复变函数课后部分习题解答
（1）(3-i)5解：3-i=2[cos( -30°)+isin(-30°)] =2[cos30°- isin30°](3-i)5=25[cos(30°⨯5)-isin(30°⨯5)]=25(-3/2-i/2) =-163-16i（2）（1+i ）6解：令z=1+i 则x=Re （z ）=1，y=Im （z ）=1 r=z =22y x +=2tan θ=x y =1Θx>0,y>0∴θ属于第一象限角∴θ=4π ∴1+i=2（cos4π+isin 4π） ∴（1+i ）6=（2）6（cos 46π+isin 46π） =8（0-i ）=-8i1.2求下式的值 (3)61-因为-1=（cos π+sin π）所以61-=[cos(ππk 2+/6)+sin(ππk 2+/6)] (k=0,1,2,3,4,5,6).习题一1.2（4）求(1-i)31的值。
解：(1-i)31 =[2(cos-4∏+isin-4∏)]31=62[cos(12)18(-k ∏)+isin(12)18(-k∏)](k=0,1,2)1.3求方程3z +8=0的所有根。
解：所求方程的根就是w=38-因为-8=8（cos π+isin π） 所以38-= ρ [cos(π+2k π)/3+isin(π+2k π)/3] k=0,1,2其中ρ=3r=38=2即w=2[cosπ/3+isinπ/3]=1—3i1w=2[cos(π+2π)/3+isin(π+2π)/3]=-22w=2[cos(π+4π)/3+isin(π+4π)/3]= 1—3i3习题二1.5 描出下列不等式所确定的区域或者闭区域，并指明它是有界还是无界的，单连通还是多连通的。
(1) Im(z)>0解：设z=x+iy因为Im(z)>0，即，y>0而)∈x-∞(∞,所以，不等式所确定的区域D为：不包括实轴的上半平面。
由所确定的区域可知，不存在某一个正数M，使得确定区域的每个点z满足Mz<，所以该区域是无界的。
在该区域D任意作一条简单闭曲线，该曲线的部总是属于D区域，所以区域D为单连通区域。
综上所述，该不等式确定的区域是不包含实轴的上半区域，是无界的单连通区域。
描出下列不等式的区域或闭区域，并指出它是有界还是无界的，单连通的还是多连通的。
1.5（2）解：该不等式的区域如图所示：y1 5 x圆+=4的外部（不包括圆周），无界的，为开的多连通区域1.5.描出下列不等式所确定的区域或闭区域，并指明它是有界的还是无界的，单连通的还是多连通的0<Re(z)<1由直线X=0与X=1所围成的带形区域，不包括两直线在，是无界的、开的单连通区域。
1.5描述下列不等式所确定的区域或闭区域，并指明它是有界的还是无界的，单连通的还是多连通的：（4）3 2≤≤z解：32≤≤z 即9422≤+≤y x 为由圆周422=+y x 与922=+y x 所围成的环形闭区域（包括圆周），是有界多连通闭区域。
如图：已知映射w=z 3， 求（1） 点z 1=i ，z 2=1+i ，z 3=3+i ，在w 平面上的像。
解：z=r ei θ，则w=z 3r 3。
于是 ⑴ Z 1=i=e 2πi ,z2=1+i=()=Z3=+i=2（+i）=2()=经映射后在w平面上的像分别是W1==-i,W2==（-+i）=-2+i2，W3==8i第47页3.5计算下列各题（1）==-((zcosz)z=1 -(zcosz)z=0 - dz ) =cos1-sin1注：因输入法问题。
故特设定z的共轭负数为z*,除号为/ 1.7：设f（z）=1/z2 (z/z*－z*/z) (z≠0)当z→0时，极限不存在解法一：首先假设z＝r e iθ则有：(z/z*－z*/z)＝r2 ( e-2 iθ- e2 iθ )/ r2＝-2isin2θ可见是随θ发生变化而变化的变量所以根据极限必须为常数可知当z→0时，极限不存在是以此题得证。
解法二：首先假设z＝x+iy则(z/z*－z*/z)＝(z*2－z2 )/x2 ＋y2＝-4ixy/ x2 ＋y2所以可见，当z→0时，即当x→0, y→0时因为有lim (x→0, y→0)xy/ x2 ＋y2极限不存在所以当z→0时，f（z）=1/z2 (z/z*－z*/z)的极限不存在是以此题得证。
2.1 利用导数定义推出：（1） (z n )、=nz n-1(n 为正整数)；解 0lim →∆z z z z z n n ∆-∆+)( = 0lim →∆z zz z c z z c z z c z c nn n n n n n n n n ∆-∆++∆+∆+--Λ222110 =0lim →∆z (nz 1-n +c 2n z 2-n z ∆+...+c nn 1-∆n z ) =nz 1-n2.1(2) ()ˊ=-= =-(2)f(x)=2x 3+3y 3i解：∵u=2x 3 ，v=3y 3 。
26x xu =∂∂ ,0=∂∂y u ,0=∂∂x v , 29y y v =∂∂ 上述4个偏导处处连续，但仅当2x 2=3y 2时C-R 方程成立。
因而函数只在直线x 2±y 3=0上可导，但是在复平面上不解析。
习题22.2的第一小题下列函数在何处可导？何处解析？()iy=2f-xz解：()xv y u yv x u yv xv yu x xu yv xu iy x z f ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂-=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂-==-=100222在 z 平面上处处连续，且当且仅当2x = −1 时，u,v 才满足C-R 条件，故f (z) = u + i v = x -i y 仅在直线21-=x上可导，在z 平面上处处不解析。
7.6(2)：求下列函数的傅里叶变换：f(t)=costsint. 解：F()======2．2以下函数何处可导？何处解析？f （z ）=sinxchy+icosxshy解： u=sinxchy v=cosxshyxchy x u cos =∂∂ xchy y v cos =∂∂ xshy y u sin =∂∂ xshy xv sin -=∂∂ 可得y v x u ∂∂=∂∂ xv y u ∂∂-=∂∂并且上述四个一阶偏导数均连续，所以f(z)在复平面处处可导，从而在复平面处处解析。
25页习题二2.3指出函数的解析性区域并求其导数(1) (z-1)5解：由题可知(z-1)5 处处解析其导数f’(z)=5(z-1)425页习题二2.3指出函数的解析性区域并求其导数（2）iz z 23+解：设()iz z z f 23+=，iy x z +=则()()()x y y x i y xy x y x f 2323,3223+-+--=令 xy y x v yxy x u 23233223--=--= 则 263322--=-=xy u y x u y x 223326y x v xy v y x -=+=又令 ''y x v u = ''x y v u -=即 22223333y x y x -=-()2626+-=--xy xy所以()z f 在复平面处处解析，即iz z 23+在复平面处处解析，其导数为i z 232+。
２．３题：指出下列函数的解析性区域，并求其导数；（３）ｆ（ｚ）＝解：令－１＝０得ｚ＝－１和ｚ＝１所以该函数除ｚ＝－１和ｚ＝１外在复平面上处处解析；该函数的导数为：＝－25页：习题二2.3指出下列函数的解析性区域，并求其倒数。
（4）. (c d中至少有一个不为0)解.当c=0时，函数在复平面处处解析；（）的倒数为；当c！=0时：函数除z=-外在复平面处处可导，处处解析；（）的倒数为=第二章2.4求下列函数的奇点；（1）解:因为：当z()=0;所以 z=0；=-1由Z=计m=-1=cos π+i sin π Z= =cos +i sin （n=0,1）当n=0时，z=i ；当n=1时，z=-i ；所以本题奇点分别为0；-i ; i ;2.4 求下列函数的奇点:(2) .)1()1(222++-z z z解:令原函数分母.,10)1(1)(z 22i z z ±-=⇒=++即:原函数在i z ±-=,1处不解析,故原函数的奇点为.,1i ±-2.10求Ln（-i），Ln（-3+4i）和他们的主值。
解：Ln（-i）=Ln|-i|+i（arg（-i）+2kπ）=i（- +2kπ）=iπ（2k- ），k=0，+1，+2，…ln（-i）=ln|-i| + i arg（-i）=-Ln（-3+4i）=ln|-3+4i| + i［arg（-3+4i）+2kπ］=ln5+i ［（π-arctan ）+2k π］=ln5-i ［（arctan -（2k+1）π）］，k=0，+1，+2，…ln （-3+4i ）=ln|-3+4i| + i arg(-3+4i)=ln5+i(π-arctan )习题2.1221π*-i e =e *2π*-i e =e *())2sin()2cos(ππi -=)(i e -*4)i 1 (π*+e =4e 4π**i e =4e ())4sin()4cos(ππi +*==4e *⎪⎭⎫ ⎝⎛+2222i=244e *()i +*1i 3=3Ln i e *=()33ln iArg i e +*=πk e 2-*3ln e =()3ln sin 3ln cos 2i e k +*-π()i i +1=()i Ln i e +*1=()()()i iArg i lm i e +++*1|1|=()()π*412|1|ln +-+**k i i e e =()π*412+-k e ⎪⎭⎫⎝⎛+*22ln sin 22ln cos i习题三46页3.1沿下列路线计算积分：（1）自原点至3+i 的直线段；解：此直线的参数方程可写成：x=3t，y=t， 0t1，或z=3t+it，0t1，z=3t+it， =（3+i）.于是()()332223319331921i i dz z dz z dz z c c c +=-++=+=∴⎰⎰⎰()()()9331331331331333103-+=⋅-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=i i iy=书46页3.1沿下列路线计算积分dz z i⎰+302:(2)自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至.3i + 解:设iy x z +=,:1c 原点到3,[]3,0,0∈=x y ()();9313033022222111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡===++=⎰⎰⎰⎰x dx x dx x iy x d iy x dz z c c c 3:2c 到,3i +()0,3到(),1,3[],1,0,3∈=y x()()()()()dy iy i iy d iy iy x d iy x dz z c c 2102102233322⎰⎰⎰⎰+=++=++=3.2 试用积分⎰c dz zz的值，其中C 为正向圆周：2=z . 解：正向圆周2=z 的参数方程为：)20(2π≤≤=t e z it 由公式得：i dt i dt ie e e dz z z it it it c πππ422222020===⎰⎰⎰复变函数期中作业习题三3．4沿指定曲线的正向计算下列各积分: （1）解：由柯西积分公式得3.4 （4）, C:|z|=2解：因为 C：|z|=2，被积函数奇点z=3 所以 f（z）=在D解析所以=0习题三3.4（8）dz/ C:∣z∣=1解：取=0在C，f(z)在C解析所以，原式=f(z)dz/=(z)==i习题三 3.4（5） dz ，C 为包围Z=0的闭曲线。
复变函数论第三版课后习题答案[1]
![复变函数论第三版课后习题答案[1]](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/03de2b78a26925c52cc5bf62.webp)
第一章习题解答（一）1．设z ，求z 及Arcz 。
解：由于3iz e π-==所以1z =，2,0,1,3Arcz k k ππ=-+=±。
2．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12z z 。
解：由于6412,2i i z e z i e ππ-==== 所以()64641212222i i iiz z e eee πππππ--===54()146122611222ii i i z e e e z e πππππ+-===。
3．解二项方程440,(0)z a a +=>。
解：12444(),0,1,2,3k ii za e aek πππ+====。
4．证明2221212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。
证明：由于2221212122Re()z z z z z z +=++2221212122Re()z z z z z z -=+-所以2221212122()z z z z z z ++-=+其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。
5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。
证明z 1，z 2，z 3是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。
证 由于1321===z z z，知321z z z ∆的三个顶点均在单位圆上。
因为33331z z z ==()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-=21212z z z z ++=所以， 12121-=+z z z z ，又)())((122122112121221z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=-()322121=+-=z z z z故 321=-z z ，同理33231=-=-z z z z ，知321z z z ∆是内接于单位圆1=z 的一个正三角形。
复变函数习题及答案解释
第一篇 复变函数第一章 复数与复变函数1. 求下列复数的实部、虚部、共轭复数、模与幅角.（1） 72)52)(43(ii i −+；（2） .4218i i i +−2. 当x ，y 等于什么实数时，等式i iiy x +=+−++135)3(1 成立？3.证明：（1）;2z z z = （2）1122,z z z z = .02≠z4.求下列各式的值： （1）();35i −（2）().131i +−5.求方程083=+z 的所有根.6.设1z ,2z ,3z 三点适合条件0321=++z z z ，证明1z ,2z ,3z 是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点.7.指出下列各题中点z 的轨迹或所在的范围：（1）;65=−z（2）;12≥+i z（3）.i z i z −=+8.描述下列不等式所确定的区域，并指出它是有界的还是无界的： （1）;32≤≤z（2）.141+<−z z9.将方程tt z 1+=（t 为实参数）给出的曲线用一个实直角坐标方程表出.第一章 复习题1.单项选择题（1）设iy x z +=，y x ≠||，4z 为实数，则（ ）.A ．0=xy B.0=+y x C ．0=−y x D.022=−y x（2）关于复数幅角的运算，下列等式中正确的是（ ）. A ．Argz Argz 22= B.z z arg 2arg 2=C ．2121arg arg )arg(z z z z += D.2121)(Argz Argz z z Arg += （3）=+31i （ ）.A ．ie 62πB.ie 62π−C ．ie 62π± D.i e62π±（4）2210<++<i z 表示（ ）. A ．开集、非区域 B.单连通区域 C ．多连通区域 D.闭区域（5）z i z f =−1，则()=+i f 1（ ）.A ．1 B.21i+ C ．21i− D.i −1 （6）若方程1−=z e ，则此方程的解集为（ ）.A ．空集 B.π)12(−=k z ，（k 为整数） C ．i k z π)12(−= D. πi z =2.对任何复数22,z z z =是否一定成立？3. 解方程.0)1(22=−++i z z4. 求)(i Ln −，)43(i Ln +−和它们的主值.5. 求i e 21π−，i i e41π+，i 3和ii )1(+值.第二章 导数1．下列函数何处可导?何处解析? (1) ();2iy x z f −=(2) ().22y ix xy z f +=2.指出下列函数()z f 的解析性区域，并指出其导数.(1) ();22iz z z f +=(2) ();112−=z z f（3）(),dcz baz z f ++=（d c ,中至少有一个不为0）.3.设()2323lxy x i y nx my +++为解析函数，试确定l 、m 、n 的值.4.证明：如果()z f 在区域D 内解析，并满足下列条件之一，那么是常数. （1）()z f 恒取实值. （2）)(z f 在区域D 内解析. （3）()z f 在区域D 内是一个常数.5.应用导数的定义讨论下列函数的是否存在？（1）())Re(z z f =；（2）())Im(z z f =.6.证明；,sin z e z 在复平面上任一点都不解析.第二章 复习题1.单项选择题（1）函数()z f w =在点0z 可导是可微的（ ）.A ．必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C ．充分必要条件D. 既非充分也非必要条件（2）函数()z f w =在点0z 可导是连续的（ ）.A ．必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C ．充分必要条件D. 既非充分也非必要条件（3）函数()),(),(y x iv y x u z f +=，则在()00,y x 点，v u ,均可微是函数()z f 在点0z 可微的（ ）.A ．必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C ．充分必要条件D. 既非充分也非必要条件（4）函数()22ix xy z f −=，那么（ ）. A ．()z f 处处可微 B. ()z f 处处不可导 C ．()z f 仅在原点可导 D. ()z f 仅在x 轴上可导（5）若,0,,00,),(222222=+≠++=y x y x y x xy y x u ，,),(xy y x v =()iv u z f +=，则()z f （ ）.A ．()z f 仅在原点可导 B. ()z f 处处不可导C ．()z f 除原点外处处可导 D. ()z f 处处可微（6）若()()y x y i xy x z f 233333+−+−=， 那么()z f （ ）.A ．()z f 仅在原点可导且()00=′f B. ()z f 处处解析且()xy i y x z f 63322+−=′ C ．()z f 处处解析且()xy i y x z f 63322−−=′ D. ()z f 处处解析且()xy i x y z f 63322+−=′ （7）函数()z z z f = ，则（ ）. A ．()z f 在全平面解析 B. ()z f 仅在原点解析C ．()z f 仅在原点可导但不解析 D. ()z f 处处不可导（8）设()34−=′z z f ，且()i i f 31−=+，则()=z f （ ）.A ． i z z −−322 B. i z z 3322+− C ．i z z 43322+−+ D. i z z 43322−+− 2.指出函数112+z 的解析性区域，并求导数.3.如果0z 是()z f 的奇点，而()z g 在0z 解析，那么0z 是否是())(z g z f +和())(z g z f 的奇点.4.若()iv u z f +=是区域D 内的解析函数，那么在D 内v +iu 是否也是解析函数.第三章 积分1.沿下列路径计算积分∫Czdz Re .（1）自原点至1+i 的直线段；（2）自原点沿实轴至1，再由1铅直向上至1+i ；（3）自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平向右至1+i .2.分别沿y =x 与2x y =计算积分()∫++i dz iy x102的值.3计算积分dz zzC∫，其中C 为正向圆周，2=z .4.计算下列积分 ，其中C 为正向圆周，1=z . （1）;21dz z C ∫− （2）;4212dz z z C ∫++（3）;cos 1dz zC ∫ （4）;211dz z C∫−（5）;dz ze Cz ∫（6）().)2(21dz i z z C∫−+5.沿指定曲线正向计算下列积分：（1）dz z C ∫−21，C ：12=−z ；（2）dz a z C ∫−221，C: a a z =−；（3）,3dz z zC ∫− C ：2=z ；（4）()()dz z z C∫++41122，C ：23=z ；（5）dz zzC ∫sin ，C ：1=z ； （6）dz z zC∫−22sin π，C ：2=z .6.计算下列各题： （1）∫−ii z dz e ππ32；（2）∫−iizdz ππ2sin ；（3）.)(0∫−−iz dz e i z7.计算下列积分：（1）dz i z z C ∫+++2314，C ：4=z ，正向； （2）dz z iC ∫+122，C ：61=−z ，正向； （3）,cos 213dz z zC C C ∫+= 1C ：2=z ，正向，2C ：3=z ，负向；（4）dz i z C ∫−1，C 为以i 56,21±±为顶点的正向菱形； （5）()dz a z eC z∫−3；其中a 为1≠a 的任何复数，C ：1=z ，正向.9. 设C 为不经过a 与a −的简单正向闭曲线，a 为不等于0的任何复数，试就a 与a −跟C 的各种不同位置，计算积分dz a z zC ∫−22的值.第三章 复习题1.单项选择题.（1）设C 为θi e z =，θ从2π−到2π的一段，则=∫Cdz z （ ）.A ．i B.2i C ．-2i D.- i（2）设C 是从0=z 到i z +=1的直线段，则=∫Cdz z （ ）.A ．1+i B.21i+ C ．i e4π− D. ie 4π（3）设C 为θi e z =，θ从0到π的一段，则=∫Czdz arg （ ）.A ．i 2−−π B. π− C ．i 2+π D. i 2−π（4）设C 为t i z )1(−=，t 从1到0的一段，则=∫Cdz z （ ）.A ．1 B.-1 C ．i D.- i（5）设C 为1=z 的上半部分逆时针方向，则=−∫Cdz z )1(（ ）.A ．2i B.2 C ．-2i D.- 2（6）设C 为θi e z 21=，正向，则=−∫C z dz e e zsin （ ）.A ．sin1 B.e i 1sin 2π C ．e i 1sin 2π− D.0（7）=++∫=dz z z z 12221（ ）.A ．i π2 B.i π2− C ．0 D.π2 （8）设C 为沿抛物线12−=x y 从()0,1−到()0,1的弧度，则=+∫C dz z )1sin(（ ）.A ．0 B.2cos − C ．12cos − D. 12cos − （9）=++∫=+dz z z e z z 232)1(232（ ）. A ．0 B.i π32C ．i π2 D. i π2−（10）=++∫=dz z z zz 121682cos π（ ）A ．0 B.i π C ．i π− D. i π2.（11）=+∫=dz z zz 221（ ）.A ．0 B.i π2 C ．i π2− D. i π（12）=∫=dz z e z z12（ ）.A ．i π2 B. i π C ．0 D. π （13）1322z z z e dz ==∫（ ）.A ．i π2 B. i π16 C ．i π8 D. i π4 2.计算()∫Γ−=dz z z e I z12，其中Γ是圆环域：221≤≤z 的边界.3.（1）证明：当C 为任何不经过原点的闭曲线时，则;012=∫dz zC（2）沿怎样的简单闭曲线有;012=∫dz z C（3）沿怎样的简单闭曲线有.0112=++∫dz z z C4.设(),4ζζζπd ze zf C ∫−=其中C ：2=z ，试求()i f ，()i f −及()i f 43−的值.5.计算()22,2z Ce z I dz z =+∫其中C ：.1=z6.()()∫=−=12,ζζζdz z e z f z()1≠z ，求().z f ′第四章 级数1.判别下列级数的绝对收敛性与收敛性：();11∑∞=n nni()∑∞=2;ln 2n nni();8)56(30∑∞=+n n ni().2cos 40∑∞=n n in2.求下列幂级数的收敛半径：()为正整数）；p nz n p n(,11∑∞=()∑∞=12;)!(2n nn z nn()∑∞=+0;)1(3n nnz i().41∑∞=n n n iz e π3.把下列各函数展开成z 的幂级数，并指出它们的收敛半径： ();1113z +();)1(1223z +();cos 32z();4shz();5chz().sin 622z e z4.求下列各函数在指定点0z 处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径： ();1,1110=+−z z z()();110,10,1122<−<<<−z z z z()()(),2113−−z z;21,110+∞<−<<−<z z()()为中心的圆环域内；在以i z i z z =−,142第四章 复习题1.单项选择题：()().112的收敛半径为幂级数∑∞=n nin z e0.A 1.B 2.C ∞.D()()∑∞=1.1sin 2n nnz n 的收敛半径为幂级数0.A 1.B e C . ∞.D()()()∑∞=−1.13n n n z i 的收敛半径为幂级数1.A 21.B 2.C 21.D()()()∑∞=+12.434n n n z i 的收敛半径为幂级数5.A 51.B 5.C 51.D ()()∑∞=1.!5n nn z n 的收敛半径为幂级数1.A ∞.B 0.C e D .()()∑∞−∞=−=>=n nne a z za z z.,0,6721则设!71.A !71.−B !91.C !91.−D()∑∞==−10,2.2n nn z z a 收敛，能否在幂级数 .3发散而在=z().1.32的和函数求n n z n n ∑∞=−.0cos 1.40处的泰勒展开式在求=−∫z d zζζζ上的罗朗展开在求函数11sin .512>−∫=ζζζζz d z .式第五章 留数1.判断下列函数奇点的类型，如果是极点，指出它的阶数：()();11122+z z();sin 23z z();11323+−−z z z()();1ln 4zz +();511−z e()().1162−z e z()..2在有限奇点处的留数求下列各函数z f();2112zz z −+();1242z e z −()();113224++zz();cos 4zz();11cos5z−().1sin 62zz3.计算下列各积分（利用留数，圆周均取正向）.();sin 123∫=z dz z z()();12222dz z e z z∫=−()();,cos 1323为整数m dz z zz m∫=−();tan 43∫=z zdz π().521111∫=−−z z dz ze点？并是下列各函数的什么奇判断∞=z .4.的留数求出在∞();121z e();sin cos 2z z −().3232zz+()[]的值，如果：求∞,Re 5.z f s()();112−=z ez f z()()()().41124−+=z z z z f6.计算下列各积分，C 为正向圆周：()()()∫=++Cz C dz zzz ;3:,211342215().2:,1213=+∫z C dz e z z zC7.计算下列积分：();sin 351120θθπd ∫+()();0,cos sin 2202>>+∫b a d b a θθθπ()()∫+∞∞−+;11322dx x()∫+∞∞−++.54cos 42dx x x x第五章 复习题1.单项选择题：()().1sin101的是函数zz = 本性奇点.A 可去奇点.B 一级奇点.C 非孤立奇点.D()().0,1cos Re 2=z z s0.A 1.B 21.C 21.−D()()()().,11Re 32=+−i z i z s 4.i A 4.i B − 41.C 41.−D()().0,1Re 44=−−z e s z !31.A !31.−B !41.C !41.−D()()()∫=−=+21.,15z n n n dz z z 为正整数0.A i B π2. i n C π2. niD π2.()()∫=−=11.6z zz dz zei e A 1.−π i B π2. i e C 12.−π i D π2.−()()∫==−25.117z dz z 0.A i B π2. i C π25. i D π52.2.判断zz e 1+的孤立奇点的类型，并求其留数.3.计算n dz z z z n,1cos 1∫=是正整数.4.计算积分∫=−+114.1z z dz5.计算积分∫+πθθ20.cos 2d6.计算∫+∞+04.11dx x7.计算∫+∞+02.42cos dx x x复变函数总复习题一、单项选择题：(1) 函数z w ln =在i e z =处的值为（）. (k 为整数)A. ()i k 12+πB. ()i k π12+C. i k π2D. i k π+212(2) 设积分路径C 为从原点到i +2的直线段, 则积分()=∫Cydz .A. 21i− B. 21i +C. i +1D. i −1(3) 1=z 是函数1ln 2−z z的( ).A. 可去奇点B. 极点C. 本性奇点D. 非孤立奇点 (4) 设()33iy x z f −=, 则()z f 在复平面上( ).Ａ. 处处可导 B. 仅在0=z 处解析 C. 处处不可导 D. 仅在0=z 处可导(5) ()()=−∫=−dz z e z iz211221. A.21i+ B. i +1 C. ()i e i +−12π D. 2π−(6) 函数21z e z+以∞=z 为( ).Ａ. 可去奇点 B. 极点 C. 本性奇点 D. 解析点(7) 0=z 是ze z 111−−的( ).Ａ. 可去奇点 B. 极点 C. 本性奇点 D. 解析点(8) 由2121>−z 与2123>−i z 所确定的点集是( ).A. 开集、非区域 Ｂ. 单连通区域 C. 多连通区域 D. 闭区域(9) ()=+−∫=dz z z z z z 122sin cos 1. A. 0 B. i π2 C. i π D. i π3二、填空题：1. =i e π9 .2.=+∫=dz z z 12121. 3. 设()()z z z f Im =, 则()=′0f .4. 级数()()()∑∞=+−+−0124121n n nz n 的收敛范围为 .5. 函数z 211−在+∞<<z 21内的罗朗展式为 . 6.()=−∫=dz z z 12 .7. 级数()∑∑∞=∞=+−12121n n n n n nn z z 的收敛范围是 .8. ()2236z z z z z f ++−=, ()()=∞,Re z f s .9. =−1,1sin Re z z s ;=−1,11sin Re z z s .三、解答下列各题:1. 已知()(),21i i z −+= 求()Re z .2. 求2122lim 1z zz z z z →+−−−.3. 讨论()2z z f =在0=z 处的可导性及解析性.4. 讨论()()yx i x y x z f 322322−++−−=的解析性, 并求出在解析点处的导数.5. 计算()12CIi z dz =+−∫, 其中C 为连接01=z , 12=z 和i z +=13, 从1z 至2z 至3z 的折线段.6. 将z 2sin 展开为z 的幂级数.7. 求级数()n n nn z n 214302+++∑∞=的收敛圆, 并讨论在47−=z 和49−=z 处的收敛性.8. 求()242−=z z z f 在3<z 内所有留数之和.9. 求函数z cot 在它所有有限孤立奇点处的留数.10. 求()()222aze zf ibz+=在ai −处的留数,(a , b 为实数).11. 计算积分()()dz z e z zI z z∫=−+−=232189.12. 计算积分dz z z I z ∫=++=2365112.13. 计算积分dz z z I z ∫=+−=22211.14. 计算积分dz z z e i I z z∫=++=2241221π.15. 计算积分()dx axx I ∫∞++=02222, ()0>a .四、证明题:1. 证明()=≠+=0,00,22z z yx xyz f 在0=z 处不连续.2. 证明0→z 时, 函数()()22Re zz z f =的极限不存在.第二篇 积分变换1. 设() >≤=1,01,1t t t f , 试算出()ωF , 并推证:>=<=∫∞+1,01,41,2cos sin 0t t t d t ππωωωω. (提示()t f 为偶函数)2. 求矩形脉冲函数()≤≤=其它,00,τt A t f 的傅氏变换.3. 求()><−=1,01,1222t t t t f 的傅氏积分. 4. 求()2sin tt f = 的拉氏变换.5. 求()≥<≤−<≤=4,042,120,3t t t t f 的拉氏变换.6. 求下列函数的拉氏逆变换:(1) ()221as s F +=;(2) ()441a s s F −=答案第一章：,2295,135.3,13Im ,5.3Re )1.(1=+−=−=−=z i z z z ).(,23arctan ,10||,31,3Im ,1Re )2();(,)12()726arctan(arg Z k k Argz z i z z z Z k k z ∈+−==+=−==∈++=ππ.11,1.2==y x().2,1,0,2)2(;16316)1.(43275.06=−−+k ei k iπ5..31,2,31i i −−+7.（1）以z =5为圆心，6为半径的圆；（2）以z =-2i 为圆心，1为半径的圆周及圆周的外部；（3）i 和i 两点的连线的中垂线. 8.（1）圆环形闭区域，有界； （2）中心在,1517−=z 半径为158的圆周的外部区域，无界. 9．xy =1。
复变函数(第四版)课后习题答案
(3 + 4i )(2 − 5i ) = 5
2i
29 ， 2
26 ⎡ (3 + 4 i )(2 − 5 i ) ⎤ ⎡ (3 + 4 i )(2 − 5 i ) ⎤ = arg ⎢ Arg ⎢ + 2kπ = 2 arctan − π + 2kπ ⎥ ⎥ 2i 2i 7 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = arctan 26 + (2k − 1)π , 7 k = 0,±1,±2, " .
{
}
{
}
Arg i8 − 4i 21 + i = arg i8 − 4i 21 + i + 2kπ = arg(1 − 3i ) + 2kπ
(
)
(
)
= −arctan3 + 2kπ 2．如果等式 解：由于
k = 0,±1,±2, ".
x + 1 + i(y − 3) = 1 + i 成立，试求实数 x, y 为何值。 5 + 3i x + 1 + i(y − 3) [x + 1 + i(y − 3)](5 − 3i ) = 5 + 3i (5 + 3i )(5 − 3i ) =
2 2
= ( z1 + z2 )( z1 + z2 ) + ( z1 − z2 )( z1 − z2 ) = 2( z1 z1 + z2 z2 )几何意义平行四边形的对角线长度平方的和等于四个边的平方的和。 12．证明下列各题： 1）任何有理分式函数 R ( z ) =
2 2
1 ； 3 + 2i
1 3i （2） − ； i 1− i
复变函数论第三版课后习题答案[1]
![复变函数论第三版课后习题答案[1]](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/426672baf121dd36a32d824d.webp)
第一章习题解答（一）1．设z ，求z 及Arcz 。
解：由于3i z e π-==所以1z =，2,0,1,3Arcz k k ππ=-+=± 。
2．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12z z 。
解：由于6412,2i i z e z i e ππ-==== 所以()64641212222i i iiz z e eee πππππ--===54()146122611222ii i i z e e e z e πππππ+-===。
3．解二项方程440,(0)z a a +=>。
解：12444(),0,1,2,3k ii z a e aek πππ+====。
4．证明2221212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。
证明：由于2221212122Re()z z z z z z +=++2221212122Re()z z z z z z -=+-所以2221212122()z z z z z z ++-=+其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。
5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。
证明z 1，z 2，z 3是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。
证 由于1321===z z z，知321z z z ∆的三个顶点均在单位圆上。
因为33331z z z ==()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-=21212z z z z ++=所以， 12121-=+z z z z ，又)())((122122112121221z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=-()322121=+-=z z z z故 321=-z z ，同理33231=-=-z z z z ，知321z z z ∆是内接于单位圆1=z 的一个正三角形。
复变函数(第四版)课后习题答案
3 = ei10ϕ /e−i9ϕ = ei19ϕ
3
= cos19ϕ + isin19ϕ
9．将下列坐标变换公式写成复数的形式：
1）平移公式：
⎧ ⎨ ⎩
x y
= =
x1 y1
+ +
a1, b1;
2）旋转公式：
⎧ ⎨ ⎩
x y
= =
x1 x1
cosα sin α
− +
y1 y1
sinα , cos α .
⎜⎝⎛i8 − 4i21 + i⎟⎠⎞ = 1 + 3i ， | i8 − 4i21 + i |= 10
( ) ( ) Arg i8 − 4i21 + i = arg i8 − 4i21 + i + 2kπ = arg(1 − 3i) + 2kπ
= −arctan3 + 2kπ k = 0,±1,±2,".
4．证明
1) | z |2 = zz #
6) Re(z) = 1 (z + z), Im(z) = 1 (z − z )
2
2i
2
证明：可设 z = x + iy ，然后代入逐项验证。
5．对任何 z ， z2 =| z |2 是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对 z 那些
值才成立？
解：设 z = x + iy ，则要使 z2 =| z |2 成立有
34
= 1 [5x + 3y − 4]+ i(− 3x + 5y −18) = 1 + i
34
比较等式两端的实、虚部，得
⎧ 5x + 3y − 4 = 34 ⎩⎨− 3x + 5y −18 = 34
复变函数课后部分答案
1 u v . 4
2 2
7.已知映射 z , 求：
3
2）区域0 arg z
解： 2）设z = re ,
3
3
在平面上的像。
i 3 3 3i
i
w (re ) r e ,
3 映成0 arg z .
映射 z 将区域0 arg z
8.下列函数何处可导？何处解析？ 1 ）f ( z) x2 yi; 3) f ( z) xy 2 ix 2 y;
其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊重， 相互包容，相互懂得，才能走的更远。 相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！ 择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓 言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。 人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的 开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。 然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。 忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。 人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪， 弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。 人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时， 你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。 岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏 识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。 其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。 一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！
复变函数课后部分习题解答
1.2求下列各式的值。
〔1<3-i>5 解：3-i=2[cos< -30°>+isin<-30°>]=2[cos30°- isin30°] <3-i>5=25[cos<30°⨯5>-isin<30°⨯5>]=25<-3/2-i/2> =-163-16i1.2求下列式子的值〔2〔1+i 6解：令z=1+i 则x=Re 〔z=1,y=Im 〔z=1 r=z =22y x +=2tan θ=x y =1x>0,y>0∴θ属于第一象限角∴θ=4π ∴1+i=2〔cos4π+isin 4π ∴〔1+i 6=〔26〔cos 46π+isin 46π =8〔0-i=-8i1.2求下式的值 <3>61-因为-1=〔cos π+sin π所以61-=[cos<ππk 2+/6>+sin<ππk 2+/6>] <k=0,1,2,3,4,5,6>. 习题一1.2〔4求<1-i>31的值。
解：<1-i>31 =[2<cos-4∏+isin-4∏>]31 =62[cos<12)18(-k ∏>+isin<12)18(-k ∏>] <k=0,1,2> 1.3求方程3z +8=0的所有根。
解：所求方程的根就是w=38-因为-8=8〔cos π+isin π 所以38-= ρ [cos<π+2k π>/3+isin<π+2k π>/3] k=0,1,2 其中ρ=3r =38=2即1w =2[cos π/3+isin π/3]=1—3i2w =2[cos<π+2π>/3+isin<π+2π>/3]=-23w =2[cos<π+4π>/3+isin<π+4π>/3]= 1—3i习题二1.5 描出下列不等式所确定的区域或者闭区域,并指明它是有界还是无界的,单连通还是多连通的。
复变函数课后部分习题解答精编版
（1）(3-i)5解：3-i=2[cos( -30°)+isin(-30°)] =2[cos30°- isin30°](3-i)5=25[cos(30°⨯5)-isin(30°⨯5)]=25(-3/2-i/2) =-163-16i（2）（1+i ）6解：令z=1+i 则x=Re （z ）=1，y=Im （z ）=1 r=z =22y x +=2tan θ=x y =1x>0,y>0∴θ属于第一象限角∴θ=4π ∴1+i=2（cos4π+isin 4π） ∴（1+i ）6=（2）6（cos 46π+isin 46π） =8（0-i ）=-8i1.2求下式的值 (3)61-因为-1=（cos π+sin π）所以61-=[cos(ππk 2+/6)+sin(ππk 2+/6)] (k=0,1,2,3,4,5,6).习题一1.2（4）求(1-i)31的值。
解：(1-i)31 =[2(cos-4∏+isin-4∏)]31=62[cos(12)18(-k ∏)+isin(12)18(-k ∏)](k=0,1,2)1.3求方程3z +8=0的所有根。
解：所求方程的根就是w=38-因为-8=8（cos π+isin π） 所以38-= ρ [cos(π+2k π)/3+isin(π+2k π)/3] k=0,1,2其中ρ=3r=38=2即w=2[cosπ/3+isinπ/3]=1—3i1w=2[cos(π+2π)/3+isin(π+2π)/3]=-22w=2[cos(π+4π)/3+isin(π+4π)/3]= 1—3i3习题二1.5 描出下列不等式所确定的区域或者闭区域，并指明它是有界还是无界的，单连通还是多连通的。
(1) Im(z)>0解：设z=x+iy因为Im(z)>0，即，y>0而)x-∞∈,(∞所以，不等式所确定的区域D为：不包括实轴的上半平面。
复变函数课后习题答案(全)(2020年7月整理).pdf
为复数。
解：首先，由复数的三角不等式有 zn + a zn + a 1+ a ，
在上面两个不等式都取等号时 zn + a 达到最大，为此，需要取 z n
与 a 同向且 zn = 1，即 z n 应为 a 的单位化向量，由此， zn = a ， a
z=n a a
8．试用 z1, z2 , z3 来表述使这三个点共线的条件。
解：要使三点共线，那么用向量表示时， z2 − z1 与 z3 − z1应平行，因而二
者应同向或反向，即幅角应相差 0 或 的整数倍，再由复数的除法运算规
则知 Arg z2 − z1 应为 0 或 的整数倍，至此得到： z3 − z1
z1,
z2 ,
z3
三个点共线的条件是
z2 z3
− −
z1 z1
为实数。
（1） z = (1+ i)t
（2） z = acost + ibsint
解：只需化为实参数方程即可。
（3） z = t + i t
（1） x = t, y = t ，因而表示直线 y = x
（2） x = a cos t, y
=
b
sin
t
，因而表示椭圆
x a
2 2
+
y2 b2
=1
（3） x = t, y = 1 ，因而表示双曲线 xy = 1 t
结论得证。
13．函数 w = 1 把 z 平面上的曲线 x = 1和 x2 + y2 = 4 分别映成 w 平面中 z
的什么曲线？
解：对于 x = 1，其方程可表示为 z = 1 + yi ，代入映射函数中，得
复变函数课后习题答案
习题一 P311题 (2)i ii i -+-11 = 1)1(2)1(--++i i i i =223i --)R e (z 23-= ; 21)(-=z I m ; z = 23-2i + ; z =210;arg(z) = arctan-31π (4) 8i i i +-214 i i +-=41 i 31-= ;;1)Re(=z ;3)Im(-=z ;31i z += ;10=z 3a r c t a na r g -=z ; 5题(2) πππi e i 2)sin (cos 22=+=-；(4)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-)43sin(arctan )43cos(arctan 5)43sin(arctan )43cos(arctan 91634i i i;5θi e = );43arctan(-=θ (6) θθθθθθθθϑθθ7sin 7cos )()()2sin 2(cos )sin (cos )7(4322323i e e e e e i i i i i i i -====+---- ; 8题(2) 16)2()1(848==+πie i (4));3432sin 3432(cos2163ππππ-+-=--k i k i ;431arctan ππθ-=-= ;2,1,0=K);1(24)2222(2360i i K -=-= );125sin 125(cos261ππi K += );1213sin 1213(cos 262ππi K +=12题(2) ;3)2(=-z R e 即 ;3])2[(e =+-iy x R ;32=-x 5=x 直线(6) ;4)arg(π=-i z ;4))1(arg(π=-+y i x arctan;41π=-x y ;11=-xy 1+=x y 以i 为起点的射线（x>0）. 13题(1) 0)(<z I m ; 即y<0, 不含实轴的下半平面，开区域，无界，单连通。