2014年湖南省高考数学试卷(文科)解析

2014年湖南省高考数学试卷（文科）
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一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）
1．（5分）（2014•湖南）设命题p：∀x∈R，x2+1＞0，则￢p为（）
2．（5分）（2014•湖南）已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=（）
3．（5分）（2014•湖南）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分
4．（5分）（2014•湖南）下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增
5．（5分）（2014•湖南）在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（）B
6．（5分）（2014•湖南）若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，则
7．（5分）（2014•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）
8．（5分）（2014•湖南）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）
9．（5分）（2014•湖南）若0＜x1＜x2＜1，则（）
．
﹣＞lnx2﹣lnx1﹣＜lnx2﹣lnx1
2121
10．（5分）（2014•湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（）
[，[，
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11．（5分）（2014•湖南）复数（i为虚数单位）的实部等于．
12．（5分）（2014•湖南）在平面直角坐标系中，曲线C：（t为参数）的普通方程为．
13．（5分）（2014•湖南）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为．
14．（5分）（2014•湖南）平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离
和到直线x=﹣1的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，则k 的取值范围是．
15．（5分）（2014•湖南）若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函数，则a=．
三、解答题（共6小题，75分）
16．（12分）（2014•湖南）已知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=+（﹣1）n a n，求数列{b n}的前2n项和．
17．（12分）（2014•湖南）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：
（a，b），（a，），（a，b），（，b），（，），（a，b），（a，b），（a，），
（，b），（a，），（，），（a，b），（a，），（，b）（a，b）
其中a，分别表示甲组研发成功和失败，b，分别表示乙组研发成功和失败．
（Ⅰ）若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；
（Ⅱ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一样的产品，试估计恰有一组研发成功的概率．
18．（12分）（2014•湖南）如图，已知二面角α﹣MN﹣β的大小为60°，菱形ABCD 在面β内，A、B两点在棱MN上，∠BAD=60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O．
（Ⅰ）证明：AB⊥平面ODE；
（Ⅱ）求异面直线BC与OD所成角的余弦值．
19．（13分）（2014•湖南）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．
（Ⅰ）求sin∠CED的值；
（Ⅱ）求BE的长．
20．（13分）（2014•湖南）如图，O为坐标原点，双曲线C1：﹣=1（a1＞0，b1＞0）和椭圆C2：+=1（a2＞b2＞0）均过点P（，1），且以C1的两个顶点和
C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．
（Ⅰ）求C1、C2的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l，使得l与C1交于A、B两点，与C2只有一个公共点，且|+|=||？证明你的结论．
21．（13分）（2014•湖南）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx+1（x＞0）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）记x i为f（x）的从小到大的第i（i∈N*）个零点，证明：对一切n∈N*，有++…+＜．
2014年湖南省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）
2
3．（5分）（2014•湖南）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，
=
=
B
2222
，半径为
，
7．（5分）（2014•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）
8．（5分）（2014•湖南）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）
r=，
．
﹣＞lnx2﹣lnx1﹣＜lnx2﹣lnx1 2121
，
．
10．（5分）（2014•湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C （3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（）
[，[，
||=1
||=1
，
++=
|++==
，，
==
|++的取值范围是
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11．（5分）（2014•湖南）复数（i为虚数单位）的实部等于﹣3．
=．
（
12．（5分）（2014•湖南）在平面直角坐标系中，曲线C：（t为参数）的普通方程为x﹣y﹣1=0．
：
13．（5分）（2014•湖南）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为7．
，解得，即
14．（5分）（2014•湖南）平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=﹣1的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是k＜﹣1或k＞1．
15．（5分）（2014•湖南）若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函数，则a=﹣．
=lne
﹣
，
三、解答题（共6小题，75分）
16．（12分）（2014•湖南）已知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=+（﹣1）n a n，求数列{b n}的前2n项和．
﹣
17．（12分）（2014•湖南）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：
（a，b），（a，），（a，b），（，b），（，），（a，b），（a，b），（a，），
（，b），（a，），（，），（a，b），（a，），（，b）（a，b）
其中a，分别表示甲组研发成功和失败，b，分别表示乙组研发成功和失败．
（Ⅰ）若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；
（Ⅱ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一样的产品，试估计恰有一组研发成功的概率．
=
==
= ==
，），，），，，），
，
．
18．（12分）（2014•湖南）如图，已知二面角α﹣MN﹣β的大小为60°，菱形ABCD在面β内，A、B两点在棱MN上，∠BAD=60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O．（Ⅰ）证明：AB⊥平面ODE；
（Ⅱ）求异面直线BC与OD所成角的余弦值．
，
=ADO==
所成角的余弦值为
19．（13分）（2014•湖南）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．
（Ⅰ）求sin∠CED的值；
（Ⅱ）求BE的长．
中，由正弦定理得
CED=
，由（Ⅰ）知=
AEB=
）
=cos cos+sin sin
BE=
20．（13分）（2014•湖南）如图，O为坐标原点，双曲线C1：﹣=1（a1＞0，b1＞0）
和椭圆C2：+=1（a2＞b2＞0）均过点P（，1），且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．
（Ⅰ）求C1、C2的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l，使得l与C1交于A、B两点，与C2只有一个公共点，且|+|=||？证明你的结论．
）在上求得
=，可得=﹣
||||
=
，可得|||
）在上，∴﹣，
，= =﹣的方程为：+
，或
时，可得，，﹣）|，||=2
|+||
时，也有|+||
．
可得
≠，∴，|+||
21．（13分）（2014•湖南）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx+1（x＞0）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）记x i为f（x）的从小到大的第i（i∈N*）个零点，证明：对一切n∈N*，有++…+＜．
），
时，有=成立．
+＜＜
+
[]
）＜
++＜．
参与本试卷答题和审题的老师有：xintrl；sxs123；maths；孙佑中；刘长柏；liu老师；whgcn；双曲线；caoqz（排名不分先后）
菁优网
2015年5月20日
第21页（共21页）。