)如图②，当PMMA =13时．①求点N到BC边的距离（用含t的代数式表示）；②当点P从点B运动至点C时，试求点N运动路径的长．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=12x2+bx+c经过点A(0,2)和B(1,32)．(1)求抛物线的解析式；(2)已知点C与点A关于抛物线的对称轴对称，求点C的坐标；(3)在(2)的条件下，点D在抛物线上，且横坐标为4，记抛物线在点A，D之间的部分（含点A，D）为图象G，若图象G向下平移t(t>0)个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年河北省某校初三（下）3月月考数学试卷一、选择题1.【答案】C【考点】平行线的概念及表示【解析】根据平行线的性质解答即可，注意需要分析P 点位置.【解答】解：如果点P 在直线上，过点P 画直线与m 的平行线可画0条，如果点P 在直线外，过点P 画直线与m 的平行线可画1条．故选C ．2.【答案】B【考点】幂的乘方与积的乘方【解析】此题暂无解析【解答】解：(13)2020×32021=(13×3)2020×3=3.故选B .3.【答案】A【考点】三角形中位线定理【解析】根据已知条件求得DE 是△OAB 的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解．【解答】解：∵ ∠B =∠DEC ，∴ DE//AB .∵ AD =DC ，∴ CE =BE ，∴ DE 是△CAB 的中位线，∴ AB =2DE =10m .故选A ．4.【答案】B【考点】科学记数法--表示较大的数【解析】此题暂无解析【解答】解：6400千米=6.4×103千米=6.4×106米.故选B.5.【答案】D【考点】数轴【解析】先根据数轴得到b<0<a, |a|<|b|，即可解答．【解答】解：根据数轴得知，b<0<a，|a|<|b|,则a>b，|a|<|b|，−a>b，a2<b2.故选D．6.【答案】D【考点】三角形的内切圆与内心平行线的判定与性质角平分线的定义【解析】由I为Rt△ABC的内心，得出Cl平分∠ACB，求出∠BC，由平行线的性质得出同旁内角互补，即可得出结果．【解答】解：∵ ∠ACB=90∘，I为Rt△ABC的内心，∴ CI平分∠ACB，∠ACB=45∘.∴ ∠ICB=12∵ ID//BC，∴ ∠CID+∠ICB=180∘，∴ ∠CID=180∘−45∘=135∘.故选D.7.【答案】B【考点】分式的乘除运算【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解:∵2x2−1÷2x−1=x−1 x2−1=1x+1，∴1x−a=1x+1∴a=−1.故选B．8.【答案】C【考点】简单组合体的三视图【解析】分别画出添加正方体前后的几何体的三视图，比较相同是否即可. 【解答】解：如图，或或主视图，左视图不同，俯视图相同.故选C.9.【答案】D【考点】有理数的混合运算【解析】添加想要的符号“+”，"−"，“××”，”÷“，依次计算出结果，再比较大小，注意先算乘方，再算乘法，最后算加法；如果有括号，要先做括号内的运算．【解答】解：添加符号“+”，22+2×(1+1 2 )=4+3=7；添加符号“−”，22+2×(1−1 2 )=4+1=5；添加符号“×”，22+2×(1×1 2 )=4+1=5;添加符号“÷”，22+2×(1÷1 )=4+2×2=8；∵5<7<8,∴使计算结果最大的符号是÷.故选D.10.【答案】C【考点】等腰三角形的性质【解析】由题意得∠DBA=30∘∠EBC=30∘，可得出∠BAC=60∘，结合AB=AC即可得出△ABC为等边三角形，根据等边三角形的性质即可得出BC的长度．【解答】解：依照题意画出图形，如图所示．∵点A在点B的北偏东30∘方向，点C在点B的南偏东30∘方向，∴∠DBA=30∘，∠EBC=30∘.∵点A在点C的正北方向，∴DE//AC，∴∠A=∠DBA=30∘，∠C=∠EBC=30∘，∴∠A=∠C=30∘，∠ABC=180∘−∠ABD−∠CBE=120∘,故A，D正确；∴AB=BC(△ABC为等腰三角形），故B正确.故选C．11.【答案】D【考点】方差算术平均数【解析】根据方差的公式可以得到平均数，从而算出a+b的值．【解答】解：由于这组数据的方差是：[(6−7)2+(10−7)2+(a−7)2+(b−7)2+(8−7)2]，s2=1n∴平均数是7．即6+10+a+b+8=7×5，∴ a+b=11.故选D.12.【答案】A【考点】根的判别式【解析】判断一元二次方程的根的情况，只要看根的判别式Δ=b2−4ac的值的符号就可以了．【解答】解：∵一元二次方程ax2−c=0没有实数根，∴b2−4×a×(−c)<0，即4ac<0.∴a与c异号，∴Δ=b2−4ac>0，∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.故选A．13.【答案】C【考点】轴对称图形【解析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A，有2数条对称轴，故本选项不合题意；B，有1数条对称轴，故本选项不合题意；C，有3数条对称轴，故本选项符合题意；D，有2数条对称轴，故本选项不合题意．故选C．14.【答案】B【考点】待定系数法求反比例函数解析式反比例函数系数k的几何意义【解析】设出点A，B的坐标A(0,y)，B(x,0)，根据△ABO的面积得到xy=−32，再根据点C为AB中点可表示出点C的坐标(x2,y2)，继而得到x2×y2=−8，根据反比例函数y=kx经过点C，即可求得k值.【解答】解：设A(0,y)，B(x,0)，∵ △ABO的面积为16，∴12|x|×y=16，∴ xy=−32.∵ C为线段AB的中点，∴ C点坐标为(x2,y2 )，∴x2×y2=−8.∵ 反比例函数y=kx经过点C，∴ k=−8.故选B.15.【答案】C【考点】正方形的性质勾股定理旋转的性质全等三角形的性质与判定【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90∘，CB=CD.∵线段CE绕点C按逆时针方向旋转90∘，得到线段CF，即∠ECF=90∘，CE=CF，∴∠BCF=∠BCD−∠FCD，∠DCE=∠ECF−∠FCD，∴∠BCF=∠DCE，∴△BCF≅△DCE，∴BF=DE=√5，∠BFC=∠DEC，∴∠BFC+∠CFE+∠BEF=∠DEC+∠CFE+∠BEF=90∘，即∠FBE=90∘，∴tan∠EFB=BEBF =√2+√5√5=2√10+55.故选C.16.【答案】C【考点】平行线的性质多边形内角与外角三角形内角和定理【解析】延长A1A2交A4A3的延长线于C，设l交A1A2于E、交A4A3于D，由正六边形的性质得出∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝120∘，得出∠CA2A3＝∠A2A3C＝60∘，则∠C＝60∘，由正五边形的性质得出∠B2B3B4＝108∘，由平行线的性质得出∠EDA4＝∠B2B3B4＝108∘，则∠EDC ＝72∘，再由三角形内角和定理即可得出答案．【解答】解：延长A1A2交A4A3的延长线于C，设l交A1A2于E、交A4A3于D，如图所示，∵六边形A1A2A3A4A5A6是正六边形，六边形的内角和=(6−2)×180∘＝720∘，∴∠A1A2A3=∠A2A3A4=7206=120∘，∴∠CA2A3=∠A2A3C=180∘−120∘=60∘，∴∠C=180∘−60∘−60∘=60∘.∵五边形B1B2B3B4B5是正五边形，五边形的内角和=(5−2)×180∘=540∘，∴∠B2B3B4=5405=108∘.∵A3A4 // B3B4，∴∠EDA4=∠B2B3B4=108∘，∴∠EDC=180∘−108∘=72∘，∴α=∠CED=180∘−∠C−∠EDC=180∘−60∘−72∘=48∘.故选C.二、填空题【答案】2021【考点】列代数式求值【解析】首先把2a2+4a+2011变形为2(a2+2a)+2011，然后把a2+2a=5代入计算即可求值.【解答】解：∵a2+2a=5，∴2a2+4a+2011=2(a2+2a)+2011=2×5+2011=2021.故答案为：2021.【答案】互相垂直平分【考点】菱形的判定与性质作角的平分线【解析】证明四边形ABDC是菱形，然后根据菱形的性质即可得出结论.【解答】解：根据作图可知AB=BD=DC=AC.∴四边形ABDC是菱形.∴BC与AD互相垂直平分.故答案为：互相垂直平分.【答案】(0,1)(−52,4)7【考点】网格中点的坐标三角形的面积【解析】(1)首先根据点E的横坐标和点F的纵坐标建立平面直角坐标系，然后根据坐标系可得点C的坐标.(2)首先确定点E和点F的坐标，然后根据中点的定义即可解答.(3)根据割补法，先求一个正方形的面积，再减去多余的三角形的面积即可.【解答】解：(1)根据题意建立如图所示的平面直角坐标系，∴点C的坐标为(0,1).故答案为：(0,1).(2)根据坐标系可知点E的坐标为(−4,3)，点F的坐标为(−1,5).−4+(−1)2=−52，3+52=4.∴线段EF的中点坐标为(−52,4).故答案为：(−52,4).(3)如图：S△EFC=4×4−12×4×2−12×4×1−12×2×3=7.故答案为：7.三、解答题【答案】解：(1)3÷32+2×(−1)=3×23+2×(−1)=2−2=0.(2)3÷32+m×(−1)=3，3×23−m=3，2−m=3，解得m=−1，即m的值为−1.(3)3÷32+m×(−1)=2−m，∵结果是最小正整数为1，∴2−m=1，解得m=1.∴m的值为1.【考点】有理数的混合运算解一元一次方程【解析】根据有理数混合运算的法则计算，即可解答.根据一元一次方程的解法，即可解答.先化简代数式，再根据题意得出方程，即可解答. 【解答】解：(1)3÷32+2×(−1)=3×23+2×(−1)=2−2=0.(2)3÷32+m×(−1)=3，3×23−m=3，2−m=3，解得m=−1，即m的值为−1.(3)3÷32+m×(−1)=2−m，∵结果是最小正整数为1，∴2−m=1，解得m=1.∴m的值为1.【答案】解：(1)乙同学卡片上的代数式为一次二项式，则mx2=0，∴ m=0.(2)①2x2−3x+1−(mx2−3x−2)=2x2−3x+1−mx2+3x+2=(2−m)x2+3，由题意得结果为常数项，∴ 2−m=0，即m=2；②丙同学卡片上代数式为(2−m)x2+3，∵ 这个代数式的值为非负数，∵x2≥0，∴ 当2−m≥0时，(2−m)x2+3为非负数，∴ m≤2.【考点】多项式的项与次数整式的加减【解析】(1)根据乙同学卡片上的代数式为一次二项式知mx2=0，据此求解即可；(2)①根据题意列出算式2x2−3x+1−(mx2−3x−2)，然后去括号、合并同类项，继而根据结果为常数项知二次项系数为0，据此求解即可；②根据①可得丙同学卡片上的代数式为(2−m)x2+3，它是非负数，可得2−m≥0，解不等式可得答案.【解答】解：(1)乙同学卡片上的代数式为一次二项式，则mx2=0，∴ m=0.(2)①2x2−3x+1−(mx2−3x−2)=2x2−3x+1−mx2+3x+2=(2−m)x2+3，由题意得结果为常数项，∴ 2−m=0，即m=2；②丙同学卡片上代数式为(2−m)x2+3，∵ 这个代数式的值为非负数，∵x2≥0，∴ 当2−m≥0时，(2−m)x2+3为非负数，∴ m≤2.【答案】解：(1)转盘中的数字为：2，3，7，∴转盘上所标数字的中位数为3.(2)随机转动一次转盘，共有3种等可能的结果数，其中当数字为3时，棋子从点A处跳动到点D处，.则棋子跳动到点D处的概率=13(3)画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中棋子最终跳动到点A处的结果数为4，．所以棋子最终跳动到点A处的概率49【考点】中位数概率公式列表法与树状图法【解析】根据转盘中的数按大小顺序排列后，根据中位数的定义进行解答即可求解.(2)直接利用概率公式计算；(3)画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出数字之和为5的倍数的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：(1)转盘中的数字为：2，3，7，∴转盘上所标数字的中位数为3.(2)随机转动一次转盘，共有3中等可能的情况，其中当数字为3时，棋子从点A处跳动到点D处，则棋子跳动到点D处的概率=1.3(3)画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中棋子最终跳动到点A处的结果数为4，．所以棋子最终跳动到点A处的概率49【答案】解：(1)EC与半圆O相切．理由：如图，连接OC，OE，BC，AB 为半圆O 的直径，∴ ∠ACB =90∘，∵ E 是BD 的中点，∠BCD =∠ACB =90∘，∴ DE =EC =BE ．∵ OC =OB ，OE =OE ，∴ △OCE ≅△OBE (SSS )，∴ ∠OCE =∠OBE ．∵ BD 是⊙O 的切线，∠ABD =90∘，∴ ∠OCE =∠ABD =90∘．∵ OC 为半圆O 的半径，∴ EC 与半圆O 相切.(2)分两种情况讨论：①如图，若AC ̂:BC ̂=1:2，则∠AOC =13×180∘=60∘， ∴ ∠CAO =60∘，∠COB =120∘．∴ BD =AB ⋅tan 60∘=4√3，OB =12AB =2， ∴ BE =2√3．由(1)得△OCE ≅△OBE ，∴ S 四边形OBEC =2S △OBE =2×12×2×2√3=4√3． S 扇形BOC =120π⋅22360=4π3．∴ S 阴影=S 四边形OBEC −S 扇形BOC =4√3−4π3；②如图，若AC ̂:BC ̂=2:1，则∠AOC =23×180∘=120∘，∠BOC =60∘，同理可得，S四边形OBEC =2S△OBE=2×12×2×2√33=4√33，S扇形BOC =60π⋅22360=2π3．∴S阴影=S四边形OBEC−S扇形BOC=4√33−2π3.(3)如图，连接BF，AF，取AF中点N，以NF长为半径构造⊙N，连接NG，∵FG⊥AD，∴当点C在AB̂上运动时，点G在⊙N上运动，∴当点N，G，B三点共线时，BG有最小值.∵AB=4，点F是AB̂的中点，∴∠AFB=90∘，AF=BF=√22AB=2√2，∴NG=NF=12AF=√2，BN=√BF2+FN2=√(2√2)2+(√2)2=√10，∴BG的最小值=BN−NG=√10−√2．【考点】切线的判定与性质全等三角形的性质与判定直角三角形斜边上的中线锐角三角函数的定义求阴影部分的面积扇形面积的计算三角形的面积圆的综合题勾股定理【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)EC与半圆O相切．理由：如图，连接OC，OE，BC，AB 为半圆O 的直径，∴ ∠ACB =90∘，∵ E 是BD 的中点，∠BCD =∠ACB =90∘，∴ DE =EC =BE ．∵ OC =OB ，OE =OE ，∴ △OCE ≅△OBE (SSS )，∴ ∠OCE =∠OBE ．∵ BD 是⊙O 的切线，∠ABD =90∘，∴ ∠OCE =∠ABD =90∘．∵ OC 为半圆O 的半径，∴ EC 与半圆O 相切.(2)分两种情况讨论：①如图，若AC ⌢:BC ⌢=1:2，则∠AOC =13×180∘=60∘， ∴ ∠CAO =60∘，∠COB =120∘．∴ BD =AB ⋅tan 60∘=4√3，OB =12AB =2，∴ BE =2√3．由(1)得△OCE ≅△OBE ，∴ S 四边形OBEC =2S △OBE =2×12×2×2√3=4√3．S 扇形BOC =120π⋅22360=4π3．∴ S 阴影=S 四边形OBEC −S 扇形BOC =4√3−4π3； ②如图，若AC ⌢:BC ⌢=2:1，则∠AOC =23×180∘=120∘，∠BOC =60∘，同理可得，S 四边形OBEC =2S △OBE =2×12×2×2√33=4√33， S 扇形BOC =60π⋅22360=2π3．∴ S 阴影=S 四边形OBEC −S 扇形BOC =4√33−2π3. (3)如图，连接BF ，AF ，取AF 中点N ，以NF 长为半径构造⊙N ，连接NG ，∵ FG ⊥AD ，∴ 当点C 在AB̂上运动时，点G 在⊙N 上运动， ∴ 当点N ，G ，B 三点共线时，BG 有最小值.∵ AB =4，点F 是AB̂的中点， ∴ ∠AFB =90∘，AF =BF =√22AB =2√2，∴ NG =NF =12AF =√2， BN =√BF 2+FN 2=√(2√2)2+(√2)2=√10，∴ BG 的最小值=BN −NG =√10−√2．【答案】解：(1)设丙的速度为xkm/ℎ，则甲的速度为(x +10)km/ℎ，由题意得[27−(13−27)](x +10)=x3， 解得x =25，则直线l ：s =25t .(2)由(1)知丙与丁的速度为25km/ℎ，则甲的速度为35km/ℎ，甲与丙相遇时，距离A 地为253km ，设丁出发后yℎ与甲相遇，则(25+35)y=90−253，解得y=4936，此时丁距A地约为253+4936×35=201536≈56.0(km).(3)乙比丁最多晚出发9025−9035=3635ℎ.【考点】一元一次方程的应用——其他问题根据实际问题列一次函数关系式一元一次方程的应用——路程问题列代数式求值【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)设丙的速度为xkm/ℎ，则甲的速度为(x+10)km/ℎ，由题意得[27−(13−27)](x+10)=x3，解得x=25，则直线l：s=25t.(2)由(1)知丙与丁的速度为25km/ℎ，则甲的速度为35km/ℎ，甲与丙相遇时，距离A地为253km，设丁出发后yℎ与甲相遇，则(25+35)y=90−253，解得y=4936，此时丁距A地约为253+4936×35=201536≈56.0(km).(3)乙比丁最多晚出发9025−9035=3635ℎ.【答案】解：(1)∵∠APN=90∘，点H为△APN的外心，MH//PN，∴AH=HN．∴点M为AB的中点．在Rt△APN中，AP=10，∴PM=PN=12AB=5，∴AN=√102+52=5√5．(2)①如图，过点A作AE⊥BC于点E．∵AB=10，tan∠ABC=43，∴AE=8，BE=6．分两种情况讨论：(i)当0≤t≤6时，过点N作NF⊥BC于点F，∵ ∠AEP =∠PFN =90∘，∠APF +∠FPN =90∘，∠APF +∠PAE =90∘， ∴ ∠PAE =∠FPN ．∴ △APE ∽△PNF ，∵ PM MA =13，PM =PN ， ∴ FN EP =PNAP=14， ∴ FN =14(6−t)=32−14t ；(ii)当6<t ≤10时，如图，同理可得：FN =14(t −6)=14t −32． 综上所述，点N 到BC 边的距离为FN ={32−14t(0≤t ≤6)14t −32(6<t ≤10) ②如图，点N 的运动路径是NN ′，过点N 作NF ⊥BC ，过点A 作AE ⊥BC ．当点P 与点B 重合时，t =0，PN =14AB =52，FN =32−14t =32，PF =√PN 2−FN 2=2，当点P ′与点C 重合时，t =10，由①得BE =6，AE =8，∴ EC =4，∴ AC =√42+82=4√5，∴ P ′N ′=14AC =√5，F ′N ′=14t −32=1，∴ P ′F ′=√P ′N ′2−F ′N ′2=2，过点N 作N ′F ′的垂线，交其延长线于点G ．∴ F ′G =FN =32，NG =FF ′=BC +P ′F ′−PF =10+2−2=10． ∴ N ′G =N ′F ′+F ′G =1+32=52．∴ 点N 的路径长NN ′=√102+(52)2=52√17．【考点】旋转的性质勾股定理三角形的外接圆与外心相似三角形的性质与判定锐角三角函数的定义【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵ ∠APN =90∘，点H 为△APN 的外心，MH//PN ，∴ AH =HN ．∴ 点M 为AB 的中点．在Rt △APN 中，AP =10，∴ PM =PN =12AB =5， ∴ AN =√102+52=5√5．(2)①如图，过点A 作AE ⊥BC 于点E ．∵ AB =10，tan ∠ABC =43，∴ AE =8，BE =6．分两种情况讨论：(i)当0≤t ≤6时，过点N 作NF ⊥BC 于点F ，∵ ∠AEP =∠PFN =90∘，∠APF +∠FPN =90∘，∠APF +∠PAE =90∘，∴ ∠PAE =∠FPN ．∴ △APE ∽△PNF ，∵ PM MA =13，PM =PN ， ∴ FN EP =PN AP =14， ∴ FN =14(6−t)=32−14t ；(ii)当6<t ≤10时，如图，同理可得：FN =14(t −6)=14t −32．综上所述，点N 到BC 边的距离为FN ={3−1t(0≤t ≤6)1t −3(6<t ≤10) ②如图，点N 的运动路径是NN ′，过点N 作NF ⊥BC ，过点A 作AE ⊥BC ．当点P 与点B 重合时，t =0，PN =14AB =52，FN =32−14t =32， PF =√PN 2−FN 2=2，当点P ′与点C 重合时，t =10，由①得BE =6，AE =8，∴ EC =4，∴ AC =√42+82=4√5，∴ P ′N ′=14AC =√5，F ′N ′=14t −32=1，∴ P ′F ′=√P ′N ′2−F ′N ′2=2，过点N 作N ′F ′的垂线，交其延长线于点G ．∴ F ′G =FN =32，NG =FF ′=BC +P ′F ′−PF =10+2−2=10．∴ N ′G =N ′F ′+F ′G =1+32=52．∴ 点N 的路径长NN ′=√102+(52)2=52√17． 【答案】解：(1)把A(0,2)和B(1,32)代入y =12x 2+bx +c ，得{c =2，12+b +c =32，解得{b =−1，c =2， ∴ 抛物线的解析式为y =12x 2−x +2.(2)∵ y =12x 2−x +2=12(x −1)2+32， ∴ 抛物线的对称轴为直线x =1，∵ 点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称，点A(0,2)，∴ 点C 的坐标为(2,2).(3)当x =4时，y =12x 2−x +2=8−4+2=6，∴ D 点坐标为(4,6)．如图，设直线BC 的解析式为y =mx +n ，把B(1,32)，C(2,2)代入直线BC 的解析式， 得{m +n =32,2m +n =2,解得{m =12,n =1,∴ 直线BC 的解析式为y =12x +1，当x =0时，y =12x +1=1，∴ 图象G 向下平移1个单位时，点A 在直线BC 上，图象G 向下平移3个单位时，点D 在直线BC 上，∴ 当1<t ≤3时，图象G 向下平移t(t >0)个单位后与直线BC 只有一个公共点．【考点】待定系数法求二次函数解析式轴对称中的坐标变化二次函数图象与几何变换待定系数法求一次函数解析式二次函数综合题【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)把A(0,2)和B(1,32)代入y =12x 2+bx +c ，得{c =2，12+b +c =32，解得{b =−1，c =2， ∴ 抛物线的解析式为y =12x 2−x +2.(2)∵ y =12x 2−x +2=12(x −1)2+32，∴ 抛物线的对称轴为直线x =1，∵ 点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称，点A(0,2)，∴ 点C 的坐标为(2,2).(3)当x =4时，y =12x 2−x +2=8−4+2=6，∴ D 点坐标为(4,6)．如图，设直线BC 的解析式为y =mx +n ，把B(1,32)，C(2,2)代入直线BC 的解析式， 得{m +n =32,2m +n =2,解得{m =12,n =1,∴ 直线BC 的解析式为y =12x +1，当x =0时，y =12x +1=1，∴ 图象G 向下平移1个单位时，点A 在直线BC 上，图象G 向下平移3个单位时，点D 在直线BC 上，∴ 当1<t ≤3时，图象G 向下平移t(t >0)个单位后与直线BC 只有一个公共点．。
2020-2021学年第一学期安徽省九年级第三次月考数学试卷(word版,含答案)
2020－2021 学年度第一学期九年级质量检测试卷（三）数学（沪科版）注意事项∶1.你拿到的试卷满分为 150 分，考试时间为120分钟。
2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分。
“试题卷”共4页，“答题卷”共6页。
3.请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的。
4. 考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回。
一、选择题（ 本大题共 10 小题，每小题4分，共40 分） 1.反比例函数xy 4-=（x ＞0）的图像位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第二象限D.第二象限2.如图，直线l 1/l 2，/l 3，直线AC 和DF 被l 1，l 2，l 3所截，AB ＝5，BC ＝6，EF ＝4，则DE 的长为（ ） A.2B.3C.4B.3103.如图，在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinB ＝0.5，若AC ＝6，则BC 的长为（ ） A.8B.12C.36B.3124.抛物线y ＝－3x ²－1是由抛物线y ＝－3（x ＋1）²＋1怎样平移得到的（ ） A.左移1个单位上移2个单位 B.左移1个单位下移2 个单位 B.右移1个单位上移2个单位D.右移1个单位下移2 个单位5.若43=a b ，则aba -2的值为（ ） A.1 B.45 C.47B.856.如图，A ，B ，C 是3×1的正方形网格中的三个格点，则 tan ∠ABC 的值为（ ）A.1B.45C.47D.85 7.△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，且 sinA ＝22，cosB ＝21则△ABC 的形状是（ ）A.直角三角形B. 钝角三角形C.锐角三角形D. 锐角三角形或钝角三角形8.如图，正方形ABCD 的边长是2，E 是 BC 的中点，连接 BD 、AE 相交于点O ，则OD 的长为（ ） A.324B.22C.328D.59.有以下命题∶①如果线段d 是线段a ，b ，c 的第四比例项，则有dc b a ； ②如果点C 是线段 AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项;③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项； ④如果点C 是线段 AB 的黄金分割点，AC ＞BC ，且AB ＝2，则AC ＝5－1. 其中正确的判断有（ ） A. ②④B.①②③④C. ①③④D.②③④10.如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝16，点P 是斜边AB 上任意一点，过点P 作 PQ ⊥AB ，垂足为P ，交边AC （或边 CB ）于点Q ，设AP ＝x ，△APQ 的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致是（ ）二、填空题（本大题共4 小题，每小题5分，共20 分） 11.抛物线y ＝ （x ＋2）2－1的顶点坐标为___________。
2020年人教版九年级数学第一学期第三次月考试卷及答案
九年级上学期第三次月考数学试卷一、选择题（本题共10小题，每题4分，共40分.每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正确的，请将正确答案的代号，写在题后的括号内.）1．在比例尺是1：8000的南京市城区地图上，太平南路的长度约为25cm，它的实际长度约为（）A．320cm B．320m C．2000cm D．2000m2．下列图形一定相似的是（）A．两个矩形 B．两个等腰梯形C．对应边成比例的两个四边形 D．有一个内角相等的菱形3．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论不正确的是（）A．BC=2DE B．△ADE∽△ABC C．=D．S△ABC=3S△ADE4．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A．B．C．D．5．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，则下列判断正确的是（）A．a＞0 B．b2﹣4ac≥0C．x1＜x0＜x2D．a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜06．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O．若点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（）A．（2，4）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣2，﹣4）D．（﹣2，﹣1）7．已知如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB的值为（）A．2 B．3 C．4 D．58．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a＜0，②b＜0，③c＞0，④4a﹣2b+c＜0，⑤b+2a=0其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是（）A．B．C．﹣1 D．+110．如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=，则△CEF的周长为（）A．8 B．9.5 C．10 D．11.5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．若，则=．12．如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是（填一个即可）13．如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有条．14．如图所示，直线l和双曲线交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、OP．设△AOC 的面积为S1、△BOD的面积为S2、△POE的面积为S3，则S1、S2、S3的大小关系是．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．如图矩形ABCD中，AB=6，BC=8，若将矩形折叠，使B点与D点重合，求折痕EF的长．16．周长为8米的铝合金条制成如图形状的窗框，使窗户的透光面积最大，则最大透光面积是多少．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．在△ABC中，∠B=25°，AD是BC边上的高，并且AD2=BD•CD，则∠BCA的度数为多少？18．如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：2．（2）连接（1）中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．（结果保留根号）五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．在△ABC中，AB=6，BC=8，CA=7，延长CA至点P，使∠PBA=∠C，求AP的长．20．已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=25，BC=32．连接BD，AE⊥BD 垂足为E．（1）求证：△ABE∽△DBC；（2）求线段AE的长．六、（本题满分12分）21．如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；（2）求这条抛物线的解析式；（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD﹣DC﹣CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？七、（本题满分12分）22．已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE=60°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）如果AB=3，EC=，求DC的长．八、（本题满分14分）23．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB边上有一动点P（不与A、B重合），连结DP，作PQ⊥DP，使得PQ交线段BC于点E，设AP=x．（1）当x为何值时，△APD是等腰三角形？（2）若设BE=y，求y关于x的函数关系式；（3）若BC的长a可以变化，在现在的条件下，是否存在点P，使得PQ经过点C？若不存在，请说明理由；若存在，写出当BC的长在什么范围内时，可以存在这样的点P，使得PQ经过点C，并求出相应的AP的长．参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每题4分，共40分.每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正确的，请将正确答案的代号，写在题后的括号内.）1．在比例尺是1：8000的南京市城区地图上，太平南路的长度约为25cm，它的实际长度约为（）A．320cm B．320m C．2000cm D．2000m【考点】比例线段；比例的性质．【专题】应用题．【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，列比例式，根据比例的基本性质即可求得结果．【解答】解：设它的实际长度为x，则：=x=200000cm=2000m．故选D．【点评】能够根据比例尺灵活计算，注意单位的换算问题．2．下列图形一定相似的是（）A．两个矩形 B．两个等腰梯形C．对应边成比例的两个四边形 D．有一个内角相等的菱形【考点】相似图形．【分析】根据相似图形的定义，结合选项，用排除法求解．【解答】解：A、两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，故错误；B、两个等腰梯形不一定相似，故错误；C、对应边成比例且对应角相等的两个四边形是全等形，故错误；D、有一个内角相等的菱形是相似图形，故正确，故选D．【点评】本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质是解题的关键．3．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论不正确的是（）A．BC=2DE B．△ADE∽△ABC C．=D．S△ABC=3S△ADE【考点】三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】根据三角形的中位线定理得出DE是△ABC的中位线，再由中位线的性质得出△ADE∽△ABC，进而可得出结论．【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE=BC，∴BC=2DE，故A正确；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故B正确；∴=，故C正确；∵DE是△ABC的中位线，∴AD：BC=1：2，∴S△ABC=4S△ADE故D错误．故选D．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质及三角形的中位线定理，熟记以上知识是解答此题的关键．4．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定．【专题】网格型．【分析】根据勾股定理求出△ABC的三边，并求出三边之比，然后根据网格结构利用勾股定理求出三角形的三边之比，再根据三边对应成比例，两三角形相似选择答案．【解答】解：根据勾股定理，AB==2，BC==，AC==，所以△ABC的三边之比为：2：=1：2：，A、三角形的三边分别为2，=，=3，三边之比为2：：3=：：3，故A选项错误；B、三角形的三边分别为2，4，=2，三边之比为2：4：2=1：2：，故B选项正确；C、三角形的三边分别为2，3，=，三边之比为2：3：，故C选项错误；D、三角形的三边分别为=，=，4，三边之比为：：4，故D选项错误．故选：B．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与网格结构的知识，根据网格结构分别求出各三角形的三条边的长，并求出三边之比是解题的关键．5．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，则下列判断正确的是（）A．a＞0 B．b2﹣4ac≥0C．x1＜x0＜x2D．a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】压轴题．【分析】根据抛物线与x轴有两个不同的交点，根的判别式△＞0，再分a＞0和a＜0两种情况对C、D选项讨论即可得解．【解答】解：A、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点无法确定a的正负情况，故本选项错误；B、∵x1＜x2，∴△=b2﹣4ac＞0，故本选项错误；C、若a＞0，则x1＜x0＜x2，若a＜0，则x0＜x1＜x2或x1＜x2＜x0，故本选项错误；D、若a＞0，则x0﹣x1＞0，x0﹣x2＜0，所以，（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，若a＜0，则（x0﹣x1）与（x0﹣x2）同号，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，综上所述，a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0正确，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数图象以及图象上点的坐标特征是解题的关键，C、D选项要注意分情况讨论．6．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O．若点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（）A．（2，4）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣2，﹣4）D．（﹣2，﹣1）【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】根据以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，即可得出对应点的坐标应乘以﹣2，即可得出点A′的坐标．【解答】解：根据以原点O为位似中心，图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以﹣2，故点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（﹣2，﹣4），故选：C．【点评】此题主要考查了关于原点对称的位似图形的性质，得出对应点的坐标乘以k或﹣k是解题关键．7．已知如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据相似三角形的判定及已知可得到△ABC∽△CDE，利用相似三角形的对应边成比例即可求得AB的长．【解答】解：∵C是线段BD的中点，BD=4，∴BC=CD=2，∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B=∠D=90°，∠A+∠ACB=90°，∵AC⊥CE，即∠ECD+∠ACB=90°，∴∠A=∠ECD，∴△ABC∽△CDE，∴=，∴=，∴AB=4，故选C．【点评】本题主要考查相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识，关键是推出△ABC∽△CDE．8．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①a＜0，②b＜0，③c＞0，④4a﹣2b+c＜0，⑤b+2a=0其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由开口方向，对称轴在y轴右侧，与y交于正半轴，可判定a，b，c的符号，由对称轴为x=1，可求得与x轴的交点坐标以及b+2a=0，继而可判定4a﹣2b+c＜0．【解答】解：∵开口向下，∴a＜0，故①正确；∵对称轴x=﹣＞0，∴b＞0，故②错误；∵与y轴交于正半轴，∴c＞0，故③正确；∵对称轴为x=1，与x轴的一个交点为（3，0），∴另一个交点为：（﹣1，0），∴当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c＜0，故④正确；∵对称轴x=﹣=1，∴b+2a=0，故⑤正确．故选D．【点评】此题考查了二次函数系数与图象的关系．此题难度不大，注意掌握抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点确定，注意掌握抛物线的对称性．9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是（）A．B．C．﹣1 D．+1【考点】黄金分割．【专题】压轴题．【分析】根据两角对应相等，判定两个三角形相似．再用相似三角形对应边的比相等进行计算求出BD的长．【解答】解：∵∠A=∠DBC=36°，∠C公共，∴△ABC∽△BDC，且AD=BD=BC．设BD=x，则BC=x，CD=2﹣x．由于=，∴=．整理得：x2+2x﹣4=0，解方程得：x=﹣1±，∵x为正数，∴x=﹣1+．故选C．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，先用两角对应相等判定两个三角形相似，再用相似三角形的性质对应边的比相等进行计算求出BD的长．10．如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=，则△CEF的周长为（）A．8 B．9.5 C．10 D．11.5【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】本题意在综合考查平行四边形、相似三角形、和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查．在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD 的平分线交BC于点E，可得△ADF是等腰三角形，AD=DF=9；△ABE是等腰三角形，AB=BE=6，所以CF=3；在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=，可得AG=2，又△ADF是等腰三角形，BG⊥AE，所以AE=2AG=4，所以△ABE的周长等于16，又由▱ABCD可得△CEF∽△BEA，相似比为1：2，所以△CEF的周长为8，因此选A．【解答】解：∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，∴AB∥DC，∠BAF=∠DAF，∴∠BAF=∠F，∴∠DAF=∠F，∴AD=FD，∴△ADF是等腰三角形，同理△ABE是等腰三角形，AD=DF=9；∵AB=BE=6，∴CF=3；∴在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=，可得：AG=2，又BG⊥AE，∴AE=2AG=4，∴△ABE的周长等于16，又∵▱ABCD∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，∴△CEF的周长为8．故选：A．【点评】本题考查勾股定理、相似三角形的知识，相似三角形的周长比等于相似比．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．若，则=．【考点】比例的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据比例的基本性质熟练进行比例式和等积式的互相转换．【解答】解：根据题意，设x=2k，y=3k，z=4k，则=，故答案为：．【点评】已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．12．如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是∠C=∠BAD（填一个即可）【考点】相似三角形的判定．【专题】开放型．【分析】根据相似三角形的判定：（1）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似，进行添加即可．【解答】解：∵∠B=∠B（公共角），∴可添加：∠C=∠BAD．此时可利用两角法证明△ABC与△DBA相似．故答案可为：∠C=∠BAD．【点评】本题考查了相似三角形的判定，注意掌握相似三角形判定的三种方法，本题答案不唯一．13．如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有3条．【考点】相似三角形的判定．【分析】过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．【解答】解：由于△ABC是直角三角形，过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角，所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似，过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线．故答案为：3．【点评】本题主要考查三角形相似判定定理及其运用．解题时运用了两角法（有两组角对应相等的两个三角形相似）来判定两个三角形相似．14．如图所示，直线l和双曲线交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、OP．设△AOC 的面积为S1、△BOD的面积为S2、△POE的面积为S3，则S1、S2、S3的大小关系是S1=S2＜S3．【考点】反比例函数综合题．【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．【解答】解：结合题意可得：AB都在双曲线y=上，则有S1=S2；而线段AB之间，直线在双曲线上方；故S1=S2＜S3．故答案为：S1=S2＜S3．【点评】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．如图矩形ABCD中，AB=6，BC=8，若将矩形折叠，使B点与D点重合，求折痕EF的长．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】如图，证明BF=DF（设为λ），BD⊥EF；证明∠C=90°，DC=AB=6，FC=8﹣λ；列出关于λ的方程，求出λ；借助面积公式即可解决问题．【解答】解：如图，连接BE，DF；由题意得：BF=DF（设为λ），BD⊥EF；∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°，DC=AB=6，FC=8﹣λ；由勾股定理得：λ2=（8﹣λ）2+62，解得：λ=；BF=λ=．同理可求：BD=10．∵S=BF•DC=BD•EF，四边形BEDF∴EF=7.5．【点评】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用翻折变换的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．16．周长为8米的铝合金条制成如图形状的窗框，使窗户的透光面积最大，则最大透光面积是多少．【考点】二次函数的应用．【分析】首先表示出窗户的高，进而表示出矩形面积，再利用配方法求出二次函数最值即可．【解答】解：设矩形窗户的透光面积为S平方米，窗户的宽为x米，则窗户的高为米，由此得出：S=x•，整理得S=﹣x2+4x=﹣（x﹣）2+，因为，所以抛物线开口向下，函数有最大值，最大值为．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意得出正确函数关系式是解题关键．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．在△ABC中，∠B=25°，AD是BC边上的高，并且AD2=BD•CD，则∠BCA的度数为多少？【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】解答此题的关键的是利用AD2=BD×CD，推出△ABD∽△ADC，然后利用对应角相等即可知∠BCA的度数．注意分为高在三角形内与高在三角形外两种．【解答】解：如图1：∵∠B=25°，AD是BC边上的高，∴∠BAD=65°，∵AD2=BD．CD，∴，AD⊥BC，∴△ABD∽△CDA，∴∠BCA=∠BAD=65°．如图2：∵∠B=25°，AD是BC边上的高，∴∠BAD=65°，∵AD2=BD．CD，∴，AD⊥BC，∴△ABD∽△CDA，∴∠ACD=∠BAD=65°，∴∠ACB=180°﹣∠ACD=115°．∴∠BCA的度数为65°或115°．【点评】本题关键是要懂得利用对应边成比例，找出相似三角形，利用相似三角形的性质求解．注意三角形的高的作法．18．如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：2．（2）连接（1）中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．（结果保留根号）【考点】作图-位似变换．【专题】作图题．【分析】（1）取OA的中点A′，OB的中点B′，OC的中点C′，然后顺次连接即可；（2）根据勾股定理列式求出AC、A′C′的长，再根据周长公式列式进行计算即可得解．【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求作的三角形；（2）根据勾股定理，AC==2，A′C′==，所以，四边形AA′C′C的周长为：1++2+2=3+3．【点评】本题考查了利用位似变换作图，根据网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．在△ABC中，AB=6，BC=8，CA=7，延长CA至点P，使∠PBA=∠C，求AP的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由已知∠PBA=∠C，∠P=∠P，可得△PAB∽△PBC，即，设PA=x，PB=y代入数值即可求出．【解答】解：由已知∠PBA=∠C，∠P=∠P，∴△PAB∽△PBC，即，设PA=x，PB=y，则有，解方程组可得x=9，∴PA=9．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，列出二元一次方程组是解题的关键．20．已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=25，BC=32．连接BD，AE⊥BD 垂足为E．（1）求证：△ABE∽△DBC；（2）求线段AE的长．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；直角梯形．【专题】压轴题．【分析】（1）由等腰三角形的性质可知∠ABD=∠ADB，由AD∥BC可知，∠ADB=∠DBC，由此可得∠ABD=∠DBC，又∵∠AEB=∠C=90°，利用“AA”可证△ABE∽△DBC；（2）由等腰三角形的性质可知，BD=2BE，根据△ABE∽△DBC，利用相似比求BE，在Rt△ABE 中，利用勾股定理求AE．【解答】（1）证明：∵AB=AD=25，∴∠ABD=∠ADB，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∴∠ABD=∠DBC，∵AE⊥BD，∴∠AEB=∠C=90°，∴△ABE∽△DBC；（2）解：∵AB=AD，又AE⊥BD，∴BE=DE，∴BD=2BE，由△ABE∽△DBC，得，∵AB=AD=25，BC=32，∴，∴BE=20，∴AE=．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质及勾股定理解题．六、（本题满分12分）21．如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；（2）求这条抛物线的解析式；（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD﹣DC﹣CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？【考点】二次函数的应用．【专题】压轴题．【分析】（1）根据所建坐标系易求M、P的坐标；（2）可设解析式为顶点式，把O点（或M点）坐标代入求待定系数求出解析式；（3）总长由三部分组成，根据它们之间的关系可设A点坐标为（m，0），用含m的式子表示三段的长，再求其和的表达式，运用函数性质求解．【解答】解：（1）M（12，0），P（6，6）．（2）设抛物线解析式为：y=a（x﹣6）2+6∵抛物线y=a（x﹣6）2+6经过点（0，0）∴0=a（0﹣6）2+6，即a=﹣∴抛物线解析式为：y=﹣（x﹣6）2+6，即y=﹣x2+2x．（3）设A（m，0），则B（12﹣m，0），C（12﹣m，﹣m2+2m）D（m，﹣m2+2m）．∴“支撑架”总长AD+DC+CB=（﹣m2+2m）+（12﹣2m）+（﹣m2+2m）=﹣m2+2m+12=﹣（m﹣3）2+15．∵此二次函数的图象开口向下．∴当m=3米时，AD+DC+CB有最大值为15米．【点评】本题难度在第（3）问，要分别求出三部分的表达式再求其和．关键在根据图形特点选取一个合适的参数表示它们，得出关系式后运用函数性质来解．七、（本题满分12分）22．已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE=60°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）如果AB=3，EC=，求DC的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）△ABC是等边三角形，得到∠B=∠C=60°，AB=AC，推出∠BAD=∠CDE，得到△ABD∽△DCE；（2）由△ABD∽△DCE，得到=，然后代入数值求得结果．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=AC，∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠B=∠ADE=60°，∴∠BAD=∠CDE∴△ABD∽△DCE；（2）解：由（1）证得△ABD∽△DCE，∴=，设CD=x，则BD=3﹣x，∴=，∴x=1或x=2，∴DC=1或DC=2．【点评】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，注意数形结合和方程思想的应用．八、（本题满分14分）23．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB边上有一动点P（不与A、B重合），连结DP，作PQ⊥DP，使得PQ交线段BC于点E，设AP=x．（1）当x为何值时，△APD是等腰三角形？（2）若设BE=y，求y关于x的函数关系式；（3）若BC的长a可以变化，在现在的条件下，是否存在点P，使得PQ经过点C？若不存在，请说明理由；若存在，写出当BC的长在什么范围内时，可以存在这样的点P，使得PQ经过点C，并求出相应的AP的长．【考点】四边形综合题．【分析】（1）表示出PH，然后分①当AP=AD时，②当AD=PD时，根据等腰三角形三线合一的性质，AH=PH，列式进行计算即可得解；③当AP=PD时，表示出PH，然后在Rt△DPH中，根据勾股定理列式进行计算即可得解；（2）根据同角的余角相等求出∠HDP=∠EPB，再根据两角对应相等，两三角形相似求出△DPH和△PEB相似，然后根据相似三角形对应边成比例列出比例式整理即可得解；（3）根据PQ过点C时，BE=4，代入（2）的BE的表达式，再根据一元二次方程的解确定即可．【解答】解：（1）过D点作DH⊥AB于H，则四边形DHBC为矩形，∴DH=BC=4，HB=CD=6，∴AH=2，AD=2，∵AP=x，∴PH=x﹣2，情况①：当AP=AD时，即x=2，情况②：当AD=PD时，则AH=PH，∴2=x﹣2，解得x=4，情况③：当AP=PD时，则Rt△DPH中，x2=42+（x﹣2）2，解得x=5，∵2＜x＜8，∴当x为2、4、5时，△APD是等腰三角形；（2）∵∠DPE=∠DHP=90°，∴∠DPH+∠EPB=∠DPH+∠HDP=90°，∴∠HDP=∠EPB，又∵∠DHP=∠B=90°，∴△DPH∽△PEB，∴，∴，整理得：；（3）存在，由（2）得△DPH∽△PEB，∴，∴y=，当y=a时，（8﹣x）（x﹣2）=a2，即x2﹣10x+（16+a2）=0，△=100﹣4（16+a2）≥0，即100﹣64﹣4a2≥0，即a2≤9，又∵a＞0，∴0＜a≤3，∴当BC满足0＜BC≤3时，存在点P，使得PQ经过C，此时，AP的长为．【点评】本题考查了四边形综合题，主要考查了直角梯形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解的情况，综合性较强，难度较大，（1）要根据等腰三角形的腰长的不同分情况讨论．。
人教版2019-2020学年九年级数学3月月考试卷及答案
2020年3月份月考九年级数 学 试 题一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1．反比例函数y ＝－3x(x ＜0)如图所示，则矩形OAPB 的面积是( )A ．3B ．－3 C.32 D ．－32（第3题图)2．如图，将两个形状和大小都相同的杯子叠放在一起，则该实物图的主视图为( )3．如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)，以原点O 为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点C 的坐标为( )A ．(2，1)B ．(2，0)C ．(3，3)D ．(3，1)4．如图，以原点O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵上一点(不与A ，B 重合)，连接OP ，设∠POB ＝α，则点P 的坐标是( )A ．(sin α，sin α)B ．(cos α，cos α)C ．(cos α，sin α)D ．(sin α，cos α)第4题图)第5题图)第6题图)5．如图，AB 是⊙O 的直径，D ，E 是半圆上任意两点，连接AD ，DE ，AE 与BD 相交于点C ，要使△ADC 与△BDA 相似，可以添加一个条件．下列添加的条件中错误的是( )A ．∠ACD ＝∠DAB B ．AD ＝DEC ．AD ·AB ＝CD ·BD D ．AD 2＝BD ·CD6．如图，一次函数y 1＝k 1x ＋b 的图象和反比例函数y 2＝k 2x 的图象交于A(1，2)，B(－2，－1)两点，若y 1＜y 2，则x 的取值范围是( )A ．x ＜1B ．x ＜－2C ．－2＜x ＜0或x ＞1D ．x ＜－2或0＜x ＜17．如图，有一轮船在A 处测得南偏东30°方向上有一小岛P ，轮船沿正南方向航行至B 处，测得小岛P 在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C 处，测得小岛P 在正东方向上，则A ，B 之间的距离是( )A ．103海里B ．(102－10)海里C ．10海里D ．(103－10)海里,（第7题） （第8题第11题第128．如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠ACB 的角平分线分别交AB ，BD 于M ，N 两点．若AM ＝2，则线段ON 的长为( )A.22 B.32 C ．1 D.62二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）9．△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，若sin A ＝32，cos B ＝12，则∠C ＝ ．10．已知点A(－1，y 1)，B(－2，y 2)和C(3，y 3)都在反比例函数y ＝kx(k<0)的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为__ ．(用“<”连接)11．如图，P(12，a)在反比例函数y ＝60x 的图象上，PH ⊥x 轴于点H ，则tan ∠POH 的值为____．第13题) 第14题 第15题图)12．如图，▱ABCD 中，点E 是边BC 上一点，AE 交BD 于点F ，若BE ＝2，EC ＝3，△BEF 的面积是1，则▱ABCD 的面积为_ _．13．全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外，如图，张三同学在东门城墙上C 处测得塑像底部B处的俯角为18°48′，测得塑像顶部A 处的仰角为45°，点D 在观测点C 正下方城墙底的地面上，若CD＝10米，则此塑像的高AB 约为____米．(参考数据：tan78°12′≈4.8)14. 如图是一个几何体的三视图，已知主视图和左视图都是边长为2的等边三角形，则这个几何体的表面积为 .15．如图是由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则搭成该几何体的小正方体最多是____个．16．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，点D 是边BC 上一动点(不与B ，C 重合)，∠ADE ＝∠B ＝α，DE交AC 于点E ，且cos α＝45.下列结论：①△ADE ∽△ACD ；②当BD ＝6时，△ABD 与△DCE 全等；③△DCE为直角三角形时，BD 为8或252；④0＜CE ≤6.4.其中正确的结论是 .(填序号)第16题图)三、解答题（共8题，共72分） 17．（本题8分）解下列方程： (1). 2sin 60°－4cos 230°＋sin 45°·tan 60°； (2). (－2018)0＋|1－3|－2sin60°＋2tan45°－4cos30°.18．(8分)如图是由两个长方体组合而成的一个立体图形的三视图，根据图中所标尺寸(单位：mm )，求这个立体图形的表面积．19．(9分)如图，△ABC 中，A(－4，4)，B(－4，－2)，C(－2，2)．(1)请画出将△ABC 向右平移8个单位长度后的△A 1B 1C 1； (2)求出∠A 1B 1C 1的余弦值；(3)以O 为位似中心，将△A 1B 1C 1缩小为原来的12，得到△A 2B 2C 2，请在y 轴右侧画出△A 2B 2C 2.20．(8分)如图，在平面直角坐标系x Oy 中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝mx 的图象交于A(2，3)，B(－3，n)两点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)若P 是y 轴上一点，且满足△PAB 的面积是5，直接写出OP 的长．20题 21题 22题21．(8分)如图，某塔观光层的最外沿点E 为蹦极项目的起跳点．已知点E 离塔的中轴线AB 的距离OE 为10米，塔高AB 为123米(A B 垂直地面BC)，在地面C 处测得点E 的仰角α＝45°，从点C 沿CB 方向前行40米到达D 点，在D 处测得塔尖A 的仰角β＝60°，求点E 离地面的高度EF.(结果精确到1米，参考数据2≈1.4，3≈1.7)22．(9分)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BC ＝3，D 为AC 延长线上一点，AC ＝3CD ，过点D 作DH ∥AB ，交BC 的延长线于点H.(1)求BD ·cos ∠HBD 的值； (2)若∠CBD ＝∠A ，求AB 的长．23．(10分)如图，以点O 为圆心，AB 长为直径作圆，在⊙O 上取一点C ，延长AB 至点D ，连接DC ，过点A 作⊙O 的切线交DC 的延长线于点E ，且∠DCB ＝∠DAC.(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若AD ＝6，tan ∠DCB ＝23，求AE 的长．（23题） （24题）24．(12分) (12分)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，B C ＝6，CD ⊥AB 于点D.点P从点D 出发，沿线段DC 向点C 运动，点Q 从点C 出发，沿线段CA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P 运动到C 时，两点都停止．设运动时间为t 秒．(1)求线段CD 的长；(2)设△CPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t ，使得S △CPQ ∶S △ABC ＝9∶100？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由；(3)当t 为何值时，△CPQ 为等腰三角形？九年级数学参考答案一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ABACCDDC二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9．60° 10．y 3＜y 2＜y 1_ 11．51212. 13，5814．_3π15． 716．①②③④三、解答题（共8题，共72分） 17．解：(1) 解：原式＝2×32－4×(32)2＋22×3＝6－3. (2) 解：原式＝1＋3－1－2×32＋2×1－4×32＝2－2 3. 18．解：根据三视图可得：上面的长方体长4 mm ，高4 mm ，宽2 mm ，下面的长方体长6 mm ，宽8 mm ，高 2 mm ，∴立体图形的表面积是4×4×2＋4×2×2＋4×2＋6×2×2＋8×2×2＋6×8×2－4×2＝200(mm 2)19．解： (1)△A 1B 1C 1如图所示．(2)B 1C 1＝22＋42＝25，cos ∠A 1B 1C 1＝42 5＝2 55.(3)△A 2B 2C 2如图所示．20．解：(1)y ＝6x，y ＝x ＋1 (2)对于一次函数y ＝x ＋1，令x ＝0求出y ＝1，即该函数与y 轴的交点为C (0，1)，∴OC ＝1，根据题意得S △ABP ＝12PC ×2＋12PC ×3＝5，解得PC ＝2，则OP ＝OC ＋PC ＝1＋2＝3或OP ＝PC －OC ＝2－1＝12１．解：在直角△ABD 中，BD ＝AB tan β＝123tan60°＝413(米)，则DF ＝BD －OE ＝413－10(米)，CF ＝DF ＋CD ＝413－10＋40＝413＋30(米)，则在直角△CEF 中，EF ＝CF ·tan α＝413＋30≈41×1.7＋30＝99.7≈100(米)，则点E 离地面的高度EF 是100米．22．解： (1)∵DH ∥AB ，∴∠BHD ＝∠ABC ＝90°，∴△ABC ∽△DHC ，∴AC CD ＝BCCH＝3, ∴CH ＝1，BH ＝BC ＋CH ＝4，在Rt △BHD 中，cos ∠HBD ＝BHBD，∴BD ·cos ∠HBD ＝BH ＝4(2)∵∠CBD ＝∠A ，∠ABC ＝∠BHD ，∴△ABC ∽△BHD ，∴BC HD ＝AB BH ，∵△ABC ∽△DHC ，∴AB DH ＝ACCD ＝3，∴AB ＝3DH ，∴3DH ＝3DH4，解得DH ＝2，∴AB ＝3DH ＝3×2＝6，即AB 的长是623．解： (1)连接OC ，OE ，∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，即∠BCO ＋∠ACO ＝90°，又∵∠DCB ＝∠CAD ，∠CAD ＝∠ACO ，∴∠ACO ＝∠DCB ，∴∠DCB ＋∠BCO ＝90°，即∠DCO ＝90°，∴CD 是⊙O 的切线(2)∵EA 为⊙O 的切线，∴EC ＝EA ，EA ⊥AD ，OE ⊥AC ，∴∠BAC ＋∠CAE ＝90°，∠CAE ＋∠OEA ＝90°，∴∠BAC ＝∠OEA ，∴∠DCB ＝∠OEA.∵tan ∠DCB ＝23，∴tan ∠OEA ＝OA AE ＝23，易证Rt △DCO ∽Rt △DAE ，∴CDDA ＝OC AE ＝OD DE ＝23，∴CD ＝23×6＝4，在Rt △DAE 中，设AE ＝x ，∴(x ＋4)2＝x 2＋62，解得x ＝52，即AE 的长为5224．解：(1)线段CD 的长为4.8(2)过点P 作PH ⊥AC ，垂足为H ，由题意可知DP ＝t ，CQ ＝t ，则CP ＝4.8－t.由△CHP ∽△BCA 得PH AC ＝PC AB ，∴PH 8＝4.8－t 10，∴PH ＝9625－45t ，∴S △CPQ ＝12CQ ·PH ＝12t (9625－45t )＝－25t 2＋4825t.设存在某一时刻t ，使得S △CPQ ∶S △ABC ＝9∶100.∵S △ABC ＝12×6×8＝24，且S △CPQ ∶S △ABC ＝9∶100，∴(－25t 2＋4825t )∶24＝9∶100，整理得5t 2－24t ＋27＝0，即(5t －9)(t －3)＝0，解得t ＝95或t ＝3，∵0≤t ≤4.8，∴当t ＝95或t＝3时，S △CPQ ∶S △ABC ＝9∶100(3)①若CQ ＝CP ，则t ＝4.8－t.解得t ＝2.4；②若PQ ＝PC ，作PH ⊥QC 于点H ，∴QH ＝CH ＝12QC ＝t 2，∵△CHP ∽△BCA ，∴CH BC ＝CPAB ，∴t 26＝4.8－t 10，解得t ＝14455； ③若QC ＝QP ，过点Q 作QE ⊥CP ，垂足为E ，同理可得t ＝2411.综上所述：当t 为2.4或14455或2411时，△CPQ 为等腰三角形。
2020-2021学年安徽省淮南市志诚教育十校联盟九年级(上)第三次月考数学试卷 解析版
2020-2021学年安徽省淮南市志诚教育十校联盟九年级（上）第三次月考数学试卷一、选择题（每小题4分，满分40分）1．下面四幅作品分别代表“大雪”、“立春”、芒种”、“白露”四个节气，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．抛物线y＝（x﹣1）2+2的对称轴为（）A．直线x＝1B．直线x＝﹣1C．直线x＝2D．直线x＝﹣2 3．用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），此方程可变形为（）A．B．C．＝D．4．若二次函数y＝x2+mx的对称轴是x＝4，则关于x的方程x2+mx＝9的根为（）A．x1＝0，x2＝8B．x1＝1，x2＝9C．x1＝1，x2＝﹣9D．x1＝﹣1，x2＝9 5．如图，△ABC是一张三角形纸片，⊙O是它的内切圆，点D、E是其中的两个切点，已知AD＝6cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长是（）A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝70°，将△ABC绕点A顺时针旋转70°，B、C旋转后的对应点分别是B′和C′，连接BB′，则∠BB′C′的度数是（）A．35°B．40°C．45°D．50°7．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为（）A．65°B．130°C．50°D．100°8．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）A．点（0，3）B．点（1，3）C．点（6，0）D．点（6，1）9．如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，OA＝3，OC＝1，分别连接AC、BD，则图中阴影部分的面积为（）A．πB．πC．2πD．4π10．如图甲，A、B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB．点P从A出发，在⊙O上以每秒一个单位的速度匀速运动，回到点A运动结束．设运动时间为x，弦BP的长度为y，那么如图乙图象中可能表示y与x的函数关系的是（）A．①B．④C．①或③D．②或④二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11．二次函数y＝x2﹣2x﹣5的最小值是．12．如图，AB为直径，∠BED＝40°，则∠ACD＝度．13．如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为2，则该莱洛三角形的周长为．14．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8，其中正确的结论有．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．解方程：x（x+2）＝3x+6．16．“圆材埋壁”是我国古代数学著作《算术》中的一个问题，“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图，OC⊥AB，垂足为D，CD＝1寸，AB＝1尺，求⊙O的直径是多少寸？”（注：1尺＝10寸）．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2；（3）求出（2）中C点旋转到C2点所经过的路径长（结果保留根号和π）．18．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD的宽是10米．（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE＝CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．20．如图，四边形ABCD内接于圆，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上任意一点，AB＝AC．（1）求证：DE平分∠CDF；（2）求证：∠ACD＝∠AEB．六、（本题满分12分）21．如图，在⊙O中，AB是直径，P为AB上一点，过点P作弦MN，∠NPB＝45°．（1）若AP＝2，BP＝6，求MN的长；（2）若MP＝3，NP＝5，求AB的长；（3）当P在AB上运动时（∠NPB＝45°不变），的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请求出其范围．七、（本题满分12分）22．已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．当∠MAB绕点A旋转到BM＝DN时（如图1），易证BM+DN＝MN．（1）当∠MAN旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．八、（本题满分14分）23．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，且OC＝OB．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A ′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．2020-2021学年安徽省淮南市志诚教育十校联盟九年级（上）第三次月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下面四幅作品分别代表“大雪”、“立春”、芒种”、“白露”四个节气，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：结合中心对称图形的概念可知：第一个图形是中心对称图形．故选：A．2．抛物线y＝（x﹣1）2+2的对称轴为（）A．直线x＝1B．直线x＝﹣1C．直线x＝2D．直线x＝﹣2【分析】由抛物线解析式可求得答案．【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+2，∴对称轴为直线x＝1，故选：A．3．用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），此方程可变形为（）A．B．C．＝D．【分析】首先进行移项，然后把二次项系数化为1，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式．【解答】解：∵ax2+bx+c＝0，∴ax2+bx＝﹣c，∴x2+x＝﹣，∴x2+x+＝﹣+，∴．故选：C．4．若二次函数y＝x2+mx的对称轴是x＝4，则关于x的方程x2+mx＝9的根为（）A．x1＝0，x2＝8B．x1＝1，x2＝9C．x1＝1，x2＝﹣9D．x1＝﹣1，x2＝9【分析】先利用二次函数的性质，利用对称轴方程求出m＝﹣8，然后解方程x2﹣8x＝9即可．【解答】解：∵二次函数y＝x2+mx的对称轴是x＝4，∴﹣＝4，解得m＝﹣8，所以抛物线解析式为y＝x2﹣8m，解方程x2﹣8x＝9得x1＝﹣1，x2＝9．故选：D．5．如图，△ABC是一张三角形纸片，⊙O是它的内切圆，点D、E是其中的两个切点，已知AD＝6cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长是（）A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm【分析】利用切线长定理得出DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，进而得出答案．【解答】解：如图所示：∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD＝6cm，设F是⊙O的切点，故DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AD+AE＝6+6＝12（cm）．故选：B．6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝70°，将△ABC绕点A顺时针旋转70°，B、C旋转后的对应点分别是B′和C′，连接BB′，则∠BB′C′的度数是（）A．35°B．40°C．45°D．50°【分析】首先在△ABB'中根据等边对等角，以及三角形内角和定理求得∠ABB'的度数，然后在直角△BB'C中利用三角形内角和定理求解．【解答】解：∵AB＝AB'，∴∠ABB'＝∠AB'B＝＝＝55°，在直角△BB'C中，∠BB'C＝90°﹣55°＝35°．故选：A．7．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为（）A．65°B．130°C．50°D．100°【分析】由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知∠C 的度数求出∠AOB的度数，在四边形PABO中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P 的度数．【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，又∵∠AOB＝2∠C＝130°，则∠P＝360°﹣（90°+90°+130°）＝50°．故选：C．8．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）A．点（0，3）B．点（1，3）C．点（6，0）D．点（6，1）【分析】根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线的性质得出，∠OBD+∠EBF ＝90°时F点的位置即可．【解答】解：∵过格点A，B，C作一圆弧，∴三点组成的圆的圆心为：O′（2，0），∵只有∠O′BD+∠EBF＝90°时，BF与圆相切，∴当△BO′D≌△FBE时，∴EF＝BD＝2，∴F点的坐标为：（5，1），∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1）和（1，3）．故选：B．9．如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，OA＝3，OC＝1，分别连接AC、BD，则图中阴影部分的面积为（）A．πB．πC．2πD．4π【分析】通过分析图可知：△ODB经过旋转90°后能够和△OCA重合（证全等也可），因此图中阴影部分的面积＝扇形AOB的面积﹣扇形COD的面积，所以S阴＝π×（9﹣1）＝2π．【解答】解：由图可知，将△OAC顺时针旋转90°后可与△ODB重合，∴S△OAC＝S△OBD；因此S阴影＝S扇形OAB+S△OBD﹣S△OAC﹣S扇形OCD＝S扇形OAB﹣S扇形OCD＝π×（9﹣1）＝2π．故选：C．10．如图甲，A、B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB．点P从A出发，在⊙O上以每秒一个单位的速度匀速运动，回到点A运动结束．设运动时间为x，弦BP的长度为y，那么如图乙图象中可能表示y与x的函数关系的是（）A．①B．④C．①或③D．②或④【分析】分两种情形讨论当点P顺时针旋转时，图象是③，当点P逆时针旋转时，图象是①，由此即可解决问题．【解答】解：当点P顺时针旋转时，图象是③，当点P逆时针旋转时，图象是①，故答案为①③，故选：C．二．填空题（共4小题）11．二次函数y＝x2﹣2x﹣5的最小值是﹣6．【分析】利用二次函数顶点式求最小（大）值的方法．【解答】解：∵原式可化为y＝x2﹣2x+1﹣6＝（x﹣1）2﹣6，∴最小值为﹣6．故答案为：﹣612．如图，AB为直径，∠BED＝40°，则∠ACD＝50度．【分析】连接OD，由∠BED的度数，推出∠BOD的度数，然后由邻补角的性质即可推出∠AOD的度数，最后根据圆周角定理即可推出∠ACD的度数．【解答】解：连接OD，∵∠BED＝40°，∴∠BOD＝80°，∵AB为直径，∴∠AOB＝180°，∴∠AOD＝100°，∴∠ACD＝50°．故答案为50．13．如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为2，则该莱洛三角形的周长为2π．【分析】直接利用弧长公式计算即可．【解答】解：该莱洛三角形的周长＝3×＝2π．故答案为：2π．14．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8，其中正确的结论有①②④⑤．【分析】利用顶点式得到y＝ax2+4ax﹣5a，根据抛物线的开口向上得到a＞0，则b＞0，c＜0，于是可对①进行判断；解方程ax2+4ax﹣5a＝0得抛物线与x轴的交点坐标为（﹣5，0），（1，0），利用x＝2时，y＞0可对②进行判断；把b＝4a，c＝﹣5a代入5a﹣b+c 中可对③进行判断；根据抛物线y＝a（x+5）（x﹣1）与直线y＝﹣1有两个交点，交点的横坐标分别为x1和x2，则可对④进行判断；由于方程ax2+bx+c＝1有2个根，方程ax2+bx+c＝﹣1有2个根，则利用根与系数的关系可对⑤进行判断．【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣9a），∴y＝a（x+2）2﹣9a＝ax2+4ax﹣5a，∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∴b＝4a＞0，c＝﹣5a＜0，∴abc＜0，所以①正确；当y＝0时，ax2+4ax﹣5a＝0，解得x1＝﹣5，x2＝1，∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣5，0），（1，0），∵x＝2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，所以②正确；∵5a﹣b+c＝5a﹣4a﹣5a＝﹣4a，而a＞0，∴5a﹣b+c＜0，所以③错误；∵方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，∴抛物线y＝a（x+5）（x﹣1）与直线y＝﹣1有两个交点，交点的横坐标分别为x1和x2，∴﹣5＜x1＜x2＜1，所以④正确；∵方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，∴方程ax2+bx+c＝1有2个根，方程ax2+bx+c＝﹣1有2个根，∴所有根之和为2×（﹣）＝2×（﹣）＝﹣8，所以⑤正确．故答案为①②④⑤．三．解答题15．解方程：x（x+2）＝3x+6．【分析】先变形得到x（x+2）﹣3（x+2）＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：x（x+2）﹣3（x+2）＝0，（x+2）（x﹣3）＝0，x+2＝0或x﹣3＝0，所以x1＝﹣2，x2＝3．16．“圆材埋壁”是我国古代数学著作《算术》中的一个问题，“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图，OC⊥AB，垂足为D，CD＝1寸，AB＝1尺，求⊙O的直径是多少寸？”（注：1尺＝10寸）．【分析】连接OA，如图，设⊙O的半径为r寸，则OD＝（r﹣1）寸，根据垂径定理得到AD＝BD＝5，再利用勾股定理得52+（r﹣1）2＝r2，然后解方程求出r，从而得到⊙O 的直径．【解答】解：连接OA，如图，设⊙O的半径为r寸，则OD＝（r﹣1）寸，∵OC⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝×10＝5，在Rt△AOD中，∵AD2+OD2＝OA2，∴52+（r﹣1）2＝r2，解得r＝13，∴⊙O的直径是26寸．17．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2；（3）求出（2）中C点旋转到C2点所经过的路径长（结果保留根号和π）．【分析】（1）利用关于x轴对称点的横坐标相等，纵坐标化为相反数可先找出点A1、B1、C1的坐标，然后画出图形即可；（2）利用旋转的性质可确定出点A2、C2的坐标；（3）利用弧长公式进行计算即可．【解答】解：（1）根据关于x轴对称点的坐标特点可知：A1（2，﹣4），B1（1，﹣1），C1（4，﹣3），如图下图：连接A1、B1、C1即可得到△A1B1C1．（2）如图：（3）由两点间的距离公式可知：BC＝，∴点C旋转到C2点的路径长＝．18．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD的宽是10米．（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？【分析】（1）以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据写出函数解析式．（2）计算出本问可用两种方法求得，求x＝3米时求出水面求出此时y的值，A、B点的横坐标减去y此时的值到正常水面AB的距离与3.6相比较即可得出答案．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2，因为抛物线关于y轴对称，AB＝20，所以点B的横坐标为10，设点B（10，n），点D（5，n+3），n＝102•a＝100a，n+3＝52a＝25a，即，解得，∴；（2）∵货轮经过拱桥时的横坐标为x＝3，∴当x＝3时，∵﹣（﹣4）＞3.6∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．答：在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．19．如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE＝CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．【分析】（1）先由旋转的性质得AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，则∠EAF+∠BAF ＝∠BAC+∠BAF，即∠EAB＝∠FAC，利用AB＝AC可得AE＝AF，于是根据旋转的定义，△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，然后根据旋转的性质得到BE＝CD；（2）由菱形的性质得到DE＝AE＝AC＝AB＝1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB＝∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE＝∠BAC＝45°，所以∠AEB＝∠ABE＝45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE＝AC＝，于是利用BD＝BE﹣DE 求解．【解答】（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，∴AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，∴∠EAF+∠BAF＝∠BAC+∠BAF，即∠EAB＝∠FAC，∵AB＝AC，∴AE＝AF，∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，∴BE＝CF；（2）解：∵四边形ACDE为菱形，AB＝AC＝1，∴DE＝AE＝AC＝AB＝1，AC∥DE，∴∠AEB＝∠ABE，∠ABE＝∠BAC＝45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BE＝AC＝，∴BD＝BE﹣DE＝﹣1．20．如图，四边形ABCD内接于圆，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上任意一点，AB＝AC．（1）求证：DE平分∠CDF；（2）求证：∠ACD＝∠AEB．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠CDE＝∠ABC，根据圆周角定理和等腰三角形的性质证明即可；（2）根据三角形外角的性质和图形得到∠CAE+∠E＝∠ABD+∠DBC，得到∠E＝∠ABD，根据圆周角定理证明．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆，∴∠CDE＝∠ABC，由圆周角定理得，∠ACB＝∠ADB，又∠ADB＝∠FDE，∴∠ACB＝∠FDE，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∴∠FDE＝∠CDE，即DE平分∠CDF；∴∠CAE+∠E＝∠ABD+∠DBC，又∠CAE＝∠DBC，∴∠E＝∠ABD，∴∠ACD＝∠AEB．21．如图，在⊙O中，AB是直径，P为AB上一点，过点P作弦MN，∠NPB＝45°．（1）若AP＝2，BP＝6，求MN的长；（2）若MP＝3，NP＝5，求AB的长；（3）当P在AB上运动时（∠NPB＝45°不变），的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请求出其范围．【分析】（1）作OH⊥MN于H，连接ON，先计算出OA＝4，OP＝2，在Rt△POH中，由于∠OPH＝45°，则OH＝OP＝，再在Rt△OHN中，利用勾股定理计算出NH ＝，然后根据垂径定理由OH⊥MN得到HM＝HN，所以MN＝2NH＝2；（2）作OH⊥MN于H，连接ON，先计算出HM＝HN＝4，PH＝1，在Rt△POH中，由∠OPH＝45°得到OH＝1，再在Rt△OHN中利用勾股定理可计算出ON＝，所AB ＝2ON＝2；（3）作OH⊥MN于H，连接ON，根据垂定理得HM＝HN，设圆的半径为R，在Rt△OHN中，利用勾股定理得到OH2+NH2＝ON2＝R2，在Rt△POH中，由∠OPH＝45°得OH＝PH，则PH2+NH2＝R2，然后变形PM2+PN2可得到2（PH2+NH2），所以PM2+PN2的值为2R2，又AB＝2R，代入计算即可求出答案．【解答】解：（1）作OH⊥MN于H，连接ON，∵AP＝2，BP＝6，∴AB＝8，∴OA＝4，OP＝2，在Rt△POH中，∵∠OPH＝45°，∴OH＝OP＝，在Rt△OHN中，∵ON＝4，OH＝，∴NH＝＝＝，∵OH⊥MN，∴HM＝HN，∴MN＝2NH＝2；（2）作OH⊥MN于H，连接ON，则HM＝HN，∵MP＝3，NP＝5，∴MN＝8，∴HM＝HN＝4，∴PH＝1，在Rt△POH中，∵∠OPH＝45°，∴OH＝1，在Rt△OHN中，∵HN＝4，OH＝1，∴ON＝＝，∴AB＝2ON＝2；（3）的值不发生变化，为定值，作OH⊥MN于H，连接ON，则HM＝HN，设圆的半径为R，在Rt△OHN中，OH2+NH2＝ON2＝R2，在Rt△POH中，∵∠OPH＝45°，∴OH＝PH，∴PH2+NH2＝R2，∵PM2+PN2＝（HM﹣PH）2+（NH+PH）2＝（NH﹣PH）2+（NH+PH）2＝2（PH2+NH2）＝2R2．又AB2＝4R2，∴＝＝∴的值不发生变化，为定值．22．已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．当∠MAB绕点A旋转到BM＝DN时（如图1），易证BM+DN＝MN．（1）当∠MAN旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．【分析】（1）结论：BM+DN＝MN成立，证得B、E、M三点共线即可得到△AEM≌△ANM，从而证得ME＝MN．（2）结论：DN﹣BM＝MN．首先证明△ADQ≌△ABM，得DQ＝BM，再证明△AMN≌△AQN（SAS），得MN＝QN，【解答】解：（1）BM+DN＝MN成立．证明：如图，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，则可证得E、B、M三点共线（图形画正确）．∴∠EAM＝90°﹣∠NAM＝90°﹣45°＝45°，又∵∠NAM＝45°，∴在△AEM与△ANM中，，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME＝MN，∵ME＝BE+BM＝DN+BM，∴DN+BM＝MN；（2）DN﹣BM＝MN．在线段DN上截取DQ＝BM，在△ADQ与△ABM中，∵，∴△ADQ≌△ABM（SAS），∴∠DAQ＝∠BAM，∴∠QAN＝∠MAN．在△AMN和△AQN中，，∴△AMN≌△AQN（SAS），∴MN＝QN，∴DN﹣BM＝MN．23．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，且OC＝OB．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A ′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．【分析】（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，四边形BOCE的面积＝三角形BFE的面积+直角梯形FOCE 的面积．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在三角形BFE中，BF＝BO﹣OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE 的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标；（3）由P在抛物线的对称轴上，设出P坐标为（﹣1，m），如图所示，过A′作A′N ⊥对称轴于N，由旋转的性质得到一对边相等，再由同角的余角相等得到一对角相等，根据一对直角相等，利用AAS得到△A′NP≌△PMA，由全等三角形的对应边相等得到A′N＝PM＝|m|，PN＝AM＝2，表示出A′坐标，将A′坐标代入抛物线解析式中求出相应m的值，即可确定出P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），∴OB＝3，∵OC＝OB，∴OC＝3，∴c＝3，∴，解得：，∴所求抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）如图2，过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a，＝BF•EF+（OC+EF）•OF，∴S四边形BOCE＝（a+3）•（﹣a2﹣2a+3）+（﹣a2﹣2a+6）•（﹣a），＝﹣﹣a+，＝﹣（a+）2+，最大，且最大值为．∴当a＝﹣时，S四边形BOCE此时，点E坐标为（﹣，）；（3）∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴为x＝﹣1，点P在抛物线的对称轴上，∴设P（﹣1，m），∵线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，①当m≥0时，∴PA＝PA1，∠APA1＝90°，如图3，过A1作A1N⊥对称轴于N，设对称轴于x轴交于点M，∴∠NPA1+∠MPA＝∠NA1P+∠NPA1＝90°，∴∠NA1P＝∠NPA，在△A1NP与△PMA中，，∴△A1NP≌△PMA，∴A1N＝PM＝m，PN＝AM＝2，∴A1（m﹣1，m+2），代入y＝﹣x2﹣2x+3得：m+2＝﹣（m﹣1）2﹣2（m﹣1）+3，解得：m＝1，m＝﹣2（舍去），②当m＜0时，要使P2A＝P2A，2，由图可知A2点与B点重合，∵∠AP2A2＝90°，∴MP2＝MA＝2，∴P2（﹣1，﹣2），∴满足条件的点P的坐标为P（﹣1，1）或（﹣1，﹣2）．。
人教版2022-2023学年第一学期九年级数学第三次月考测试题(附答案) (2)
河南省信阳市浉河区吴家店中学2022-2023学年第一学期九年级数学第三次月考测试题（附答案）一.选择题（满分30分）1．下列是部分星座的符号，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．一元二次方程2x2﹣6x﹣5＝0的一次项系数是（）A．2B．6C．﹣6D．﹣53．如图，AB是⊙O的直径，C为圆内一点，则下列说法正确的是（）A．∠BOC是圆心角B．AC是⊙O的弦C．∠C是圆周角D．4．某种商品每天的销售利润y（元）与单价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣0.1（x﹣3）2+25．则这种商品每天的最大利润为（）A．0.1元B．3元C．25元D．75元5．某厂1月份生产口罩60万箱，第一季度生产口罩共200万箱，一位同学根据题意列出了方程60+60（1+x）+60（1+x）2＝200，则x表示的意义是（）A．该厂二月份的增长率B．该厂三月份的增长率C．该厂一、二月份平均每月的增长率D．该厂二、三月份平均每月的增长率6．将抛物线y＝2x2+3向右平移3个单位长度．再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为（）A．y＝2（x﹣3）2+5B．y＝2（x﹣3）2﹣1C．y＝2（x+3）2+5D．y＝2（x+3）2﹣17．在如图所示的方格纸（1格长为1个单位长度）中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC 绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．90°8．如图，O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等．则∠A与∠C的数量关系为（）A．∠A＝∠C B．∠A＝2∠C C．∠A﹣∠C＝90°D．∠A+∠C＝180°9．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO 绕点B逆时针旋转60°，得到△CBD，若点B的坐标为（4，0），则点C的坐标为（）A．（﹣2，2）B．（﹣4，2）C．（﹣2，2）D．（﹣2，4）10．小明周末前往游乐园游玩，他乘坐了摩天轮，摩天轮转一圈，他离地面高度y（m）与旋转时x（s）之间的关系可以近似地用y＝﹣x2+bx+c来刻画．如图记录了该摩天轮旋转时x（s）和离地面高度y（m）的三组数据，根据上述函数模型和数据，可以推断出：当小明乘坐此摩天轮离地面最高时，需要的时间为（）A．172s B．175s C．180s D．186s二.填空题（满分15分）11．一个不透明的袋子里装有3个红球和5个黑球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为．12．在平面直角坐标系内，若点P（﹣1，p）和点Q（q，3）关于原点O对称，则pq的值为．13．已知点A（﹣2，m）在一个反比例函数的图象上，点A'与点A关于y轴对称．若点A'在正比例函数y＝x的图象上，则这个反比例函数的表达式为．14．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AD 于点E．则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，CB＝5，点D是CB边上的一个动点，将线段AD绕着点D顺时针旋转90°，得到线段DE，连接BE，则线段BE的最小值等于．三.解答题（满分75分）16．用恰当的方法解下列方程：（1）x2+2x﹣3＝0；（2）3（x﹣1）2＝2（x﹣1）．17．某校有A、B两个餐厅，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个餐厅用餐．（1）请用列表或画树形图的方法求甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐的概率；（2）求甲、乙、丙三名学生中至少有一人在B餐厅用餐的概率．18．在学完圆的相关知识后，某数学兴趣小组利用课余时间探究过圆外一点作已知圆的切线，下面记录了部分探究过，组员小杜用尺规作图过一点作已知圆的切线．如图，已知⊙O 及⊙O外一点P，求作：过点P的⊙O的切线．①连接OP，作OP的垂直平分线MN交OP于点A；②以A为圆心，OA为半径作⊙A，交⊙O于点B、C；③作射线PB、PC；则射线PB、PC即为所求．请完成以下问题：（1）根据上述步骤，利用尺规作图（保留作图痕迹、不写作法），将图形补充完整；（2）细心的小马同学通过认真观察，发现线段PB和PC满足一定的数量关系，请你将他的“已知”和“求证”补充完整，并证明．已知：如图，PB、PC与⊙O相切于点B、C，求证：19．掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．（1）求y关于x的函数表达式；（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．图1来源：《2022年兰州市高中阶段学校招生体育考试规则与测试要求》20．已知：二次函数y＝x2﹣4x+3a+2（a为常数）．（1）请写出该二次函数图象的对称轴；（2）若这个二次函数的最小值是7，求a的值；（3）直角坐标系中，若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，求a的取值范围．21．建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？22．九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y＝的图象与性质，其探究过程如下：（1）绘制函数图象，如图1．列表：下表是x与y的几组对应值；x…﹣3﹣2﹣1﹣123…y…124421…描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质；①；②；（3）①观察发现：如图2．若直线y＝2交函数y＝的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝；②探究思考：将①中“直线y＝2”改为“直线y＝a（a＞0）”，其他条件不变，则S四边形OABC＝；③类比猜想：若直线y＝a（a＞0）交函数y＝（k＞0）的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C，则S四边形OABC＝．23．如图①，现有三张形状大小完全相同的三角形纸片叠合到一起，其中AB＝AC，∠B＝∠C＝α．老师让同学们以“三角形的旋转”为主题，通过小组合作探究，提出问题一展示一集体谈论，解决问题．（1）“希望”小组提出问题：将图1中的△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转角度α，得到△DEC，再将△ABC以点A为旋转中心，逆时针旋转角度α，得到△AFG，连接DG，得到图②，请判断四边形AEDG的形状，并说明理由；（2）“善学”小组提出问题：将图①中的△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转90°，得到△DEC，再将△ABC以点A为旋转中心，逆时针旋转90°，得到△AFG，连接AE，DF，DG，得到图③请判断四边形ACDG的形状，并说明理由；老师根据上面小组的探究提出：（3）若α＝75°，则图③中，∠EDF＝．参考答案一.选择题（满分30分）1．解：A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．是中心对称图形，故本选项符合题意；C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：B．2．解：一元二次方程2x2﹣6x﹣5＝0的一次项系数是﹣6．故选：C．3．解：A、顶点在圆心的角叫圆心角，故∠BOC是圆心角，故A选项符合题意；B、弦是连接圆上任意两点的线段，故AC不是⊙O的弦，故B选项不符合题意；C、顶点在圆上，两边与圆相交的角叫圆周角，故∠C不是圆周角，故C不符合题意；D、根据三角形的三边关系可得AC+OC＞AO＝AB，故D不符合题意．故选：A．4．解：∵﹣0.1＜0，∴当x＝3时，y有最大值，最大值为25，故选：C．5．解：依题意可知：该厂2月份生产口罩60（1+x）万箱，3月份生产口罩60（1+x）2万箱，∴x表示该厂二、三月份平均每月的增长率．故选：D．6．解：将抛物线y＝2x2+3向右平移3个单位长度．再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝2（x﹣3）2+3+2．即y＝2（x﹣3）2+5．故选：A．7．解：根据旋转角的概念：对应点与旋转中心连线的夹角，可知∠BOB′是旋转角，且∠BOB′＝90°，故选：D．8．解：由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，故选：D．9．解：作CH⊥x轴于H点，如图，当x＝4时，y＝x＝4，则A（4，4），∴AB＝4，∵△ABO绕点B逆时针旋转60°，得到△CBD，∴BC＝BA＝4，∠ABC＝60°，∴∠CBH＝30°，在Rt△CBH中，CH＝BC＝2，BH＝CH＝6，∴OH＝BH﹣OB＝6﹣4＝2，∴C点坐标为（﹣2，2）．故选：A．10．解：把（160，60），（190，67.5）分别代入y＝﹣x2+bx+c得，，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+9x﹣740，∴该铅球飞行到最高点时，需要的时间为﹣＝180（s），故选：C．二.填空题（满分15分）11．解：∵一个不透明的袋子里装有3个红球和5个黑球，∴共有8个球，∴从袋中任意摸出一个球是红球的概率为．故答案为：．12．解：∵点P（﹣1，p）和点Q（q，3）关于原点O对称，∴q＝1，p＝﹣3，则pq的值为：﹣3．故答案为：﹣3．13．解：∵点A'与点A关于y轴对称，点A（﹣2，m），∴点A'（2，m），∵点A'在正比例函数y＝x的图象上，∴m＝＝1，∴A（﹣2，1），∵点A（﹣2，1）在一个反比例函数的图象上，∴反比例函数的表达式为y＝﹣，故答案为：y＝﹣．14．解：∵以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AD于点E，∴BE＝BC＝2，在矩形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，∴sin∠AEB＝＝，∴∠AEB＝30°，∴∠EBA＝60°，∴∠EBC＝30°，∴阴影部分的面积：S＝＝π，故答案为：π．15．解：过E作EF⊥BC于F，∵∠C＝∠ADE＝90°，∴∠EFD＝∠C＝90°，∠FED+∠EDF＝90°，∠EDF+∠ADC＝90°，∴∠DEF＝∠ADC，在△EDF和△DAC中，，∴△EDF≌△DAC（AAS），∴DF＝AC＝3，EF＝CD，设CD＝x，则BE2＝x2+（2﹣x）2＝2（x﹣1）2+2，∴BE2的最小值是2，∴BE的最小值是，故答案为：．三.解答题（满分75分）16．解：（1）∵x2+2x﹣3＝0，∴（x+3）（x﹣1）＝0，则x+3＝0或x﹣1＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1；（2）∵3（x﹣1）2＝2（x﹣1），∴3（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝0，则（x﹣1）（3x﹣5）＝0，∴x﹣1＝0或3x﹣5＝0，解得x1＝1，x2＝．17．解：（1）画树形图为：共有8种等可能的结果数，其中甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐的结果数为2，所以甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐的概率＝＝；（2）甲、乙、丙三名学生中至少有一人在B餐厅用餐的结果数为7，所以甲、乙、丙三名学生中至少有一人在B餐厅用餐的概率＝．18．解：（1）作图如下：（2）已知：如图，PB、PC与⊙O相切于点B、C，OC、OB是⊙O的半径，求证：PB＝PC．证明：∵PB、PC与⊙O相切于点B、C，OC、OB是⊙O的半径，∴OC＝OB，∠OCP＝∠OBP＝90°，∵OP＝OP，∴Rt△OCP≌Rt△OBP（HL），∴PC＝PB．故答案为：OC、OB是⊙O的半径，PC＝PB．19．解：（1）根据题意设y关于x的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+3，把（0，）代入解析式得：＝a（0﹣3）2+3，解得：a＝﹣，∴y关于x的函数表达式为y＝﹣（x﹣3）2+3；（2）该女生在此项考试中是得满分，理由：令y＝0，则﹣（x﹣3）2+3＝0，解得：x1＝7.5，x2＝﹣1.5（舍去），∵7.5＞6.70，∴该女生在此项考试中是得满分．20．解：（1）对称轴为直线x＝﹣＝＝2．（2）当x＝2时，y最小值＝22﹣4×2+3a+2＝4﹣8+3a+2＝3a﹣2，∵最小值是7，∴3a﹣2＝7，解得：a＝3．（3）∵该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，∴x2﹣4x+3a+2＝2x﹣1在x≤4的范围内有两个不同的实数根，化简得：x2﹣6x+3a+3＝0，Δ＝36﹣4（3a+3）＞0，解得：a＜2，∵x2﹣6x+3a+3＝0在x≤4的范围内有两个不同的实数根，∴x＝4时，y＝16﹣24+3a+3≥0，∴a≥，∴≤a＜2．21．解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，依题意得：1000（1+x）2＝1440，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．（2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区，依题意得：80×（1+15%）y≤1440×（1+20%），解得：y≤，又∵y为整数，∴y的最大值为18．答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．22．解：（1）补全图象如图所示：（2）①函数的图象关于y轴对称；②当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；（3）①如图2，∵A、B的纵坐标相同，故AB∥OC，而BC∥OA，则四边形OABC为平行四边形，当y＝2时，即2＝，解得x＝±1，故点A、B的坐标分别为（﹣1，2）、（1，2），则AB＝1+1＝2＝OC，则S四边形OABC＝CO•y A＝2×2＝4，②当y＝a时，同理可得：点A、B的坐标分别为（﹣，a）、（，2），则AB＝＝OC，则S四边形OABC＝CO•y A＝•a＝4，③当函数表达式为y＝时，同理可得：点A、B的坐标分别为（﹣，a）、（，2），则AB＝＝OC，则S四边形OABC＝CO•y A＝•a＝2k；故答案为：①4；②4；③2k．23．解：（1）四边形AEDG是平行四边形，理由如下：∵旋转，∴AC＝CD＝AG，AB＝DE，∠GAC＝α，∠DEC＝∠B＝α，∴∠DEC＝∠GAC，∴AG∥DE，∵AB＝AC，∴AG＝DE，∴四边形AEDG是平行四边形；（2）四边形ACDG是正方形，理由如下：∵旋转，∴AC＝CD＝AG，AB＝DE，∠GAC＝90°＝∠ACD，∴AG∥CD，∴四边形ACDG是平行四边形，∵∠GAC＝90°，∴四边形ACDG是矩形，∵AC＝CD＝AG，∴四边形ACDG是正方形；（3）连接GE，∵∠B＝∠ACB＝α＝75°，∴∠BAC＝30°，∵旋转，∴∠CDE＝∠GAF＝30°，AB＝DE＝AC＝CD，∵四边形ACDG是正方形，∴GD＝CD＝AC＝AG，∠GDC＝∠AGD＝90°，∴∠GDE＝60°，DG＝DE，∴△GDE是等边三角形，∴GE＝GD＝AG，∠GDE＝60°，∴∠AGE＝30°，∴∠GAE＝∠GEA＝75°，∴∠F AE＝45°，∵四边形AEDF是平行四边形，∴∠EAF＝∠EDF＝45°，故答案为：45°．。
2020-2021九年级上第三次月考数学试卷含答案解析
2020-2021九年级（上）第三次月考数学试卷一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分）1 .若方程（2 a） x|a|+ax+1=0是关于x的一元二次方程，则（）A. a=±2B. a=2C. a= 2D. a+±22.下列四个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图案是（）3.下列描述中不属于确定性事件的是（）A.氢气在空气中燃烧生成水B.正六边形的半径是其边心距的2倍C .守株待兔D .直角三角形的外心在直角三角形的外部4.下列命题正确的有（）①直径是弦；②长度相等的两条弧是等弧；③直径是圆的对称轴；④平分弦的直径垂直于这条弦；⑤顶点在圆上的角是圆周角；⑥同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；⑦同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等.A. 2个B. 3个C.4个D. 5个5.如图，AB 为的直径，/DCB=30，/DAC=70，则/D的度数为（）A. 70B. 50C. 40D. 306.如图是武汉某座天桥的设计图，设计数据如图所示，桥拱是圆弧形，则桥拱的半径为（）A. 13m B . 15m C . 20m D . 26m7.如图，在等边△ ABC中，AC=9，点。
在AC上，且AO=4 , 点P 是AB上一动点，连结OP ,将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD .要使点D恰好落在BC上，则AP的长是（）A. 4B.5C.6D.88.已知二次函数y=ax2+bx+c （a+0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A. ac >0B.当x>1时，y随x的增大而减小C. b 2a=0D . x=3是关于x的方程ax2+bx+c=0 （a+0）的一个根9.如图，已知：正方形ABCD边长为1, E、F、G、H分另I」为各边上的点，且AE=BF=CG=DH ,设小正方形EFGH的面积为s, AE为x,则s关于x的函数图象大致是（10 .如图，RtAABC^, / ACB=90 , / CAB=30 BC=2 , O 、H 分别为边AB, AC 的中点，将^ ABC 绕点B 顺时针旋转120到AABC i 的位置，则整个旋转过程中线段 OH 所扫、填空题（每题4分，共20分）11 .有三个形状和材质一样的盒子里分别装有 3个红球、6个黄球、9个黑球，蒙着眼睛随机从盒子中摸由一个球是黑 球的概率为过部分的面积（即阴影部分面积）为（4A.可一g B. I71C.兀D.,J* 1o T?0 B匚12.在平面直角坐标系中，点P (2, 3)关于原点对称点P' 的坐标是.13.如图，在直角△ OAB^, / AOB=30 ,将^ OAB§点O逆时针旋转100°得到△ O届1,则/AiOB=B14.如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF 长为10cm ,母线OE (OF)长为10cm .在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2cm , 一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短距离cm .o15.如图，一段抛物线：y= x (x3) (0WxW3,)记为C1,它与x轴交于点O , A1;将C1绕点A1旋车专180°得C2,交x轴于点A2；将C2绕点A2旋车专180°得C3,交x轴于点A3；如此进行下去，直至得C i3.若P (37, m)在第13段抛物线C13上，贝U m=.三、解答题(每小题8分，共16分)16.用公式法解方程：2x2= 3+7x .17.如图.电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡, 闭合开关D或同时闭合开关A, B, C都可使小灯泡发光.(1)任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等(2)任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求生小灯泡发光的概率.四.解答题（每小题8分，共16分）18 .作图题：在下图中，把^ ABCJ 右平移5个方格，再绕点B 的对应点顺时针方向旋转 90 .（1）画由平移和旋转后的图形，并标明对应字母； （2）能否把两次变换合成一种变换，如果能，说由变换过程（可适当在图形中标记）；如果不能，说明理由.19.已知：在。
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2020-2020学年第一学期第三次教学质量监测九年级数学试题时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：（每小题只有一个正确答案，请把正确答案选项的字母填在题后的括号内；每小题3分，共30分） 1、数据5，3，－1，0，9的极差是 （ ）A ．-7B ．5C ． 7D ．10 2、已知⊙O 的半径为7cm ，OA ＝5cm ，那么点A 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．在⊙O 内B ．在⊙O 上C ．在⊙O 外D ．不能确定3、对于抛物线3)5x (31y 2+--=，下列说法正确的是（ ）A ．开口向下，顶点坐标（5，3）B ．开口向上，顶点坐标（5，3）C ．开口向下，顶点坐标（－5，3）D ．开口向上，顶点坐标（－5，3）4、顺次连接平行四边形四边的中点所得的四边形是 （ ）A.矩形B.菱形C.正方形D.平行四边形5、甲、乙、丙三名射击运动员在某场测试中各射击10次，3人的测试成绩如下表则甲、乙、丙3名运动员测试成绩最稳定的是 （ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．3人成绩稳定情况相同 6、已知⊙O 1的半径R 为7cm ，⊙O 2的半径r 为4cm ，两圆的圆心距O 1O 2为3cm ，则这两圆的位置关系是 （ ） A ．相交 B ．内含 C ．内切 D ．外切 7、如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，AD ＝AB ，BC ＝BD, ∠A＝140°,则∠C 等于（ ）丙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 0 5 5 0 甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 2 3 3 2 乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 1 4 4 1A ．75°B ．60°C ．70°D ．80°8、若抛物线y=ax 2+c 经过点P ( l ，－2 )，则它也经过 （ ） A ．P 1(－1，－2 ) B ．P 2(－l, 2 ) C ．P 3( l, 2) D ．P 4(2, 1)9、⊙O 的半径为5cm ，点A 、B 、C 是直线a 上的三点，OA 、OB 、OC 的长度分别是5cm 、4cm 、7cm ，则直线a 与⊙O 的位置关系是： （ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．不能确定10、若△ABC 的一边a 为4，另两边b 、c 分别满足b 2－5b ＋6＝0，c 2－5c ＋6＝0，则△ABC 的周长为 （ ）A ．9B ．10C ．9或10D ．8或9或10 二、填空题：（每小题3分，共24分）11、数据：102、99、101、100、98的方差是 。
12、已知圆锥的底面半径为2cm ，母线长为5cm ，则圆锥的侧面积是 ． 13、如图，在半径为5cm 的⊙O 中，点P 是弦AB 的中点；OP=3cm ，则弦AB= cm ． 14、将二次函数y ＝－2x 2－４x +３的图象向左平移１个单位后的抛物线顶点坐标是（ ， ）．15、如右图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y=kx+m 在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A(－1，0)、点B(3，0)和点C(0，－3)，一次函数的图象与抛物线交于B 、C 两点．当x 满足： 时一次函数值大于二次函数的值．16、如图，在半径为5cm 的⊙O 中，∠ ACB =300，则AB ⌒的长度等于：17、用边长相等的三角形、四边形、五边形、六边形、七边形中的一种；能进行平面镶嵌的几何图形有 种．18、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，将直角梯形ABCD 沿CE 折叠，AB C D 第7题图 1 －1 －3 3 x y O A B C 第15题图 第13题A O P使点D 落在AB 上的F 点，若AB=BC=12，EF=10， ∠FCD=90°，则AF=______．三、解答题：19、（本题满分5分）计算：00045tan 330cos 260sin 21-+20、（本题满分7分）已知二次函数c bx x y ++=2的顶点在直线y ＝—4x 上,并且图象经过点(－１,0), (1)求这个二次函数的解析式.(2)当x 满足什么条件时二次函数c bx x y ++=2随x 的增大而减小？21、（本题满分10分）已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 和CD 上，AE = AF ．（1）求证：BE = DF ；（2）连接AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM = OA ，连接EM 、FM ．判断四边形AEMF 是什么特殊四边形？并证明你的结论．ABCDE F 第18题图第16题图ACB OAD BEFOCM22、（本题满分10分）如图，扇形OAB 的半径OA ＝r ，圆心角∠AOB ＝90º，点C是AB ⌒上异于A 、B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E ，点M 在DE 上，DM ＝2EM ，过点C 的直线CP 交OA 的延长线于点P ，且∠CPO ＝∠CDE ．(1)试说明：DM ＝ 23r ；(2) 试说明：直线CP 是扇形OAB 所在圆的切线；23、（本题满分10分）在一组数据n x x x ,,,21Λ中,各数据与它们的平均数x 的差的绝对值的平均数,即)(121x x x x x x nT n -+-+-=Λ叫做这组数据的“平均差”. “平均差”也能描述一组数据的离散程度. “平均差”越大说明数据的离散程度越大．因为“平均差”的计算要比方差的计算要容易一点，所以有时人们也用它来代替方差来比较数据的离散程度．极差、方差（标准差）、平均差都是反映数据离散程度的量．一水产养殖户李大爷要了解鱼塘中鱼的重量的离散程度，因为个头大小差异太大会出现“大鱼吃小鱼”的情况；为防止出现“大鱼吃小鱼”的情况，在能反映数据离散程度几个的量中某些值超标时就要捕捞；分开养殖或出售；他从两个鱼塘各随机捕捞10条鱼称得重量如下：（单位：千克） A 鱼塘：3、 5、 5、 5、 7、 7、 5、 5、 5、 3B 鱼塘：4、 4、 5、 6、 6、 5、 6、 6、 4、 4=5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）． （1）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？ （2）当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内？O E BM C PD A27、（本小题满分12分）如图，海事救援指挥中心A 接到海上SOS 呼救：一艘渔船B 在海上碰到暗礁，船体漏水下沉，5名船员需要援救.经测量渔船B 到海岸最近的点C 的距离BC ＝20km ，∠BAC ＝22°37′，指挥中心立即制定三种救援方案(如图1)：①派一艘冲锋舟直接从A 开往B ；②先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点C ，然后再派冲锋舟前往B ；③先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到距指挥中心33km 的点D ，然后再派冲锋舟前往B.已知冲锋舟在海上航行的速度为60km/h ，汽车在海岸线上行驶的速度为90km/h. (sin22°37′＝135，cos22°37′＝1312，tan22°37′＝125)(1)通过计算比较，这三种方案中，哪种方案较好(汽车装卸冲锋舟的时间忽略不计)？(2)事后，细心的小明发现，上面的三种方案都不是最佳方案，最佳方案应是：先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点P 处，点P 满足cos ∠BPC ＝32(冲锋舟与汽车速度的比)，然后再派冲锋舟前往B(如图2).请你说明理由！如果你反复探索没有解决问题，可以选取①、②、③两种研究方法：方案①：在线段上AP 任取一点M ；然后用转化的思想，从几何的角度说明汽车行AM 加上冲锋舟行BM 的时间比车行AP 加上冲锋舟行BP 的时间要长。
（本小问满分6分，可得4分）方案②：在线段上AP 任取一点M ；设AM ＝x ；然后用含有x 的代数式表示出所用时间t ；（本小问满分6分，可得3分） 方案③：利用现有数据，根据cos ∠BPC ＝32计算出汽车行AP 加上冲锋舟行BP 的时间；（本小问满分6分，可得2分）题满分12分）在平面直角坐标系中，动点Ｐ到点S （1，411），与过T 点（0，413）且平行于x 轴的直线距离相等，设点P 的坐标为（x ，y ） （1）试求出y 与x 函数关系式；（2）设点P 运动到x 轴上时为点A 、B （点A 在点B 的左边），运动到最高点为点C ；动动到y 轴上时为点D ；求出A 、B 、C 、D 四点的坐标；（3）在（2）的条件下，M 为线段OB （点O 为坐标原点）上的一个动点，过x图1B①③ ② 图2ABC 备用图A BC轴上一点()0,2-G 作DM 的垂线，垂足为H ，直线GH 交y 轴于点N ，当M 点在线段OB 上运动时，现给出两个结论： ① CDM GNM ∠=∠ ②DCM MGN ∠=∠，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪个结论正确，并证明．参考答案：（由于时间关系、未能认真校对，只作评分参考，标准以阅卷老师做的答案为准！）xyO一、 选择题1、D2、A3、A4、D5、C6、C7、D8、A9、C 10、C 二、填空题11、2 12、10π 13、8cm 14、（－2、5） 15、0<x<316、π3517、2 18、6或8三、解答题19、（一个特值1分）（3分）43（5分） 20、（1）122++=∴x x y （4分）（2）∴当1-≤x 时，y 随x 的增大而减小 （3分） 21、（1）（5分）（2）菱形 证明：略（5分） 22、（1） （5分） （2）（5分） 23、（1）(6分)（2）极差与方差 （4分） 24、（1）证明：（略） （4分） （2）证明：（略 ） （4分） （3）︒90 （2分） 25、（1）y x w )20(-= ＝（x －20）（－10 x +500）当x =35时，最大w ＝2250 （3分） （2）2000)5010)(20(=+--x x301=x 402=x （3分）（3）4030≤≤x 32≤x3230≤≤∴x∴当200180≤≤yA MB C 0.O xyD P Q4000203600≤≤y成本最少要3600元 （4分） 26、解：（1）以点O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图）．M （0，5），B （2，0），C （1，0），D （32，0）设抛物线的解析式为2y ax k =+，抛物线过点M 和点B ，则 5k =，54a =-．即抛物线解析式为2554y x =-+．当x ＝时，y ＝154；当x ＝32时，y ＝3516．即P （1，154），Q （32，3516）在抛物线上． 当竖直摆放5个圆柱形桶时，桶高＝310×5＝32．∵ 32＜154且32＜3516，∴网球不能落入桶内．（2）设竖直摆放圆柱形桶m 个时网球可以落入桶内，由题意，得，3516≤310m ≤154．解得，7724≤m ≤1122．∵ m 为整数，∴ m 的值为8，9，10，11，12．∴ 当竖直摆放圆柱形桶8，9，10，11或12个时，网球可以落入桶内．27、解：（1）km Bc 20=Θ '3722︒=∠BACkm BAC BCAB 52sin =∠=∴ km AC 48=方案①15136052=小时＝52分钟 ②151360209048=+小时＝52分钟 ③602530116020)3348(903322+=+-+＝6047小时＝47分钟 ∴方案③较好 （每个方案2分，计6分）（2）解：点M 为AP 上任意一点，汽车开到M 点放冲锋舟下水用时6090BMAM t M += 汽车开到P 放冲锋舟下水，用时6090BPAP t p += 延长BP 过M 作BP MH ⊥于H32cos =BPC Θ 32cos ==∴MPHMp PH 32=∴∴汽车行MP 的时间＝冲锋舟行PH 的时间60906090BHAM BP AP tp +=+=∴ BH BM >Θtp t M >∴ （4分）（2）当点M 在PC 上任意一点时，过M 作BP MH ⊥于H 同理可证：M t >tp （6分） 方案②9060)48(2022x x t M+-+=（3分）（当5848-=x 时，M t 最小，此时cos ∠BPC ＝32） 方案③9048519+=p t 小时（2分）28、解：根据题意得 （1）3)1(2+-=-x y（或222++-=x x y ） （3分） （2）A )0,31(-- B )0,31(+-C （1，3）D （0，2） （4分） （3）CDM GNM ∠=∠是正确的 （2分） 证明：略 （3分） P BA CM HA BCM P HAG M BNH D CK xy O。