圆学案(全章)
人教版九上数学第24章 圆 24.1.3 弧 弦 圆心角教案+学案
人教版九年级数学（上）第24章圆24.1圆的有关性质24.1.3 弧、弦、圆心角教案【教材内容】1．圆心角的概念；2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，•相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，•那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．【教学目标】1．了解圆心角的概念;2．掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．【教学重点】通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题．【教学难点】弧、弦、圆心角之间的相等关系是论证同圆或等圆中弧相等、角相等、线段相等的主要依据．【教学过程设计】一、情境导入人类为了获得健康和长寿，经过不断的实践探索，到十九世纪末才提出“生命在于运动”的口号．要健康长寿，更重要的是每天要摄取均衡的营养包括蛋白质、糖类、脂肪、维生素、矿物质、纤维和水．根据中国营养学会公布的“中国居民平衡膳食指南”，每人每日摄取量如图．你能求出各扇形的圆心角吗？二、合作探究知识点一：圆心角 【类型一】圆心角的识别例1 如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是( )A ．∠ABCB ．∠AOBC ．∠OABD ．∠OCB 解析：根据圆心角的概念，∠ABC 、∠OAB 、∠OCB 的顶点分别是B 、A 、C ，都不是圆心O ，因此都不是圆心角．只有B 中的∠AOB 的顶点在圆心，是圆心角．故选B.方法总结：确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是．知识点二：圆心角的性质 【类型一】利用圆心角的性质求角例2 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，C 、D 是BE ︵的三等分点，∠AOE ＝60°，则∠COE 的大小是( )A ．40°B ．60°C ．80°D ．120°解析：∵C 、D 是BE ︵的三等分点，∴BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE .∵∠AOE ＝60°，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE ＝13×(180°－60°)＝40°，∴∠COE ＝80°.故选C.方法总结：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点三：圆心角、弦、弧之间的关系 【类型一】结合三角形内角和求角例3 如图所示，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠B ＝70°，则∠A ＝________．解析：由AB ︵＝AC ︵，得这两条弧所对的弦AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C .因为∠B ＝70°，所以∠C ＝70°.由三角形的内角和定理可得∠A 的度数为40°.故答案为40°.方法总结：在应用弧、弦、圆心角之间的关系定理时，注意根据具体的需要选择有关部分，本题只需由两弧相等，得到两弦相等就可以了．【类型二】弧相等的简单证明例4 如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是OA ，OB 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，垂足分别为M ，N .求证：AC ︵＝BD ︵.解析：根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，可先证明它们所对的圆心角相等或它们所对的弦相等．证法1：如图所示，连接OC ，OD ，则OC ＝OD .∵OA ＝OB .又M ，N 分别是OA ，OB 的中点，∴OM ＝ON .又∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，∴∠CMO ＝∠DNO ＝90°.∴Rt △CMO ≌Rt △DNO .∴∠1＝∠2.∴AC ︵＝BD ︵.证法2：如图①所示，分别延长CM ，DN 交⊙O 于点E ，F .∵OM ＝12OA ，ON ＝12OB ，OA ＝OB ，∴OM ＝ON .又∵OM ⊥CE ，ON ⊥DF ，∴CE ＝DF ，∴CE ︵＝DF ︵.又∵AC ︵＝12CE ︵，BD ︵＝12DF ︵.∴AC ︵＝BD ︵.图①图②证法3：如图②所示，连接AC ，BD .由证法1，知CM ＝DN .又∵AM ＝BN ，∠AMC ＝∠BND ＝90°，∴△AMC ≌△BND .∴AC ＝BD ，∴AC ︵＝BD ︵.方法归纳：在同圆或等圆中，要证明圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中的某一组量相等，通常是转化成证明另外三组量中的某一组量相等．知识点四：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 例5 如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为EF ．（1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？ （2）如果OE=OF ，那么AB 与CD 的大小有什么关系？AB 与CD 的大小有什么关系？•为什么？∠AOB 与∠COD 呢？解析：（1）要说明OE=OF ，只要在直角三角形AOE 和直角三角形COF 中说明AE=CF ，即说明AB=CD ，因此，只要运用前面所讲的定理即可．（2）∵OE=OF ，∴在Rt △AOE 和Rt △COF 中， 又有AO=CO 是半径，∴Rt △AOE ≌Rt•△COF ，∴AE=CF ，∴AB=CD ，又可运用上面的定理得到AB =CD 解：（1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE=OF 理由是：∵∠AOB=∠COD ∴AB=CD∵OE ⊥AB ，OF ⊥CD ∴AE=12AB ，CF=12CD ∴AE=CF 又∵OA=OC ∴Rt △OAE ≌Rt △OCF ∴OE=OF（2）如果OE=OF ，那么AB=CD ，AB =CD ，∠AOB=∠COD 理由是：∵OA=OC ，OE=OF ∴Rt △OAE ≌Rt △OCF ∴AE=CF又∵OE ⊥AB ，OF ⊥CDD∴AE=12AB，CF=12CD∴AB=2AE，CD=2CF∴AB=CD∴AB=CD，∠AOB=∠COD方法归纳：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．三、教学小结师生一起总结本节学习知识要点：1．圆心角的概念；2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用．【板书设计】24.1 圆的有关性质24.1.3 弧、弦、圆心角1.圆心角的识别2.圆心角的性质3.弧、弦、圆心角之间的关系4.运用弧、弦、圆心角的关系进行证明与计算【课堂检测】1．(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的弦也．在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等，•所对的弦也．(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，•所对的也相等．2. 如图，在⊙O中，AB=AC∠ACB=60 °，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC3. 如图，AB，CD是⊙O的两条弦。
2021年高中数学第二章2.2.1圆的标准方程学案北师大版必修2
§2圆与圆的方程2．1圆的标准方程知识点一确定圆的条件[填一填]一个圆的圆心位置和半径一旦给定，这个圆就确定了，如图所示．[答一答]1．确定圆的标准方程需要具备的条件是什么？提示：由标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 知确定圆的标准方程需要确定三个参数a、b、r.其中圆心(a，b)是圆的定位条件，半径r是圆的定量条件．知识点二圆的标准方程[填一填](1)圆的定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点叫作圆的圆心，定长称为圆的半径．(2)圆的标准方程：圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(3)当圆心是坐标原点时，有a＝b＝0，那么圆的方程为x2＋y2＝r2[答一答]2．若圆的标准方程为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2(a≠0)，此圆的半径一定是a吗？圆心坐标是(m，n)吗？提示：圆的半径不一定是a，当a>0 时，半径是a；当a<0 时，半径是－a.圆心坐标不是(m，n)，应是(－m，－n)，因为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2 化为标准结构是[x－(－m)]2＋[y－(－n)]2＝|a|2.3．圆的标准方程有哪些优点？确定圆的标准方程有几个基本要素？提示：圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径．在圆的标准方程中有两个基本要素：圆心坐标和半径，只要a，b，r三个量确定了，且r>0，则圆的标准方程就确定了，这就是说要确定圆的标准方程，必须具备三个独立的条件，注意确定a，b，r，可以根据条件利用待定系数法来解决．知识点三点与圆的位置关系[填一填]设点P到圆心的距离为d，半径为r，则点在圆内⇔d<r；点在圆上⇔d＝r；点在圆外⇔d>r.[答一答]4．判断点和圆的位置关系的依据是什么？提示：判断点与圆的位置关系的依据是圆心到该点的距离和圆的半径的大小关系．1．对于圆的标准方程，我们要从其结构形式上准确地记忆．2．由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性．3．确定圆的标准方程需要三个独立的条件，一般运用待定系数法求a，b，r.类型一根据方程确定圆心和半径【例1】分别写出下列方程所表示圆的圆心坐标和半径．(1)(x－2)2＋(y－2)2＝8；(2)(x＋4)2＋y2＝4；(3)(x＋m)2＋(y－n)2＝p2.【思路探究】利用圆的标准方程的几何特征解答．【解】(1)原方程可化为(x－2)2＋(y－2)2＝(2 2)2，∴圆心坐标为(2,2)，半径r＝2 2.(2)原方程可化为[x－(－4)]2＋(y－0)2＝22，∴圆心坐标为(－4,0)，半径r＝2.(3)原方程可化为[x－(－m)]2＋(y－n)2＝p2，∴圆心坐标为(－m，n)，半径r＝|p|.规律方法由圆的标准方程可直接得出圆心坐标和半径，但要注意圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 中，a，b前的运算符号均为减号．给定圆：(x－2)2＋(y＋8)2＝(－3)2，下列说法中正确的是(C)A．圆心坐标是(2，－8)，半径长为－3B．圆心坐标是(－2,8)，半径长为3C．圆心坐标是(2，－8)，半径长为3D．圆心坐标是(－2,8)，半径长为－3解析：对照圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，知圆心坐标是(2，－8)，半径长不可能是负数，故为3.类型二判断点与圆的位置关系【例2】已知两点P(3,8)，Q(5,4)，试分别判断点M(6，3)，N(3,5)在以线段PQ为直径的圆上，圆内，还是圆外？【解】线段PQ的中点为C(4,6)，|PQ|＝5－32＋4－82＝2 5，∴圆的半径r＝5，以线段PQ为直径的圆的标准方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5.由于(6－4)2＋(3－6)2＝13>5，∴点M在圆外．由于(3－4)2＋(5－6)2＝2<5，∴点N在圆内．规律方法点与圆的位置关系及判断方法：(1)点M与圆心C的距离与半径r比较：|CM|＝r⇔点M在圆上；|CM|>r⇔点M在圆外；|CM|<r⇔点M在圆内．(2)利用圆的标准方程来确定：圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(m，n)．(m－a)2＋(n－b)2＝r2⇔点M在圆上；(m－a)2＋(n－b)2>r2⇔点M在圆外；(m－a)2＋(n－b)2<r2⇔点M在圆内．设圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝25，试判断下列各点是在圆内、圆外、还是圆上？(1)M(－1，－7)；(2)N(－3,1)；(3)P( 2，2)．解：(1)∵(－1－2)2＋(－7＋3)2＝25，∴点M在圆C上．(2)∵(－3－2)2＋(1＋3)2＝41>25，∴点N在圆C外．(3)∵( 2－2)2＋( 2＋3)2＝17＋2 2<25，∴点P在圆C内．类型三求圆的标准方程【例3】求经过两点A(－1,4)，B(3,2)且圆心在y轴上的圆的标准方程．【思路探究】用待定系数法，求出圆心(a，b)、半径r.也可用几何法．【解】解法一：∵圆心在y轴上，∴a＝0.设圆的标准方程是x2＋(y－b)2＝r2.∵该圆经过A、B两点，∴Error!∴Error!所以圆的标准方程是x2＋(y－1)2＝10.2－4 1解法二：线段AB的中点为(1,3)，k AB＝＝－，3－－1 2∴弦AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1.由Error!得(0,1)为所求圆的圆心．由两点间距离公式得圆半径r为0＋12＋1－42＝10，∴所求圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝10.规律方法求圆的标准方程就是要求圆心坐标和圆的半径，解法一是先设出圆的标准方程，而后用待定系数法求出圆心坐标和圆半径，解法二抓住圆的性质及题目的特点，求出线段AB的垂直平分线方程并与y轴的方程联立组成方程组，先得出了圆心的坐标，而后求出圆的半径．已知一个圆经过两个点A(2，－3)和B(－2，－5)，且圆心在直线l：x－2y－3＝0 上，求此圆的标准方程．解：解法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.由已知条件得Error!即Error!∴Error!∴所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.1解法二：由A(2，－3)，B(－2，－5)得AB的中点为(0，－4)，k AB＝，∴AB的垂直平2分线的方程为y＋4＝－2x，即2x＋y＋4＝0，解方程组Error!得Error!∴圆心为(－1，－2)，半径r＝2＋12＋－3＋22＝10.故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.解法三：设点C是圆心，∵点C在直线l上，∴设点C(2b＋3，b)．又∵|CA|＝|CB|，∴2b＋3－22＋b＋32＝2b＋3＋22＋b＋52，解得b＝－2，∴圆心为C(－1，－2)，半径r＝10，故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.——规范解答系列——数形结合解决与圆有关的最值问题【例4】设点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4 上任意一点，求x－12＋y－12的最大值．【精解详析】因为点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4 上的任意一点，因此x－12＋y－12表示点(1,1)与该圆上点的距离，如图所示．易知点(1,1)在圆x2 ＋(y＋4)2 ＝4 外，结合右图易得x－12＋y－12的最大值为1－02＋1＋42＋2＝26＋2.【解后反思】用数形结合的思想方法也能求出x－12＋y－12的最小值为26－2.求圆外一定点A与圆C上动点P连线距离的最值方法：设|AC|＝d，圆C半径为r，则|AP|max＝d＋r，|AP|min＝d－r；求圆内一定点A与圆C上动点P连线距离的最值方法：设|AC|＝d，圆C半径为r，则|AP|max＝d＋r，|AP|min＝r－d.已知点P(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝36 上，求x2＋y2＋2x－4y＋5的取值范围．解：x2＋y2＋2x－4y＋5＝[x－－1]2＋y－22，其最值可视为圆上一点P(x，y)到定点A(－1,2)的距离的最值，又(－1－2)2＋(2＋3)2<36，所以点A在圆内，问题可转化为圆心C(2，－3)到定点A(－1,2)的距离与半径6 的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为34，所以x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值为34＋6，最小值为6－34.所以x2＋y2＋2x－4y＋5的取值范围是[6－34，6＋34]．一、选择题1．点A(－2,3)与圆(x＋3)2＋(y－1)2＝9 的位置关系是(B)A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定解析：圆心坐标为C(－3,1)，半径r＝3，|AC|＝5<r，所以点A在圆内．二、填空题2．过A(2，－3)，B(－2，－5)两点且面积最小的圆的标准方程为x2＋(y＋4)2＝5.解析：过A，B两点且面积最小的圆就是以线段AB为直径的圆．∴圆心坐标为(0，－4)，1半径r＝|AB|＝ 5.2∴圆的标准方程为x2＋(y＋4)2＝5.3．若点M(5 a＋1，a)在圆(x－1)2＋y2＝26 的外部，则实数a的取值范围是(1，＋∞)．解析：由题意得(5 a＋1－1)2＋( a)2>26，即a>1.三、解答题4．已知圆的圆心M是直线2x＋y－1＝0 与直线x－2y＋2＝0 的交点，且圆过点P(－5,6)．求圆的标准方程，并判断点A(2，2)，B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外？解：解方程组Error!得Error!∴圆心M的坐标为(0,1)．半径r＝|MP|＝52＋1－62＝5 2.∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50.∵|AM|＝2－02＋2－12＝5<r，∴点A在圆内．∵|BM|＝1－02＋8－12＝50＝r，∴点B在圆上．∵|CM|＝6－02＋5－12＝52>r，∴点C在圆外．∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50.点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外．。
新教材高中数学第二章直线和圆的方程5-1直线与圆的位置关系学案新人教A版选择性必修第一册
直线与圆的位置关系【学习目标】1．直线与圆的三种位置关系代数法：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，x －a2＋y －b2＝r2消元得到一元二次方程的判别式Δ【小试牛刀】1.若直线与圆有公共点,则直线与圆相交.( )2.如果直线与圆组成的方程组有解,则直线和圆相交或相切.( )3.若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.( )4.过半径外端的直线与圆相切.( )【经典例题】题型一直线与圆的位置关系 直线与圆位置关系判断的三种方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断． (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点,可通过判断点与圆的位置关系判断,但有一定的局限性,必须是过定点的直线系．例1 已知直线方程mx －y －m －1＝0,圆的方程x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0.当m 为何值时,圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点．[跟踪训练]1已知直线l ：x －2y ＋5＝0与圆C ：(x －7)2＋(y －1)2＝36,判断直线l 与圆C 的位置关系.题型二圆的切线方程 (1)点在圆上时求过圆上一点(x 0,y 0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k ,再由垂直关系得切线的斜率为－1k,由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在,则由图形可直接得切线方程y ＝y 0或x ＝x 0. (2)点在圆外时①几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)．由圆心到直线的距离等于半径,可求得k ,也就得切线方程． ②代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0),与圆的方程联立,消去y 后得到关于x 的一元二次方程,由Δ＝0求出k ,可得切线方程．提醒：切线的斜率不存在的情况,不要漏解．例2 （1）求过圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0上一点P (3,3)的切线方程。
高中数学：第一章(立体几何初步)学案(新人教版B版必修2) 学案
数学：第一章《立体几何初步》学案（新人教版B 版必修2）第一章《立体几何初步》单元小结导航知识链接点击考点（1）了解柱，锥，台，球及简单组合体的结构特征。
（2） 能画出简单空间图形的三视图，能识别三视图所表示的立体模型，并会用斜二测法画出它们的直观图。
（3） 通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。
（4） 理解柱，锥，台，球的表面积及体积公式。
（5） 理解平面的基本性质及确定平面的条件。
（6） 掌握空间直线与直线，直线与平面，平面与平面平行的判定及性质。
（7） 掌握空间直线与平面，平面与平面垂直的判定及性质。
名师导航1.学习方法指导 （1） 空间几何体①空间图形直观描述了空间形体的特征，我们一般用斜二测画法来画空间图形的直观图。
②空间图形可以看作点的集合，用符号语言表述点，线，面的位置关系时，经常用到集合的有关符号，要注意文字语言，符号语言，图形语言的相互转化。
③柱，锥，台，球是简单的几何体，同学们可用列表的方法对它们的定义，性质，表面积及体积进行归纳整理。
④对于一个正棱台，当上底面扩展为下底面的全等形时，就变为一个直棱柱；当上底面收缩为中心点时，就变为一个正棱锥。
由1()2S c c h ''=+正棱台侧和()3hV s s '=正棱台，就可看出它们的侧面积与体积公式的联系。
（2） 点，线，面之间的位置关系①“确定平面”是将空间图形问题转化为平面图形问题来解决的重要条件，这种转化最基本的就是三个公理。
②空间中平行关系之间的转化：直线与直线平行 直线与平面平行平面与平面平行。
③空间中垂直关系之间的转化：直线与直线垂直 直线与平面垂直平面与平面垂直。
2.思想方法小结在本章中需要用到的数学思想方法有：观察法，数形结合思想，化归与转化思想等。
主要是立体几何问题转化为平面几何问题，平行与垂直的相互转化等。
3.综合例题分析例1：如图，P 是∆ABC 所在平面外一点，A '，B '，C '分别是PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的重心。
新教材高中数学第二章直线和圆的方程4-2圆的一般方程学案新人教A版选择性必修第一册
圆的一般方程【学习目标】1.圆的一般方程的概念当时,二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程．其中圆心为,圆的半径为r ＝.2.对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的讨论①D 2＋E 2－4F ＞0时表示圆．②D 2＋E 2－4F ＝0时表示点.③D 2＋E 2－4F ＜0时,不表示任何图形．思考：方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是什么？【小试牛刀】1.圆的一般方程可以化为圆的标准方程.( )2.二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0一定是某个圆的方程.( )3.若方程x 2＋y 2－2x ＋Ey ＋1＝0表示圆,则E ≠0.( )4.任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程.( )【经典例题】题型一圆的一般方程的认识 注意：判断方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0是否表示圆,关键是将其配方⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4,最后转化为判断D 2＋E 2－4F 的正负问题．例1 若方程x 2＋y 2＋2ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆,则a 的取值范围是________．[跟踪训练]1下列方程各表示什么图形？若表示圆,求出其圆心坐标和半径长．①x 2＋y 2－4x ＝0；②2x 2＋2y 2－3x ＋4y ＋6＝0；③x 2＋y 2＋2ax ＝0.题型二求圆的一般方程注意：确定圆的方程的主要方法是待定系数法,即列出关于a,b,r的方程组,求a、b、r或直接求出圆心(a,b)和半径r,一般步骤为：(1)根据题意,设所求的圆的标准方程为(x―a)2＋(y―b)2＝r2(r＞0)；(2)根据已知条件,建立关于a,b,r的方程组；(3)解方程组,求出a,b,r的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程例2 已知△ABC的三个顶点为A(1,4),B(－2,3),C(4,－5),求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．[跟踪训练]2 已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0,圆心在直线x＋y－1＝0上,且圆心在第二象限,半径长为2,求圆的一般方程．题型三与圆有关的轨迹问题注意：求涉及到曲线的轨迹问题时,一般有两种方法：一是直接法,即把动点满足的条件直接用坐标“翻译”过来的方法；二是代入法,代入法也叫相关点法,就是把动点(x,y)与相关点(x0,y0)建立等式,再把x0,y0用x,y 表示后代入到它所满足的曲线的方法．解题时要注意条件的限制．例3 点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点,点B(1,1)是圆内一点,P,Q为圆上的动点．(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；[思路探究](1)设点P坐标→用P，A坐标表示点M坐标→求轨迹方程(2)求BP 的中点E 的轨迹方程．[跟踪训练]3 设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ,点P 在圆上,则PA 的中心M 的轨迹方程是________．【当堂达标】1．方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0表示的图形是( )A ．一个点B ．一个圆C ．一条直线D ．不存在 2．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示一个圆,则实数m 的取值范围是( )A ．m ＜12B ．m ≤12C ．m ＜2D ．m ≤23.圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的面积为( )A.8πB.4πC.2πD.π 4．若方程x 2＋y 2＋2λx ＋2λy ＋ 2λ2―λ＋1＝0表示圆,则λ的取值范围是( )A ．(1,＋∞)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，1C ．(1,＋∞)∪⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15 D ．R 5．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ,点P 在圆上,则PA 的中心M 的轨迹方程是________．6.若点M (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －4y ＋10＝0内一点,则过点M (3,0)的最长的弦所在的直线方程是( )A.x ＋y －3＝0B.x －y －3＝0C.2x－y－6＝0D.2x＋y－6＝07.如图,已知线段AB的中点C的坐标是(4,3),端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动,求线段AB的端点B的轨迹方程.【参考答案】【自主学习】D 2＋E 2－4F ＞0⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E212D 2＋E 2－4F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2 A ＝C ≠0,B ＝0且D 2＋E 2－4F ＞0.【小试牛刀】(1)√ (2)× (3)√ (4)√【经典例题】例1 (－∞,1) [把方程配方得(x ＋a )2＋(y ＋a )2＝1－a ,由条件可知1－a ＞0,即a ＜1.][跟踪训练]1[解] ①方程可变形为(x －2)2＋y 2＝4,故方程表示圆,圆心为C (2,0),半径r ＝2.②方程可变形为2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋2(y ＋1)2＝－238,此方程无实数解．故方程不表示任何图形．③原方程可化为(x ＋a )2＋y 2＝a 2.当a ＝0时,方程表示点(0,0),不表示圆；当a ≠0时,方程表示以(－a,0)为圆心,|a |为半径的圆．例2 [解] 法一：设△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0,∵A ,B ,C 在圆上,∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋16＋D ＋4E ＋F ＝0，4＋9－2D ＋3E ＋F ＝0，16＋25＋4D －5E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2，E ＝2，F ＝－23，∴△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0,即(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.∴外心坐标为(1,－1),外接圆半径为5.法二：∵k AB ＝4－31＋2＝13,k AC ＝4＋51－4＝－3,∴k AB ·k AC ＝－1,∴AB ⊥AC .∴△ABC 是以角A 为直角的直角三角形,∴外心是线段BC 的中点,坐标为(1,－1),r ＝12|BC |＝5.∴外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.[跟踪训练]2 [解] 圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2,∵圆心在直线x ＋y －1＝0上,∴－D 2－E2－1＝0,即D ＋E ＝－2. ①又∵半径长r ＝D 2＋E 2－122＝2,∴D 2＋E 2＝20. ②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－4，E ＝2.又∵圆心在第二象限,∴－D 2＜0,即D ＞0.则⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－4.故圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.例3 [解] (1)设线段AP 的中点为M (x ,y ),由中点公式得点P 坐标为(2x －2,2y )．∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上,∴(2x －2)2＋(2y )2＝4,故线段AP 的中点M 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.（2）设点E(x,y),P(x0,y0)．∵B(1,1),∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x0＋12，y ＝y0＋12.整理得x0＝2x －1,y0＝2y －1,∵点P 在圆x2＋y2＝4上,∴(2x－1)2＋(2y －1)2＝4,整理得点E 的轨迹方程为x2＋y2－x －y －12＝0. [跟踪训练]3 x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0 [由条件知A (2,－1),设M (x ,y ),则P (2x －2,2y ＋1),由于P 在圆上, ∴(2x －2)2＋(2y ＋1)2－4(2x －2)＋2(2y ＋1)－11＝0,整理得x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0.]【当堂达标】1.A [方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0,可化为x 2＋y 2－2x ＋4y ＋5＝0,即(x －1)2＋(y ＋2)2＝0,∴方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0表示点(1,－2)．]2. A [由D 2＋E 2－4F ＞0得(－1)2＋12－4m ＞0,解得m ＜12,故选A.] 3. C 解析 原方程可化为(x －1)2＋(y ＋3)2＝2,∴半径r ＝2,∴圆的面积为S ＝πr 2＝2π.4. A [因为方程x 2＋y 2＋2λx ＋2λy ＋2λ2―λ＋1＝0表示圆,所以D 2＋E 2―4F ＞0,即4λ2＋4λ2―4(2λ2―λ＋1)＞0,解不等式得λ＞1,即λ的取值范围是(1,＋∞)．故选A.] 5. x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0由条件知A (2,－1),设M (x ,y ),则P (2x －2,2y ＋1),由于P 在圆上,∴(2x －2)2＋(2y ＋1)2－4(2x －2)＋2(2y ＋1)－11＝0,整理得x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0.6. C 解析 圆x 2＋y 2－8x －4y ＋10＝0的圆心坐标为(4,2),则过点M (3,0)且过圆心(4,2)的弦最长.由k ＝2－04－3＝2,可知C 正确. 7. 解 设B 点坐标是(x ,y ),点A 的坐标是(x 0,y 0),由于点C 的坐标是(4,3)且点C 是线段AB 的中点,所以4＝x 0＋x 2,3＝y 0＋y 2,于是有x 0＝8－x ,y 0＝6－y .①因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动,所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4,即(x0＋1)2＋y20＝4,②把①代入②,得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4,整理,得(x－9)2＋(y－6)2＝4. 所以点B的轨迹方程为(x－9)2＋(y－6)2＝4.。
高中数学 第2章 平面解析几何初步 直线与圆综合学案 苏教版必修2 学案
直线与圆综合（定点、定值、最值问题）一、解答题1．已知圆()222:2(0)M x y r r +-=>与曲线()():23430C y x y --+=有三个不同的交点. （1）求圆M 的方程；（2）已知点Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点.①若42AB =，求MQ 及直线MQ 的方程； ②求证：直线AB 恒过定点.2．在平面直角坐标系中，已知圆过坐标原点且圆心在曲线上．(1)若圆分别与x 轴、y 轴交于点A 、B(不同于原点O)，求证：的面积为定值； (2)设直线与圆交于不同的两点，且，求圆M 的方程；(3)设直线与(2)中所求圆交于点E 、F ， P 为直线x=5上的动点，直线PE ，PF 与圆的另一个交点分别为G ，H ，且G ，H 在直线异侧，求证：直线GH 过定点，并求出定点坐标.3．已知圆22:2O x y +=，直线:2l y kx =-. （1）若直线l 与圆O 交于不同的两点,A B ,当2AOB π∠=时，求k 的值.（2）若1,2k P =是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线,PC PD ，切点为,C D ，探究：直线CD 是否过定点；（3）若,EF GH 为圆22:2O x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为1,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，求四边形FGFH 的面积的最大值.4．已知平面直角坐标系xoy 内两个定点()1,0A 、()4,0B ,满足2PB PA =的点(),P x y 形成的曲线记为Γ.(1)求曲线Γ的方程;(2)过点B 的直线l 与曲线Γ相交于C 、D 两点,当⊿COD 的面积最大时,求直线l 的方程(O 为坐标原点); (3)设曲线Γ分别交x 、y 轴的正半轴于M 、N 两点,点Q 是曲线Γ位于第三象限内一段上的任意一点,连结QN 交x 轴于点E 、连结QM 交y 轴于F .求证四边形MNEF 的面积为定值.5．已知圆22:9O x y +=，直线1l :x =6，圆O 与x 轴相交于点A B 、（如图），点P (-1,2)是圆O 内一点，点Q 为圆O 上任一点（异于点A B 、），直线A Q 、与1l 相交于点C ．（1）若过点P 的直线2l 与圆O 相交所得弦长等于，求直线2l 的方程； （2）设直线BQ BC 、的斜率分别为BQ BC k k 、，求证：BQ BC k k ⋅为定值.6．已知圆C 经过点()()0,2,2,0A B ，圆C 的圆心在圆222x y +=的内部，且直线3450x y ++=被圆C 所截得的弦长为3点P 为圆C 上异于,A B 的任意一点，直线PA 与x 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N . （1）求圆C 的方程；（2）求证:AN BM 为定值；（3）当PA PB 取得最大值时，求MN ．7．如图，已知定圆22:(3)4C x y +-=，定直线:360m x y ++=，过(1,0)A -的一条动直线l 与直线相交于N ，与圆C 相交于P ，Q 两点，M 是PQ 中点. （Ⅰ）当l 与m 垂直时，求证：l 过圆心C ； （Ⅱ）当||23PQ =时，求直线l 的方程；（Ⅲ）设t AM AN =，试问t 是否为定值，若为定值，请求出t 的值；若不为定值，请说明理由. 8．已知圆，相互垂直的两条直线都过点，（1）当时，若圆心为的圆和圆外切且与直线都相切，求圆的方程；（2）当时，记被圆所截得的弦长分别为，求：①的值；②的最大值.9．已知圆C ：()2244x y +-=，直线l ：()()31140m x m y ++--= （Ⅰ）求直线l 所过定点A 的坐标；（Ⅱ）求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时m 的值及最短弦长；（Ⅲ）已知点()3,4M -，在直线MC 上（C 为圆心），存在定点N （异于点M ），满足：对于圆C 上任一点P ，都有PM PN为一常数，试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数。
人教版高中数学必修二 4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用 学案+课时训练
人教版高中数学必修二第4章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用学案【学习目标】1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．(重点、易错点)2．能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题．(难点)【要点梳理夯实基础】知识点1圆与圆位置关系的判定阅读教材P129至P130“练习”以上部分，完成下列问题．1．几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|0≤d＜|r1－r2| ⎭⎬⎫圆C1方程圆C2方程――→消元一元二次方程⎩⎨⎧Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含[思考辨析学练结合]两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是()A．外离B．相交C．内切D．外切[解析]两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的圆心分别为(0,0)和(4，－3)，半径分别为3和4.所以两圆的圆心距d＝42＋(－3)2＝5.又4－3<5<3＋4，故两圆相交．[答案] B知识点2 直线与圆的方程的应用阅读教材P130“练习”以下至P132“练习”以上部分，完成下列问题．用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”[思考辨析学练结合]一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过()A．1.4米B．3.5米C．3.6米D．2米[解析]建立如图所示的平面直角坐标系．如图，设蓬顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)．半圆所在圆的方程为：x2＋(y＋3.6)2＝3.62，把A(0.8，h－3.6)代入得0.82＋h2＝3.62，∴h＝40.77≈3.5(米)．[答案] B【合作探究析疑解难】考点1 圆与圆位置关系的判定[典例1] 当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？[分析]求圆C1的半径r1→求圆C2的半径r2→求|C1C2|→利用|C1C2|与|r1－r2|和r1＋r2的关系求k[解答]将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝50－k(k＜50)．从而|C1C2|＝(－2－1)2＋(3－7)2＝5.当1＋50－k＝5，k＝34时，两圆外切．当|50－k－1|＝5，50－k＝6，k＝14时，两圆内切．当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1，即14＜k＜34时，两圆相交．当1＋50－k＜5或|50－k－1|＞5，即0≤k＜14或34＜k＜50时，两圆相离．1．判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；(2)计算两圆圆心的距离d；(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．2．应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．[解]圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C 1(a,1)，C 2(2a,1)，半径r 1＝4，r 2＝1.∴|C 1C 2|＝(a －2a )2＋(1－1)2＝a .(1)当|C 1C 2|＝r 1＋r 2＝5，即a ＝5时，两圆外切；当|C 1C 2|＝r 1－r 2＝3，即a ＝3时，两圆内切．(2)当3＜|C 1C 2|＜5，即3＜a ＜5时，两圆相交．(3)当|C 1C 2|＞5，即a ＞5时，两圆外离．(4)当|C 1C 2|＜3，即a ＜3时，两圆内含．考点2 两圆相交有关问题[典例2] 求圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦所在直线被圆C 3：(x －1)2＋(y －1)2＝254所截得的弦长． [分析] 联立圆C 1、C 2的方程――→作差得公共弦所在的直线―→圆心C 3到公共弦的距离d ―→圆的半径r ―→弦长＝2r 2－d 2[解答] 设两圆的交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 的坐标是方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的解， 两式相减得x ＋y －1＝0.因为A ，B 两点的坐标满足 x ＋y －1＝0，所以AB 所在直线方程为x ＋y －1＝0，即C 1，C 2的公共弦所在直线方程为x ＋y －1＝0，圆C 3的圆心为(1,1)，其到直线AB 的距离d ＝12，由条件知r 2－d 2＝254－12＝234，所以直线AB 被圆C 3截得弦长为2×232＝23.1．圆系方程一般地过圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x2．求两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．[解] 联立两圆的方程得方程组⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，两式相减得x －2y ＋4＝0，此为两圆公共弦所在直线的方程．法一：设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组⎩⎨⎧ x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－4，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.所以|AB |＝(－4－0)2＋(0－2)2＝25，即公共弦长为2 5.法二：由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r ＝52，圆心到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－2×(－5)＋4|1＋(－2)2＝3 5. 设公共弦长为2l ，由勾股定理得r 2＝d 2＋l 2，即50＝(35)2＋l 2，解得l ＝5，故公共弦长2l ＝2 5.考点3 直线与圆的方程的应用探究1 设村庄外围所在曲线的方程可用(x －2)2＋(y ＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，你能求出从村庄外围到小路的最短距离吗？[分析]从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离减去圆的半径2，即|2＋3＋2|12＋(－1)2－2＝722－2.探究2已知台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，请建立适当的坐标系，用坐标法求B城市处于危险区内的时间．[分析]如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．射线AC为∠xAy的平分线，则台风中心在射线AC上移动．则点B到AC的距离为202千米，则射线AC被以B为圆心，以30千米为半径的圆截得的弦长为2302－(202)2＝20(千米)．所以B城市处于危险区内的时间为t＝2020＝1(小时)．[典例3] 为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图4-2-1)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km 到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．图4-2-1[分析]建立适当坐标系，求出圆O的方程和直线BC的方程，再利用直线与圆的位置关系求解．[解答]以O为坐标原点，过OB，OC的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1，因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC的方程为x8＋y8＝1，即x＋y＝8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆的切点处时，DE为最短距离．此时DE长的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1) km.[方法总结]解决关于直线与圆方程实际应用问题的步骤[跟踪练习]3．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？[解] 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为x7＋y4＝1，即4x＋7y－28＝0.圆心(0,0)到航线4x＋7y－28＝0的距离d＝|－28|42＋72＝2865，而半径r＝3，∴d＞r，∴直线与圆外离，所以轮船不会受到台风的影响．【学习检测巩固提高】1．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是()A．(x－3)2＋(y－5)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25C．(x－1)2＋(y－4)2＝25 D．(x－3)2＋(y＋2)2＝25[解析]设⊙C2上任一点P(x，y)，它关于(2,1)的对称点(4－x,2－y)在⊙C1上，∴(x－5)2＋(y＋1)2＝25.[答案] B2．一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过()A．1.4 m B．3.5 m C．3.6 m D．2.0 m [解析]圆半径OA＝3.6，卡车宽1.6，所以AB＝0.8，所以弦心距OB＝ 3.62－0.82≈3.5(m)．[答案] B3．圆x2＋y2＋6x－7＝0和圆x2＋y2＋6y－27＝0的位置关系是__相交__.[解析]圆x2＋y2＋6x－7＝0的圆心为O1(－3,0)，半径r1＝4，圆x2＋y2＋6y－27＝0的圆心为O 2(0，－3)，半径为r 2＝6，∴|O 1O 2|＝(－3－0)2＋(0＋3)2＝32，∴r 2－r 1<|O 1O 2|<r 1＋r 2，故两圆相交．4．已知实数x 、y 满足x 2＋y 2＝1，则y ＋2x ＋1的取值范围为__ [34，＋∞) __. [解析] 如右图所示，设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上的点，则y ＋2x ＋1表示过P (x ，y )和Q (－1，－2)两点的直线PQ 的斜率，过点Q 作圆的两条切线QA ，QB ，由图可知QB ⊥x 轴，k QB 不存在，且k QP ≥k QA .设切线QA 的斜率为k ，则它的方程为y ＋2＝k (x ＋1)，由圆心到QA 的距离为1，得|k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝34.所以y ＋2x ＋1的取值范围是[34，＋∞)． 5．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程.[解析] 解法一：联立两圆方程⎩⎨⎧ x 2＋y 2－12x －2y －13＝0x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0， 相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.再由⎩⎨⎧4x ＋3y －2＝0x 2＋y 2－12x －2y －13＝0， 联立得两圆交点坐标(－1,2)、(5，－6)．∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径为12(5＋1)2＋(－6－2)2＝5. ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.解法二：由解法一可知公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆的方程为x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ为参数)．可求得圆心C (－12λ－122(1＋λ)，－16λ－22(1＋λ))． ∵圆心C 在公共弦所在直线上，∴4·－(12λ－12)2(1＋λ)＋3·－(16λ－2)2(1＋λ)－2＝0， 解得λ＝12.∴圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0.人教版高中数学必修二第4章 圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.2圆与圆的位置关系课时检测一、选择题1．圆x 2＋y 2－2x －5＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A 、B ，则线段AB 的垂直平分线方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0[解析] 解法一：线段AB 的中垂线即两圆的连心线所在直线l ，由圆心C 1(1,0)，C 2(－1,2)，得l 方程为x ＋y －1＝0.解法二：直线AB 的方程为：4x －4y ＋1＝0，因此线段AB 的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y ＝－(x －1)，故选A ．[答案] A2．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系为( )A ．外离B ．相交C ．外切D ．内切[解析] 圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径长r 1＝1；圆O 2的圆心坐标为(0,2)， 半径长r 2＝2；1＝r 2－r 1＜|O 1O 2|＝5＜r 1＋r 2＝3，即两圆相交．[答案] B3．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则a 、b应满足的关系式是()A．a2－2a－2b－3＝0 B．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0[解析]利用公共弦始终经过圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心即可求得．两圆的公共弦所在直线方程为：(2a＋2)x＋(2b＋2)y－a2－1＝0，它过圆心(－1，－1)，代入得a2＋2a＋2b＋5＝0.[答案] B4．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程是()A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋7)2＝9C．(x－5)2＋(y＋7)2＝15 D．(x＋5)2＋(y－7)2＝25[解析]设动圆圆心为P(x，y)，则(x－5)2＋(y＋7)2＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25.[答案] A5．两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)在交点处的切线互相垂直，则r ＝()A．5B．4C．3D．2 2 [解析]设一个交点P(x0，y0)，则x20＋y20＝16，(x0－4)2＋(y0＋3)2＝r2，∴r2＝41－8x0＋6y0，∵两切线互相垂直，∴y0x0·y0＋3x0－4＝－1，∴3y0－4x0＝－16.∴r2＝41＋2(3y0－4x0)＝9，∴r＝3.[答案] C6．半径长为6的圆与y轴相切，且与圆(x－3)2＋y2＝1内切，则此圆的方程为()A．(x－6)2＋(y－4)2＝6 B．(x－6)2＋(y±4)2＝6C．(x－6)2＋(y－4)2＝36 D．(x－6)2＋(y±4)2＝36[解析]半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则a＝6，再由b2＋32＝5可以解得b＝±4，故所求圆的方程为(x－6)2＋(y±4)2＝36.7．已知M 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝1上的点，N 是圆C ′：(x －4)2＋(y －4)2＝82上的点，则|MN |的最小值为( )A ．4B ．42－1C ．22－2D ．2[解析] ∵|CC ′|＝5＜R －r ＝7，∴圆C 内含于圆C ′，则|MN |的最小值为R －|CC ′|－r ＝2.[答案] D8．过圆x 2＋y 2＝4外一点M (4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为( )A ．4x －y －4＝0B ．4x ＋y －4＝0C ．4x ＋y ＋4＝0D ．4x －y ＋4＝0[解析] 以线段OM 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋y ＝0，经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线，将两圆的方程相减得4x －y －4＝0，这就是经过两切点的直线方程．[答案] A9．已知两圆相交于两点A (1,3)，B (m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值是( )A ．－1B ．2C ．3D ．0 [解析] 两点A ，B 关于直线x －y ＋c ＝0对称，k AB ＝－4m －1＝－1. ∴m ＝5，线段AB 的中点(3,1)在直线x －y ＋c ＝0上，∴c ＝－2，∴m ＋c ＝3.[答案] C10．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离[解析] 由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a 2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M 、圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1、半径之和为3，故两圆相交．二、填空题11．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为23，则a＝.[解析]两个圆的方程作差，可以得到公共弦的直线方程为y＝1a，圆心(0,0)到直线y＝1a的距离d＝|1a|，于是由(232)2＋|1a|2＝22，解得a＝1.[答案] 112．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为________.[解析]C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，由题意得|C1C2|＝5，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m＝2或m＝－5.[答案]2或－513．若点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，则圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋(y－b)2＝1的位置关系是.[解析]∵点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，∴a2＋b2＝4.又圆x2＋(y－b)2＝1的圆心C1(0，b)，半径r1＝1，圆(x－a)2＋y2＝1的圆心C2(a,0)，半径r2＝1，则d＝|C1C2|＝a2＋b2＝4＝2，∴d＝r1＋r2.∴两圆外切．[答案]外切14．与直线x＋y－2＝0和圆x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是.[解析]已知圆的标准方程为(x－6)2＋(y－6)2＝18，则过圆心(6,6)且与直线x＋y －2＝0垂直的方程为x－y＝0.方程x－y＝0分别与直线x＋y－2＝0和已知圆联立得交点坐标分别为(1,1)和(3,3)或(－3，－3)．由题意知所求圆在已知直线和已知圆之间，故所求圆的圆心为(2,2)，半径为2，即圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.[答案](x－2)2＋(y－2)2＝215．判断下列两圆的位置关系.(1)C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0；(2)C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－23x－6＝0；(3)C1：x2＋y2－4x－6y＋9＝0，C2：x2＋y2＋12x＋6y－19＝0；(4)C1：x2＋y2＋2x－2y－2＝0，C2：x2＋y2－4x－6y－3＝0. [解析](1)∵C1：(x－1)2＋y2＝4，C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝2.∴圆C1的圆心坐标为(1,0)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(2，－1)，半径r2＝2，d＝|C1C2|＝(2－1)2＋(－1)2＝ 2.∵r1＋r2＝2＋2，r1－r2＝2－2，∴r1－r2<d<r1＋r2，两圆相交．(2)∵C1：x2＋(y－1)2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，∴圆C1的圆心坐标为(0,1)，r1＝1，圆C2的圆心坐标为(3，0)，r2＝3，d＝|C1C2|＝3＋1＝2.∵r2－r1＝2，∴d＝r2－r1，两圆内切．(3)∵C1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，C2：(x＋6)2＋(y＋3)2＝64.∴圆C1的圆心坐标为(2,3)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(－6，－3)，半径r2＝8，∴|C1C2|＝(2＋6)2＋(3＋3)2＝10＝r1＋r2，∴两圆外切．(4)C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，C2：(x－2)2＋(y－3)2＝16，∴圆C1的圆心坐标为(－1,1)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(2,3)，半径r2＝4，∴|C1C2|＝(2＋1)2＋(3－1)2＝13.∵|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2，∴两圆相交．16．求经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点且圆心在直线x －y －4＝0上的圆的方程．[解] 法一：解方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＋6x －4＝0，x 2＋y 2＋6y －28＝0， 得两圆的交点A (－1,3)，B (－6，－2)．设所求圆的圆心为(a ，b )，因为圆心在直线x －y －4＝0上，故b ＝a －4. 则有(a ＋1)2＋(a －4－3)2 ＝(a ＋6)2＋(a －4＋2)2，解得a ＝12，故圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－72， 半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－72－32＝892. 故圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋722＝892，即x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0. 法二：∵圆x 2＋y 2＋6y －28＝0的圆心(0，－3)不在直线x －y －4＝0上，故可设所求圆的方程为x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0(λ≠－1)，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，代入x －y －4＝0，求得λ＝－7. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.17．已知圆M ：x 2＋y 2－2mx －2ny ＋m 2－1＝0与圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0交于A 、B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆心M 的轨迹方程.[解析] 两圆方程相减，得公共弦AB 所在的直线方程为2(m ＋1)x ＋2(n ＋1)y －m 2－1＝0，由于A 、B 两点平分圆N 的圆周，所以A 、B 为圆N 直径的两个端点，即直线AB 过圆N 的圆心N ，而N (－1，－1)，所以－2(m ＋1)－2(n ＋1)－m 2－1＝0，即m 2＋2m ＋2n ＋5＝0，即(m ＋1)2＝－2(n ＋2)(n ≤－2)，由于圆M 的圆心M (m ，n )，从而可知圆心M 的轨迹方程为(x ＋1)2＝－2(y ＋2)(y ≤－2)．18．已知圆O ：x 2＋y 2＝1和定点A (2,1)，由圆O 外一点P (a ，b )向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，|PQ |＝|P A |成立，如图.(1)求a，b间的关系；(2)求|PQ|的最小值．[解析](1)连接OQ，OP，则△OQP为直角三角形，又|PQ|＝|P A|，所以|OP|2＝|OQ|2＋|PQ|2＝1＋|P A|2，所以a2＋b2＝1＋(a－2)2＋(b－1)2，故2a＋b－3＝0.(2)由(1)知，P在直线l：2x＋y－3＝0上，所以|PQ|min＝|P A|min，为A到直线l的距离，所以|PQ|min＝|2×2＋1－3|22＋12＝255.人教版高中数学必修二第4章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用课时检测一、选择题1．已知实数x、y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是() A．30－105B．5－5C．5D．25[解析]x2＋y2为圆上一点到原点的距离．圆心到原点的距离d＝5，半径为5，所以最小值为(5－5)2＝30－10 5.[答案] A2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB 的垂直平分线方程为()A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0[解析]所求直线即两圆圆心(1,0)、(－1,2)连线所在直线，故由y－02－0＝x－1－1－1，得x＋y－1＝0.[答案] A3．方程y＝－4－x2对应的曲线是()[解析]由方程y＝－4－x2得x2＋y2＝4(y≤0)，它表示的图形是圆x2＋y2＝4在x轴上和以下的部分．[答案] A4．y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小的面积是()A．π4B．3π4C．3π2D．π[解析]数形结合，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的1 4.[答案] D5．方程1－x2＝x＋k有惟一解，则实数k的范围是()A．k＝－2B．k∈(－2，2)C．k∈[－1,1)D．k＝2或－1≤k<1[解析]由题意知，直线y＝x＋k与半圆x2＋y2＝1(y≥0只有一个交点．结合图形易得－1≤k<1或k＝ 2.[答案] D6．点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，直线P A、PB分别与圆x2＋y2＝4相切于A、B两点，则四边形P AOB(O为坐标原点)的面积的最小值等于()A ．24B ．16C ．8D ．4[解析] ∵四边形P AOB 的面积S ＝2×12|P A |×|OA |＝2OP 2－OA 2＝2OP 2－4，∴当直线OP 垂直直线2x ＋y ＋10＝0时，其面积S 最小．[答案] C7．已知圆C 的方程是x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．9B ．14C ．14－65D ．14＋6 5[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝9，圆心为C (－2,1)，半径为3.|OC |＝5，圆上一点(x ，y )到原点的距离的最大值为3＋5，x 2＋y 2表示圆上的一点(x ，y )到原点的距离的平方，最大值为(3＋5)2＝14＋6 5.[答案] D8．对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线l 1：ax ＋3y ＋6＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋6＝0与圆C ：x 2＋y 2＋2x ＝b 2－1(b >0)的位置关系是“平行相交”，则实数b 的取值范围为( )A ．(2，322)B ．(0，322)C ．(0，2)D ．(2，322)∪(322，＋∞)[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝b 2.由两直线平行，可得a (a ＋1)－6＝0，解得a ＝2或a ＝－3.当a ＝2时，直线l 1与l 2重合，舍去；当a ＝－3时，l 1：x －y －2＝0，l 2：x －y ＋3＝0.由l 1与圆C 相切，得b ＝|－1－2|2＝322，由l 2与圆C 相切，得b ＝|－1＋3|2＝ 2.当l 1、l 2与圆C 都外离时，b < 2.所以，当l 1、l 2与圆C “平行相交”时，b 满足⎩⎨⎧ b ≥2b ≠2，b ≠322，故实数b 的取值范围是(2，322)∪(322，＋∞)．[答案] D9．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．106B．206C．306D．40 6 [解析]圆心坐标是(3,4)，半径是5，圆心到点(3,5)的距离为1，根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直，故最短弦的长为252－12＝46，所以四边形ABCD的面积为12×AC×BD＝12×10×46＝20 6.[答案] B10．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为()A．4π5B．3π4C．(6－25)πD．5π4[解析]原点O到直线2x＋y－4＝0的距离为d，则d＝45，点C到直线2x＋y－4＝0的距离是圆的半径r，由题知C是AB的中点，又以斜边为直径的圆过直角顶点，则在直角△AOB中，圆C过原点O，即|OC|＝r，所以2r≥d，所以r最小为25，面积最小为4π5，故选A．[答案] A二、填空题11．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A、B两点，则直线AB 的方程是________．[解析] 过两圆交点的直线就是两圆公共弦所在直线，因此该直线方程为：x2＋y2－10－[(x－1)2＋(y－3)2－20]＝0，即x＋3y＝0.[答案]x＋3y＝012．已知M＝{(x，y)|y＝9－x2，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠∅，则实数b的取值范围是.[解析] 数形结合法，注意y ＝9－x 2，y ≠0等价于x 2＋y 2＝9(y ＞0)，它表示的图形是圆x 2＋y 2＝9在x 轴之上的部分(如图所示)．结合图形不难求得，当－3＜b ≤32时，直线y ＝x ＋b 与半圆x 2＋y 2＝9(y ＞0)有公共点．[答案] (－3,32]13．某公司有A 、B 两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 2 km 和2 2 km ，且A 、B 景点间相距2 km ，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设于 .[解析] 所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识，该点应是过A 、B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点，以小路所在直线为x 轴，过B 点与x 轴垂直的直线为y 轴上建立直角坐标系．由题意，得A (2，2)、B (0,22)，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2.由A 、B 在圆上，得⎩⎨⎧ a ＝0b ＝2，或⎩⎨⎧a ＝42b ＝52，由实际意义知⎩⎨⎧ a ＝0b ＝2.∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝2，切点为(0,0)，∴观景点应设在B 景点在小路的投影处．[答案] B 景点在小路的投影处14．设集合A ＝{(x ，y )|(x －4)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|(x －t )2＋(y －at ＋2)2＝1}，若存在实数t ，使得A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是 .[解析] 首先集合A 、B 实际上是圆上的点的集合，即A 、B 表示两个圆，A ∩B ≠∅说明这两个圆相交或相切(有公共点)，由于两圆半径都是1，因此两圆圆心距不大于半径之和2，即(t －4)2＋(at －2)2≤2，整理成关于t 的不等式：(a 2＋1)t 2－4(a ＋2)t ＋16≤0，据题意此不等式有实解，因此其判别式不小于零，即Δ＝16(a ＋2)2－4(a 2＋1)×16≥0，解得0≤a ≤43. [答案] [0，43]三、解答题15．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如右图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离.[解析] 以O 为坐标原点，过OB 、OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，因为点B (8,0)、C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y 8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE 为最短距离，此时DE 的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1)km. 16．某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB 是36 m ，拱高OP 是6 m ，在建造时，每隔3 m 需用一个支柱支撑，求支柱A 2P 2的长．(精确到0.01 m)[解析] 如图，以线段AB 所在的直线为x 轴，线段AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A 、B 、P 的坐标分别为(－18,0)、(18,0)、(0,6)．设圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因为A 、B 、P 在此圆上，故有⎩⎨⎧ 182－18D ＋F ＝0182＋18D ＋F ＝062＋6E ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧ D ＝0E ＝48F ＝－324.故圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋48y －324＝0.将点P 2的横坐标x ＝6代入上式，解得y ＝－24＋12 6.答：支柱A 2P 2的长约为126－24 m.17．如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)[解析]如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，则A(40,0)，B(0,30)，圆O方程x2＋y2＝252.直线AB方程：x40＋y30＝1，即3x＋4y－120＝0.设O到AB距离为d，则d＝|－120|5＝24<25，所以外籍轮船能被海监船监测到．设监测时间为t，则t＝2252－24228＝12(h)答：外籍轮船能被海监船监测到，时间是0.5 h.18．已知隧道的截面是半径为4.0 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m、高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少？[解析]以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，那么半圆的方程为：x2＋y2＝16(y≥0)．将x＝2.7代入，得y＝16－2.72＝8.71<3，所以，在离中心线2.7 m处，隧道的高度低于货车的高度，因此，货车不能驶入这个隧道．将x＝a代入x2＋y2＝16(y≥0)得y＝16－a2.所以，货车要正常驶入这个隧道，最大高度(即限高)为16－a2m.。
北师版数学高二-第一章22.2圆的切线的判定和性质学案
2．2圆的切线的判定和性质[自主学习]1．切线的判定定理文字语言符号语言图形语言切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线OA是圆O的半径．直线l⊥OA且A∈l，则l是圆O的切线2．切线的性质定理及推论文字语言符号语言图形语言切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径直线l与圆O相切于点A，则l⊥OA推论1经过圆心且垂直于切线的直线经过切点直线l与圆O相切于点A.过O作直线m⊥l，则A∈m推论2经过切点且垂直于切线的直线经过圆心直线l与圆O相切于点A过A作直线m⊥l，则O∈m3．切线长定理过圆外一点作圆的两条切线，这两条切线长相等．[合作探究]怎样求圆的切线长？提示：利用圆外的点、圆心、切点构成的直角三角形求长．切线的判定定理的应用如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆．求证：AC是⊙O的切线．本题主要考查切线的判定问题，解此题时只需证明AC⊥OE即可．连接OE.∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE.又∵BE平分∠CBD，∴∠CBE＝∠DBE.∴∠OEB＝∠CBE.∴EO∥CB.∵∠C＝90°，∴∠AEO＝90°，即AC⊥OE.∵E为⊙O半径OE的外端，∴AC是⊙O的切线．证明直线与圆相切一般有以下几种方法：(1)直线与圆只有一个公共点；(2)圆心到直线的距离等于圆的半径；(3)切线的判定定理．几何证明问题常用方法(3)．1．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是()A．DE＝DO B．AB＝ACC．CD＝DB D．AC∥OD解析：选A当AB＝AC时，如图：连接AD，因为AB是⊙O的直径，所以AD⊥BC，所以CD＝BD，因为AO＝BO，所以OD是△ABC的中位线，所以OD∥AC，因为DE⊥AC，所以DE⊥OD，所以DE是⊙O的切线．所以B正确．当CD＝BD时，AO＝BO，同B，所以C正确．当AC∥OD时，因为DE⊥AC，所以DE⊥OD.所以DE是⊙O的切线．所以D正确．2．已知D是△ABC的边AC上的一点，AD∶DC＝2∶1，∠C＝45°，∠ADB＝60°，求证：AB是△BCD的外接圆的切线．证明：如图，连接OB ，OC ，OD ，OD 交BC 于E . ∵∠DCB 是BD 所对的圆周角， ∠BOD 是BD 所对的圆心角， ∠BCD ＝45°，∴∠BOD ＝90°. ∵∠ADB 是△BCD 的一个外角，∴∠DBC ＝∠ADB －∠ACB ＝60°－45°＝15°， ∴∠DOC ＝2∠DBC ＝30°，从而∠BOC ＝120°. ∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝30°. 在△OEC 中，∵∠EOC ＝∠ECO ＝30°， ∴OE ＝EC .在△BOE 中， ∵∠BOE ＝90°，∠EBO ＝30°， ∴BE ＝2OE ＝2EC ，∴CE BE ＝CD DA ＝12，∴AB ∥OD .∴∠ABO ＝90°， 故AB 是△BCD 的外接圆的切线.切线的性质定理的应用AB 于E ，若BC ＝5，AC ＝12.求⊙O 的半径．⊙O 切AB 于点E ，由圆的切线的性质，易联想到连接OE 构造Rt △OAE ，再利用相似三角形的性质，求出⊙O 的半径．连接OE ，∵AB 与⊙O 切于点E ，∴OE ⊥AB ， 即∠OEA ＝90°.∵∠C ＝90°，∠A ＝∠A ， ∴Rt △ACB ∽Rt △AEO ， ∴OE BC ＝AOAB.∵BC ＝5，AC ＝12，∴AB ＝13， ∴OE 5＝12－OE 13，∴OE ＝103. 即⊙O 的半径为103.利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等．3.如图，AB 切⊙O 于点B ，延长AO 交⊙O 于点C ，连接BC .若∠A ＝40°，则∠C ＝( )A ．20°B ．25°C ．40°D ．50°解析：选B 连接OB ，因为AB 切⊙O 于点B ， 所以OB ⊥AB ，即∠ABO ＝90°， 所以∠AOB ＝50°，又因为点C 在AO 的延长线上，且在⊙O 上， 所以∠C ＝12∠AOB ＝25°.4．AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 延长线于点C ，若DA ＝DC ，求证：AB ＝2BC .证明：连接OD ，则OD ⊥DC ， 又OA ＝OD ，DA ＝DC ，所以∠DAO＝∠ODA＝∠DCO，∠DOC＝∠DAO＋∠ODA＝2∠DCO，所以∠DCO＝30°，∠DOC＝60°，所以OC＝2OD，即OB＝BC＝OD＝OA.所以AB＝2BC.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，过D作⊙O的切线交AC于E.求证：DE⊥AC.本题主要考查切线性质定理的应用．解题时由于DE是⊙O的切线，则OD⊥DE，故要证DE⊥AC，只需证明OD∥AC即可．连接OD、AD，如图．∵AB为⊙O直径，∴AD⊥BC.∵AB＝AC，即△ABC为等腰三角形，∴AD为BC边上的中线，即BD＝DC.又OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线．∴OD∥AC.∵DE切⊙O于D，∴OD⊥DE.∴DE⊥AC.与圆的切线有关问题往往连接圆心与切点添加辅助线后出现垂直关系，这是解决圆的切线问题的一个关键点．5．如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B是切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝20°，求∠P的度数．解：如图，连接OB ，∵OA ＝OB ，OA ⊥AP ，OB ⊥BP ， ∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，∠OAB ＝∠OBA . 又∠BAC ＝20°，∴∠OBA ＝20°，∠BAP ＝90°－∠BAC ＝70°， ∠ABP ＝90°－∠OBA ＝70°. ∴∠P ＝180°－∠BAP －∠ABP ＝40°.6.如图，已知AD 为⊙O 的直径，B 为AD 延长线上一点，BC 与⊙O 切于C 点，∠A ＝30°.求证：(1)BD ＝CD . (2)△AOC ≌△BDC .证明：(1)因为AD 为⊙O 的直径，所以∠ACD ＝90°， 又因为∠A ＝30°，OA ＝OC ＝OD ， 所以∠ACO ＝30°，∠ODC ＝∠OCD ＝60°， 又因为BC 与⊙O 切于C 点，所以∠OCB ＝90°， 所以∠BCD ＝30°，所以∠B ＝30°， 所以∠BCD ＝∠B ，所以BD ＝CD . (2)因为∠A ＝∠ACO ＝∠BCD ＝∠B ＝30°， 所以AC ＝BC ， 在△AOC 和△BDC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠B ，AC ＝BC ，∠ACO ＝∠BCD ，所以△AOC≌△BDC.本课时主要考查圆的切线的性质定理与判定定理的应用，题目难度中档．如图，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作圆O 的切线与OC的延长线交于点P，则P A＝.本题主要考查圆的切线的性质定理和圆周角定理的应用．如图，连接OA.由∠ABC＝30°，得∠AOC＝60°，在直角三角形AOP中，OA＝1，于是P A＝OA tan 60°＝ 3.答案： 3一、选择题1．矩形的两邻边长分别为2.5和5，若以较长一边为直径作半圆，则矩形中与半圆相切的边有()A．1条B．2条C．3条D．0条解析：选C以较长的边为直径作半圆，半径正好与另一边相等，所以由图可知，与半圆相切的边有3条．2.如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F，若∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，连接OE，OF，则∠EOF＝()A．30°B．45°C．100°D．90°解析：选C因为∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，所以∠A＝80°，则∠EOF＝180°－80°＝100°.3．如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC与⊙O相切于点C，PC＝AC＝1，则⊙O的半径为()A．33B．23C．35D．25解析：选A连接OC.设∠P AC＝θ.因为PC＝AC，所以∠CP A＝θ，∠COP＝2θ.又因为PC与⊙O相切于点C，所以OC⊥PC.所以3θ＝90°.所以θ＝30°.设⊙O的半径为r，在Rt△POC中，r＝CP·tan30°＝1×33＝33.4．如图，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过B点的切线与AD的延长线交于C，若AD＝DC，则sin∠ACO＝()A．1010B．210C．55D．24解析：选A连接BD，则BD⊥AC.∵AD＝DC，∴BA＝BC，∵BC是⊙O的切线，切点为B，∴∠OBC＝90°，∠BCA＝45°.∴sin∠BCO＝OBOC＝OB5OB＝55，cos ∠BCO ＝BC OC ＝2OB 5OB＝255. ∴sin ∠ACO ＝sin(45°－∠BCO )＝sin45°cos ∠BCO －cos45°sin ∠BCO ＝22×255－22×55＝1010. 二、填空题5．如图，⊙O 是边长为2的等边△ABC 的内切圆，则⊙O 的半径为 ．解析：设⊙O 与BC 边的切点为D ，连接OD 以及OC ，如图，由等边三角形的内切圆的性质可得OD ⊥BC ，∠OCD ＝30°，OD 即为圆的半径．又由BC ＝2，则CD ＝1，所以在Rt △OCD 中，ODCD ＝tan 30°，解得OD ＝33. 答案：336．如图，已知EB 是半圆O 的直径，A 是BE 延长线上一点，AC 切半圆O 于点D ，BC ⊥AC 于C ，若BC ＝6，AC ＝8，则AE ＝ ，AD ＝ .解析：据题意设圆的半径为R ，连接OD ，由OD ∥BC 得： OD BC ＝AO AB ⇒R 6＝10－R 10⇒R ＝154，故AE ＝10－2R ＝52，由AD AC ＝OD BC，得AD ＝5. 答案：525 7．已知P A 是圆O 的切线，切点为A ，P A ＝2，AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于B 点，PB ＝1，则圆O 的半径R ＝ . 解析：AB ＝AP 2－PB 2＝ 3.由AB 2＝PB ·BC ，∴BC ＝3，Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝2 3.∴R ＝ 3.答案： 38．如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝90°，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，CD ＝1，则⊙O 的半径等于 ．解析：如图所示，设点E 为BC 与⊙O 的切点，连接OE ，则OE ⊥BC .又∵∠C ＝90°，∴OE ∥AC ，CE ＝OE ＝r ，∴DE ＝1－r .∴DE DC ＝OEAC ， ∴1－r 1＝r4，解得r ＝45.答案：45三、解答题9.如图，AC 是⊙O 的直径，P A 是⊙O 的切线，A 为切点，连接PC 交⊙O 于点B ，连接AB ，且PC ＝10，P A ＝6.求：(1)⊙O 的半径．(2)cos ∠BAC 的值．解：(1)因为AC 是⊙O 的直径，P A 是⊙O 的切线，所以CA ⊥P A ，即∠P AC ＝90°，因为PC ＝10，P A ＝6，所以AC ＝PC 2－P A 2＝8，所以OA ＝12AC ＝4， 所以⊙O 的半径为4.(2)因为AC 是⊙O 的直径，P A 是⊙O 的切线，所以∠ABC ＝∠P AC ＝90°，所以∠P ＋∠C ＝90°，∠BAC ＋∠C ＝90°，所以∠BAC ＝∠P ，在Rt △P AC 中，cos ∠P ＝P A PC ＝610＝35， 所以cos ∠BAC ＝35. 10．如图，已知P AB 是⊙O 的割线，AB 为⊙O 的直径．PC 为⊙O 的切线，C 为切点，BD ⊥PC 于点D ，交⊙O 于点E ，P A ＝AO ＝OB ＝1.(1)求∠P 的度数；(2)求DE 的长．解：(1)∵C 为切点，∴OC ⊥PC ，△POC 为直角三角形．∵OC ＝OA ＝1，PO ＝P A ＋AO ＝2，∴sin P ＝OC PO ＝12.∴∠P ＝30°. (2)∵BD ⊥PD ，在Rt △PBD 中，由∠P ＝30°，PB ＝P A ＋AO ＋OB ＝3，得BD ＝32. 连接AE ，则∠AEB ＝90°，∴AE ∥PD .∴∠EAB ＝∠P ＝30°，∴BE ＝AB sin30°＝1，∴DE ＝BD －BE ＝12. 11．如图所示，⊙O 的外切四边形ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，∠A ＝∠B ＝90°.(1)求证：OC ⊥OD .(2)若CD ＝4 cm ，∠BCD ＝60°，求⊙O 的半径．解：(1)证明：因为AD ∥BC ，所以∠BCD ＋∠ADC ＝180°，由题意知∠ODC ＝12∠ADC ， ∠OCD ＝12∠BCD ， 所以∠ODC ＋∠OCD ＝12∠ADC ＋12∠BCD ＝90°， 所以∠DOC ＝90°，即OC ⊥OD .(2)过点D 作DE ⊥BC 于点E ，则四边形ABED 是矩形，DE 等于⊙O 的直径， 在Rt △DEC 中，∠DEC ＝90°，∠ECD ＝∠BCD ＝60°，CD ＝4 cm ，所以CE ＝12CD ＝2 cm ，DE ＝42－22＝2 3 cm ，所以⊙O 的半径为 3 cm.。
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第1课时圆一、学习准备1、探究活动让我们大胆的设想一下，如果我们的自行车轮做成正方形，会怎样？如图：E、B表示车轮边缘上的两点，它们到轴心O的距离大小如何？这样会导致会导致什么后果？如果将车轮换成如图形状，是否保证车轮能够平稳地滚动？如图：A、B表示车轮边缘上任意两点，则它们到轴心O的距离：___________一些同学做投圈游戏，大家均站在线外，欲用圈套住离他们2m远的目标，有如图两种方案供选择，你的选择是_______，理由：_______________________。
二、解读教材2、圆的概念平面上：_________________________________________________________叫做圆，其中__________圆心，____________半径，以点O为圆心的圆记作___________，读作___________________。
确定一个圆需要两个要素：一是位置，圆的__________确定圆的位置；二是大小，圆的__________确定圆的大小。
即时练习：①以3cm为半径可以画______个圆，以点O为圆心可以画______个圆，____________________只能画一个圆。
②我们所学的圆，就是我们日常所说的__________（填圆面或圆周）3、点与圆的位置关系如图是一个圆形靶的示意图，O为圆心，小明向上面投了A、B、C、D、E 5枚飞镖，则①__________在⊙O，__________在⊙O外，点B在__________②试比较每个点到O点的距离与⊙O 半径r的大小__________ ＞r __________ = r __________ ＜r小结：（1）点与圆的位置关系有________，它们是__________________________________________________。
（2）点与圆的位置关系可以按以下方法判断点在圆上⇔点到圆心的距离d等于圆的半径r，即：d = r点在圆⇔点到圆心的距离d________圆的半径r，即：d ____ r点在圆外⇔点到圆心的距离d________圆的半径r，即：d ____ r即时练习：完成本节教材做一做三、【达标检测】1、已知平面上有一个半径为5cm的⊙O和A、B、C三点，OA = 4.5cm，OB = 5cm，OC = 5.5cm，则点A在⊙O____________，则点B在⊙O____________，则点C在⊙O____________。
2、如图所示，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = 2cm，BC = 4cm，CM是中线，以C点为圆心，5为半径做圆，则A、B、C、M四点在圆外的是________.3、下列条件中，只能确定一个圆的是（）A、以点O为圆心B、以2cm长为半径C、以点O为圆心，5cm长为半径D、经过已知点A* 4、若⊙O所在平面一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a ＞b），则此圆的半径为（）A、2ba+B、2ba-C、2ba+或2ba-D、a + b或a – bOO像这样条件和结论可以互推的我们用“⇔”表示，读作“等价于”①②OCDA BMO ABE O ABBAEFO⊥⎪⎩⎪⎨⎧⇒⎭⎬⎫________________ABCD ________第2课时 垂径定理一．学习准备1、圆的定义：在平面上，到 的距离等于 的所有点所组成的图形叫做圆。
2、圆 轴对称图形，它的对称轴有 条。
二．解读教材3、认识弧与弦 阅读教材96—97页并填空(1) 圆上任意两点间的部分叫做 。
大于半圆的弧叫做 ，小于半圆的弧叫 ，弧AB 记作 ，图中劣弧有(2) 连接圆上任意两点的线段叫做 ，经过圆心的弦叫 图中弦有 ，其中直径是 。
(3) 下列说确的有（ ）A. 直径是圆的对称轴B.半圆是弧C.半圆既不是优弧也不是劣弧D. 直径是弦E. 圆中两点间的部分为弦F. 过圆上一点有无数条弦 4、 垂径定理如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥ AB 于点M(1) 右图是轴对称图形吗？如果是，对称轴是 ，根据轴对称性质图中相等线段有 ， 相等的劣弧有(2) 垂径定理：垂直于弦的直径 这条弦，并且 弦所对的弧几何语言表示为：在⊙O 中， ⎭⎬⎫⊥是直径CD M 于AB CD ⇒⎪⎩⎪⎨⎧5、垂径定理的推论如图：AB 是⊙O 的弦（不是直径）作一条平分AB 的直径CD ，交AB 于点E (1)图形是轴对称图形吗？(2)发现的等量关系有： 垂径定理的推论：平分弦( ) 的直径垂直平分几何语言表示：在⊙O 中三．挖掘教材6、你也能得到下面的结论(1)平分弦所对的一条弧的直径，必垂直平分弦，并平分弦所对的另一条弧. (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的另一条弧。
(3)还有其它结论吗？事实上，垂径定理及推论是指加它不是 的限制）7、垂径定理的运用例1， 在直径650mm 的圆柱形油槽中一些油后，截面如图。
若油面宽AB=600mm ，求油的最大深度。
解:过⊙O 作OF AB ⊥于E ，交⊙O 于F ，连接OA设EF=xmm∴OE=12⨯650-x=325-x OE ⊥AB∴AE= AB=在Rt ∆AOE 中， OA 2= +即 = + 解得x 1= ， x 2= 答：油槽的最大深度为即时练习 1，已知圆的半径为5，两平行弦长为6和8，则这两条弦的距离为2，已知AB 是半圆的直径，O 是圆心，C 是半圆上一点，OE 交AC 于D ，AC=8，DE=2，求OD 的长。
【达标检测】1、下列命题正确的是( )A ．弦的垂线平分弦所对的弧 B. 平分弦的直径垂直于这条弦C. 过弦的中点的直线必过圆心D. 弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心2、如图已知⊙Ｏ的半径为30mm, 弦AB=36mm,点O 到AB 的距离是 ，OAB ∠ 的余弦值为3、如图 在⊙Ｏ中，点Ｃ是AB 的中点，∠Ａ＝40o ,则BOC ∠等于（ ）Ａ． 40o Ｂ.50o Ｃ.70o Ｄ.80oAM=BMAC =AD =一条直线在 ①直线过圆心 ② 垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧五个条件中任意具备两个条件，则必具有另外三个结论，简记 “知二推三”垂经定理是涉及圆内计算的重要定理ABCO P4，圆的直径为8cm,弦CD 垂直平分半径OA ，这弦CD 的长为第3课时 圆的对称性（2）一、学习准备动手画一圆1）把⊙O 沿着某一直径折叠，两旁部分互相重合观察得出：圆是 对称图形；2）若把⊙O 沿着圆心O 旋转180°时，两旁部分互相重合，这时可以发现圆又是一个 对称图形。
3）若一个圆沿着它的圆心旋转任意一个角度，都能够与原来图形互相重合，这是圆的 不变性。
二、解读教材1、认识圆心角、弦心距、弧的度数1） 圆心角的定义： 。
2） 弦心距的定义： 。
3） 弧的度数：①把顶点在圆心的周角等分成 份时，每一份的圆心角是1°的角。
②因为在同圆中相等的圆心角所对的 相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的 叫做1°的弧。
③圆心角的度数和它们对的弧的 相等。
2、圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理自制两个圆形纸片(要求半径相等)，并且在两个圆中，画出两个相等的圆心角，探究：在⊙O 中，当圆心角∠AOB=∠A ′OB ′时，它们所对的弧AB 和A'B'，弦AB 和A ′B ′，弦心距OM 和O ′M ′是否也相等呢？定理总结：在 中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 相等，所对弦的也相等。
即时训练：判断：1）圆心角相等，则圆心角所对的弧也相等； ( )2）在同圆或等圆中，弦的弦心距相等； ( ) 3）弦的弦心距相等，则弦相等； ( ) 4）相等的圆心角所对的弧相等。
( )问题2：在同圆或等圆中,若圆心角所对的弧相等,那么它们所对的弦相等吗？这个两个圆心角相等吗？你是怎样想的？如果弦相等呢？你会得到什么结论？归纳推论：在 中，如果两个 、两条 、两条 或两条弦的 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
（简记：“知一推三”）即时训练：已知:AB 、CD 是⊙O 的两条弦,OE 、OF 为AB 、CD 的弦心距，根据本节定理及推论填空。
1）如果AB ＝CD ，那么 ， ， ；2）如果OE ＝OG ，那么 ， ， ；3）如果=，那么 ， ， ；4）如果∠AOB ＝∠COD ，那么 ， ， 。
三、挖掘教材例1、如图，点O 是∠EPF 的平分线上一点，以O 为圆心的圆和角的两边所在的直线分别交于点A 、B 和C 、D ，求证：AB=CD 。
D C O ABDCO ABEEOABCOBAE OADB COBCAD例题拓展：当P 点在圆上或圆是否还有AB=CD 呢？即时训练：从⊙O 外一点P 向⊙O 引两条割线PAB 、PCD 交⊙O 于A 、B 、C 、D ，且⌒AB =⌒CD ，求证：圆心O 必在∠BPD 的平分线上例2、如图，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个点，AB=DC ，△ABC 与△DCB 全等吗？为什么？已知：如图，AD=BC ，求证：AB=CD 。
【达标检测】 1、判断题：1）相等的圆心角所对弦相等。
( ) 2）相等的弦所对的弧相等。
( ) 3）两条弧的长度相等,则这两条弧所对应的圆心角相等。
( ) 2、在⊙O 中，弦AB 的长恰等于半径，则弦AB 所对的圆心角是 度。
3、下面的说确吗？为什么？如图，因为∠AOB=∠COD ，根据圆心角、弧、弦、弦心距关系定理可知=。
4、如图，O 为两个同圆的圆心，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，OE 垂直于AB ，垂足为E ，若AC=2.5cm ，ED=1.5cm ，OA=5cm ，则AB= cm 。
（4题图） （5题图）5、已知：如图AB 、DE 是⊙O 的直径，AC ∥DE ，AC 交⊙O 于C ，求证：BE=EC 。
6、在⊙O 中，AB=BC ，求证：∠OAB=∠OCB 。
7、 已知：AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是AO 和BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，求证：AC=BD 。
B图3D图1CA图2题1OCBAODCBAA题】第4课时圆周角与圆心角的关系【学习课【学习目标】1、圆周角的概念及圆周角定理2、了解分类讨论及转化的思想【学习重点【候课朗读】垂径定理，圆心角、弦、弦心距、弧之间的关系一、学习准备1、叫圆心角。
2、等弧所对的圆心角。
二、解读教材3、圆周角的概念顶点在，两边，像这样的角叫圆周角。
4、及时练习①下列各图是圆周角的是（）A B C D E②指出下图的圆周角5、议一议看图1、2、3猜一猜，圆心角∠AOC与圆周角∠ABC之间的大小关系。