利用网格线巧求三角函数值
解读特殊背景中三角函数的求法
Ｃ ． 三
４
Ｄ．— ４
— 一
图 ３
图 ５
３
【 分析 】 图中的背 景 比较 多 ， 是前 三种
１ ４
Ｔ ｎ ｔ ｅ ｌ Ｉ ｉ ｇ ｅ ｎ ｔ ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ
１ ■ ■敦 掌
Ｃ Ｈ Ｕ ＺＨ ｏ Ｉ 、 Ｉ Ｇ Ｓ ＨＥＮ Ｇ Ｓ Ｈ ｌ ＪＩ Ｅ
３
三 、以 圆 为 背景
３ ． （ ２ ０ ０ ７ ・ 山 东烟 台 ） 吹 图 ４ ， 已知 ４Ｂ 是 半 圆 Ｄ的 直 径 ， 弦 Ａ Ｄ， Ｂ Ｃ相 交 于 点 Ｐ， 若
、
以 网 格 为 背 景
） ．
Ｂ．
１ ． 正 方 形 网格 中 ， 厶４ ０ Ｂ如 图 １放 置 ，
晰， 因 此 常 常 犯 以下 错 误 ．
一
ｓ ｉ ｎ ｃ ￣ ．
、
忽视 正 弦 、 余 弦 的有 界 性
例１计 算 ｌ ２ 一 ｃ 。 ｓ ４ ０ ｏ ｌ ＋ 、 ／
【 错解】 原式＝ ÷一 ｃ ０ ｓ ４ ０ 。 ＋ ｓ ｉ ｎ ５ ０ 。 － １
：ｓ ｉ ｎ５ ０￣ －ｓ ｉ ｎ５ ０。 一 ２ １
２
．
【 正解 】 原式＝ ｃ ｏ ｓ ４ ０ 。ｌ ２ ＋ｌ －ｓ ｉ ｎ５ ０。
：ｓ ｉ ｎ ５０ ￣ －ｓ ｉ ｎ ５０ 。 ＋
２
１ ２
二 、函 数 值 与 边 长 大 小 无 关
例２ 在Ｒ ｔ ＡＡＢ Ｃ中 ， 如 果各 边 长 度 都
类 型 的综 合 ． 仔 细 观 察 图形 发 现 ： １ 是 圆
则 Ｃ Ｏ Ｓ ＡＯＢ的 值 为 （
网格中的三角函数
1网格中的锐角三角函数网格是同学们从小就熟悉的图形，在网格中隐含的条件有：1.直角；2.单位长度。
所以在网格中可以求一个锐角的三角函数，是近几年中考的热点，下面举例说明。
一、在网格中与勾股定理现结合求一个锐角的三角函数。
【例1】 三角形在正方形网格纸中的位如图1，则sin α的值是( ).[解析] 本题在网格中考查锐角的正弦的意义，首先要用勾股定理计算直角三角形斜边的长．一般情况下，为了减小计算量，把小正方形的边长设为1．选C ．练习1（广州市2014）如图2，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则（ ）．（A ） （B ） （C ） （D ）练习2 （2014年福州）如图3，在边长为1个单位长度的小正方形所组成的网格中，△ABC 的顶点均在格点上，344543B .； C .35；D .A. 35图3图22sinB 的值是 .3.（2011四川）如图4，在4×4的正方形网格中， tanα= .A ．1B ．2C ．12D4.（2011甘肃兰州）如图5，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为 .A ．12B ．13C ．14 D3. （2011江苏连云港）如图6，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.在网格中求一个锐角的三角函数时，根据图中角的位置。
充分利用网格中的直角和边，然后根据勾股定理求出相应的边长，最后利用三角函数公式进行计算，达到解决问题的目的。
二、在网格中与辅助线相结合求一个锐角的三角函数。
【例2】 （2014•贺州）如图7-1网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC 每个顶点都在网格的交点处，则sinA= ．[解析] 虽然网格中隐含直角，但是∠A 是△ABC中图7-1图7-2图4图6图5的一个锐角，而△ABC不是直角三角形，不能直接运用三角函数公式进行计算，必须先做辅助线构造直角三角形，使∠A在一个直角三角形中，然后求出所对应的斜边和对边，而后解决问题。
锐角三角函数值的求解攻略
锐角三角函数值的求解攻略浙江嘉善县泗洲中学（314100）杨晓霞［摘要］锐角三角函数是历年中考数学的重点和热点内容，研究锐角三角函数对中考应用题的复习备考乃至中考数学命题模式的把握都有非常重要的指导意义.［关键词］三角函数；锐角；求解［中图分类号］G633.6［文献标识码］A［文章编号］1674-6058（2021）08-0020-02一、定义法［例1］如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=15，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点D，垂足为E，求sin∠CAD的值.分析：在图1中，∠CAD为直角三角形CAD的一个内角，根据锐角的正弦的定义，可知sin∠CAD=CDAD.因此，本题的解题关键是求出∠CAD的对边CD和斜边AD的长度.根据线段的垂直平分线的性质易知AD=BD.已知条件BC=3，可表示出CD长.在Rt△CAD中运用勾股定理求解.当然，这里最好引入一个未知数，以简便表示相关线段长度.解：因为AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点D，所以有AD=BD.不妨设AD=BD=x，又BC=3，则CD=x-3，而AC=15，在Rt△CAD中，根据勾股定理知AC2+CD2=AD2，即15+()x-32=x2，解得x=4.即AD=4，CD=1，所以sin∠CAD=CDAD=14.点评：本题主要考查锐角三角函数中正弦的定义，并检测学生对一元二次方程的求解的掌握程度，勾股定理在解题中起了关键作用.二、参数法［例2］如图2，在△ABC中，∠C=90°，sin A=25，求sin B的值.分析：根据已知条件中的sin A=25，可以结合锐角三角函数中正弦的定义，引入一个参数，设出角A的对边CB和斜边AB的长度，再运用勾股定理求得角A的邻边AC的长度后，问题得解.解：因为∠C=90°，sin A=25，根据此比值可设CB=2x，AB=5x，其中x>0，再由勾股定理得AC2=AB2-CB2=21x2，即AC=21x，结合锐角三角函数中正弦的定义可知，sin B=ACAB=21x5x=点评：熟练掌握锐角三角函数中正弦的定义是解决本题的关键所在，若已知条件中给出具体角的比值，通常的做法是引入一个大于0的参数，根据比值设出相应边的长度，然后根据勾股定理求解.三、构造法1.三角形中的构造［例3］如图3，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使得DC=12BD，连接AC，若tan B=53，求tan∠CAD的值.分析：本题要求tan∠CAD，但由于∠CAD不在图中已知的直角三角形中，需要另外构造直角三角形，使得∠CAD置于其中.可以过点D作边AD的垂线，构造出直角三角形ADH来解决.解：过点D作边AD的垂线DH交AC于H，垂足为D，如图4所示，根据△BAD为直角三角形可知，∠BAD=∠ADH=90°，所以AB∥DH，易证得△CDH∽△CBA，进而得到DH AB=CD CB，因为已知条件中有DC=12BD，则DH AB=CD CB=13，又在Rt△BAD中，tan B=53，不妨设AD=5k，AB=3k，这样DH=k，故在Rt△ADH中，有tan∠CAD=DHAD=k5k=15.点评：如果在三角形中求相关角的三角函数值时，所求角并不在已知直角三角形中，这时我们就需要通过作垂线段来构造直角三角形，从而将所求角置于直角三角形中，再结合三角函数值的定义求解.本题还运用了相似三角形的相关性质.此外，本题亦可图1图2图3图4［基金项目］本文系全国教育科学“十三五”规划2017年度教育部重点课题“核心素养视角下的中学数学命题模式研究”（批准号：DHA17035）成果.数学·解题研究过点C 作直线AD 的垂线，通过构造出两个相似的直角三角形，利用相似比计算出相应的边长求解.2.圆中的构造［例4］如图5，在半径为3的圆O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ，若AC =2，求tan D 的值.分析：题中已知条件提及直径AB ，又要求角D 的正切值，自然联想到这里应该是要借助“直径AB 所对的圆周角为直角”这一性质来构造直角三角形，然后将角D 置于其中求解.解：连接BC ，如图6所示，因为AB 为直径，则∠ACB =90°，这样在直角三角形ACB 中，有tan A =BCAC，根据圆周角的性质，不难发现∠A =∠D ，故tan D =BCAC，又圆O 的半径为3，AC =2，那么BC =AB 2-AC 2=36-4=42，所以tan D =BCAC=422=22.点评：在圆中求锐角三角函数值时，利用直径来构造直角三角形是最常用的构造方法，一般还会利用“同弧（或等弧）所对的圆周角相等”这一性质，将目标角进行等量转化.3.网格中的构造［例5］如图7所示，已知△ABC 的三个顶点均在格点上，则cos A 的值为.图7图8分析：因为网格中无直角三角形，所以需要借助网格格点构造直角三角形，不妨通过点B 来构造，连接格点B 、D ，如图8所示，易知△ABD 为直角三角形.解：如图8所示，连接格点B 、D ，根据正方形的对角线的特征，易知△ABD 为直角三角形，可设小正方形的边长为1，则AB =10，AD =22，所以cos A =AD AB =2210=255.点评：在网格中求锐角三角函数值，一般都是借助网格中的格点去构造直角三角形，通常构造的方法也不是唯一的，本题也可以通过补网格，利用格点C 来构造直角三角形.四、等量转化法1.网格中的转化［例6］如图9，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点P，则tan∠APD 的值为.图9图10分析：本题可将∠APD 转化为∠BPC ，然后通过小正方形的对角线构造直角三角形解决.解析：连接格点B 、Q ，交DC 于点H ，如图10所示，则BH ⊥DC ，所以tan∠APD =tan∠BPH =BHPH ，若设小正方形的边长为1，那么BH=易知△BDP ∽△ACP ，则DP PC =BD AC =13，所以DP =14DC=那么PH =DH -DP 故tan∠APD =BH PH =22=2.点评：在网格中，若对所求角直接构造直角三角形较困难，可以进行适当的等量转化.本题将∠APD 等量转化为∠BPC 是解题的关键.2.折叠中的转化［例7］如图11，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =4，将△ABC 折叠，使点A 落在BC边上的点D 处，EF 为折痕，若AE =3，则sin∠BFD =.分析：根据折叠的性质，∠A =∠EDF =45°，注意到∠BFD =180°-∠B -∠BDF =135°-∠BDF ，∠CDE =180°-∠EDF -∠BDF =135°-∠BDF .这样将∠BFD 等量转化成∠CDE ，再在Rt△CDE 中求解.解析：由题意知，∠A =∠EDF =∠B =45°，在△BFD 中，∠BFD =180°-∠B -∠BDF =135°-∠BDF ，又因为∠CDE =180°-∠EDF -∠BDF =135°-∠BDF ，所以∠BFD =∠CDE ，易知CE =1，DE =3，故sin∠BFD =sin∠CDE =CE DE =13.点评：折叠问题中，要紧扣相关角、边之间的等量关系.将∠BFD 等量转化成∠CDE 是成功解决本题的关键一步.锐角三角函数值的求解是中考数学的必考题型，其涉及的题目类型多变，可采用的解题策略也较多，在平时的教学过程中，教师要注意归纳、小结各种解题方法，以便学生在解题时可以信手拈来.（责任编辑黄桂坚）图5图6图11数学·解题研究。
例谈网格中求锐角三角函数值问题
例谈网格中求锐角三角函数值问题●胡永强 （阳山实验初级中学校，江苏苏州 ２１５１５１） 摘 要：文章研究了在网格中求锐角三角函数值的问题，分别给出两类问题的解决策略，从“化斜为直、转化、方程”等数学思想方法角度对多种解法进行了总结．关键词：网格；锐角三角函数；化斜为直思想；转化思想；方程思想中图分类号：Ｏ１２４．１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００３ ６４０７（２０２０）０３ ００１６ ０３ 网格是一种研究数学问题的常用工具，如在图形的各种变换（如平移、翻折、旋转、位似）、函数图像、相似三角形的判定、确定圆弧的圆心、图案设计与面积计算、求锐角三角函数值等问题中有着广泛的应用．据说笛卡尔也曾受到蜘蛛结网的启发，在网格中发明了坐标系，发展出解析几何这门新的数学分支，说明网格与数学问题关系密切．本文主要探讨在网格中求锐角三角函数值问题．１ 正方形网格正方形网格中主要有两大类题型：一是角的顶点在格点上；二是角的顶点不在格点上．顶点在格点上的又包括残缺三角形类型和非直角三角形类型两种．对于残缺型需补全三角形，再利用勾股定理求出相关边长即可解决；对于顶点在格点上的非直角三角形类型，常在三角形内部作高线构造直角三角形，利用勾股定理和等面积公式等知识计算出相关线段的长度即可解决；对于角的顶点不在格点上的类型通常作所求角某一条边的平行线，构造所求角的顶点在格点上的同位角，再依托其同位角构造一个直角三角形来解决．下面选取几道例题加以说明．１．１ 残缺的格点三角形———补全 例１ 如图１，点Ａ，Ｂ，Ｃ是小正方形的顶点，（上接第１５页）体对应关系不容易看出来，但是有了这样的观念，才会在“数形结合”思想的引领下，引入参数，顺藤摸瓜，最后让潜在的事实浮出水面．又比如几何直观的意识在问题探索中的作用．文中在一般化和特殊化原则的互动下，用动态的眼光分析问题，从图３、图４联想到图５、图６，使得一些属性呈现出高度的统一．３．２ 教师要成为解题方面学生学习的典范在解题中学会解题，在解题过程的回顾中捕捉看似“浪费”的信息，学会思维环节的取舍．比如文中提及的“两条直线的斜率是互为相反数，即ｋＡＣ＋ｋＢＣ＝０，”这一特殊的数量关系，一旦察觉，就能捕捉到两个等腰三角形，从而开阔了视野．教师在解题教学时引用的例题，正是自己在问题解决过程中经历了“是什么，怎么做，为什么”这样的层层逼近，逐渐“从明确走向深刻”，甚至是领悟到“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”的妙处，因此迫不及待地想把这份体验带给学生．教师应该就自己解题时所经历的“千转百回”和“顿悟”转化为教学形态，从而成为解题方面学生学习的典范．参 考 文 献［１］ 波利亚．怎样解题［Ｍ］．上海：上海科技教育出版社，２００７：序言．［２］ 裴光亚．教学的底线［Ｊ］．中学数学教学参考：中旬，２０１８（４）：１．［３］ 罗增儒．中学数学解题的理论与实践［Ｍ］．南宁：广西教育出版社，２００８：１８２．·６１·中学教研（数学）２０２０年第３期收文日期：２０１９ ０９ ２３；修订日期：２０１９ １０ ２５基金项目：江苏省苏州市教育规划课题（１９２０１０３４３）作者简介：胡永强（１９８１—），男，江苏新沂人，中学高级教师．研究方向：数学教育．且每个小正方形的边长为１，则ｔａｎ∠ＢＡＣ的值为（ ）Ａ．１２ Ｂ．１ Ｃ．槡３３槡 Ｄ．３图１图２分析 要计算ｔａｎ∠ＢＡＣ的值，需要将∠ＢＡＣ放到一个直角三角形中．联结ＢＣ，如图２，可通过证明△ＡＢＥ≌△ＢＣＤ推导出∠ＡＢＣ是直角，再运用勾股定理求出∠ＢＡＣ的对边ＢＣ和邻边ＡＢ的长，进而求出ｔａｎ∠ＢＡＣ的值．另外也可由△ＡＢＥ≌△ＢＣＤ得出ＡＢ＝ＢＣ，再结合∠ＡＢＣ是直角，可以根据正切的定义得出ｔａｎ∠ＢＡＣ的值为１．１．２ 非直角三角形的格点三角形———作高例２ 如图３，网格中的每一个正方形的边长都是１，△ＡＢＣ的每一个顶点都在网格的格点处，则ｓｉｎＡ的值为．图３图４分析 要求出ｓｉｎＡ的值，需要把∠ＢＡＣ放到一个直角三角形中，可以过点Ｂ或点Ｃ作△ＡＢＣ的高线．受网格所限，如图４，可作ＢＤ⊥ＡＣ，垂足为点Ｄ，运用勾股定理求出边ＡＢ的长，运用等面积法求出高ＢＤ的长，从而计算出ｓｉｎＡ的值．１．３ 角的顶点不在格点上类型———平移图５例３ 如图５，网格中的每一个正方形的边长都是１，点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ都在格点处，ＡＢ与ＣＤ相交于点Ｏ，则ｔａｎ∠ＢＯＤ的值为．分析 ∠ＢＯＤ的顶点Ｏ不在格点上，添加高线构造出直角三角形后，边长的计算比较困难．可以考虑平移∠ＢＯＤ的某一条边，将∠ＢＯＤ的顶点Ｏ平移到某一格点上，进而依托此格点在给定的网格中构造出一个格点直角三角形，这样就可以求出相关锐角的三角函数值，再根据同位角相等进行等量代换，从而解决问题．本题可以平移边ＯＢ，也可平移边ＯＤ，下面各举一例：１）如图６，平移∠ＢＯＤ的边ＯＢ，使点Ｏ平移到点Ｃ处，作ＣＥ∥ＡＢ，过点Ｄ作ＣＥ的垂线，交ＣＥ于点Ｅ，得到Ｒｔ△ＣＤＥ．在Ｒｔ△ＣＤＥ中，求出ｔａｎ∠ＥＣＤ的值，由ＣＥ∥ＡＢ可得∠ＢＯＤ＝∠ＥＣＤ，从而得到ｔａｎ∠ＢＯＤ的值．图６图７２）如图７，平移∠ＢＯＤ的边ＯＤ至ＡＦ处，过点Ｆ作ＡＦ的垂线交ＡＢ于点Ｇ，构造Ｒｔ△ＡＧＦ，在Ｒｔ△ＡＧＦ中完成计算．２ 非正方形网格除了正方形网格之外，非正方形网格问题近来也频频出现，如矩形网格、菱形网格、等边三角形网格等．这些非正方形网格中问题的解决思路和方法与正方形网格类似，可以将正方形网格中的解题思路和方法迁移过来．２．１ 矩形网格———添线例４ 图８是一个长方形网格，组成网格的小长方形的长是宽的２倍，△ＡＢＣ的顶点都是网格中的格点处，则ｓｉｎ∠ＢＡＣ的值是．图８图９分析 根据网格小长方形的长为宽的２倍，可以添加两条垂线将其转化为正方形网格，如图９所示，将其转化为１．２中的问题，然后通过作高法解决．·７１·２０２０年第３期中学教研（数学）２．２ 菱形网格———求角例５ 如图１０，６个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角∠Ｏ＝６０°，点Ａ，Ｂ，Ｃ都在格点上，则ｔａｎ∠ＡＢＣ的值是．图１０图１１分析 此图属于残缺型问题，如图１１所示，可以通过延长ＢＣ到点Ｄ，联结ＡＤ构造△ＡＢＤ，结合∠Ｏ＝６０°这一条件及菱形每条对角线平分一组对角的性质可证明∠ＡＤＢ是直角，再结合等腰三角形和勾股定理等知识求出线段ＡＤ和线段ＢＤ的长，从而求出ｔａｎ∠ＡＢＣ的值．２．３ 等边三角形网格———组合例６ 在由１０个完全相同的等边三角形构成的网格图中，∠α，∠β如图１２所示，则ｃｏｓ（α＋β）＝．图１２图１３分析 如图１３，将各个点标上字母，联结ＤＥ，利用等边三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α＝３０°．同理可得∠ＣＤＥ＝∠ＣＥＤ＝３０°＝∠α，由∠ＡＥＣ＝６０°结合∠ＡＥＤ＝∠ＡＥＣ＋∠ＣＥＤ可得出∠ＡＥＤ＝９０°，设每个小等边三角形的边长为ａ，则ＡＥ＝２ａ，ＤＥ＝槡３ａ．在Ｒｔ△ＡＤＥ中，利用勾股定理可得出ＡＤ的长，再结合余弦的定义即可求出ｃｏｓ（α＋β）的值．３ 此类问题中蕴含的几种思想方法３．１ 化斜为直思想在初中阶段，求锐角三角函数值常常需要将锐角放在直角三角形中求解，因此构造直角三角形是解决这类问题的首要条件．常用的构造方法是作高线，可以在三角形内部作高，也可以在外部作高，具体作哪条边的高线要结合题目特点作出选择，通常选取较为方便计算的一种情形．在菱形及等边三角形网格中，也需要添加适当的辅助线构造直角三角形以解决问题．３．２ 转化思想转化思想是解决数学问题中一种十分常用的数学思想，它是将数学问题由难变易、由陌生变熟悉的过程．转化思想在解决此类问题中比比皆是，如将非直角三角形转化为直角三角形；将顶点不在格点上的角通过作平行线构造同位角转化为顶点在格点上的角；将非格点三角形的情形转化为格点三角形的情形；将长方形网格转化为正方形网格等都体现了转化的思想．３．３ 方程思想在求锐角三角函数值的过程中，通常需要先构造直角三角形，再计算出所求三角函数值所需要的边．格点三角形的边长常常借助其形外的直角三角形使用勾股定理作为等量关系列出方程，完成计算；在格点三角形内部构造高线后，常需要用同一图形面积相等作为等量关系列出方程，完成计算；有时候还需要借助网格线的平行关系寻找相似三角形，将相似三角形对应边成比例这条定理作为等量关系列出方程，完成计算．由此可见，方程思想在解决此类问题中意义重大．４ 结束语网格中可供研究的数学问题是非常丰富的，本文只是笔者在网格长河中采撷的一朵浪花，列举出在网格中求锐角三角函数值的几种类型及相应的解题策略，结合思考和分析问题的过程归纳出解决此类问题的几种常用数学思想方法．由于水平和经验有限，文中必定存在诸多瑕疵，望读者多批评指正．同时，文中所阐述的解题策略还不够完善，必然还存在其他更多优秀的解法，待广大师生在解题实践过程中不断探索和完善［１］．参 考 文 献［１］ 姜晓翔．初中数学命题方法之延续策略［Ｊ］．中国数学教育，２０１９（６）：３９ ４３．·８１·中学教研（数学）２０２０年第３期。
方格纸中求三角函数值
tan∠ABC 的值是
．
4．如图是由边长相同的小正方形组成的网格 ，A、B、 P、Q四点均在正方形网格的格点上 ，线段AB、PQ每个小的四边
形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点
上，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等
于
．
6．如图,把n个边长为1的正方形拼接成一排,求
tan∠BA1C=
，tan∠BA2C=
tan∠BA3C=
，tan∠BA4C=
…按此规律,写出tan∠BAnC=
数式表示).
，
, ．(用含n的代
方格纸中求三角函数值
1．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，
点A，B，C都在网格上，则∠ABC的正切值
为
．
2．如图，在5×7的网格中，若△ABC的三条
边共经过4个格点，则tan B的值为
．
3．如图，6 个形状、大小完全相同的菱形组成
网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一
个角∠O为 60°，A，B，C都在格点上，则
三角函数专题之网格中的三角函数
三角函数专题训练--网格中的三角函数第一节：网格中的正弦和余弦1．在边长为1的正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在格点上，AB 与CD 相交于点O ，则∠AOD 的正弦值为（）A ．12B ．2C D 2．如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC 的面积等于32，则sin ∠CAB ＝（）A ．2B ．35C ．5D ．3103．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A 、B 、C 、C 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点O ，则cos AOD ∠=（）A ．2B ．2C ．3D 4．如图，点A ，B ，C 在正方形网格的格点上，则sin ∠BAC 等于（）A B C ．5D ．105．如图，在边长1正网格中，A 、B 、C 都在网格线上，AB 与CD 相交于点D ，则sin ADC ∠是（）A B C D 6．如图，点A ，B ，C 在正方形网格的格点上，则sin ∠BAC=（）A ．6B ．26C ．13D ．137．如图，在45⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin ACB ∠的值为（）．A B C ．35D ．458．如图，在正方形网格中，△ABC 的位置如图，其中点A 、B 、C 分别在格点上，则sinA 的值是（）A B ．13C D9．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是l ，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则cos ∠BAC 的值为（）A ．43B ．34C ．35D ．4510．在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则cos ∠B 的值为（）A ．12B ．2C D ．311．三角形在方格纸中的位置如图所示，则cos 的值是（）A ．35B C ．45D 12．如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则cos ∠ABC 等于（）AB C D ．2313．如图是一个3×2的长方形网格，组成网格的小长方形长为宽的2倍，△ABC 的顶点都是网格中的格点，则cos ∠ABC 的值是（）A ．23B ．25C ．35D ．4514．如图，△ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，则cos ∠BAC 的值为（）A ．34B ．25C ．35D ．4515．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A 、B 、O 都在格点上，则AOB ∠的正弦值是（）A ．10B ．12C ．13D ．1016．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A 、B 、C 、D 都在格点上，AB 与CD 相交于点O ，则∠AOC 的正弦值是__．17．如图，已知△ABC 的三个顶点均在格点上，则cosA 的值为_______．18．如图所示，AOB ∠是放置在正方形网格中的一个角，则sin AOB ∠的值是________．19．如图所示方格纸中每个小正方形的边长为1，其中有三个格点A 、B 、C ，则sin ∠ABC=_____．20．如图是4×4的正方形网格，点C在∠BAD的一边AD上，且A、B、C为格点，sin∠BAD的值是___________．∠=______．21．如图在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、O在小正方形的顶点上，则cos OAB22．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC 的余弦值是____．23．如图，在6x6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则cos∠BAC的值是_____．24．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则cos∠AOD=___．25．如图，在4×4的正方形网格图中有△ABC，则∠ABC的余弦值为_____．26．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是_____．27．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则cos∠BAC 的值为_____．的顶点都在小正方形的格点上，28．如图，在44⨯的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，ABC∠=_______．则sin ACB29．如图，每个小正方形的边长都是1，点A,B,C都在小正方形的顶点上，则∠ABC的正弦值为____．第二节：网格中的正切1．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为（）A ．2BC ．3D2．如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，则tan C 的值是（）A ．2B ．43C ．1D ．343．如图，A 、B 、C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan ∠BAC 的值为（）A ．12B ．1C ．3D 4．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A ，B ，P ，Q 四点均在正方形网格的格点上，线段AB ，PQ 相交于点M ，则图中∠QMB 的正切值是（）A ．12B ．1CD ．25．如图，ABC 的顶点在正方形网格的格点处，则tan C 的值为（）A ．12B ．13C ．2D ．16．如图，将 ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，则∠A 的正切值是（）A B C ．2D ．127．如图，在54⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则tan BAC ∠的值为（）A ．43B ．34C ．35D ．458．如图，A ，B ，C ，三点在正方形网格线的交点处，若将ABC 绕着点A 逆时针旋转得到AC B ''△，则tan B '的值为（）A ．12B ．13C ．14D ．49．如图所示，ABC ∆的顶点在正方形网格的格点上，则tan A 的值为（）A ．12B ．2C ．2D ．10．在图网格中，小正方形的边长为1，点A 、B 、C 、D 都在格点上，AB 与CD 相交于点O ，则∠AOC 的正切值是（）A ．23B ．32C ．35D ．5311．如图，在方格纸中，点A ，B ，C 都在格点上，则tan ∠ABC 的值是()A ．2B ．12C D 12．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan ∠ABC 的值为（）A ．35B ．34C ．5D ．113．如图，∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角,则tan ∠AOB （）A ．3B C ．1D ．2514．∠BAC 放在正方形网格纸的位置如图，则tan ∠BAC 的值为（）A ．16B ．15C ．13D ．1215．如图，在55 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，ABC 的顶点均在格点（网格线的交点）上，则tan B 的值为______．16．如图，点A ，B ，C ，D 在正方形网格的格点上，连接AB 、CD 交于点P ，则tan ∠APC ＝________________．17．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为_____．18．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则tan ABC ∠的值为_______．19．如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点A ，B 和C ，D ，AB 与CD 相交于点E ，则tan AEC ∠=___．20．如图，在4×5的正方形网格中点A ，B ，C 都在格点上，则tan ∠ABC ＝_____．21．如图，把n 个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan 1BA C ∠=1，tan 2BA C ∠=13，31tan 7BA C ∠=，计算4tan BA C ∠=_________________．22．如图，将BAC ∠放置在55⨯的正方形网格中，如果顶点A 、B 、C 均在格点上，那么BAC ∠的正切值为______．23．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 都在这些小正方形的顶点上，则tan ∠ABC 的值为_____．24．如图，在Rt △ABC 纸片上可按如图所示方式剪出一正方体表面展开图，直角三角形的两直角边与正方体展开图左下角正方形的边共线，斜边恰好经过两个正方形的顶点，已知BC ＝24cm ，则这个展开图可折成的正方体的体积为_____cm 3．25．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan C ＝__．26．如图，在正方形网格中，三角形ABC 的三个顶点都在网格中的格点上，则tan ∠B 的值为_____．27．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，线段AB 、CD ，相交于点P ，则tan APD ∠的值是__________．28．如图，在边长都为1的小正方形组成的网格中，点A ，B ，C ，D 都在这些小正方形的顶点上，AB ，CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值是____________．29．如图，把n 个边长为1的正方形拼接成一排，求得1tan 1BA C ∠=，21tan 3BA C ∠=，31tan 7BA C ∠=，计算4tan BA C ∠=__________，……按此规律，写出tan n BA C ∠=__________（用含n 的代数式表示）．。
网格线中的三角函数问题
网格线中的三角函数问题作者：周宏伟来源：《初中生世界·九年级》2016年第12期在我们常见的网格线中，有很多三角函数求值问题，题中蕴含着很多思想方法，为便于大家复习，现归纳如下，供大家在学习过程中参考.一、补形的策略例1 （2015·山西）如图1，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）.A.2B.[255]C.[55]D.[12]【方法探究】如何把∠ABC放在某个直角三角形中是解决本题的关键，仔细观察可以发现：AB在小正方形的对角线上，能联想到45°角，只要连接AC即可构造出直角，然后在直角三角形中运用三角函数的定义求解.【过程展示】如图2，连接AC，则∠CAB=90°，在Rt△ABC中，tan∠ABC=[ACAB]=[12].故选D.例2 （2016·福建福州）如图3，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点.已知菱形的一个角（∠O）为60°，A、B、C都在格点上，则tan∠ABC的值是 .【方法探究】观察网格的特点，首先考虑如何将∠ABC放到一个直角三角形中，这是解决问题的关键.【过程展示】如图4，连接DA，DC，则点B、C、D在同一直线上，设菱形的边长为a，由题意得∠ADF=30°，∠BDF=60°，∴∠ADB=90°，AD=[3a]，DB=2a，tan∠ABC=[ADBD]=[3a2a]=[32]，故答案为[32].二、转化的思想例3 （2012·江苏泰州）如图5，在由边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D 都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值为 .【方法探究】直接求∠APD的正切值比较困难，可以考虑利用线段的平移对∠APD进行转化，找出它的“替身”，然后进行求解，以达到化难为易的目的.【过程展示】如图6，取小正方形的顶点E，连接AE、BE，由图可知CD∥BE，∴∠APD=∠ABE，在Rt△ABE中，tan∠ABE=2，∴tan∠APD=2.例4 （2016·山东淄博）图7是由边长相同的小正方形组成的网格，A、B、P、Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB、PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是（）.A.[12]B.1C.[3]D.2【方法探究】如果直接求tan∠QMB可考虑连接AP、BQ，运用△APM∽△BQM求出AM或BM，然后在Rt△APM或Rt△BQM中求解；如果间接求解，应考虑对∠QMB进行转化，最好的思路是考虑线段的平移.①如图8，平移AB至A′Q，在Rt△A′PQ中求tan∠Q；②如图9，平移AB至PB′，在Rt△B′PQ中求tan∠P；③如图10，平移PQ使其经过线段AB中点D，然后在Rt△ACD中求tan∠ADC.【过程展示】以第①种平移为例，如图8，平移AB至A′Q后，∠Q=∠QMB，在Rt△A′PQ中，tan∠Q=[A′PA′Q]=2，所以tan∠QMB=2.故选D.三、等积法例5 （2015·四川乐山）如图11，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）.A.[33]B.[55]C.[233]D.[255]【方法探究】通过作三角形的高构造直角三角形，先利用等积法（或勾股定理）求出高，然后运用余弦的定义解答.【过程展示】如图11，设小正方形的边长为1，过点B作AC边上的高BD.由勾股定理得：AC=[32]，AB=[10]，由等积法可得：[12]BC∙h=[12]∙AC∙BD，即[12]×2×3=[12]×[32]∙BD，解得BD=[2]，由勾股定理，得AD=[AB2-BD2]=[22]，∴cosA=[ADAB]=[2210]=[255].故选D.例6 （2014·广西贺州）如图12，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA= .【方法探究】在替换与∠A相等的角比较困难的情况下，可以考虑通过作高进行构造，把∠A放在某个直角三角形中进行求解.【过程展示】如图12，过点C作CE⊥AB，垂足为E，连接AD，则AD⊥BC，从不同的角度把△ABC的面积计算两次得：S△ABC=[12]AB∙CE=[12]BC∙AD，所以[12]×[25]×CE=[12]×[22]×[32]，所以CE=[655]，在Rt△ACE中，sin∠CAE=[CEAC]=[65525]=[35].由此可见，遇到网格中的锐角三角函数求值问题，我们通常有两种思路：一是原地不动，想办法构造直角三角形求解；二是转移该角，如利用平行线进行转化.一般情况下，遇到求三角函数问题优先考虑转化，在没有好的转化思路的情况下再考虑如何构造.（作者单位：江苏省东台市新街镇中学）。
九年级数学下册常考点微专题提分精练(网格中求正切(解析版)
专题23 网格中求正切【法一】构造直角三角形求如图是由边长为1的小正方形组成的44⨯网格，则tan BAC ∠=________．【详解】解：连接BC ，由勾股定理可知：22125AC =+=，222425BC =+=，22345AB =+=，∵2225(5)(25)=+，∵222AB AC BC =+，∵ABC 为直角三角形，∵25tan 25BC BAC AC ∠===， 故答案为：2． 如图，A ，B ，C ，D 均为网格图中的格点，线段AB 与CD 相交于点P ，则∵APD 的正切值为（ ）A ．3B ．2C ．2D ．32【详解】：连接CM ，DN ，由题意得：CM ∵AB ，∵∵APD ＝∵NCD ，由题意得：CN 2＝12+12＝2，DN 2＝32+32＝18，∵2,1832CN DN ===，∵tan∵DCN ＝DN CN ＝322＝3， ∵∵APD 的正切值为：3，故选：A ．如图，网格中小正方形的边长均为1，点A，B、O都在格点（小正方形的顶点）上，则tan AOB∠的值是______．解：作AC OB⊥交于点C，由图可知：=416=25+OB，∵11=22?·22AOBS AC OB⨯⨯=，∵2=5AC，∵22OA=，∵2246 855=-=-=OC OA AC，∵1 tan3∠==ACAOBOC，故答案为：1 31．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∵ABC的正切值是（）A．2B25C5D．12【答案】D【分析】连接AC，根据网格图不难得出=90CAB∠︒，求出AC、AB的长度即可求出ABC∠的正切值．【详解】连接AC，A．1B C D．22A ．13B ．35C ．23 D ．12根据图象可知454590ADB ∠=︒+︒=︒，的值是_____．【答案】1【分析】根据已知图形得出45CAD ∠=︒，再求解即可.【详解】连接CD，∠若A，C，B′三点共线，则tan∵B′CB=________．【答案】2【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理和锐角三角函数关系，得出BD⊥CB′是解题的关键．6．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在这些小正方形的顶点上，则∵ABC的正切值是．【答案】2因为所以考点：勾股定理的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，ABC的顶点都在格点∠的正切值是______．上，则ABC【答案】2【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出∵ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】解：由图可知，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AB2=32+42=25，∵∵ABC是直角三角形，且∵ACB=90°，∠=_____________相交于点P，则tan APC∵四边形BCED是正方形，切值为_____．【答案】1∵由勾股定理得：AB2＝32+12＝10，BC2＝22+12＝5，AC2＝22+12＝5点．（1）CD的长度为______；（2）CD与网格线交于E，则DE=______；（3）若AB与CD所夹锐角为α，则tanα=______．(3)取各点M，连接CM，则CM∵AB，取格点H，连接MH，使MH交CD于N，如图，．【点睛】此题考查勾股定理，相似三角形的判定及性质，旋转的性质，锐角三角函数，正确__________．【点睛】本题考查网格中求角的正切值问题，关键是把给的角转移到三角形中，掌握正方形相应的格点上则tan A的值为______．1则∵ABD是直角三角形，∵ABD=90°，a12ABC S ∆=12ABC S ∆=∴322BD ⋅BD ∴=【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理和直角三角形的边角间关系是解决本题的三、解答题15．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上， 请按要求完成下列各题：（1）用2B 铅笔画AD∵BC （D 为格点），连接CD ；（2）线段CD 的长为 ；（3）请你在△ACD 的三个内角中任选一个锐角，若你所选的锐角是 ，则它所对应的正弦函数值是；（4）若E为BC中点，则tan∵CAE的值是．D点即为所求；BC=2三边的长分别为，求∵A 的正切值．小华是这样解决问题的：如图2所示，先在一个正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中画出格点∵ABC （∵ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），然后在这个正方形网格中再画一个和∵ABC 相似的格点∵DEF ，从而使问题得解．（1）图2中与A ∠相等的角为 ， A ∠的正切值为 ；（2）参考小华解决问题的方法，利用图4中的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）解决问题：如图3，在∵GHK 中，HK=2，HG=KG=延长HK ，求+αβ∠∠的度数．11正方形的顶点上．（1）在图中画一个以线段AB为斜边的等腰直角三角形ABE，点E在小正方形的顶点上，并直接写出BE的长；（2）在图中画一个钝角三角形CDF，点F在小正方形的顶点上，并且三角形CDF的面积为92，3tan4DCF∠=．【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图、勾股定理、等腰直角三角形、解直角三角形等。