(湖南省)2014年高考真题数学(文)试题
2014年高考湖南文科数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文科)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分,共50分，在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求． （1）【2014年湖南，文1，5分】设命题2:,10p x R x ∀∈+>,则p ⌝为（ ）（A ）200,10x R x ∃∈+> (B ）200,10x R x ∃∈+≤ （C ）200,10x R x ∃∈+< （D ）200,10x R x ∀∈+≤ 【答案】B【解析】全称命题的否定是特称命题，所以命题p 的否定为200,10x R x ∃∈+≤，故选B ． （2)【2014年湖南，文2,5分】已知集合{|2},{|13}A x x B x x =>=<<，则A B =（ )（A ）{|2}x x > （B ）{|1}x x > (C ）{|23}x x << （D ）{|13}x x << 【答案】C【解析】由题可得{|23}A B x x =<<，故选C ．(3)【2014年湖南，文3，5分】对一个容器为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ,则（ ）（A ）123p p p =< (B)231p p p =< （C ）132p p p =< （D ）123p p p == 【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样,分层抽样，系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即123p p p ==，故选D ． （4)【2014年湖南，文4，5分】下列函数中，既是偶函数又在区间(),0-∞上单调递增的是( )（A ）21()f x x =（B ）2()1f x x =+ （C ）3()f x x = (D)()2xf x -=【答案】A【解析】根据函数奇偶性的判断可得选项A 、B 为偶函数，C 为奇函数，D 为非奇非偶函数，所以排除C 、D 选项．由二次函数的图像可得选项B 在(),0-∞是单调递减的，根据排除法选A ．因为函数2y x =在(),0-∞是单调递减的且1y x=在()0,+∞是单调递增的，所以根据复合函数单调性的判断同增异减可得选项A 在(),0-∞是单调递减的，故选A ．（5）【2014年湖南,文5，5分】在区间[]2,3-上随机选取一个数X ，则1X ≤的概率为（ ）（A ）45 （B)35 (C ）25 （D ）15【答案】B【解析】在[]2,3-上符合1X ≤的区间为[]2,1-，因为[]2,3-的区间长度为5且区间[]2,1-的区间长度为3,所以根据几何概型的概率计算公式可得35p =,故选B ． （6）【2014年湖南，文6,5分】若圆221:1C x y +=21x=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =( ）(A ）21 （B ）19 （C ）9 （D ）11- 【答案】C【解析】因为()()22226803425x y x y m x y m +--+=⇒-+-=-，所以25025m m ->⇒<且圆2C的圆心为()3,4,半径为25m -，根据圆和圆外切的判定可得()()2230401259m m -+-=+-⇒=,故选C ．(7）【2014年湖南，文7，5分】执行如图所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出的S 属于( )（A ）[]6,2-- （B)[]5,1-- （C ）[]4,5- （D ）[]3,6- 【答案】D【解析】当[]2,0t ∈-时,运行程序如下:(]2211,9t t =+∈，(]32,6S t =-∈-，当[]0,2t ∈时，(]33,1S t =-∈--,则(][][]2,63,13,6S ∈---=-，故选D ．(8）【2014年湖南,文8，5分】一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于( ）（A)1 (B ）2 （C ）3 (D ）4 【答案】B 【解析】由图可得该几何体为三棱柱，因为正视图、侧视图和俯视图的内切圆半径最小的是正视图（直角三角形）所对应的2121ln ln x x e x x x -<- C.内切圆，所以最大球的半径为正视图直角形内切 圆的半径r ，则2286862r r r -+-=+⇒=，故选B ．（9）【2014年湖南，文9，5分】若1201x x <<<，则（ ）（A ）2121ln ln x x e e x x ->- （B ）2121ln ln x x e e x x -<- (C ）1221x x x e x e > （D ）1221x x x e x e < 【答案】C【解析】设()ln x f x e x =-,则(]0,1x ∈时,()1xf x e x'=-的符号不确定，()f x ∴的单调性不确定．设()x e g x x =,则()0,1x ∈时，()()210xx eg x x -'=<，()g x ∴在()0,1上单调递减，()()1212122112x x x x e e g x g x x e x e x x ∴<⇒<⇒<,故选C ．(10)【2014年湖南,文10，5分】在平面直角坐标系中，O 为原点,(1,0),(03),(30)A B C -，，，动点D 满足||1CD =，则||OA OB OD ++的取值范围是( ）（A)[4,6] （B ）[19119+1]-， （C ）[2327]，（D ）[717+1]-， 【答案】D【解析】点D 的轨迹是以C 为圆心的单位圆，设()[)()3cos ,sin 0,2D θθθπ+∈，则OA OB OD ++()()()223cos 1sin 3822cos 3sin θθθθ=+-++=++．因为2cos 3sin θθ+的取值范围是()()222223,237,7⎡⎤⎡⎤-++=-⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故827,82771,71OA OB OD ⎡⎤⎡⎤++∈-+=-+⎣⎦⎢⎥⎣⎦,故选D ． 二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．(11）【2014年湖南,文11，5分】复数23i i +（i 为虚数单位）的实部等于 ．【答案】3-【解析】由题可得所以23i 3i i +=--，3i --的实部为3-．（12）【2014年湖南，文12,5分】在平面直角坐标系中,曲线222:212x t C y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）的普通方程为 ．【答案】10x y --= 【解析】联立222:212x t C y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消t 可得110x y x y -=⇒--=．（13）【2014年湖南，文13，5分】若变量y x ，满足约束条件41y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,则2z x y =+的最大值为 ．【答案】7【解析】作出不等式组41y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的区域如下，则根据线性规划的知识可得目标函数2z x y =+在点()3,1处取得最大值7．（14）【2014年湖南，文14,5分】平面上以机器人在行进中始终保持与点(1,0)F 的距离和到直 线1x =-的距离相等．若机器人接触不到过点()10P -，且斜率为k 的直线,则k 的取值范围是 ． 【答案】()(),11,-∞-+∞【解析】由题设知机器人在以点(1,0)F 为焦点的抛物线24y x =上,且()1y k x =+与抛物线24y x =无交点，()22441y xy y k k y k x ⎧=⎪⇒=⋅+⇒⎨=+⎪⎩方程204y k y k ⋅-+=无实根，则0k ≠且2101k k ∆=-<⇒<-或1k >, 所以()(),11,k ∈-∞-+∞．（15）【2014年湖南，文15，5分】若()()3ln 1xf x e ax =++是偶函数,则a = ．【答案】23-【解析】因为()f x 为偶函数，所以()()()()33ln 1ln 1x x f x f x e ax e ax --=⇒+-=++⇒()()333ln 13ln 1322x x e x ax e ax x ax a +--=++⇒-=⇒=-．三、解答题:本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（16）【2014年湖南,文16，12分】已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS n N *+=∈，．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2(1)n ann n b a =+-,求数列{}n b 的前2n 项和．解：（1）当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，1n n n a S S n -=-=，∴*()n a n n N =∈． (2）由题意得：2(1)2(1)n a n n n n n b a n =+-=+-，∴数列{}n b 的前2n 项和2n T 为22212(222)(12342)22n n n T n n +=++++-+-+-+=-+． （17）【2014年湖南，文17，12分】某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下： (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b其中a a ，分别表示甲组研发成功和失败;b b ，分别表示乙组研发成功和失败． （1）若某组成功研发一种新产品，则给改组记1分，否记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差,并比较甲、乙两组的研发水平；（2）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率．解：(1）甲组研发新产品的成绩为1,1，1,0，0,1,1,1，0，1,0,1,1,0，1，其平均数为102==153x 甲．方差为2221222=[(1)10(0)5]15339S -⨯+-⨯=甲;乙组研发新产品的成绩为1,0，1，1,0，1,1，0,1，0,0，1,0,1,1,其平均数为93==155x 乙．方差为2221336=[(1)9(0)6]155525S -⨯+-⨯=乙 22><x x S S 甲乙甲乙，，∴甲组的研发水平优于乙组的研发水平．（2）记E =｛恰有一组研发成功}，在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a b a b a b a b a b a b 共有7个，根据古典概型的概率计算公式可得()715P E =． (18）【2014年湖南,文18,12分】如图，已知二面角MN αβ--的大小为60°，菱形ABCD在面β内，,A B 两点在棱MN 上，BAD ∠=60°,E 是AB 的中点,DO ⊥面α，垂足为 O ．(1）证明:AB ⊥平面ODE ；（2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值． 解：（1）∵DO α⊥，AB α⊂，∴DO AB ⊥．∵四边形ABCD 问菱形，60BAD ∠=︒，连结BD ，则ABD ∆为正三角形．又E 为AB 的中点，∴DE AB ⊥．而DO DE D =,∴AB ⊥平面ODE ． （2）∵//BC AD ，∴ADO ∠是直线BC ，OD 所成的角． 由（1)知,AB ⊥平面ODE ,∴AB OE ⊥，AB DE ⊥，∴DEO ∠是二面角MN αβ--的平面角,∴60DEO ∠=︒．设2AB =,则2AD =，3DE =，3sin 602DO DE =︒=．连结AO ，则3cos 4DO ADO AD ∠==，∴异面直线BC ，OD 所成的角的余弦值为34．（19）【2014年湖南，文19,13分】如图，在平面四边形ABCD 中，DA AB ⊥,1DE =,7EC =，2EA =，23ADC π∠=，3BEC π∠=． (1）求sin CED ∠的值； （2）求BE 的长． 解：（1）在CDE ∆中，222+2cos EC CD DE CD DE EDC =-⋅⋅∠．即227+1+CD CD =，2+60CD CD -=，2CD ∴=（3CD =-舍去），设CED α∠=，sin sin EC CDD α=∠，即722sin sin 3πα=，21sin 7α∴=． (2）0<<3πα，21sin 7α=，27cos 7α∴=， 2227cos cos()cos cos +sin sin 33314AEB πππααα∴∠=-==， 在ABE ∆中，cos EAAEB BE ∠=，247cos 7/14EA BE AEB ∴===∠．(20）【2014年湖南，文20，13分】如图，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)y x C a b a b +=>>均过点23(,1)3P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形． （1）求12,C C 的方程；（2）是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=？证明你的结论．解：（1)设2C 的焦距为22c ，则12222a c ==，∴121a c ==．23(,1)3P 在1C 上，∴2212123:()13y C b -=,213b =． 由椭圆定义知，2222223232()(11)()(11)2333a =+-+++=，∴23a =，2222222b a c =-=， ∴12,C C 的方程分别为22221,1332y y x x -=+=．（2）不存在符合题设条件的直线．①若l x ⊥轴，∵l 与2C 只有一个公共点，∴l 的方程为2x =或2x =-．当2x =时，易得()2,3A ,()2,3B-， ||22,||23OA OB AB +==,此时||||OA OB AB +≠．②若l 不垂直x 轴，设:l y kx m =+，代入双曲线方程整理得222(3)230k x k m x m ----=．当l 与1C 有两个交点()11,A x y ，()22,B x y 时，12223k mx x k +=-，212233m x x k +=-,于是222212121212233()()()3k m y y kx b kx b k x x km x x m k -=++=+++=-，再将y kx b =+代入椭圆方程整理得222(23)4260k x k m x m +++-=，∵l 与2C 只有一个公共点，∴由0∆=,可得2223k m =-,于是有22222212122222333323303333m k m k m k OA OB x x y y k k k k +--+--⋅=+=+==≠----∴2222||||||||40OA OB AB OA OB OB OA OA OB +-=+--=⋅≠，即||||OA OB AB +≠． 综合①②可知，不存在符合题设条件的直线．（21）【2014年湖南,文21,13分】已知函数()cos sin 1(0)f x x x x x =-+>．（1)求()f x 的单调区间；（2）记i x 为()f x 的从小到大的第*()i i N ∈个零点，证明：对一切*n N ∈，有2221211123n x x x +++<．解:（1）()cos sin cos f x x x x x '=--，令()0f x '=，则*()x k k N π=∈． 当(2,2)()x k k k N πππ∈+∈时,()0f x '<，当(2,22)()x k k k N ππππ∈++∈时，()0f x '>，∴()f x 的单调减区间为(2,2)()k k k N πππ+∈, ()f x 的单调增区间为(2,22)()k k k N ππππ++∈． （2)由(1）知,()f x 在区间(0,)π上单调递减,∵()02f π=,∴12x π=．当*n N ∈时，∵1()()[(1)1][(1)(1)1]0n n f n f n n n πππππ+⋅+=-+⋅-++<， 且()f x 的图像是连续不断的，∴()f x 在区间(,)n n πππ+内至少有一个实根,又()f x 在区间(,)n n πππ+上是单调的，∴1n n x n πππ+<<+．由此可得 222222221211111111111[41][41]23(1)1223(2)(1)n x x x n n n ππ+++<+++++<+++++-⨯⨯--2222111111111162[41(1)()()](411)(6)22321113n n n n ππππ=++-+-++-=++-=-<<---- 综上可知，对一切*n N ∈,都有2221211123n x x x +++<．。
14年高考真题——理科数学(湖南卷)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南）卷数学（理科）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．满足z i i z+=（i 为虚数单位）的复数z =（ ） （A ）1122i + （B ）1122i - （C ）1122i -+ （D ）1122i -- 2．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别是123,,p p p ，则（ ）（A ）123p p p =< （B ）231p p p =< （C ）132p p p =< （D ）123p p p ==3．()(),f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()321f x g x x x -=++，则()()11f g +=（ ） （A ）3- （B ）1- （C ）1 （D ）34．5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中23x y 的系数是（ ） （A ）20- （B ）5-0 （C ）5 （D ）205．已知命题p ：若x y >，则x y -<-；命题q ：若x y >，则22x y >。
在命题①p q ∧ ②p q ∨ ③()p q ∧⌝ ④()p q ⌝∨中，真命题是（ ）（A ）①③ （B ）①④（C ）②③ （D ）②④6．执行如图1所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出的S 属于（ ）（A ）[]6,2-- （B ）[]5,1--（C ）[]4,5- （D ）[]3,6-7．一块石材表示的几何何的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）48．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（ ）（A ）2p q + （B ）()()1112p q ++- （C（D1 9．已知函数()()sin f x x ϕ=-，且()2300f x dx π⎰=，则函数()f x 的图象的一条对称轴是（ ） （A ）56x π= （B ）712x π= （C ）3x π= （D ）6x π= 10．已知函数()()2102x f x x e x =+-<与()()2ln g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）（A ）(-∞（B ）(-∞（C）(-（D）( 二．填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分）（一）选做题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）11．在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos :1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）交于,A B 两点，且||2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是_________________。
2014年高考新课标2卷文科数学试题(解析版)
2014年高考新课标2卷文科数学试题(解析版)D（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7【答案】 D 【解析】.3 7 2 2 5 2 1 3 1 ,2,2D K S M t x 故选变量变化情况如下：==（9）设x ，y 满足的约束条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为（A ）8 （B ）7 （C ）2 （D ）1【答案】 B 【解析】..7,2).1,0(),2,3(),0,1(.B y x z 故选则最大值为代入两两求解，得三点坐标，可以代值画可行区域知为三角形+=（10）设F 为抛物线2:y =3x C 的焦点，过F 且倾斜角为°30的直线交于C 于,A B 两点，则AB = （A ）303（B ）6 （C ）12 （D ）3 【答案】 C【解析】..1222.6∴),3-2(23),32(233-4322,34322).0,43(2,2C n m BF AF AB n m n m n n m m F n BF m AF 故选，解得角三角形知识可得，则由抛物线的定义和直，设=+=+==+=+=•=+•===（11）若函数()ln f x kx x =-在区间（1，+∞）单调递增，则k 的取值范围是（A ）(],2-∞- （B ）(],1-∞- （C ）[)2,+∞ （D ）[)1,+∞ 【答案】 D【解析】.),∞,1[.11≥.0≥1-)(ln -)(0)(),1()(D k xk xk x f x kx x f x f x f 选所以即恒成立上递增，在+∈>=′∴=≥′∴+∞（12）设点0(x ,1)M ，若在圆22:x y =1O +上存在点N ，使得°45OMN ∠=,则0x 的取值范围是（A ）[]1,1- （B ）1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， （C ）2,2⎡-⎣ （D ） 2222⎡-⎢⎣⎦，【答案】 A 【解析】.].1,1-[∈x .,1)M(x 1,y O 00A 故选形外角知识，可得由圆的切线相等及三角在直线上其中和直线在坐标系中画出圆=第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2014年高考数学试题湖南卷(理科)及答案详解word版
2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(理工农医类)本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共5页,时间120分钟,满分150分.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.满足(z i i i z+=为虚数单位)的复数z =( )A ．1122i + B ．1122i - C ．1122i -+ D ．1122i--2.对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别是123,,p p p 则( )A ．123p p p =< B ．231pp p =< C ．132pp p =< D ．123pp p ==3.已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且32()()1f x g x x x -=++,则(1)(1)f g +=()A ．－3B ．－1C ．1D ．34.51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是( )A ．－20B ．－5C ．5D ．205.已知命题:p 若x y >,则x y -<-,命题:q 若x y >,则22x y >.在命题:①p q ∧②p q ∨③()p q ∧⌝④()p q ⌝∨中,真命题是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④6.执行如图右所示的程序框图,如果输入的[t ∈于( )A. [6,2]-- B ．[5,1]-- C ．[4,5]- D ．[3,6]-7. 打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．48.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A ．2p q + B ．(1)(1)12p q ++- C D ．19.已知函数()sin(),f x x ϕ=-且230()0f x dx π=⎰,则函数()f x 的图象的一条对称轴是( )正视图侧视图俯视图A ．56x π= B ．712x π= C ．3x π= D ．6x π=10.已知函数21()(0)2x f x x e x =+-<与2()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点,则a 的取值范围是( ) A．(-∞ B．(-∞ C．( D．(二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分. (一)选做题(请考生在第11、12、13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)11.在平面直角坐标系中,倾斜角为4π的直线l 与曲线2c os ,:(1sin x C y ααα=+⎧⎨=+⎩为参数)交于 A B 、两点,且||2AB =,以坐标原点O为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l 的极坐标方程是 .12.如图右,已知,AB BC 是O 的两条弦,,AO BC AB BC ⊥=则O 的半径等于.13.若关于x的不等式|2|3ax -<的解集为51{|}33x x -<<,则a = .(二)必做题(14-16题)ABDCO14.若变量,x y 满足约束条件,4,y x x y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,且2z x y =+的最小值为－6,则k = .15.如图右,正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为,()a b a b <, 原点O 为AD 的中点,抛物线22(0)ypx p =>经过,C F 两点,则b a =.16.在平面直角坐标系中,O 为原点,(1,0),(3,0)A B C -,动点D 满足||1CD =,则||OA OB OD ++的最大值是.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立.(Ⅰ)求至少有一种新产品研发成功的概率;(Ⅱ)若新产品A 研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B 研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.18.(本小题满分12分)如图右,在平面四边形ABCD 中,1,2,AD CD AC ===(Ⅰ)求cos CAD ∠的值;(Ⅱ)若cos BAD CBA ∠=∠=求BC 的长.19.(本小题满分12分)如图,四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等,11111,,ACBD O AC B D O ==四边形11ACC A 和四边形11BDD B 均为矩形.(Ⅰ)证明:1O O ⊥底面ABCD ;(Ⅱ)若60CBA ∠=,求二面角11C OB D --的余弦值.A 1B 1C 1D 1O 1ACDBO已知数列{}na 满足*111,||,.n n n aa a p n N +=-=∈(Ⅰ)若{}na 是递增数列,且123,2,3a a a 成等差数列,求p 的值; (Ⅱ)若12p =,且21{}n a-是递增数列,2{}n a 是递减数列,求数列{}n a 的通项公式.21.(本小题满分13分)如图右,O 为坐标原点,椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ,离心率为1e ;双曲线22222:x y C a b-1=的左、右焦点分别为34,F F ,离心率为2e .已知12e e =且24|| 1.F F =(Ⅰ)求12,C C 的方程;(Ⅱ)过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦,AB M 为AB 的中点.当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.已知常数0a >,函数2()ln(1).2xf x ax x =+-+ (Ⅰ)讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性;(Ⅱ)若()f x 存在两个极值点12,,x x 且12()()0,f x f x +>求a 的取值范围.参考答案一.选择题1【解】选B.由(1)1111(1)(1)222z i i i i i iz i zi i i +---=====-----,即选B.2【解】选D. 根据随机抽样的原理可得简单随机抽样、分层抽样、系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即123p p p ==,故选D.3【解】选C.由函数奇偶性,联想转 化:32(1)(1)(1)(1)(1)(1)11f g f g +=---=-+-+=.4【解】选A.二项式51(2)2x y -的通项为()5151()2,,2r r rr T C x y r r N -+=-≤5∈,令3r =时,()33223451()2202TC x y x y =-=-,故选A.5【解】选C.显然p 真q 假,6【解】选D. 由程序框图可知①当[)2,0t ∈-时,运行程序如下,(]2211,9,3t t S t =+∈=-∈②当[]0,2t ∈时,则[]33,1S t =-∈--;综上①②可知,(][][]2,63,13,6S ∈---=-故选D.7【解】选B.由三视图可得该几何体为三棱柱(正视图侧视图宽为6的矩形侧面与地面接触).易知不存在球与该三棱 柱的上、下底面及三个侧面同时相切,故最大的球是与其 三个侧面同时相切,所以最大球的半径为上(下)底面直角 三角形内切圆的半径r ,则681022r +-==,故选B.8【解】选D.设两年的年平均增长率为x , 则有()()()2111x p q +=++1x ⇒=,故选D.9【解】选A.由230()0f x dx π=⎰得,23cos()00x πϕ--=,即2cos cos()03πϕϕ--=,可化为3cos 02ϕϕ=,即tan ϕ可得,3k k Z πϕπ=+∈,也所以()sin()sin()3f x x x πϕ=-=±-,经检验可知A 选项符合.10【解】选B.依题意在曲线()g x 取一点(,())(0)x g x x >,则在曲线()f x 上存在一点(,())x f x --与之对应(关于y 轴对称),所以()()f xg x -=在0x >上有解,即221ln()2x x e x x a -+-=++,也即1ln()2x x a e -+=-在x >有解,由于121ln(),2x y x a y e -=+=-分别为(0,)+∞减函数,于是结合图象易知,方程1ln()2x x a e -+=-有解的充要条件为01ln 2a e -<-,即a 选B.二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分. 11【解】填(c o s s i n)ρθθ-=.依题意曲线C的普通方程为()()22211x y -+-=,设直线l 的方程为y x b =+,因为弦长2AB =,所以圆心()2,1到直线l 的距离0d =,y AB O所以圆心在直线l 上,故1y x =-sinsin )1ρθθθ=-=. 12【解】填32.设AOBC D =,易知BD =ABD ∆中由勾股定理可得1AD =,连接2222232(1)2OB BD OD r r r =+⇔=+-⇒=. 13【解】填-3 .由题可得52331233a a ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩3a ⇒=-,故填3-. (二)必做题(14-16题) 14【解】填 -2 .如右图所示,2k <,故当目标函数2y x z =-+过点(,)A k k 时,z 即63k -=,即2k =-.15【解】填1.由条件可知(,),(,)22a a C a Fb b + 上,代入C 点易得p a =,又代入F 点得2220b ab a --=,可化为2()210bb a a --=,得1b a =,又因为1b a >,所以1a=,即为所求.16【解】填1.由||1CD =知,动点(,)D x y 在:(C x 设(1,OA OB OD x y =++=-m ,则22||(1)(x y =-+m 其几何意义为C 上动点(,)D x y 与定点(1,E 如右图所示,由平面几何知,max||||1EC r =+=m .三.解答题A17【解】(Ⅰ)记E ={甲组研发新产品成功},F ={乙组研发新产品成功}.由题设知,E F相互独立,且23(),()35P E P F ==,又记事件 “至少有一种新产品研发成功”为M , 则2313()1()1()1()()13(1)(1)3515P M P M P EF P E P F =-=-=-=---= (6)分(Ⅱ)记该企业可获利润为ξ(万元),则ξ的可能取值有0,100,120,220. 且易知122133(0),(100)35153515P P ξξ==⨯===⨯=;224236(120),(220)35153515P P ξξ==⨯===⨯=; 故所求的分布列为(如右表所示): 且2346()010012022014015151515E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= (12)分18【解】(Ⅰ)如图右,在ADC ∆中,由余弦定理,得2227c o s 2AC AD CD CAD AC AD +-∠===⋅ (5)分(Ⅱ)设BAC α∠=,则BAD CAD α=∠-∠, 因为cos CAD BAD ∠∠=,且,(0,)CAD BAD π∠∠∈,所以sin CAD ∠==同理sin 14BAD ∠=, A CDBACDB于是sin sin()sin cos cos sin BAD CAD BAD CAD BAD CAD α=∠-∠=∠⋅∠-∠⋅∠,(147=-⋅=, (10)分所以在ABC ∆中,由正弦定理有sin 3sin AC BC CBAα===∠, 即为所求.………………12分19【解】(Ⅰ)证明:如图右,因为四边形11ACC A 为矩形,所以1C C A C ⊥,同理1DD BD ⊥, 因为11//CC DD ,所以1CCBD ⊥,而AC BD O =,因此1CC ⊥底面ABCD .由题设知11//OO CC ,故1O O ⊥底面ABCD ;………………6分(Ⅱ)解法1 如图右,由(Ⅰ)知1O O ⊥底面ABCD ,所以1O O ⊥底面1111A B C D ,于是1O O ⊥11AC .又由题设知四边形1111A B C D 是菱形,所以1111ACB D ⊥,而1111B D OO O =,故11AC ⊥平面11BDD B ,于是过点1O 作11O H B O ⊥于H ,连结1HC 则11HC B O ⊥(三垂线定理),故11C HO ∠是二面角11C OB D --的平面角.不妨设2AB =,因为60CBA ∠=,所以11,OB OC OB ===在11Rt OO B ∆中,11111OO O BO H OB ⋅==,而111OC=,于是1C H ==,A 1B 1HC 1D 1O 1ACDBO故11Rt HO C ∆中,有1111cos O H C HOC H ∠=== 即二面角11COB D --的余弦值为解法2 由题设知四边形ABCD 是菱形,所以AC 又(Ⅰ)已证1O O ⊥底面ABCD ,从而1,,OB OC OO 两两垂直,如图右,以O 为原点,1,,OB OC OO 所在直线分 别分x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系O xyz -. 不妨设2AB =,因为60CBA ∠=,所以1OB OC =,于是相关各点的坐标为11(0,0,0),(0,1,2)O B C ,易知1(0,1,0)=n是平面11BDD B 的一个法向量.设2(,,)x y z =n 是平面11OB C 一个法向量,则21210,0,OB OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即20,20.z y z +=+=⎪⎩ ,令z =则2,x y ==,故2=n ,设二面角11C OB D --的大小为θ,由图可知θ为锐角,于是121212||cos |cos ,|||||θ⋅=<>===⨯n n n n n n ,故二面角11COB D --的余弦值为分20【解】(Ⅰ)因为{}na 是递增数列,所以11||n n n n n aa a a p ++-=-=,而11a =,因为2231,1ap a p p =+=++,又123,2,3a a a 成等差数列,所以21343aa a =+,因而230p p -=,解得1,3p =或0p =,1当0p =时,1n n aa +=,这与{}n a 是递增数列矛盾.故13p =;………………………………6分(Ⅱ)由于21{}n a -是递增数列,因而21210n n a a +-->,于是212221()()0n n n n a a a a +--+->,……①而22121222111||()||()22n n n n n n a a a a -+--=<-=,……②由①②知,2210n n a a -->,即212211()2n n n a a ---=,……③因为2{}na 是递减数列,同理可得2120n n aa +-<,故22121()2n n n a a +-=-……④由③④即知,11*111(1)()(),2,22n n n nn a a n n N ----=-=--≥∈,所以112211()()()(2)nn n n n aa a a a a a a n ---=-+-++-+≥121111[()()()]1222n n --=--+-++-+1111()141121()()1233212n n ----=--=--+, 又当1n =时,11a=也适合上式,故1*411(),332n n a n N -=--∈.………………………13分21【解】(Ⅰ)因为12e e =所以22221222(1)(1)b b e e a a =-+= 得222ab =,从而24(,0),,0)F b F ,24||1b F F -=,即21,2b a ==,故12,C C 的方程分别为22221,122x x y y +=-=(Ⅱ)由(Ⅰ)易知1(1,0)F -,依题意设:1AB x my =-,1122(,),(,)A x y B x y ,由221,22x my x y =-⎧⎨+=⎩,得22(2)210m y my +--=,显然0>恒成立, 所以12122221,21m y y y y m m -+==++, 故121224()22x x m y y m -+=+-=+,于是AB 的中点222(,)22mM m m -++, 故直线PQ 的斜率为2m k -=,即直线:2m PQ y x =-,即20mx y +=,由22,222m y x x y ⎧=-⎪⎨⎪-=⎩得22(2)4m x -=,即2224(2)2x m m =<-,由双曲线的对称性易PQ =,由M 为AB 的中点,显然,A B 到直线PQ 的距离相等,即d =,所以2d =,又因为,A B 在直线20mx y +=的两侧,故1122(2)(2)0mx y mx y +⋅+<,于是22d ==,又因为12||y y -==即2d ,故四边形APBQ的面积为21||22)2S PQ d m =⋅=≤<, 由2022m <-≤,故当0m =时,S 有最小值2,综上所述,四边形APBQ 面积的最小值为2.………………13分22【解】(Ⅰ)由2222(2)24(1)'()1(2)(1)(2)a x x ax a f x ax x ax x +-+-=-=++++,(0x >)①当1a ≥时,'()0f x >;②当01a <<时,由()0f x '=得,12x x ==-舍去),且由于二次函数24(1)y ax a =+-的图象是开口向上的抛物线,故易知:当10x x <<时,'()0f x <,当1x x >时,'()0f x >,综上所述,当1a ≥时,()f x 在区间(0,)+∞上单调递增; 当01a <<时,()f x在区间上递减,在区间)+∞上递增.……6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知224(1)'()(1)(2)ax a f x ax x +-=++,所以①当1a ≥时,()0f x '≥,此时()f x 不存在极值点. ②当01a <<时,'()0f x =的两根为12x x ==- 依题意12,x x 是()f x 定义域上的两个极值点,故必有221,2x x a=--≠-, 解得12a ≠,结合二次函数24(1)y ax a =+-的图象可知,当101,2a a <<≠时,12,x x 分别是()f x 的极小值、极大值点.且12124(1)0,a x x x x a-+==. 而1212121222()()ln(1)ln(1)22x x f x f x ax ax x x +=+-++-++,212121212121244()ln[1()]2()4x x x x a x x a x x x x x x ++=+++-+++224(1)2ln(21)ln(21)2,2121a a a a a -=--=-+--- 令21(1,0)(0,1)t a =-∈-,则2122()()()ln 2,(11,0)f x f x g t t t t t+==+--<<≠,于是22(1)'()0t g t t -=<,即()g t 在(1,0),(0,1)t ∈-上递减,所以 ①当10t -<<时,()(1)40g t g <-=-<,与12()()()0f x f x g t +=>的题意矛盾,舍去;②当01t <<时,()(1)0g t g >=,符合题意.综上可知,要使12()()0,f x f x +>则必须有21(0,1)t a =-∈,即1(,1)2a ∈为所求.……13分。
2014年(全国卷II)(含答案)高考文科数学
2014年普通高等学校招生全国统一考试（2 新课标Ⅱ卷）数学(文)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1.已知集合2{2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则A ∩B=（ ） A. ∅ B. {}2 C. {0} D. {2}-2.131ii+=-（ ） A.12i + B. 12i -+ C. 12i - D. 12i --3.函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:()0p f x =：0:q x x =是()f x 的极值点，则（ ） A ．p 是q 的充分必要条件 B. p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 C. p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 D. p 既不是q 的充分条件，学科 网也不是q 的必要条件4.设向量,a b 满足10a b +=，6a b -=，则a b ⋅=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 55.等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ） A. (1)n n + B. (1)n n - C.(1)2n n + D. (1)2n n - 6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A.2717 B.95 C.2710 D.317.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.28.执行右面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =（ ） A.4 B.5 C.6 D.79.设x ，y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A.8B.7C.2D.110.设F 为抛物线2:+3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，则AB =（ ）A.3B.6C.12D.11.若函数()f x kx Inx =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ）A.(],2-∞-B.(],1-∞-C.[)2,+∞D.[)1,+∞12.设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）A.[－1,1]B.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.⎡⎣D.22⎡-⎢⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.14. 函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为________.15. 偶函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则)1(-f =________. 16.数列}{n a 满足2,1181=-=+a a a nn ，则=1a ________. 三、解答题：17.（本小题满分12分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，2,3,1====DA CD BC AB . （1）求C 和BD ；（2）求四边形ABCD 的面积.18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点.（1）证明：PB //平面AEC ；（2）设1,3AP AD ==，三棱锥P ABD -的体积34V =，求A 到平面PBC 的距离.19.（本小题满分12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两—部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：（1）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（2）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.20.（本小题满分12分）设12,F F 分别是椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N . （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN F N =，求,a b .21.（本小题满分12分）已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-. （1）求a ；（2）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于,B C ，2PC PA =，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E .证明：（1）BE EC =； （2）22AD DE PB ⋅=23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ,[0,]2πρθθ=∈.（1）求C 得参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数1()||||(0)f x x x a a a=++-> （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试（2 新课标Ⅱ卷）数学(文)试题参考答案：参考答案1．B 【解析】试题分析：由已知得，{}21B =，-，故{}2A B =，选B ． 考点：集合的运算． 2．B 【解析】试题分析：由已知得，131i i+-(13)(1i)2412(1i)(1i)2i ii ++-+===-+-+，选B ． 考点：复数的运算．3．C 【解析】试题分析：若0x x =是函数()f x 的极值点，则'0()0f x =；若'0()0f x =，则0x x =不一定是极值点，例如3()f x x =，当0x =时，'(0)0f =，但0x =不是极值点，故p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件，选C ．考点：1、函数的极值点；2、充分必要条件． 4．A 【解析】试题分析：由已知得，22210a a b b +⋅+=，2226a a b b -⋅+=，两式相减得，44a b ⋅=，故1a b ⋅=．考点：向量的数量积运算． 5．A 【解析】试题分析：由已知得，2428a a a =⋅，又因为{}n a 是公差为2的等差数列，故2222(2)(6)a d a a d +=⋅+，22(4)a +22(12)a a =⋅+，解得24a =，所以2(2)n a a n d =+-2n =，故1()(n 1)2n n n a a S n +==+．【考点】1、等差数列通项公式；2、等比中项；3、等差数列前n 项和． 6．C 【解析】 试题分析：由三视图还原几何体为一个小圆柱和大圆柱组成的简单组合体．其中小圆柱底面半径为2、高为4，大圆柱底面半径为3、高为2，则其体积和为22243234πππ⨯⨯+⨯⨯=，而圆柱形毛坯体积为23654ππ⨯⨯=，故切削部分体积为20π，从而切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为20105427ππ=． 考点：三视图． 7．C 【解析】 试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B =，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以111111133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==．考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积． 8．D 【解析】试题分析：输入2,2x t ==，在程序执行过程中，,,M S k 的值依次为1,3,1M S k ===；2,5,2M S k ===；2,7,3M S k ===，程序结束，输出7S =． 考点：程序框图． 9．B 【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数2z x y =+变形为122zy x =-+，当z 取到最大值时，直线122z y x =-+的纵截距最大，故只需将直线12y x =-经过可行域，尽可能平移到过A 点时，z 取到最大值． 10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，得(3,2)A ，所以max z 3227=+⨯=．考点：线性规划． 10．C 【解析】试题分析：由题意，得3(,0)4F ．又因为0k tan 30==故直线AB 的方程为3y )4=-，与抛物线2=3y x 联立，得21616890x x -+=，设1122(x ,y ),(x ,y )A B ，由抛物线定义得，12x x AB p =++= 168312162+=，选C ． 考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义． 11．D 【解析】试题分析：'1()f x k x =-，由已知得'()0f x ≥在()1,x ∈+∞恒成立，故1k x≥，因为1x >，所以101x<<，故k 的取值范围是[)1,+∞． 【考点】利用导数判断函数的单调性．12．A【解析】试题分析：依题意，直线MN 与圆O 有公共点即可，即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，过O 作OA ⊥MN ，垂足为A ，在Rt OMA ∆中，因为OMA ∠045=，故0sin 45OA OM ==1≤，所以OM ≤≤011x -≤≤．考点：1、解直角三角形；2、直线和圆的位置关系．13．13 【解析】试题分析：甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种有9种不同的结果，分别为（红，红），（红，白），（红，蓝），（白，红），（白，白），（白，蓝），（蓝，红），（蓝，白），（蓝，蓝）．他们选择相同颜色运动服有3种不同的结果，即（红，红），（白，白），（蓝，蓝），故他们选择相同颜色运动服的概率为3193P ==． 考点：古典概型的概率计算公式．14．1【解析】试题分析：由已知得，()sin cos cos sin 2cos sin f x x x x ϕϕϕ=+-sin cos cos sin x x ϕϕ=-sin()x ϕ=-1≤，故函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为1．考点：1、两角和与差的正弦公式；2、三角函数的性质．15．3【解析】试题分析：因为)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，故(3)(1)3f f ==，又因为)(x f y =是偶函数，故(1)(1)3f f -==．考点：1、函数图象的对称性；2、函数的奇偶性．16．12． 【解析】试题分析：由已知得，111n n a a +=-，82a =，所以781112a a =-=，67111a a =-=-，56112a a =-=， 451112a a =-=，34111a a =-=-，23112a a =-=，121112a a =-=．三、解答题（17）解：（I ）由题设及余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅=1312cos C - ， ①2222cos BD AB DA AB DA A =+-⋅54cos C =+. ②由①，②得1cos 2C =，故060C =，7BD = （Ⅱ）四边形ABCD 的面积11sin sin 22S AB DA A BC CD C =⋅+⋅ 011(1232)sin 6022=⨯⨯+⨯⨯ 23=（18）解：（I ）设BD 与AC 的交点为O ，连结EO.因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB.EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC,所以PB ∥平面AEC.（Ⅱ）V 166PA AB AD AB =⋅⋅=.由4V =，可得32AB =.作AH PB ⊥交PB 于H 。
2014年高考(湖南卷)文科数学
2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(文史类)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2014湖南，文1)设命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1＞0，则p 为( )A ．∃x 0∈R ，2010x +>B ．∃x 0∈R ，2010x +≤C ．∃x 0∈R ，2010x +<D ．∀x ∈R ，210x +≤ 答案：B解析：因为全称命题的否定为特称命题，所以p 为∃x 0∈R ，2010x +≤.故选B.2．(2014湖南，文2)已知集合A ＝{x |x ＞2}，B ＝{x |1＜x ＜3}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |x ＞2} B ．{x |x ＞1} C ．{x |2＜x ＜3} D ．{x |1＜x ＜3} 答案：C解析：由交集的概念，结合数轴(数轴略)可得A ∩B ＝{x |2＜x ＜3}．故选C. 3．(2014湖南，文3)对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2＜p 3B ．p 2＝p 3＜p 1C ．p 1＝p 3＜p 2D ．p 1＝p 2＝p 3 答案：D解析：由随机抽样的原则可知简单随机抽样、分层抽样、系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即p 1＝p 2＝p 3，故选D.4．(2014湖南，文4)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )A ．()21f x x=B ．f (x )＝x 2＋1C ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝2－x 答案：A解析：由偶函数的定义知，A ，B 为偶函数．A 选项，()32f x x '=-在(－∞，0)恒大于0；B 选项，f ′(x )＝2x 在(－∞，0)恒小于0.故选A.5．(2014湖南，文5)在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( )A ．45 B ．35 C ．25 D ．15答案：B解析：由几何概型的概率公式可得3(1)5P X ≤=，故选B. 6．(2014湖南，文6)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( ) A ．21 B ．19 C ．9 D ．－11 答案：C解析：易知圆C 1的圆心坐标为(0,0)，半径r 1＝1.将圆C 化为标准方程(x －3)2＋(y －4)2＝25－m (m ＜25)，得圆C 2的圆心坐标为(3,4)，半径2r m ＜25)．由两圆相外切得|C 1C 2|＝r 1＋r 2＝15，解方程得m ＝9.故选C.7．(2014湖南，文7)执行如图所示的程序框图．如果输入的t ∈[－2,2]，则输出的S 属于( )A ．[－6，－2]B ．[－5，－1]C ．[－4,5]D ．[－3,6] 答案：D解析：当t ∈[－2,0)时，执行以下程序：t ＝2t 2＋1∈(1,9]，S ＝t －3∈(－2,6]；当t ∈[0,2]时，执行S ＝t －3∈[－3，－1]，因此S ∈(－2,6]∪[－3，－1]＝[－3,6]．故选D.8．(2014湖南，文8)一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B解析：由三视图可得原石材为如下图所示的直三棱柱A 1B 1C 1－ABC ，且AB ＝8，BC ＝6，BB 1＝12.若要得到半径最大的球，则此球与平面A 1B 1BA ，BCC 1B 1，ACC 1A 1相切，故此时球的半径与△ABC 内切圆半径相等，故半径681022r +-==.故选B. 9．(2014湖南，文9)若0＜x 1＜x 2＜1，则( )A ．21e e xx－＞ln x 2－ln x 1 B ．21e e xx－＜ln x 2－ln x 1C ．1221e e x x x x >D ．1221e e x x x x < 答案：C解析：设f (x )＝e x－ln x ，则()e 1x x f x x⋅-'=.当x ＞0且x 趋近于0时，x ·e x －1＜0；当x ＝1时，x ·e x －1＞0，因此在(0,1)上必然存在x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)，因此A ，B 不正确；设()e x g x x =，当0＜x ＜1时，()2(1)e 0xx g x x -'=<，所以g (x )在(0,1)上为减函数．所以g (x 1)＞g (x 2)，即1212e e x x x x >，所以1221e e x x x x >.故选C. 10．(2014湖南，文10)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B ，C (3,0)，动点D 满足||1CD =，则||OA OB OD ++的取值范围是( )A ．[4,6] B． C． D．答案：D解析：设动点D 的坐标为(x ，y )，则由||1CD =得(x －3)2＋y 2＝1，所以D 点的轨迹是以(3,0)为圆心，1为半径的圆．又(1,3)OA OB OD x y ++=-+，所以||OA OB OD x ++=(，故||OA OB OD ++的最大值为(3,0)与(1,两点间的距离加1，最小值为(3,0)与(1,两点间的距离减11.故选D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．(2014湖南，文11)复数23ii+(i 为虚数单位)的实部等于__________． 答案：－3解析：由题意可得23i 3i3i i 1++==---，故复数的实部为－3. 12．(2014湖南，文12)在平面直角坐标系中，曲线C ：2,21x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)的普通方程为__________．答案：x －y －1＝0解析：两式相减得，x －y ＝2－1，即x －y －1＝0.13．(2014湖南，文13)若变量x ，y 满足约束条件,4,1,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则z ＝2x ＋y 的最大值为__________．答案：7解析：不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，作直线l 0：2x ＋y ＝0并平移，当直线经过点A (3,1)时，在y 轴上的截距最大，此时z 取得最大值，且最大值为7.14．(2014湖南，文14)平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是__________．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：由题意知，机器人行进的路线为抛物线y 2＝4x .由题意知过点P 的直线为y ＝kx ＋k (k ≠0)，要使机器人接触不到过点P 的直线，则直线与抛物线无公共点，联立方程得204k y y k -+=，即Δ＝1－k 2＜0，解得k ＞1或k ＜－1. 15．(2014湖南，文15)若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝__________. 答案：32-解析：由题意得f (－x )＝ln(e －3x＋1)－ax ＝331e ln exx +－ax ＝ln(1＋e 3x )－ln e 3x －ax ＝ln(e 3x＋1)－(3＋a )x ，而f (x )为偶函数，因此f (－x )＝f (x )，即ax ＝－(3＋a )x ，所以32a =-.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(本小题满分12分)(2014湖南，文16)已知数列{a n }的前n 项和22n n n S +=，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和．分析：在第(1)问中，通过S n 可求出a n ，在求解过程中要注意分n ＝1和n ≥2两种情况进行讨论；在第(2)问中，充分利用第(1)问的结论得到b n ＝2n ＋(－1)n n ，然后利用分组求和法分别计算(21＋22＋…＋22n )和(－1＋2－3＋…＋2n )，最后相加得到{b n }的前2n 项和．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，221(1)(1)22n n n n n n n a S S n -+-+--=-=＝. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)知，b n ＝2n ＋(－1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋ (22)，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则221212n A (-)=-＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.17．(本小题满分12分)(2014湖南，文17)某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )其中a ，a 分别表示甲组研发成功和失败；b ，b 分别表示乙组研发成功和失败．(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率． 分析：在第(1)问中，通过已知条件可分别写出甲、乙两组的成绩，然后利用平均数公式分别计算甲、乙两组的平均成绩，再结合方差公式得到甲、乙两组的方差，进而比较甲、乙两组的研发水平；在第(2)问中，充分利用古典概型的概率公式，转化为计算基本事件的个数，从而求得概率．解：(1)甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1，其平均数为102153x ==甲； 方差为22212221100515339s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦甲. 乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1， 其平均数为93155x ==乙； 方差为22213361906155525s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦乙. 因为x x >乙甲，22s s <乙甲， 所以甲组的研发水平优于乙组．(2)记E ＝{恰有一组研发成功}．在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，共7个．故事件E 发生的频率为715. 将频率视为概率，即得所求概率为()715P E =. 18．(本小题满分12分)(2014湖南，文18)如图，已知二面角α－MN －β的大小为60°，菱形ABCD 在面β内，A ，B 两点在棱MN 上，∠BAD ＝60°，E 是AB 的中点，DO ⊥面α，垂足为O .(1)证明：AB ⊥平面ODE ；(2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值．分析：在第(1)问中，可利用线面垂直的判定定理证明，由DO ⊥平面α可得到DO ⊥AB ，然后利用△ABD 为正三角形得到DE ⊥AB ，最后根据线面垂直的判定定理得出所证结论；在第(2)问中，充分利用第(1)问的结论AB ⊥平面ODE ，从而得到二面角α－MN －β的平面角，达到立几化平几的目的，即转化为求∠ADO 的余弦，然后利用解直角三角形的方法求出余弦值．解：(1)如图a ，因为DO ⊥α，AB ⊂α，所以DO ⊥AB .图a连接BD ，由题设知，△ABD 是正三角形． 又E 是AB 的中点，所以DE ⊥AB . 而DO ∩DE ＝D ，故AB ⊥平面ODE . (2)因为BC ∥AD ，所以BC 与OD 所成的角等于AD 与OD 所成的角，即∠ADO 是BC 与OD 所成的角．由(1)知，AB ⊥平面ODE ，所以AB ⊥OE . 又DE ⊥AB ，于是∠DEO 是二面角α－MN －β的平面角，从而∠DEO ＝60°.不妨设AB ＝2，则AD ＝2.易知DE =. 在Rt △DOE 中，DO ＝DE ·sin 60°＝32. 连接AO ，在Rt △AOD 中，332cos 24DO ADO AD ∠===.故异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为34.19．(本小题满分13分)(2014湖南，文19)如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC =EA ＝2，2π3ADC ∠=，π3BEC ∠=. (1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．分析：在第(1)问中，通过已知条件，借助余弦定理得到CD 的长，然后在△CDE 中，利用正弦定理得到∠CED 的正弦值；在第(2)问中，利用∠CED 的正弦值求得其余弦值，然后利用角之间的关系表示出∠AEB ，进而表示出∠AEB 的余弦值，最后在Rt △EAB 中利用边角关系，求得BE 的长．解：如题图，设∠CED ＝α.(1)在△CDE 中，由余弦定理，得EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC .于是由题设知，7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD －6＝0. 解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理，得sin sin EC CDEDC α=∠.于是，2πsin 23sin 7CD EC α⋅===，即sin 7CED ∠=.(2)由题设知，π03α<<，于是由(1)知，cos α===. 而2π3AEB α∠=-，所以2π2π2πcos cos()cos cos sin sin 333AEB ααα∠-=+＝＝11cos 227αα-=-=. 在Rt △EAB 中，2cos EA AEB BE BE ∠==，故2cos BE AEB ===∠20．(本小题满分13分)(2014湖南，文20)如图，O 为坐标原点，双曲线C 1：2222111x y a b -=(a 1＞0，b 1＞0)和椭圆C 2：2222221y x a b += (a 2＞b 2＞0)均过点P ⎫⎪⎪⎝⎭，且以C 1的两个顶点和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．(1)求C 1，C 2的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与C 1交于A ，B 两点，与C 2只有一个公共点，且||||OA OB AB +=？证明你的结论．分析：在第(1)问中，利用已知条件结合图形以及双曲线、椭圆中a ，b ，c 的几何意义，列出关于a 1，b 1，a 2，b 2的方程，得到它们的值，从而求出双曲线C 1、椭圆C 2的方程；在第(2)问中，首先对直线l 的斜率进行分类讨论，当斜率k 不存在时易得A ，B 两点的坐标，进而判断满足题设条件的直线l 不存在；当斜率k 存在时，可先设出l 的方程，然后代入曲线方程，利用根与系数的关系并结合向量的运算，依此判断满足题设条件的直线l 不存在．解：(1)设C 2的焦距为2c 2，由题意知，2c 2＝2,2a 1＝2.从而a 1＝1，c 2＝1.因为点P ⎫⎪⎪⎝⎭在双曲线22211y x b -=上，所以2211(13b -=.故213b =.由椭圆的定义知22a ==.于是2a =，2222222b a c =-=.故C 1，C 2的方程分别为2213y x -=，22132y x +=. (2)不存在符合题设条件的直线．①若直线l 垂直于x 轴，因为l 与C 2只有一个公共点，所以直线l的方程为x =x =当2x =时，易知2,3)A ，B ，所以||22OA OB +=，||23AB =. 此时，||||OA OB AB +≠.当x =||||OA OB AB +≠. ②若直线l 不垂直于x 轴，设l 的方程为y ＝kx ＋m .由22,13y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得(3－k 2)x 2－2kmx －m 2－3＝0.当l 与C 1相交于A ，B 两点时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，从而12223km x x k =-+，212233m x x k +=-.于是y 1y 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝222333k m k --. 由22,132y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得(2k 2＋3)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0.因为直线l 与C 2只有一个公共点，所以上述方程的判别式Δ＝16k 2m 2－8(2k 2＋3)(m 2－3)＝0.化简，得2k 2＝m 2－3，因此2222121222233330333m k m k OA OB x x y y k k k +---⋅==+=≠---+， 于是222222OA OB OA OB OA OB OA OB ++⋅≠+-⋅，即22OA OB OA OB +≠-｜｜｜｜，故||OA OB AB +≠. 综合①，②可知，不存在符合题设条件的直线．21．(本小题满分13分)(2014湖南，文21)已知函数f (x )＝x cos x －sin x ＋1(x ＞0)． (1)求f (x )的单调区间；(2)记x i 为f (x )的从小到大的第i (i ∈N *)个零点，证明：对一切n ∈N *，有2221211123n x x x +++<. 分析：在第(1)问中，通过已知条件，借助导数，转化为判断导数在(0，＋∞)上的符号，进而得出函数的单调区间；在第(2)问中，充分利用第(1)问的结论，得到f (x )在(n π，(n ＋1)π)上存在零点，从而得出n π＜x n ＋1＜(n ＋1)π，然后分n ＝1，n ＝2，n ≥3三；种情况讨论22212111n x x x +++的值与23的大小关系，即可得证．解：(1)f ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .令f ′(x )＝0，得x ＝k π(k ∈N *)．当x ∈(2k π，(2k ＋1)π)(k ∈N )时，sin x ＞0，此时f ′(x )＜0； 当x ∈((2k ＋1)π，(2k ＋2)π)(k ∈N )时，sin x ＜0，此时f ′(x )＞0.故f (x )的单调递减区间为(2k π，(2k ＋1)π)(k ∈N )，单调递增区间为((2k ＋1)π，(2k ＋2)π)(k ∈N )．(2)由(1)知，f (x )在区间(0，π)上单调递减．又π()02f =，故1π2x =. 当n ∈N *时，因为f (n π)f ((n ＋1)π)＝[(－1)n n π＋1][(－1)n ＋1(n ＋1)π＋1]＜0，且函数f (x )的图象是连续不断的，所以f (x )在区间(n π，(n ＋1)π)内至少存在一个零点．又f (x )在区间(n π，(n ＋1)π)上是单调的，故n π＜x n ＋1＜(n ＋1)π.因此，当n ＝1时，221142π3x =<； 当n ＝2时，22212111241π3x x +<+<（）；当n ≥3时，22212111nx x x +++＜222111[41]π2(1)n ++++- ＜2111[5]π12(2)(1)n n +++⨯-- ＜2111111[5(1)()()]π22321n n +-+-++--- ＝221162(6)π1π3n -<<-. 综上所述，对一切n ∈N *，2221211123n x x x +++<.。
2014年湖南省数学(理)高考真题含答案(超完美word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．满足(z ii i z +=为虚数单位）的复数z = A ．1122i + B ．1122i - C ．1122i -+ D ．1122i--2．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、zxxk 系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别是123,,,p p p 则A ．123p p p =<B ．231p p p =<C ．132p p p =<D ．123p p p == 3．已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1,f x g x x x -=++(1)(1)f g +则＝A ．－3B ．－1C ．1D ．34．51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是zxxk A ．－20 B ．－5 C ．5 D ．205．已知命题22:,;:,.p x y x y q x y x y >-<->>若则命题若则在命题 ①p q ∧②p q ∨③()p q ∧⌝④()p q ⌝∨中，真命题是 A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④6．执行如图所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于 A ．[6,2]-- B ．[5,1]-- C ．[4,5]- D ．[3,6]-7．一块石材表示的几何何的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于A ．1B ．2C ．3D ．48．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 A ．2p q + B ．(1)(1)12p q ++- C ．pq D ．(1)(1)1p q ++-9．已知函数230()sin(),()0,f x x f x dx πϕ=-=⎰且则函数()f x 的图象的一条对称轴是A ．56x π=B ．712x π=C ．3x π=D ．6x π= 10．已知函数zxxk 221()(0)()ln()2x f x x e x g x x x a =+-<=++与的图象上存在关于y 轴对称的点，则a的取值范围是 A ．1(,)e -∞ B ．(,)e -∞ C ．1(,)e e - D ．1(,)e e- 二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11．在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos :,(1sin x C y ααα=+⎧⎨=+⎩为参数）交于A B ，两点，则AB ｜｜＝2，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是 12．如图，已知,AB BC 是O 的两条弦，,3,22,AO BC AB BC ⊥==则O 的半径等于13．若关于x 的不等式|2|3ax -<的解集为51{|}33x x -<<，则a = （二）必做题（14－16题）14．若变量,x y 满足约束条件4y xx y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最小值为－6，则k =15．如图，正方形ABCD DEFG 和正方形的边长分别为,()a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线22(0)y px p =>经过,bC F a=两点，则16．在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0),(0,3),(3,0),A B C -动点D 满足||1,CD OA OB OD =++则｜｜的最大值是三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为2335和．现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ．设甲、乙两组的研发相互独立． 求至少有一种新产品研发成功的概率； 若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．18． （本小题满分12分）如图，在平面四边形ABCD 中，127.AD CD AC ＝，＝，＝ 求cos CAD ∠的值； 若721cos ,sin ,146BAD CBA ∠=-∠=求zxxk BC 的长．19． （本小题满分12分） 如图，四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长都相等，11111,,AC BD O AC B D O == 四边形1111ACC A BDD B 和四边形均为矩形． 证明：1;O O ABCD ⊥底面若1160,CBA C OB D ∠=-- 求二面角的余弦值．20． （本小题满分13分）已知数列{n a }满足*111,||,.n n n a a a p n N +=-=∈若{n a }是递增数列，且12,3,23a a a 成等差数列，求p 的值； 若12p =，且{21n a -}是递增数列，{2n a }是递减数列，zxxk 求数列{n a }的通项公式．21． （本小题满分13分）如图，O 为坐标原点，椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为1e ；双曲线22222:1x y C a b -=的左、右焦点分别为34,F F ，离心率为2e ．已知123,2e e =且24||3 1.F F =-求12,C C 的方程；过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB 的中点．当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．22． （本小题满分13分）已知常数20,()ln(1).2xa f x ax x >=+-+函数 讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；若()f x 存在两个极值点12,,x x 且12()()0,f x f x +>求a 的zxxk 取值范围．2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学理科参考答案 一.选择题. 1.【答案】B 【解析】由题可得()111122z i i i z i zi z i i z i z i +-=⇒+=⇒-=-⇒==--,故选B. 【考点定位】复数2.【答案】D 【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样,分层抽样,系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即123p p p ==,故选D. 【考点定位】抽样调查3.【答案】C【解析】分别令1x =和1x =-可得()()113f g -=且()()111f g ---=()()111f g ⇒+=,则()()()()()()1131211111f g f f g g -==⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+==-⎪⎪⎩⎩()()111f g ⇒+=,故选C.【考点定位】奇偶性4.【答案】A【解析】第1n +项展开式为()55122nn n C x y -⎛⎫- ⎪⎝⎭, 则2n =时, ()()2532351121022022nn n C x y x y x y -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选A. 【考点定位】二项式定理5.【答案】C【解析】当x y >时,两边乘以1-可得x y -<-,所以命题p 为真命题,当1,2x y ==-时,因为22x y <,所以命题q 为假命题,所以②③为真命题,故选C. 【考点定位】命题真假 逻辑连接词6.【答案】D【解析】当[)2,0t ∈-时,运行程序如下,(](]2211,9,32,6t t S t =+∈=-∈-,当[]0,2t ∈时,[]33,1S t =-∈--,则(][][]2,63,13,6S ∈---=- ,故选D.【考点定位】程序框图 二次函数7.【答案】B【解析】由图可得该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ,则2286862r r r -+-=+⇒=,故选B.【考点定位】三视图 内切圆 球8.【答案】D【解析】设两年的平均增长率为x ,则有()()()2111x p q +=++()()111x p q ⇒=++-,故选D.【考点定位】实际应用题9.【答案】A【解析】函数()f x 的对称轴为2x k πϕπ-=+2x k πϕπ⇒=++,因为()232sin 0cos cos 03x dx ππϕϕϕ⎛⎫-=⇒--+= ⎪⎝⎭⎰sin 03πϕ⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭, 所以23k πϕπ=+或423k ππ+,则56x π=是其中一条对称轴,故选A.【考点定位】三角函数图像 辅助角公式10.【答案】B【解析】由题可得存在()0,0x ∈-∞满足()()0220001ln 2xx e x x a +-=-+-+ ()001ln 2x e x a ⇒--+-0=,当0x 取决于负无穷小时,()001ln 2xe x a --+-趋近于-∞,因为函数()1ln 2x y e x a =--+-在定义域内是单调递增的,所以()01ln 002e a -+->ln ln a e a e ⇒<⇒<,故选B.【考点定位】指对数函数 方程二.填空题.11.【答案】2sin 42πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 【解析】曲线C 的普通方程为()()22211x y -+-=,设直线l 的方程为y x b =+,因为弦长2AB =,所以圆心()2,1到直线l的距离0d =,所以圆心在直线l上,故1y x =-2sin cos 1sin 42πρθρθρθ⎛⎫⇒=-⇒-=- ⎪⎝⎭,故填2sin 42πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 【考点定位】极坐标 参数方程12.【答案】32【解析】设线段AO 交BC 于点D 延长AO 交圆与另外一点E ,则2BD DC ==,由三角形ABD 的勾股定理可得1AD =,由双割线定理可得2BD DC AD DE DE =⇒= ,则直径332AE r =⇒=,故填32.【考点定位】勾股定理 双割线定理13.【答案】3-【解析】由题可得52331233a a ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩3a ⇒=-,故填3-. 【考点定位】绝对值不等式14.【答案】2-【解析】求出约束条件中三条直线的交点为()(),,4,k k k k -(),2,2,且,4y x x y ≤+≤的可行域如图,所以2k ≤,则当(),k k 为最优解时,362k k =-⇒=-,当()4,k k -为最优解时,()24614k k k -+=-⇒=, 因为2k ≤,所以2k =-,故填2-.【考点定位】线性规划15.【答案】21+【解析】由题可得,,,22a a C a F b b ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则2222a paa b p b ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩21a b ⇒=+,故填21+. 【考点定位】抛物线16.【答案】23【解析】动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则设为()[)()3c o s,s i n 0,2θθθπ+∈,则()()223cos 1sin 3OA OB OD θθ++=+-++ ()82cos 3sin θθ=++,因为cos 3sin θθ+的最大值为2,所以OA OB OD ++的最大值为1223=,故填23.【考点定位】参数方程 圆 三角函数17.某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35,现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲,乙两组的研发是相互独立的. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品A 研发成功,预计企业可获得120万元,若新产品B 研发成功,预计企业可获得利润100万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望. 17.【答案】(1)1315(2)详见解析 【解析】(1)解:设至少有一组研发成功的事件为事件A 且事件B 为事件A 的对立事件,则事件B 为一种新产品都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为23,35, 则()2312211353515P B ⎛⎫⎛⎫=-⨯-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再根据对立事件概率之间的公式可得()()13115P A P B =-=,所以至少一种产品研发成功的概率为1315. (2)由题可得设该企业可获得利润为ξ,则ξ的取值有0,1200+,1000+,120100+,即0,120,100,220ξ=,由独立试验的概率计算公式可得:()2320113515P ξ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;()23412013515P ξ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭;()2311001355P ξ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭;()232220355P ξ==⨯=;所以ξ的分布列如下:ξ0 120 100 220 ()P ξ215 41515 25则数学期望24120120100220151555E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯322088130=++=. 【考点定位】分布列 期望 独立试验的概率18.如图5,在平面四边形ABCD 中,1,2,7AD CD AC ===. (1)求cos CAD ∠的值; (2)若7cos 14BAD ∠=-,21sin 6CBA ∠=,求BC 的长.18.【答案】(1) 27cos 7CAD ∠=(2)67【解析】解:(1)由DAC ∆关于CAD ∠的余弦定理可得222cos 2AD AC DC CAD AD AC +-∠= 174217+-=⨯⨯277=,所以27cos 7CAD ∠=. (2)因为BAD ∠为四边形内角,所以s i n 0BAD ∠>且sin 0CAD ∠>,则由正余弦的关系可得sin BAD ∠=21891cos 14BAD -∠=且221sin 1cos 7CAD CAD ∠=-∠=,再有正弦的和差角公式可得()sin sin sin cos sin cos BAC BAD CAD BAD CAD CAD BAD ∠=∠-∠=∠∠-∠∠18927217147714⎛⎫=⨯-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭=333714+37=,再由ABC ∆的正弦定理可得 sin sin AC BC CBA BAC =∠∠737216BC ⇒=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭67=. 【考点定位】正余弦定理 正余弦之间的关系与和差角公式19.如图6,四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等,11111,AC BD O AC B D O == ,四边形11ACC A 和四边形11BDD B 为矩形. (1)证明:1O O ⊥底面ABCD ;(2)若060CBA ∠=,求二面角11C OB D --的余弦值.19.【答案】(1) 详见解析 (2)25719【解析】(1)证明: 四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长都相等 ∴四边形ABCD 和四边形1111A B C D 均为菱形11111,AC BD O AC B D O == ∴1,O O 分别为11,BD B D 中点四边形11ACC A 和四边形11BDD B 为矩形 ∴1//OO 11//CC BB 且11,CC AC BB BD ⊥⊥ 11,OO BD OO AC ∴⊥⊥又 AC BD O = 且,AC BD ⊆底面ABCD 1OO ∴⊥底面ABCD .(2)过1O 作1B O 的垂线交1B O 于点E ,连接11,EO EC .不妨设四棱柱1111ABCD A BC D -的边长为2a . 1OO ⊥底面ABCD 且底面ABCD //面1111A B C D 1OO ∴⊥面1111A B C D 又11O C ⊆ 面1111A B C D 111OC OO ∴⊥四边形1111A B C D 为菱形 1111O C O B ∴⊥ 又111OC OO ⊥ 且1111OO O C O = ,111,O O O B ⊆面1OB D 11O C ∴⊥面1OB D 又1B O ⊆ 面1OB D 111B O OC ∴⊥又11BO O E ⊥ 且1111O C O E O = ,111,O C O E ⊆面11O EC 1B O ∴⊥面11O EC∴11O EC ∠为二面角11C OB D --的平面角,则1111cos O EO EC EC ∠= 060CBA ∠= 且四边形ABCD 为菱形 11O C a ∴=,113,BO a =22111112,7OO a B O B O OO a ==+=, 则1111111112221sin 377O O a O E B O O B O B O a a B O a=∠===再由11O EC ∆的勾股定理可得22221111121977EC O E O C a a a =+=+=, 则1111cos O E O EC EC ∠=221257719197a a ==,所以二面角11C OB D --的余弦值为25719. 【考点定位】线面垂直 二面角20.已知数列{}n a 满足111,nn n a a a p +=-=,*n N ∈.(1)若{}n a 为递增数列,且123,2,3a a a 成等差数列,求P 的值;(2)若12p =,且{}21n a -是递增数列,{}2n a 是递减数列,求数列n a 的通项公式. 20.【答案】(1)13p = (2) 1141,33241,332n n n n a n --⎧-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩ 为奇数为偶数【解析】解:(1)因为数列{}n a 为递增数列,所以10n n a a +-≥,则11n nn n n n a a p a a p ++-=⇒-=,分别令1,2n =可得22132,a a p a a p -=-=2231,1a p a p p ⇒=+=++,因为123,2,3a a a 成等差数列,所以21343a a a =+()()224113130p p p p p ⇒+=+++⇒-=13p ⇒=或0,当0p =时,数列n a 为常数数列不符合数列{}n a 是递增数列,所以13p =.(2)由题可得122122212121111,222n n n n n n n n n a a a a a a +-++-+-=⇒-=-=,因为{}21n a -是递增数列且{}2n a 是递减数列,所以2121n n a a +->且222n n a a +<,则有22221221222121n n n n n n n n a a a a a a a a +-++-+-<-⎧⇒-<-⎨<⎩,因为 (2)由题可得122122212121111,222n n n n n n n n n a a a a a a +-++-+-=⇒-=-=,因为{}21n a -是递增数列且{}2n a 是递减数列,所以21210n n a a +-->且2220n n a a +-<()2220n n a a +⇒-->,两不等式相加可得()21212220n n n n a a a a +-+--->2212221n n n n a a a a -++⇒->-,又因为2212112n n n a a ---=22212112n n n a a +++>-=,所以2210n n a a -->,即2212112n n n a a ---=,同理可得2322212n n n n a a a a +++->-且2322212n n n n a a a a +++-<-,所以212212n n n a a +-=-,则当2n m =()*m N ∈时,21324322123211111,,,,2222m m m a a a a a a a a ---=-=--=-= ,这21m -个等式相加可得2113212422111111222222m m m a a --⎛⎫⎛⎫-=+++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212222111111111224224113321144m m m -----=-=+-- 22141332m m a -⇒=+ .当21n m =+时, 2132432122321111,,,,2222m m m a a a a a a a a +-=-=--=-=- ,这2m 个等式相加可得2111321242111111222222m m m a a +-⎛⎫⎛⎫-=+++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2122211111111224224113321144m m m ---=-=--- 21241332m m a +=- ,当0m =时,11a =符合,故212241332m m a --=- 综上1141,33241,332n n n n a n --⎧-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩ 为奇数为偶数. 【考点定位】叠加法 等差数列 等比数列21.如图7,O 为坐标原点,椭圆1:C ()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ,离心率为1e ;双曲线2:C 22221x y a b -=的左右焦点分别为34,F F ,离心率为2e ,已知1232e e =,且2431F F =-. (1)求12,C C 的方程;(2)过1F 点的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点,当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.21.【答案】(1) 2212x y += 2212x y -= (2)4 【解析】解:(1)由题可得2212221,1b b e e a a=-=+,且22122F F a b =-,因为1232e e =,且222224F F a b a b =+--,所以22223112b b a a -+= 且222231a b a b +--=-2a b ⇒=且1,2b a ==,所以椭圆1C 方程为2212x y +=,双曲线2C 的方程为2212x y -=. (2)由(1)可得()21,0F -,因为直线AB 不垂直于y 轴,所以设直线AB 的方程为1x ny =-,联立直线与椭圆方程可得()222210n y ny +--=,则222A B n y y n +=+,则22m n y n =+,因为(),M M M x y 在直线AB 上,所以2222122M n x n n -=-=++,因为AB 为焦点弦,所以根据焦点弦弦长公式可得21222222222M n AB e x n =+=++()224212n n +=+,则直线PQ 的方程为2M M y n y x y x x =⇒=-,联立直线PQ 与双曲线可得22202n x x ⎛⎫---= ⎪⎝⎭2284x n ⇒=-,22224n y n =-则24022n n ->⇒-<<,所以,P Q 的坐标为2222228282,,,4444n n n n n n ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭,则点,P Q 到直线AB 的距离为22212281441n n n nd n +---=+ ,22222281441n n n nd n -----=+ ,因为点,Q P 在直线AB 的两端所以()222221222222282244411n n n n n n d d n n ++---+==++ ,则四边形APBQ 面积()1212S AB d d =+= 22184n n +-25814n =--,因为2440n ≥->,所以当242n n =⇒=±时, 四边形APBQ 面积取得最小值为4.【考点定位】弦长 双曲线 椭圆 最值22.已知常数0a >,函数()()2ln 12x f x ax x =+-+. (1)讨论()f x 在区间()0,+∞上的单调性;(2)若()f x 存在两个极值点12,x x ,且()()120f x f x +>,求a 的取值范围.【答案】(1)详见解析【解析】解:(1)对函数()f x 求导可得()()24'12a f x ax x =-++()()()()2224112a x ax ax x +-+=++()()()224112ax a ax x --=++,因为()()2120ax x ++>,所以当10a -≤时,即1a ≥时,()'0f x ≥恒成立,则函数()f x 在()0,+∞单调递增,当1a ≤时, ()()21'0a a f x x a -=⇒=±,则函数()f x 在区间()210,a a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭单调递减,在()21a a a ⎛⎫- ⎪+∞ ⎪⎝⎭单调递增的. (2) 解:(1)对函数()f x 求导可得()()24'12a f x ax x =-++()()()()2224112a x ax ax x +-+=++()()()224112ax a ax x --=++,因为()()2120ax x ++>,所以当10a -≤时,即1a ≥时,()'0f x ≥恒成立,则函数()f x 在()0,+∞单调递增,当1a <时, ()()21'0a a f x x a -=⇒=±,则函数()f x 在区间()210,a a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭单调递减,在()21a a a ⎛⎫- ⎪+∞ ⎪⎝⎭单调递增的. (2)函数()f x 的定义域为1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭,由(1)可得当01a <<时,()()21'0a a f x x a-=⇒=±,则()21a a a --1a >-⇒ 12a ≠,则()21a a a-±为函数()f x 的两个极值点, ()()()()()12ln 121ln 12141f x f x a a a a a a ⎡⎤⎡⎤+=+-+--+-⎣⎦⎣⎦()()ln 14141a a a a =--+-⎡⎤⎣⎦,因为112a <<或102a <<,则()1012a a <-<,则设()1t a a =-102t ⎛⎫<< ⎪⎝⎭,则()()()212ln 144f x f x t t +=-+,设函数()()2ln 144g x x x =-+102t ⎛⎫<< ⎪⎝⎭, 后续有待更新!!! 【考点定位】导数 含参二次不等式 对数。
2014年高考文科数学湖南卷-答案
（2）利用放缩法即可证明不等式即可.
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性
∵圆 与圆 外切，∴ ，解得： .
【提示】化两圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，由两圆心间的距离等于半径和列式求得m值.
【考点】圆的切线方程
7.【答案】D
【解析】若 ，则不满足条件输出 ，若 ，则满足条件，此时 ，此时不满足条件，输出 ，综上： .
【提示】根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论.
【考点】复数代数形式的乘除运算.
12.【答案】
【解析】∵曲线 （ 为参数），∴两式相减可得 .
【提示】利用两式相减，消去 ，从而得到曲线 的普通方程.
【考点】直线的参数方程
13.【答案】
【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：
由 ，得 ，平移直线 ，由图象可知当直线 经过点 ，直线 的截距最大，此时 最大，由 ，解得 ，即 ，此时 ，故答案为： .
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.
21.【答案】（1） ，令 ，则 .
当 时， ，当 时， ，
∴ 的单调减区间为 ，
的单调增区间为 .
（2）由（1）知， 在区间 上单调递减，∵ ，∴ .
当 时，∵ ，且 的图象是连续不断的，
∴ 在区间 内至少有一个实根，又 在区间
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（文科）答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】B
【解析】∵命题 ，是一个特称命题.
∴ .
【提示】题设中的命题是一个特称命题，按命题否定的规则写出其否定即可找出正确选项.
【考点】命题的否定
湖南省永州市2014年高考第三次模拟考试数学试题(文)及答案
永州市2014年高考第三次模拟考试试卷数 学（文科）命题人：陈拥军（祁阳一中） 刘洞春（江华二中） 席俊雄（东安一中） 审题人：唐作明（永州市教科院） 注意事项：1、本试卷分试题卷与答题卷，考试结束后，只交答题卷．2、本试卷满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的代号填入答题卷内．） 1. 设集合{|13}A x x =≤≤，{|2}B x x =≥，则AB =A ．{}2,3B ．(2,3)C ．[2,3]D ．[1,)+∞2. 复数21i+（i 为虚数单位）的虚部是 A ．1 B ．1- C ．i - D ．i3. 下列命题中的真命题．．．是 A ．2,0x R x ∀∈> B ．1,2x R x x∀∈+≥ C ．000,sin cos 2x R x x ∃∈+= D ．0001,ln ()2xx R x ∃∈>4. 随机调查某校110名学生是否喜欢跳舞，由列联表和公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++计算出2K ，并由此作出结论：“有99%的可能性认为学生喜欢跳舞与性别有关”，则2K 可以为 附表：A ．3.565B ．4.204C ．5.233D ．6.8425. 某三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为A ．2B ．3C ．4D ．6 6. 直线1y kx =+与曲线3y ax x b =++相切于点()1,5，则a b -=6.635（第5题图）俯视图A ．2-B ．0C ．2D ．6 7. 执行右边的程序框图，那么输出S 的值为 A ．9 B ．10 C ．45 D ．55 8. 在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，12BD DC =，120o ADB ∠=，2AD =，若ADC ∆AB =A ．1BCD．9. 己知抛物线22(0)y px p =>的准线恰好过双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左焦点，两条曲线的交点的连线过双曲线的右焦点，则该双曲线的离心率为 AB ．2 CD110．已知集合{}(,)|()x y y f x Ω==，若对于任意点P 11(,)x y ∈Ω，总存在点Q 22(,)x y ∈Ω（22,x y 不同时为0），使得12120x x y y ⋅+⋅=成立，则称集合M 是“正交对偶点集”．下面给出四个集合：①{}(,)||1|x y y x Ω==-；②{(,)|x y y Ω==； ③1(,)|2x x y y e ⎧⎫Ω==-⎨⎬⎩⎭； ④{}(,)|tan x y y x Ω== 其中是“正交对偶点集”的序号是 A ．①② B ．②C ．③D ．②④第II 卷二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷中对应题号后的横线上．）11. 已知向量||1a =，||2b =，1a b ⋅=，则向量a 与b 的夹角为______. 12. 已知点A 是圆2cos ρθ=的圆心，则点A 到直线cos sin 7ρθθ=的距离是 .13. 已知函数212,2(2)2,2x x x f x x ⎧+>⎪-=⎨≤⎪⎩，则(1)f =______.14. 已知Ω＝{(,)|6,0,0}x y x y x y +<>>，{(,)|04,0,440}A x y x y x y =<<>-+>，若向区域Ω上随机投掷一点P ，则点P 落入区域A 中的概率为 ．15. 把数对(,)x y（,x y N+∈）按一定规律排列成如图所示的三角形数表，令ij a表示数表中第i行第j个数对.（1）64a表示的数对为.（2）已知ija对应的数对为(2,)m n（,m n为正整数），则i j+=（结果用含,m n的式子表示）.三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.（本小题满分12分）已知函数()sin()f x A xωϕ=+(0,0,)2Aπωϕ>><的部分图象如图所示.（1）求函数()f x的解析式；（2）若锐角α满足：()()16f fπαα--=，求α.17.（本小题满分12分）从某校随机抽取20个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图和频率分布直方图如下.（1）求频率分布直方图中m的值；（2）若要从有网上购物经历的人数在区间[30,40]内的班级中任取两个班，求其中至少有一个班有网上购物经历的人数大于36的概率.18. （本小题满分12分）如图，矩形ABCD所在的平面与平面ABF互相垂直，在ABF∆中，AB=2AF，=1BF，O P、分别为AC和AF的中点.（1）求证：AB CF⊥；（2）若四棱锥F ABCD-的体积为1，求直线OP与平面ABF所成角的大小.15题图）第4行第3行第2行第1行…… …… …… …… …… ……（4，1）（3，2）（2，3）（1，4）（3，1）（2，2）（1，3）（2，1）（1，2）（1，1）（第15题图）（第16题图）PODFCAB（第18题图）（第17题图）2019.（本小题满分13分）在数列{}n a 中，已知121,3a a ==，设n S 为数列{}n a 的前n 项和，对于任意的2,n n N ≥∈，112(1)n n n S S S +-+=+都成立． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，若1n n T a λ+≤对*n N ∈恒成立，求实数λ的取值范围．20.（本小题满分13分）在平面直角坐标系xoy中，已知四点A，()20B -，，)1C，(D 中有且只有三点在椭圆22221(0)x y E a b a b+=＞＞：上．（1）求椭圆E 的方程；（2）若P 是圆2212x y +=上的一个动点，过动点P 作直线12l l 、，使得12l l 、与椭圆E 都相切，求证：12l l ⊥．21.（本小题满分13分）已知函数()x f x e =，2()g x ax = (,0)a R a ∈≠.（1）求函数()()g x y f x =的单调区间； （2）①已知11(,)A x y ，22(,)B x y 12()x x <为函数()y g x =图象上的两点，g ()y x '=为()y g x =的导函数，若12012g ()y y x x x -'=-，求证：012(,)x x x ∈；②类比函数()y g x =，①中的结论在函数()y f x =中是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.永州市2014年高考第三次模拟考试试卷数学（文科）参考答案一、选择题（每小题5分，共50分） 1-5 CBDDA 6-10 ADCAB二、填空题（每小题5分，共25分）11．3π 12．3 13．19 14．13 15．(1) （4，3）；(2) 41m n +-三、解答题（本大题共6个小题，共75分）16.（本小题12分）解：（1）由图知2A =，4612T πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭22Tπω∴== ()2s i n (2f x x ϕ∴=+ ……………………3分 由()2sin(2)2226662=⨯+=⇒⨯+=+f k ππππϕϕπ()26k k Z πωπ∴=+∈又2πϕ<，6πω∴=()2s i n (2)6f x x π∴=+ ……………………6分（2）由()()16f f παα--=⇒2sin(2)2sin 21666πππαα⎡⎤⎛⎫+--+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 得1sin 2cos cos 2sinsin 2coscos 2sin66662ππππαααα+-+=1cos 202α∴=> …………………10分 又α是锐角236ππαα∴==即 ……………………12分17. （本小题12分）解：（1）由茎叶图可知，第三组的频数为4，频率为40.220=, ……………………3分 则0.20.045m == ……………………6分 （2）记事件Q ：至少有一个班有网上购物经历的人数大于36.由茎叶图可知, 有网上购物经历的人数在区间[30,40]内的班级共有5个, 不妨设为,,,,A B C D E ,其中有网上购物经历的人数大于36的2个班级为,A B .则从,,,,A B C D E 中任取2个,有AB ，AC ,AD ,AE ,BC ,BD ,BE ,CD ,CE ,DE 共10种, ……………………8分 其中,A B 至少有一个的有AB ,AC ,AD ,AE ,BC ,BD ,BE 共7种, ……10分所以7()0.710p Q ==. ……………………12分 18. （本小题12分）解：（1）ABF AB ∆在中，=2AF ，=1BF222AB BF AF ∴+= AB BF ∴⊥ ………2分 而矩形ABCD 中AB CB ⊥∴AB ⊥平面CFB ………4分 又CF BCF ⊂平面AB CF ⊥ ………6分（2）11=1=133F ABCD ABCD V S BF BC -=⋅⨯矩形BC ∴= ……………………8分 CB ⊥平面ABFCFB ∴∠为直线CF 与平面ABF 所成的角在Rt ABC 中，1BF = ，tan BCCFB BF∴∠==60o CFB ∴∠= ……………………10分又O P 、分别为AC 和AF 的中点 OP ∴∥CF∴直线OP 与平面ABF 所成角的大小等于直线CF 与平面ABF 所成角的大小，∴直线OP 与平面ABF 所成角为60o . ……………………12分19. （本小题13分）解：(1)由题意, 112(1)n n n S S S +-+=+, 当2n =时, 35a = …………………1分 当3n ≥时, 212(1)n n n S S S --+=+,两式相减得, 112n n n a a a +-+=,由等差中项性质可知{}n a 是从第二项起的等差数列, …………………3分 又21322a a a a -=-=,所以1(1)221n a a n n =+-⨯=- ……………………6分 (2) 由(1)得,111111()(21)(21)22121+==--+-+n n a a n n n n , 所以111111111[()()()()]2133557212121n nT n n n =-+-+-++-=-++, ………9分 又1210n a n +=+>,所以11n n n n T T a a λλ++≤⇔≥恒成立max 1()n n Ta λ+⇔≥ 又22111(21)44144+===+++++n n T n n a n n n n nPODFCAB （第18题图）[)1=441+++∞y n n 又在，上单调递增，∴1=n 时，11=9,9+⎛⎫= ⎪⎝⎭n min n max T y a 所以19≥λ. ……………………13分 20. （本小题13分）解：（1）由椭圆的对称性可知，点A，(D -必在椭圆E 上，即22231a b += ① ……………………2分 若点()20B -，，在椭圆上，则2,a b =0a b ＞＞不符，故点)1C在椭圆上，则22611a b += ② 联立①②解得228,4==a b ，所以，椭圆E 的方程为22184x y += ……………………5分 (2) ①当12,l l 中有一条直线的斜率不存在时，不妨设1l 的斜率不存在，因为1l与椭圆相切，则其方程为x =±当1l的方程为x =时，此时1l 与圆2212x y +=交于点2)-， 则2l 为2y =或2y =-，显然12l l ⊥；同理可证直线1l的方程为x =-12l l ⊥． ………………8分 ②当12,l l 的斜率都存在时，设点00(,)P x y ，有220012x y +=. 设经过点00(,)P x y 与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+，由0022()184y t x x y x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得2220000(12)4()2()80t x t y tx x y tx ++-+--=由0∆=化简整理得，2220000(8)240x t x y t y -++-=.因为220012x y +=， 所以有2220000(8)2(8)0x t x y t x -++-=. ………………11分 设直线12,l l 的斜率分别为12,t t ，因为12,l l 与椭圆都相切， 所以12,t t 满足方程2220000(8)2(8)0x t x y t x -++-=， 所以121t t ⋅=-，即12l l ⊥．综合①②知，12l l ⊥． ……………………13分21.（本小题13分）解：（1）由题意得，2(2)(),(0)x xax ax x y a e e -''==≠ ……………………1分 若0a >，则当02x x <>或时，0y '<；当02x ≤≤时，0y '≥；所以0a >时，函数()()g x y f x =的单调递减区间为(,0)(2,)-∞+∞和， 单调递增区间为[0,2]； ……………………4分 同理得0a <时，函数的单调递减区间为[0,2]，单调递增区间为(,0)(2,)-∞+∞和. ……………………5分 （2）①证明：在函数2()(0)g x ax a =≠中，22121200121212()()()2()g x g x ax ax g x ax a x x x x x x --'====+--12012(,)2x x x x x +⇒=∈，结论成立. ……………………8分 ②对于函数()y f x =，①中的结论也成立. 下面给出证明：在函数()xf x e =中，12012()()()f x f x f x x x -'=-,则有 120121212x x x y y e e e x x x x --==--. 又 12121210212x x x x x x x e e x x x e e e e e x x -<<⇔<<⇔<<- …………………10分令222()(),()=--+<xx x F x e x x e e x x 则 22()()0xF x x x e '=-<()F x ∴在2(,)x -∞上递减,则12()()F x F x >11212()∴->-x x x e x x e e ,即12112x x x e e e x x -<-. ……………………12分 同理可证 12212x x x e e e x x -<-, 综上,012(,)x x x ∈. …………………13分。
2014年湖南卷文科数学高考试卷(原卷 答案)
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)文科数学本试卷共21题，共150分。
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注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
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3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
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一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设命题2:,10p x R x ∀∈+>，则p ⌝为200.,10A x R x ∃∈+> 200.,10B x R x ∃∈+≤200.,10C x R x ∃∈+< 200.,10D x R x ∀∈+≤ 2. 已知集合{|2},{|13}A x x B x x =>=<<，则A B =.{|2}A x x > .{|1}B x x > .{|23}C x x << .{|13}D x x <<3. 对一个容器为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则123.A p p p =< 231.B p p p =< 132.C p p p =< 123.D p p p == 4.下列函数中，既是偶函数又在区间(,0)−∞上单调递增的是21.()A f x x= 2.()1B f x x =+3.()C f x x = .()2x D f x −=5. 在区间[2,3]−上随机选取一个数X ，则1X ≤的概率为4.5A 3.5B 2.5C 1.5D 6. 若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +−−+=，则m =.21A .19B .9C .11D −7. 执行如图1所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈−，则输出的S 属于A. []6,2−−B. []5,1−−C. []4,5−D. []3,6−8. 一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于 A. 1 B. 2 C. 3 D. 49. 若1201x x <<<，则 A. 2121ln ln xxe e x x −>− B. 2121ln ln x xe e x x −<− C. 1221xxx e x e >D. 1221xxx e x e <10. 在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A −，(0B ()30C ，，动点D 满足 1||=CD 则||OD OB OA ++的取值范围是A. []46，B. ⎤⎦C. ⎡⎣D. ⎤⎦二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 复数23ii +（i 为虚数单位）的实部等于_________.12.在平面直角坐标系中，曲线22:12x tC y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）的普通方程为___________. 13. 若变量y x ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤14y y x x y ，则y x z +=2的最大值为_________.14. 平面上以机器人在行进中始终保持与点()01，F 的距离和到直线1−=x 的距离相等.若 机器人接触不到过点()01，−P 且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是___________. 15. 若()()ax e x f x++=1ln 3是偶函数，则=a ____________.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程. 16.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n nn S n ，22.(I) 求数列{}n a 的通项公式；（II ）设()n nan a b n 12−+=，求数列{}n b 的前n 2项和.17.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：()()()()()()()()()()()()()()()b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中a a，分别表示甲组研发成功和失败；b b ，分别表示乙组研发成功和失败. （I ）若某组成功研发一种新产品，则给改组记1分，否记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（II ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率.18.（本小题满分12分）如图3，已知二面角MN αβ−−的大小为60，菱形ABCD 在面β内，,A B 两点在棱MN 上，60BAD ∠=，E 是AB 的中点，DO ⊥面α，垂足为O . (1) 证明：AB ⊥平面ODE ；（2）求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值.19.（本小题满分13分）如图4，在平面四边形ABCD中，32,2,7,1,π=∠===⊥ADC EA EC DE AB DA3π=∠BEC（1）求CED ∠sin 的值； （2）求BE 的长20.（本小题满分13分）如图5，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b −=>>和椭圆222222222:1(0)x y C a b a b −=>>均过点(,1)3P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形. (1) 求12,C C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||AB OB OA =+？证明你的结论.21.（本小题满分13分）已知函数()cos sin 1(0)f x x x x x =−+>.(1) 求()f x 的单调区间；（2）记i x 为()f x 的从小到大的第(*)i i N ∈个零点，证明：对一切*n N ∈，有3211122221<+++nx x x .图4D E A2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)文科数学(参考答案)1．B 【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题 所以命题p 的否定为200,10x R x ∃∈+≤ 故选B.考点：命题否定 全称命题 特称命题 2．C 【解析】试题分析：由交集的定义可得{}/23A B x x ⋂=<< 故选C. 考点：集合交集 3．D 【解析】试题分析：根据随机抽样的原理可得，简单随机抽样、分层抽样、系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即p 1＝p 2＝p 3.注意无论是哪种抽样，每个个体被抽到的概率均是相同的. 考点：随机抽样 4．A 【解析】试题分析：A 中21()f x x=是偶函数，且在(,0)−∞上是增函数，故A 满足题意；B 中2()1f x x =+是偶函数，但在(,0)−∞上是减函数；C 中3()f x x =是奇函数；D 中()2x f x −=是非奇非偶函数．故,,B C D 都不满足题意，故选A ．考点：1、函数的奇偶性；2、单调性. 5．B 【解析】试题分析：在[]2,3−上符合1X ≤的区间为[]2,1− 因为区间[]2,3−的区间长度为5且区间[]2,1−的区间长度为3 所以根据几何概型的概率计算公式可得35P = 故选B. 考点：几何概型 6．C 【解析】试题分析：因为()()22226803425x y x y m x y m +−−+=⇒−+−=− 所以250m −>25m ⇒<且圆2C 的圆心为()3,4 根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)可得1=9m ⇒= 故选C.考点：圆与圆之间的外切关系与判断 7．D 【解析】试题分析：当[)2,0t ∈−时 运行程序如下 (](]2211,9,32,6t t S t =+∈=−∈− 当[]0,2t ∈时 []33,1S t =−∈−−则(][][]2,63,13,6S ∈−⋃−−=− 故选D. 考点：程序框图 二次函数 8．B 【解析】试题分析：由三视图可知，这是一个三棱柱，内切球在正视图的投影是正视图的内切圆，设其半径为r ，根据三角形面积公式有()11681068,222r r ++=⋅⋅=. 考点：几何体的内切球.9．C【解析】试题分析：对于A ，B 作出f(x)=e x −lnx 图象如图所示，可见0<x <1时，既有单调减函数区间，单调增函数区间，故都不正确；对于C ，设f(x)=e xx，作如图所示，因0<x <1,f′(x)=e x x−e xx 2=e x (x−1)x 2<0，此时，f(x)在(0,1)上为减函数，故有f(x 1)=e x 1x 1>f(x 2)=e x 2x 2，得x 2e x 1>x 1e x 2，故C 正确，D 不正确，故选C.考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数的图象及数形结合思想的应用.10．D 【解析】试题分析：因为C 坐标为()3,0且1CD = 所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆 则D 满足参数方程3cos {sin D D x y θθ=+=(θ为参数且[)0,2θπ∈) 所以设D 的坐标为为()[)()3cos ,sin 0,2θθθπ+∈则(3OA OB OD ++==因为2cos θθ+的取值范围为⎡⎡=⎢⎣⎣1==1==−所以OA OBOD ++的取值范围为1⎤=−⎦ 故选D.考点：参数方程 圆 三角函数11．3− 【解析】试题分析：由题可得233ii i +=−− 3i −−的实部为3− 故填3−. 考点：复数12．10x y −−=【解析】 【分析】 【详解】试题分析：联立22{12x t y t=+=+消t 可得110x y x y −=⇒−−= 故填10x y −−=.13．7【解析】试题分析：作出不等式组4y x x y ≤⎧⎪+≤⎨⎪表示的区域如下,则根据线性规划的知识可得目标函数2z x y =+在点)且斜率为k 的直线，此时直线的方程为(1)y k x =+，联立方程组2(1){4y k x y x=+=，整理得2222(24)0k x k x k −++=，由∆<0解得1k <−或1k >． 考点：直线与抛物线的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，其中解答中涉及到抛物线的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用，直线与抛物线的位置关系等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与转化的应用，试题有一定的难度，属于中档试题，准确理解抛物线的定义是解答的关键． 15．−32【解析】试题分析：因为函数f(x)=ln(e 3x +1)+ax 为偶函数 所以f(−x)=f(x)⇒ln(e −3x +1)−ax =ln(e 3x +1)+ax ⇒ln(e 3x +1e 3x)−ax =ln(e 3x +1)+ax⇒ln(e 3x +1)−3x −ax =ln(e 3x +1)+ax ⇒−3x =2ax ⇒a =−32 故填−32. 考点：奇偶性 对数运算 16．（1）;(2)【解析】试题分析:(1)题目已知,n n a S 之间的关系 令1n = 利用11a S = 即可求的1a 的值 令2n ≥ 利用n a 与前n 项和之间的关系1n n n a S S −=−即可得到n a 令1n =检验首项即可得到n a 的通项公式.(2)把(1)得到的通项公式代入n b 可以得到n b 是由等比数列2n 数列()1?nn −之和 才用分组求和法 首先利用等比数列前n 项和公式求的等比数列2n 的前n 项和 再利用()1234562121n n −+=−+=−+==−−+=对数列()1?nn −进行分组()()()()()123456212n n −++−++−+++−−+即可求的数列n b 的前n 项和(1)当1n =时 111a S ==;当2n ≥时 ()()22111,22n n n n n n n a S S n −−+−+=−=−= 检验首项11a =符合n a n = 所以数列{}n a 的通项公式为n a n =. (2)由(1)可得()21?nn n b n =+− 记数列{}n b 的前2n 项和为2n T则()()123222222123452n n T n =+++++−+−+−++()()()()()12222?212345621212n n T n n −⎡⎤⇒=+−++−++−+++−−+⎣⎦− 21222n n T n +⇒=+−故数列{}n b 的前2n 项和为21222n n T n +=+−考点：数列前n 项和 等差数列 等比数列 分组求和法 17．(1)23x =甲 229s 甲= 35x =乙 2625s =乙 甲组优于乙组 (2)()715P E = 【解析】试题分析:(1)按照题意对甲 乙两组15次实验的等分 再根据平均数求的甲 乙成绩平均数 再根据方差的计算公式即可求的甲乙的方差 再比较甲乙两组的平均数和方差 谁平均数大方差小 谁的研究水平较好.(2)根据题意可知有15此实验 其中有7次是只有一组研发成功 频率除以总数即可得到概率的估算值 进而得到恰有一组研发成功的概率.(1)甲组研发新产品的成绩如下:1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1 其平均数102153x ==甲;方差22212221*********s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=−⨯+−⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦甲乙组研发新产品的成绩为:1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1 其平均数93155x 乙== 方差为22213361906155525s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=−⨯+−⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦乙因为22,<x x s s >甲乙甲乙所以甲组的研发水平优于乙组. (2)记{}E =恰有一组研发成功 在所有抽的的15个结果中 恰有一组研发成功的结果如下:(a ，b ⃗ )，(a ，b)，(a ，b ⃗ )，(a ，b)，(a ，b ⃗ )，(a ，b ⃗ )，(a ，b)共7个 所以根据古典概型的概率计算公式可得()715P E =. 考点：概率 平均数 方差 18．(1)详见解析 (2)34【解析】 【分析】 【详解】试题分析:(1)题目已知DO α⊥ 利用线面垂直的性质可得DO ⊥AB 已知角DAE 和2DA AE = 利用余弦定理即可说明AB DE ⊥ 即AB 垂直于面DOE 内两条相交的直线 根据线面垂直的判断即可得到直线AB 垂直于面DEO .(2)菱形ABCD 为菱形可得//AD BC 则BC 与OD 所成角与角ADO 大小相等 即求ADO 角的余弦值即可 利用菱形ABCD 所有边相等和一个角为060即可求的DE 的长度 根据(1)可得AB ⊥面DOE 即角DEO 为二面角MN αβ−−的平面角为060 结合∆DEO 为直角三角形与DO 的长度 即可求的,DO OE 长度 再直角AOD ∆中,AD OD 已知 利用直角三角形中余弦的定义即可求的角ADO 的余弦值 进而得到异面直线夹角的余弦值.(1)如图 因为DO α⊥ AB α⊆ 所以⊥DO AB 连接BD 由题可知ABD ∆是正三角形 又E 是AB 的中点 所以DE AB ⊥ 而故AB ⊥平面ODE .(2)因为//BC AD 所以BC 与OD 所成的角等于AD 与OD 所成的角 即ADO ∠是BC 与OD 所成的角 由(1)可知AB ⊥平面ODE 所以AB OE ⊥ 又DE AB ⊥ 于是DEO ∠是二面角MN αβ−−的平面角 从而060DEO ∠= 不妨设2AB = 则2AD =易知DE =在Rt DOE ∆中 03·sin 602DO DE == 连接AO 在Rt AOD ∆中 332cos 24DO ADO AD ∠=== 所以异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为34.考点：异面直线的夹角 二面角 线面垂直 19．(1)7(2)【解析】 【分析】(1)在CDE ∆中已知两边与一角 利用余弦定理即可求出第三条边DC 的长度 再利用余弦定理即可求出角CED 的正弦值.(2)由(1)三角形DEC 的三条边 根据正余弦直角的关系可得角DEC 的余弦值(或者利用正余弦之间的关系也可求的) 角,,DEC BEC AEB ∠∠∠之和为0180 其中两个角的正余弦值已知 则可以利用余弦的和差角公式求的角AEB 的余弦值 AE 长度已知 利用直角三角形AEB 中余弦的定义即可求的BE 长. 【详解】如图设CED α∠=(1)在CDE ∆中 由余弦定理可得2222?··cos EC CD DE CD DE EDC =+−∠ 于是又题设可知 271CD CD =++ 即260CD CD +−= 解得2CD =(30CD =−<舍去)在CDE ∆中 由正弦定理可得sin sin DE CD EDC α=∠2·sin 3sin 7CD EC πα⇒===即sin 7CED ∠=. (2)由题设可得203πα<<于是根据正余弦之间的关系可得cos 7α=== 而23AED πα∠=− 所以222cos cos cos cos sin sin 333AEB πππααα⎛⎫∠=−=+⎪⎝⎭1cos sin 22αα=−+1272714=−⨯+⨯=在Rt EAB ∆中 2cos EA AEB BE BE ∠==所以2cos BE AEB ===∠⎝⎭考点：正余弦定理 正余弦和差角公式 直角三角形 正余弦之间的关系20．（1）222212:1,:1332y y x C x C −=+=；（2）见解析. 【解析】试题分析:(1)利用正方形面积为2 即可得到对角线的长为2 则可得1C 的两个顶点和2C 的两个焦点的坐标 求的12,a c 的值 再结合点P 在双曲线上 代入双曲线结合,,a b c 之间的关系即可求的1b 的值 得到双曲线的方程 椭圆的焦点坐标已知 点P 在椭圆上 利用椭圆的定义2a 即为P 到两焦点的距离之和 求出距离即可得到2a 的值 利用,,a b c 之间的关系即可求出2b 的值 得到椭圆的标准方程.(2)分以下两种情况讨论 当直线l 的斜率不存在时 直线l 与2C 只有一个公共点 即直线经过2C 的顶点 得到直线l 的方程 代入双曲线求的,A B 点的坐标验证是否符合等式OA OB AB += 当直线l 的斜率存在时 直线l 的方程为y kx m =+ 联立直线l 与双曲线消元得到二次方程 再利用根与系数之间的关系得到关于,A B 两点横纵坐标之和的表达式 利用,k m 出OA OB ⋅ 再立直线l 与椭圆的方程0∆=即可得到,k m 直线的关系 可得到内积OA OB ⋅不可能等于0 进而得到22222?2?OA OB OAOB OA OB OAOB ++≠+− 即OA OB AB +≠ 即不存在这样的直线.的焦距为22c 由题可得2122,22c a == 从而121,1a c ==因为点P ⎫⎪⎪⎝⎭在双曲线22211y x b −=上所以221212133b b ⎛⎫−=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭由椭圆的定义可得22a ==2a ⇒=于是根据椭圆,,a b c 之间的关系可得2222222b a c =−= 所以12,C C 的方程为22221,1332y y x x −=+=.(2)不存在符合题设条件的直线.①若直线l 垂直于x 轴 即直线l 的斜率不存在 因为l 与2C只有一个公共点 所以直线的方程为:l x=或x =当x时易知,,AB所以22,23OA OB AB +== 此时OA OB AB +≠.当x =时 同理可得OA OB AB +≠.②当直线l 不垂直于x 轴时 即直线l 的斜率存在且设直线l 的方程为y kx m =+ 联立直线与双曲线方程22{13y kx my x =+−=可得()2223230kxkmx m −−−−= 当l 与1C 相交于,A B 两点时 设()()1122,,,A x y B x y 则12,x x 满足方程()2223230k xkmx m −−−−= 由根与系数的关系可得于是11 / 12()22221212122333k m y y k x x km x x m k −=+++=− 联立直线l 与椭圆22{132y kx my x =++=可得 ()222234260k x kmx m +++−= 因为直线l 与椭圆只有一个交点所以()()222201682330k m k m ∆=⇒−+−= 化简可得2223k m =− 因此 222212122223333·0333m k m k OAOB x x y y k k k +−−−=+=+=≠−−− 于是22222?2?OA OB OAOB OA OB OAOB ++≠+− 即22OA OB OA OB +≠− 所以OA OB AB +≠ 综上不存在符合题目条件的直线l .考点：椭圆 双曲线 向量 向量内积21．(1) 单调递减区间为()()()2,21*k k k N ππ+∈ 单调递增区间为()()()()21,22*k k k N ππ++∈.(2)详见解析 【解析】试题分析:(1)对函数()f x 求导得到导函数()()'0f x x > 求()'f x 大于0和小于0的解集得到单调减区间和单调增区间 但是必须注意正余弦的周期性和原函数的定义域()0,+∞.(2)利用(1)问的结果可知函数()f x 在区间()0,π上是单调递减的 即()f x 在区间()0,π上至多一个零点 根据正余弦的函数值可得1022f x ππ⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭再根据()f x 在区间上()(),1n n ππ+单调性和函数()f x 在区间()(),1n n ππ+端点处函数值异号可得函数()f x 在区间()(),1n n ππ+上有且只有一个零点 即()()122222111111n n n x n x n n ππππ++<<+⇒<<+ 则依次讨论1,2,3n n n ==≥利用放缩法即可证明2221211123n x x x +++<. 数()f x 求导可得()()'cos sin cos sin 0f x x x x x x x x =−−=−> 令()'0f x =可得()*x k k N π=∈ 当()()()2,21*x k k k N ππ∈+∈时 sin 0x >.此时()'0f x <;当()()()()21,22*x k k k N ππ∈++∈时 sin 0x < 此时()'0f x >故函数()f x 的单调递减区间为()()()2,21*k k k N ππ+∈ 单调递增区间为()()()()21,22*k k k N ππ++∈.12 / 12 (2)由(1)可知函数()f x 在区间()0,π上单调递减 又02f π⎛⎫=⎪⎝⎭ 所以12x π= 当*n N ∈时 因为()()()()()()11111110n n f n f n n n ππππ+⎡⎤⎡⎤+=−+−++<⎣⎦⎣⎦且函数()f x 的图像是连续不断的 所以()f x 在区间()(),1n n ππ+内至少存在一个零点 又()f x 在区间()(),1n n ππ+上是单调的 故()11n n x n ππ+<<+ 因此当1n =时 2211423x π=<;当2n =时 ()222121112413x x π+<+<;当3n ≥时 ()22222221231111111+4121n x x x x n π⎡⎤+++<++++⎢⎥−⎢⎥⎣⎦()()222221*********+51221n x x x x n n π⎡⎤⇒+++<+++⎢⎥⨯−−⎢⎥⎣⎦2222212311111111+51221n x x x x n n π⎡⎤⎛⎫⎛⎫⇒+++<+−++− ⎪ ⎪⎢⎥−−⎝⎭⎝⎭⎣⎦221162613n ππ⎛⎫=−<< ⎪−⎝⎭综上所述 对一切的*n N ∈ 2221211123n x x x +++<.考点：导数 单调性 放缩法 裂项求和。
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2014年湖南高考数学试题（文史类）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题2:,10p x R x ∀∈+>，则p ⌝为（ ）200.,10A x R x ∃∈+> 200.,10B x R x ∃∈+≤ 200.,10C x R x ∃∈+< 200.,10D x R x ∀∈+≤2.已知集合{|2},{|13}A x x B x x =>=<<，则A B =（ ）.{|2}A x x > .{|1}B x x > .{|23}C x x <<.{|13}D x x << 3.对一个容器为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，学科网总体中每个个体被抽中的概率分别为学科网123,,p p p ，则（ ） 123.A p p p =< 231.B p p p =< 132.C p p p =< 123.D p p p == 4.下列函数中，既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是（ ）21.()A f x x=2.()1B f x x =+3.()C f x x = .()2xD f x -= 5.在区间[2,3]-上随机选取一个数X ，则1X ≤的概率为（ ）4.5A 3.5B 2.5C 1.5D 6.若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=，则m =（ ）.21A .19B .9C .11D -7.执行如图1所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出的S 属于（ ）A.[]6,2--B.[]5,1--C.[]4,5-D.[]3,6-8.一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将学科 网石材切削、打磨、加工成球，则能得 到的最大球的半径等于（ ）A.1B.2C.3D.4 9.若1201x x <<<，则（ ）A.2121ln ln xxe e x x ->-B.2121ln ln xxe e x x -<-C.1221xxx e x e >D.1221xxx e x e <10.在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A -，()03B ，,()30C ，，动点D 满足1CD =,则OA OB OD++的取值范围是（ ）A.[]46，B.19-119+1⎡⎤⎣⎦，C.2327⎡⎤⎣⎦，D.7-17+1⎡⎤⎣⎦，二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.复数23ii+（i 为虚数单位）的实部等于_________. 12.在平面直角坐标系中，学科网曲线222:212x t C y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）的普通方程为___________. 13.若变量y x ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤14y y x x y ，则y x z +=2的最大值为_________.14.平面上以机器人在行进中始终保持与点()01，F 的距离和到直线1-=x 的距离相等.若 机器人接触不到过点()01，-P 且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是___________. 15.若()()ax ex f x++=1ln 3是偶函数，则=a ____________.三、解答题：本大题共6小题，学科 网共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程. 16.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n nn S n ，22. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设()n nan a b n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和.17.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年 研发新产品的结果如下：()()()()()()()()()()()()()()()b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中a a，分别表示甲组研发成功和失败；b b ，分别表示乙组研发成功和失败.（I ）若某组成功研发一种新产品，则给改组记1分，否记0分，试计算甲、乙两组研 发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；学科网 （II ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率.18.（本小题满分12分） 如图3，已知二面角MN αβ--的大小为60，菱形ABCD 在面β内，,A B 两点在棱MN 上，60BAD ∠=，E 是AB 的中点，DO ⊥面α，垂足为O .（1）证明：AB ⊥平面ODE ；（2）求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值.19.（本小题满分13分）如图4，在平面四边形ABCD 中，32,2,7,1,π=∠===⊥ADC EA EC DE AB DA , 3π=∠BEC（1）求CED ∠sin 的值；（2）求BE 的长20.（本小题满分13分） 如图5，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)x y C a b a b -=>>均过点23(,1)3P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形. （1）求12,C C 的方程；（2）是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=？证明你的结论.21.（本小题满分13分） 已知函数()cos sin 1(0)f x x x x x =-+>.（1）求()f x 的单调区间；（2）记i x 为()f x 的从小到大的第(*)i i N ∈个零点，证明：对一切*n N ∈，有2221211123n x x x +++<数学（文）（湖南卷）参考答案一、选择题（1）B （2）C （3）D （4）A （5）B （6）C （7）D （8）B （9）C （10）D 二、填空题（11）-3 （12）10x y --= （13）7 （14）()(),11,-∞-+∞ （15）32-三、 解答题 （16）解：(I)当1n =时,111a S ==;当2n ≥时,()()22111,22n n n n n n n a S S n --+-+=-=-= 故数列{}n a 的通项公式为n a n =.（II ）)由(1)可得()21nnn b n =+-,记数列{}n b 的前2n 项和为2n T ,则()()122212222212342.222,12342,n n nT n A B n =++++-+-+-+=++⋅⋅⋅+=-+-+-⋅⋅⋅+记则[]2n 212(12)2212(12)(34)(21)2.n A B n n n +-==-==-++-++⋅⋅⋅+--+= 故数列{}n b 的前2n 项和2n 1222n T A B n +=+=+-. 17解：(I)甲组研发新产品的成绩为:1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1,其平均数102153x ==甲;方差22212221*********s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦甲,乙组研发新产品的成绩为:1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,其平均数93155x ==乙,方差为22213361906155525s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦乙,因为22,<x x s s >乙乙甲甲,所以甲组的研发水平优于乙组. (II)记{}E =恰有一组研发成功,在所有抽的的15个结果中,恰有一组研发成功的结果是:()()()()()()()a b a b a b a b a b a b a b ，，，，，，，，，，，，，共7个,故事件E 发生的频率为715将频率视为概率，即得所求概率为()715P E =. （18）解：(I)如图,因为DO α⊥,AB α⊆,所以DO AB ⊥,连接BD ,由题可知ABD ∆是正三角形,又E 是AB 的中点,所以DE AB ⊥,而DODE D =,故AB ⊥平面ODE .(II)因为//BC AD ,所以BC 与OD 所成的角等于AD 与OD 所成的角,即ADO ∠是BC 与OD 所成的角,由(I)可知,AB ⊥平面ODE ,所以AB OE ⊥,又DE AB ⊥,于是DEO ∠是二面角MN αβ--的平面角,从而060DEO ∠=,不妨设2AB =,则2AD =,易知3DE =,在Rt DOE∆中,03sin 602DO DE ==,连接AO ,在Rt AOD ∆中,332cos 24DO ADO AD ∠===,所以异面直线BC与OD 所成角的余弦值为34. （19）解：:如图设CED α∠=(I)在CDE ∆中,由余弦定理可得2222c o s EC C D DE C D DE EDC =+-∠,于是又题设可知271CD CD =++,即260CD CD +-=,解得2CD =(30CD =-<舍去),在CDE ∆中,由正弦定理可得sin sin DE CDEDC α=∠23sin22132sin 77CD EC πα⇒===, 即21sin 7CED ∠=. (I)由题设可得203πα<<,于是由（I ）知22127c o s 1s i n 1497αα=-=-=,而23AED πα∠=-,所以222cos cos cos cos sin sin 333AEB πππααα⎛⎫∠=-=+⎪⎝⎭13cos sin 22αα=-+1273217272714=-⨯+⨯=,在Rt EAB ∆中,2cos EA AEB BE BE ∠==, 所以2247cos 714BE AEB ===∆⎛⎫⎪⎝⎭.（20）解：设2C 的焦距为22c ,由题可得2122,22c a ==,从而121,1a c ==,因为点23,13P ⎛⎫⎪⎪⎝⎭在双曲线22211y x b -=上,所以22121232133b b ⎛⎫-=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭,由椭圆的定义可得 ()()222222323211112333a ⎛⎫⎛⎫=+-+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23a ⇒=, 2222222b a c =-=,所以12,C C 的方程为22221,1332y y x x -=+=. (II)不存在符合题设条件的直线.(i)若直线l 垂直于x 轴 ,因为l 与2C 只有一个公共点,所以直线的方程为2x =或2x =-,当2x =时,易知()()2,3,2,3,AB -所以22,23O A O B A B +==,此时O A O BA B+≠. 当2x =-时,同理可得OA OB AB +≠.（i ）当直线l 不垂直于x 轴,设l 的方程为y kx m =+,由 2213y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩可得()2223230k x k m xm ----=,当l 与1C 相交于,A B 两点时,设()()1122,,,A x y B x y ,则12,x x 满足上述方程的两个实根,从而212122223,33km m x x x x k k ++==--,于是()22221212122333k m y y k x x km x x m k -=+++=-,由22132y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222234260kx kmx m +++-=,因为直线l 与2C 只有一个公共点，所以上述方程的判别式()()222201682330k m k m ∆=⇒-+-=,化简可得2223k m =-,因此2222121222233330333m k m k OA OB x x y y k k k +---=+=+=≠---,于是222222OA OB OA OB OA OB OA OB ++≠+-,即22OA OB OA OB+≠-,所以O A O B A B +≠,综合（i ）（ii ）可知，不存在符合题目条件的直线（21）解：（I ）数()f x 求导可得()()'cos sin cos sin 0f x x x x x x x x =--=->,令()'0f x =可得()*x k k N π=∈,当()()()2,21*x k k k N ππ∈+∈时,sin 0x >.此时()'0f x <;当()()()()21,22*x k k k N ππ∈++∈时,sin 0x <,此时()'0f x >,故函数()f x 的单调递减区间为()()()2,21*k k k N ππ+∈, 单调递增区间为()()()()21,22*k k k N ππ++∈.(II)由(1)可知函数()f x 在区间()0,π上单调递减,又02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以12x π=, 当*n N ∈时,因为()()()()()()11111110nn f n fn n n ππππ+⎡⎤⎡⎤+=-+-++<⎣⎦⎣⎦,且函数()f x 的图像是连续不断的,所以()f x 在区间()(),1n n ππ+内至少存在一个零点,又()f x 在区间()(),1n n ππ+上是单调的,故()11n n xn ππ+<<+,因此,当1n =时,2211423x π=<; 当2n =时,()222121112413x x π+<+<; 当3n ≥时,()22222221231111111+4121n x x x x n π⎡⎤+++<++++⎢⎥-⎢⎥⎣⎦()()222221*********+51221n x x x x n n π⎡⎤⇒+++<+++⎢⎥⨯--⎣⎦2222212311111111+51221n x x x x n n π⎡⎤⎛⎫⎛⎫⇒+++<+-++- ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦221162613n ππ⎛⎫=-<< ⎪-⎝⎭,综上所述,对一切的*n N ∈,2221211123n x x x +++<.。