高中空间向量试题
空间向量的应用与新定义(五种题型)(试题版)
空间向量的应用与新定义题型一:空间向量的位置关系的证明1如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E,F分别是BB1,DD1的中点，则下列结论正确的是()A.A1O⎳EFB.A1O⊥EFC.A1O⎳平面EFB1D.A1O⊥平面EFB12在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB,BC的中点，则()A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF⎳平面A1ACD.平面B1EF⎳平面A1C1D3如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，Q为正方形BB1C1C内一动点(含边界)，则下列说法中不正确的是()A.若D1Q⎳平面A1PD，则动点Q的轨迹是一条线段B.存在Q点，使得D1Q⊥平面A1PDC.当且仅当Q点落在棱CC1上某点处时，三棱锥Q-A1PD的体积最大D.若D1Q=62，那么Q点的轨迹长度为24π4（多选）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别为AD,AB,B1C1的中点，以下说法正确的是()博观而约取 厚积而薄发A.三棱锥A -EFG 的体积为13B.A 1C ⊥平面EFGC.过点E 、F 、G 作正方体的截面，所得截面的面积是33D.异面直线EG 与AC 1所成的角的余弦值为335（多选）在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =1，点P 满足CP =λCD +μCC1，其中λ∈0,1 ,μ∈0,1 ，则下列结论正确的是()A.当B 1P ⎳平面A 1BD 时，B 1P 可能垂直CD 1B.若B 1P 与平面CC 1D 1D 所成角为π4，则点P 的轨迹长度为π2C.当λ=μ时，DP + A 1P 的最小值为2+52D.当λ=1时，正方体经过点A 1､P ､C 的截面面积的取值范围为62，26（多选）如图，多面体ABCDEF 中，面ABCD 为正方形，DE ⊥平面ABCD ，CF ∥DE ，且AB =DE =2，CF =1，G 为棱BC 的中点，H 为棱DE 上的动点，有下列结论：①当H 为DE 的中点时，GH ∥平面ABE ；②存在点H ，使得GH ⊥AE ；③三棱锥B -GHF 的体积为定值；④三棱锥E -BCF 的外接球的表面积为14π．其中正确的结论序号为．(填写所有正确结论的序号)7（多选）如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱A 1B 1，A 1D 1的中点，点P 在线段CM 上运动，给出下列四个结论：①平面CMN截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面图形是五边形；②直线B1D1到平面CMN的距离是2 2；③存在点P，使得∠B1PD1=90°；④△PDD1面积的最小值是55 6．其中所有正确结论的序号是．8在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为BD1，B1C1的中点，点P在正方体表面上运动，且满足MP⊥CN，点P轨迹的长度是.9如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，BC=2，M为BC的中点．(1)求证：PB⊥AM；(2)求平面PAM与平面PDC所成的角的余弦值．博观而约取 厚积而薄发10如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=AA1=1，M为线段A1C1上一点.(1)求证：BM⊥AB1；(2)若直线AB1与平面BCM所成角为π4，求点A1到平面BCM的距离.11如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．(1)求证：D1F⎳平面A1EC1；(2)求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值．(3)求二面角A-A1C1-E的正弦值．12直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=AC=2,AA1⊥AB,AC⊥AB，D为A1B1的中点，E为AA1的中点，F为CD的中点．(1)求证：EF⎳平面ABC；(2)求直线BE与平面CC1D所成角的正弦值；(3)求平面A1CD与平面CC1D所成二面角的余弦值．13如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA,BD中点，PA=PD=AD=2．(1)求证：EF //平面PBC ；(2)求二面角E -DF -A 的余弦值；(3)在棱PC 上是否存在一点G ，使GF ⊥平面EDF ？若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．题型二:空间角的向量求法1（多选）已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，CC 1=2AB =2，E 为CC 1的中点，P 为棱AA 1上的动点，平面α过B ，E ，P 三点，则()A.平面α⊥平面A 1B 1EB.平面α与正四棱柱表面的交线围成的图形一定是四边形C.当P 与A 重合时，α截此四棱柱的外接球所得的截面面积为118πD.存在点P ，使得AD 与平面α所成角的大小为π32（多选）已知梯形ABCD ，AB =AD =12BC =1，AD ⎳BC ，AD ⊥AB ，P 是线段BC 上的动点；将△ABD 沿着BD 所在的直线翻折成四面体A BCD ，翻折的过程中下列选项中正确的是()A.不论何时，BD 与A C 都不可能垂直B.存在某个位置，使得A D ⊥平面A BCC.直线A P 与平面BCD 所成角存在最大值D.四面体A BCD 的外接球的表面积的最小值为4π方法归纳【点睛】解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：(1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；(2)作截面：选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的；(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.3如图，PO 是三棱锥P -ABC 的高，PA =PB ，AB ⊥AC ，E 是PB 的中点．博观而约取 厚积而薄发(1)证明：OE⎳平面PAC；(2)若∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5，求二面角C-AE-B的正弦值．4在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=3．(1)证明：BD⊥PA；(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．5如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC的中点，且PB ⊥AM．(1)求BC；(2)求二面角A-PM-B的正弦值．【整体点评】(1)方法一利用空坐标系和空间向量的坐标运算求解；方法二利用线面垂直的判定定理，结合三角形相似进行计算求解，运算简洁，为最优解；方法三主要是在几何证明的基础上，利用三角形等面积方法求得.(2)方法一，利用空间坐标系和空间向量方法计算求解二面角问题是常用的方法，思路清晰，运算简洁，为最优解；方法二采用构造长方体方法+等体积转化法，技巧性较强，需注意进行严格的论证.6在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2,QD=QA=5,QC=3．(1)证明：平面QAD⊥平面ABCD；(2)求二面角B-QD-A的平面角的余弦值．7如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD．△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO=66DO．(1)证明：PA⊥平面PBC；(2)求二面角B-PC-E的余弦值．8如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB=BC =2，M，N分别为A1B1，AC的中点．(1)求证：MN∥平面BCC1B1；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．博观而约取 厚积而薄发条件①：AB⊥MN；条件②：BM=MN．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．9如图，ABCD为圆柱OO 的轴截面，EF是圆柱上异于AD，BC的母线.(1)证明：BE⊥平面DEF；(2)若AB=BC=2，当三棱锥B-DEF的体积最大时，求二面角B-DF-E的余弦值.10如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，AD=3，AB=BC=2，PA ⊥平面ABCD，且PA=3，点M在棱PD上，点N为BC中点.(1)证明：若DM=2MP，直线MN⎳平面PAB；(2)求二面角C-PD-N的正弦值；(3)是否存在点M，使NM与平面PCD所成角的正弦值为26若存在求出PMPD值；若不存在，说明理由.11如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=12AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点.(1)证明：直线CE ∥平面PAB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M -AB -D 的余弦值.12如图，在四棱锥S -ABCD 中，四边形ABCD 是矩形，△SAD 是正三角形，且平面SAD ⊥平面ABCD ，AB =1，P 为棱AD 的中点，四棱锥S -ABCD 的体积为233．(1)若E 为棱SB 的中点，求证：PE ⎳平面SCD ；(2)在棱SA 上是否存在点M ，使得平面PMB 与平面SAD 所成锐二面角的余弦值为235若存在，指出点M 的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.13如图，在四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，∠ABC =π3，∠B 1BD =π6，∠B 1BA =∠B 1BC ,AB =2A 1B 1=2,B 1B =3(1)求证：直线AC ⊥平面BDB 1；(2)求直线A 1B 1与平面ACC 1所成角的正弦值.题型三:空间向量的距离求法1已知直线l 过定点A 2,3,1 ，且方向向量为s=0,1,1 ，则点P 4,3,2 到l 的距离为()A.322B.22C.102D.22在棱长为3的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为棱DC 的中点，E 为线段AO 上的点，且AE =2EO ，若点F ,P 分别是线段DC 1，BC 1上的动点，则△PEF 周长的最小值为()博观而约取 厚积而薄发A.32B.922C.41D.423（多选）如图，四棱锥中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD,SA=AB，O，P分别是AC,SC的中点，M是棱SD上的动点，则下列选项正确的是()A.OM⊥PAB.存在点M，使OM⎳平面SBCC.存在点M，使直线OM与AB所成的角为30°D.点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为定值4（多选）已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上下底面边长分别为4，6，高为2，E是A1B1的中点，则()A.正四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积为5223B.正四棱台ABCD-A1B1C1D1的外接球的表面积为104πC.AE∥平面BC1DD.A1到平面BC1D的距离为41055（多选）如图，若正方体的棱长为1，点M是正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面ADD1A1上的一个动点(含边界)，P是棱CC1的中点，则下列结论正确的是()A.沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为132B.若保持PM=2，则点M在侧面内运动路径的长度为π3C.三棱锥B-C1MD的体积最大值为16D.若M在平面ADD1A1内运动，且∠MD1B=∠B1D1B，点M的轨迹为线段6（多选）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，Q为正方形BB1C1C内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是()A.若D1Q∥平面A1PD，则动点Q的轨迹是一条线段B.存在Q点，使得D1Q⊥平面A1PDC.当且仅当Q点落在棱CC1上某点处时，三棱锥Q-A1PD的体积最大D.若D1Q=62，那么Q点的轨迹长度为24π7如图，正四棱锥P-ABCD的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE 上的动点，则MN的最小值为．8如图，某正方体的顶点A在平面α内，三条棱AB,AC,AD都在平面α的同侧.若顶点B，C，D到平面α的距离分别为2，3，2，则该正方体外接球的表面积为.博观而约取 厚积而薄发9如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD=1.E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90° .(1)在平面PAB内是否存在一点M，使得直线CM∥平面PBE，如果存在，请确定点M的位置，如果不存在，请说明理由；(2)若二面角P-CD-A的大小为45°，求P到直线CE的距离.10如图多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，EA⊥平面ABCD，EA⎳BF，AB =AE=2BF=2(1)证明：平面EAC⊥平面EFC；(2)在棱EC上有一点M，使得平面MBD与平面ABCD的夹角为45°，求点M到平面BCF的距离.11如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD是菱形，AB=1，SC=233，三棱锥S-BCD是正三棱锥，E，F分别为SA，SC的中点.(1)求证：直线BD ⊥平面SAC ；(2)求二面角E -BF -D 的余弦值；(3)判断直线SA 与平面BDF 的位置关系.如果平行，求出直线SA 与平面BDF 的距离；如果不平行，说明理由.题型四:空间线段点的存在性问题1（多选）如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB =90°，AC =BC =CC 1=2，E 为B 1C 1的中点，过AE 的截面与棱BB 1、A 1C 1分别交于点F 、G ，则下列说法中正确的是()A.存在点F ，使得A 1F ⊥AEB.线段C 1G 长度的取值范围是0,1C.当点F 与点B 重合时，四棱锥C -AFEG 的体积为2D.设截面△FEG 、△AEG 、△AEF 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 21S 2S 3的最小值为23方法归纳【点睛】求空间几何体体积的方法如下：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．2（多选）如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M 为CC 1的中点，点P 为正方形A 1B 1C 1D 1上的动点，则()博观而约取 厚积而薄发A.满足MP⎳平面BDA1的点P的轨迹长度为2B.满足MP⊥AM的点P的轨迹长度为223C.存在点P，使得平面AMP经过点BD.存在点P满足PA+PM=53（多选）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=1，AC=2，BC=5．点P在线段B1C上(不含端点)，则()A.存在点P，使得AB1⊥BPB.PA+PB的最小值为有5C.△ABP面积的最小值为55D.三棱锥B1-PAB与三棱锥C1-PAC的体积之和为定值4如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C为长方形，AA1=1，AB=BC=2，∠ABC= 120°，AM=CM.(1)求证：平面AA1C1C⊥平面C1MB；(2)求直线A1B和平面C1MB所成角的正弦值；(3)在线段A1B上是否存在一点T，使得点T到直线MC1的距离是133，若存在求A1T的长，不存在说明理由.5如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥AD ，AD =12BC =3，PC =5，AD ⎳BC ，AB =AC ，∠BAD =150°，∠PDA =30°．(1)证明：平面PAB ⊥平面ABCD ；(2)在线段PD 上是否存在一点F ，使直线CF 与平面PBC 所成角的正弦值等于146已知矩形ABCD 中，AB =4，BC =2，E 是CD 的中点，如图所示，沿BE 将△BCE 翻折至△BFE ，使得平面BFE ⊥平面ABCD .(1)证明：BF ⊥AE ；(2)若DP =λDB(0<λ<1)是否存在λ，使得PF 与平面DEF 所成的角的正弦值是63若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.7如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，AB ⎳CD ，AB =AD =PA =2CD =4，G 为PD 的中点．(1)求证AG ⊥平面PCD ；(2)若点F 为PB 的中点，线段PC 上是否存在一点H ，使得平面GHF ⊥平面PCD ？若存在，请确定H 的位置；若不存在，请说明理由．8如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 为棱AC 的中点，AB =BC ，AC =2，AA 1=2.博观而约取 厚积而薄发(1)求证：B 1C ⎳平面A 1BM ；(2)求证：AC 1⊥平面A 1BM ；(3)在棱BB 1上是否存在点N ，使得平面AC 1N ⊥平面AA 1C 1C ？如果存在，求此时BNBB 1的值；如果不存在，请说明理由.题型五:立体几何的新定义1（多选）如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB =90°，AC =BC =CC 1=2，E 为B 1C 1的中点，过AE 的截面与棱BB 1、A 1C 1分别交于点F 、G ，则下列说法中正确的是()A.存在点F ，使得A 1F ⊥AEB.线段C 1G 长度的取值范围是0,1C.当点F 与点B 重合时，四棱锥C -AFEG 的体积为2D.设截面△FEG 、△AEG 、△AEF 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 21S 2S 3的最小值为232（多选）如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M 为CC 1的中点，点P 为正方形A 1B 1C 1D 1上的动点，则()A.满足MP ⎳平面BDA 1的点P 的轨迹长度为2B.满足MP⊥AM的点P的轨迹长度为223C.存在点P，使得平面AMP经过点BD.存在点P满足PA+PM=53（多选）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=1，AC=2，BC=5．点P在线段B1C上(不含端点)，则()A.存在点P，使得AB1⊥BPB.PA+PB的最小值为有5C.△ABP面积的最小值为55D.三棱锥B1-PAB与三棱锥C1-PAC的体积之和为定值4如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C为长方形，AA1=1，AB=BC=2，∠ABC= 120°，AM=CM.(1)求证：平面AA1C1C⊥平面C1MB；(2)求直线A1B和平面C1MB所成角的正弦值；(3)在线段A1B上是否存在一点T，使得点T到直线MC1的距离是133，若存在求A1T的长，不存在说明理由.5如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥AD，AD=12BC=3，PC=5，AD⎳BC，AB=AC，∠BAD=150°，∠PDA=30°．(1)证明：平面PAB⊥平面ABCD；博观而约取 厚积而薄发(2)在线段PD 上是否存在一点F ，使直线CF 与平面PBC 所成角的正弦值等于146已知矩形ABCD 中，AB =4，BC =2，E 是CD 的中点，如图所示，沿BE 将△BCE 翻折至△BFE ，使得平面BFE ⊥平面ABCD .(1)证明：BF ⊥AE ；(2)若DP =λDB(0<λ<1)是否存在λ，使得PF 与平面DEF 所成的角的正弦值是63若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.7如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，AB ⎳CD ，AB =AD =PA =2CD =4，G 为PD 的中点．(1)求证AG ⊥平面PCD ；(2)若点F 为PB 的中点，线段PC 上是否存在一点H ，使得平面GHF ⊥平面PCD ？若存在，请确定H 的位置；若不存在，请说明理由．8如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 为棱AC 的中点，AB =BC ，AC =2，AA 1=2.(1)求证：B 1C ⎳平面A 1BM ；(2)求证：AC 1⊥平面A 1BM ；(3)在棱BB 1上是否存在点N ，使得平面AC 1N ⊥平面AA 1C 1C ？如果存在，求此时BNBB 1的值；如果不存在，请说明理由.。
高二数学空间向量测试题.doc
高二数学空间向量测试题班级___________ 姓名___________ 学号___________ 分数___________一、选择题（共 10 小题）1、已知直线a平行于平面α，且它们的距离为d，则到直线a与到平面α的距离都等于d的点的集合是（）。
（A）空集（B）二条平行直线（C）一条直线（D）一个平面2、若a, b是异面直线，且a//平面α，那么b与α的位置关系是（）。
（A）b//α（B）b与α相交（C）b在α内（D）不能确定3、下列命题中正确的是（）。
（A）若平面M外的两条直线在平面M内的射影为一条直线及此直线外的一个点，则这两条直线互为异面直线（B）若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条平行直线，则这两条直线相交（C）若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条平行直线，则这两条直线平行（D）若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条互相垂直的直线，则这两条直线垂直4、若a, b是异面直线，且a//平面α，那么b与α的位置关系是（）。
（A）b//α（B）b与α相交（C）b在α内（D）不能确定5、三棱锥P－ABC的三条侧棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的( )A.内心B.外心C.垂心 D.重心6、从平面α外一点P引直线与α相交，使P点与交点的距离等于1，这样的直线（）。
（A）仅可作两条（B）可作无数条（C）可作一条或无数条和不能作（D）仅可作1条7、若P是等边三角形ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC＝，△ABC的边长为1，则PC和平面ABC所成的角是（）。
（A）30°（B）45°（C）60°（D）90°8、直线l与平面α内的两条直线垂直，那么l与α的位置关系是（）。
（A）平行（B）lα（C）垂直（D）不能确定9、三棱锥P－ABC的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的( )A.内心B.外心C.垂心 D.重心10、棱台的上、下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高与截得该棱台的棱锥的高之比为( )A.1∶2B.1∶3C.2∶3D.3∶4二、填空题（共 5 小题）1、已知△ABC ，点P 是平面ABC 外的一点，点O 是点P 在平面ABC 上的射影，若点P 到△ABC 的三个顶点的距离相等，那么点O 一定是△ABC的 。
高中数学试题含答案-课时规范练37 空间向量及其运算
课时规范练37 空间向量及其运算基础巩固组1.(2020江西南昌八一中学质检)已知向量a =(-2,x ,2),b =(2,1,2),c =(4,-2,1).若a ⊥(b -c ),则x 的值为( )A.-2B.2C.3D.-32.在下列条件中,使M 与A ,B ,C 一定共面的是( ) A.OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC⃗⃗⃗⃗⃗ B.OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 D.OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ =0 3.(多选)给出下列命题,其中正确命题有( ) A.空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B.已知向量a ∥b ,则a ,b 与任何向量都能构成空间的一个基底C.A ,B ,M ,N 是空间四点,若BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不能构成空间的一个基底,那么A ,B ,M ,N 共面D.已知向量{a ,b ,c }是空间的一个基底,若m =a +c ,则{a ,b ,m }也是空间的一个基底 4.下列向量与向量a =(1,-√2,1)共线的单位向量为 ( )A.(-12,-√22,-12)B.(-12,-√22,12)C.(-12,√22,-12) D.(12,√22,12) 5.(多选)已知点P 是△ABC 所在的平面外一点,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,4),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0),则( ) A.AP ⊥AB B.AP ⊥BP C.BC=√53 D.AP ∥BC6.(2020四川三台中学实验学校高三月考)如图,设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,若AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.12a +16b -23c B.-12a -16b +23c C.12a -16b -13cD.-12a +16b +13c7.若a =(2,-3,5),b =(-3,1,2),则|a -2b |=( ) A.7√2B.5√2C.3√10D.6√38.(多选)已知向量a =(1,-1,m ),b =(-2,m-1,2),则下列结论中正确的是( ) A.若|a |=2,则m=±√2 B.若a ⊥b ,则m=-1 C.不存在实数λ,使得a =λb D.若a ·b =-1,则a +b =(-1,-2,-2)9.已知a =(3,2λ-1,1),b =(μ+1,0,2μ).若a ⊥b ,则μ= ;若a ∥b ,则λ+μ= . 10.(2020上海七宝中学期末)在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,给出下面四个命题:①(A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=3(A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2;②AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角为120°;③A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0;④正方体的体积是|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,则所有正确的命题的序号是 .11.如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 为AC 的中点. (1)化简:A 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)设E 是棱DD 1上的点,且DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,若EO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,试求实数x ,y ,z 的值.综合提升组12.已知向量{a ,b ,c }是空间向量的一个基底,向量{a +b ,a -b ,c }是空间向量的另外一个基底,若一向量p 在基底{a ,b ,c }下的坐标为(1,2,3),则向量p 在基底{a +b ,a -b ,c }下的坐标为( ) A.(12,32,3) B.(32,-12,3) C.(3,-12,32)D.(-12,32,3)13.已知空间直角坐标系O-xyz 中,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,3),OB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,2),OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2),点Q 在直线OP 上运动,则当QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时,点Q 的坐标为( ) A.(12,34,13)B.(12,32,34)C.(43,43,83)D.(43,43,73)14.(2020山东烟台高三期末)如图所示的平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,已知AB=AA 1=AD ,∠BAD=∠DAA 1=60°,∠BAA 1=30°,N 为A 1D 1上一点,且A 1N=λA 1D 1.若BD ⊥AN ,则λ的值为 ;若M 为棱DD 1的中点,BM ∥平面AB 1N ,则λ的值为 .创新应用组15.如图,在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,AD ⊥DC ,AB ∥DC ,AD=DC=AP=2,AB=1,点E 为棱PC 的中点.(1)证明:BE ⊥PD ;(2)若F 为棱PC 上一点,满足BF ⊥AC ,求线段PF 的长.参考答案课时规范练37 空间向量及其运算1.A ∵b -c =(-2,3,1),∴a ·(b -c )=4+3x+2=0,解得x=-2.故选A .2.C M 与A ,B ,C 一定共面的充要条件是OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC⃗⃗⃗⃗⃗ ,x+y+z=1, 对于A 选项,由于1-1-1=-1≠1,所以不能得出M ,A ,B ,C 共面; 对于B 选项,由于15+13+12≠1,所以不能得出M ,A ,B ,C 共面;对于C 选项,由于MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为共面向量,所以M ,A ,B ,C 共面; 对于D 选项,由OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,而-1-1-1=-3≠1,所以不能得出M ,A ,B ,C 共面.故选C .3.ACD 选项A,根据空间基底的概念,可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底,所以A 正确;选项B,根据空间基底的概念,可得B 不正确;选项C,由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不能构成空间的一个基底,可得BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面, 又由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 过相同点B ,可得A ,B ,M ,N 四点共面,所以C 正确; 选项D,由{a ,b ,c }是空间的一个基底,则基向量a ,b 与向量m =a +c 一定不共面,所以可以构成空间另一个基底,所以D 正确.故选ACD . 4.C 由|a |=√1+2+1=2,∴与向量a 共线的单位向量为(12,-√22,12)或(-12,√22,-12).故选C .5.AC 因为AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故A 正确;BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-3,-3),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3+6-3=6≠0,故B 不正确;BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,1,-4),|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√62+12+(-4)2=√53,故C 正确;AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2,1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,1,-4),则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 不平行,故D 不正确.故选AC .6.A 由题可知,MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )-12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a +16b -23c ,故选A . 7.C ∵a =(2,-3,5),b =(-3,1,2),∴a -2b =(8,-5,1),∴|a -2b |=√82+(-5)2+12=3√10.故选C . 8.AC 对于A,由|a |=2,可得√12+(-1)2+m 2=2,解得m=±√2,故A 正确;对于B,由a ⊥b ,可得-2-m+1+2m=0,解得m=1,故B 错误;对于C,若存在实数λ,使得a =λb ,则{1=-2λ,-1=λ(m -1),m =2λ,显然λ无解,即不存在实数λ,使得a =λb ,故C 正确;对于D,若a ·b =-1,则-2-m+1+2m=-1,解得m=0,于是a +b =(-1,-2,2),故D 错误.故选AC . 9.-35710因为a ⊥b ,则a ·b =3(μ+1)+0+2μ=0,解得μ=-35.若a ∥b ,则a =m b ,即(3,2λ-1,1)=m (μ+1,0,2μ),故{3=m (μ+1),2λ-1=0,1=2mμ,解得{λ=12,μ=15.故λ+μ=710. 10.①②③设正方体的棱长为1.建立空间直角坐标系,如图,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1),A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0),A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),则A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1),故(A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=3,3(A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=3|A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=3.故①正确;AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-1),A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1),设AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角为θ,所以cos θ=AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√2=-12, 因为0°≤θ≤180°,所以AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角为120°,故②正确; A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1),C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1),A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0-1+1=0,故③正确;正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,但是|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=0,故④错误.11.解(1)∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴A 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=A 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1O⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .(2)∵EO ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴x=12,y=-12,z=-23.12.B 设向量p 在基底{a +b ,a -b ,c }下的坐标为(x ,y ,z ),则p =a +2b +3c =x (a +b )+y (a -b )+z c =(x+y )a +(x-y )b +z c ,所以{x +y =1,x -y =2,z =3,解得{ x =32,y =-12,z =3,故p 在基底{a +b ,a -b ,c }下的坐标为(32,-12,3).故选B .13.C 设Q (x ,y ,z ),由点Q 在直线OP 上,可得存在实数λ使得OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOP ⃗⃗⃗⃗⃗ , 即(x ,y ,z )=λ(1,1,2),可得Q (λ,λ,2λ),所以QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-λ,2-λ,3-2λ),QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-λ,1-λ,2-2λ),则QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=2(3λ2-8λ+5),根据二次函数的性质,可得当λ=43时,取得最小值-23,此时Q (43,43,83).故选C .14.√3-1 23(1)取空间中一个基底:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,设AB=AD=AA 1=1,因为BD ⊥AN ,所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,因为B D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b -a ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c +λb ,所以(b -a )·(c +λb )=0,所以12+λ-√32−λ2=0,所以λ=√3-1. (2)在AD 上取一点M 1使得A 1N=AM 1,连接M 1N ,M 1M ,M 1B ,因为A 1N ∥AM 1,且A 1N=AM 1,所以四边形AA 1NM 1是平行四边形,所以AA 1∥NM 1,AA 1=NM 1,又AA 1∥BB 1,AA 1=BB 1,所以BB 1∥NM 1,BB 1=NM 1,所以四边形BB 1NM 1是平行四边形,所以NB 1∥M 1B ,NB 1=M 1B ,又因为M 1B ⊄平面AB 1N ,NB 1⊂平面AB 1N ,所以M 1B ∥平面AB 1N ,又因为BM ∥平面AB 1N ,且BM ∩M 1B=B ,所以平面M 1MB ∥平面AB 1N ,所以MM 1∥平面AB 1N ,又因为平面AA 1D 1D ∩平面AB 1N=AN ,且MM 1⊂平面AA 1D 1D ,所以M 1M ∥AN ,所以△AA 1N ∽△MDM 1,所以A 1N DM 1=AA 1MD =λA 1D 1(1-λ)A 1D 1=2,所以λ=23. 15.(1)证明 ∵PA ⊥底面ABCD ,AD ⊥AB ,∴以A 为原点,AB 为x 轴,AD 为y 轴,AP 为z 轴,建立空间直角坐标系, 由题意B (1,0,0),P (0,0,2),C (2,2,0),E (1,1,1),D (0,2,0),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-2), 则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0+2-2=0,∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即BE ⊥PD. (2)解 ∵BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,0),CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,2),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0), 由点F 在棱PC 上,设CF⃗⃗⃗⃗⃗ =λCP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2λ,-2λ,2λ),0≤λ≤1, ∴BF⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-2λ,2-2λ,2λ), ∵BF ⊥AC ,∴BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(1-2λ)+2(2-2λ)=0,解得λ=34, ∴|PF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1-34|PC⃗⃗⃗⃗⃗ |=14×√4+4+4=√32,即线段PF 的长为√32.。
高二数学空间向量试题答案及解析
高二数学空间向量试题答案及解析1.如图，将边长为2，有一个锐角为60°的菱形，沿着较短的对角线对折，使得，为的中点.（Ⅰ）求证：（Ⅱ）求三棱锥的体积；（Ⅲ）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）1；（3）【解析】（1）利用线面垂直的判断定理证明线面垂直，条件齐全.（2）利用棱锥的体积公式求体积.（3）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.（4）在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算.（5）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.试题解析：（Ⅰ）连接，由已知得和是等边三角形，为的中点，又边长为2，由于，在中，，（Ⅱ）,（Ⅲ）解法一：过，连接AE，，即二面角的余弦值为.解法二：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则显然，平面的法向量为设：平面的法向量，由,，∴二面角的余弦值为.【考点】（1）空间中线面垂直的判定；（2）三棱锥的体积公式；（3）利用空间向量证明线线垂直和求夹角.2.如图，在三棱柱中，平面，，为棱上的动点，.⑴当为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；⑵当的值为多少时，二面角的大小是45.【答案】（1），（2）.【解析】（1）此小题考查用空间向量解决线面角问题，只需找到面的法向量与线的方向向量，注意用好如下公式：，且线面角的范围为：；（2）此小题考查的是用空间向量解决面面角问题，只需找到两个面的法向量，但由于点坐标未知，可先设出，利用二面角的大小是45，求出点坐标，从而可得到的长度，则易求出其比值.试题解析：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，依题意得，⑴因为为中点，则，设是平面的一个法向量，则，得，取，则，设直线与平面的法向量的夹角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为；⑵设，设是平面的一个法向量，则，取，则，是平面的一个法向量，，得，即，所以当时，二面角的大小是.【考点】运用空间向量解决线面角与面面角问题，要掌握线面角与面面角的公式，要注意合理建系.3.在空间直角坐标系中，若两点间的距离为10，则__________．【答案】.【解析】直接利用空间两点间的距离公式可得，解之得，即为所求.【考点】空间两点间的距离公式．4. A(5，-5，-6)、B(10，8，5)两点的距离等于 .【答案】.【解析】∵，，由空间中两点之间距离公式可得：.【考点】空间坐标系中两点之间距离计算.5.如图，边长为1的正三角形所在平面与直角梯形所在平面垂直，且，，，，、分别是线段、的中点．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】（1）由已知中F为CD的中点，易判断四边形ABCD为平行四边形，进而AF∥BC，同时EF∥SC，再由面面平行的判定定理，即可得到答案．（II）取AB的中点O，连接SO，以O为原点，建立如图所示的空间坐标系，分别求出平面SAC与平面ACF的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角S-AC-F的大小．．（1）分别是的中点，．又，所以．，……2分四边形是平行四边形．．是的中点，．……3分又，，平面平面……5分（2）取的中点，连接，则在正中，，又平面平面，平面平面，平面．…6分于是可建立如图所示的空间直角坐标系．则有，，，，，．…7分设平面的法向量为，由．取，得．……9分平面的法向量为．10分…11分而二面角的大小为钝角，二面角的余弦值为．【考点】1．用空间向量求平面间的夹角；2．平面与平面平行的判定．6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为 ()．A．B．C．D．【答案】B【解析】设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，则C（0，2，0），M（2，0，1），D1（0，0，2），N（2，2，1），可知=（2，-2，1），=（2，2，-1），∴•＝2×2−2×2−1×1＝−1，|| ＝ 3， | |＝3;∴cos＜,＞＝，所以sin＜,＞=．故选B .【考点】用空间向量求平面间的夹角.7.已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．(1)证明：PF⊥FD；(2)判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD；(3)若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A－PD－F的余弦值．【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；(3).【解析】解法一（向量法）（I）建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，分别求出直线PF与FD的平行向量，然后根据两个向量的数量积为0，得到PF⊥FD；（2）求出平面PFD的法向量（含参数t），及EG的方向向量，进而根据线面平行，则两个垂直数量积为0，构造方程求出t值，得到G点位置；（3）由是平面PAD的法向量，根据PB与平面ABCD所成的角为45°，求出平面PFD的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．解法二（几何法）（I）连接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD，由线面垂直性质定理可得DF⊥PA，再由线面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF，再由线面垂直的性质定理得到PF⊥FD；（2）过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD，且有AH＝AD，再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG＝AP，由面面平行的判定定理可得平面GEH∥平面PFD，进而由面面平行的性质得到EG∥平面PFD．从而确定G点位置；（Ⅲ）由PA⊥平面ABCD，可得∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBA=45°，取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平面PAD，在平面PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平面FMN，则∠MNF即为二面角A-PD-F的平面角，解三角形MNF可得答案．.试题解析：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝2，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1,1,0)，D(0,2,0)．不妨令P(0,0，t)，∵＝(1,1，－t)，＝(1，－1,0)，∴＝1×1＋1×(－1)＋(－t)×0＝0，即PF⊥FD.(2)解：设平面PFD的法向量为n=(x，y，z)，由得令z=1，解得：x=y=.∴n=.设G点坐标为(0,0，m)，E，则，要使EG∥平面PFD，只需·n=0，即，得m=，从而满足AG=AP的点G即为所求．(3)解：∵AB⊥平面PAD，∴是平面PAD的法向量，易得=(1,0,0)，又∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，得∠PBA=45°，PA=1，平面PFD的法向量为n= .∴.故所求二面角A－PD－F的余弦值为.【考点】1.用空间向量求平面间的夹角；2.空间中直线与直线之间的位置关系；3.直线与平面平行的判定．8.已知三棱柱，平面，，，四边形为正方形，分别为中点．（1）求证：∥面；（2）求二面角——的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）只要证出∥，由直线与平面平行的判定定理即可得证（2）建立空间直角坐标系，利用求二面角的公式求解试题解析：（1）在中、分别是、的中点∴∥又∵平面，平面∴∥平面（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，，∴，平面的一个法向量设平面的一个法向量为则即取.∴∴二面角的余弦值是.【考点】直线与平面平行的判定定理，在空间直角坐标系中求二面角9.如图，直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱),底面中，棱，分别为的中点.（1）求>的值；（2）求证：【答案】（1）>的值为；（2）证明过程详见试题解析.【解析】（1）先以C为原点建立空间坐标系，由已知易求出，进而可求>的值；（2）由（1）所建立的空间坐标系可写出、、的坐标表示，即可知，从而得证.试题解析：以C为原点，CA、CB、CC1所在的直线分别为轴、轴、轴，建立坐标系（1）依题意得,∴∴ ,∴>= 6分(2) 依题意得∴,∴,,∴ ,∴,∴∴ 12分【考点】空间坐标系、线面垂直的判定方法.10.如右图，正方体的棱长为1．应用空间向量方法求：⑴求和的夹角⑵．【答案】（1）（2）对于线线垂直的证明可以运用几何性质法也可以运用向量法来证明向量的垂直即可。
(完整版)高中数学空间向量训练题
高中数学空间向量训练题（含解析）一．选择题1．已知 M 、N 分别是周围体 OABC的棱 OA，BC的中点，点 P 在线 MN 上，且 MP=2PN，设向量= ，= ，= ，则=（）A．+ +B．+ +C．+ +D．+ +2．已知=（ 2，﹣ 1，2），=（﹣ 1， 3，﹣ 3），=（13，6，λ），若向量，，共面，则λ=（）A．2B．3C． 4D．63．空间中，与向量同向共线的单位向量为（）A．B．或C．D．或4．已知向量，且，则x的值为（）A．12 B．10 C．﹣ 14D． 145．若 A，B，C 不共线，对于空间任意一点O 都有=++，则P，A，B，C四点（）A．不共面B．共面C．共线D．不共线6．已知平面α的法向量是（ 2，3，﹣ 1），平面β的法向量是（ 4，λ，﹣ 2），若α∥β，则λ的值是（）A．B．﹣ 6 C．6D．7．已知，则的最小值是（）第 1页（共 40页）8．有四个命题：①若 =x +y ，则与、共面；②若与、共面，则 =x +y ；③若 =x +y，则 P，M ，A，B 共面；④若 P，M， A，B 共面，则=x +y ．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C． 3 D．49．已知向量 =（2，﹣1，1）， =（1，2，1），则以，为邻边的平行四边形的面积为（）A．B．C．4 D． 810．以以下图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中， AD=AA1=1，AB=2，点 E 是棱 AB 的中点，则点 E 到平面 ACD1的距离为（）A．B．C．D．11．正方体 ABCDA1B1C1D1中，直线 DD1与平面 A1BC1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．二．填空题（共 5 小题）12．已知向量=（ k， 12，1）， =（4，5，1），=（﹣ k， 10，1），且 A、 B、 C 三点共线，则 k=．13．正方体 ABCD﹣ A1B1C1D1的棱长为 1，MN 是正方体内切球的直径，P 为正方体表面上的动点，则?的最大值为．14．已知点 P 是平行四边形 ABCD所在的平面外一点，若是=（ 2，﹣ 1，﹣ 4），=（4，2，0），=（﹣ 1， 2，﹣ 1）．对于结论：① AP⊥AB；② AP⊥ AD；③是平面ABCD的法向量；④∥．其中正确的选项是．15．设空间任意一点 O 和不共线三点 A，B，C，且点 P 满足向量关系，若P，A，B，C 四点共面，则 x+y+z=．16．已知平面α⊥平面β，且α∩β =l，在 l 上有两点 A，B，线段 AC? α，线段 BD? β，并且 AC ⊥ l，BD⊥l， AB=6，BD=24， AC=8，则 CD=．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中， PA丄平面 ABCD， AB 丄 BC，∠ BCA=45°，PA=AD=2，AC=1，DC=（Ⅰ）证明 PC丄 AD；（Ⅱ）求二面角 A﹣PC﹣ D 的正弦值；（Ⅲ）设 E 为棱 PA上的点，满足异面直线BE与 CD所成的角为 30°，求 AE的长．18．如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，底面 ABCD为直角梯形， AD∥BC，∠ ADC=90°，平面PAD⊥底面 ABCD， Q 为 AD 的中点， M 是棱 PC上的点， PA=PD=2，BC= AD=1，CD= ．（Ⅰ）求证：平面 PQB⊥平面 PAD；（Ⅱ）若 M 为棱 PC的中点，求异面直线AP 与 BM 所成角的余弦值．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中， SD⊥底面 ABCD，底面 ABCD是正方形，且 SD=AD，E 是 SA 的中点．（1）求证：直线 BA⊥平面 SAD；（2）求直线 SA与平面 BED的夹角的正弦值．20．如图，四棱锥 P﹣ABCD中，底面 ABCD是直角梯形，∠ DAB=90°AD∥BC， AD⊥侧面 PAB，△ PAB是等边三角形， DA=AB=2， BC=，E是线段AB的中点．（Ⅰ）求证： PE⊥CD；（Ⅱ）求 PC与平面 PDE所成角的正弦值．21．如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，平面 PAD⊥平面 ABCD，E 为 AD 的中点， PA⊥AD，BE∥CD，BE⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1．（Ⅰ）求证：平面 PAD⊥平面 PCD；（Ⅱ）求二面角 C﹣PB﹣ E 的余弦值；（Ⅲ）在线段 PE上可否存在点 M ，使得 DM∥平面 PBC？若存在，求出点M 的地址；若不存在，说明原由．22．如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直． AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC， EA⊥EB．（Ⅰ）求证： AB⊥DE；（Ⅱ）求直线 EC与平面 ABE所成角的正弦值；（Ⅲ）线段 EA 上可否存在点 F，使 EC∥平面 FBD？若存在，求出；若不存在，说明原由．23．如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=CC1，平面 BAC1⊥平面 ACC1A1，∠ACC1=∠BAC1=60°， AC1∩ A1C=O．（Ⅰ）求证： BO⊥平面 AA1C1C；（Ⅱ）求二面角 A﹣BC1﹣B1的余弦值．24．如图，在四棱锥P﹣ ABCD中， PA⊥平面，四边形ABCD为正方形，点M， N 分别为线段PB，PC上的点， MN⊥PB．（Ⅰ）求证： MN⊥平面 PAB；（Ⅱ）当 PA=AB=2，二面角 C﹣AN﹣D 大小为时，求PN的长．上的点，且 CD=DE=，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明： DE⊥平面 PCD（Ⅱ）求二面角 A﹣PD﹣ C 的余弦值．26．如图，在几何体 ABCDE中，四边形 ABCD是矩形， AB⊥平面 BEC，BE⊥ EC，AB=BE=EC=2，G， F 分别是线段 BE，DC的中点．（1）求证： GF∥平面 ADE；（2）求平面 AEF与平面 BEC所成锐二面角的余弦值．27．如图，在四棱锥P﹣ABCD中， PD⊥平面 ABCD，四边形 ABCD是菱形， AC=2，BD=2，E 是 PB 上任意一点．（Ⅰ）求证： AC⊥DE；（Ⅱ）已知二面角 A﹣PB﹣D 的余弦值为，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值．28．如图，三棱柱 ABC﹣ A1B1C1中，侧面 BB1C1C 为菱形， AB⊥B1C．（Ⅰ）证明： AC=AB1；（Ⅱ）若 AC⊥ AB1，∠ CBB1=60°， AB=BC，求二面角 A﹣A1B1﹣ C1的余弦值．29. 已知四棱锥P— ABCD ， PB⊥ AD，侧面 PAD 为边长等于 2 的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面 ABCD 所成的二面角为120°.（1）求点 P 到平面 ABCD 的距离；（2）求面 APB 与面 CPB 所成二面角的余弦值.PCDBA30 如图，在三棱柱ABC ﹣ A 1B 1C1中， AA 1⊥底面ABC ，∠ ACB=90°，AC=BC=1 ， AA 1=2，D 是棱AA 1的中点．（Ⅰ）求证：B1C 1∥平面 BCD ；（Ⅱ）求三棱锥B﹣ C1CD 的体积；（Ⅲ）在线段BD 上可否存在点Q，使得 CQ ⊥ BC 1？请说明原由．31 如图，在三棱锥A﹣ BCD中， O、 E 分别为 BD、 BC中点， CA=CB=CD=BD=4，AB=AD=2（1）求证： AO⊥面 BCD（2）求异面直线 AB 与 CD所成角的余弦值（3）求点 E 到平面 ACD的距离．32 在三棱柱ABC﹣ A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形， AB=2， AA1=2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥ABB1A1平面．（1）证明： BC⊥AB 1；（2）若 OC=OA，求直线 CD与平面 ABC所成角的正弦值．2018 年 01 月 20 日 shu****e168的高中数学组卷参照答案与试题解析一．选择题（共11 小题）1．已知 M 、N 分别是周围体 OABC的棱 OA，BC的中点，点 P 在线 MN 上，且 MP=2PN，设向量= ，= ，= ，则=（）A．+ +B．+ +C．+ +D．+ +【解答】解：以以下图，= +，=（+），=，=﹣，=．∴= += +=+ （﹣）=+=×（ + ） + ×=++=+ + ．应选： C．2．已知=（ 2，﹣ 1，2），=（﹣ 1， 3，﹣ 3），=（13，6，λ），若向量，，共面，则λ=（）A．2B．3C． 4D．6【解答】解：∵=（2，﹣ 1， 2），=（﹣ 1，3，﹣ 3），=（13，6，λ），三个向量共面，∴，∴（ 2，﹣ 1，2）=x（﹣ 1，3，﹣ 3）+y（13，6，λ）∴解得：应选： B．3．空间中，与向量同向共线的单位向量为（）A．B．或C．D．或【解答】解：∵，∴与同向共线的单位向量向量，第10页（共 40页）4．已知向量，且，则x的值为（）A．12 B．10 C．﹣ 14D． 14【解答】解：由于向量，且，属于=﹣8﹣6+x=0，解得 x=14；应选： D．5．若 A，B，C 不共线，对于空间任意一点O 都有=++，则P，A，B，C四点（）A．不共面B．共面C．共线D．不共线【解答】解： A，B，C 不共线，对于空间任意一点O 都有=x +y +z，则 P，A，B，C 四点共面的充要条件是x+y+z=1，而=++，因此P，A，B，C四点不共面．应选： A．6．已知平面α的法向量是（ 2，3，﹣ 1），平面β的法向量是（ 4，λ，﹣ 2），若α∥β，则λ的值是（）A．B．﹣ 6 C．6D．【解答】解：∵α∥β，且平面α的法向量是 =（2，3，﹣ 1），平面β的法向量是 =（ 4，λ，﹣ 2），∴即存在实数μ使得，即（ 2，3，﹣ 1）=（4μ，λμ，﹣ 2μ），解得μ=，λ=6应选 C．7．已知，则的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：=（﹣ 1﹣t， t﹣1，﹣ t），∴==≥，当且仅当t=0时取等号．∴的最小值是．应选： A．8．有四个命题：①若 =x +y ，则与、共面；②若与、共面，则=x +y；③若=x +y，则 P，M ，A，B 共面；④若 P，M， A，B 共面，则=x +y．其中真命题的个数是（）A．1B．2C． 3D．4【解答】解：若=x +y ，则与，必然在同一平面内，故①对；若=x +y ，则、、三向量在同一平面内，∴ P、M、A、B 共面．故③对；若=x +y ，则与、共面，但若是，共线，就不用然能用、来表示，故②不对；同理④也不对．∴真命题的个数为 2 个．应选： B．9．已知向量=（2，﹣1，1）， =（1，2，1），则以，为邻边的平行四边形的面积为（）A．B．C．4D． 8【解答】解：设向量，的夹角为θ，=，=，∴ cosθ===．∴ sin θ==．∴以，为邻边的平行四边形的面积S=??sin θ==，应选： B．10．以以下图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中， AD=AA1=1，AB=2，点 E 是棱 AB 的中点，则点 E 到平面 ACD1的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，以 D 为坐标原点，直线DA，DC， DD1分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则D1（ 0， 0，1），E（1，1，0）， A（ 1， 0， 0），C（0，2，0）．=（ 1， 1，﹣ 1）， =（﹣ 1，2，0），=（﹣ 1， 0， 1），设平面 ACD1的法向量为=（a，b，c），则，取 a=2，得=（ 2， 1， 2），点 E 到平面 ACD1的距离为：h===．应选： C．11．正方体 ABCDA1B1C1D1中，直线 DD1与平面 A1BC1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ A1BC1是等边三角形， A1B1=BB1=B1C1，∴B1在平面 A1BC1上的射影为△ A1 BC1的中心 O，设正方体棱长为 1，M 为 A1C1的中点，则 A1B= ，∴ OB= BM==，∴ OB1==，∴ sin∠B1BO==，即BB1与平面A1BC1所成角的正弦值为，∵DD1∥BB1，∴直线 DD1与平面11 所成角的正弦值为．A BC应选： A．二．填空题（共 5 小题）12．已知向量=（ k， 12，1），=（4，5，1），=（﹣ k， 10，1），且 A、 B、 C 三点共线，则 k=．【解答】解：∵向量=（ k， 12，1）， =（4，5，1），=（﹣ k，10，1），∴=（4﹣k，﹣ 7，0）， =（﹣ 2k，﹣ 2， 0）．又 A、B、C 三点共线，∴存在实数λ使得，∴，解得．故答案为：﹣．13．正方体 ABCD﹣ A1B1C1D1的棱长为 1，MN 是正方体内切球的直径，P 为正方体表面上的动点，则?的最大值为．【解答】解：连接 PO，可得? ==++=﹣，当获取最大值时，?获取最大值为=．故答案为：．14．已知点 P 是平行四边形 ABCD所在的平面外一点，若是=（ 2，﹣ 1，﹣ 4），=（4，2，0），=（﹣ 1， 2，﹣ 1）．对于结论：① AP⊥AB；② AP⊥ AD；③是平面 ABCD的法向量；④∥．其中正确的选项是①②③ ．【解答】解：由 =（2，﹣ 1，﹣ 4），=（ 4， 2， 0）， =（﹣ 1，2，﹣ 1），知：在①中，=﹣2﹣2+4=0，∴⊥，∴ AP⊥AB，故①正确；在②中，? =﹣4+4+0=0，∴⊥，∴ AP⊥AD，故②正确；在③中，由 AP⊥AB， AP⊥ AD，AB∩AD=A，知是平面 ABCD的法向量，故③正确；在④中，=（ 2， 3， 4），假设存在λ使得 =，则，无解，∴∥．故④不正确；综上可得：①②③正确．故答案为：①②③．15．设空间任意一点 O 和不共线三点 A，B，C，且点 P 满足向量关系，若 P，A，B，C 四点共面，则 x+y+z= 1 ．【解答】若空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，满足向量关系式：，则 P，A，B，C 四点共面的充要条件是： x+y+z=1，故答案为： 1．16．已知平面α⊥平面β，且α∩β =l，在 l 上有两点 A，B，线段 AC? α，线段 BD? β，并且 AC ⊥l，BD⊥l， AB=6，BD=24， AC=8，则 CD= 26 ．【解答】解：∵平面α⊥平面β，且α∩β=l，在 l 上有两点 A，B，线段 AC? α，线段 BD? β，AC⊥l， BD⊥ l，AB=6，BD=24，AC=8，∴=，∴=（）2==64+36+576=676，∴CD=26．故答案为： 26．三．解答题（共12 小题）17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中， PA丄平面 ABCD， AB 丄 BC，∠ BCA=45°，PA=AD=2，AC=1，DC=（Ⅰ）证明 PC丄 AD；（Ⅱ）求二面角 A﹣PC﹣ D 的正弦值；（Ⅲ）设 E 为棱 PA上的点，满足异面直线BE与 CD所成的角为 30°，求 AE的长．【解答】（本小分 13 分）明：（Ⅰ）∵在△ ADC中， AD=2，AC=1，DC=222∴ AC +AD =CD ，∴ AD⊥ AC，⋯（1 分）如，以点 A 原点建立空直角坐系，依意得 A（0，0，0）， D（ 2， 0， 0），C（0，1，0），B（，，0），P（0，0，2），得=（0，1， 2）， =（2，0，0），∴=0，∴ PC⊥AD．⋯（4 分）解：（Ⅱ），，平面 PCD的一个法向量=（ x， y， z），，不如令 z=1，得=（1，2，1），可取平面 PAC的一个法向量=（1，0，0），于是 cos＜＞==，从而 sin＜＞=，因此二面角 A PC D 的正弦．⋯（8分）（Ⅲ）点 E 的坐（ 0， 0， h），其中 h∈[ 0，2] ，由此得=（），由=（2， 1，0），故，∵ 足异面直BE与 CD所成的角 30°，∴=cos30°=，解得h=，即AE=．⋯（13分）18．如，在四棱 P ABCD中，底面 ABCD直角梯形， AD∥BC，∠ ADC=90°，平面 PAD⊥底面ABCD， Q AD 的中点， M 是棱 PC上的点， PA=PD=2，BC= AD=1，CD= ．（Ⅰ）求：平面 PQB⊥平面 PAD；（Ⅱ）若 M 棱 PC的中点，求异面直AP 与 BM 所成角的余弦．【解答】解：（Ⅰ）∵ AD∥ BC，BC= AD，Q AD 的中点，∴四形 BCDQ平行四形，可得CD∥BQ．∵∠ ADC=90°，∴∠ AQB=90°即QB⊥AD．又∵平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD=AD，∴BQ⊥平面 PAD．∵ BQ? 平面 PQB，∴平面 PQB⊥平面 PAD．（Ⅱ）∵ PA=PD，Q 为 AD 的中点，∴ PQ⊥ AD．∵平面 PAD⊥平面 ABCD，且平面 PAD∩平面 ABCD=AD，∴ PQ⊥平面 ABCD．（注：不证明 PQ⊥平面 ABCD直接建系扣 1 分）因此，以 Q 为原点、 QA、QB、QP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，以以下图则 Q（0，0，0）， A（1，0， 0），P（0，0，），B（0，，0）， C（﹣ 1，， 0）∵ M 是 PC中点，∴ M （﹣，，）∴=（﹣ 1，0，），=（﹣，﹣，）设异面直线 AP 与 BM 所成角为θ，则 cosθ=|cos＜，＞| ==．∴异面直线 AP 与 BM 所成角的余弦值为．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中， SD⊥底面 ABCD，底面 ABCD是正方形，且 SD=AD，E 是 SA 的中点．（1）求证：直线 BA⊥平面 SAD；（2）求直线 SA与平面 BED的夹角的正弦值．【解答】（本分 12 分）解：（ 1）明：∵ SD⊥平面 ABCD，∴ SD⊥AB，又 AD⊥AB，AD∩SD=D，∴ AB⊥平面 SAD，⋯（6 分）（2）以 D 原点，分以 DA、DC、 DS x，y， z 建立空直角坐系，如，AB=2， A（ 2， 0，0），S（0，0，2），B（1，2，0），E（1，0，0），故=（2，0， 2），=（2， 2， 0），=（1，0， 1），⋯（ 8 分）平面 BED的一个法向量=（x，y，z），由得，取=（1， 1， 1），⋯（10 分）直 SA与平面 BED所成角θ，因 cos==，因此 sin θ=，即直 SA与平面 BED所成角的正弦⋯（ 12 分）20．如，四棱 P ABCD中，底面 ABCD是直角梯形，∠ DAB=90°AD∥BC， AD⊥ 面 PAB，△ PAB是等三角形， DA=AB=2， BC=，E是段AB的中点．（Ⅰ）求： PE⊥CD；（Ⅱ）求 PC与平面 PDE所成角的正弦．【解答】解：（Ⅰ）∵ AD⊥ 面 PAB，PE? 平面 PAB，∴ AD⊥EP．又∵△ PAB是等三角形， E 是段 AB 的中点，∴ AB⊥EP．∵AD∩ AB=A，∴ PE⊥平面 ABCD．∵CD? 平面 ABCD，∴ PE⊥ CD．⋯（ 5 分）（Ⅱ）以 E 原点， EA、EP分 y、 z ，建立如所示的空直角坐系．E（0，0，0）， C（ 1， 1， 0），D（ 2，1，0），P（0，0，）．=（2， 1， 0），=（0，0，），=（1， 1，）．=（x，y，z）平面 PDE的一个法向量．由，令 x=1，可得=（ 1， 2，0）．⋯（ 9 分）PC与平面 PDE所成的角θ，得=因此 PC与平面 PDE所成角的正弦．⋯（12分）21．如，在四棱 P ABCD中，平面 PAD⊥平面 ABCD，E AD 的中点， PA⊥AD，BE∥CD，BE⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1．（Ⅰ）求：平面 PAD⊥平面 PCD；（Ⅱ）求二面角 C PB E 的余弦；（Ⅲ）在段 PE上可否存在点 M ，使得 DM∥平面 PBC？若存在，求出点 M 的地址；若不存在，明原由．【解答】解：（Ⅰ）明：由已知平面 PAD⊥平面 ABCD，PA⊥ AD，且平面PAD∩平面 ABCD=AD，因此 PA⊥平面 ABCD．因此 PA⊥CD．又因BE⊥AD，BE∥CD，因此 CD⊥AD．因此 CD⊥平面 PAD．因 CD? 平面PCD，因此平面 PAD⊥平面 PCD．⋯（4 分）（Ⅱ）作 Ez⊥AD，以 E 原点，以的方向分x，y的正方向，建立如所示的空直角坐系 E xyz，点 E（0，0，0）， P（ 0， 2，2）， A（0， 2， 0），B（2，0，0）， C（ 1， 2， 0），D（0，2，0）．因此，，．平面 PBC的法向量=（ x，y，z），因此即令 y=1，解得=（ 2， 1， 3）．平面 PBE的法向量=（a，b，c），因此即令 b=1，解得=（ 0， 1， 1）．因此 cos＜＞=．由可知，二面角 C PB E 的余弦．⋯（10分）（Ⅲ）“ 段 PE上存在点 M，使得 DM∥平面 PBC”等价于“”．因，，λ∈（0，1），M （0，2λ 2，2 2λ），．由（Ⅱ）知平面 PBC的法向量=（ 2， 1， 3），因此．解得．因此段 PE上存在点 M ，即 PE中点，使得 DM∥平面 PBC．⋯（ 14 分）22．如，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直． AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC， EA⊥EB．（Ⅰ）求： AB⊥DE；（Ⅱ）求直 EC与平面 ABE所成角的正弦；（Ⅲ）段 EA 上可否存在点 F，使 EC∥平面 FBD？若存在，求出；若不存在，明原由．【解答】（Ⅰ ）明：取 AB 中点 O，接 EO，DO．因 EB=EA，因此 EO⊥ AB．⋯（1 分）因四形 ABCD直角梯形， AB=2CD=2BC， AB⊥ BC，因此四形 OBCD正方形，因此 AB⊥OD．⋯（2 分）因 EO∩OD=O因此 AB⊥平面 EOD．⋯（3 分）因 ED? 平面 EOD因此 AB⊥ED．⋯（4 分）（Ⅱ）解：因平面 ABE⊥平面 ABCD，且 EO⊥AB，平面 ABE∩平面 ABCD=AB因此 EO⊥平面 ABCD，因 OD? 平面 ABCD，因此 EO⊥OD．由 OB，OD，OE两两垂直，建立如所示的空直角坐系O xyz．⋯（5 分）因△ EAB等腰直角三角形，因此 OA=OB=OD=OE， OB=1，因此 O（0，0，0）， A（ 1，0，0），B（1，0，0）， C（ 1， 1， 0），D（0，1，0），E（ 0， 0， 1）．因此，平面 ABE的一个法向量．⋯（7 分）直 EC与平面 ABE所成的角θ，因此，即直 EC与平面 ABE所成角的正弦．⋯（ 9 分）（Ⅲ）解：存在点 F，且，有 EC∥平面 FBD．⋯（10 分）明以下：由，，因此．平面 FBD的法向量=（a，b，c），有因此取 a=1，得 =（ 1，1，2）．⋯（ 12 分）因=（1，1， 1）?（1，1，2）=0，且 EC?平面 FBD，因此 EC∥平面 FBD．即点 F 足，有 EC∥平面 FBD．⋯（ 14 分）23．如，三棱柱 ABC A1B1C1中，AB=AC=CC1，平面 BAC1⊥平面 ACC1A1，∠ACC1=∠BAC1=60°，AC1∩ A1C=O．（Ⅰ）求： BO⊥平面 AA1C1C；（Ⅱ）求二面角 A BC1B1的余弦．【解答】明：（Ⅰ ）依意，四形 AA1C1C 菱形，且∠ AA1C1=60°∴△ AA1C1正三角形，又∠ BAC1=60°，∴△ BAC1正三角形，又 O AC1中点，∴BO⊥ AC1，∵平面 ABC1⊥平面 AA1C1C，平面 ABC1∩平面 AA1C1C=AC1，∵BO? 平面 AA1CC1，∴ BO⊥平面 AA1C1C．⋯（4 分）解：（Ⅱ）以 O 坐原点，建空直角坐系，如，令 AB=2，，C1（，，）010∴，平面 BB1 1的一个法向量，C由得，取 z=1，得⋯（9分）又面 ABC1的一个法向量∴⋯（11 分）故所求二面角的余弦⋯（ 12 分）24．如，在四棱P ABCD中， PA⊥平面，四形ABCD正方形，点M， N 分段PB，PC上的点， MN⊥PB．（Ⅰ）求： MN⊥平面 PAB；（Ⅱ）当 PA=AB=2，二面角 C AN D 大小，求PN的．【解答】（Ⅰ ）明：在正方形ABCD中， AB⊥BC，∵PA⊥平面 ABCD， BC? 平面 ABCD，∴ PA⊥ BC．∵AB∩PA=A，且 AB，PA? 平面 PAB，∴BC⊥平面 PAB， BC⊥PB，∵MN⊥PB，∴ MN∥BC，则 MN⊥平面 PAB；（Ⅱ）解：∵ PA⊥平面 ABCD，AB，AD? 平面 ABCD，∴ PA⊥AB，PA⊥ AD，又 AB⊥AD，如图，以 A 为原点， AB，AD，AP 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，则C（2，2，0）， D（ 0， 2， 0），B（2，0，0），P（0，0，2）．设平面 DAN 的一个法向量为 =（x，y，z），平面 CAN的一个法向量为 =（a，b，c），设 =λ，λ∈[ 0， 1] ，∵=（2，2，﹣2），∴=（2λ，2λ，2﹣2λ），又 =（0，2，0），∴，取 z=1，得=（，0，1），∵=（0，0，2）， =（2，2，0），∴，取 a=1 得，到=（1，﹣ 1，0），∵二面 C﹣ AN﹣ D 大小为，∴ | cos＜，＞| =cos=，∴ | cos＜，＞| =|| =|| =，解得λ=，∴，则 PN=．25．如题图，三棱锥 P﹣ABC中，PC⊥平面 ABC，PC=3，∠ ACB=．D，E分别为线段AB，BC 上的点，且 CD=DE=，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明： DE⊥平面 PCD（Ⅱ）求二面角 A﹣PD﹣ C 的余弦值．【解答】（Ⅰ ）证明：∵ PC⊥平面 ABC，DE? 平面 ABC，∴ PC⊥DE，∵CE=2，CD=DE= ，∴△CDE为等腰直角三角形，∴ CD⊥DE，∵ PC∩CD=C，DE垂直于平面 PCD内的两条订交直线，∴DE⊥平面 PCD（Ⅱ）由（Ⅰ）知△ CDE为等腰直角三角形，∠ DCE=，过点 D 作 DF 垂直 CE于 F，易知 DF=FC=FE=1，又由已知 EB=1，故 FB=2，由∠ ACB=得DF∥AC，，故AC= DF=，以 C 为原点，分别以，，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，则C（0，0，0）， P（ 0， 0， 3），A（， 0， 0），E（0，2，0）， D（1， 1，0），∴ =（1，﹣ 1，0）， =（﹣ 1，﹣ 1，3）， =（，﹣ 1， 0），设平面 PAD的法向量=（ x， y， z），由，故可取=（2， 1， 1），由（Ⅰ）知 DE⊥平面 PCD，故平面 PCD的法向量可取=（1，﹣ 1，0），∴两法向量夹角的余弦值cos＜，＞==∴二面角 A﹣PD﹣ C 的余弦值为．26．如图，在几何体 ABCDE中，四边形 ABCD是矩形， AB⊥平面 BEC，BE⊥ EC，AB=BE=EC=2，G， F 分别是线段 BE，DC的中点．（1）求证： GF∥平面 ADE；（2）求平面 AEF与平面 BEC所成锐二面角的余弦值．【解答】解法一：（ 1）如图，取 AE 的中点 H，连接 HG，HD，∵G 是 BE的中点，∴ GH∥ AB，且 GH= AB，又∵ F 是 CD中点，四边形ABCD是矩形，∴DF∥AB，且 DF= AB，即 GH∥DF，且 GH=DF，∴四边形 HGFD是平行四边形，∴ GF∥ DH，又∵ DH? 平面 ADE，GF?平面 ADE，∴ GF∥平面 ADE．（ 2）如图，在平面BEG内，过点 B 作 BQ∥ CE，∵BE⊥EC，∴ BQ⊥BE，又∵ AB⊥平面 BEC，∴ AB⊥BE，AB⊥ BQ，以 B 为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则 A（0，0，2）， B（ 0， 0， 0），E（2，0，0）， F（ 2， 2， 1）∵ AB⊥平面 BEC，∴为平面BEC的法向量，设=（x，y，z）为平面 AEF的法向量．又=（2，0，﹣ 2），=（2，2，﹣ 1）由垂直关系可得，取 z=2 可得．∴ cos＜，＞==∴平面 AEF与平面 BEC所成锐二面角的余弦值为．解法二：（1）如图，取 AB 中点 M ，连接 MG，MF，又G 是 BE的中点，可知 GM∥AE，且 GM= AE又AE? 平面 ADE，GM?平面 ADE，∴GM∥平面 ADE．在矩形 ABCD中，由 M， F 分别是 AB， CD的中点可得 MF∥AD．又AD? 平面 ADE，MF?平面 ADE，∴ MF∥平面ADE．又∵ GM∩MF=M，GM? 平面 GMF，MF? 平面GMF∴平面 GMF∥平面 ADE，∵GF? 平面 GMF，∴ GF∥平面 ADE（ 2）同解法一．第30页（共 40页）27．如，在四棱P ABCD中， PD⊥平面 ABCD，四形 ABCD是菱形， AC=2，BD=2，E 是 PB 上任意一点．（Ⅰ）求： AC⊥DE；（Ⅱ）已知二面角 A PB D 的余弦，若 E PB的中点，求 EC与平面 PAB所成角的正弦．【解答】（I）明：∵ PD⊥平面 ABCD，AC? 平面 ABCD∴PD⊥AC又∵ ABCD是菱形，∴ BD⊥ AC，BD∩PD=D∴AC⊥平面 PBD，∵ DE? 平面 PBD∴AC⊥DE⋯（6 分）（ II）解：分以OA， OB， OE 方向x， y， z 建立空直角坐系，PD=t，由（ I）知：平面 PBD的法向量，令平面PAB 的法向量，根据得∴因二面角 A PB D 的余弦，，即，∴⋯（9 分）∴EC与平面 PAB所成的角θ，∵，∴⋯（12 分）28．如，三棱柱 ABC A1B1C1中，面 BB1C1C 菱形， AB⊥B1C．（Ⅰ）明： AC=AB1；（Ⅱ）若 AC⊥ AB1，∠ CBB1=60°， AB=BC，求二面角 A A1B1C1的余弦．【解答】解：（1）连接 BC1，交 B1C 于点 O，连接 AO，∵侧面 BB1 C1C 为菱形，∴BC1⊥B1C，且 O 为 BC1和 B1C 的中点，又∵ AB⊥ B1 C，∴ B1C⊥平面 ABO，∵ AO? 平面 ABO，∴ B1C⊥ AO，又B10=CO，∴ AC=AB1，（2）∵ AC⊥ AB1，且 O 为 B1C 的中点，∴ AO=CO，又∵ AB=BC，∴△ BOA≌△ BOC，∴ OA⊥OB，∴ OA， OB，OB1两两垂直，以 O 为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|| 为单位长度，的方向为 y 轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠ CBB1°，∴△ 1 为正三角形，又，=60CBB AB=BC∴ A（ 0， 0，）， B（ 1， 0， 0，）， B （，，），（，，）00 C 001∴=（0，，），= =（1，0，），==（﹣ 1，，0），设向量=（x，y，z）是平面 AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面 A1 B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴ cos＜，＞== ，∴二面角 A﹣A1B1﹣ C1的余弦值为29. 已知四棱锥P— ABCD ， PB⊥ AD，侧面PAD为边长等于 2 的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD 与底面ABCD所成的二面角为120°.（ 1）求点P 到平面ABCD的距离；（ 2）求面APB与面CPB所成二面角的大小.PCDBA（传统法）解（ 1）：以以下图，作 PO⊥平面 ABCD ，垂足为点 O. 连接 OB、 OA、OD ， OB 与 AD 交于点 E，连接 PE.PDCEO BA∵AD ⊥ PB，∴ AD⊥ OB.∵P A=PD ，∴ OA=OD .于是 OB 均分 AD ，点 E 为 AD 的中点，∴ PE ⊥AD. 由此知∠ PEB 为面 PAD 与面 ABCD 所成二面角的平面角，∴∠ PEB=120°，∠ PEO=60°. 由已知可求得 PE= 3，33，即点 P 到平面 ABCD 的距离为3 .∴PO=PE·sin60°=3×=222（2）（空间向量法）解法一：以以下图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点， x 轴平行于 DA .zPGCDOEyBAxP（ 0，0，333， 0）， PB 中点 G 的坐标为（ 0，33，3），连接 AG.）， B（ 0，2244又知 A（ 1，3，0）， C（－ 2，3 3，0） . 22由此获取 GA =（1，－3，－3），44PB =（0，3 3，－3）， BC =（－2，0，0）.22于是有 GA · PB =0， BC · PB =0，∴ GA ⊥ PB ， BC ⊥ PB . GA ， BC 的夹角 θ 等于所求二面角的平面角.于是 cos θ=GA BC|GA || BC |=－2 7，7由于题目中的二面角为钝角，因此所求二面角的大小为－2 7 。
高三数学空间向量试题答案及解析
高三数学空间向量试题答案及解析1.如图，长方体中，分别为中点，（1）求证：．（2）求二面角的正切值．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）由长方体及E、F分别为AB、C1D1的中点知，AE平行且等于C1F，所以AEC1F是平行四边形，所以C1E∥AF，由线面平行的判定定理知，C1E∥面ACF；（2）易证FG⊥面ABCD，过F作FH⊥AC于H，连结HG，因为FG⊥面ABCD，则FG⊥AC，所以∠FHG为二面角F—AC—G的平面角，然后通过解三角形，求出FG、GH的长，即可求出∠FHG的正切值，即为二面角F-AC-G的正切值.试题解析：(1)证明：在长方体中，分别为中点，且四边形是平行四边形3分，5分(2)．长方体中，分别为中点，7分过做于，又就是二面角的平面角 9分，在中， 11分直角三角形中 13分二面角的正切值为 14分考点:线面平行的判定定理；二面角的计算；逻辑推理能力2.如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1夹角的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】解：(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，∴＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4)．∵cos〈，〉＝＝＝，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，∵＝(1,1,0)，＝(0,2,4)，∴n1·＝0，n 1·＝0，即x＋y＝0且2y＋4z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，∴n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一个法向量．取平面AA1B的一个法向量为n2＝(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1夹角的大小为θ.由cosθ＝＝＝，得sinθ＝.因此，平面ADC1与平面ABA1夹角的正弦值为.3.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若＝＋x＋y，则x、y的值分别为()A．x＝1，y＝1B．x＝1，y＝C．x＝，y＝D．x＝，y＝1【答案】C【解析】如图，＝＋＝＋＝＋ (＋)．4.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E、F、G分别是AB、AD、CD的中点，计算：(1)·；(2)·；(3)EG的长；(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值．【答案】（1）（2）－（3）（4）【解析】解：设＝a，＝b，＝c.则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°.＝BD＝c－a，＝－a，＝b－c，(1)·＝(c－a)·(－a)＝a2－a·c＝；(2)·＝ (c－a)·(b－c)＝ (b·c－a·b－c2＋a·c)＝－；(3)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b＝－a＋b＋ c.||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝.即||＝，所以EG的长为.(4)设、的夹角为θ.＝b＋c，＝＋＝－b＋a，cosθ＝＝－，由于异面直线所成角的范围是(0°，90°]，所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.5.在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②【答案】D【解析】设，在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D.【考点】空间由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的形状，再正视图与俯视图，容易题.6.如图，直四棱柱底面直角梯形，∥，，是棱上一点，，，，，.（1）求异面直线与所成的角；（2）求证：平面.【答案】(1);（2）证明见解析.【解析】（1）本题中由于有两两垂直，因此在求异面直线所成角时，可以通过建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求出所求角；（2）同（1）我们可以用向量法证明线线垂直，以证明线面垂直，，，，易得当然我们也可直线用几何法证明线面垂直，首先，这由已知可直接得到，而证明可在直角梯形通过计算利用勾股定理证明，，，因此，得证.（1）以原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，，，. 3分于是,,,异面直线与所成的角的大小等于. 6分（2）过作交于，在中，，，则，，，， 10分，.又，平面. 12分【考点】（1）异面直线所成的角；（2）线面垂直.7.（2013•天津）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（1）证明B1C1⊥CE；（2）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．（3）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】（1）证明：以点A为原点建立空间直角坐标系，如图，依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）．则，而=0．所以B1C1⊥CE；（2）解：，设平面B1CE的法向量为，则，即，取z=1，得x=﹣3，y=﹣2．所以．由（1）知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，所以B1C1⊥平面CEC1，故为平面CEC1的一个法向量，于是=．从而==．所以二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值为．（3）解：，设0≤λ≤1，有．取为平面ADD1A1的一个法向量，设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则==．于是．解得．所以．所以线段AM的长为．8.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA=，连接CE并延长交AD于F.（1）求证：AD⊥平面CFG；（2）求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）因为△DAB ≌△DCB，EA=EB=AB=1，所以△ECB是等边，,（2）建立空间坐标系如图，取向观点的坐标为, 向量设平面PBC的法向量平面PDC的法向量则【考点】本题主要考查空间垂直关系的证明、平行关系的运用，考查空间角的求解方法，考查空间想象能力、推理论证能力、计算能力.9.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.（1）证明：PA⊥BD；（2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。
高二数学空间向量及其运算试题
高二数学空间向量及其运算试题1.在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=，=，=.则下列向量中与相等的向量是（）A．B．C．D．【答案】．A【解析】=+（－）=－++．【考点】本题主要考查向量相等、向量的线性运算.考查学生的空间想象能力.点评：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化。
2.在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是（）A． B．C． D．【答案】A；【解析】空间的四点P、A、B、C共面只需满足且既可．只有选项A【考点】主要考查向量的线性运算，共面向量基本定理。
点评：属基本题型，要求熟记共面向量基本定理。
3.已知A（－1，－2，6），B（1，2，－6）O为坐标原点，则向量的夹角是（）A．0B．C．D．【答案】C【解析】应用向量的夹角公式=－1．所以量的夹角是，故选C。
【考点】本题主要考查向量的数量积及向量的坐标运算.点评：较好地考查考生综合应用知识解题的能力以及运算能力，属于基本题型。
4.已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且，现用基组表示向量，有=x，则x、y、z的值分别为．【答案】【解析】【考点】本题主要考查向量的线性运算。
点评：本题主要考查向量的线性运算，同时考查了考生的空间想象能力。
5.已知点A(1，-2，11)、B(4，2，3)，C(6，-1，4)，则DABC的形状是．【答案】直角三角形；【解析】利用两点间距离公式计算满足．故DABC的形状是直角三角形。
【考点】本题主要考查向量的坐标运算、模的概念及其运算。
点评：思路明确，计算简单，属基础题型。
6.已知向量，，若成1200的角，则k= ．【答案】【解析】由已知，解得，而成1200的角，所以k=。
【考点】本题考查两个向量的坐标运算、数量积以及两个向量的夹角公式的应用。
点评：思路明确，需细心计算。
7.（12分）如图在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标是（，0），点D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°.（1）求向量的坐标；（2）设向量和的夹角为θ，求cosθ的值【答案】（1{0，－}；（2）。
高二数学-空间向量与立体几何测试题及答案
高二数学空间向量与立体几何测试题第1卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 在下列命题中：CD若a、b共线则a、b所在的直线平行；＠若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；＠若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；＠已知三向量a、b、c,则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p=a+yb+zc,, y, z R.其中正确命题的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 32. 若三点共线为空间任意一点且则的值为（）A. lB.C.D.3. 设，且，则等千（）A. B. 9 C. D4. 已知a=(2, —1, 3) , b= C—1, 4, —2) , c= (7, 5, 入），若a、b、c三向量共面，则实数入等千（）A. B. C.5.如图1,空间四边形的四条边及对角线长都是，点分别是的中点则等千（）D.A.C.．．BD6. 若a、b均为非零向量，则是a与b共线的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件7. 已知点0是LABC所在平面内一点满足• = • = • '则点0是LABC的（）A. 三个内角的角平分线的交点B. 三条边的垂直平分线的交点C. 三条中线的交点8. 已知a+b+c=O,al =2, bl =3,A. 30°B. 45°D.三条高的交点l e = , 则向量a与b之间的夹角为（）C. 60°D. 以上都不对9. 已知， ＇ ，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（）A.B.10. 给出下列命题：CD已知，则C. D.＠为空间四点若不构成空间的一个基底，那么共面；＠已知则与任何向量都不构成空间的一个基底；＠若共线则所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（）C. 3A.1B.2D.4 第II卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.已知LABC的三个顶点为A(3, 3, 2) , B (4, —3, 7) , C (0, 5, 1) , 则BC边上的中线长为12. 已知三点不共线为平面外一点若由向量确定的点与共面，那么13. 已知a,b,c是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c,则m,n的夹角为14. 在空间四边形ABC D中，AC和B D为对角线G为L:.ABC的重心，E是B D上一点BE=3E D, 以｛， ， ｝为基底，则＝15. 在平行四边形ABCD中，AB=AC=l,乙ACD=90, 将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，则B,D两点间的距离为16. 如图二面角a-t -B的棱上有A,B两点直线AC,B D分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直千AB,已知AB=4,AC=6, B D=8, C D= ,二面角Q—t—B的大小三、解答题（本大题共5小题，满分70分），17. C lo分）设试问是否存在实数，使成立？如果存在，求出；如果不存在，请写出证明．18. (12分）如图在四棱锥中，底面ABC D是正方形，侧棱底面ABC D,, 是PC的中点，作交PB千点F.(1)证明PAIi平面EDB:(2)证明PB上平面E F D:(3)求二面角的大小．、、、、、、、、.、19. (12分）如图在直三棱柱ABC—AlBlCl中，底面是等腰直角三角形，乙ACB=90°.侧棱AA1=2, D. E 分别是CCl与AlB的中点点E在平面ABO上的射影是DAB D的重心G.(1)求AlB与平面ABO所成角的大小．(2)求Al到平面ABO的距离1) 20. 12分）如图在三棱柱ABC-AlBlCl中，AB上AC,顶点Al在底面ABC上的射影恰为点B,且AB=AC=A1B=2.2)求棱AA1与BC所成角的大小；在棱BlCl上确定一点P,使AP=, 并求出二面角P—AB—Al的平面角的余弦值A1C1B21. (12分）如图直三棱柱ABC-AlBlCl中AB上AC,D.E分别为AAl.B lC的中点DEl_平面BCCl.C I)证明：A B=ACC II)设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小c,22. (12分）P是平面ABC D外的点四边形ABC D是平行四边形，AP= (-1, 2, -1)(1)求证：PA 平面ABC D.(2)对千向量，定义一种运算：，试计算的绝对值；说明其与几何体P—ABC D的体积关系，并由此猜想向量这种运算的绝对值的几何意义（几何体P-ABC D叫四棱锥，锥体体积公式：V= ) .一、选 1 2 择题（本大题土2上、10小题，每3 4空间向量与立体几何(2)参考答案5 6 7 8 9 10小题5/刀\.让,/、50分）题号答案D D D A B C A 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11. (0, ,) 12. 0 13. 1, —3 14. 90° l厮—15。
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高二数学单元试题1．已知向量a ＝（1，1，0），b ＝（－1，0，2），且k a ＋b 与2 a －b 互相垂直，则k 的值是（ ）A ． 1B ．51 C ． 53 D ． 57 2．已知的数量积等于与则b a k j i b k j i a 35,2,23+-=-+=（ ）A ．－15 B ．－5 C ．－3 D ．－13．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是（ ）A ．OC OB OA OM ++=B ．OC OB OA OM --=2C ．OC OB OA OM 3121++=D ．OC OB OA OM 313131++= 4．已知向量a ＝（0，2，1），b ＝（－1，1，－2），则a 与b 的夹角为 （ ）A ． 0°B ． 45°C ． 90°D ．180° 5．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．56．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝xa ＋yb ＋zc ．其中正确命题的个数为（ ）A ． 0 B ．1 C ． 2 D ．37．已知空间四边形ABCD ，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，连结AM 、AG 、MG ，则−→−AB +1()2BD BC +等于（ ）A ．−→−AG B ． −→−CG C ． −→−BC D ．21−→−BC8．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ， 则1A B = （ ）A ． +-a b cB ．-+a b cC ． -++a b cD ． -+-a b c9．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11C A 是 （ ） A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量 10．已知点A （4，1，3），B （2，－5，1），C 为线段AB 上一点，且3||||AC AB =,则点的坐标是 ( )A ．715(,,)222-B ． 3(,3,2)8-C ． 107(,1,)33-D ．573(,,)222-11．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0=⋅=⋅=⋅AD AC AD AB AC AB ，则△BCD 是 （ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不确定 12．（理科）已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，则点B 到平面EFG 的距离为（ ） A ．1010 B ． 11112 C ． 53D ． 1 二．填空题（本大题4小题，每小题4分，共16分）13．已知向量a =(λ+1,0,2λ)，b =(6,2μ-1,2),若a ∥b,则λ与μ的值分别是 ．14．已知a,b,c 是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b -c ,则m ，n 的夹角为 ．15．已知向量a 和c 不共线，向量b ≠0，且()()⋅⋅=⋅⋅a b c b c a ，d ＝a ＋c ，则,〈〉d b ＝ ．z yxSB CDADPBACE16．（如图）一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是︒60，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长为三．解答题（本大题6小题，共74分） 17．（本小题满分12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， E 是DC 的中点，取如图所示的空间直角坐标系． （1）写出A 、B 1、E 、D 1的坐标；（2）求AB 1与D 1E 所成的角的余弦值． 18．（本小题满分12分）在正方体1111D C B A ABCD -中，如图Ｅ、Ｆ分别是1BB ，ＣＤ的中点， （1）求证：⊥F D 1平面ADE ； （2）cos 1,CB EF ． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ， DC PD =，E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F.（1）证明 ∥PA 平面EDB ； （2）证明⊥PB 平面EFD ．20．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，SA ⊥平面ABCD ， SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12．（1）求SC 与平面ASD 所成的角余弦；（2）求平面SAB 和平面SCD 所成角的余弦．21．（本小题满分12分）如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABC Ｄ中，∠ABC=600，PA=AC=a ，PB=PD=a 2,点E 在PD 上，且PE:ED=2:1. （1）证明PA ⊥平面ABCD ；z FE D 1C 1B 1A 1DCBA（2）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小22．（本小题满分14分）P 是平面ABCD 外的点，四边形ABCD 是平行四边形，()2,1,4,AB =--()4,2,0,AD =()1,2,1AP =--.（1）求证：PA ⊥平面ABCD.（2）对于向量111222(,,),(,,)a x y z b x y z ==，定义一种运算：()a b c ⨯⋅=123231312132213321x y z x y z x y z x y z x y z x y z ++---，试计算()AB AD AP ⨯⋅的绝对值;说明其与几何体P-ABCD 的体积关系，并由此猜想向量这种运算()AB AD AP ⨯⋅的绝对值的几何意义（几何体P-ABCD 叫四棱锥，锥体体积公式：V=13⨯⨯底面积高）.空间向量答案一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DADCBAADCCCB二．填空题 13．51、21． 14．60° 15． 90° 16． 6三．解答题（本大题6小题，共74分） 17．（本小题满分12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是DC 的中点，取如图所示的空间直角坐标系． （1）写出A 、B 1、E 、D 1的坐标；（2）求AB 1与D 1E 所成的角的余弦值．解：(1) A (2, 2, 0)，B 1(2, 0, 2)，E (0, 1, 0)，D 1(0, 2, 2)(2)∵ → AB 1 ＝(0, -2, 2)，→ ED 1 ＝(0, 1, 2) ∴ |→ AB 1 |＝22 ，|→ED 1 |＝5 ，→ AB 1 ·→ED 1 ＝0－2＋4＝2,∴ cos 〈→ AB 1 ，→ ED 1 〉 ＝ → AB 1 ·→ ED 1 |→ AB 1 |·|→ED 1 | ＝ 222×5＝ 1010 ．∴ AB 1与ED 1所z ySBC成的角的余弦值为1010．18．（本小题满分12分）在正方体1111D C B A ABCD -中，如图Ｅ、Ｆ分别是1BB ，ＣＤ的中点， （1）求证：⊥F D 1平面ADE ； （2）cos 1,CB EF ．解：建立如图所示的直角坐标系，（1）不妨设正方体的棱长为1，则D （0，0，0），A （1，0，0），1D （0，0，1）， E （1，1，21），F （0，21，0），则F D 1＝（0，21，－1），A D ＝（1，0，0），AE ＝（0，1，21）， 则DA F D ⋅1＝0，AE F D ⋅1＝0， DA F D ⊥∴1，AE F D ⊥1.⊥∴F D 1平面ADE.（２）1B （1，1，1），C （0，1，0），故1CB ＝（1，0，1），EF ＝（－1，－21，－21），1CB EF ⋅∴＝－1＋0－21＝－23， 2341411=++=EF ，21=CB ，则cos 2322323,111-=⋅-=⋅⋅=CB EF CB EF CB EF . 150,1=CB EF19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ， DC PD =，E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F. （1）证明 ∥PA 平面EDB ； （2）证明⊥PB 平面EFD ． 解：解：如图所示建立空间直角坐标系，D 为坐标原点.设.DC a = (1)证明：连结AC ，AC 交BD 于G .连结EG . 依题意得(,0,0),(0,0,),(0,,)22a a A a P a E底面ABCD 是正方形， G ∴是此正方形的中心，故点G 的坐标为(,,0)22a a且(,0,),(,0,).22a a PA a a EG =-=-2PA EG ∴=. 这表明EG PA ∥. 而EG ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB ，PA ∴∥平面EDB 。
(2)证明：依题意得(,,0),(,,)B a a PB a a a =-。
又(0,,),22a aDE =故022022=-+=⋅a a DE PBPB DE ∴⊥, 由已知EF PB ⊥，且,EF DE E =所以PB ⊥平面EFD.20．（本小题满分12分）z y xFE D 1C 1B 1A 1D CBA如图，四边形ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，SA ⊥平面ABCD ， SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12．（1）求SC 与平面ASD 所成的角余弦；（2）求平面SAB 和平面SCD 所成角的余弦． 解： （1 （221．（本小题满分12分）如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABC Ｄ中，∠ABC=600，PA=AC=a ，PB=PD=a 2,点E 在PD 上，且PE:ED=2:1. （1）证明PA ⊥平面ABCD ；（2）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小（1）证明 因为底面ABCD 是菱形，∠ABC=60°，所以AB=AD=AC=a ， 在△PAB 中， 由PA 2+AB 2=2a 2=PB 2 知PA ⊥AB. 同理，PA ⊥AD ，所以PA ⊥平面ABCD.（2）解 作EG//PA 交AD 于G ， 由PA ⊥平面ABCD.知EG ⊥平面ABCD.作GH ⊥AC 于H ，连结EH ， 则EH ⊥AC ，∠EHG 即为二面角θ的平面角.又PE : ED=2 : 1，所以.3360sin ,32,31a AG GH a AG a EG =︒=== 从而 ,33tan ==GH EG θ .30︒=θ22．（本小题满分14分）P 是平面ABCD 外的点，四边形ABCD 是平行四边形，()2,1,4,AB =--()4,2,0,AD =()1,2,1AP =--.（1）求证：PA ⊥平面ABCD.（2）对于向量111222(,,),(,,)a x y z b x y z ==，定义一种运算：()a b c ⨯⋅=123231312132213321x y z x y z x y z x y z x y z x y z ++---，试计算()AB AD AP ⨯⋅的绝对值;说明其与几何体P-ABCD 的体积关系，并由此猜想向量这种运算()AB AD AP ⨯⋅的绝对值的几何意义（几何体P-ABCD 叫四棱锥，锥体体积公式：V=13⨯⨯底面积高）.解：（1）(2,1,4)(1,2,1)2(2)40AP AB ⋅=--⋅--=-+-+= AP AB AP AB ⇒⊥⊥即(1,2,1)(4,2,0)4400AP AD ⋅=--⋅=-++=AP AD PA AD AD ABCD⇒⊥⊥∴⊥即面（2）()48,AB AD AP AB AD ⨯⋅=⋅=又cos V ＝1sin 163AB AD AB AD AP ⋅⋅⋅⋅= 猜测：()AB AD AP ⨯⋅在几何上可表示以AB,AD,AP 为棱的平等六面体的体积（或以AB,AD,AP 为棱的四棱柱的体积）。