高中必修第二册数学《10.2 事件的相互独立性》获奖说课教案教学设计
【新教材教案】10.2 事件的相互独立性 教学设计(2)-人教A版高中数学必修第二册
【新教材】10.2 事件的相互独立性教学设计（人教A版）事件的相互独立性是在已学互斥事件和对立事件基础上进一步了解事件之间的关系，及对应的概率的计算.课程目标1．理解两个事件相互独立的概念．2．能进行一些与事件独立有关的概念的计算．3. 通过对实例的分析，会进行简单的应用.数学学科素养1.数学抽象：两个事件相互独立的概念．2.数学运算：与事件独立有关的概念的计算.重点：独立事件同时发生的概率．难点：有关独立事件发生的概率计算教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学有放回地抽取，事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“最后一名同学抽到中将奖券”.事件A的发生会影响事件B发生的概率吗？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本246-249页，思考并完成以下问题1. 满足什么条件两个事件是相互独立的？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究事件A 与B 相互独立对任意两个事件A 与B ，如果P (AB )＝P (A )P (B )成立，则称事件A 与事件B 相互独立(mutually independent)，简称为独立．注意（1）事件A 与B 是相互独立的，那么A 与B̅， A 与B ， A 与B ̅也是否相互独立. （2）相互独立事件同时发生的概率：P (AB )＝P (A )P (B ).四、典例分析、举一反三题型一 相互独立事件的判断例1一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件A =“第一次摸出球的标号小于3”，事件B =“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A 与事件B 是否相互独立？【答案】不独立【解析】 因为样本空间(){}{},,1,2,3,4,m n m n m n Ω=∈≠且()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4A =()()()()()(){}1,2,2,1,3,1,3,2,4,1,4,2B =所以()()61122P A P B ===,()21126P AB == 此时()()()P AB P A P B ≠⋅因此,事件A 与事件B 不独立.解题技巧（独立事件的判断）对于事件A ，B ，在一次试验中，A ，B 如果不能同时发生，则称A ，B 互斥，一次试验中，如果A ，B 两个事件互斥且A ，B 中必然有一个发生，则称A ，B 对立，显然A ∪A 为一个必然事件．A ，B 互斥则不能同时发生，但有可能同时不发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．跟踪训练一1. 从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设A ＝“抽到K”，B ＝“抽到红牌”，C ＝“抽到J”，那么下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？(1)A 与B ；(2)C 与A .【答案】见解析.【解析】 (1)由于事件A 为“抽到K”，事件B 为“抽到红牌”，故抽到红牌中有可能抽到红桃K 或方块K ，即有可能抽到K ，故事件A ，B 有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更加不是对立事件．以下考虑它们是否为相互独立事件：抽到K 的概率为P (A )＝452＝113抽到红牌的概率为P (B )＝2652＝12，故P (A )P (B )＝113×12＝126， 事件AB 为“既抽到K 又抽到红牌”，即“抽到红桃K 或方块K”，故P (AB )＝252＝126，从而有P (A )P (B )＝P (AB )，因此A 与B 是相互独立事件．(2)从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张．抽到K 就不可能抽到J ，抽到J 就不可能抽到K ，故事件C 与事件A 不可能同时发生，A 与C 互斥．由于P (A )＝113≠0.P (C )＝113≠0，而P (AC )＝0，所以A 与C 不是相互独立事件，又抽不到K 不一定抽到J ，故A 与C 并非对立事件.题型二 相互独立事件同时发生的概率例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：（1）两人都中靶；（2）恰好有一人中靶；（3）两人都脱靶；（4）至少有一人中靶.【答案】（1）0.72 （2）0.26 （3）0.02 （4）0.98【解析】 设A =“甲中靶”, B =“乙中靶”,则A =“甲脱靶”,B =“乙脱靶”,由于两个人射击的结果互不影响,所以A 与B 相互独立,A 与B ,A 与B ,A 与B 都相互独立由已知可得,()()()()0.8,0.9,0.2,0.1P A P B P A P B ====.（1）AB = “两人都中靶”,由事件独立性的定义得()()()0.80.90.72P AB P A P B =⋅=⨯=（2）“恰好有一人中靶” AB AB =,且AB 与AB 互斥根据概率的加法公式和事件独立性定义,得()()()P AB AB P AB P AB =+()()()()P A P B P A P B =⋅+⋅ 0.80.10.20.90.26=⨯+⨯= （3）事件“两人都脱靶”AB =, 所以()()()P AB P A P B =⋅ ()()10.810.90.02=-⨯-=（4）方法1：事件“至少有一人中靶”ABAB AB =,且AB ,AB 与AB 两两互斥, 所以()P AB AB AB ()()()P AB P AB P AB =++()()P AB P AB AB =+ 0.720.260.98=+=方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶”的概率为()110.020.98P AB -=-=解题技巧 (相互独立事件同时发生的概率)解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若A ，B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解．跟踪训练二1. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14，两人租车时间都不会超过四小时． (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．【答案】(1) 516．(2) 516． 【解析】甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为1－14－12＝14.1－12－14＝14. (1)租车费用相同可分为租车费都为0元、2元、4元三种情况．租车费都为0元的概率为p 1＝14×12＝18，租车费都为2元的概率为p 2＝12×14＝18，租车费都为4元的概率为p 3＝14×14＝116. 所以甲、乙所付租车费用相同的概率为p ＝p 1＋p 2＋p 3＝516. (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则“ξ＝4”表示“两人的租车费用之和为4元”，其可能的情况是甲、乙的租车费分别为①0元、4元，②2元、2元，③4元、0元．所以可得P (ξ＝4)＝14×14＋12×14＋14×12＝516，即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为516. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本249页练习，250页习题10.2.两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响一般地，两个事件不可能即互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的.。
【新教材教案】10.2 事件的相互独立性 教学设计(1)-人教A版高中数学必修第二册
10.2 事件的相互独立性本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教A版）第十章《10.2 事件的相互独立性》，本节课主要事在已学互斥事件和对立事件基础上进一步了解事件之间的关系，相互独立性是另一种重要的事件关系，注意对概率思想方法的理解。
发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
课程目标学科素养A.理解两个事件相互独立的概念．B．能进行一些与事件独立有关的概念的计算．C. 通过对实例的分析，会进行简单的应用.1.数学建模：相互独立事件的判定2.逻辑推理：相互独立事件与互斥事件的关系3.数学运算：相互独立事件概率的计算4.数据抽象：相互独立事件的概念1.教学重点：理解两个事件相互独立的概念2.教学难点：事件独立有关的概念的计算多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、探究新知前面我们研究过互斥事件，对立事件的概率性质，还研究过和事件的概率计算方法，对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗？我们知道积事件AB就是事件A与事件B同时发生，因此，积由知识回顾，提()A A B B AB AB()()()P A P AB P AB[]()()()(()1()P AB P A P AB P P A P B P ∴=-==-=AB根据概率的加法公式和事件独立性定义,得)AB AB)()P B P⋅++⨯0.10.2AB AB+AB P ABAB AB)()()+0.72P AB AB=：由于事件“至少有一人中靶根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶=0.020.98甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，与B 独立,进而.独立CABAB ，()1()P C P C1()()1[1()][1()]P A P B P A P B 1(10.6)(10.5)0.8三、达标检测1.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为23和34,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.12 B.512C.14D.16答案:B解析:恰有一个一等品即有一个是一等品、一个不是一等品,故所求概率为23×1-34+1-23×34=23×14+13×34=212+312=512,故选B . 2.甲、乙两人各进行1次射击,如果两人击中目标的概率都是0.7,则其中恰有1人击中目标的概率是( ) A.0.49 B.0.42C.0.7D.0.91解析:记甲击中目标为事件A ,乙击中目标为事件B ,且A ,B 相互独立.则恰有1人击中目标为A B 或A B ,所以只有1人击中目标的概率P=P (A B )+P (A B )=0.7×0.3+0.3×0.7=0.42. 答案:B3.一件产品要经过2道独立的加工程序,第一道工序的次品率为a ,第二道工序的次品率为b ,则产品的正品率为( ) A.1-a-b B.1-ab C.(1-a )(1-b ) D.1-(1-a )(1-b )答案:C解析:设A 表示“第一道工序的产品为正品”,B 表示“第二道工序的产品为正品”,且P (AB )=P (A )P (B )=(1-a )(1-b ).4.已知A ,B 相互独立,且P (A )=14,P (B )=23,则P (A B )= . 答案:112解析:根据题意得,P (A B )=P (A )P (B )=P (A )(1-P (B ))=14×1-23=112. 5.某天上午,李明要参加“青年文明号”活动.为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己.假设甲闹钟准时响的概率是0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是 . 答案:0.98解析:至少有一个准时响的概率为1-(1-0.90)×(1-0.80)=1-0.10×0.20=0.98.6.已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三为0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？ 略解: 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为1()10.50.550.60.835P A B C -⋅⋅=-⨯⨯=0.8()P D >=所以，合三个臭皮匠之力就解出的概率大过诸葛亮.()()AB AB AB AB “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码可以用表示。
10.2事件的相互独立性教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
课堂教学设计学科：数学姓名：课题：10.2事件的相互独立性课型：新授课课程标准分析本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教A版）第十章《10.2 事件的相互独立性》，事件的相互独立性是事件之间一种重要关系，本节结合具体的随机试验（古典概型），根据实际问题背景，先直观判断两个实际是否独立，进而给出两个实际相互独立的一般定义，另外，在解决实际问题时，我们通常是直观判断事件的独立性，然后利用P(AB)=P(A)P(B)来求积事件AB的概率，本节内容所涉及的主要核心素养有：数学抽象、数学运算、发展学生的直观想象、逻辑推理、的核心素养。
.教学背景分析（一）课题及教学内容分析本节的主要内容是事件相互独立性的直观认识、两个事件独立性的定义、利用独立性简化概率的计算，连个事件的独立性石事件之间的一种特殊的关系，直观意义是两个事件发生与否互相不受影响，本质上是两个积事件的概率等于这两个事件概率的积，由于还没有条件概率的概念，教科书从事件的关系和运算的角度研究概率的基本性质出发，结合问题“两个事件的积的概率与这两个事件的概率有什么关系”，通过具体例子引入事件的独立性的概念，是符合知识发展的逻辑性的。
教材结合具体的随机试验（古典概型），根据实际问题背景，先直观判断两个实际是否独立，进而给出两个实际相互独立的一般定义，本节通过两个实验：分别抛掷两枚质地均匀的硬币和从一个袋子中标号分别为1、2、3、4的4个球中，采用有放回方式的随机试验，根据两个试验的共同特征，归纳出事件的相互独立性特征。
（二）学生情况分析通过前面的学习，对抛掷两枚质地均匀硬币的试验及有放回方式的随机试验的相关问题都比较熟悉了，同时也有了会求古典概型概率的学习为奠定基础，对于每一种试验的样本空间都能很熟练地写出，为学生直观判断给定的两个事件是否独立打下了良好的基础，学生还可以进行计算验证，这样既突出了重点，又能有效克服难点，更有利于本节的学习。
教学目标1、结合有限样本空间，了解两个随机事件相互独立的含义2.结合古典概型，利用独立性计算积事件的概率教学重点和难点重点：两个事件相互独立的直观意义及定义，利用事件的独立性解决实际问题难点：在实际问题情境中判断事件的独立性教学资源和教学方法教学资源：多媒体教学教学方法：讲授法、体验学习教学法。
10.2事件的相互独立性教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
10.2事件的相互独立性一、内容解析本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第十章第2节的内容．独立性是概率论的基本概念，与计算积事件的概率有关，可以简化计算，在选择性必修的独立性检验中、利用事件的独立性假定构造检验统计量，独立性的直观意义是“在随机试验中，事件A(或B)发生与否不影响事件B(或A)发生的概率"，本质是P(AB)=P(A)P(B)，教科书先通过实例呈现独立性的直观意义，在此基础上分析计算P(AB)与P(A)，P(B)的关系，再抽象出两个事件相互独立的定义.互斥事件与相互独立的事件的内涵是不同的.事件A与B五斥是指事件A与B不能在任一随机试验中同时发生，其实质为AB=∅、P(AB)=0.因此，当事件A和B的概率都大于0时，如果事件A和B互斥，则Ａ和B一定不相互独立：反之，如果事件A和B相互独立，则A和B一定不互斥.不可能事件∅和必然事件Ω是互斥事件，同时它们也是相互独立的事件，并且不可能事件∅、必然事件Ω与任何事件A是相互独立的.二、目标和目标解析目标：（1）结合有限样本空间，了解两个随机事件相互独立的含义.（2）结合古典概型、利用事件的独立性计算概率.目标解析：（1）两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，不仅要直观感受到两个事件互不影响，还要能够用解析式来说明．因此，在归纳概括事件的相互独立的过程中，一定要用好具体的实例模型．（2）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在事件的相互独立性的教学中，从具体的实例中归纳概括相互独立事件的概念是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用事件的独立性解决具体的实际问题，也是进行数学建模教学的好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：了解两个事件相互独立的含义，利用事件的独立性解决有关概率计算问题.三、教学问题诊断分析1．教学问题一：对两个事件的包含、相等、互斥、互相对立意义的描述，均不涉及事件的概率.而两个事件的相互独立性，需要借助事件的概率来刻画.大多数学生一般倾向于认为连续发生的事件总是有联系的，不仅如此，他们在决策时通常会受到之前发生的事件的结果的影响.例如，对于问题“连续抛掷一枚均匀的硬币，如果前4次的结果都是‘反面朝上’，那么第5次最可能的结果是什么?”一些学生会回答“最有可能是正面”(或者回答“最有可能是反面”).学生的决策可能受到“代表性启发式”(当应用这种策略解决不确定情境的问题时，倾向于预测那些最能体现证据代表性的结果)错误概念的影响，这种错误概念会导致忽视事件之间的独立性.教学中，在给出独立性的数学形式定义之前，教师应首先选择符合独立性直观意义的例子，促进学生直观地认识，并结合实例使学生进一步明晰随机试验的意义．2．教学问题二：学生的另一个错误的认知是，相互独立的事件不能同时发生，这导致他们经常把独立事件与互斥事件混淆.事件的独立性与互斥性是两对不同属性的概念，事件A与B相互独立是从概率的角度来下的定义，其本质是P(AB)=P(A)P(B)，强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率大小没有影响，而事件A与B互斥是从事件运算的角度来下的定义，其内涵是AB=∅.强调的是两个事件不能在任一随机试验中同时发生．基于上述情况，本节课的教学难点定为：有关独立事件发生的概率计算．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到两个事件相互独立，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中使用具体的实例，既可以帮助学生理解概念也可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视事件相互独立的判断，让学生体会判断事件相互独立的基本方法，同时，应用事件的对立性解决问题其实就是数学模型的建立与应用的典范．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．教学环节问题或任务师生活动设计意图创设情境，引入新知[问题1]分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？教师1：提出问题1．学生1：学生思考，不影响．教师2：提出问题2．学生2：用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)},包含4个等可能的样本点.而A={(1,1),(1,0)},B={(1,0),(0,0)},通过具体实例，引入本节新课。
10.2 事件的相互独立性 复习课 教案 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
10.2 事件的相互独立性 复习课 教案 高一下学期数学人教A 版（2019）必修第二册教学目标：1.进一步理解事件相互独立的概念，能应用解决相互独立事件的概率求解;2.能进行一些相互独立事件概率的计算;3.正难则反的思想和团队协作的精神.教学重点：读懂题意，相互独立事件同时发生的判断和概率计算教学难点：能准确地将复杂的概率问题转化为基本概率模型教学过程：一．引入（启动思维）在一次有关“三国演义”的知识竞赛中，三个“臭皮匠”能答对该题目的概率分别为50%,45%,40%，“诸葛亮”能答对该题目的概率为80%，如果将“三个臭皮匠”组成一组与“诸葛亮”进行比赛，各选手独立答题，不得商量，团队中只要有一人答出即为该组获胜．问：哪方获胜的可能性大？分析：团队中只要有一人答出即为该组获胜，正面情况有七种，反面只有一种，用正难则反的思想求出 三个“臭皮匠”中至少有一人解出的概率。
结果验证了俗语：三个臭皮匠抵个诸葛亮，体现了团队协作合作共赢的思想二．知识回顾1．相互独立的概念(1)事件A 与事件B 相互独立，即事件A(或B)是否发生，对事件B(或A)发生的概率________．(2)设A ，B 为两个事件，如果P(AB)＝ ________，则称事件A 与事件B 相互独立．2．相互独立的性质(1)若事件A 与B 相互独立，那么 ________，_______， ________也都相互独立．(2)两个相互独立事件A ，B 同时发生，即事件AB 发生的概率为____________________．这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率等于________________________________．因为是复习课了，知识点同学们已经知道，强调一下就是了，不展开讲三．典例导航例1.某雪滑场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时． (1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)求甲、乙两人所付的滑雪费用之和为80元的概率.“表”明题意：让同学们以简表的形式列出题上的信息和数据，引导同学们读懂题意思路探索： (1)甲乙两人付费相同则付费为0元，40元，80元，分别求概率再相加；(2)特别注意：80=40+40=0+80=80+0.例2. 11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束.(1)求(2)P X =；(2)求事件“4X =且甲获胜”的概率.思考：（1）第二问改为求P （X=4）如何解？（2）X 可能等于3吗？四 ．课时小结求相互独立事件概率的关键是读懂题意，对于较复杂的题可以通过列简表理清题意：(1) 求相互独立事件同时发生的概率的步骤是：①首先确定各事件之间是相互独立的； ②确定这些事件可以同时发生；③求出每个事件的概率，再求积．(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件——各个事件是相互独立的，而且它们同时发生．五． 自主练习1．从应届高中生中选出飞行员，已知这批学生体型合格的概率为13，视力合格的概率为16，其他几项标准合格的概率为15.若从中任选一名学生，则该生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)( )A.49B.59C.45D.1902. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.12B.35C.23D.343．从甲袋中摸出1个红球的概率是13，从乙袋中摸出1个红球的概率是12，从两袋中各摸出1球，则(1)两个球都是红球的概率是________； (2)两个球都不是红球的概率是________；(3)两个球不都是红球的概率是________； (4)两个球至少有1个红球的概率是________．4．甲、乙2人各进行1次射击，如果2人击中目标的概率都是0.6，计算：(1)2人都击中目标的概率；(2)其中恰有1人击中目标的概率；(3)至少有1人击中目标的概率．5.某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13 s 内(称为合格)的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的100 m 跑的成绩进行一次检测，则(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率； (3)出现几人合格的概率最大．。
10.2事件的相互独立性教学设计(2)-人教A版高中数学必修第二册
【新教材】10.2 事件的相互独立性教学设计（人教A版）事件的相互独立性是在已学互斥事件和对立事件基础上进一步了解事件之间的关系，及对应的概率的计算.课程目标1．理解两个事件相互独立的概念．2．能进行一些与事件独立有关的概念的计算．3. 通过对实例的分析，会进行简单的应用.数学学科素养1.数学抽象：两个事件相互独立的概念．2.数学运算：与事件独立有关的概念的计算.重点：独立事件同时发生的概率．难点：有关独立事件发生的概率计算教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
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一、情景导入三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学有放回地抽取，事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“最后一名同学抽到中将奖券”.事件A的发生会影响事件B发生的概率吗？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本246-249页，思考并完成以下问题1. 满足什么条件两个事件是相互独立的？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究事件A与B相互独立对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立(mutually independent)，简称为独立．注意（1）事件A与B是相互独立的，那么A与B̅，A与B，A与B̅也是否相互独立.（2）相互独立事件同时发生的概率：P(AB)＝P(A)P(B).四、典例分析、举一反三题型一相互独立事件的判断例1一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B 是否相互独立？【答案】不独立【解析】 因为样本空间(){}{},,1,2,3,4,m n m n m n Ω=∈≠且()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4A =()()()()()(){}1,2,2,1,3,1,3,2,4,1,4,2B =所以()()61122P A P B ===,()21126P AB == 此时()()()P AB P A P B ≠⋅因此,事件A 与事件B 不独立.解题技巧（独立事件的判断）对于事件A ，B ，在一次试验中，A ，B 如果不能同时发生，则称A ，B 互斥，一次试验中，如果A ，B 两个事件互斥且A ，B 中必然有一个发生，则称A ，B 对立，显然A ∪A 为一个必然事件．A ，B 互斥则不能同时发生，但有可能同时不发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．跟踪训练一1. 从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设A ＝“抽到K”，B ＝“抽到红牌”，C ＝“抽到J”，那么下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？(1)A 与B ；(2)C 与A .【答案】见解析.【解析】 (1)由于事件A 为“抽到K”，事件B 为“抽到红牌”，故抽到红牌中有可能抽到红桃K 或方块K ，即有可能抽到K ，故事件A ，B 有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更加不是对立事件．以下考虑它们是否为相互独立事件：抽到K 的概率为P (A )＝452＝113抽到红牌的概率为P (B )＝2652＝12，故P (A )P (B )＝113×12＝126， 事件AB 为“既抽到K 又抽到红牌”，即“抽到红桃K 或方块K”，故P (AB )＝252＝126，从而有P (A )P (B )＝P (AB )，因此A 与B 是相互独立事件．(2)从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张．抽到K 就不可能抽到J ，抽到J 就不可能抽到K ，故事件C 与事件A 不可能同时发生，A 与C 互斥．由于P (A )＝113≠0.P (C )＝113≠0，而P (AC )＝0，所以A 与C 不是相互独立事件，又抽不到K 不一定抽到J ，故A 与C 并非对立事件.题型二 相互独立事件同时发生的概率例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：（1）两人都中靶；（2）恰好有一人中靶；（3）两人都脱靶；（4）至少有一人中靶.【答案】（1）0.72 （2）0.26 （3）0.02 （4）0.98【解析】 设A =“甲中靶”, B =“乙中靶”,则A =“甲脱靶”,B =“乙脱靶”,由于两个人射击的结果互不影响,所以A 与B 相互独立,A 与B ,A 与B ,A 与B 都相互独立由已知可得,()()()()0.8,0.9,0.2,0.1P A P B P A P B ====.（1）AB = “两人都中靶”,由事件独立性的定义得()()()0.80.90.72P AB P A P B =⋅=⨯=（2）“恰好有一人中靶” AB AB =,且AB 与AB 互斥根据概率的加法公式和事件独立性定义,得 ()()()P AB AB P AB P AB =+()()()()P A P B P A P B =⋅+⋅ 0.80.10.20.90.26=⨯+⨯= （3）事件“两人都脱靶”AB =, 所以()()()P AB P A P B =⋅ ()()10.810.90.02=-⨯-=（4）方法1：事件“至少有一人中靶”ABAB AB =,且AB ,AB 与AB 两两互斥, 所以()P AB AB AB ()()()P AB P AB P AB =++()()P AB P AB AB =+ 0.720.260.98=+=方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶”的概率为()110.020.98P AB -=-=解题技巧 (相互独立事件同时发生的概率)解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若A ，B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解．跟踪训练二1. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14，两人租车时间都不会超过四小时． (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．【答案】(1) 516．(2) 516． 【解析】甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为1－14－12＝14.1－12－14＝14. (1)租车费用相同可分为租车费都为0元、2元、4元三种情况．租车费都为0元的概率为p 1＝14×12＝18，租车费都为2元的概率为p 2＝12×14＝18，租车费都为4元的概率为p 3＝14×14＝116. 所以甲、乙所付租车费用相同的概率为p ＝p 1＋p 2＋p 3＝516. (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则“ξ＝4”表示“两人的租车费用之和为4元”，其可能的情况是甲、乙的租车费分别为①0元、4元，②2元、2元，③4元、0元．所以可得P (ξ＝4)＝14×14＋12×14＋14×12＝516，即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为516. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本249页练习，250页习题10.2.两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响一般地，两个事件不可能即互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的.。
10.2事件的相互独立性教学设计2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册+
必修二 10.2 事件的相互独立性教学设计（一）课时教学内容概率——事件的相互独立性（二）课时教学目标1.通过经历有放回摸球的具体实例，直观感知两个随机事件独立的含义，利用有限样本空间和古典概型的认识，通过归纳类比，数学运算得出事件独立性的含义，在此过程中发展学生的抽象能力和逻辑推理素养。
2.能利用独立性定义及性质计算古典概型中积事件的概率或一些复杂事件的概率。
（三）教学重点与难点“重点”：了解两个事件相互独立的含义，利用事件的独立性解决有关概率计算问题。
“难点”：在实际问题情境中判断事件的独立性．让学生经历用直观与定义两种方式判断给定的两个事件是否独立，促进学生对独立性的理解.（四）教学过程设计一、引入引例：周易中有“兄弟同心，其利断金.”本节课我们将在一个具体情境中求证这句话。
对于一个问题，已知甲独自解出问题的概率为0.8，兄弟二人，老大、老二独自解出问题的概率分别为0.6，0.5，设两个人中至少有一个人解出问题的概率为P,比较P与0.8的大小?引导语：积事件AB就是事件A与事件B同时发生.积事件AB发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关系.这种关系会是怎样的呢? 本节课，我们来讨论积事件的概率计算有关的问题。
师生活动：教师提出引例问题，学生进行思考，在经历对基本情况的探究后，学生较容易得到P(B∪C)=P(B)+P(C)−P(BC)或P(B∪C)=1−−P(B̅C)及P(B∪C)=P(BC∪BC∪B̅C)=P(BC)+P(BC)+P(B̅C)。
设计意图：通过一个具体实例，引出本节课需要解决的问题。
二、事件的独立性探究一：事件的相互独立性的含义1.具体试验的分析一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设事件A=“第一次摸到球的标号小于3”，事件B=“第二次摸到球的标号小于3”.问题1：你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？师生活动：教师提出问题，学生进行思考后回答，教师关注学生如何解释自己的思考过程。
10.2事件的相互独立性教案-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
10.2事件的相互独立性教学目标：1.通过阅读课本理解两个事件相互独立的概念．2．通过实例的学习能进行一些与事件独立有关的概念的计算．3. 通过对实例的分析，会进行简单的应用.教学重点：理解两个事件相互独立的概念，利用事件的独立性解决实际问题．教学难点：在实际问题情境中判断事件的独立性．教学过程：一、导入新课，板书课题前面我们研究过互斥事件，对立事件的概率性质，还研究过和事件的概率计算方法，对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗？我们知道积事件AB就是事件A与事件B同时发生，因此，积事件AB发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关系，那么这种关系会是怎样的呢？【板书：事件的相互独立性】二、出示目标，明确任务1.理解两个事件相互独立的概念．2．能进行一些与事件独立有关的概念的计算．3. 会进行简单的应用.三、学生自学，独立思考学生看书，教师巡视，督促学生认真看书（4min）下面，阅读课本P246--P249练习以上内容，思考如下问题：1.找出阅读内容中的知识点。
2.找出阅读内容中的重点。
3.找出阅读内容中的困惑点，疑难点。
四、自学指导，紧扣教材1.自学指导1（7min）阅读课本246-249页，思考并完成以下问题（1）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？分别计算P(A),P(B),P(AB),看看它们之间有什么关系？（2）试验2中事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？分别计算P(A),P(B),P(AB),看看它们之间有什么关系？（3）什么是相互独立事件？（4）考虑必然事件与任意一个随机事件是否相互独立？不可能事件与任意一个随机事件是否相互独立？为什么？（5）试验2的有放回摸球试验中，事件A与B，事件A与B，事件A与B是否独立？为什么？2.自学指导2（5min）（1）按照五步法认真阅读例1，思考例1中的样本空间有哪些？（2）按照五步法认真阅读例2，思考各个事件如何用集合语言表示随机事件？（3）按照五步法认真阅读例3，思考如何利用事件的互斥关系的性质与事件独立性计算两个事件积AB的概率？五、自学展示，精讲点拨1.学生口头回答自学指导问题，教师点拨并板书（答案见PPT）精讲点拨：点拨1.互斥事件和相互独立事件是两个不同概念:点拨2.两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生;点拨3.两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响。
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两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生;
两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响。
相互独立事件的判断方法
1.定义法：P(AB)=P(A)P(B)
2.直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响。
例1.一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异，采用不放回方式从中任意摸球两次，设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立？
分别计算P(A),P(B),P(AB),看看它们之间有什么关系？
样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}包含16个等可能的样本点.
而A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)},
B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}, AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},
解：因为样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4},且m≠n},共有12个样本点A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)},
B={(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},
AB={(1,2),(2,1)}
所以此时P(AB)≠P(A)P(B),因此，事件A与事件B不独立.
例2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8,
乙的中靶概率为0.9,求下列事件的概率：
于是也有P(AB)=P(A)P(B).积事件AB的概率P(AB)也等于P(A),P(B)的乘积.
相互独立事件的定义:
设A,B两个事件,如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响(即P(AB)=P(A)P(B)),则称事件A与事件B相互独立.简称独立.
显然:(1)必然事件及不可能事件与任何事件A相互独立.
10.2事件的相互独立性
本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教A版）第十章《10.2事件的相互独立性》，本节课主要事在已学互斥事件和对立事件基础上进一步了解事件之间的关系，相互独立性是另一种重要的事件关系，注意对概率思想方法的理解。发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
课程目标
学科素养
③袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球.
事件A：第一次从中任取一个球是白球.
事件B：第二次从中任取一个球是白球.
是;是;不是
2.下列事件中，A，B是相互独立事件的是()
A．一枚硬币掷两次，A＝{第一次为正面}，B＝{第二次为反面}
B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝{第一次摸到白球}，B＝{第二次摸到白球}
A.理解两个事件相互独立的概念．
B．能进行一些与事件独立有关的概念的计算．
C.通过对实例的分析，会进行简单的应用.
1.数学建模：相互独立事件的判定
2.逻辑推理：相互独立事件与互斥事件的关系ຫໍສະໝຸດ 3.数学运算：相互独立事件概率的计算
4.数据抽象：相互独立事件的概念
1.教学重点：理解两个事件相互独立的概念
2.教学难点：事件独立有关的概念的计算
而A={(1,1),(1,0)},B={(1,0),(0,0)},
所以AB={(1,0)}.
由古典概型概率计算公式，得P(A)=P(B)=0.5, P(AB)=0.25.
于是P(AB)=P(A)P(B).
积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.
分析：因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率
(2)若事件A与B相互独立,则以下三对事件也相互独立:
① ② ③
例如证①
1.判断下列事件是否为相互独立事件.
①篮球比赛的“罚球两次”中，
事件A：第一次罚球，球进了.
事件B：第二次罚球，球进了.
②袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球.
事件A：第一次从中任取一个球是白球.
事件B：第二次从中任取一个球是白球.
思考2:一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”.事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？
分析：对于试验2,因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率.
下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题。
思考1:分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？
分别计算P(A),P(B),P(AB),看看它们之间有什么关系？
用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，
则样本空间为Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)},包含4个等可能的样本点.
多媒体
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
一、探究新知
前面我们研究过互斥事件，对立事件的概率性质，还研究过和事件的概率计算方法，对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗？
我们知道积事件AB就是事件A与事件B同时发生，因此，积事件AB发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关系，那么这种关系会是怎样的呢？
C．掷一枚骰子，A＝{出现点数为奇数}，B＝{出现点数为偶数}
D．A＝{人能活到20岁}，B＝{人能活到50岁}
答案：A
解析：把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是独立事件；
B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；
对于C，A，B应为互斥事件，不相互独立；
D是条件概率，事件B受事件A的影响．
3.抛掷一枚均匀的骰子一次,记事件A=“出现偶数点”,B=“出现3点或6点”,则事件A与B的关系是()
A.互斥B.相互独立
C.既相互互斥又相互独立事件
D.既不互斥又不相互独立事件
答案:B
解析:因为A={2,4,6},B={3,6},A∩B={6},
所以P(A)= ,P(B)= ,P(AB)= ,所以A与B相互独立.