三角函数线课件.pdf
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高二数学三角函数线
正
r 1
正 负
r 1
正 正 正
负 负
正
r 1
的终边
r 1
正 负负
的终边
知周的尊贵招式……紧接着把柔软的屁股抖了抖，只见三道闪耀的极似铁砧般的褐影，突然从轻灵的淡红色榴莲般的手掌中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，淡白色的大地开 始抖动摇晃起来，一种怪怪的鹿欢榆蕾味在震撼的空气中闪动！最后扭起暗黄色玉葱般的手指一转，威猛地从里面弹出一道银光，她抓住银光缠绵地一旋，一套灰叽叽、亮晶
轴线角的三角函数线
2 (0,1)
(1,0)
(1,0) 0
3 (0,1)
2
思考： 根据三角函数线能得到哪些结论？
T
r 1
o
M A(1,0)
例1：画出适合下列条件的角的终边：
(1) sin 1
2
(2) cos 1
2
(3) tan 1
例2：适合下列条件的角的终边的 范围，并由此写出角的集合：
(1) sin 1
2
(2) cos 1
2
三角函数线
特殊角的三角函数值
3 2
54
3 2 3 4 ED
F
6
G H
C
6
BLA源自0r 1sin y cos x tan y
x
y
r 1
T 的终边
P(cos ,sin )
o
M A(1,0) x
三角函数线
有向线段OM叫做余弦线 有向线段MP叫做正弦线 有向线段AT叫做正切线
的终边
象限角的三角函数线 的终边
晶的兵器『褐冰吹圣铲斗杖』便； led strip lights ；显露出来，只见这个这件怪物儿，一边紧缩，一边发出“吱吱”的奇响！猛然间女政 客Ｔ．克坦琳叶女士闪速地用自己淡红色榴莲般的手掌研究出土黄色时尚闪动的树藤，只见她亮灰色旗杆一样的心脏中，猛然抖出五团晃舞着『蓝鸟骨怪火腿宝典』的仙翅枕 头墩布状的拖布，随着女政客Ｔ．克坦琳叶女士的抖动，仙翅枕头墩布状的拖布像面包一样在脑后虚幻地耍出隐约光云……紧接着女政客Ｔ．克坦琳叶女士又发出四声水绿峦 霞色的夸张狂笑，只见她平常的淡橙色肥肠一样的脸中，狂傲地流出五缕火鸡状的平原石爪鸡，随着女政客Ｔ．克坦琳叶女士的摆动，火鸡状的平原石爪鸡像地板一样，朝着 六鹿阳光台上面悬浮着的发光体斜抓过去！紧跟着女政客Ｔ．克坦琳叶女士也转耍着兵器像死鬼般的怪影一样向六鹿阳光台上面悬浮着的发光体斜抓过去！……随着『紫兽霜 神辣椒腿』的搅动调理，五根狗尾草瞬间变成了由万万亿亿的傲慢幽灵组成的缕缕暗青色的，很像酒罐般的，有着远古华丽质感的妖云状物体。随着妖云状物体的抖动旋转… …只见其间又闪出一簇青兰花色的烟花状物体……接着女政客Ｔ．克坦琳叶女士又用自己淡红色榴莲般的手掌研究出土黄色时尚闪动的树藤，只见她亮灰色旗杆一样的心脏中 ，猛然抖出五团晃舞着『蓝鸟骨怪火腿宝典』的仙翅枕头墩布状的拖布，随着女政客Ｔ．克坦琳叶女士的抖动，仙翅枕头墩布状的拖布像面包一样摇曳起来！一道嫩黄色的闪 光，地面变成了纯红色、景物变成了钢灰色、天空变成了深绿色、四周发出了苍茫的巨响！。只听一声玄妙梦幻的声音划过，六只很像晶鬼铲斗般的妖云状的缕缕闪光体中， 突然同时喷出四簇杂乱如麻的金橙色弧光，这些杂乱如麻的金橙色弧光被霞一甩，立刻化作萦绕的飘带，不一会儿这些飘带就五彩缤纷着跳向罕见异绳的上空，很快在四金砂 地之上变成了闪烁怪异、质感华丽的凸凹飘动的摇钱树！这时女政客Ｔ．克坦琳叶女士发出最后的的狂吼，然后使出了独门绝技『紫兽霜神辣椒腿』飘然一扫，只见一阵蓝色 发光的疾风突然从女政客Ｔ．克坦琳叶女士的腿中窜出，直扑闪光体而去……只见闪光体立刻碎成数不清的时尚闪烁的凸凹飘动的摇钱树飞向
高中数学必修四课件：三角函数线
∵S△AOP＝12OA·MP＝12sinα， S扇形AOP＝12α·r2＝12α， S△OAT＝12OA·AT＝12AT＝12tanα， 又S△AOP<S扇形AOP<S△AOT， ∴12sinα<12α<12tanα，即sinα<α<tanα. (2)∵MP＋OM>OP，又MP＝sinα，OM＝cosα，OP＝1，∴ sinα＋cosα>1.
3．若sinθ≥0，则θ的取值范围是________． 答案 [2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
4．函数y＝ sinx＋ －cosx的定义域为________． 答案 {x|2π＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z}
π的终边为OP1，
4 5
π的终边为OP2，过P1、P2分别作x轴的垂线，垂足为M1、M2，
反向T2.则
sin23π＝M1P1，sin45π＝M2P2.
∵M1P1>M2P2，M1P1，M2P2与y轴正方向相同， ∴sin23π>sin45π.
思考题3 比较大小． ①sin15°与sin120°； ②cos40°与cos50°； ③tan105°与tan120°.
【答案】 ①< ②> ③<
例4 求下列函数的定义域． (1)y＝ 2cosx－1； (2)y＝lg(3－4sin2x)．
【思路分析】 首先作出单位圆，然后根据各问题的约束 条件利用三角函数线画出角x满足条件的终边范围．
∠M1OP1＝6π，∠M1OP2＝56π， ∴满足sinα≥12的α的集合为 {α|2kπ＋6π≤α≤2kπ＋56π，k∈Z}．
例2 利用单位圆证明当α∈(0，π2)时，求证：
(1)sinα<α<tanα；
(2)sinα＋cosα>1.
第四节：三角函数线
余弦值大于 的角 的终边与单位圆的交点在劣弧 上，所以所求角 的取值范围是 ．
应用三：证明三角不等式（一）
设 为锐角，求证：
解：如图：在直角坐标系中作出单位圆，设角 的
终边为 ，过 作 于 ， 于 ，则 ， ．Biblioteka 为锐角，在 中， ，． ①
而 ，
， ．
又四边形 被扇形 所覆盖，
，
即 ． ②
由①，②得 ．
注意，三种三角函数线都有退化为0的情形．
三角函数线是三角函数的几何表示．
下面分象限解释并作出三种三角函数线．
应用一：解三角方程
已知 在单位圆中作出角 的终边，并求出 ．
解：作直线 与单位圆交于 ，作射线 即为角 的终边．
或 ．
应用二：解三角不等式
解不等式 ．
解：如图，作出余弦值等于 的角 的终边，则
第四节：三角函数线---是三角函数的几何表示
设角 的终边与单位圆交与 点，与过点 的单位圆切线交于 点(当终边与切线 不相交时，取终边反向延长线与切线 的交点)，过 作 垂直 轴于 ，则有向线段 ， ， ，分别叫做角 的正弦线，余弦线，正切线，
正弦线，正切线的正向与 轴的正向相同，即向上为正，向下为负，余弦线的正向与 轴的正向相同，即向右为正，向左为负．当角 的终边与 轴重合时，角 的正切线无意义．
应用三：证明三角不等式（二）
设 为锐角，求证：
证明：
如图，在单位圆中，MP，AT分别是锐角 的正弦线和正切线，即 ， 的长就是 ，根据 有
即 ．
应用三：证明三角不等式（一）
设 为锐角，求证：
解：如图：在直角坐标系中作出单位圆，设角 的
终边为 ，过 作 于 ， 于 ，则 ， ．Biblioteka 为锐角，在 中， ，． ①
而 ，
， ．
又四边形 被扇形 所覆盖，
，
即 ． ②
由①，②得 ．
注意，三种三角函数线都有退化为0的情形．
三角函数线是三角函数的几何表示．
下面分象限解释并作出三种三角函数线．
应用一：解三角方程
已知 在单位圆中作出角 的终边，并求出 ．
解：作直线 与单位圆交于 ，作射线 即为角 的终边．
或 ．
应用二：解三角不等式
解不等式 ．
解：如图，作出余弦值等于 的角 的终边，则
第四节：三角函数线---是三角函数的几何表示
设角 的终边与单位圆交与 点，与过点 的单位圆切线交于 点(当终边与切线 不相交时，取终边反向延长线与切线 的交点)，过 作 垂直 轴于 ，则有向线段 ， ， ，分别叫做角 的正弦线，余弦线，正切线，
正弦线，正切线的正向与 轴的正向相同，即向上为正，向下为负，余弦线的正向与 轴的正向相同，即向右为正，向左为负．当角 的终边与 轴重合时，角 的正切线无意义．
应用三：证明三角不等式（二）
设 为锐角，求证：
证明：
如图，在单位圆中，MP，AT分别是锐角 的正弦线和正切线，即 ， 的长就是 ，根据 有
即 ．
三角函数的概念 课件(39张)
tan cos = × +1× = .
数学
方法总结
诱导公式一的实质是:终边相同的角,其同名三角函数的值相等.因为这些
角的终边都是同一条射线,根据三角函数的定义可知这些角的三角函数值
相等.其作用是可以把任意角转化为0°～360°之间的角.
因为 a<0,所以 a=- ,所以 P 点的坐标为( ,- ),
所以 sin α=- ,cos α= ,
所以 sin α+2cos α=- +2× = .
数学
[变式训练1-1] 若将本例中“a<0”删掉,其他条件不变,结果又是什么?
解:因为点 P 在单位圆上,则|OP|=1,即 (-) + () =1,解得 a=± .
②若 a<0,则 r=-5a,且 sin α=
-
-
-
=- ,cos α=
所以 sin α+2cos α=- +2× = .
= .
数学
方法总结
由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值
(1)已知角α的终边在直线上时,常用的解题方法有以下两种:
①先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正弦函数、余
弦函数、正切函数的定义求出相应三角函数值.
②在α的终边上任选一点 P(x,y),P 到原点的距离为 r(r>0),则 sin α= ,
三角函数定义课件(角度、弧度及基本关系式)
倍角公式
$sin 2theta = 2sin theta cos theta$
半角公式
$sin frac{theta}{2} = pm sqrt{frac{1-cos theta}{2}}$
03 弧度制下三角函数关系式
弧长与圆心角关系
弧长公式
$l = rtheta$，其中 $l$ 是弧长，$r$ 是半径，$theta$ 是圆心角的弧度。
正切函数 $tan x$
定义域为 $x neq frac{pi}{2} + kpi, k in Z$，值域为全体实数 $R$。
弧度制下三角函数图像变换
01
平移变换
02
伸缩变换
函数 $y = Asin(omega x + varphi)$ 或 $y = Acos(omega x + varphi)$ 的图像可以通过平移 $varphi$ 个单 位得到。
最值问题和极值点求解
最值问题
余弦函数的最大值为1，最小值为-1。
正弦函数在 $x = frac{pi}{2} + 2kpi$（$k in mathbb{Z}$）处取得最大值，在 $x = -frac{pi}{2} + 2kpi$（$k in mathbb{Z}$）处取得最小值。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1。
3
记忆常用弧度的角度值
与角度转弧度类似，也可以记忆一些常用弧度的 角度值。
转换过程中注意事项和技巧
保持单位一致
在进行角度和弧度转换时，要确保所使用的单位是一致的，避免出 现混淆。
注意精度问题
由于π是一个无理数，因此在转换过程中可能会遇到精度问题。在 需要高精度计算时，可以使用专门的数学软件或库来进行转换。
$sin 2theta = 2sin theta cos theta$
半角公式
$sin frac{theta}{2} = pm sqrt{frac{1-cos theta}{2}}$
03 弧度制下三角函数关系式
弧长与圆心角关系
弧长公式
$l = rtheta$，其中 $l$ 是弧长，$r$ 是半径，$theta$ 是圆心角的弧度。
正切函数 $tan x$
定义域为 $x neq frac{pi}{2} + kpi, k in Z$，值域为全体实数 $R$。
弧度制下三角函数图像变换
01
平移变换
02
伸缩变换
函数 $y = Asin(omega x + varphi)$ 或 $y = Acos(omega x + varphi)$ 的图像可以通过平移 $varphi$ 个单 位得到。
最值问题和极值点求解
最值问题
余弦函数的最大值为1，最小值为-1。
正弦函数在 $x = frac{pi}{2} + 2kpi$（$k in mathbb{Z}$）处取得最大值，在 $x = -frac{pi}{2} + 2kpi$（$k in mathbb{Z}$）处取得最小值。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1。
3
记忆常用弧度的角度值
与角度转弧度类似，也可以记忆一些常用弧度的 角度值。
转换过程中注意事项和技巧
保持单位一致
在进行角度和弧度转换时，要确保所使用的单位是一致的，避免出 现混淆。
注意精度问题
由于π是一个无理数，因此在转换过程中可能会遇到精度问题。在 需要高精度计算时，可以使用专门的数学软件或库来进行转换。
三角函数线课件
证明：tanα=MP/OM =sinα/cosα
（3）|sinα|+|cosα|≥1
y
证明：若角α终边落在象限内，
由图可知，∆OPM中
N
|MP|+|OM| 〉|OP|=1
(三角形两边之和大于第三边） 若角 α终边落在轴上，
α o
|MP|和|OM|必有一个为1，另一个为0
|MP|+|OM|=1
而|MP|=|ON|=| sinα|，|OM|=| cosα|
（1）sin²α＋cos²α＝1 ； 证明：（1）若角α终边落在象 限内，由
图可知sin²α＋cos²α
y
T
N
P
=ON² +OM² =PM² +OM² =OP² =1
α
o
MA x
若角α的终边落在轴上
则|sinα|和|cosα|必有一 个为1，另一个为0， sin²α＋ cos²α＝1
象限角 轴角
（2）tanα=sinα/cosα；（α是锐角）
一全正，二正弦，三正切，四余弦.
3.公式 sin( 2k ) sin ，cos( 2k ) cos，
tan( 2k ) tan( k Z ).其数学意义如何？
终边相同的角的同名三角函数值相等.
4.角是一个几何概念，同时角的大小也具有数量特征.我们从数
的观点定义了三角函数，如果能从图形上找出三角函数的几何 意义，就能实现数与形的完美统一.可以用何种几何元素表示任 意角三角函数值？
故|sinα|+|cosα|≥1
T P
MA x
象限角（2） 象限角（3）
轴角（3）
例3在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,
1.2.1.2三角函数线 (1)
y y sin y MP r 1
tan y MP AT AT x OM OA
T
x x cos x OM r 1
y
P
的终边
T
的终边
P
y
A
o
M
A
x
M
o
x
T
这几条与单位圆有关的有向线段 MP 、OM 、AT 叫做角 的正弦线、余弦线、正切线． 当角 的终边在 x 轴上时，正弦线、正切线分别 变成一个点； 当角 的终边在 y 轴上时，弦线变成一个点，正 切线不存在．
【变式 3】 求下列函数的定义域： (1)y＝ 2cos x－1； (2)y＝lg(3－4sin2x)． 解 (1)如图． 1 ∵2cos x－1≥0，∴cos x≥2，
π π ∴x∈2kπ－3，2kπ＋3(k∈Z)．
(2)如图． 3 ∵3－4sin x>0，∴sin x< ， 4
（2）若点P(sin α － cos α ，tan α )在第一象限 内，则在[0, 2π)内， α 的取值范围是 。
2 2
3 3 ∴－ 2 <sin x< 2 .
π π ∴x∈2kπ－3，2kπ＋3∪ 2π 4π 2kπ＋ ，2kπ＋ (k∈Z)． 3 3
即
π π x∈kπ－3，kπ＋3(k∈Z)．
（1）求证：当 为锐角时， sin tan ．
π 3π 5π 7π ∴ x ∈ 2kπ＋4，2kπ＋ 4 ∪ 2kπ＋ 4 ，2kπ＋ 4 (k ∈ Z) ，即 π 3π kπ＋ ，kπ＋ (k∈Z)(12 4 4
x∈
分)
【题后反思】 (1)三角函数线是利用数形结合思想解决有关问 题的工具，要注意利用其来解决问题． (2)三角函数线的主要作用是解三角不等式、比较大小及求函数 的定义域，在求三角函数定义域时，一般转化为不等式 (组)， 因此必须牢固掌握三角函数线的画法及意义．
tan y MP AT AT x OM OA
T
x x cos x OM r 1
y
P
的终边
T
的终边
P
y
A
o
M
A
x
M
o
x
T
这几条与单位圆有关的有向线段 MP 、OM 、AT 叫做角 的正弦线、余弦线、正切线． 当角 的终边在 x 轴上时，正弦线、正切线分别 变成一个点； 当角 的终边在 y 轴上时，弦线变成一个点，正 切线不存在．
【变式 3】 求下列函数的定义域： (1)y＝ 2cos x－1； (2)y＝lg(3－4sin2x)． 解 (1)如图． 1 ∵2cos x－1≥0，∴cos x≥2，
π π ∴x∈2kπ－3，2kπ＋3(k∈Z)．
(2)如图． 3 ∵3－4sin x>0，∴sin x< ， 4
（2）若点P(sin α － cos α ，tan α )在第一象限 内，则在[0, 2π)内， α 的取值范围是 。
2 2
3 3 ∴－ 2 <sin x< 2 .
π π ∴x∈2kπ－3，2kπ＋3∪ 2π 4π 2kπ＋ ，2kπ＋ (k∈Z)． 3 3
即
π π x∈kπ－3，kπ＋3(k∈Z)．
（1）求证：当 为锐角时， sin tan ．
π 3π 5π 7π ∴ x ∈ 2kπ＋4，2kπ＋ 4 ∪ 2kπ＋ 4 ，2kπ＋ 4 (k ∈ Z) ，即 π 3π kπ＋ ，kπ＋ (k∈Z)(12 4 4
x∈
分)
【题后反思】 (1)三角函数线是利用数形结合思想解决有关问 题的工具，要注意利用其来解决问题． (2)三角函数线的主要作用是解三角不等式、比较大小及求函数 的定义域，在求三角函数定义域时，一般转化为不等式 (组)， 因此必须牢固掌握三角函数线的画法及意义．
高中数学课件 1.2.1三角函数线
§1.2.1 任意角的三角函数 一、三角函数的定义
二、各种三角函数在各象限的 符号 三、终边相同的角的同一三角 函数值相等 四、有向线段和三角函数线
㈠、有向线段
y
M
y α终边
p(x , 线段
o
M
x
p(x , y)
α终边
我们规定OM与x轴同向时， OM的方向是正向，x为正 值； OM与x轴反向时， OM的方向是负向，x为负值； 无论是那种情况都有: OM=x=cos α
o
x
因此， p(x , y)坐标也表示为 p(cosα , sinα)
p
y
y α终边
p(x , y)
M
o y
M
x
正弦线 余弦线
o
M
x
y
M
o
p
x
o
p
x
㈢、正切线
y α终边
过A(1,0)作圆的切线
p T
称AT 为角α的 正切线。
o
A x
α终边
p
y
过A(1,0)作圆的切线
y p
T
α终边
M
o
A(1,0) x
o
A(1,0) x M
T y T y
M
o
α终边
A(1,0) x
o
M A(1,0) x p
α终边
p
T
例题： 不查表，比较大小
解： 由图形得到
2π ＞ sin 4π sin 3 5
2π 4π ⑴ sin 和 sin 5 3
y 1
o
1x
2π 4π ⑵ cos 和 cos 5 3
解： 由图形得到
2π > cos 4π cos 3 5
二、各种三角函数在各象限的 符号 三、终边相同的角的同一三角 函数值相等 四、有向线段和三角函数线
㈠、有向线段
y
M
y α终边
p(x , 线段
o
M
x
p(x , y)
α终边
我们规定OM与x轴同向时， OM的方向是正向，x为正 值； OM与x轴反向时， OM的方向是负向，x为负值； 无论是那种情况都有: OM=x=cos α
o
x
因此， p(x , y)坐标也表示为 p(cosα , sinα)
p
y
y α终边
p(x , y)
M
o y
M
x
正弦线 余弦线
o
M
x
y
M
o
p
x
o
p
x
㈢、正切线
y α终边
过A(1,0)作圆的切线
p T
称AT 为角α的 正切线。
o
A x
α终边
p
y
过A(1,0)作圆的切线
y p
T
α终边
M
o
A(1,0) x
o
A(1,0) x M
T y T y
M
o
α终边
A(1,0) x
o
M A(1,0) x p
α终边
p
T
例题： 不查表，比较大小
解： 由图形得到
2π ＞ sin 4π sin 3 5
2π 4π ⑴ sin 和 sin 5 3
y 1
o
1x
2π 4π ⑵ cos 和 cos 5 3
解： 由图形得到
2π > cos 4π cos 3 5